理工类高等数学复习题目答案 -
2017—2018年高等数学II(理工类)A卷答案
ρ cos
1 ρ
=
0
所以函数在 (0,0) 点处可微分。 ------------------------------------------------------2
5
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷
6
y)
=
⎨⎪2x cos ⎩⎪ 0,
1+ x2 + y2
x
1
sin
,
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2 ≠ 0, x2 + y2 = 0,
但当 (x, y) 沿着 y = x 趋于 (0,0) 时
lim f ' (x, y) = lim 2x cos 1 + x sin 1
( x,y )→(0,0) x
0
0
15.
1 12
(5
5 − 1)
二、 计算题(每题 8 分，共 40 分)
1. 解 原式化为
2 tan y + y = dy ,-----------------------2’
3 x x dx
令u =
y
，则有
dy
=
u+
du x
x
dx
dx
则原式变为
2 3
tan u
+
u
=
u
+
x
du dx
，分离变量的
x→0
x2 + x2
x2 + x2
x2 + x2
极限不存在，从而
f '(x, y) 在 (0,0) 点处不连续. x
10-11-1高数21理工类(B)卷答案
2010 ～2011 学年度第一学期《高等数学21（理工）》试卷（B 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2010级高等数学21理工类（本科） 考 试 形 式：（ ）开卷、（√）闭卷一、选择题（每小题 3 分，共 12 分。
请将答案填在下面的表格内） 1、C 2、A 3、D 4、B 二、填空题（每题 3分，共 12 分）[1、32 2、第一类3、14、0三、求下列极限（每题 5 分，共 10 分）[]1、解：11lim1x x x →→=- （1分）1x →= （2分）12x →== （2分）2、解：03limx x x →∞→∞=⎰3分） 13=………………………………………………………（2分） 四、求下列函数的导数或微分（每题 5 分，共 15 分）]1、解：()12sin x x e y '⎛⎫⋅ ⎪''==……………………………（2分）=（2分）……………………………（1分）[]2、解：方程sin cos()0y x x y --=两边同时对x 求导得sin cos sin()()0y x y x x y x y ''++-⋅-=……………………………（1分） sin cos sin()(1)0y x y x x y y ''++-⋅-= ……………………………（2分）[]sin()sin cos sin()x y x y y x x y '--=+-……………………………（1分）cos sin()sin()sin y x x y y x y x +-'=--，所以cos sin()sin()sin y x x y dy dx x y x+-=-- ……………………………（1分）[]3、解：由(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩，则由参数方程求导得()(1cos )(1cos )()sin sin dx x t a t t dy y t a t t'--===' …………………………… （2分）22233(1cos )sin (1cos )cos 1cos sin sin sin sin t d x t t t t t dy a t a t a t '-⎡⎤⎢⎥---⎣⎦=== ……………………………（2分） 所以223661cos 1(8sin t t d x t dy a t aππ==-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦ ……………………………（1分） 五、求下列积分（每题 6 分，共 12 分）1、解：22--=⎰⎰……………（2分）2分）12π=-………………………………………（2分）2、解：因为222tan (sec 1)sec x xdx x x dx x xdx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰……………………（1分）2211tan tan tan 22xd x x x x xdx x =-=--⎰⎰………（2分） 22sin 111tan tan cos cos 2cos 2x x x dx x x x d x x x x =--=+-⎰⎰…… （2分）21tan ln cos 2x x x x C =+-+……………………（1分） 六、简答题（共 8 分）解：（1）函数()f x 的定义域为2x ≠-的一切实数……………（1分）（2）因为23(6)()(2)x x f x x +'=+， ……………（1分） （3）又因为424()(2)xf x x ''=+，令()0f x ''=，得10x =，22x =-为()f x ''不存在的点（1分） （4）以10x =，22x =-为分断点，将()f x 的定义域分成三段列表如下 （3分）（5）所以()f x 的凸区间是(,2)-∞-和(2,0)-，凹区间是(0,)+∞，拐点是(0,4)（2分） 七、应用题（共 7 分）解：联立方程243y y x x =⎧⎨=-+-⎩得121,3x x ==…………………………（2分） 所以可得所围图形的面积是33322114(43)2333x x x dx x x ⎡⎤-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦⎰…………………………（5分）八、解微分方程（每小题 7分，共14分）[教师答题时间：6分钟][]（1）解：由22dy y dx x y =-可得212y dy x ydx x=-…………………………（1分） 该方程为齐次微分方程，令y u y ux x =⇒=可得dy du u x dx dx=+ ……………（2分） 则原方程变形为12(12)u dx du u u x-=+ ………………………………………（1分）两边积分可得2(12)uCx u =+ （C 为常数）………………………………………（2分） 将yu x=代入上式可得2(2)y C x y =+（C 为常数）…………………………（1分） []（2）解：由已知可得方程4x y y xe ''-=的特征方程为210r -=特征值为121,1r r =-=……………………………（2分）所以其相应的齐次方程的通解为12x x y C e C e -=+ （12,C C 为常数）……………………………（1分）又因为1是一重特征根，由已知可得1m =，故原方程有特解*()x y x ax b e =+，代入原方程可得(422)4x x ax a b e xe ++=，解得1,1a b ==-， 可得原方程的一个特解为 *(1)x y x x e =- 所以原方程的通解为12(1)x x x y C e C e x x e -=++-……………………………………………（2分） 又因为，00|0,|1x x y y =='==可得1212011C C C C +=⎧⎨-+-=⎩，解得1211C C =-⎧⎨=⎩ 所以满足初始条件的特解为(1)x x x y e e x x e -=-++-………………（2分） 九、综合题[综合型]（共10分）] 证明：220()()()a a a af x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（2分）令2x a t =-，则当x a =时，t a =；当2x a =时，0t =，dx dt =- （4分） 所以200()(2)(2)a a aaf x dx f a t dt f a x dx =--=-⎰⎰⎰（2分）所以[]20()()(2)aaf x dx f x f a x dx =+-⎰⎰（2分）注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。
大学_高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载
高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)内容提要绪言第1章函数、极限与连续1.1 函数1.2 初等函数1.3 数列的极限1.4 函数的极限1.5 无穷小与无穷大1.6 极限运算法则1.7 极限存在准则两个重要极限1.8 无穷小的比较1.9 函数的连续与间断1.10 连续函数的运算与性质总习题数学家简介第2章导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数2.5 函数的微分总习题二数学家简介第3章中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 泰勒公式3.4 函数的单调性、凹凸性与极值 3.5 数学建模——最优化3.6 函数图形的描绘3.7 曲率总习题三数学家简介第4章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分总习题四数学家简介第5章定积分5.1 定积分概念5.2 定积分的性质5.3 微积分基本公式5.4 定积分的换元积分法和分部积分法 5.5 广义积分总习题五数学家简介第6章定积分的应用6.1 定积分的微元法6.2 平面图形的面积6.3 体积6.4 平面曲线的弧长6.5 功、水压力和引力总习题六第7章微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 一阶线性微分方程7.4 可降阶的二阶微分方程7.5 二阶线性微分方程解的结构7.6 二阶常系数齐次线性微分方程7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程7.8 欧拉方程7.9 常系数线性微分方程组7.10 数学建模——微分方程的应用举例总习题七附录Ⅰ预备知识附录Ⅱ常用曲线附录Ⅲ利用Excel软件做线性回归习题答案第1章答案第2章答案第3章答案第4章答案第5章答案第6章答案第7章答案高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)目录本书根据高等院校理工类本科专业高等数学课程的教学大纲编写而成，并在第二版的基础上进行了修订和完善。
高数理工复习试题及答案
A 卷一、选择题1. 若正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列结论正确的是( ).A. 11()n n n u u +∞+=+∑一定收敛. B.1lim1n n nu u ρ+→∞=<. C. 1n ρ<. D. n +∞=. 2.设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 处取得极小值，则下列结论正确的是（ ） A. 0(,)f x y 在0y y =处导数大于零. B. 0(,)f x y 在0y y =处导数等于零. C. 0(,)f x y 在0y y =处导数小于零.. D.0(,)f x y 在0y y =处导数不存在. 3.设210()10x f x xx ππ--<≤⎧=⎨+<<⎩，则以2π为周期的傅里叶级数在x π=处收敛于( ).A.21π+ B.1-. C.22π. D.2π. 4.设D 为由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成，则D2d σ=⎰⎰( ). A. 2. B. 3. C. 4. D.1.5.若函数(,)x f x y ，(,)y f x y 连续是(,)f x y 可微的（ ）.A.必要条件B.充要条件C.既不是充分又不是必要条件D.充分条件 二、填空题1.微分方程26(1)x y y y x e -'''--=+的特解形式为 .(不求特解)2.二重积分222316(cos 1)x y x y yx d σ+≤++=⎰⎰.3.若级数1(1)nn n a x +∞=-∑在5x =-处收敛，则级数1(1)n n n a x +∞=-∑在6x =处 .（绝对收敛，条件收敛，发散）4.函数22u x yz =-在点(1,2,2)-处的梯度(1,2,2)gradu - .5. 2y x =在空间几何中表示 图形. 三、计算题1.求曲线x t =，2,y t =-3z t =与平面24x y z ++=平行的切线方程。
高等数学工科类教材答案
