分式方程(5)

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第五课时:一元二次方程(分式方程)及应用

第五课时:一元二次方程(分式方程)及应用

知识梳理:知识点1 分式方程的概念及解法1.分式方程的概念;分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒:分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程根本依据】2.分式方程的解法步骤(1)去分母:给方程两边都乘以________,把它化为整式方程;(2)解这个整式方程;(3)________.3.增根(无解):在进行分式方程去分母的变形时,有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。

因此,解分式方程时必须验根,验根的方法是代入最简公分母,使最简公分母为 的根是增根应舍去。

【名师提醒:分式方程解法中的验根是一个必备的步骤,不能省略】提分必练:1.分式方程3x =2x -1的解是( )A .x =-3B .x =-35C .x =3D .无解2.若分式方程x x -1-m 1-x=2有增根,则这个增根是________.m=___________。

3.解分式方程2x -1+x +21-x=3知识点 2 分式方程的应用(高频考点) 1.列分式方程解应用题的六个步骤 (1)审:弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系;(2)设:设未知数,根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量;(3)列:根据等量关系,列出方程; (4)解:求出所列方程的解; (5)检:双检验.A .检验是否是分式方程的解; B .检验是否符合实际问题; (6)答:写出答案. 2.常见关系 分式方程的应用题主要涉及工作量问题,行程问题等常见的公式及数量关系. 知识点3 一元二次方程的概念 1. 概念:只含有_____个未知数,未知数的最高次数是_____的________方程叫一元二次方程.2.一般形式是:_______________________. ____________________________________。

【名师提醒:1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列,并且一般首项为正】知识点4 一元二次方程的解法 直接开平方法:这种方法适合于左边是一个完全平方式,而右边是一个非负数的一元二次方程,即形如ax 2=b 或(x +m)2=n(n>0)的方程. 配方法:1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项的系数。

中考数学压轴题专题-分式方程(解析版)

中考数学压轴题专题-分式方程(解析版)

