1121三角形的内角
三角形内角和基础计算
三角形内角和教学目标1.让学生亲自动手，通过量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。
2.让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。
并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向学生渗透“转化”数学思想。
3. 使学生体验成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣。
谜面：形状似座山，稳定性能坚，三竿首尾连，学问不简单。
（打一图形）温故知新：一、三角形的特性1、三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
3、两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
4、三角形任意两边的和大于第三边。
二、三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三、平角是180度、周角是360度。
四、三角形内角和是180度。
记忆口诀：三角形真奇怪，有胖有瘦有高矮。
内角和是180，我们时刻牢记它。
例1、从学校到少年宫有几种走法？哪条路最近？为什么？例2、根据下面每个图形标出的底，画出图形的高：练习1练习1 练习1练习2： AD EB C在上面的三角形中，以AB为底边的高是（），我还能找到以（）边为底边的高是（）。
例3、请把相应的序号填在括号里。
锐角三角形（）直角三角形（）钝角三角形（）等腰三角形（）等边三角形（）等腰直角三角形（）练习1锐角三角形有（）钝角三角形有（）直角三角形有（）等腰三角形有（）例4看图求出未知角的度数。
练习1在三角形中，一个角等于76°，另一个角等于35°，那么第三个角是（）。
例5、求下面各角的度数，并判断三角形的形状。
（1）∠1=27°∠2=53°∠3=（）这是一个（）三角形。
（2）∠1=70°∠2=50°∠3=（）这是一个（）三角形。
三角形的内角的定义
三角形的内角的定义三角形是几何学中的一个基本形状，由三条线段组成，这三条线段称为三角形的边，而它们的交点称为三角形的顶点。
三角形的内角是指三角形内部的角度，是三角形的重要属性之一。
本文将以三角形的内角为主题，介绍三角形内角的定义、性质以及应用。
一、三角形的内角定义三角形的内角是指由三条边所围成的角度。
对于任意一个三角形ABC，我们可以定义三个内角，分别是∠A、∠B和∠C。
三角形的内角具有以下性质：1. 三角形内角和为180度三角形的内角和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这是因为三角形的三个顶点可以看作是一个平面内的一个点，而平面内的角度和为360度，所以三角形的内角和为180度。
2. 直角三角形的内角直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角是90度。
在直角三角形ABC中，若∠C=90°，则称其为直角三角形。
直角三角形的另外两个内角的和为90度，即∠A + ∠B = 90°。
3. 锐角三角形的内角锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形。
在锐角三角形ABC中，三个内角都是锐角。
4. 钝角三角形的内角钝角三角形是指其中一个内角大于90度的三角形。
在钝角三角形ABC中，至少一个内角大于90度。
二、三角形内角的性质三角形的内角有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 外角性质三角形的一个内角的补角称为该内角的外角，它与三角形的另外两个内角之和相等。
即∠A的外角∠D与∠B、∠C的和相等，即∠D = ∠B + ∠C。
同理，∠B的外角与∠A、∠C的和相等，∠C的外角与∠A、∠B 的和相等。
2. 等腰三角形的内角等腰三角形是指两条边相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，若AB = AC，则∠B = ∠C。
3. 三角形内角的大小关系对于任意一个三角形ABC，它的内角有以下大小关系：∠A > ∠B > ∠C 或∠A < ∠B < ∠C，其中大于号表示角度更大，小于号表示角度更小。
三角形的内角和是什么
三角形的三个内角相加起来的和叫三角形内角和。
三角形的内角和等于180度，三角
形的两边之和大于第三边。
三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个
外角大于其他两内角的任一个角。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭
图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不
等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
内角和公式
任意n边形内角和公式
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，
n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是：θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，......。
人教版数学八年级上册11.2.1三角形的内角教学课件
4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD
平分∠BAC．求∠ADC的度数.
三角形的内角和等于1800. 2、两直线平行，同旁内角互补。
解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者其它方法.
AA D
1
证明:过点C作CD∥AB，
BB
CC
∴∠A=∠1 (两直线平行,内错角相等)
∠B+∠BCA+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互
补)
∴∠B+∠A+∠BCA=180°
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用 逆向思考的方法,把问题转化为一个平 角,同旁内角互补,或者其它方法.这种 转化思想是数学中的常用方法.