高等数学工科类教材答案一、导数和微分1. 基本概念和性质1.1 导数的定义和解释1.2 导数的性质1.3 微分的定义和计算方法2. 常用基本函数的导数2.1 幂函数2.2 指数函数2.3 对数函数2.4 三角函数2.5 反三角函数3. 高阶导数与高阶微分3.1 高阶导数的定义和计算方法3.2 高阶微分的应用二、积分与不定积分1. 不定积分的基本概念1.1 不定积分的定义与性质1.2 基本积分公式与常规积分计算方法2. 定积分的基本概念2.1 定积分的定义与性质2.2 定积分的计算方法2.3 定积分的应用：面积、弧长、物理问题等3. 反常积分3.1 反常积分的定义与性质3.2 收敛性与发散性3.3 反常积分的计算方法三、级数和幂级数1. 数项级数1.1 数项级数的定义与性质1.2 数项级数的敛散性判别法2. 幂级数的基本概念2.1 幂级数的收敛半径和收敛域2.2 幂级数的求和与收敛域的求取2.3 幂级数的应用：泰勒级数与函数展开四、多元函数与偏导数1. 多元函数的基本概念1.1 多元函数的定义与性质1.2 多元函数的极限与连续性2. 偏导数的概念与计算方法2.1 偏导数的定义与性质2.2 偏导数的计算方法与几何意义3. 高阶偏导数与混合偏导数3.1 高阶偏导数的定义与计算方法3.2 混合偏导数的计算方法与应用五、多元函数的微分与全微分1. 多元函数的微分1.1 多元函数的全微分定义与计算方法1.2 多元函数微分的应用2. 隐函数与参数方程的微分2.1 隐函数的微分法与几何意义2.2 参数方程的微分法与几何意义六、多元函数的积分和曲线积分1. 二重积分的基本概念1.1 二重积分的定义与性质1.2 二重积分的计算方法与应用2. 三重积分的基本概念2.1 三重积分的定义与性质2.2 三重积分的计算方法与应用3. 曲线积分的基本概念3.1 第一类曲线积分的定义与性质 3.2 第二类曲线积分的定义与性质3.3 曲线积分的计算方法与应用七、向量场和曲面积分1. 向量场的基本概念与性质1.1 向量场的定义与表示1.2 向量场的运算与性质2. 曲面的参数方程与切向量场2.1 曲面的参数方程与性质2.2 曲面的切向量场与法向量3. 曲面积分的基本概念3.1 曲面积分的定义与性质3.2 曲面积分的计算方法与应用八、无穷级数1. 数项级数的收敛性判定1.1 正项级数的比较判别法1.2 正项级数的比值判别法1.3 正项级数的根值判别法1.4 交错级数的收敛性判别法2. 无穷级数的运算与性质2.1 无穷级数的加法与乘法2.2 绝对收敛级数与条件收敛级数2.3 级数的收敛域与收敛半径九、常微分方程1. 一阶常微分方程1.1 可分离变量的方程1.2 首次线性的方程1.3 齐次的方程1.4 Bernoulli方程和Ricatti方程2. 二阶常系数线性微分方程2.1 齐次线性微分方程2.2 非齐次线性微分方程2.3 常系数齐次线性微分方程的特解3. 高阶常系数线性微分方程3.1 齐次线性微分方程3.2 非齐次线性微分方程3.3 常系数齐次线性微分方程的特解以上为《高等数学工科类教材答案》的大致目录。
高等数学复习题及答案
高等数学复习题及答案高等数学复习题及答案高等数学作为一门重要的学科，对于理工科学生来说是必修课程。
在学习高等数学过程中，掌握和复习数学题目是非常关键的。
本文将为大家提供一些高等数学复习题及答案，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这门学科。
一、微积分1. 计算下列定积分：∫(x^2+2x+1)dx解答：∫(x^2+2x+1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C2. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x的导函数f'(x)。
解答：f'(x) = 3x^2 + 4x - 33. 求曲线y = x^3 + 2x的切线方程。
解答：由y = x^3 + 2x可得，y' = 3x^2 + 2。
切线方程为y - y0 = y'(x - x0)，代入x0 = 1，y0 = 3可得切线方程为y = 5x - 2。
二、线性代数1. 求矩阵A = [2 1; 3 4]的逆矩阵A^-1。
解答：A^-1 = (1/(2*4 - 1*3)) * [4 -1; -3 2] = [2/5 -1/5; -3/5 4/5]2. 已知矩阵B = [1 2; -1 3]，求B的特征值和特征向量。
解答：特征值λ满足|B - λE| = 0，其中E为单位矩阵。
解方程可得λ^2 - 4λ + 5 = 0，得到特征值λ1 = 2 + i和λ2 = 2 - i。
将特征值代入(B - λE)X = 0，得到特征向量X1 = [1; i]和X2 = [1; -i]。
三、概率论与数理统计1. 一枚硬币抛掷10次，求正面朝上的次数大于等于7次的概率。
解答：设X为正面朝上的次数，X服从二项分布B(10, 0.5)。
P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)= C(10, 7) * (0.5)^7 * (0.5)^3 + C(10, 8) * (0.5)^8 * (0.5)^2 + C(10, 9) * (0.5)^9 * (0.5) + C(10, 10) * (0.5)^10= 0.1718752. 一批产品的重量服从正态分布N(60, 4)，求随机抽取一个产品，其重量大于65的概率。
高数I(理科)复习题及解答(精华版)你懂的
)
( B) f ( x) x 2 (1 a) x a
(C ) f ( x) e
( D) f ( x) x 4 (1 a) x 2 a
解： f ( x) ( x
1 a 2 1 a 1 a ) x 在x 处不可导，故( A)不选， 2 2 2
2x 1 5
x2 5x 4 0 解：由 2 x 1 1 5
得：D [3,1)
(8) y
b sin x
2x 3 3 c arcsin ( a 3) 2 2 5 2 x a
返回
x2 a2 0 , x2 a2 0 解：由 2 x 3 5 1
高等数学I(理科)
期末复习题解答
函数，极限与连续
一、基本知识 1、函数的定义域 2、两个函数相等 3、函数的奇偶性 4、两个函数的复合 5、求给定函数的反函数 6、常用极限公式 7、无穷小量 8、分段函数在分界点的连续性
二、基本题型
1、求下列函数的定义域
返回
(6) y a ln( x 2 5 x 4) b arccos
r a(米）
2a 3 4a 3 C (r ) [k (2r 2 )] k (2 3 ) 0 r r
C最小 C(a) 3k a2
答： (省略)
(19)要建造一个底面为正方形，体积为2a3 (a 0为常数)立方米的
无盖长方体容器，如果 容器侧面的单位造价是 底面单位造价的 2倍，
解：设容器的底面半径 为r (米） , 容器的底面单位造价为 常数k
3 a 则容器的高h 2 2 2 (米） , r 2r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
理工高数考试试题答案