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题05分式方程及应用【考点1】解分式方程【例1】(2020·湖南郴州·中考真题)解方程:24111x x x =+-- 【答案】x=3. 【解析】 【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1),去分母,转化为整式方程求解,结果要检验. 【详解】 解:24111x x x =+-- 去分母得,2(1)41x x x +=+- 解得,x=3,经检验,x=3是原方程的根, 所以,原方程的根为:x=3. 【点睛】(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解;(2)解分式方程一定注意要检验.【变式1-1】(2020·内蒙古通辽·中考真题)解方程:232x x=-. 【答案】6x =. 【解析】 【分析】首先去掉分母,观察可得最简公分母是x (x ﹣2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解. 【详解】去分母,得()232x x =-, 去括号,得236x x =-, 移项,合并同类项,得6x -=-, 化x 的系数为1,得6x =, 经检验,6x =是原方程的根, ∴原方程的解为6x =. 【点睛】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键.【变式1-2】(2020·山东莘县·初三学业考试)解方程:214111x x x++=--. 【答案】原方程无解. 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是(x ﹣1)(x+1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解. 【详解】解:方程的两边同乘(x ﹣1)(x+1),得2(1)4(1)(1)x x x +-=+-,解得x=1.检验:把x=1代入(x ﹣1)(x+1)=0. 所以原方程的无解. 【点睛】本题考查解分式方程.【考点2】已知分式方程的解,求字母参数的值【例2】(2020·临潭县第二中学初三二模)若x=4是分式方程213a x x -=-的根,则a 的值为( ) A .6 B .-6C .4D .-4【答案】A 【解析】 【分析】把x =4代入方程进行求解即可. 【详解】 由题意得:24a -=143-, 解得:a =6, 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的解,熟练掌握分式方程解的意义是解题的关键.【变式2-1】若关于x 的分式方程1的解为x =2,则m 的值为( )A .5B .4C .3D .2【答案】B【解析】∵关于x 的分式方程1的解为x =2,∴x =m ﹣2=2, 解得:m =4. 故选:B .点睛:此题主要考查了分式方程的解,正确解方程是解题关键. 【考点3】分式方程的特殊解问题【例3】(2020·四川眉山·中考真题)关于x 的分式方程11222kx x-+=--的解为正实数,则k 的取值范围是________.【答案】2k >-且2k ≠ 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程,根据题意列出不等式,解不等式即可. 【详解】 解:11222k x x-+=-- 方程两边同乘(x-2)得,1+2x-4=k-1, 解得22k x +=222k +≠,022k +> 2k ∴>-,且2k ≠故答案为:2k >-且2k ≠ 【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法,掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键.【变式3-1】(2020·四川广元·中考真题)关于x 的分式方程2021mx +=-的解为正数,则m 的取值范围是_____________. 【答案】m<2且m≠0 【解析】 【分析】首先解方程求得方程的解,根据方程的解是正数,即可得到一个关于m 的不等式,从而求得m 的范围. 【详解】解:去分母得:m+4x-2=0, 解得:x =24m-, ∵关于x 的分式方程2021mx +=-的解是正数, ∴24m->0, ∴m<2, ∵2x-1≠0, ∴22-104m-⨯≠, ∴m≠0,∴m 的取值范围是m<2且m≠0. 故答案为:m<2且m≠0. 【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定,正确求解分式方程是解题的关键.【变式3-2】(2020·湖北荆门·中考真题)已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+的解满足41x -<<-,且k 为整数,则符合条件的所有k 值的乘积为( )A .正数B .负数C .零D .无法确定【答案】A 【解析】 【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k-,代入41x -<<-求出k 的取值,即可得到k 的值,故可求解. 【详解】关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+ 得x=217k -, ∵41x -<<- ∴21471k --<<- 解得-7<k <14∴整数k 为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, 又∵分式方程中x≠2且x≠-3 ∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中,含负整数6个,正整数13个,∴k 值的乘积为正数, 故选A . 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合,解题的关键是熟知分式方程的求解方法. 【考点4】分式方程的无解(增根)问题【例4】(2020·山东潍坊·中考真题)若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根,则m =_________.【答案】3. 【解析】 【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程,然后由分式方程有增根求出x 的值,代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值. 【详解】解:去分母得:()332x m x =++-,整理得:21x m =+, ∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根,即20x -=, ∴2x =,把2x =代入到21x m =+中得:221m ⨯=+,解得:3m =, 故答案为:3. 【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值,增根就是使最简公分母为零的未知数的值;解决此类问题的步骤:①化分式方程为整式方程;②让最简公分母等于零求出增根的值;③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.【变式4-1】(2020·四川遂宁·中考真题)关于x 的分式方程2mx -﹣32x-=1有增根,则m 的值( ) A .m =2 B .m =1C .m =3D .m =﹣3【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,确定出m 的值即可. 【详解】解:去分母得:m +3=x ﹣2,由分式方程有增根,得到x ﹣2=0,即x =2, 把x =2代入整式方程得:m +3=0, 解得:m =﹣3, 故选:D . 【点睛】此题考查了分式方程的增根,增根确定后可按如下步骤进行:①化分式方程为整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 【考点5】分式方程的应用问题【例5】(2020·吉林长春·中考真题)在国家精准扶贫的政策下,某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证,绿标的认证,使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力,今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元.预计今年的销量是去年的3倍,年销售额为360万元.已知去年的年销售额为80万元,问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤? 【答案】2万斤 【解析】 【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤,则今年黑木耳的年销量为3x 万斤,根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元,即可得出关于x 的分式方程,解之经检验后即可得出结论. 【详解】解:设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤 依题意得80360203x x+= 解得:2x =经检验2x =是原方程的根,且符合题意. 答:该村企去年黑木耳的年销量为2万斤. 【点睛】本题考查分式方程的应用,根据题意找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.【变式5-1】(2020·江苏泰州·中考真题)近年来,我市大力发展城市快速交通,小王开车从家到单位有两条路线可选择,路线A 为全程25km 的普通道路,路线B 包含快速通道,全程30km ,走路线B 比走路线A 平均速度提高50%,时间节省6min ,求走路线B 的平均速度. 【答案】75km/h 【解析】 【分析】根据题意,设走线路A 的平均速度为/xkm h ,则线路B 的速度为1.5/xkm h ,由等量关系列出方程,解方程即可得到答案. 【详解】解:设走线路A 的平均速度为/xkm h ,则线路B 的速度为1.5/xkm h ,则2563060 1.5x x-=, 解得:50x =,检验:当50x =时,1.50x ≠, ∴50x =是原分式方程的解;∴走路线B 的平均速度为:50 1.575⨯=(km/h ); 【点睛】本题考查分式方程的应用,以及理解题意的能力,解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解.【变式5-2】(2020·贵州黔西·中考真题)“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少10%,求:(1)A 型自行车去年每辆售价多少元;(2)该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆,且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍.已知,A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划B 型车销售价格为2400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多.【答案】(1) 2000元;(2) A 型车20辆,B 型车40辆. 【解析】 【分析】(1)设去年A 型车每辆售价x 元,则今年售价每辆为(x ﹣200)元,由卖出的数量相同列出方程求解即可; (2)设今年新进A 型车a 辆,则B 型车(60﹣a )辆,获利y 元,由条件表示出y 与a 之间的关系式,由a 的取值范围就可以求出y 的最大值. 【详解】解:(1)设去年A 型车每辆售价x 元,则今年售价每辆为(x ﹣200)元,由题意,得8000080000(110%)200x x -=-, 解得:x=2000.经检验,x=2000是原方程的根. 答:去年A 型车每辆售价为2000元;(2)设今年新进A 型车a 辆,则B 型车(60﹣a )辆,获利y 元,由题意,得 y=a+(60﹣a ), y=﹣300a+36000.∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍, ∴60﹣a≤2a , ∴a≥20.∵y=﹣300a+36000. ∴k=﹣300<0, ∴y 随a 的增大而减小. ∴a=20时,y 最大=30000元. ∴B 型车的数量为:60﹣20=40辆.∴当新进A 型车20辆,B 型车40辆时,这批车获利最大. 【点睛】本题考查分式方程的应用;一元一次不等式的应用.1.(2020·四川广元·中考真题)按照如图所示的流程,若输出的=6M -,则输入的m 为( )A .3B .1C .0D .-1【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的程序,利用分类讨论的方法可以分别求得m 的值,从而可以解答本题. 【详解】解:当m 2-2m≥0时,661m =--,解得m=0,经检验,m=0是原方程的解,并且满足m 2-2m≥0, 当m 2-2m <0时,m-3=-6,解得m=-3,不满足m 2-2m <0,舍去. 故输入的m 为0. 故选:C . 【点睛】本题考查有理数的混合运算,解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法. 2.(2020·甘肃初三一模)关于x 的分式方程2x a1x 1+=+的解为负数,则a 的取值范围是( ) A .a 1> B .a 1<C .a 1<且a 2≠-D .a 1>且a 2≠【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,表示出整式方程的解,根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式,求出不等式的解集即可确定出a 的范围. 【详解】分式方程去分母得:x 12x a +=+,即x 1a =-, 因为分式方程解为负数,所以1a 0-<,且1a 1-≠-, 解得:a 1>且a 2≠, 故选D . 【点睛】本题考查了分式方程的解,熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0.3.(2020·四川宜宾·中考真题)学校为了丰富学生的知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元,已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等,设文学类图书平均每本x 元,则列方程正确的是( )A .15000120008x x =- B .15000120008x x =+ C .15000120008x x =- D .15000120008x x=+ 【答案】B【解析】【分析】设文学类图书平均每本x 元,根据购买的书本数相等即可列出方程.【详解】设文学类图书平均每本x 元,依题意可得150********x x=+ 故选B .【点睛】此题主要考查分式方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.4.(2020·辽宁朝阳·中考真题)某体育用品商店出售毽球,有批发和零售两种售卖方式,小明打算为班级购买键球,如果给每个人买一个毽球,就只能按零售价付款,共需80元;如果小明多购买5个毽球,就可以享受批发价,总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同,则小明班级共有多少名学生?设班级共有x 名学生,依据题意列方程得( ) A .807250405x x ⨯=⨯+ B .807240505x x ⨯=⨯+ C .728040505x x ⨯=⨯- D .728050405x x ⨯=⨯- 【答案】B【解析】【分析】 根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系,分别找到零售价与批发价即可列出方程.【详解】设班级共有x 名学生,依据题意列方程得,807240505x x ⨯=⨯+ 故选:B .【点睛】本题主要考查列分式方程,读懂题意找到等量关系是解题的关键.5.(2020·辽宁鞍山·中考真题)甲、乙两人加工某种机器零件,已知每小时甲比乙少加工6个这种零件,甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等,设甲每小时加工x 个零件,所列方程正确的是( )A .2403006x x =-B .2403006x x =+C .2403006x x =-D .2403006x x=+ 【答案】B【解析】【分析】根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”,列出方程即可.