三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛
的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.
从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、
B两岛的视角∠ACB是多少度？
D北
北E
.C
.
.
B
A
东
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
C
D4
1
40° 2
3
A
E
B
3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°， ∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
四年级数学下册第二模块三角形的内角和新人教版
第二模块三角形的内角和【教法剖析】1.分析法:分析法从问题出发逐步逆推。
解决三角形的度数问题首先要弄清楚三角形角度之间的关系变化。
三角形的内角和等于180°,直角三角形两个锐角的和等于90°,等腰三角形两个底角的度数相等。
2.公式法:根据常见的公式进行解答。
180°-已知角的度数=未知角的度数直角三角形中,90°-已知角的度数=未知角的度数等腰三角形中,(180°-顶角的度数)÷2=一个底角的度数180°-一个底角的度数×2=顶角的度数3.代换法:解答时,可以先分析已知角之间的相等关系,根据它们之间的相等关系,用已知量来代换未知量,从而找到问题的答案。
例1 红领巾的顶角是120°,两个底角分别是多少度?【助教解读】为求出红领巾两个底角分别是多少度,可以根据所有三角形的内角和都是180°,先求出两个底角的度数,红领巾是等腰三角形,等腰三角形两个底角相等,然后求出结果。
等腰三角形两个底角的度数是多少?180°-120°=60°两个底角分别是多少度?60°÷2=30°也可以这样列式:(180°-120°)÷2=30°答:两个底角分别是30°。
【经验总结】解决三角形内角和应用题,首先要弄清楚三角形角度之间的关系变化,从问题出发逐步分析。
例2 如图,已知∠1=30°,∠2=20°,∠5=90°,求∠3,∠4的度数。
【助教解读】把∠1=30°,∠5=90°代入等式∠1+∠5+∠3=180°中,可以求出∠3的度数。
∠1,∠5,∠2和∠4合起来是180°,∠1,∠5,∠2的度数已知,可以求出∠4的度数。
⇒∠3=180°-30°-90°=60°⇒∠4=180°-30°-90°-20°=40°【经验总结】在一个三角形中,如果要求某个角的度数,那么一定要先找到与这个角关联的角的度数。
最新人教版八年级数学上册第十一章三角形 优秀教案教学设计 含教学反思
第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段 (1)11.1.1 三角形的边 (1)11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 (3)11.1.3 三角形的稳定性 (7)11.2 与三角形有关的角 (10)11.2.1 三角形的内角 (10)11.2.2 三角形的外角 (14)11.3 多边形及其内角和 (19)11.3.1 多边形 (19)11.3.2 多边形的内角和 (22)11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边【知识与技能】1.掌握三角形的定义及相关概念.2.掌握等腰三角形、等边三角形、不等边三角形的定义，掌握三角形按边分类的方法.3.掌握三角形三边关系定理.【过程与方法】通过具体的图形学习三角形、等边三角形、不等边三角形的定义，运用“两点之间，线段最短”推导出三角形三边关系定理.【情感态度】通过求三角形的边长时必须注意三角形的三边关系，训练学生思维的严密性.【教学重点】三角形的三边关系.【教学难点】三角形三边关系的运用.一、情境导入，初步认识问题1 画一个三角形，结合图形探究三角形的定义及相关概念.问题2 出示等边三角形、等腰三角形、不等边三角形探究等边三角形、等腰三角形、不等边三角形定义及概念.问题3 如图，利用“两点之间，线段最短”探究AB、AC、BC之间的关系.【教学说明】全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师巡回指导，必要时给予个别指导或集体指导，在全班同学基本完成的情况下，针对问题3进行重点讲解.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考 1.三角形按边怎样分类？2.三角形的三边关系是怎样的.3.已知三条线段，怎样判断它们能否围成三角形？【归纳结论】 1.主要定义：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.不等边三角形：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.2.三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.3.已知三条线段，可用如下简易方法判断它们能否围成三角形：若两条较短边的和大于最长边，则能围成三角形，否则不能.4.已知三角形两边长a，b，第三边长为x，则x的取值范围是a-b＜x＜a+b(a≥b).三、运用新知，深化理解1.以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三角形，哪些不能构成一个三角形？（1）6，8，10；（2）3，8，11；（3）3，4，11；（4）三条线长度之比4：6：72.