天津市五区县1112年下学期高一期末考试数学(附答案)(扫描版)
天津高一高中数学期末考试带答案解析
天津高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如果，则下列不等式中成立的只有（）A．B．C．D．2.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．B．C．D．4.如图所示程序框图中，输出（）A．B．C．D．5.已知关于的方程的两根之积等于两根之和，且边为的两内角所对的边，则是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形6.已知数列为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为（）的前项和，则的值为（）A．B．C．D．7.下列命题正确的是（）①函数的一个对称中心是；②从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件；③将的图象向右平移个单位长度，即得到函数的图象；④若函数的图象都在轴上方，则实数的取值范围是．A．①③B．①④C．②④D．③④8.对于实数和，定义运算:，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.利用计算机产生区间内的均匀随机数，则事件“”的概率为．2.如图是某学校抽取的个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则的值是．3.已知的取值如表所示:若与呈线性相关，且回归方程为，则等于．2344.正项等比数列中，若，则= ．5.如图中，已知点在边上，，则的长为．6.在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，则的最小值为．三、解答题1.（本小题满分8分）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是 1，2，3，4，5现从盒子中随机抽取卡片（1）若一次抽取张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于的概率（2）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字的卡片的概率．2.（本小题满分10分）已知函数的最小正周期为，（1）求函数的表达式并求在区间上的最小值；（2）在中，分别为角所对的边，且，，求角的大小；3.（本小题满分12分）已知关于的不等式（1）若不等式的解集为，求的值．（2）求不等式的解集4.（本小题满分l2分）已知数列{}的前项和为，且满足．数列{}满足，且，{}前项和为．（1）求数列{}、{}的通项公式;（2）设，求数列的前项和，并证明．5.（本小题满分14分）已知数列满足且，且，设，数列满足．（1）求证是等比数列并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）对于任意恒成立，求实数的取值范围．天津高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.如果，则下列不等式中成立的只有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，可得，故不正确，正确．再根据，可得不正确，只有选项成立，故选．【考点】不等式关系与不等式2.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】变量满足的约束条件的可行域如图所示，点，在点处有最小值，故选B．【考点】线性规划3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可知甲的得分共有9个，中位数为28，所以甲的中位数为28．乙的得分有9个，中位数为36，所以乙的中位数为36，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64．故选C．【考点】茎叶图和中位数4.如图所示程序框图中，输出（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由程序框图值，第一次运行；第二次运行；第三次运行；…指导满足条件，运行终止，此时，，故选D．【考点】程序框图5.已知关于的方程的两根之积等于两根之和，且边为的两内角所对的边，则是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为方程的两根之积等于两根之和，所以，由正弦定理可得，因为为三角形的两内角，，三角形为等腰三角形，故选A．【考点】（1）正弦定理（2）三角形形状的判断6.已知数列为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为（）的前项和，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，公差，代入数据可得，，故选D．【考点】等差数列前项和7.下列命题正确的是（）①函数的一个对称中心是；②从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件；③将的图象向右平移个单位长度，即得到函数的图象；④若函数的图象都在轴上方，则实数的取值范围是．A．①③B．①④C．②④D．③④【答案】D【解析】对于①，函数的一个对称中心是；不正确，一个对称中心应该是；对于②，从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥不对立的两个事件；“至少有一个红球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，即事件A与事件B为互斥事件，至少有一个红球包含一个红球一个白球额两个红球，与恰有2个白球是对立事件，故②不正确；对于③，强的图像向右平移个单位长度，即可到函数的图像，所以③正确；若函数的图都在轴上方，可得并且，解得，所以④正确．故选D．【考点】命题的真假判断与应用8.对于实数和，定义运算:，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得当时，不等式恒成立，即恒成立，故函数的最小值大于等于0．由于函数的对称轴为，当，即时，的最小值为，求得．当时，即，的最小值为，综上可得实数的取值范围是，故选B．【考点】函数恒成立问题二、填空题1.利用计算机产生区间内的均匀随机数，则事件“”的概率为．【答案】【解析】，即，则事件发生的概率为．【考点】几何概型2.如图是某学校抽取的个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则的值是．【答案】48【解析】因为各小组频率之和为1，而后两组频率之和为：，所以前三组频率之和为1-0．25=0．75，又因为从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，故第三组频率为，因为第3小组的频数为18，则抽取的学生人数是．【考点】频率分布直方图3.已知的取值如表所示:若与呈线性相关，且回归方程为，则等于．234【答案】0．5【解析】，【考点】线性回归方程4.正项等比数列中，若，则= ．【答案】16【解析】，因为数列为等比数列，所以=．【考点】等比数列的性质5.如图中，已知点在边上，，则的长为．【答案】【解析】，，在中，，根据余弦定理得：．【考点】余弦定理6.在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，则的最小值为．【答案】【解析】，又为上一点，不妨设，，不共线，，则=当且仅当，即时等号成立．【考点】平面向量的基本定理及其意义三、解答题1.（本小题满分8分）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是 1，2，3，4，5现从盒子中随机抽取卡片（1）若一次抽取张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于的概率（2）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字的卡片的概率．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于9的找出来，由此求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率．（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来，根据互斥事件的概率公式计算即可得到所求答案．试题解析：（1）令事件A “三张卡片之和大于9”，且从5张卡片中任取三张所有结果共十种：（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4，）（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）三张卡片之和大于9的概率（2）令事件B为“两次抽取至少一次抽到数字3”则其对立事件“两次都没抽到数字3”第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片共16种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）两次抽取至少一次抽到数字3的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率2.（本小题满分10分）已知函数的最小正周期为，（1）求函数的表达式并求在区间上的最小值；（2）在中，分别为角所对的边，且，，求角的大小；【答案】（1）-2（2）【解析】（1）本题考察的是求三角函数的解析式，一般采用三角函数中的恒等变换，化简求函数的解析式．可得，利用周期公式可求，由，可求范围，由正弦函数的图像和性质即可求出最小值．（2）本题考察的是解三角形的问题，由已知及正弦定理可解得的值，结合，即可求得角的值．试题解析：（1）函数因为（2）因为，由正弦定理得=又0又因为，所以【考点】（1）三角恒等变化（2）正弦函数的图像（3）正弦定理3.（本小题满分12分）已知关于的不等式（1）若不等式的解集为，求的值．（2）求不等式的解集【答案】（1）（2）①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤当时，原不等式解集为【解析】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知的两根为，且，根据根与系数的关系，即可求出的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为，然后通过对参数进行分类讨论，即可求出不等式的解集．试题解析：（1）将代入则…………1分不等式为即不等式解集为或（2）不等式为，即当时，原不等式解集为当时，方程的根为，①当时，，或②当时，，③当时，，④当时，，综上所述，原不等式解集为①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤当时，原不等式解集为【考点】一元二次不等式的解法4.（本小题满分l2分）已知数列{}的前项和为，且满足．数列{}满足，且，{}前项和为．（1）求数列{}、{}的通项公式;（2）设，求数列的前项和，并证明．【答案】（1），（2）【解析】（1）本题考察的是数列的通项，由且当时，，即可得的通项公式；由等差数列的求和公式，可得公差，进而得到的通项公式．（2）本题察的是求数列的前项和，由（1）把的通项公式代入的式子，得到，运用裂项相消法求和，，化简即可得到前项和，再由单调性即可证明．试题解析：（1）因为①∴②∴①-②得且当时，∴由已知∴数列为等差数列，令其公差为又∴∴∴（2）∴∴……函数为的单调递减函数（另：因为，∴单调递增）∴为单调递增，∴【考点】（1）数列的通项公式（2）数列求和5.（本小题满分14分）已知数列满足且，且，设，数列满足．（1）求证是等比数列并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）对于任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）本题考察的是等比数列的证明，一般采用定义法或者等比中项法，本题中根据题目所给条件得到，即可证明是等比数列．然后求出新数列的通项公式，从而求出数列的通项公式．（2）本题考察的是求数列的前项和，根据（1）求出的数列的通项公式，求出，继而求出的通项公式，然后通过错位相减法求出的前项和．（3）本题考察的是不等式恒成立问题，根据的单调性，求出的最大值，然后由含参一元二次不等式恒成立，然后根据一元二次不等式在定区间恒成立，从而求出参数的取值范围．试题解析：（1）因为∴，∴是等比数列，其中首项是，公比为∴，（2）由（1）知，，两式相减得（3）…10分∴当时，当∴当或时，取最大值是只须即对于任意恒成立即【考点】（1）等比数列的通项公式（2）求数列的前项和（3）不等式恒成立问题。
天津高一高中数学期末考试带答案解析
天津高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．2.已知，则的值为（）A．B．C．D．3.非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．4.函数的零点所在的大致区间是 ( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5.把函数的图象向右平移（其中）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．6.已知偶函数在区间上单调递减，则不等式的解集是（）A．B．C．D．7.函数的大致图象是（）8.函数若是方程三个不同的根，则的范围是（）A．B．C．D．二、填空题1. .2.已知,，那么= .3.函数，的图象如图所示，则= .4.函数的单调递增区间为 .5.边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，，，则＝ .6.已知是奇函数，满足，，则= .三、解答题1.已知，是第二象限角，求:（1）的值；（2）的值．2.设函数f (x)＝cos(2x＋)＋sin2x＋2a（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，的最小值为0，求的最大值．3.已知 (a>0)是定义在R上的偶函数，（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数在的单调性；（3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.4.已知函数，其中向量，，，且的最小正周期为．（1）求的值；（2）求的最小值，并求出相应的的取值集合；（3）将的图象向左平移个单位，所得图象关于点对称，求的最小正值.5.已知函数，其中（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由天津高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.故选D.【考点】集合的交集运算.2.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，.故选C.【考点】三角函数的基本公式.3.非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，.故选C.【考点】向量垂直的充要条件；向量的夹角.4.函数的零点所在的大致区间是 ( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【答案】B【解析】∵，而，∴函数的零点所在区间是（1，2），故选B．【考点】函数的零点的判定定理.5.把函数的图象向右平移（其中）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】方法一：函数的图象向右平移（其中）个单位，得到的函数为，则，得，即，有最小值，解得.方法二：函数的图象的对称轴为，即；图象向右平移（其中）个单位，得到的函数为，即，当时，有最小值.故选B.【考点】函数的图象与性质.6.已知偶函数在区间上单调递减，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由偶函数在区间上单调递减，得在区间上单调递增，，所以或，解得.故选A.【考点】函数的奇偶性和单调性.7.函数的大致图象是（）【答案】B【解析】由题意知：，即，所以函数的定义域为；又，所以函数在其定义域上为偶函数；且当时，单调递增，则当时，函数单调递减.故选B.【考点】函数的定义域；函数的奇偶性和单调性.8.函数若是方程三个不同的根，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数图像（略），方程有三个互不相等的实根等价于函数与直线图像有三个交点，由图像易知.当方程存在三个不等的实根时，其中有两根在区间内，关于对称；一个根在区间内，故的取值范围是，故选B.【考点】分段函数的概念；指数函数、正弦函数的图象；数形结合思想；函数方程的概念.二、填空题1. .【答案】.【解析】.【考点】余弦函数的基本公式.2.已知,，那么= .【答案】.【解析】【考点】两角差的正切公式.3.