【详解】解:根据题意得:2403006x x =+, 故选B .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.6.(2020·湖北荆门·中考真题)已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-,且k 为整数,则符合条件的所有k 值的乘积为( ) A .正数B .负数C .零D .无法确定 【答案】A【解析】【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k -,代入41x -<<-求出k 的取值,即可得到k 的值,故可求解. 【详解】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+ 得x=217k -, ∵41x -<<-∴21471k --<<- 解得-7<k <14∴整数k 为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中,含负整数6个,正整数13个,∴k 值的乘积为正数,故选A .【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合,解题的关键是熟知分式方程的求解方法.7.(2020·重庆市教科院巴蜀实验学校)关于x 的方程1242k x x x -=--的解为正数,则k 的取值范围是( )A .4k >-B .4k <C .4k >-且4k ≠D .4k <且4k ≠- 【答案】C【解析】【分析】先对分式方程去分母,再根据题意进行计算,即可得到答案.【详解】解:分式方程去分母得:(24)2k x x --=, 解得:44k x +=, 根据题意得:404k +>,且424k +≠, 解得:4k >-,且4k ≠.故选C .【点睛】本题考查分式方程,解题的关键是掌握分式方程的求解方法.8.(2018·四川巴中·中考真题)若分式方程231222x a x x x x -+=--有增根,则实数a 的取值是( ) A .0或2B .4C .8D .4或8【答案】D【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程,确定分式方程的增根,代入计算即可.【详解】解:方程两边同乘x (x ﹣2),得3x ﹣a+x=2(x ﹣2),由题意得,分式方程的增根为0或2,当x=0时,﹣a=﹣4,解得,a=4,当x=2时,6﹣a+2=0,解得,a=8,故选D .【点睛】本题考查的是分式方程的增根,增根的定义:在分式方程变形时,有可能产生不适合原方程的根,即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根,叫做原方程的增根.9.(2020·山东济南·中考真题)代数式31x -与代数式23x -的值相等,则x =_____. 【答案】7【解析】【分析】根据题意列出分式方程,去分母,解整式方程,再检验即可得到答案.【详解】 解:根据题意得:3213x x =--, 去分母得:3x ﹣9=2x ﹣2,解得:x =7,经检验x =7是分式方程的解.故答案为:7.【点睛】本题考查的是解分式方程,掌握分式方程的解法是解题的关键.10.(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______,方程228122-=--x x x x的解是____________. 【答案】()2x x - x=-4【解析】【分析】根据最简公分母的定义得出结果,再解分式方程,检验,得解.【详解】解:∵()222x x x x -=-, ∴分式22x x -与282x x -的最简公分母是()2x x -, 方程228122-=--x x x x , 去分母得:()2282x x x -=-, 去括号得:22282x x x -=-,移项合并得:2280x x +-=,变形得:()()240x x -+=,解得:x=2或-4,∵当x=2时,()2x x -=0,当x=-4时,()2x x -≠0,∴x=2是增根,∴方程的解为:x=-4.【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程,解题的关键是掌握分式方程的解法.11.(2020·广东广州·中考真题)方程3122x x x =++的解是_______. 【答案】32【解析】【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可.【详解】 3122x x x =++ 左右同乘2(x +1)得: 2x =3解得x =32.经检验x =32是方程的跟. 故答案为: 32. 【点睛】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤.12.(2020·黄冈市启黄中学初三二模)关于x 的分式方程21311x a x x --=--的解为非负数,则a 的取值范围为_______.【答案】4a ≤且3a ≠【解析】【分析】 根据解分式方程的方法和方程21311x a x x --=--的解为非负数,可以求得a 的取值范围. 【详解】 解:21311x a x x--=--, 方程两边同乘以1x -,得()2131x a x -+=-,去括号,得2133x a x -+=-,移项及合并同类项,得4x a =-,关于x 的分式方程21311x a x x--=--的解为非负数,10x -≠, ∴()40410a a -≥⎧⎨--≠⎩, 解得,4a ≤且3a ≠,故答案为:4a ≤且3a ≠.【点睛】本题主要考查根据分式方程的根求解参数,难度系数稍微有点大,但是是必考点.13.(2020·山东乐陵·初三二模)若关于x 的分式方程333x a x x+--=2a 无解,则a 的值为_____.【答案】1或12【解析】 分析:直接解分式方程,再利用当1-2a=0时,当1-2a≠0时,分别得出答案.详解:去分母得:x-3a=2a (x-3),整理得:(1-2a )x=-3a ,当1-2a=0时,方程无解,故a=12; 当1-2a≠0时,x=312a a --=3时,分式方程无解, 则a=1,故关于x 的分式方程333x a x x +-+=2a 无解,则a 的值为:1或12. 故答案为1或12. 点睛:此题主要考查了分式方程的解,正确分类讨论是解题关键. 14.(2020·四川内江·中考真题)若数a 使关于x 的分式方程2311x a x x ++=--的解为非负数,且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤,则符合条件的所有整数a 的积为_____________ 【答案】40【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a≠3,根据不等式组的解集为0y ≤,即可得出a>0,找出0<a ≤5且a≠3中所有的整数,将其相乘即可得出结论.【详解】 解:分式方程2311x a x x ++=--的解为x=52a -且x≠1, ∵分式方程2311x a x x++=--的解为非负数, ∴502a -≥且52a -≠1. ∴a ≤5且a≠3.()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩①② 解不等式①,得0y ≤.解不等式②,得y<a.∵关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤, ∴a>0.∴0<a ≤5且a≠3.又a 为整数,则a 的值为1,2,4,5.符合条件的所有整数a 的积为124540⨯⨯⨯=.故答案为:40.【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式,根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为0y ≤,找出a 的取值范围是解题的关键.15.(2020·黑龙江大庆·中考真题)解方程:24111x x x -=-- 【答案】3【解析】【分析】去分母化成整式方程,求出x 后需要验证,才能得出结果;【详解】 24111x x x -=--, 去分母得:214x x -+=,解得:3x =.检验:把3x =代入1x -中,得-=-=≠13120x ,∴3x =是分式方程的根.【点睛】本题主要考查了分式方程的求解,准确计算是解题的关键.16.(2020·陕西中考真题)解分式方程:2312xx x--=-.【答案】x=45.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】解:方程2312xx x--=-,去分母得:x2﹣4x+4﹣3x=x2﹣2x,移项得:-5x=-4,系数化为1得:x=45,经检验x=45是分式方程的解.【点睛】本题考查了解分式方程.利用了转化的思想,解分式方程要注意检验.17.(2020·湖南中考真题)第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务,经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍,小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片,小明比小强所用的时间快140秒,求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆?【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆,则该地5G的下载速度是每秒60兆.【解析】【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆,则该地5G的下载速度是每秒15x兆,根据题意可得等量关系:4G 下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间=140秒.然后根据等量关系,列出分式方程,再解即可.【详解】解:设该地4G的下载速度是每秒x兆,则该地5G的下载速度是每秒15x兆,由题意得:600x﹣60015x=140,解得:x=4,经检验:x=4是原分式方程的解,且符合题意,15x =15×4=60,答:该地4G 的下载速度是每秒4兆,则该地5G 的下载速度是每秒60兆.【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用;解答此题,首先确定5G 与4G 下载的速度关系,在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系,是解答此题的关键.18.(2020·辽宁丹东·中考真题)为帮助贫困山区孩子学习,某学校号召学生自愿捐书,已知七、八年级同学捐书总数都是1800本,八年级捐书人数比七年级多150人,七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍,求八年级捐书人数是多少?【答案】八年级捐书人数是450人.【解析】【分析】设七年级捐书人数为x ,则八年级捐书人数为(x+150),根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍,列出方程求解并检验即可.【详解】设七年级捐书人数为x ,则八年级捐书人数为(x+150),根据题意得,180018001.5150x x=⨯+, 解得,300x =,经检验,300x =是原方程的解,∴ x+150=400+150=450,答:八年级捐书人数是450人.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程求解并检验.19.(2020·山东淄博·中考真题)如图,著名旅游景区B 位于大山深处,原来到此旅游需要绕行C 地,沿折线A→C→B 方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力,发展壮大旅游经济,修建了一条从A 地到景区B的笔直公路.请结合∠A =45°,∠B =30°,BC =100≈1.4≈1.7等数据信息,解答下列问题: (1)公路修建后,从A 地到景区B 旅游可以少走多少千米?(2)为迎接旅游旺季的到来,修建公路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每天的工效比原计划增加25%,结果提前50天完成了施工任务.求施工队原计划每天修建多少千米?【答案】(1)从A地到景区B旅游可以少走35千米;(2)施工队原计划每天修建0.14千米.【解析】【分析】【详解】解:(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△BCD中,AB⊥CD,sin30°=CDBC,BC=1000千米,∴CD=BC•sin30°=100×=50(千米),BD=BC•cos30°=100×=50(千米),在直角△ACD中,AD=CD=50(千米),AC==50(千米),∴AB=50+50(千米),∴AC+BC﹣AB=50+100﹣(50+50)=50+50﹣50≈35(千米).答:从A地到景区B旅游可以少走35千米;(2)设施工队原计划每天修建x千米,依题意有,﹣=50,解得x=0.14,经检验x=0.14是原分式方程的解.答:施工队原计划每天修建0.14千米.(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△BCD中,解直角三角形求出CD的长度和BD的长度,在直角△ACD中,解直角三角形求出AD的长度和AC的长度,再求出AB的长度,进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米;(2)本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间=50,然后列出方程可求出结果,最后检验并作答.20.(2020·湖北恩施·中考真题)某校足球队需购买A 、B 两种品牌的足球.已知A 品牌足球的单价比B 品牌足球的单价高20元,且用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等. (1)求A 、B 两种品牌足球的单价;(2)若足球队计划购买A 、B 两种品牌的足球共90个,且A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍,购买两种品牌足球的总费用不超过8500元.设购买A 品牌足球m 个,总费用为W 元,则该队共有几种购买方案?采用哪一种购买方案可使总费用最低?最低费用是多少元?【答案】(1)购买A 品牌足球的单价为100元,则购买B 品牌足球的单价为80元;(2)该队共有6种购买方案,购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低,最低费用是8400元.【解析】【分析】(1)设购买A 品牌足球的单价为x 元,则购买B 品牌足球的单价为(x-20)元,根据用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等,即可得出关于x 的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设购买m 个A 品牌足球,则购买(90−m )个B 品牌足球,根据总价=单价×数量结合总价不超过8500元,以及A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍,即可得出关于m 的一元一次不等式组,解之取其中的最小整数值即可得出结论.【详解】解:(1)设购买A 品牌足球的单价为x 元,则购买B 品牌足球的单价为(x-20)元,根据题意,得 90072020x x =- 解得:x=100经检验x=100是原方程的解x-20=80答:购买A 品牌足球的单价为100元,则购买B 品牌足球的单价为80元.(2)设购买m 个A 品牌足球,则购买(90−m )个B 品牌足球,则W=100m+80(90-m)=20m+7200∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍,购买两种品牌足球的总费用不超过8500元. ∴()2072008500290m m m +≤⎧⎨≥-⎩解不等式组得:60≤m ≤65所以,m的值为:60,61,62,63,64,65即该队共有6种购买方案,当m=60时,W最小m=60时,W=20×60+7200=8400(元)答:该队共有6种购买方案,购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低,最低费用是8400元.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.。