等腰△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，连CD，若CD将△ABC周长分成19和8两部分，求△ABC的腰长及底边的长.【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.【答案】略.四、师生互动，课堂小结请若干同学口头小结，之后将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题11.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.11.1.2 三角形的高、中线与角平分线【知识与技能】1.掌握三角形的高、中线与角平分线定义.2.会画三角形的高、中线与角平分线.3.掌握三角形的三条高线、三条中线与三条角平分线的有关性质.【过程与方法】对学生进行操作训练，边训练边讲解，然后学以致用.【情感态度】训练同学们动手操作的能力，提高学习兴趣.【教学重点】画三角形的高线、中线与角平分线.【教学难点】画钝角三角形的高线.一、情境导入，初步认识问题1 如图，已知△ABC，画它的三条高.问题2 如图，已知△ABC，画它的三条中线.问题3如图，已知△ABC，画它的三条角平分线.【教学说明】对问题1，对于钝角三角形的作高要给予集体指导、分类指导，甚至要进行个别指导，以便让绝大部分同学过关.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考 1.锐角三角形的三条高、直角三角形的三条高、钝角三角形的三条高的位置有何不同之处？2.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自有怎样的位置关系？3.三角形的角平分线与角的平分线有什么区别和联系？【归纳结论】1.定义：三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，所得的垂线段叫做三角形的一条高.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的一条中线. 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与对边相交；以这个顶点和交点为端点的线段叫做三角形的角平分线.2.三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点有时在形内，有时在直角顶点上，有时在形外；三角形的三条中线交于一点；三角形的三条角平分线交于一点.3.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；它们的联系是都是平分角.三、运用新知，深化理解1.如图，AD 是△ABC 的中线；BE 是△ABC 的角平分线，CF 是△ABC 的高，填空： （1）BD= =21；（2）∠ABE=∠ =21∠ ； （3）∠ =∠ =90°.2.如图，△ABC 中，∠A 是钝角.（1）画出AC 、AB 上的高BD 、CE ； （2）画出∠ABC 的平分线BF ； （3）画出边AB 上的中线CG.3.已知，如图，AB ⊥BD 于B ，AC ⊥CD 于C ，且AC 与BD 交于点E.那么（1）△ADE 的边DE 上的高为，边AE 上的高为 ；（2）若AE=5，DE=2，CD=59，则AB= .4.如图所示，等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长.5.学完“三角形的高、中线与角平分线”后，我们知道“三角形的一条中线将原三角形分成两种相等的两部分”.课后余老师给同学们布置了这样一道思考题：有一块三角形的厚薄均匀的蛋糕，要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，请你在图中把你的方案画出来，并说明理由.【教学说明】题1、2、3可让学生自主完成，题4、5教师可给予相应的指导 当已知三角形两条高求其他边长或已知一高与其他边长求另一高时，常用面积作为中间量.涉及等腰三角形边的问题时，常要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去.【答案】1.（1）DCBC （2）CBE ABC （3）CFA CFB 2.图略.3.AB DC29解析：△ADE 是钝角三角形，在三角形外部它有两条高：边DE 上的高AB ，边AE 上的高为DC.又S △ADE=21DE ·AB=21AE ·DC ，即21×2×AB=21×5×95，AB=29.4.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x.(1)当AB+AD=15，BC+CD=6时，有2x+x=15,所以x=5,2x=10,BC=6-5=1.(2)当BC+CD=15，AB+AD=6时，有2x+x=6.所以x=2,2x=4,所以BC=13.因为4+4＜13，故不能组成三角形.所以三角形的腰长为10，底边长为1.5.略.四、师生互动，课堂小结三角形的高、中线与角平分线的定义与性质.请若干名学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题11.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力。
11.2.1三角形的内角(第2课时)教案
课题：11.2.1 三角形的内角（第2课时）学科：数学姓名：付娜11.2.1 三角形的内角（第2课时）大连市第六十一中学付娜一、内容和内容解析1.内容直角三角形的两个锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形．2.内容解析直角三角形是特殊的三角形，因此直角三角形内角和也是180度。