理工高数考试试题答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2-6x+4B. 6x^2-4x+4C. 6x^2-6x+5D. 6x^2-4x+22. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x-1C. y=2xD. y=x4. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 05. 以下级数收敛的是：A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - ...C. 1 + (1/2)^2 + (1/3)^3 + ...D. (1 + 1/2) / (1 - 1/2)二、填空题1. 函数y=cos(x)在区间[0,π]上的最大值为______。
2. 微分方程dy/dx = 3x^2 - 2y的通解为y = ____________。
3. 利用球面坐标系，点(3, 4, 5)的球面坐标为(r, θ, φ) =(_______, _______, _______)。
4. 曲线y=e^(-x^2)在点x=0处的法线斜率为_______。
5. 定积分∫(-∞ to +∞) e^(-x^2) dx的值为_______。
三、计算题1. 求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[0,2]上的最小值。
2. 计算极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
3. 求曲线y=2x^3-3x^2+1在点x=1处的切线与y轴的交点坐标。
4. 求定积分∫(0 to π/2) sin(x) / x dx的值。
5. 求级数1/3 + 1/15 + 1/35 + ...的和。
四、应用题1. 一个球形水池的半径为5米，现在水池里有一定量的水，水面高度为3米。
如果水面半径为4米的圆形桶可以装满整个水池里的水，问桶的深度至少要多少米？2. 某公司计划建造一条长为1000米的直线道路，由于地形限制，道路两端的坐标分别为A(-500, 0)和B(500, 0)。
高数I(理)复习题2019参考答案
结束
铃
6、下列等式中，哪些成立？哪些不成立？
(34) lim sin x 1 x x
不成立
sin x
(35) lim
1
x0 x
成立
1
(36) lim(1 x) x e x0 1
(37) lim(1 x) x e x
成立 不成立
(38) lim(1 1 )x e
x0
x
不成立
(39) lim(1 1 )x e
(28)若f
(ax
1) ax
a4 x2
1 x2
, 则f
( x)
.
解：f (ax
1 ) ax
a4x2
1 x2
a2(a2 x2
1 a2x2
2 2)
a2
(ax
1 ax
)2
2
令u ax 1 , 则f (u) a2(u2 2) ax
f ( x) a2 x2 2a2
f ( x) 2a2
11
x0
x
x x0
x x0 x
24
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结束
铃
(5)设f (1)
2, 则 lim x 1
f (3x 2) f (3 2x) x 1
10 __________ .
lim
f (3x 2)
f (3 2x) 令x
x1 lim
f (1 3x)
f (1 2x)
x1
x1
x0
x
f (1 3x) f (1) f (1) f (1 2x)
n
n
x0
x
x2 2
23
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高等数学上册习题答案吴赣昌人民大学出版社高数理工类
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
高等数学理工科用教材答案
高等数学理工科用教材答案高等数学是大部分理工科专业学生必修的一门基础课程，它在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力方面起着重要的作用。
然而，由于该课程的难度较高，学生常常在自学过程中遇到一些难题，需要及时找到相应的答案和解析。
本文将为大家提供高等数学理工科用教材的答案，以帮助学生更好地掌握相关知识。
一、导数与微分1. 判断下列函数在给定点处的可导性，并求出其导数：(1) f(x) = 3x^2 - 2x + 1, 在点x = 2处的可导性及导数；(2) g(x) = |x|，在点x = 0处的可导性及导数。
2. 求下列函数的高阶导数：(1) f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的三阶导数；(2) g(x) = sin(2x)的四阶导数。
二、定积分与不定积分1. 计算下列定积分：(1) ∫(0 to π/2) sin(x)dx；(2) ∫(1 to 2) x^2dx。
2. 计算下列不定积分：(1) ∫(x^3 + 2x^2 + 3x + 1)dx；(2) ∫sin^2(x)dx。
三、级数与收敛性1. 判断下列级数的收敛性：(1) ∑(n=1 to ∞) (1/2^n)；(2) ∑(n=1 to ∞) (n/(n+1))^n。
2. 计算下列级数的和：(1) ∑(n=1 to ∞) (1/2^n)；(2) ∑(n=1 to ∞) (n/(n+1))^n。
四、常微分方程1. 求解下列常微分方程的通解：(1) dy/dx = 3x^2 - 2x + 1；(2) dy/dx = x^2 + y。
2. 求解下列常微分方程的特解，满足给定的初始条件：(1) dy/dx = 3x^2 - 2x + 1, y(0) = 1；(2) dy/dx = x^2 + y, y(0) = 0。
五、行列式与矩阵1. 计算下列行列式的值：(1) |1 2||3 4|(2) |2 1 0||0 3 1||1 2 1|2. 求解下列线性方程组：(1) 2x + y = 5x + 3y = 7(2) x + y + z = 62x + 4y + z = 143x + 6y + 3z = 24六、傅里叶级数1. 求下列函数的傅里叶级数展开式：(1) f(x) = x, -π < x < π；(2) g(x) = |x|, -π < x < π。
高等数学I(上)复习题共7套(答案)
x)
1 1 lim 1 x lim
x
lim 1 1
x0 2 x
x0 2x(1 x) x0 2(1 x) 2
12．
1
e
1 x dx .