分式方程ppt课件

分式方程ppt课件
36
36
根据题意,得 x =
+2,
(1+50%)x
解得 x=6.
经检验,x=6 是方程的解.
答:该施工队原计划每天改造 6 m.
知3-练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动,
某中学准备一次性购买若干个足球和排球,用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同,已
知足球的单价比排球的单价多15 元.





③ =x;④
+3=




其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2-讲
1. 解分式方程的基本思路:去分母,把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2-讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法:将整式方程的解代入原分式方程,这
车的速度.
知3-练
思路引导:
知3-练
解:设大型客车的速度为x km/h,


则小型客车的速度为1.2x km/h,12 min= h.


根据题意,得 -


= ,解得x
.
经检验,x = 6 0 是方程的解.
答:大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0.
知3-练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展, 某次动车平

;(3) =1;
- +





(4)

;(5) -2=x(a为非零常数).

+ -
解题秘方:利用判别分式方程的依据——分母中含有

八年级数学下册 分式方程

八年级数学下册 分式方程

八年级数学下册分式方程疑难分析1.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验,将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.2.分式方程的应用主要就是列方程解应用题,它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的,不同的是,表示关系式的代数式是分式而已.一般地,列分式方程解应用题的步骤:(1)审题,理解题意;(2)设未知数;(3)找出相等关系;(4)解这个分式方程;(5)检验,看方程的解是否满足方程和符合题意;(6)写出答案.例题选讲例1 解下列方程:(1)2233x xx x++=+-;(2)5102552xx x+-=--.解:(1)原方程可变为:(x+2)(x-3)=(x+2)(x+3)x2-x-6=x2+5x+66x=-12∴x=-2检验:当x=-2时,公分母(x+3)(x-3)=-5≠0.∴原方程的解为x=-2.(2)原方程可变为:5102525xx x--=--,方程两边同乘以2x-5得:x-5-(2x-5)=0解这个整式方程得:x=0检验:把x=0代入最简公分母:2x-5=-5 ≠0. ∴x=0是原方程的根.评注:检验是解分式方程不可缺少的一步,在检验时,只需把整式方程的解代入最简公分母判定它是否为零.例2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料,两次饲料的价格有变化,但两位采购员的购贷方式不同,其中,采购员A每购买1000千克,购贷员B每次用去800元,而不管购买饲料多少,问选用谁的购贷方式合算?解:设两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n),购货员A两次购买饲料的平均单价为10001000100010002m n m n++=+(元/千克).购货员B两次购买饲料的平均单价为8008002800800mnm nm n+=++(元/千克).而222()2()mn mn m nm n m n m n--=+++>0.∴22m n mnm n+=+.也就是说,购货员A所购饲料的平均单价高于购货员B所购饲料的平均单价,所以选用购货员B的购买方式合算.评注:此例告诉我们,学会应用数学知识去处理日常生活中的经济问题,可以帮助我们获得较好的经济收益.例3:一个容器装有1升水,按照如下要求把水倒出:第1次倒出12升水,第2次倒出水量是12升的13,第3次倒出水量是13升的14,第4次倒出水量是14升的15……第n次倒出水量是1n升的11n+……按照这种倒水的方法,这1升水经多少次可以倒完?解:倒n次水的总倒水量为111111 2233445(1)(1)n n n n++++++⨯⨯⨯-+①根据分式的减法法则:11111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n+-=-=++++反过来有111(1)1n n n n=-++②利用②可以把①改写成111111111 ()()()() 2233411n n n n+-+-+-+--+③合并③中的相反数,得111n-+,即倒n次水的总倒水量为:111n-+=1nn+(升)评注:你可能会想到通过实验探寻问题的答案,但是实验中要精确地测量倒出水量,当倒出水量很小时测量的难度非常大,我们能否用数学方法替代实验解决这个问题呢?可以发现,按这种方法倒水,随着倒水次数n 的不断增加,总倒水量1nn +也不断增加,然而,不论倒水次数n 有多大,总倒水量1nn +总小于1,因此容器中的1升水是倒不完的,这样,我们就用数学方法分析解决了上面的问题.基础训练一、选一选(请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内)1.甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇,若同向而行,则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的( ).(A )a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b ab a-+ 2.要把分式方程3124x x=-化成整式方程,方程两边需要同时乘以( ). (A )2x-4 (B) x (C)2(x-2) (D)2x(x-2) 3.方程21111x x =--的解是( ). (A )1 (B )-1 (C )±1 (D )0 4.把分式方程11122xx x--=--的两边同时乘以(x-2),约去分母得( ). (A )1-(1-x )=1 (B )1+(1-x)=1 (C )1-(1-x )=x-2 (D )1+(1-x)=x-25.某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷,实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷,结果提前5天完成任务,设原计划每天固沙造林x 公顷,根据题意列方程正确的是( ).(A )24024054x x +=+ (B )24024054x x -=+(C )24024054xx +=- (D )24024054x x -=-二、填一填6.李明计划在一定日期内读完200页的一本书,读了5天后改变了计划,每天多读5页,结果提前一天读完,求他原计划平均每天读几页书.解题方案设李明原计划平均每天读书x 页,用含x 的代数式表示: (1)李明原计划读完这本书需用天; (2)改变计划时,已读了页,还剩页;(3)读了5天后,每天多读5页,读完剩余部分还需天;(4)根据问题中的相等关系,列出相应方程.7.一根蜡烛在凸透镜下成一实像,物距u,像距v和凸透镜的焦距f满足关系式:111u v f+=.若f=6厘米v=8厘米,则物距u=厘米.8.已知22334422,33,44,112233⨯=+⨯=+⨯=+若1010a ab b⨯=+(a、b都是整数),则a+b的最小值是.9.已知14xx+=,则2421xx x=++.10.已知113x y-=,则分式2322x xy yx xy y+---的值为.11.某商店经销一种商品,由于进货价降低了6.4%,使得利润提高了8%,那么原来经销这种商品的利润率是%.三、做一做12.解方程(1)31144xx x--=--;(2)311(1)(2)xx x x-=--+.13.观察图示的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律:①1112⨯=-②22 2233⨯=-③33 3344⨯=-④44 4455⨯=-……(1)写出第五个等式,并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示;(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式.14.阅读下面对话:小红妈:“售货员,请帮我买些梨.”售货员:“小红妈,您上次买的那种梨都卖完了,我们还没来得及进货,我建议这次您买些新进的苹果,价格比梨贵一点,不过苹果的营养价值更高.”小红妈:“好,你们很讲信用,这次我照上次一样,也花30元钱.”对照前后两次的电脑小票,小红妈发现:每千克苹果的价是梨的1.5倍,苹果的重量比梨轻.试根据上面对话和小红妈的发现,分别求出梨和苹果的单价.四、试一试15.甲工人与乙工人生产同一种零件,甲每小时比乙多生产8个,现在要求甲生产出168个这种零件,要求乙生产出144个这种零件,他们两人谁能先完成任务呢?16.3 分式方程二、6.(1)200x;(2)5x ,200-5x;(3)20055xx-+;(4)200520015xx x-+=+7.24 8.19 9.11510.35三、12.(1)3;(2)无解 13.(1)555566⨯=-;(2)11n nn nn n⨯=-++14.梨的单价为4元/千克,苹果的单价为6元/千克.四、当乙每小时生产的零件多余48个,则乙先完成任务,如果乙每小时恰好生产48个零件,则两人同时完成任务;如果乙每小时生产的零件少于48个,则甲先完成任务.16.3 分式方程(1)一、教学目标1.使学生理解分式方程的意义.2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.3.了解解分式方程解的检验方法.4.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.5.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.二、教学重点和难点1.教学重点:(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法.(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.2.教学难点:检验分式方程解的原因3.疑点及分析和解决办法:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想),基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母),而正是这一步有可能使方程产生增根.让学生在学习中讨论从而理解、掌握.三、教学方法启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程解法.四、教学手段演示法和同学练习相结合,以练习为主.五、教学过程(一)复习及引入新课1.提问:什么叫方程?什么叫方程的解?答:含有未知数的等式叫做方程.使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.解:(1)当x=0时,右边=0,∴左边=右边,这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是我们今天要研究的分式方程.(二)新课板书课题:板书:分式方程的定义.分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程.练习:判断下列各式哪个是分式方程.在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)是分式方程.先由同学讨论如何解这个方程.在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.解:两边同乘以最简公分母2(x+5)得2(x+1)=5+x2x+2=5+xx=3.如果我们想检验一下这种方法,就需要检验一下所求出的数是不是方程的解.检验:把x=3代入原方程左边=右边∴x=3是原方程的解.(三)应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的速度为(20+v )千米/时,逆流航行的速度为(20-v )千米/时,顺流航行100千米所用的时间为v 20100+小时,逆流航行60千米所用的时间为v2060-小时。