作为一种特殊的三角形，直角三角形还具有一般三角形不具有的特殊性质:直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形内角的研究与三角形类似，突出体现了从一般到特殊的思路。
本节课的教学重点是：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。
二、目标和目标解析1.目标（1）探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。
（2）掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.目标解析目标（1）的具体要求是：类比三角形内角和定理的探索过程，通过度量，剪拼猜想直角三角形的性质，再通过推理证明得出直角三角形的性质。
目标（2）的具体要求是：经历直角三角形性质的探索过程，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题。
三、教学问题诊断分析从学生的学习过程看，直角三角形在生活中广泛存在，所以学生从小就有对直角三角形形的整体感知，但这些都是在直观感知基础上的归纳认识。
学生头脑中的固有经验是把直角三角形作为独立的图形看待。
本节课学习中，需要建立三角形和直角三角形之间的联系，把直角三角形看做特殊的三角形，并从这种特殊化中发现直角三角形的特殊性质，并能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题。
但由于学生习惯于运用三角形内角和定理来解决问题以及对于等角的余角相等这一性质的陌生，所以在利用直角三角形的性质证明角相等的问题对学生来说有一定困难。
因此，本节课的教学难点是：能利用直角三角形的性质和等角的余角相等这一性质证明角相等。
四、教学过程设计1.创设情境，引出新课引言数学来源于生活，生活中的许多实物都蕴含着几何图形，请同学们先欣赏图片。
问题1：这些图片中蕴含着什么几何图形？师生活动：教师配乐播放PPT ，学生观看后回答问题,教师板书课题。
三角形内角和的计算与性质
三角形内角和的计算与性质一、三角形内角和的计算1.定义：三角形内角和指的是三角形三个内角的角度之和。
2.计算公式：三角形内角和 = 180°。
3.证明：通过三角形的对角线划分，可以将三角形分成两个三角形，从而得出内角和为180°。
二、三角形的性质1.锐角三角形：三个内角都小于90°的三角形。
2.直角三角形：一个内角为90°的三角形。
3.钝角三角形：一个内角大于90°的三角形。
4.稳定性：三角形具有稳定性，即在边长不变的情况下，三角形的形状和大小不会发生变化。
5.三角形的边长关系：a)两边之和大于第三边。
b)两边之差小于第三边。
6.三角形的分类：a)等边三角形：三边相等的三角形。
b)等腰三角形：两边相等的三角形。
c)不等边三角形：三边都不相等的三角形。
7.三角形的内角关系：a)外角和定理：三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。
b)同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
c)圆的内接四边形对角互补，即任意两个内角之和为180°。
8.三角形的面积计算：a)底乘高除以2。
b)海伦公式：设三角形的三边长分别为a、b、c，半周长为p，则面积S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))。
三、三角形的应用1.建筑设计：三角形在建筑设计中具有稳定性，常用于桥梁、塔架等结构的构建。
2.测距：利用三角形的边长关系，可以通过测量两边和夹角来计算第三边的长度。
3.几何作图：三角形是几何作图中的基本元素，如勾股定理、相似三角形等。
4.物理：三角形在物理学中也有广泛应用，如力的合成、电磁场等。
5.计算机科学：三角形是计算机图形学的基础，如三维模型、图形渲染等。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形的基本概念、性质和计算方法，从而为进一步学习几何学和其他学科打下坚实基础。
习题及方法：1.习题：计算以下三角形的内角和。
a)直角三角形b)等边三角形c)钝角三角形d)180°e)大于90°根据三角形内角和的定义，直角三角形的内角和为90°，等边三角形的内角和为180°，钝角三角形的内角和大于90°。
三角形内角和定理
相关推论
相关推论
推论1直角三角形的两个锐角互余。 推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 三角形的内角和是外角和的一半。三角形内角和等于三内角之和。. 非欧几何中的三角形内角和 以上所说的三角形是指平面三角形，处于平直空间中。当三角形处于黎曼几何空间中时，内角和不一定为 180°。例如，在罗巴契夫斯基几何（罗氏几何）中，内角和小于180°；而在黎曼几何时，内角和大于180°。
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三角形内角和定理
欧式几何名词
目录
01 欧式几何
03 内角和公式
02 多边形内角和 04 相关推论
基本信息
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°（见概述图）。 也可以用全称命题表示为：∀△ABC, ∠1+∠2+∠3=180°。
欧式几何
欧式几何
在欧式几何中，∀△ABC, ∠A+∠B+∠C=180°。
多边形内角和
多边形内角和