0
解：设 1 x t, 则 x 1 t2, dx 2tdt, 且 x 0 时， t 1 ； x 1时， t 0 ，
1 e
1 x dx
证. 对任意 x ，由于 f ( x) 是连续函数，所以
F ( x x) F ( x)
lim
x 0
x
lim f ( ) x0
xx f t dt x f t dt
lim 0
0
x 0
x
2
xx f t dt
lim x
x 0
x
f ( )x lim
x0 x
其 中 介 于 x 与 x x 之 间 ， 由 lim f ( ) f ( x) ， 可 知 函 数 F( x) 在 x 处 可 导 ， 且 x0
所以
dy cos π π sin π 1 ． dx π 1 sin π π cos π 1 π
法二： dy cos (sin )d cos sin d ．
dx 1 sin (cos )d 1 sin cos d ．
5
dy
dy dx
d dx
cos sin ; 1 sin cos
0 ，驻点 x
f (0) .
在 t 0 两侧， dy 变号，故驻点是函数 y y( x)的极值点。 dx
1
（2）
d2 y dx 2
dt dt
1 dx
1 0 f (t)
dt
，曲线 y y( x)没有拐点.
第八章(理工)多元函数的微分学
4、过曲面 z − e + 2 xy = 3 上点 (1, 2, 0) 处的切平面方程为 解析：切点的方向向量为 n = (2 y , 2 x,1 − e ) ⇒ n
z
G
G
(1,2,0)
= (4, 2, 0) = (2,1, 0) ，则有点向式 2( x −1) + ( y − 2) = 0
⇒ 2x + y − 4 = 0
∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − − − = − − − ∂x 2 ∂u 2 ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − + + = − + + − = − + − ∂y 2 ∂u 2 ∂y ∂u∂v ∂y ∂u∂v ∂y ∂v 2 ∂y ∂u 2 ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w = 1− 2 − + + = 1− 2 − + + = 1− 2 + 2 ∂x∂y ∂u ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w +2 + = − 2 −2 − + 2(1 − 2 + 2 ） − 2 +2 − ＝− 4 2 + 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u
《高等数学12》理工类试题与答案
《高等数学12》理工类试题一一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上） 1、已知函数(,)y f x y xe -=，它在点(1,0)P 处的梯度等于 ． 2、过Z 轴和点0(2,3,4)M -的平面方程为 .3、空间曲线211x t t y t z t=+⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点1t =处的切线方程为 .4、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-上的表达式为1,0(),0x x f x x x ππ+≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，则它展开成傅里叶级数时的系数0a = .5、函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4D x y x y =+≤上的最大值为 ． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1、设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ ）．（A ）11(1)n n n u ∞+=-∑； （B ）1n n u ∞=∑；（C ）11n nu ∞=∑ （D ）1()(0)n n u a a ∞=+>∑2、设直线l 为102x y z==-，则直线l （ ）. （A ）过原点且垂直于x 轴； （B ）过原点且垂直于y 轴； （C ）过原点且垂直于z 轴； （D ）不过原点也不垂直于坐标轴.3、求244x y y y xe '''-+=的特解时，应设（ ）． (A) *2()x y Ax B e =+； (B) *22x y Ax e =； (C) *2()x y x Ax B e =+； (D) *22()x y x Ax B e =+．4、设(,)f x y 为连续函数，则二次积分420d (,)d x xx f x y y =⎰⎰（ ）（A ）2414d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； （B) 21440d (,)d y y y f x y x -⎰⎰； （C ）41104d (,)d y f x y x ⎰⎰； （D ）20144d (,)d y y y f x y x ⎰⎰.5、比较321I ()d ()d DDx y x y σσ=+=+⎰⎰⎰⎰2与I 的大小，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)1x y -+-=所围成,则（ ）(A) 12I I =； (B) 12I I ≥；(C) 12I I ≤； (D) 1I 和2I 不能比较大小.三、计算题（本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分） 1、求向量{1,1,2}a →=--与{1,2,1}b →=-的夹角θ；2、设(,)z f x y =由方程222z x z y e -=所确定，求d z ；3、设2(2,)y z xf x x =，f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.4、计算二重积分2()d d Dy x x y -⎰⎰， 其中D 由曲线2y x =和 1y =所围成的平面闭区域；5、已知立体Ω是由圆柱面221x y +=内部、平面4z =下方和抛物面221z x y =--上方部分围成，求22d x y V Ω+⎰⎰⎰.四、判断题（本题8分） 判定级数11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、将函数2()4xf x x =+展开成x 的麦克劳林级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程ln 2(ln 1)xy x y x x '+=+的通解.3、求微分方程(1)xxe yy e '+=满足初始条件00x y==的特解.《高等数学12》理工类试题一答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_____i j →→-或{1,1}-_____. 2、______320x y +=______.3、_____221112x y z ---==-_____. 