【解分式方程的一般步骤】 解分式方程步骤6步

【解分式方程的一般步骤】 解分式方程步骤6步

【解分式方程的一般步骤】解分式方程步骤6步初一列方程解应用题的一般步骤列方程解应用题的一般步骤(解题思路)(1)审—审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系).(2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数.(3)列—列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.(注意带上单位)二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集:行程问题,工程问题,和差倍分问题(生产、做工等各类问题),等积变形问题,调配问题,分配问题,配套问题,增长率问题,数字问题,方案设计与成本分析,古典数学,浓度问题等。

第一类、行程问题基本的数量关系:(1)路程=速度×时间⑵ 速度=路程÷时间⑶ 时间=路程÷速度要特别注意:路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少)常用的等量关系:1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程+乙走的路程=总路程⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中,慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程-乙走的路程=提前量⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴ 各段路程和=总路程⑵ 各段时间和=总时间⑶ 匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴ 顺水速度=静水速度+水流速度⑵ 逆水速度=静水速度-水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析,一切就一目了然。

6、时钟问题:⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。

常用数据:① 时针的速度是0.5°/分② 分针的速度是6°/分③ 秒针的速度是6°/秒1. 一列火车通过隧道,从车头进入道口到车尾离开隧道共需45 秒,当整列火车在隧道里需32 秒,若车身长为180 米,隧道x 米,可列方程为_______________。