三角形：180°=18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ°·（3-2）， 四边形：360°=180°·（4-2）， 五边形：540°=180°·（5-2）， …， n边形：180°·（n-2），…。
内角和公式
内角和公式
任意n边形内角和公式
人教版八年级数学上册《11-2-1 三角形的内角》作业同步练习题及参考答案
11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角1.如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶4,那么这个三角形是( ).A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.如图,直线a∥b,点B 在直线a 上,且AB⊥BC,∠1=35°,那么∠2=( ).A.45°B.50°C.55°D.60°3.在△ABC 中,∠A=105°,∠B-∠C=15°,则∠C 的度数为( ).A.35°B.60°C.45°D.30°4.如图,已知AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=40°,则∠D 的度数为( ).A.40°B.50°C.60°D.70°5.一块三角形木板的残余部分如图所示,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板的另外一个角的大小是.6.如图,点B,C,E,F 在一条直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D= .7.如图,已知∠AOD=30°,点C 是射线OD 上的一个动点.在点C 的运动过程中,当△AOC 恰好是直角三角形时,∠A 所有可能的度数是.8.如图,AB∥CD,AE 交CD 于点C,DE⊥AE,垂足为E,若∠A=37°,则∠D= .9.在△ABC 中,若最大角∠A 等于最小角∠C 的两倍,最大角又比∠B 大20°,则△ABC 的三个内角的度数分别是多少?10.如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于点D,∠1=∠2,AF 是△ABC 的角平分线,交CD 于点E.求证:△ABC 是直角三角形.11.如图,在△ABC 中,D 是BC 上一点,F 是BA 延长线上一点,连接DF 交AC 于点E,且∠B=42°,∠ C=59°,∠DEC=47°,求∠F 的度数.★12.如图,把三角形纸片ABC 沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时,则∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变.请找出这种数量关系,并说明理由.答案与解析夯基达标1.B 设三个内角的度数分别为2k°,3k°,4k°(k>0),则2k°+3k°+4k°=180°,解得k=20,所以最大角为4k°=80°.故此三角形为锐角三角形.2.C3.D4.A5.40°6.36°∵AB∥DC,DE∥GF,∴∠B=∠DCE=72°,∠F=∠DEC=72°,则∠D=180°-∠DEC-∠DCE=36°.7.60°,90°因为∠AOD=30°,所以当△AOC 恰好是直角三角形时,∠A=90°或∠ACO=90°. 所以∠A=60°或∠A=90°.8.53°∵AB∥CD,∴∠DCE=∠A=37°.∵DE⊥AE,∴∠D=90°-37°=53°.9.解设∠C=x°(x>0),则∠A=2x°,∠B=2x°-20°.根据三角形的内角和定理,有2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.所以2x=80,∠A=80°,2x-20=60,∠B=60°.故△ABC 的三个内角的度数分别为∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.培优促能10.证明因为AF 是△ABC 的角平分线,所以∠CAF=∠BAF.因为∠1=∠2,∠1=∠AED,所以∠2=∠AED.因为CD⊥AB,所以∠BAF+∠AED=90°.所以∠CAF+∠2=90°,即∠ACF=90°.所以△ABC 是直角三角形.11.解在△EDC 中,∠EDC=180°-(∠C+∠DEC)=180°-(59°+47°)=74°.故∠FDB=180°-∠EDC=180°-74°=106°.在△BDF 中,∠F=180°-(∠B+∠FDB)=180°-(42°+106°)=32°.创新应用12.解∠A=1(∠1+∠2).2理由如下:如图,延长BE,CD 并交于点A'.在△ADE 中,∠3+∠6+∠A=180°.因为∠1+∠3+∠4=180°,∠2+∠6+∠5=180°, 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.又因为∠3=∠4,∠5=∠6,所以∠1+∠2+2∠3+2∠6=360°,∠1+∠2+2∠3+2∠6=2(∠3+∠6+∠A).所以2∠A=∠1+∠2,所以∠A=1(∠1+∠2).2。
数学课例分析报告精选
数学课例分析报告精选基本目标：通过研究体现数学课堂教学中学生学生主体作用的激发、学生参与作用的操作、学生能力培养方面的发挥、教学策略多样化、教学模式系列化的课堂教学实例及理论成果。
衍生目标：在研究中，通过课例实践，让学生在“做中学”，激发和增强对学习数学的兴趣，体验自主学习与探究思考的过程，发现和掌握数学学习方法，建构自己的数学知识体系，发展自己的数学思维，感悟数学之美，提高数学学习水平。