4、 ______1______. 5、___8或8f =最大 或(0,2)8f ±=最大______.二、选择题（每小题 3分，共 15分）1、A.2、B.3、D.4、A.5、C.三、 （本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题每题10分，共40分） 1、解：（6分）cos a b a b θ→→→→⋅=⋅………2分1221cos 266a ba bθ→→→→⋅-++===⋅………3分3πθ=………1分.2、解：（8分）222z z z x zy x x e ∂∂-=∂∂， z z xx z ye∂=∂+ ………3分 222z z z z z y y y e e ∂∂-=+∂∂， z zz e y z ye ∂-=∂+ ………3分 d z z x dx z ye =+zze dy z ye-++ ………2分. 3、解：（8分）令f 对2x 的偏导数记为1f '，对2yx的偏导数记为2f '，1f '对2y x 的偏导数记为12f ''，2f '对2y x 的偏导数记为22f ''， ………1分2212122[2()]2z y y f x f f f xf f x x x∂''''=++-=+-∂ ………4分2221222222222[][]z y y y y yf x f f f x y x x x x x∂''''''=⋅+⋅--⋅∂∂ 31222224y yf f x''''=-. ………3分. 4、解：（8分）如图所示,211221()d d ()xDy x x y dx y x dy --=-⎰⎰⎰⎰ ………4分221121241111[][]222x y x y dx x x dx --=-=-+⎰⎰351111[]2310x x x -=-+ ……2分 815=. ……2分5、解：（10分）如图所示 , ……2分221422201d r x y V d r dr dz πθ-Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰……3分1223510012(3)2[]5r r dr r r ππ=+=+⎰ ………3分 125π=………2分 四、（本题8分）解：（8分）考察111(1)1sinsin 22n nnn n nnππππ-∞∞==-=∑∑，因为11sin 2nnn πππ≤(1)n ≥ ………4分 而11q π=<，所以几何级数11nn π∞=∑是收敛的，故11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑绝对收敛，原级数收敛.………4分五、（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、解：（8分）因为，21()414x f x x =⋅+，又因为01(1),(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑， ………2分所以，()f x =221100(1)()(1)444n n n n n n n x x x +∞∞+==-=-∑∑. ………3分 222321121lim (1)/(1)lim 4444n n n n n n n n x x x x ρ+++++→∞→∞=--==. 当214xρ=<，即22x -<<时，级数绝对收敛；当2x =-时，级数111000(2)441(1)(1)(1)4242n n nn n n n n n n ∞∞∞+++===-⋅-=-=-⋅∑∑∑发散， 当2x =时，级数100241(1)(1)42n nn n n n ∞∞+==⋅-=-∑∑发散，级数收敛域为(22)x -<<.所以，()f x 2110(1)4n nn n x +∞+==-∑，(22)x -<< ………3分2、解：（7分）因为112(1)ln ln dy y dx x x x+=+是一阶线性微分方程，所以由 ()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ ………2分11ln ln 1[2(1)]ln dx dx x x x xy e e dx C x-⎰⎰=++⎰ln(ln )[(2ln 2)]x e x dx C -=++⎰ ……3分11[2ln 2][2(ln )2]ln ln xdx dx C x x x x C x x=++=-++⎰⎰ 2ln C x x =+.所以，通解为2ln Cy x x=+ ………2分 3、解：因为1xxe ydy dx e =+是变量可分离微分方程，所以由 1xx e ydy dx e =+⎰⎰ ………2分21ln(1)2x y e C =++ 22ln(1)x y e C =++ （其中12C C =） ……3分由00x y==，得002ln(1)e C =++2ln 2C =-特解为： 22ln(1)2ln 2xy e =+-. ……2分。
高考理工数学试卷真题答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -3D. 0.1010010001…2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. -1B. 0C. 3D. 53. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 27B. 30C. 33D. 364. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的正弦值为（）A. √2/2B. √6/4C. √10/4D. √14/45. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = x^36. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)的图像是（）A. V形B. U形C. 直线D. 抛物线7. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1=1，q=2，则第5项bn的值为（）A. 32B. 16C. 8D. 48. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆C的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, -2)，则线段AB的中点坐标为（）A. (3/2, 1/2)B. (1/2, 3/2)C. (1, 2)D. (2, 1)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = -x^2 + 2x - 3，则f(-1)的值为______。
12. 等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第7项an的值为______。
13. 已知等比数列{bn}的首项为4，公比为1/2，则第4项bn的值为______。
14. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=6，b=8，c=10，则角A的正切值为______。
安徽理工大学高等数学下复习题(含答案)
2 确定，则 d z
( 1,0,1)
( C
).