人教版初三数学下册中考知识点梳理:第7讲分式方程

人教版初三数学下册中考知识点梳理:第7讲分式方程

第7讲分式方程一、知识清单梳理中考数学模拟试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意) 1.如图,65,AFD CD EB ∠=︒∕∕,则B 的度数为( )A .115°B .110°C .105°D .65°【答案】A【解析】根据对顶角相等求出∠CFB =65°,然后根据CD ∥EB ,判断出∠B =115°. 【详解】∵∠AFD =65°, ∴∠CFB =65°, ∵CD ∥EB ,∴∠B =180°−65°=115°, 故选:A . 【点睛】本题考查了平行线的性质,知道“两直线平行,同旁内角互补”是解题的关键.2.如图,矩形ABCD 中,AB=8,BC=1.点E 在边AB 上,点F 在边CD 上,点G 、H 在对角线AC 上.若四边形EGFH 是菱形,则AE 的长是( )A .25B .35C .5D .6【答案】C【解析】试题分析:连接EF 交AC 于点M ,由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ,EF ⊥AC ;利用”AAS 或ASA”易证△FMC ≌△EMA ,根据全等三角形的性质可得AM=MC ;在Rt △ABC 中,由勾股定理求得AC=45,且tan ∠BAC=12BC AB =;在Rt △AME 中,AM=12AC=25,tan ∠BAC=12EM AM =可得EM=5;在Rt △AME 中,由勾股定理求得AE=2.故答案选C .考点:菱形的性质;矩形的性质;勾股定理;锐角三角函数.3.如图,已知抛物线21y x 4x =-+和直线2y 2x =.我们约定:当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2,若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ;若y 1=y 2,记M= y 1=y 2. 下列判断: ①当x >2时,M=y 2; ②当x <0时,x 值越大,M 值越大; ③使得M 大于4的x 值不存在; ④若M=2,则x=" 1" . 其中正确的有A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】试题分析:∵当y 1=y 2时,即2x 4x 2x -+=时,解得:x=0或x=2,∴由函数图象可以得出当x >2时, y 2>y 1;当0<x <2时,y 1>y 2;当x <0时, y 2>y 1.∴①错误.∵当x <0时, -21y x 4x =-+直线2y 2x =的值都随x 的增大而增大,∴当x <0时,x 值越大,M 值越大.∴②正确.∵抛物线()221y x 4x x 24=-+=--+的最大值为4,∴M 大于4的x 值不存在.∴③正确;∵当0<x <2时,y 1>y 2,∴当M=2时,2x=2,x=1;∵当x >2时,y 2>y 1,∴当M=2时,2x 4x 2-+=,解得12x 22x 22=+=-,(舍去). ∴使得M=2的x 值是1或22+.∴④错误. 综上所述,正确的有②③2个.故选B .4.如图,△ABC 在边长为1个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形的顶点位置.如果△ABC 的面积为10,且sinA =55,那么点C 的位置可以在( )A .点C 1处B .点C 2处 C .点C 3处D .点C 4处【答案】D 【解析】如图:∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin 5A =, ∴545DC AC AC ==,∴AC=45, ∵在RT △AD 4C 中,D 44C =,AD=8, ∴A 4C =228445+=,故答案为D. 5.将函数的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A (1,4)的方法是( )A .向左平移1个单位B .向右平移3个单位C .向上平移3个单位D .向下平移1个单位【答案】D【解析】A.平移后,得y=(x+1)2,图象经过A 点,故A 不符合题意; B.平移后,得y=(x−3)2,图象经过A 点,故B 不符合题意; C.平移后,得y=x 2+3,图象经过A 点,故C 不符合题意; D.平移后,得y=x 2−1图象不经过A 点,故D 符合题意; 故选D.6.如图,PA ,PB 分别与⊙O 相切于A ,B 两点,若∠C =65°,则∠P 的度数为( )A .65°B .130°C .50°D .100°【答案】C【解析】试题分析:∵PA 、PB 是⊙O 的切线,∴OA ⊥AP ,OB ⊥BP ,∴∠OAP=∠OBP=90°,又∵∠AOB=2∠C=130°,则∠P=360°﹣(90°+90°+130°)=50°.故选C . 考点:切线的性质.79153 ) A .2到3之间 B .3到4之间 C .4到5之间 D .5到6之间【答案】D915335,∵253,∴355到6之间.故选D . 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小,正确进行计算是解题关键. 8.关于反比例函数4y x=-,下列说法正确的是( ) A .函数图像经过点(2,2);B .函数图像位于第一、三象限;C .当0x >时,函数值y 随着x 的增大而增大;D .当1x >时,4y <-. 【答案】C【解析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案. 【详解】A 、关于反比例函数y=-4x,函数图象经过点(2,-2),故此选项错误; B 、关于反比例函数y=-4x ,函数图象位于第二、四象限,故此选项错误; C 、关于反比例函数y=-4x ,当x >0时,函数值y 随着x 的增大而增大,故此选项正确;D 、关于反比例函数y=-4x,当x >1时,y >-4,故此选项错误;故选C . 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质,正确掌握相关函数的性质是解题关键.9.一个六边形的六个内角都是120°(如图),连续四条边的长依次为 1,3,3,2,则这个六边形的周长是( )A .13B .14C .15D .16【答案】C【解析】解:如图所示,分别作直线AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G 、H 、I .因为六边形ABCDEF 的六个角都是120°,所以六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°. 所以AFI BGC DHE GHI 、、、都是等边三角形.所以31AI AF BG BC ====,. 3317GI GH AI AB BG ∴==++=++=, 7232DE HE HI EF FI ==--=--=, 7124CD HG CG HD .=--=--= 所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15; 故选C .10.如图,O 为原点,点A 的坐标为(3,0),点B 的坐标为(0,4),⊙D 过A 、B 、O 三点,点C 为AB 上一点(不与O 、A 两点重合),则cosC 的值为( )A .34B .35C .43D .45【答案】D【解析】如图,连接AB ,由圆周角定理,得∠C=∠ABO ,在Rt △ABO 中,OA=3,OB=4,由勾股定理,得AB=5, ∴4cos cos 5OB C ABO AB =∠==. 故选D .二、填空题(本题包括8个小题)11.如图,在正五边形ABCDE 中,AC 与BE 相交于点F ,则∠AFE 的度数为_____.【答案】72°【解析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE,∠ABC=∠BAE=108°,然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=(180°−108°)÷2=36°,最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°.【详解】∵五边形ABCDE为正五边形,∴AB=BC=AE,∠ABC=∠BAE=108°,∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=(180°−108°)÷2=36°,∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°,故答案为72°.【点睛】本题考查的是正多边形和圆,利用数形结合求解是解答此题的关键12.如图,圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______.【答案】20 cm.【解析】将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.【详解】解:如答图,将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,连接A′B,则A′B即为最短距离.根据勾股定理,得2222''++(cm).A B A D BD121620故答案为:20cm. 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.13.如图,菱形ABCD 的面积为120cm 2,正方形AECF 的面积为50cm 2,则菱形的边长____cm .【答案】13【解析】试题解析:因为正方形AECF 的面积为50cm 2, 所以25010AC cm =⨯=, 因为菱形ABCD 的面积为120cm 2, 所以21202410BD cm ⨯==, 所以菱形的边长22102413.22cm ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为13.14.如图,在扇形AOB 中,∠AOB=90°,正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点,点D 在OB 上,点E 在OB 的延长线上,当正方形CDEF 的边长为4时,阴影部分的面积为_____.【答案】4π﹣1【解析】分析:连结OC ,根据勾股定理可求OC 的长,根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积,依此列式计算即可求解. 详解:连接OC ∵在扇形AOB 中∠AOB=90°,正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点,∴∠COD=45°, ∴OC=2CD=42,∴阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积 =22451(42)43602π⨯⨯-⨯=4π-1. 故答案是:4π-1.点睛:考查了正方形的性质和扇形面积的计算,解题的关键是得到扇形半径的长度.15.如图所示,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点,DE ∥AC ,若S △BDE :S △CDE =1:3,则S △BDE :S 四边形DECA 的值为_____.【答案】1:1【解析】根据题意得到BE :EC=1:3,证明△BED ∽△BCA ,根据相似三角形的性质计算即可. 【详解】∵S △BDE :S △CDE =1:3, ∴BE :EC=1:3, ∵DE ∥AC , ∴△BED ∽△BCA , ∴S △BDE :S △BCA =(BE BC)2=1:16, ∴S △BDE :S 四边形DECA =1:1, 故答案为1:1. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 16.有6张卡片,每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数,从中任意抽出一张卡片,卡片上的数是3的倍数的概率是 【答案】13.【解析】分别求出从1到6的数中3的倍数的个数,再根据概率公式解答即可.【详解】有6张卡片,每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数,从中任意抽出一张卡片,共有6种结果,其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况,所以从中任意抽出一张卡片,卡片上的数是3的倍数的概率是2163=. 