函数，的图象如图所示，则= .【答案】.【解析】由图像知：，则；,则；,则；所以.【考点】函数的图象与性质.4.函数的单调递增区间为 .【答案】.【解析】由对数函数的图像和性质得：，则；又，所以函数在其定义域上为偶函数；且当时，单调递增，则当时，函数单调递减；所以函数的单调递增区间为.【考点】对数函数的图像和性质.5.边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，，，则＝ .【答案】.【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系∵菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，∴，即,,∵,∴M为CD的中点，得,又∵，∴,∴.【考点】向量的数量积坐标运算和向量在平面几何中的应用.6.已知是奇函数，满足，，则= .【答案】-2.【解析】由，得，因此f(x)是以4为周期的函数；又f(x)是定义域为R的奇函数，得，；则，，所以.【考点】函数的奇偶性和周期性.三、解答题1.已知，是第二象限角，求:（1）的值；（2）的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系式直接求解，注意在各个象限内的符号；（2）由同角三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式求解.试题解析：（1）解：∵，且是第二象限角，∴ ,（2），,=【考点】同角三角函数的基本关系式；两角差的余弦公式.2.设函数f (x)＝cos(2x＋)＋sin2x＋2a（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，的最小值为0，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用两角和的正弦和余弦将函数化简为，由正弦函数的递增区间为，列出关于x的不等式，求得不等式的解集即可得到函数的递增区间；（2）由x得范围求出函数中角的范围，利用正弦函数的图像和性质得到函数最小值的方程，解得参数a的值，再求得函数的最大值.试题解析：解：（1）．由，得所以的单调递增区间为．（2）由，得，故．由的最小值为0，得解得．的最大值为.【考点】两角和的正弦和余弦；函数的图象与性质.3.已知(a>0)是定义在R 上的偶函数， （1）求实数a 的值； （2）判断并证明函数在的单调性； （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数在上是单调递增的；（3）.【解析】（1）由函数为偶函数，得，代入函数表达式，化简求得，由，得；（2）用定义证明函数在上单调递增的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）将不等式转化为在上恒成立，即，只需求得函数的最小值，代入不等式即可求得m 的范围.试题解析：解析：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x) 即＝ ∴e x －e －x ＝0，∴ (e x －e －x )＝0， ∴a －＝0，即a ＝±1.而a ＞0，∴，∴f(x)＝e x ＋e －x .（2）函数在上是单调递增的.证明：任取且x 1＜x 2，∴f(x)在上是增函数．（3）由题意，在上恒成立，则只需∵f(x)为偶函数，且f(x)在上是增函数∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)的最小值为则有 ，因此.【考点】函数的单调性、最值；函数的奇偶性和周期性.4.已知函数，其中向量，，，且的最小正周期为．（1）求的值；（2）求的最小值，并求出相应的的取值集合；（3）将的图象向左平移个单位，所得图象关于点对称，求的最小正值.【答案】（1）；（2）最小值为-2，的取值集合为；（3）.【解析】（1）将向量，，，代入函数，利用三角函数的基本关系式化简得到，由的最小正周期为，得；（2）由函数的图象与性质，得函数的最小值和相应的x的取值范围；（3）函数的图象向左平移个单位，得；由图象关于点对称，得，解得，则得最小值.试题解析：（1）由已知得，因为最小正周期为,所以（2）因为，所以最小值为-2，此时满足则因此的取值集合为（3），由题意得，，所以得最小值.【考点】向量的数量积；三角函数的基本关系式；函数的图象与性质；函数的最值；函数图像的平移.5.已知函数，其中（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由【答案】（1）奇函数；（2）在上的减函数；（3）存在这样的k其范围为.【解析】（1）已知函数的定义域关于原点对称，再证明，所以函数是奇函数；（2）用定义证明函数在上单调递减的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）由（1）（2）得，不等式可变形为，从而得到不等式组，解得.试题解析：（1）∴是奇函数．（2）任取∴在上的减函数；（3）是上的减函数对恒成立由对恒成立得：对恒成立令由得：由得：即综上所得：所以存在这样的k其范围为【考点】函数的奇偶性、单调性和最值.。
2022-2023学年天津市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3B．4C．5D．6解：该校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，则应在高三年级招募的志愿者数目为12×5102040=3．故选：A．2．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34B．35C．36D．37解：0.85×8＝6.8，则一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为：37．故选：D．3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γD．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ解：对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足α⊥β，γ⊥β，但α与γ相交，故C 错误；对于D ，因为α∩β＝m ，m ⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D 正确． 故选：D ．4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A 与事件B 互斥却不互为对立（ ）A ．事件A ：3个球中至少有1个红球；事件B ：3个球中至少有1个白球 B ．事件A ：3个球中恰有1个红球；事件B ：3个球中恰有1个白球C ．事件A ：3个球中至多有2个红球；事件B ：3个球中至少有2个白球D ．事件A ：3个球中至多有1个红球；事件B ：3个球中至多有1个白球解：对于A ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A 与事件B 互斥却不互为对立，故B 正确；对于C ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故C 错误；对于D ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A 与事件B 是互斥事件也是对立事件，故D 错误． 故选：B ．5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A ．1720B ．3140C ．3740D ．1920解：由题意，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中不能成功包制一个粽子的概率分别为12，14，35．则没有一人成功的概率为12×14×35=340，∴至少一人成功的概率为1−340=3740． 故选：C ．6．如图，A ，B 是以CD 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，则DM →=（ ）A ．13DC →+12DN →B ．12DC →+23DN →C ．12DC →+13DN →D ．23DC →+12DN →解：由圆的几何性质知，2AB ＝CD 且AB ∥CD ，因为AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，所以DM →=12(DC →+DA →)=12DC →+12(DN →+NA →)=12DC →+12DN →+12×23BA →=12DC →+12DN →+13BA →=12DC →+12DN →+13×12DC →=23DC →+12DN →． 故选：D ．7．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在棱A 1B 1（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面AA 1D 1D 内不存在直线与DE 垂直； ②平面A 1DE 与平面ABCD 所成的锐二面角为π4；③当点E 运动到棱A 1B 1的中点时，线段A 1C 上存在点P ，使得BC ∥平面AEP ； ④设点P 为线段A 1C 的中点，则三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：对①，如图，易知DE 在平面AA 1D 1D 内的射影为A 1D ，而AD1⊥A1D，∴根据三垂线定理可知AD1⊥DE，∴①错误；对②，如图，由正方体的性质易知：平面A1DE即为对角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角即为∠B1CB=π4，∴②正确；对③，如图，当点E运动到棱A1B1的中点时，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，∴在A1C上取靠近A1的三等分点P，连接FP，则FP∥BC，连接PE，P A，又BC⊄平面AEP，FP⊂平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正确；对④，如图，当点P为线段A1C的中点时，由正方体的性质易知：平面PBC 1即为对角面ABC 1D 1， 又易知A 1B 1∥对角面ABC 1D 1，∴E 到平面ABC 1D 1的距离为定值，又三角形PBC 1的面积也为定值， ∴三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值，∴④正确． 故②③④为真命题，共计3个． 故选：C ．8．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A 处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B 处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C 处）的距离，她在点A 处利用测角仪器测得点B 的俯角为5°，点C 的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D 处，测得点A ，B ，C 的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC ＝（ ）A ．50(√3+1)米B ．50(√3−1)米C ．50(√6+√2)米D ．50(√6−√2)米解：由题意知，AD ＝100，∠BAC ＝45°，∠BAD ＝75°，∠ADC ＝45°，∠BDC ＝30°， 在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC +∠BDC ＝75°，∠ABD ＝180°﹣（∠BAD +∠ADB ）＝30°， 由正弦定理知，AB sin∠ADB=AD sin∠ABD，所以AB =100⋅sin75°sin30°=100sin(45°+30°)sin30°=100⋅√22⋅(√32+12)12=50√2（√3+1），在△ACD 中，∠ACD ＝180°﹣（∠BAC +∠BAD +∠ADC ）＝15°， 由正弦定理知，AC sin∠ADC=AD sin∠ACD，所以AC =100sin45°sin15°=100sin45°sin(45°−30°)=100⋅√22√22(√32−12)=100（√3+1），在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos ∠BAC ＝5000（√3+1）2， 所以BC ＝50√2（√3+1）＝50（√6+√2）米． 故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．i 为虚数单位，若复数z =2i+1i−2，则|z |＝ 1 ． 解：z =2i+1i−2， 则|z |=|1+2i −2+i |=|1+2i||−2+i|=√22√(−2)+1=1．故答案为：1．10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，则直线AB 与平面BCD 所成角的余弦值为 √33．解：如图所示：在正四面体ABCD 中，点A 在等边△BCD 的投影为△BCD 的中心O ， 则AB 与平面BCD 所成角为∠ABO ， 因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以BE =√32，BO =23⋅BE =√33， 所以cos ∠ABO =BOAB =√33．故答案为：√33．11．已知向量a →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4），则|a →−b →|的最小值为 √5 ．解：向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4）， 则b →∥c →，可设b →=λc →=（2λ，4λ），a →=（4，3），则a →−b →=(4−2λ，3−4λ)，故|a →−b →|2=（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5， 当λ＝1时，|a →−b →|的最小值为√5． 故答案为：√5．12．在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为310．解：记2袋已经过了保质期的牛奶为A ，B ，3袋未过保质期的牛奶为a ，b ，c ，从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况， 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab ，ac ，bc ，共3种情况， 所以所求概率为310．故答案为：310．13．设三角形ABC 是等边三角形，它所在平面内一点M 满足AM →=13AB →+23AC →，则向量AM →与BC →夹角的余弦值为 √714．解：设△ABC 边长为1，AM →=13AB →+23AC →，则|AM →|2＝（13AB →+23AC →）2=19AB →2+49AB →⋅AC →+49AC →2=19+49×1×1×cos60°+49=79， 所以|AM →|=√73，因为AM →⋅BC →=(13AB →+23AC →)(AC →−AB →)=−13AB →2+23AC →2−13AB →⋅AC →=−13+23−13×1×1×cos60°=16，设向量AM →与BC →夹角为θ， 则cos θ=AM →⋅BC →|AM →||BC →|=16√73=√714．故答案为：√714． 14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S 1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S 2，该雕塑外接球表面积为S 3，则S 1＝1189，S 2：S 3＝ 1：6 ．解：由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，所以S 1=13×2×16+2×1×1+8×12×13×13=1189； 该雕塑内可容纳最大球的半径为12，表面积为S 2=4π×(12)2=π，该雕塑外接球的半径为√12+(22)2=√62，表面积为S 3=4π×(√62)2=6π，所以S 2：S 3＝1：6． 故答案为：1189，1：6．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生： （i ）写出该试验的样本空间：（ii ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×（0.005+0.01+0.02+a +0.025+0.01）＝1， 解得a ＝0.03；（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85， 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544；（Ⅲ）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40，50）分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90，100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4， （i ）从这6名学生中随机抽取2人样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）}；（ii ）如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大10的取法有（A 1，A 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4），共7种取法， 所以所求概率为P =715． 