课例研究，是最基础的教学实践研究，从课例中，我们可以观察到的教与学实践过程要素是：A、教学设计的适切性B、教学过程的生成性C、教学评价的有效性关于学生的学：A、学习的准备B、学习的注意程度C、数学思维的深度、广度、灵活性D、知识巩固能力构建有效教学过程，促进学生意义建构因此，我们的研究内容主要包括对课例的系统分析、总结和课例要素的观察分析。
本课题主要采用行动研究法。
以信息技术与初中数学课程整合的研究为载体，把探索研究结果与运用研究成果结合起来，边设计边实施，边实施边修正，边修正边反思，促进课题研究的深入。
重点初中各年级的教材内容为主，选择一些突破口。
选择若干个点分析其理论基础、内容特点、技术特征、学生的学习方式、学习结果及学生的个性发展等进行研究。
课例研究的流程包括五个步骤：课前分析；教学设计；课堂教学观察；教学反思；教学过程建模。
初步的个人备课和准备阶段：1．研讨课例研究目标的构建与课例内容的确立，形成课例的初步研究方案。
2．制定和申报课例研究方案，成立课例研究组。
1．开展课例研究工作，确定有关研究课的内容，注重集体研讨。
2搜集、整理内容，以便有计划、有系统地进行研究。
3．有实验教师讲课，研究小组听课、评课，形成一定的教学模式。
第三：课后反思第四阶段：全面总结课题研究工作，撰写集体备课笔记课例名称：1、一元二次方程教师：王伟课时数：一课时课型：新授课一元二次方程４．分解因式法学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了分解因式，掌握了提公因式法及运用公式法熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
与三角形有关的角知识点总结与经典练习
A B C O A B C D A B C D (1)(2)(3)A B C O B (1)A B C O A B C D AB (1)(2) 与三角形有关的角知识点总结与经典练习知识点一：三角形内角和定理定理：三角形三个内角的和等于180°．注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角．②在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角．③三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角．知识点二：直角三角形的性质与判定性质：直角三角形的两个锐角互余。
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
知识点三：三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．三角形的外角和为360度．三角形的外角最少两个钝角．例1：（1）如图，已知△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，试求∠BOC 与∠A 之间的关系。
（2）如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别是∠ABC 、∠ACB 的外角平分线，试求∠D 与∠A 之间的关系。
（3）如图，已知BD 为∠ABC 的角平分线，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，且与BD 交于点D ，试求∠A 与∠D 之间的关系。
ABCDEF HGGM KHN CABDEF如图，△ABC中，角平分线AD 、BE 、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，试说明∠AHE＝∠CHG例3：如图，BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，AB、CD交于点O，试探究∠E与∠A、∠D之间的关系例4：如图，△ABC中，∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB，CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,求∠CDF的度数．例5：①如图,求∠M+∠N+∠K+∠G+∠H=__________．。
②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________．三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是多少？三角形的内角1.在△ABC 中，∠A=2∠B=75°，则∠C 等于 （ ）A ．30°B ．67°30′C ．105°D ．135°2.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 等于 （ ）A ．180°B ．360°C ．220°D ．300°3．若是任意三角形，则它的最小内角的最大值是 （ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°4． 在△ABC 中，若∠A=25°18′，∠B=53°46′，则∠C= ．5． 在△ABC 中，若∠B=50°，∠A =∠C ，则∠A= ．6． 在△ABC 中，∠A 比2∠B 多10°，∠B 比2∠C 少10°，则∠A= °，∠B= °．7． 已知△ABC 中，∠B=∠C，BD 平分∠ABC，∠A=36°，则∠BDC= °．8． 如图，∠A=60°，∠B=80°，则∠1+∠2的度数为 °．9．已知：如图，△ABC 中，∠B＞∠C，AD⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ．（1）求证∠DAE=12（∠B—∠C）； （2）把题中“AD⊥BC 于D ”换成“F 为AE 上的一点，FG⊥BC 于G ”，这时∠FEG 是否仍等于12（∠B—∠C）？