故答案为13【点睛】考查了概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.17.已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上,若121x x >>,则1y __________2y .(填“>”“<”“=”)【答案】12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为:x=1, ∴当x>1时,y 随x 的增大而增大. ∴若x 1>x 2>1 时,y 1>y 2 . 故答案为>18.如图,△ABC 中,AB =BD ,点D ,E 分别是AC ,BD 上的点,且∠ABD =∠DCE ,若∠BEC =105°,则∠A 的度数是_____.【答案】85°【解析】设∠A=∠BDA=x ,∠ABD=∠ECD=y ,构建方程组即可解决问题. 【详解】解:∵BA =BD ,∴∠A =∠BDA ,设∠A =∠BDA =x ,∠ABD =∠ECD =y ,则有21802105x y y x ︒︒⎧+=⎨+=⎩, 解得x =85°, 故答案为85°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质,三角形的外角的性质,三角形的内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.三、解答题(本题包括8个小题)19.已知关于x 的方程220x ax a ++-=.当该方程的一个根为1时,求a 的值及该方程的另一根;求证:不论a 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.【答案】(1)12,32-;(2)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.(2)要证方程都有两个不相等的实数根,只要证明根的判别式大于0即可.试题解析:(1)设方程的另一根为x 1,∵该方程的一个根为1,∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12,该方程的另一根为32-. (2)∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>,∴不论a 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.考点:1.一元二次方程根与系数的关系;2. 一元二次方程根根的判别式;3.配方法的应用.20.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ,过点D 作⊙O 的切线.交BC 于点E .求证:BE=EC 填空:①若∠B=30°,AC=23,则DE=______;②当∠B=______度时,以O ,D ,E ,C 为顶点的四边形是正方形.【答案】(1)见解析;(2)①3;②1.【解析】(1)证出EC 为⊙O 的切线;由切线长定理得出EC=ED ,再求得EB=ED ,即可得出结论; (2)①由含30°角的直角三角形的性质得出AB ,由勾股定理求出BC ,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE ;②由等腰三角形的性质,得到∠ODA=∠A=1°,于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形,即可得到结论.【详解】(1)证明:连接DO .∵∠ACB=90°,AC为直径,∴EC为⊙O的切线;又∵ED也为⊙O的切线,∴EC=ED,又∵∠EDO=90°,∴∠BDE+∠ADO=90°,∴∠BDE+∠A=90°又∵∠B+∠A=90°,∴∠BDE=∠B,∴BE=ED,∴BE=EC;(2)解:①∵∠ACB=90°,∠B=30°,3∴3∴22AB AC,∵AC为直径,∴∠BDC=∠ADC=90°,由(1)得:BE=EC,∴DE=12BC=3,故答案为3;②当∠B=1°时,四边形ODEC是正方形,理由如下:∵∠ACB=90°,∴∠A=1°,∵OA=OD,∴∠ADO=1°,∴∠AOD=90°,∴∠DOC=90°,∵∠ODE=90°,∴四边形DECO 是矩形,∵OD=OC ,∴矩形DECO 是正方形.故答案为1.【点睛】本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.21.解方程组4311,213.x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 【答案】53x y =⎧⎨=⎩ 【解析】将②×3,再联立①②消未知数即可计算. 【详解】解:②3⨯得:6339x y += ③①+③得:1050x =5x =把5x =代入③得10339y +=3y =∴方程组的解为53x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查二元一次方程组解法,关键是掌握消元法.22.春节期间,收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分,小王在年春节共收到红包元,年春节共收到红包元,求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率. 【答案】小王在这两年春节收到的年平均增长率是【解析】增长后的量=增长前的量×(1+增长率),2018年收到微信红包金额400(1+x )元,在2018年的基础上再增长x ,就是2019年收到微信红包金额400(1+x )(1+x )元,由此可列出方程400(1+x )2=484,求解即可. 【详解】解:设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率是. 依题意得:解得(舍去).答:小王在这两年春节收到的年平均增长率是【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.对于增长率问题,增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.23.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.求证:四边形OCED是矩形;若CE=1,DE=2,ABCD的面积是.【答案】(1)证明见解析;(2)1.【解析】(1)欲证明四边形OCED是矩形,只需推知四边形OCED是平行四边形,且有一内角为90度即可;(2)由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答.【详解】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠COD=90°.∵CE∥OD,DE∥OC,∴四边形OCED是平行四边形,又∠COD=90°,∴平行四边形OCED是矩形;(2)由(1)知,平行四边形OCED是矩形,则CE=OD=1,DE=OC=2.∵四边形ABCD是菱形,∴AC=2OC=1,BD=2OD=2,∴菱形ABCD的面积为:12AC•BD=12×1×2=1,故答案为1.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,菱形的性质,熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.24.为了传承中华优秀传统文化,市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动,某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛,赛后对全体参赛学生的成绩进行整理,得到下列不完整的统计图表.组别分数段频次频率A 60≤x<70 17 0.17B 70≤x<80 30 aC 80≤x<90 b 0.45D 90≤x<100 8 0.08请根据所给信息,解答以下问题:表中a=______,b=______;请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数;已知有四名同学均取得98分的最好成绩,其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学,学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.【答案】(1)0.3 ,45;(2)108°;(3)16.【解析】(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数,再利用频数、频率之间的关系求得a、b;(2)B组的频率乘以360°即可求得答案;(2)画树形图后即可将所有情况全部列举出来,从而求得恰好抽中者两人的概率;【详解】(1)本次调查的总人数为17÷0.17=100(人),则a=30100=0.3,b=100×0.45=45(人).故答案为0.3,45;(2)360°×0.3=108°.答:扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°.(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B,另外两学生记为C、D,画树形图得:∵共有12种等可能的情况,甲、乙两名同学都被选中的情况有2种,∴甲、乙两名同学都被选中的概率为212=16.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.25.近几年购物的支付方式日益增多,某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示,支付方式有:A微信、B支付宝、C现金、D其他,该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计,得到如下两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:本次一共调查了多少名购买者?请补全条形统计图;在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度.若该超市这一周内有1600名购买者,请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名?【答案】(1)本次一共调查了200名购买者;(2)补全的条形统计图见解析,A种支付方式所对应的圆心角为108;(3)使用A和B两种支付方式的购买者共有928名.【解析】分析:(1)根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数;(2)根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数,从而可以将条形统计图补充完整,求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数;(3)根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名.详解:(1)56÷28%=200,即本次一共调查了200名购买者;(2)D方式支付的有:200×20%=40(人),A方式支付的有:200-56-44-40=60(人),补全的条形统计图如图所示,在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为:360°×60200=108°,(3)1600×60+56200=928(名),答:使用A和B两种支付方式的购买者共有928名.点睛:本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.26.若关于x的方程311x ax x--=-无解,求a的值.【答案】1-2a=或【解析】分析:该分式方程311x ax x--=-无解的情况有两种:(1)原方程存在增根;(2)原方程约去分母后,整式方程无解.详解:去分母得:x(x-a)-1(x-1)=x(x-1),去括号得:x2-ax-1x+1=x2-x,移项合并得:(a+2)x=1.