16．（15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cosA=b+c cosB+cosc．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）已知a ＝3， （i ）若△ABC 的面积为√32，求△ABC 的周长： （ii ）求△ABC 周长的取值范围．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：sinAcosA =sinB+sinCcosB+cosC，整理可得：sin A cos B﹣cos A sin B＝sin C cos A﹣cos C sin A，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A=π3；（Ⅱ）（i）因为S△ABC=12bc sin A=12bc•√32=√32，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c=√15，所以三角形的周长为a+b+c＝3+√15；（ii）a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3•（b+c2）2，当且仅当b＝c时取等号，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周长为a+b+c∈（6，9]．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，过A1作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C1D1的中点．（Ⅰ）证明D，M，B1，N四点共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）证明直线A1C与平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大小．（Ⅰ）证明：取A1B1的中点E，连接EM，ED1，因为点M，N分别为棱AB和C1D1的中点，所以D1N∥B1E，D1N＝B1E，DD1∥EM，DD1＝EM，所以四边形B1ED1N和四边形DD1EM是平行四边形，第11页（共11页） 所以B 1N ∥D 1E ∥DM ，所以D ，M ，B 1，N 四点共面，因为D 1N ∥AM ，D 1N ＝AM ，所以四边形D 1AMN 是平行四边形，所以AD 1∥MN ，又AD 1⊄平面DMB 1N ，MN ⊂平面DMB 1N ，所以AD 1∥平面DMB 1N ．（Ⅱ）证明：因为过A 1作底面的垂线，垂足在线段AC 上，且垂线在平面ACC 1A 1上， 所以平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，所以A 1C 在底面ABCD 上的投影为AC ，假设直线A 1C 与平面DMB 1N 垂直，因为DM ⊂平面DMB 1N ，所以A 1C ⊥DM ，所以AC ⊥DM ，因为底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ，所以四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，所以点M 与点B 重合，这与题意相矛盾，故假设不成立，即直线A 1C 与平面DMB 1N 不垂直．（Ⅲ）解：若AC 1⊥平面A 1BD ，因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以AC 1⊥A 1D ，因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→，A 1D →=AD →−AA 1→，所以AC 1→•A 1D →=（AB →+AD →+AA 1→）•（AD →−AA 1→）=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→−AA 1→2=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→=|AB →|2cos60°−|AB →|2cos ∠BAA 1＝0，所以cos ∠BAA 1=12，又∠BAA 1∈（0°，90°），所以∠BAA 1＝60°．。
天津五区县高一数学下学期期末考试试题(扫描版)
天津五区县2013-2014学年高一数学下学期期末考试试题（扫描版）天津市五区县2013～2014学年度第二学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题1. C2. A3. D4. B5. B6. C7. D8. A9. D 10. C二．填空题11. 70 12. 0.5 13. 0或3 14. 2.35.6ˆ+=x y 15. 7411- 三.解答题16.（Ⅰ）根据正弦定理得，B bC c sin sin =， ………2分 ∵B C sin 2sin =，∴b c 2=， ………4分 ∵2=c ，∴1=b ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），根据余弦定理有432cos 222=-+=ab c b a C ， ………8分 ∴47)43(1sin 2=-=C ………10分 ∴ABC ∆的面积为47sin 21==C ab S . ………12分 17.（Ⅰ） ∵ 红球和黑球在总数中所占比例为4311212=+++，………1分 样本中所有球的总数8436==N . ………2分 ∴ 红球的个数为4842=⨯………3分 白球的个数为2841=⨯，………4分 黑球的个数为2841=⨯.………5分 （Ⅱ）记“2个球1红1白”为事件A ，“2个球1红1黑” 为事件B ，“ 2个球都是红球” 为事件C ，“ 2个球1白1黑” 为事件D则A 中的基本事件个数为8，B 中的基本事件个数为8，C 中的基本事件个数为6,D 中的基本事件个数为4,全部基本事件的总数为28. ………8分（i ） 方法一：含有红球的概率为1411286288288)()()(1=++=++=C P B P A P P ………10分 方法二：“2个都是白球”， “2个都是黑球”的基本事件个数都为1，1411)281281284(11=++-=P （ii ）恰有1个黑球的概率73284288)()(2=+=+=D P B P P ………12分 18. （Ⅰ）)67(442--=∆a a ………1分令0>∆，则0672>+-a a ， ………2分解得6>a ，或1<a . ………4分 （Ⅱ）114)1(14)(+-+-=-+=a a a a a f ………5分 由（Ⅰ）知①当6>a 时，51>-a ， ……… 6分 5114)1(2114)1()(=+-⨯-≥+-+-=a a a a a f 当141-=-a a 时，3=a ，此时等号不成立， ∴534)6()(=>f a f . ……… 7分 ②当1<a 时，01<-a ，即01>-a1]14)1[(114)1()(+-+--=+-+-=a a a a a f ，………9分 而414)1(214)1(=-⨯-≥-+-aa a a ， ∴314)(-=+-≤a f ，，当且仅当a a -=-141，即1-=a 时取等号. ……11分 综上，函数14)(-+=a a a f 的值域为(]3,),534(-∞-⋃+∞.………12分19. （Ⅰ）分（Ⅱ）81.5 ………5分（Ⅲ）（i ）所有可能的结果为：},,{},,{},,{},,{},,{},,{106961421029262A A A A A A A A A A A A},{},,{},,{},,{1410149109146A A A A A A A A ………9分（ii ）设“这2人均来自同一个组”为事件A ，所有可能的结果有10种，2人均来自同一个组的结果有4种.………10分所以， 这2人均来自同一个组的概率为52104)(==A P .………12分 20.（Ⅰ）当2≥n 时，n S S a n n n 21=-=- ………2分当1=n 时，2121=⨯=a又21111=+==S a ………3分 ∴n a n 2= ………4分（Ⅱ）证明：nn n n n n n n n n n b b b b b b b b b c c 2244221111121---=--=+++++++ 224211=--=++nn n n b b b b 1232121=-=-=b b c∴数列}{n c 为以1为首项，2为公比的等比数列.………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得11221--=⨯=n n n c ………9分∴ n n n n n n c a 2221⨯=⨯=- ………10分∴ n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ①143222)1(2322212+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ② ①-②得11111322)1(2222221)21(222222+++++---=⋅-+-=⋅---=⋅-++++=-n n n n n n n n n n n n T ∴22)1(1+-=+n n n T . ……12分。
天津市高一下学期期末数学试卷
天津市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x，g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数g（x）的图象，则m的值可以是（）A . πB . πC .D .2. （2分）运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A . -2B . 3C . 4D . 83. （2分）在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为（）A . 40B . 0.2C . 50D . 0.254. （2分） (2018高二上·云南期中) 把化为二进制数为（）A .B .C .D .5. （2分）某数学兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学参加数学竞赛，那么对立的两个事件是（）A . 恰有1名男生与恰有2名女生B . 至少有1名男生与全是男生C . 至少有1名男生与至少有1名女生D . 至少有1名男生与全是女生6. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 如图为某班名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（）A . 球以下（含球）的人数B . 球以下（含球）的人数C . 球以下（含球）的人数D . 球以下（含球）的人数7. （2分）“”是“”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分又非必要条件8. （2分）(2017·莆田模拟) 函数f（x）=cos（ωx+ ）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1， ]，则ω的取值范围是（）A . [ ， ]B . [ ， ]C . [ ，+∞）D . [ ， ]9. （2分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则=（）C . 6D . 810. （2分）(2017·枣庄模拟) 若函数y=f（x）的图象上存在不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”）．已知函数f（x）=则此函数的“和谐点对”有（）A . 0对B . 1对C . 2对D . 4对11. （2分） (2016高一下·兰陵期中) 已知函数f（x）= sin（2x﹣），当x∈[0， ]时，f（x）的最大值、最小值分别为（）A . 、﹣B . 1、﹣C . 1、﹣D . 、12. （2分）已知向量 =（cosα﹣2）， =（sinα，1），且，则tan（）=（）A .B . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）非零向量，则的夹角为________．14. （1分） (2016高二下·银川期中) 在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．15. （1分） (2017高二下·高青开学考) 观察下面的数阵，第20行最左边的数是________．16. （1分）(2018·山东模拟) 已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则△ABC和△AMN的面积之比为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2016·山东文) 设f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．18. （10分）(2017·河南模拟) 某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．付款方式分3期分6期分9期分12期频数20 20 a b（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．19. （10分） (2016高一下·随州期末) 已知 =（ sinx，2）， =（2cosx，cos2x），函数f（x）=，（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求边c．20. （5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求cos（•）的值；（3）求证A1B⊥C1M．21. （10分） (2016高一下·邵东期中) 解答（1）已知函数，求函数在区间[﹣2π，2π]上的单调增区间；（2）计算：．22. （5分）函数图象的一个最高点值为，且相邻两条对称轴之间的距离为（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α∈（0，π），则，求α的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
最新版天津市五区县高一下学期期末数学试卷 Word版(含解析)