试证明你的结论．（第2题） E DC B AA（第9题） E D BC D C B A 2 1 （第8题）三角形的外角1.下列说法中，正确的是 （ ）A ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和B ．三角形的一个外角小于它的一个内角C ．三角形的一个外角与它相邻的内角是邻补角D ．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角2． 三角形的每一个顶点处取一个外角，则三角形的三个外角中，钝角的个数至少有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个3．△ABC 中，∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点O ，且∠A=α，则∠B OC= （ ）A ．12αB ．180°－12αC ．90°－12αD ．90°＋12α 4． 在△ABC 中，∠A=15∠C=13∠B ，则△ABC 的三个外角的度数分别为 ． 5． 如图所示，则α= °．6． 如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠C=52°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠A DC 交AC 于点E ，则∠BDE= °．7．如图，∠A=55°，∠B=30°，∠C=35°，求∠D 的度数．8．如图，A C⊥DE，垂足为O ，∠A=27°，∠D=20°，求∠B 与∠ACB 的度数．D B A EOC A B E C （第6题） A CD B 58° （第5题） 24° 32° α。
三角形内角和外角定理
120°
1
∠1= 95º
∠1= 85º
议一议
A
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ? 从哪些途径探究这个结果
1
3
B
2 C
方法1：根据推论2
A 1
解： ∵ ∠1、 ∠2、 ∠3是△ABC的外角 ∴ ∠1= ∠5＋∠6 ∠2= ∠4＋∠6 3
4
B 5 2 6
∠3= ∠4＋∠5
① ② ③
C
∴由①+②+③，得：
∠1＋ ∠2＋ ∠3= 2（ ∠4＋ ∠5＋∠6） ∵∠4＋ ∠5＋∠6= 180 °
柳暗花明又一村
A D B F E Q C B F P G C E P G D A R A D R C
1
P
2
总结：作各边的平行 线把各个内角“凑成” Q 一个平角。 E
B
A
Rt△ABC
思考：∠A+∠B=？
C
直 角 边 直角边
斜边
B
推论1： 判
直角三角形两个锐角互余
定: 有两个角互余的三角形是直角三
拼
B
A
C
你还有哪几种拼法？ 任意三角形的三个内角和真的等于 180°吗？
钝角三角形，
直角三角形？
题设
结论
命题：三角形三个内角的和等于1800
已知：△A B C 求证：∠A +∠B +∠C =180° B
(2) 两直线平行，同旁内角互补
A
分析：（1）平角
C
A
证
构造平角
1 B C 2
证明:延长BC到E,过点C作CF∥AB,则 ∠A=∠1(两直线平行,内错角相等) ∠B= ∠2(两直线平行,同位角相等) 又∵∠1+∠2+ ∠ACB= 1800 (平角的定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换)
三角形内角和是多少度？三角形内角和的性质
三角形内角和是多少度？三角形内角和的性质
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三角形内角和是多少度？
在数学中，三角形的内角和等于180度。
想要论证这个观点并不难，我们过点A做BC的平行线，得到两个新的角，即∠1，∠2。
根据两直线平行内错角相等的原则可以得到，∠1=∠B，∠2=∠C。
而∠1+∠2+∠A等于180度，由此可推出∠A+∠B+∠C=180度。
三角形内角和性质：
三角形的内角和等于180°。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
三角形是几何图案的基本图形。
拓展阅读
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
推论：
1.直角三角形的两个锐角互余。
2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的内角和是外角和的一半。
三角形内角和等于三内角之和。
三角形的内角和是什么
三角形的内角和是什么
三角形的三个内角相加起来的和叫三角形内角和。
三角形的内角和等于180度，三角形的两边之和大于第三边。
三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
内角和公式
任意n边形内角和公式
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是：θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，......。
《三角形的内角(第2课时)》PPT优质课件
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角(第2课时)
导入新知
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二 的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因 而是不可能的.