(D) 1 2
2 z xy
xyf 22 f 2 xf12
.
2、设 z f ( x y , xy ) ，其中 f 具有二阶连续导数，则
2 z ( x y ) f12 xyf 22 f 2 . f11 xy
A x B1 y C1 z D1 0, A B A B y A2C1 A1C2 z A2 D1 A1D2 0, 2、直线 1 ( Ai 0, i 1,2) 在 yOz 平面上的投影是 2 1 1 2 A2 x B2 y C2 z D2 0, x 0.
3、曲面 x 2 y 2 z 2 a 2 与 x 2 y 2 2 az ( a 0) 的交线是( C (A) 抛物线 (B) 双曲线 (C) 圆周 ). (D) 椭圆
2 2 x y 4, z 0.
z x2 y 2 , 4、求曲线 在 xOy 坐标面上的投影曲线的方程. 2 2 z 6 x y
cx az cx0 az 0 , 般式为 即此直线在曲面上，从而曲面是母线平行于向量 的柱面. cy bz cy0 bz 0 .
2 z y 7、设 z xf x , ，其中 f 具有二阶连续导数，求 . xy x
六、隐函数求导及其在几何上的应用 1、曲面 2 xy z e z 3 在点 (1, 2,0) 处的切平面方程为（ A ）. (A) 2 x y 4 0 (B) x 2 y 8 0 (C) x 2 y 3 0 (D) 2 x y 4 0
高数理工类习题册答案
三、原式=
四、1、原式=
2、原式=
习题十九
一、
=
二、
三、将扇形顶点放在坐标原点，取 轴为中心轴，则质心为
，质心为
四、
五、（1）
（2）
质心为
（3）
第十章复习题
一、
1、 2、 3、 4、
二、
三、原式=
四、原式=
五、
六、原式=
习题二十
一、1、 2、
二、
三、1、原式=
2、
原式=
3、原式=
4、原式=
2、
3、
四、
1、
2、
3、
4、令 则
五、证明：
习题十
一、1.×2.×
二、D B C
三、1. 3 2.
四ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1.
a)
b)
习题十一
一、××
二、C C
三、1． 2． 3．
四、1． 2．
3． 4．0
习题十二
一、××
二、B A
三、1．
2．
四、1．
2．
3．
习题十三
一、×
二、BA D
三、1．36 2．18
四、1． 为极大值点，极大值为10
原式=
3、
原式=
习题二十四
一、1、 2、
二、1、C 2、C
三、1、原式=
2、
原式=
3、
原式=
四、（1）
原式=
（2） 外侧法向量
原式=
习题二十五
一、1、 2、
3、
二、1、原式=
=
2、原式=
3、原式=
三、1、
2、
3、
工科考研数学试题及答案
工科考研数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 若矩阵A和B满足AB=E，其中E为单位矩阵，则矩阵A和B（）。
A. 互为逆矩阵B. 互为转置矩阵C. 互为伴随矩阵D. 互为正交矩阵答案：A4. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D5. 微分方程y''-3y'+2y=0的通解是（）。
A. y=c1e^x+c2e^(2x)B. y=c1e^x+c2e^(-x)C. y=c1e^(2x)+c2e^(-2x)D. y=c1e^(2x)+c2e^(-x)答案：B6. 函数f(x)=x^2+2x+1在区间[-1,1]上的最大值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D7. 级数1+1/2+1/4+1/8+...的和是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 曲线y=x^2与直线y=2x所围成的面积是（）。
A. 1/3B. 2/3C. 1D. 2答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 3答案：A10. 曲线y=ln(x)的拐点坐标是（）。
A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f'(x)=________。
答案：2x-42. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2+1)的值是________。
答案：03. 若矩阵A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}，则|A|=________。
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韶关学院20**－20**学年第一学期
《微积分》期末试卷（A 卷）参考答案与评分标准
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限=→x x
x 5ta n 3sin lim
5
3；
2、已知0s ec 2=-'x y ，则y =
C
x +tan ；
3、()f x 在0x 处左、右导数都存在是()f x 在0x 处可导的 必要 条件；
4、反常积分
=
⎰
∞+-0
dx e x 1
；
5、设x x f cos )(=，则导数：=⎰2
0)(x dt t f dx
d 2
cos 2x x 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
6、下列函数中在区间[-2, 2]上满足罗尔定理条件的是（ D ）
Ａ、x
x f 1
)(=
B 、||ln )(x x f =
C 、x x f sin )(=
D 、2
1)(x x f -=
7、若,)(2
c x dx x f +=⎰则⎰
=dx x xf )(sin cos （ C ）
Ａ、C x +2 Ｂ、C x +2
Ｃ、C x +2
sin
Ｄ、C x x +cos 2
8、设二阶可导函数)(x f 在点0x 处有：0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则下列正确的是( A )