2015-2016学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（）A．5，150 B．15，450 C．450，15 D．15，1502．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A．B．C．D．3．某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S的值是（）A．60 B．61 C．62 D．634．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．95．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为=﹣2.35x+147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B．143 C．152 D．1566．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（）A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.967．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.0168．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．9．方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4] 10．等差数列{a n}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题本大题5小题，每小题4分，共20分11．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于．12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取人．14．已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为．15．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是．三、解答题本大题共5小题，每小题10分，共50分16．某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：如果y与x之间具有线性相关关系．（1）作出这些数据的散点图；（2）求这些数据的线性回归方程；（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积．19．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．[附加题]21．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足3a n﹣2S n﹣1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求f（n）=（n∈N+）的最大值．2015-2016学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（）A．5，150 B．15，450 C．450，15 D．15，150【考点】最大公因数；最小公倍数．【分析】利用辗转相除法即可求出两数的最大公约数，进而即可得出其最小公倍数．【解答】解：①∵150=45×3+15，45=15×3，∴45和150的最大公约数是15；②∵45=15×3，150=15×10，∴45和150的最小公倍数是15×3×10=450．综上可知：45和150的最大公约数和最小公倍数分别是15，450．故选B．2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有=6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．因此甲站在中间的概率P=．故选C．3．某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S的值是（）A．60 B．61 C．62 D．63【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=63时满足条件S ≥33，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，n=1S=3，不满足条件S≥33，执行循环体，n=2，S=7不满足条件S≥33，执行循环体，n=3，S=15不满足条件S≥33，执行循环体，n=4，S=31不满足条件S≥33，执行循环体，n=5，S=63满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63．故选：D．4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．9【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线z=x+2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+2y可得y=则为直线y=在y轴上的截距，截距越小，z越小做直线L：x+2y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小由可得B（1，1），此时z=3故选B5．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为=﹣2.35x+147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B．143 C．152 D．156【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程为=﹣2.35x+147.77，要求我们预报当某天气温﹣2℃时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数，只要代入x的值，做出y即可．【解答】解：∵一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程=﹣2.35x+147.77．∴某天气温为2℃时，即x=2，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y=﹣2.35×2+147.77≈143故选：B．6．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（）A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知本产品只有正品和次品两种情况，得到抽查得到正品和抽查得到次品是对立事件，可知抽查得到次品的概率是0.03+0.01，根据互斥事件的概率得到结果．【解答】解：∵抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的，抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04∴抽查一次抽得正品的概率是1﹣0.04=0.96故选D．7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，利用平均数、方差公式直接计算即可．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，其平均值为（9.4+9.4+9.6+9.4+9.7）=9.5，方差为 [（9.4﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.6﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2]=0.016，故选D．8．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C9．方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4]【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则其相应的函数f（x）=x2+（m﹣2）x+5﹣m与x轴的两个交点都在直线x=2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于2，f（2）＞0，且△≥0，解此三式组成的方程组即可求出参数m的范围．【解答】解：令f（x）=x2+（m﹣2）x+5﹣m，其对称轴方程为x=由已知方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，故有即解得﹣5＜m≤﹣4m的取值范围是（﹣5，﹣4]故应选A．10．等差数列{a n}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d．由已知可得：a1+a3+…+a2n﹣1+a2n+1=132，a2+a4+…+a2n=120，相交可得：nd﹣a2n+1=﹣12，即a n+1=12．又=（n+1）a n+1=132，代入解出即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a3+…+a2n﹣1+a2n+1=132，a2+a4+…+a2n=120，∴nd﹣a2n+1=﹣12，∴﹣a1﹣nd=﹣12，∴a n+1=12．又=（n+1）a n+1=132，∴n+1=11，解得n=10．故选：B二、填空题本大题5小题，每小题4分，共20分11．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，∴要求的概率是P=，故答案为：．12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取96人．【考点】分层抽样方法．【分析】根据一般员工所占的比例为80%，用样本容量乘以此比例的值，由此求得结果．【解答】解：由题意知：一般员工占的比例为80%，样本容量为200，∴一般员工应抽取的人数为120×80%=96，故答案是：96．14．已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为（﹣1，﹣）．【考点】函数的值．【分析】函数f（x）=ax+2a+1在x∈[﹣1，1]内是单调函数，从而f（﹣1）f（1）＜0，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的函数值有正有负，∴，或，解得﹣1＜a＜﹣，∴实数a的取值范围是（﹣1，﹣）．故答案为：（﹣1，﹣）．15．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是9．【考点】正弦定理．【分析】由B与C的度数求出A的度数，确定出sinA的值，再由sinB以及a的值，利用正弦定理求出b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：∵在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，即A=30°，∴由正弦定理=得：b==6，则S△ABC=absinC=9．故答案为：9．三、解答题本大题共5小题，每小题10分，共50分16．某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：如果y与x之间具有线性相关关系．（1）作出这些数据的散点图；（2）求这些数据的线性回归方程；（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．【考点】回归分析的初步应用．【分析】（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，（2）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）把所给的广告费支出为9百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差．【解答】解：（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图（2）==5，==50，yi=1390，=145，=7，=15，∴线性回归方程为=7x+15．（3）当x=9时，=78．即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）先根据余弦函数的二倍角公式化简求出cosA的值，再由三角形内角的范围可求出角A的值．（2）先由余弦定理求出bc的值，再代入三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）由2，得1+cosA+cosA=0，即cosA=﹣，∵A为△ABC的内角，∴A=，（2）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA∴a2=（b+c）2﹣bc即12=42﹣bc∴bc=4∴．19．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）先设出等差数列{a n}的公差为d，然后由等差数列的通项公式及题意列出方程，求出首项a1和公差d，进而求出数列{a n}的通项公式；（2）将（1）中所求的{a n}的通项公式代入，即可求出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法求出其前n项和S n即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由a n=a1+（n﹣1）d得：解得，所以{a n}的通项公式为，（2）因为，所以．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．[附加题]21．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足3a n﹣2S n﹣1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求f（n）=（n∈N+）的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由3a n﹣2S n﹣1=0，①则3a n+1﹣2S n+1﹣1=0，②然后②﹣①得a n+1=3a n，求出数列{a n}是公比为3的等比数列，进一步求出首项，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由①知，2S n=3a n﹣1，求出b n=3n，再求出T n，然后由基本不等式即可求出f（n）的最大值．【解答】解：（1）由3a n﹣2S n﹣1=0，①则3a n+1﹣2S n+1﹣1=0，②②﹣①得a n+1=3a n，∴数列{a n}是公比为3的等比数列．由3a1﹣2S1﹣1=0，得a1=1，∴；（2）由①知，2S n=3a n﹣1，∴b n==3n．．=．当且仅当，即n=4时，等号成立．∴f（n）的最大值为．2016年8月2日。
天津市部分区2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
天津市部分区2021~2021度第二学期期末考试高一数学一、选择题1.下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C 【解析】 【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A 选项错误. 对于B 选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B 选项错误.对于C 选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C 选项正确.对于D 选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误. 故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题. 2.复数42z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求得z 对应的坐标，由此得出正确选项.【详解】复数42z i =-对应的坐标为()4,2-，在第四象限. 故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3.用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD 的直观图时，以射线AB ，AD 分别为x 轴、y 轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图A B C D''''，则该直观图的面积为（）B.2C.2D.2【答案】A【解析】【分析】根据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的面积.【详解】设原图的面积为S，直观图的面积为'S，则''4S S S=⇒=.正方形ABCD的面积为224S=⨯=，所以其直观图的面积为'4S===故选：A【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题.4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（）A.45B.35C.25D.15【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】依题意，这2个球中红球和白球各有1个概率为11322563105C CC==.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5.已知5a=，4b=，且10a b⋅=-，则向量a与b的夹角为（）A.6πB.3πC.23πD.56π【答案】C【解析】【分析】利用向量夹角公式求得向量a 与b 的夹角的余弦值，由此求得向量a 与b 的夹角. 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，则101cos 542a b a bθ⋅-===-⨯⋅，由于[]0,θπ∈，所以23πθ=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，属于基础题.6.在ABC中，已知AC =3AB =，30A =︒，则BC =（ ）A. 4B. 2C. 3【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得BC 的值. 【详解】依题意BC==故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题. 7.已知向量()1,2a=-，则与a平行的单位向量的坐标为（ ）A.⎛⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭或⎝⎭C. ⎝⎭D. ⎝⎭或⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由单位向量的定义，计算a a±，即得．