在这个家里，我 是永远的老大.
素养目标
3. 会运用直角三角形的性质和判定进行相 关计算. 2. 掌握直角三角形的判定.
B
C
即△ABC是直角三角形.
探究新知
归纳总结
有两个角互余的三角形是直角三角形. (直角三角形
的判定定理）
A
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°， B
C
∴ △ABC 是直角三角形．
探究新知
素养考点 2 利用直角三角形的判定定理识别直角三角形
例1 如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三
1. 了解直角三角形两个锐角的关系.
探究新知 知识点 1 直角三角形的两个锐角互余
问题1： 如下图所示是我们常用的三角板，两锐角 的度数之和为多少度?
30°+60°=90°
45°+45°=90°
探究新知
问题2：如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两 锐角的和等于多少呢？
在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理， 得 ∠A +∠B+∠C=180°，
解：∵CD是AB上的高， ∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°. ∵BE是AC上的高， ∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°. ∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.
探究新知
三角形内角与边长的比例关系
三角形内角与边长的比例关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
在研究三角形时，人们发现了内角与边长之间存在着一种特殊的比例关系。
本文将就这一比例关系展开讨论。
我们来思考一下等边三角形。
等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个内角都是60度。
这意味着等边三角形的内角与边长的比例是1:1，即内角的度数等于对应边长的长度。
接下来，我们来研究一下等腰三角形。
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边两侧的角）是相等的，而顶角（顶边对应的角）则与底边不相等。
我们可以发现，当等腰三角形的底角为30度时，顶角的度数与底边的长度之间存在着特定的比例关系。
我们可以通过构造一个等腰三角形来验证这一比例关系。
假设等腰三角形的底边长为a，顶角的度数为θ。
根据等腰三角形的性质，底角也是θ度。
根据三角形内角和的性质，底角和顶角的度数之和为180度。
因此，我们可以得到如下等式：θ + θ + 180度 = 180度。
将等式整理可得2θ = 180度，即θ = 90度。
因此，当等腰三角形的底角为30度时，顶角的度数为90度。
接下来，我们来讨论一下直角三角形。
直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，直角的度数与斜边的长度之间存在着特定的比例关系。
这一比例关系被称为勾股定理。
勾股定理的数学表达式是a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别代表直角三角形的两条直角边的长度，c代表斜边的长度。
勾股定理的逆定理也成立，即如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形一定是直角三角形。
这是因为只有直角三角形的内角和才等于180度，而满足勾股定理的三条边所对应的内角和也等于180度。
除了等边三角形、等腰三角形和直角三角形外，其他的三角形内角与边长之间的比例关系较为复杂。
一般来说，三角形的内角与边长之间并不存在简单的比例关系。
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（3）在△ABC中，∠A =∠B = 4∠C，则∠C =；
（4）在△ABC中，∠A = 40°，∠B =∠C，则∠B =；
2（1） 三角形中最大的角是 ，那么这个三角形是锐角三角形（ ）
（2） 一个三角形中最多只有一个钝角或直角（ ）
合作探究 1：证明三角形的内角和定理
图一证明过程：
三．导学内容：
（一）自主学习（自学课本内容，利用手中的硬纸片运用拼合法探究三角形的内角和）
（1）在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码
（2）叫几名同学到黑板运用不同的方法粘贴演示。
（3）由拼合过程你能想出证明三角形内角和等于180°的方法吗？
（二）小组合作探究：（阅读课本7证明过程。仿照课本证明过程利用下面的图形中辅助线的做法，完成证明）
数学八年级上
课题
11.2.1三角形的内角
归纳：（1）三角形的内角和定理：三角形的内角和。
（2）证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程
合作探究2：（阅读书中例1解题过程及方法C中，∠A = 60°∠B = 30°，则∠C =；
（3）一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ）
（4） 一个三角形最少有一个角不大于 （ ）
我的收获：
一、学习目标
1.经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理
2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
二．知识回顾
三角形中两边组成角叫做三角形的内角，任意三角形内角和等于。