(A) )(0x f 是极大值； (B) )(0x f 是极小值，； (C) 点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点； (D) )(x f '单调递增； 9、下列函数为奇函数的是（ B ）
A 、x
e x +sin B 、)1ln(2++x x C 、||x D 、x x cos 2
10、设
∑∞
=1
n n
u
是正项级数，a 是一个正数，则下列叙述错误的是：（ C ）
（A ）若n n u 21<，则∑∞=1n n u 收敛， （B ）若a u n n
n =∞→2l i m ，则∑∞
=1
n n u 收敛， （C ）a n
u n
n =∞→21lim ，则∑∞=1n n u 发散， （D ）若e u n n n =∞
→l i m ，则∑∞
=1
n n u 发散；
三、解答下列各题(每小题6分，共48分)
11、证明：当1>x 时，ex e x
>； 12、设⎩⎨
⎧-=+=-t
e
t y t t x ，求
dx
dy ； 证明：令ex e x f x -=)( （1分） 解：
t
dt dx 211+= （1分） 则)(x f 当1≥x 时连续可导 或dt t dx ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
=211 且 e e x f x
-=')( （2分）
t e dt
dy
-+=1 （2分） 当1>x 时，0)(>'x f （3分） 或dt e dy t
)1(-+=
即：当1>x 时，)(x f 单调递增 （4分） 从而有：dt
dx dt
dy dx
dy =
（5分） 故 0)1()(=>f x f （5分） 即 t
e t dx dy t 21)
1(2++=
-（6分） 从而，当1>x 时，ex e x
> （6分）
13、求极限：n
n n n 312lim ⎪⎭⎫
⎝⎛+-∞→；
14、设)arcsin(x y =，求dy ； 解：原式n n
n n n 331121lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+=∞
→ （2分） 解：dx y dy '= (1分)
3
1121lim ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n n n n （3分） ()dx x x '
-=11 (4分)
3
621121lim ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--∞
→n
n
n n n （5分） dx x
x 21
11
⋅
-=
(6分)
936
--==e e
e （6分）
15、证明级数∑∞
=⋅1
!
2n n n n n 收敛； 16、计算⎰e xdx 1ln 。
证：n
n n u u 1
lim
+∞→ 解：⎰e xdx 1ln
!
2)1(!)1(2l i m 11n n n n n n n n n ⋅⋅++⋅=++∞→(2分) ⎰-=e e
dx x x 11|ln (3分) n
n n n n )1(2lim +⋅=∞→n n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∞→112lim (3分) e
e x x x 11||ln -= (5分)
12
<=
e
. 级数收敛 (6分) 1= (6分) 17、求32)3()(x x x f -=在区间 ]1,1[-上的最大值与最小值； 解：33
2332)(x x x x f -⋅+
=
'3
6
5x
x -= （3分） )(x f 在0=x 处不可导，而唯一驻点15
6
>=
x （舍去） （4分） 又4)1(-=-f ， 0)0(=f ， 2)1(-=f ， （5分） 故 所求的最大值为 0)0(=f ，最小值为 4)1(-=-f 。
（6分）
18、计算
⎰++
1
1x dx ；
解：令1+=x t ，则12-=t x ，tdt dx 2=， （2分）
⎰++
1
1x dx ⎰
+=t tdt 12⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=⎰⎰t dt dt 12 （4分） C t t ++-=)|1|ln (2 （5分） C x x +++-+=)|11|ln 1(
2 （6分）
四、解答下列各题(第19题8分，第20题14分，共22分)
19、设函数⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=0,
00
,1sin )(x x x
x x f ，试证明)(x f 在0=x 处连续但不可导； 证明：已知0)0(=f ， （1分） 因为 )(lim 0
x f x →)0(01
sin
lim 0
f x
x x ===→ 因此，)(x f 在0=x 处连续 （4分）
但是：0)0()(lim
--→x f x f x x
x 1
sin lim 0→=， （7分） 极限不存在，
因此，)(x f 在0=x 处不可导。
（8分）
20、设曲线x y =2与2x y =所围成平面图形记为T ，则：（1）求该图形T 的面积， （2）计算该图形T 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
解：曲线x y =2与2x y =有两个交点：)0,0(，)1,1(， （1分） （1）图形T 的面积：(
)
⎰-=
102dx x x A （5分）
10323313
2⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=x x 3
1
= （7分） （2）旋转体的体积：()
⎰⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-=1
222
)(dx x x V π
（12分）
1
52512
1⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=x x ππ10
3
=
（14分）。