【详解】由已知21(a =+=，所以与a平行的单位向量为aa=或5(,55a a-=-． 故选：D ．【点睛】本题考查单位向量的概念，解题时要注意与与a 平行的单位向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向．8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） （注：一组数据12,,...,n x x x 的平均数为x ，它的方差为()()()2222121...n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦） A. 平均数为2，方差为2.4 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为3，方差为2.8【答案】A 【解析】 【分析】假设出现6点，根据均值估计方差的大小，错误的可举反例说明． 【详解】若平均数2，若出现6点，则方差221(62) 3.25s >-=，不可能是2.4，因此A 中一定不会出现6点， 其它选项可各举一反例：如2,2,3,4,6，中位数是3，众数是2；如2,2,2,3,6，平均数为3，中位数为2； 如1,2,3,3,6，中位数为3，方差为2.8． 故选：A ．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握均值，方差，中位数，众数等概念是解题基础．属于基础题．9.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）（注：球的体积343V R π=，其中R 为球的半径）B.3C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的体对角线计算出球的直径，由此得到半径，进而求得球的体积.【详解】=设球的半径为R ，则2R R ==所以球的体积为334433R ππ⨯=⨯=.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.10.已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .向量(),m a b c =+，()3sin cos ,1n C C =+-，若m n ⊥，则A =（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得sin 6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，进而求得A 的大小.【详解】由于m n ⊥，所以0m n ⋅=sin cos 0C a C b c +--=，由正弦定理得sin sin cos sin sin 0A C A C B C +--=，()sin sin cos sin sin 0A C A C A C C +-+-=，sin sin cos sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C +---=sin cos sin sin 0A C A C C --=，由于0C π<<，所以sin 0C >，cos 10A A ，12sin 1sin 662A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于50,666A A ππππ<<-<-<， 所以,663A A πππ-==.故选：B【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式、辅助角公式，属于中档题. 二、填空题11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_______. 【答案】0.56 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】根据相互独立事件概率计算公式可知，两人都中靶的概率为0.70.80.56⨯=. 故答案为：0.56【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题. 12.已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为_______.【解析】 【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面积．【详解】由题意四面体的表面积为2141sin 602S =⨯⨯⨯︒=【点睛】本题考查正四面体的表面积，掌握表面积的概念是解题基础．本题属于基础题．13.已知1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =+，122b e ke =-.若a 与b 是共线向量，则实数k 的值为______. 【答案】4- 【解析】 【分析】根据向量共线定理求解．【详解】∵a 与b 是共线向量，∴存在实数m ，使得b ma =，即121222()e ke m e e +-=，∴22m k m =⎧⎨-=⎩，解得4k =-．故答案为：－4．【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题．14.在正方体1111D ABC A B C D -中，对角线1AC 与底面ABCD 所成角的正弦值为____________. 【答案】33【解析】分析：根据直线和平面所成角的定义即可得到结论． 详解：连结AC ，则AC 是A 1C 在平面ABCD 上射影，则∠A 1CA 即为直线A 1C 与平面ABCD 所成角正弦值， 设正方体的棱长为1， 则，则，点晴：本题需要先找出线面角所成角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可15.已知ABC 中，D 为边BC 上的点，且2BD DC =，若(),AD mAB nAC m n R =+∈，则m n -=______. 【答案】13【解析】 【分析】以,AB AC 为基底表示出AD ，由此求得,m n ，进而求得m n -. 【详解】依题意()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 所以211,,333m n m n ==-=. 故答案为：13【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 三、解答题16.已知i 是虚数单位，131iz i-=+.（Ⅰ）求1z ；（Ⅱ）若复数2z 的虚部为2，且12z z 的虚部为0，求2z .【答案】（Ⅱ）242z i =-+. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出1z 后可求其模.（Ⅱ）设()22z a i a R =+∈，利用复数的乘法计算出12z z 后再根据虚部为0求出a ，从而可得2z .【详解】解：（Ⅰ）()()()()131********i i i iz i i i i -+-+====+--+，所以1z ==，（Ⅱ）设()22z a i a R =+∈，则()()()()1222224z z i a i a a i =++=-++， 因为12z z 的虚部为0，所以，40a +=，即4a =-.所以242z i =-+.【点睛】本题考查复数的乘法和除法，前者运算时注意分子分母同乘以分母的共轭复数，另外，对于含参数的复数问题，我们常通过将复数设成(),a bi a b R +∈的形式将问题转化为实数问题.17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：[)40,50，[)50,60，...，[]90,100后，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.【答案】（Ⅰ）0.03a =；（Ⅱ）210. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出a ． （Ⅱ）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数． 【详解】解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以()100.0050.010.020.0250.011a ⨯+++++=， 解得0.03a =.（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为()100.0250.010.35⨯+=.由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为6000.35210⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．18.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7a =，5b =，8c =. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求角B 的正弦值.【答案】（Ⅰ）3A π=；. 【解析】【分析】 （Ⅰ）用余弦定理计算出cos A 后可得A ；（Ⅱ）用正弦定理计算sin B ．【详解】解：（Ⅰ）由三角形的余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222758258cos A =+-⨯⨯. 所以，1cos 2A =. 因为0a π<<. 所以3A π=. （Ⅱ）由三角形的正弦定理sin sin a b A B=， 得sin sin b A B a=. 527==所以内角B的正弦值为14. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键，本题属于基础题．19.己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件M 发生的概率.【答案】（Ⅰ）3人，2人，1人；（Ⅱ）（i ）{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},D E ，{},D F ，{},E F ；（ⅱ）415【解析】【分析】（Ⅰ）按照分层抽样规则计算可得；（Ⅱ）（i ）将所有可能结果一一列举，做到不重复不遗漏；（ii ）根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的 名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},D E ，{},D F ，{},E F ，共15种.（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是A ，B ，C ，来自乙学校的是D ，E ，来自丙学校的是F ，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，共4种.所以，事件M 发生的概率()415P M =. 【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算，属于基础题.20.如图，在三棱锥P ABC -中，点M ，N 分别是棱AB ，AC 的中点，且PA PC =，PN AB ⊥.（Ⅰ）求证：//MN 平面PBC ；（Ⅱ）求证：PN BC ⊥.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）通过证明//MN BC ，证得//MN 平面PBC .（II ）通过证明PN AC ⊥，结合PN AB ⊥证得PN 平面ABC ，由此证得PN BC ⊥.【详解】（Ⅰ）证明：因为在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC ，所以//MN BC ，又因为MN ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（Ⅱ）因为点N 是AC 的中点，且PA PC =，所以PN AC ⊥，又因为PN AB ⊥，AB 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，ABAC A =， 故PN 平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PN BC ⊥.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.。
2022-2023学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣15．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3 C ．√3π2cm 3 D ．π3cm 37．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√38．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．5129．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ ．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 ． 13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 ．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为 ．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |； （2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x，它的方差为s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2] 18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；（3）求直线BE与平面DCE所成的角的正切值．2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：C ．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形解：根据题意，依次分析选项：对于A ，正方形的直观图可以是平行四边形，A 错误； 对于B ，矩形的直观图可以是平行四边形，B 错误；对于C ，正方形是特殊的菱形，其直观图不是菱形，C 错误； 对于D ，平行四边形的直观图是平行四边形，D 正确． 故选：D ．3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）解：由a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，可得：a →⋅b →=−1×1+1×（﹣2）＝﹣3． 故选：A ．4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ．故选：B ．5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”， 事件A 与B 能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD 均错误； P （A ）＝P （B ）=12，故B 正确；事件A 与事件B 不是同一个事件，故C 错误． 故选：B ．6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3C ．√3π2cm 3D ．π3cm 3解：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为1cm ，半径为12cm ，∴可能制作的最大零件的体积为43π×(12)3=16πcm 3．故选：A ．7．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√3解：因为b ＝2，A ＝45°，C ＝75°， 所以B ＝180°﹣A ﹣C ＝60°，由正弦定理a sinA =bsinB，可得a =b⋅sinA sinB =2×√22√32=2√63．故选：B ．8．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．512解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得， 则所求概率是23（1−34）+34（1−23）=512，故选：D ．9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β B ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β解：对于A ，若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故A 错误． 对于B ，若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误； 对于C ，若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ，若m ∥n ，n ⊥β，由直线与平面垂直的性质可得m ⊥β，故D 正确． 故选：D ．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6解：∵BQ →=BA →+AQ →=(1−λ5)AC →−AB →，CP →=AP →−AC →=λAB →−AC →，AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cosA =2×3×12=3，∴BQ →⋅CP →=[(1−λ5)AC →−AB →]⋅(λAB →−AC →)=λ(1−λ5)AC →⋅AB →−(1−λ5)AC →2−λAB →2+AB →⋅AC → =3λ(1−λ5)−9(1−λ5)−4λ+3 =−35λ2+45λ−6 =−35(λ−23)2−8615，∵P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →， ∴{0≤λ≤10≤1−λ5≤1，∴0≤λ≤1，∴当λ=23时，BQ →⋅CP →有最大值为−8615．故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ 0.8 ．解：∵事件A 与B 互斥，∴P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.5+0.3＝0.8． 故答案为：0.8．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 6 ． 解：∵a →=λb →，∴（4，2）＝（m λ，3λ），∴{mλ=43λ=2，解得{m =6λ=23． 故答案为：6．13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 55 ．解：长度在20mm 以下的频率为5×（0.02+0.04）＝0.3， 所以抽查的产品总数为300.3=100，所以长度在区间[20，30）内的产品个数为5×（0.08+0.03）×100＝55． 故答案为：55．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．解：连接AC ，则A 1C 1∥AC ，连接AE 、EC ，则异面直线A 1C 1与AE 所成的角的平面角为∠EAC ， 设AB ＝t ，又AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点， 则AE ＝AC ＝EC =√2t ， 则△AEC 为等边三角形， 即∠EAC =π3，即直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．故答案为：π3．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 2 ．解：根据题设，建立如图所示坐标系， 则A （0，0），B （0，3），C （√3，0）， 由CM →=2MB →，可得M （√33，2）， ∴AN →=λAC →+AB →=（√3λ，3）， 又AN →⋅AM →=8， 则（√3λ，3）•（√33，2）＝λ+6＝8， 解得λ＝2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |；（2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围． 解：（1）当m ＝1时，z ＝﹣2+2i ， 所以|z|=√(−2)2+22=2√2；（2）若复数是纯虚数，则{m 2−3m =0m 2−5m +6≠0，解得{m =0或m =3m ≠2且m ≠3，所以m ＝0；（3）复数z 在复平面内对应的点位于第二象限 则{m 2−3m ＜0m 2−5m +6＞0；即{0＜m ＜3m ＜2或m ＞3，所以实数m 的取值范围是（0，2）．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，它的方差为s 2=1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2] 解：（1）根据题意，把甲的数据按从小到大排列如下：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10， 则甲的数据里的众数是7，因为85%×10＝8.5，所以第9个数据是第85百分位数，即第85百分位数为9； （2）x 甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7， 则S 2甲=110[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]＝4；x 乙=110(5+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7， 则S 2乙=110[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝1.2； （3）由（2）结论：x 甲=x 乙＝7，但有S 2甲＞S 2乙，即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小故乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．解：（1）因为2a sin B=√3b，由正弦定理可得2sin A sin B=√3sin B，因为sin B≠0，所以sin A=√32，因为△ABC是锐角三角形，所以A=π3；（2）因为a=√7，c＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2ac cos A，整理可得：b2﹣2b﹣3＝0，解得b＝3，所以S△ABC=12bc sin A=12×3×2×√32=3√32．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则P(A)=25，P(B)=35，又事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P（B）=25×35=625；（2）从中摸两个球，所得样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，共包含10个样本点，满足条件y﹣x＞2的样本点有（1，4），（1，5），（2，5）共3个，满足条件y﹣x＞2的事件的概率为310．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；第11页（共11页） （3）求直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值．（1）证明：因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，所以AD ∥平面BCEF ．（2）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以ED ⊥AD ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ，因为ED ⊂平面DEC ，所以平面DCE ⊥平面ABCD ．（3）解：连接BD ，设AB ＝1，因为∠BAD =90°，AB =AD =12BC ，所以BD =√2，∠ADB ＝45°，BC ＝2， 因为AD ∥BC ，所以∠DBC ＝45°，在△BCD 中，由余弦定理得，DC 2＝BD 2+BC 2﹣2BD ×BC ×cos45°＝2+4﹣2×√2×2×√22=2， 所以DC =√2，所以DC 2+BD 2＝BC 2，即BD ⊥DC ，由（2）知ED ⊥平面ABCD ，则BD ⊥ED ，而DE ∩DC ＝D ，所以BD ⊥平面DCE ，所以∠BED 就是直线BE 与平面DCE 所成的角，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD DE =√2，所以直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值为√2．。
天津市五校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题(含答案)
2021～2022学年第二学期期末学习成果认定高一数学一、选择题（本题共8小题，共32分）1.已知复数21(1)i z a a =-++，i 是虚数单位，若z 是纯虚数，则实数a =（ ）A.1或﹣1B.﹣1C.0D.1 2.在△ABC 中，若sin sin cos B A C =，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 3.已知m ，n 表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面，下列说法正确的是（ ）A.若αβ，m β，则m αB.若m α，m β，则αβC.若m α，n α⊥，则m n ⊥D.若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥4.某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.记这组数据的中位数为a ，平均数为b ，众数为c ，则（ ）A.a b c >>B.b c a >>C.c a b >>D.c b a >>5.如图所示，平行四边形如图所示，平行四边形ABCD 中，2BE EC =，点F 为线段AE 的中点，则AC =（ ）A.3142AE BF +B.5142AE BF +C.34AE BF +D.54AE BF + 6.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A.1()4P A = B.事件A 与事件B 互斥C.事件A 与事件B 相互独立D.1()2P A B ⋃= 7.已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A.3B.C.38.已知AB AC ⊥，1||AB t =，||AC t =，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；若P 是△ABC 所在平面内一点，4||||AC AB AP AC AB =+，则PB PC ⋅的最大值为是（ ）A.17B.13C.12D.15 二、填空题（本题共6小题，共24分）9.已知复数13i 1iZ +=+（i 为虚数单位），则|z |=_____________. 10.已知向量(2,1)a =，(3,)b λ=，若ab ‖，则||b =____________. 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[1500，3000]（元）月收入段应抽出________人.12.在正四面体ABCD 中，E 为BC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为___________.13.现对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.6，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.设每台设备是否合格相互独立，则每台设备报废的概率为_______.检测3台设备，则恰有2台合格的概率为________.14.在我国古代的数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，3AC =，鳖臑11A BCC -的体积为2，若2BC =，则阳马111A BCC B -外接球的表面积为________.三、解答题（本大题共5小题，共64分）15.（本题满分12分）已知平面向量已知平面向量,,(1,3)a b a =，||1b =，且a 与b 的夹角为3π. （1）求a b ⋅；（2）求|2|a b - （3）若2a b +与2()a b R λλ+∈垂直，求λ的值.16.（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB ⊥AD ，且1 1 2AB AD CD ===，现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.（1）求证：AM ∥平面BEC ；（2）求证：BC ⊥平面BDE ；（3）求直线BC 与平面ADEF 所成角的正弦值.17.（本题满分13分）某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲、乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）.（1）根据样本数据，求甲、乙两厂产品质量的平均数和中位数；（2）若从甲厂6件样品中随机抽取两件，列举出所有可能的抽取结果；记它们的质量分别是a 克，b 克，求||4a b -<的概率.18.（本题满分13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）若6cos 4A =，求cos(2)A C +的值； （2）若7c =，ABC 的面积为332，求边a ，b 的值. 19.（本题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）求三棱锥A -BDE 的体积；（2）求证：PB ⊥平面EFD ；（3）求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小.2021～22022学年第二学期期末学习成果认定高一数学参考答案1—8：DACCBCAB 535211.70；313.0.2，0.384（第一问2分，第二问3分）；14.17π15.（本小题12分）解：：（1）1||||cos ,2112a b a b a b ⋅=〈〉=⨯⨯=…………3分 （2）222|2|444a b a a b b -=-⋅+= ∴|2|2a b -=…………………………………………7分（3若）若2a b +与2()a b R λλ+∈垂直，则(2)(2)0a b a b λ+⋅+=，………………………………9分即222240a b a b a b λλ++⋅+⋅=，∴8240λλ+++=即1230λ+=，∴4λ=-.………………………………………………12分16.（本小题12分）证明：：（1）取EC 中点N ，连结MN ，BN ，在△EDC 中，M ，N 分别为ED 、EC 的中点，∴MN ∥CD ，且12MN CD =. 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， ∴四边形ABMN 为平行四边形.∴BN ∥AM .又∵BN ⊂平面BEC ，且AM ⊄平面BEC ，∴AM ∥平面BE C.…………………………………………4分（2）在正方形ADEF 中，ED ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，∴ED ⊥平面ABCD ，∴ED BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，1AB AD ==，2CD =，得BC =在△BCD 中，BD BC ==CD =2，222BD BC CD +=， ∴BC BD ⊥.∵ED BD D ⋂=，∴BC ⊥平面BDE .………………………………8分（3）延长CB 与与DA 交于P 点，∵CD DA ⊥，CD DE ⊥，∴CD ⊥面ADEF∴CPD ∠为直线BC 与平面ADEF 所成角，∴sin 2CD CPD CP ∠==………………………………………12分 17.（本小题13分）解：（1）甲厂质量的平均数(108111112114116123)114+++++=，甲的中位数是113，乙厂产品质量的平均数是(108109112114115126)114+++++=，乙的中位数是113.……………………………………………4分（2）从甲厂6件样品中随机抽两件，结果共有15n =个，分别为：{108,111},{108,112},{108,114},{108,116}，{108,123},{111,112},{111,114},{111,116}， {111,123},{112,114},{112,116},{112,123},{114,116}，{114,123},{116,123}……8分设“||4a b -<”为事件为A ，由事件A 共有5个结果：{108,111},{111,112},{111,114},{112,114},{114,116}，………………11分∴||4a b -<的概率1()3P A =.…………………………………………13分 18.（本小题13分）（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==，因为(0,),sin 0C C π∈>，所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=；…………4分由cos 4A =，则sin 4A =，所以sin 22sin cos 2444A A A ==⨯=， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，cos(2)cos 2cos sin 2sin A C A C A c +=-=11142428+-⨯-=-；……9分（2）因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==，所以6ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②，由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =…………13分19.（本小题14分）解：（1）取DC 中点M ，连接EM ，∴EM ∥PD ，又∵2PD =，∴1EM =………………2分∵PD ⊥底面ABCD ，∴EM ⊥底面ABCD ， ∴112221323A BDE E ABD V V --==⨯⨯⨯⨯=；………………4分（2）∵PD ⊥面ABCD ，且BC ⊆面ABCD∴PD ⊥BC ，∵底面ABCD 是正方形，∴DC BC ⊥，∴BC ⊥面PDC∴BC DE ⊥………………6分分∵PD DC =，∴PDC 是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，又DE 是斜边PC 的中线，∴DE PC ⊥，∴DE ⊥面PBC ，∵PB ⊂面PBC∴DE PB ⊥………………8分分∵PB EF ⊥∴PB ⊥面EFD ；………………9分（3）由（2）可知PB ⊥DF ，故∠EFD 是平面是平面CPB 与平面PBD 的夹角，………………10分 ∵2PD DC ==∴DE =，在PBD中，BD =，PB =3DF =，………………12分 在EFD中，sin DE EFD DF ∠===，………………13分 ∴3EFD π∠=，故平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小3π.………………14分。
天津市部分区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 (解析版)
天津市部分区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题（共10题；共40分）1.已知向量a⃗=(2,4)，b⃗⃗=(−1,1)，则2a⃗−b⃗⃗=（）A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)2.已知i为虚数单位，则复数z=i(1+i)在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A. πB. 4π3C. 2πD. 4π4.下列说法中正确的是（）A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 棱柱的各条棱都相等C. 所有几何体的表面都能展成平面图形D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱5.袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为（）A. 110B. 12C. 710D. 356.在△ABC中，已知BC=1,AC=2,∠C=60°则AB等于（）A. 4B. 3C. √3D. √27.某工厂技术人员对三台智能机床的生产数据进行统计，发现甲车床每天生产次品数的平均数为1.4，标准差为1.08；乙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.85；丙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.78．由以上数据可以判断生产性能最好且较稳定的为（）A. 无法判断B. 甲车床C. 乙车床D. 丙车床8.若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A. π6B. 4π3C. √3π2D. 3π9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（）A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nB. 若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//nC. 若m//n，n⊂α，α//β，则m//βD. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β10.已知向量a⃗，b⃗⃗满足| a⃗|＝1，| b⃗⃗|＝2，且a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，则|a⃗−3b⃗⃗|＝（）A. √11B. √37C. 2√10D. √43二、填空题（共5题；共20分）11.已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为________．12.已知向量a⃗,b⃗⃗是两个不共线的向量，且ma⃗−2b⃗⃗与a⃗+(1−m)b⃗⃗共线，则实数m的值为________．13.某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有________人. 14.在 △ABC 中，已知D 是 BC 延长线上一点，满足 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若E 为线段 AD 的中点，且 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数 m = ________ 15.如图所示，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA ⊥ 平面 ABCD ，且 PA =AD =√3,AB =1 ，则异面直线 PB 与 CD 所成角的大小为________；二面角 P −CD −A 的大小为________．三、解答题（共5题；共60分）16.已如i 为虚数单位，复数 z =m(m −1)+(m 2+2m −3)i ． （1）当实数m 取何值时，z 是纯虚数； （2）若 m =2 ，求 |z1+i | 的值．17.某校高一年级共有800名学生参加了数学检测，现随机抽取部分学生的数学成绩并分组如下∶ [90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150] ，得到的频率分布直方图，如图所示．（1）求图中实数a 的值；（2）试根据以上数据，估计该校高一年级学生的数学检测成绩不低于120分的人数． 18.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 a =7,c =8 （1）若 sinC =47 ，求角A 的大小； （2）若 b =5 ，求 △ABC 的面积．19.某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A,B,C三个行政区中分别有18,27,9个社区．（1）求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数；（2）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．①试列出所有可能的抽取结果；②设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2,∠BAD=60∘.（1）求证：AB//平面PCD；（2）求证：直线BD⊥平面PAC;（3）求直线PB与平面PAD所成角的正切值.答案解析部分一、单选题（共10题；共40分）1.已知向量a⃗=(2,4)，b⃗⃗=(−1,1)，则2a⃗−b⃗⃗=（）A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)【答案】A【考点】平面向量的坐标运算【解析】【解答】因为2a⃗=(4,8)，所以2a⃗−b⃗⃗=(4,8)−(−1,1)=（5，7），故答案为：A.【分析】利用已知条件结合数乘向量的坐标表示和两向量减法的坐标运算，从而求出向量2a→−b→的坐标表示。
天津市部分区2023-2024学年高一下学期期末练习数学试题(含答案)
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习高一数学Mike2024.7.8第I 卷（非选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，则复数（ ）A. B. C.D.2.对于两个事件M ，N ，则事件表示的含义是（ ）A.与同时发生B.与不能同时发生C.与有且仅有一个发生D.与至少有一个发生3.如图，是水平放置的的直观图，若，，则的面积是（）B.C.1D.24.已知，，则（ ）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（ ）A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线B.直四棱柱是长方体C.将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形6.某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（ ）A.B.C.D.7.在中，若，，，则（）21i=+1i-1i+11i 22+11i 22-M N M N M N M N M N A B C '''△ABC △12A O ''=1B OC O ''''==ABC △12()1,2a = ()2,1b =-a b += 0a b ⋅= //a b ||||a b > 110310710910ABC △BC =2AC =60A =︒B =A.B.C.或 D.8.已知m ，n 表示两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则9.在四边形中，，，且，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.10.在正方体中，E ，F ，H 分别是，，的中点，给出下列结论：①平面；②平面；③直线EF 与直线所成的角为；④平面与底面所成二面角的大小为.其中正确的结论有（ ）A.①③B.②④C.②③④D.①②④第II 卷（非选择题 共80分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.11.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为__________.12.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为__________.注：一组数据，，…，的平均数为，它的方差为.13.已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________.14.已知正方体的外接球的表面积为，点为棱BC 的中点，则三棱锥的体积为__________.注：球的表面积，其中为球的半径15.在中，，，为CD 上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤π6π4π65π6π3αβ//m α//n α//m n m α⊥m n ⊥//n α//m αm n ⊥n α⊥m α⊥m β⊂αβ⊥ABCD AB DC = AD =||||AB AD AB AD +=- AB CAπ6π32π35π61111ABCD A B C D -AB 1DD 1BC 11//C D ABH AC ⊥BDF 1BC π3ABH ABCD π413141x 2x n x x ()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ a b 2a b - 5a b λ+λ1111ABCD A B C D -36πE 1C AED -24πS R =R ABC △π3BAC ∠=2AD DB =P 3()5AP x AC AB x =+∈ x 3AC =4AB =AP CD ⋅16.（本题满分12分）已知是虚数单位，复数，.（I ）当时，求；（II ）若z 是纯虚数，求的值；（III ）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.17.（本题满分12分）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm ）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品.（1）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（I ）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的編号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.18.（本题满分12分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ..（I ）求角的大小；（II ）若，，求的面积.19.（本题满分12分）高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按，，，，分成5组，并整理得到如下频率分布直方图.（I ）求a 的值和众数；（II ）若成绩在内有30人，现从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？（III ）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由.20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，平面.平面，且，，，为AD 的中点.i ()228(2)i z m m m =+-+-m ∈ 1m =z m z m 1A 2A 8A []1.49,1.51ABC △sin cos 0B b A +=A a =b =ABC △[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100[)50,60[)80,90[]90,100P ABCD -PAB ABCD //AD BC 90ADC ∠=︒112BC CD AD ===E（I ）求证：平面；（II ）求证：平面平面；（III ）若，，求直线PA 与平面所成的角的正弦值.天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习高一年级数学参考答案1.Α2.D3.C4.B5.D6.B7.A 8.D9.C10.B11.12.13.14.15.，16.（I；（II ）；（III ）（I ）解：当时，.所以，.（II ）解：若复数是纯虚数，则解得所以，.（III ）解：复数在复平面内对应的点位于第三象限，则即所以，实数的取值范围是.17.（I ）（II ）（I ）解：由所给数据可知，一等品零件共有5个.设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则.//AB PCE PAB ⊥PBD 2PA =PB =PBD 1125310-11023104-(4,2)-1m =5i z =--||z ==()228(2)iz m m m =+-+-z 2280,20,m m m ⎧+-=⎨-≠⎩24,2,m m m ==-⎧⎨≠⎩或4m =-z 2280,20,m m m ⎧+-<⎨-<⎩42,2.m m -<<⎧⎨<⎩m 42m -<<5825A 5()8P A =所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为.（II ）解：一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种.设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种.所以，.答：从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为.18.（I ）；（II（I.因为，，所以，，.因为，中，，所以，.（II ）解：由及余弦定理.得，解得或（舍）所以，.19.（I ），众数是75；（II ）在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人；（III ）估计该生能得到表彰.（I ）解：由频率分布直方图得：.解得，众数是75.（II ）解：因为，成绩在一组人数为30人，其频率，所以，样本容量为.成绩在和的频数为90，30.581A 2A 3A 4A 5A ()()()()(){()()()1213141521232425,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A Ω=()()()()()()()()()()31323435414243455152,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ()()}5354,,,A A A A B ()()()()()()()(){}1423253541325253,,,,,,,,,,,,,,,B A A A A A A A A A A A A A A A A =82()205P B ==255π6sin sin cos 0A B B A +=(0,π)B ∈sin 0B ≠tan A =ABC △(0,π)A ∈5π6A =a =b =2222cos a bc bc A =+-2340c c +-=1c =4c =-111sin 1222ABC S bc A ==⨯=△0.05a =[80,90)[]90,100()100.20.30.70.60.21a a a a a ⨯++++=0.05a =[50,60)0.20.05100.1⨯⨯=303000.1=[80,90)[]90,100设在和按照分层随机抽样分别抽取人，人，按照分层随机抽样.得，.所以，在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人.（III ）解：成绩低于80分的频率为0.6，成绩低于90分的频率为0.9.由题，表彰成绩排名前的学生，即被表彰的最低成绩为第75百分位数.设第75百分位数为，则在中，，解得.即第75百分位数为.所以，估计该生能得到表彰.20.（I）见解答；（II ）见解答；（III （I ）证明：因为，且，所以，四边形为平行四边形，所以，.因为，平面，平面，所以，平面.（II ）证明：因为，，，，所以，.所以，，即.又因为，平面平面，平面，平面平面，所以，平面.又因为，平面，所以，平面平面.（III ）解：作，垂足为.由（II ）知，平面平面，又平面平面平面，所以，平面.所以，PM 为直线PA 在平面上的射影，所以，为直线AP 与平面所成的角.在中，，，，所以，，即.在中，.[80,90)[]90,100x y121209030x y==9x=3y =[80,90)[]90,10025%t t [80,90)0.6(80)0.030.75t +-⨯=85t =8586<//BC AE BC AE =BCEA //AB EC AB ⊂/PEC EC ⊂PEC //AB PEC //AD BC 90ADC ∠=︒112BC CD AD ===BD AB ==2AD =222AB BD AD +=BD AB ⊥PAB ⊥ABCD BD ⊂ABCD PAB ABCD AB =BD ⊥PAB BD ⊂PBD PAB ⊥PBD AM PB ⊥M PAB ⊥PBD PAB ,PBD PB AM =⊂PAB AM ⊥PBD PBD APM ∠PBD PAB △AB =2PA =PB =222PA AB PB +=PA AB ⊥Rt PAB △PA AB AM PB ⋅===在中，.所以，直线AP 与平面.Rt AMP △sin AM APM AP ∠===PBD。
2021-2022学年天津市南开中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
天津市南开中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（共40分，每小题4分）1．设平面向量(3,5)a =，(2,1)b =-，则a b -等于( ) A ．(5,4) B ．(5,4)-- C ．(1,6) D ．(1,3)〖解 析〗(3,5)a =，(2,1)b =-，∴(5,4)a b -=．〖答 案〗A2．若复数z 满足(12)6z i i ⋅+=，则(z = ) A ．12655i + B ．12655i -C ．12655i -+D ．12655i -- 〖解 析〗(12)6z i i ⋅+=，∴6(12)126(12)(12)55i i z i i i -==++-，∴12655z i =-． 〖答 案〗B3．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数和为6的概率为( ) A ．19B ．536C ．16D ．736〖解 析〗一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6636⨯=种， 而点数和为6的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5种， 则点数和为6的概率为536． 〖答 案〗B4．8位居民的幸福感指为5、7、9、6、10、4、7、6，则这组数据的第80百分位数是() A ．7B ．8C ．9D ．10〖解 析〗8个数据从小到大排序为4，5，6，6，7，7，9，10； 而880% 6.4⨯=，故这组数据的第80百分位数是第7位数9． 〖答 案〗C5．已知m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列正确的是()A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若m α⊥，αβ⊥，则m β⊥C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m α⊥，//αβ，则m β⊥〖解 析〗对于A 、由m n ⊥，//n α，可得//m α或m 与α相交或m α⊂，相交也不一定垂直，故A 错误；对于B 、由m α⊥，αβ⊥，可得//m β或m β⊂，故B 错误； 对于C 、由m n ⊥，n α⊥，可得m α⊂或//m α，故C 错误；对于D 、由m α⊥，//αβ，结合线面垂直的的性质定理，可得m β⊥，故D 正确． 〖答 案〗D6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =，4b =，3C π=，则(c = )ABC D 〖解 析〗因为ABC ∆中，3a =，4b =，3C π=，所以由余弦定理2222212cos 34234132c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c = 〖答 案〗B7．已知向量a ，b ，且||4a =，||3b =，6a b ⋅=-，则向量a 在b 上的投影向量是( ) A ．2-B ．2b -C ．23-D ．23b -〖解 析〗向量a 在b 上的投影向量是262()()93a b b b b b⋅-⋅=⋅=-． 〖答 案〗D8．如图，已知四边形ABCD ，BCD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD ∆为等边三角形，2BD =，将ABD ∆沿对角线BD 翻折到PBD ∆在翻折的过程中，下列结论中不正确的是( )A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD〖解 析〗如图所示，取BD 的中点M ，连接PM ，CM ，BCD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形，BD CM ∴⊥，ABD ∆为等边三角形，BD PM ∴⊥，BD ∴⊥面PMC ，BD PC ∴⊥，故A 正确；对于B ，假设DP BC ⊥，又BC CD ⊥， BC ∴⊥面PCD ，BC PC ∴⊥，又2,1]PB BC PC ==，故DP 与BC 可能垂直，故B 正确； 当面PBD ⊥面BCD 时，此时PM ⊥面BCD ，PDB ∠即为直线DP 与平面BCD 所成角， 此时60PDB ∠=︒，故C 错误；当面PBD ⊥面BCD 时，此时四面体PBCD 的体积最大，此时的体积为：111(332BCD V S PM ∆=⋅=⨯， 故D 正确． 〖答 案〗C9．如图，在ABC ∆中，13AD DC =，P 是线段BD 上一点，若15AP mAB AC =+；则实数m的值为( )A ．13B ．23C ．2D ．15〖解 析〗13AD DC =，15AP mAB AC =+，∴1455AP mAB AC mAB AD =+=+； B ，P ，D 三点共线，415m ∴+=，15m ∴=． 〖答 案〗D10．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，P 为正方体表面上的一个动点，若直线OP 与平面11A B D 、平面1ACD 所成的角都是30︒，则这样的点P 的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．无数个〖解 析〗11AA D D 为正方形，则11AD A D ⊥，又CD ⊥平面11AA D D ，则1AD CD ⊥，1A D CD D =，则1AD ⊥平面11A B CD ，11AD B D ∴⊥， 同理可得：1AC B D ⊥，1ACAD A =，1B D ∴⊥平面1ACD ，如图，取1AD 的中点E ，若平面1ECD （即平面1)ACD 存在点M ，使得OM 与平面11A B D 、平面1ACD 所成的角都是30︒， 连接MG ，过M 作MN CE ⊥，垂足为N ， 连接ON ，则1//MN D E ，设正方体的边长为6，则6OG OMG MON π=∠=∠=，∴3,MO MG NO MN NG ====即在线段CE 作NG 确定点N ，再过点N 作1|MN AD ，且MN =连接OM ，则直线OM 即为满足题意的直线OP 根据对称可知满足条件的直线OP 共有4条，则这些直线与正方体表面的交点共有8个． 〖答 案〗C二、填空题（共24分，每小题4分）11．某中学共有高一学生120人，高二学生150人，高三学生330人申请报名做志愿者．现用分层抽样方法从中抽取高一学生4人，则该中学抽取的志愿者总人数为 人． 〖解 析〗样本中高一学生的比例为12011201503305=++，根据分层抽样的等比例性质知：该中学抽取的志愿者总人数为14205÷=人．〖答 案〗2012．若复数(2)(1)()z m m i m R =-++∈在复平面上对应的点位于第二象限，则m 的取值范围是 ．〖解 析〗(2)(1)z m m i =-++在复平面内对应的点在第二象限，可得2010m m -<⎧⎨+>⎩，解得12m -<<．〖答 案〗(1,2)-13．某次数学考试中20个人的成绩如下：101，103，107，110，112，113，116，123，124，125，125，125，126，128，134，135，137，139，144，148，若这组数据的众数为a ，中位数为b ，极差为c ，则a b c ++= ．〖解 析〗在这组数据中，出现次数最多的是125，则125a =， 最中间两个数为125，125，则1251251252b +==， 最大值为148，最小值为101，则14810147c =-=， 故12512547297a b c ++=++=． 〖答 案〗29714．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为 ．〖解 析〗线路不能正常工作的概率为(P A ，)()()(10.7)(10.7)0.09B P A P B ==--=．∴能够正常工作的概率为10.090.91-=．〖答 案〗0.9115．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 ．〖解 析〗正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外 该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），1EG ∴=，四棱锥M EFGH -是正四棱锥，∴正四棱锥的底正方形EFGH ，高为12， ∴四棱锥M EFGH -的体积为：2111()32212V =⨯⨯=． 〖答 案〗11216．在平面四边形ABCD 中，22AB BC CD ===，60ABC ∠=︒，90ADC ∠=︒，若BE EF FG GC ===，则2AE DC AE AF ⋅+⋅=132；若P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，则cos PDC ∠的值为 ．〖解 析〗平面四边形ABCD 中，22AB BC CD ===，60ABC ∠=︒，90ADC ∠=︒， ABC ∴∆是边长为2的等边三角，在Rt ADC ∆中，2AC =，1CD =，所以60ACD ∠=︒．又BE EF FG GC ===，E ∴，F ，G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A ，(1,0)B -，(1,0)C ，3(2D ，1(,0)2E -，(0,0)F ，1(,0)2G ．所以11122(,(,(,(0222AE DC AE AF⋅+⋅=-⋅-+-⋅，132=．再设(,0)P x，∴((1PA PC x x⋅=-⋅-，22110)()24x x x=-=--．(11)x-显然12x=时，PA PC⋅最小，此时1(,0)2P．∴1(1,(,cos cos,PDC DP DC-⋅-∠=<>==〖答案〗132三、解答题（共36分，每小题12分）17．（12分）ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos cos cos cos2ca B Cb A C+=．（1）求角C；（2）若c5a b+=，求ABC∆的面积．解：（1）由已知及正弦定理得，1cos(sin cos cos sin)sin2C A B A B C+=，即2cos sin()sinC A B C+=．故2cos sin sinC C C=，可得1cos2C=，因为：(0,)Cπ∈，所以3Cπ=．（2）由已知及余弦定理得，222cos7a b ab C+-=，又5,3a b Cπ+==，故222()32537a b ab a b ab ab+-=+-=-=，因此，6ab=，所以ABC∆的面积1sin2S ab C=18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个不同的动点E，F．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：AC⊥BE；（3）二面角A﹣EF﹣B的大小是否为定值，若是，求出其余弦值；若不是，说明理由．（1）证明：直线EF就是直线B1D1，根据正方体的性质知EF∥BD，∵EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD；（2）证明：根据正方体的性质得AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∵BE⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BE；（3）解：平面AEF就是平面AB1D1，平面BEF就是平面BDD1B1，∵平面AB1D1与平面BDD1B1固定，∴二面角A﹣EF﹣B的大小是定值，设AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，∵AB1＝AD1，O1是B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1，根据正方体的性质可知OO1⊥B1D1，OO1⊥BD，∴∠AO1O里二面角A﹣EF﹣B的平面角，在直角△AOO1中，AO＝，OO1＝1，AO1＝＝，∴cos∠AO1O＝＝．∴二面角A﹣EF﹣B的余弦值为．19．（12分）“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行、成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300．名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这300名业主评分的众数和中位数；（2）若先用分层抽样的方法从评分在[90，95)和[95，100]的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈： ①写出这个试验的样本空间；②求这2人中至少有1人的评分在[95，100]概率．解：（1）第三组的频率为1(0.0200.0250.0300.0350.050)50.200-++++⨯=． 0.2000.0405a ∴==． 又第一组的频率为0.02550.125⨯=，第二组的频率为0.03550.175⨯=， 第三组的频率为0.200．∴前三组的频率之和为0.1250.1750.2000.500++=． ∴这300名业主评分的中位数为85，众数为859087.52+=． （2）由频率分布直方图，知评分在[90，95)的人数与评分在[95，100]的人数的比值为3:2．∴采用分层抽样法抽取5人，评分在[90，95)的有3人，评分在[95，100]有2人．不妨设评分在[90，95)的3人分别为1A ，2A ，3A ； 评分在[95，100]的2人分别为1B ，2B ． 这个试验的样本空间为：1{A ，2}A ，1{A ，3}A ，1{A ，1}B ，1{A ，2}B ，2{A ，3}A ，2{A ，1}B ，2{A ，2}B ，3{A ，1}B ，3{A ，2}B ，1{B ，2}B ．②从5人中任选2人的所有可能情况有共10种．其中选取的2人中至少有1人的评分在[95，100]的情况有：1{A ，1}B ，1{A ，2}B ，2{A ，1}B ，2{A ，2}B ，3{A ，1}B ，3{A ，2}B ，12{}B B 共7种．故这2人中至少有1人的评分在[95，100]的概率为710P =．。