(1)把x=0代入(a+2)x=1,∴a无解;把x=1代入(a+2)x=1,解得a=1;(2)(a+2)x=1,当a+2=0时,0×x=1,x无解即a=-2时,整式方程无解.综上所述,当a=1或a=-2时,原方程无解.故答案为a=1或a=-2.点睛:分式方程无解,既要考虑分式方程有增根的情形,又要考虑整式方程无解的情形.中考数学模拟试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.已知:如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D,若△AGC的周长为31cm,AB=20cm,则△ABC的周长为()A.31cm B.41cm C.51cm D.61cm【答案】C【解析】∵DG是AB边的垂直平分线,∴GA=GB,△AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm,又AB=20cm,∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm,故选C.2.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为()A.140°B.160°C.170°D.150°【答案】B【解析】试题分析:根据∠AOD=20°可得:∠AOC=70°,根据题意可得:∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.考点:角度的计算3.已知a35a等于()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B351,进而得出答案.【详解】∵a35∴a=1.故选:B.【点睛】考查了估算无理数大小,正确得出无理数接近的有理数是解题关键.4.如图,由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形,它的左视图是()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析:从左面看易得第一层有2个正方形,第二层最左边有一个正方形.故选B.考点:简单组合体的三视图.5.实数21-的相反数是()A.21--B.21+C.21--D.12【答案】D【解析】根据相反数的定义求解即可.【详解】21-的相反数是-21+,故选D.【点睛】本题考查了实数的性质,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.6.如图,三角形纸片ABC,AB=10cm,BC=7cm,AC=6cm,沿过点B的直线折叠这个三角形,使顶点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长为()A.9cm B.13cm C.16cm D.10cm【答案】A【解析】试题分析:由折叠的性质知,CD=DE,BC=BE.易求AE及△AED的周长.解:由折叠的性质知,CD=DE,BC=BE=7cm.∵AB=10cm,BC=7cm,∴AE=AB﹣BE=3cm.△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9(cm).故选A.点评:本题利用了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.7.如图,AB切⊙O于点B,OA=23,AB=3,弦BC∥OA,则劣弧BC的弧长为()A.33πB.32πC.πD.32π【答案】A【解析】试题分析:连接OB,OC,∵AB为圆O的切线,∴∠ABO=90°,在Rt△ABO中,OA=23,∠A=30°,∴OB=3,∠AOB=60°,∵BC∥OA,∴∠OBC=∠AOB=60°,又OB=OC,∴△BOC为等边三角形,∴∠BOC=60°,则劣弧BC长为6033 1803ππ⨯=.故选A.考点: 1.切线的性质;2.含30度角的直角三角形;3.弧长的计算.8.已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是()A.a+b B.﹣a﹣c C.a+c D.a+2b﹣c【答案】C【解析】首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围,然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可.【详解】解:通过数轴得到a<0,c<0,b>0,|a|<|b|<|c|,∴a+b>0,c﹣b<0∴|a+b|﹣|c﹣b|=a+b﹣b+c=a+c,故答案为a+c.故选A.9.矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()A.1 B.23C .22D.52【答案】C【解析】分析:延长GH交AD于点P,先证△APH≌△FGH得AP=GF=1,GH=PH=12PG,再利用勾股定理求得PG=2,从而得出答案.详解:如图,延长GH交AD于点P,∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,∴AD∥GF,∴∠GFH=∠PAH,又∵H是AF的中点,∴AH=FH,在△APH和△FGH中,∵PAH GFH AH FHAHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△APH≌△FGH(ASA),∴AP=GF=1,GH=PH=12 PG,∴PD=AD﹣AP=1,∵CG=2、CD=1,∴DG=1,则GH=12PG=12×22PD DG=22,故选:C.点睛:本题主要考查矩形的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点.10.如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,33),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为()A.(32,332) B.(2,332) C.(332,32) D.(32,3﹣332)【答案】A【解析】解:∵四边形AOBC是矩形,∠ABO=10°,点B的坐标为(0,33),∴AC=OB=33,∠CAB=10°,∴BC=AC•tan10°=33×33=1.∵将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,∴∠BAD=10°,AD=33.过点D作DM⊥x轴于点M,∵∠CAB=∠BAD=10°,∴∠DAM=10°,∴DM=12AD=332,∴AM=33×cos10°=92,∴MO=92﹣1=32,∴点D的坐标为(32,332).故选A.二、填空题(本题包括8个小题)11.如图,在平行四边形纸片上做随机扎针实验,则针头扎在阴影区域的概率为__________.【答案】1 4【解析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等,再求出概率即可.【详解】解:∵四边形是平行四边形,∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分,观察发现:图中阴影部分面积=14S四边形,∴针头扎在阴影区域内的概率为14;故答案为:14.【点睛】此题主要考查了几何概率,以及平行四边形的性质,用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比.12.如图,点A 是反比例函数y=﹣4x(x<0)图象上的点,分别过点A 向横轴、纵轴作垂线段,与坐标轴恰好围成一个正方形,再以正方形的一组对边为直径作两个半圆,其余部分涂上阴影,则阴影部分的面积为______.【答案】4﹣π【解析】由题意可以假设A(-m,m),则-m2=-4,求出点A坐标即可解决问题.【详解】由题意可以假设A(-m,m),则-m2=-4,∴m=≠±2,∴m=2,∴S阴=S正方形-S圆=4-π,故答案为4-π.【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征、正方形的性质、圆的面积公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题13.如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图2是点P运动时,线段BP的长度y 随时间x 变化的关系图象,其中M 为曲线部分的最低点,则△ABC 的面积是___.【答案】12【解析】根据图象可知点P 在BC 上运动时,此时BP 不断增大,而从C 向A 运动时,BP 先变小后变大,从而可求出线段长度解答.【详解】根据题意观察图象可得BC=5,点P 在AC 上运动时,BP ⊥AC 时,BP 有最小值,观察图象可得,BP 的最小值为4,即BP ⊥AC 时BP=4,又勾股定理求得CP=3,因点P 从点C 运动到点A ,根据函数的对称性可得CP=AP=3,所以ABC ∆的面积是13+342⨯⨯()=12. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是注意结合图象求出线段的长度,本题属于中等题型. 14.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=5,点E 在DC 上,将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点F 处,那么cos ∠EFC 的值是 .【答案】.【解析】试题分析:根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°,AF=AD=5,根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF ,根据余弦的概念计算即可.由翻转变换的性质可知,∠AFE=∠D=90°,AF=AD=5, ∴∠EFC+∠AFB=90°,∵∠B=90°,∴∠BAF+∠AFB=90°,∴∠EFC=∠BAF ,cos ∠BAF==,∴cos ∠EFC=,故答案为:.考点:轴对称的性质,矩形的性质,余弦的概念.15.如图,菱形ABCD 的面积为120cm 2,正方形AECF 的面积为50cm 2,则菱形的边长____cm .【答案】13【解析】试题解析:因为正方形AECF的面积为50cm2,所以25010AC cm=⨯=,因为菱形ABCD的面积为120cm2,所以21202410BD cm⨯==,所以菱形的边长22102413.22cm ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为13.16.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′=_______.【答案】1.5【解析】在Rt△ABC中,225AC=AB+BC=,∵将△ABC折叠得△AB′E,∴AB′=AB,B′E=BE,∴B′C=5-3=1.设B′E=BE=x,则CE=4-x.在Rt△B′CE中,CE1=B′E1+B′C1,∴(4-x)1=x1+11.解之得32x=.17.某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利20%,若该书的进价为21元,则标价为___________元.【答案】28【解析】设标价为x元,那么0.9x-21=21×20%,x=28.18.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于____度.【答案】30【解析】试题分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得:AE=CE,根据折叠可得:BC=CE,则BC=AE=BE=AB,则∠A=30°.考点:折叠图形的性质三、解答题(本题包括8个小题)19.一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该产品每天的销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系如图所示.求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;求每天的销售利润W (元)与销售价x (元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)()401016y x x =-+≤≤ (2)()225225x --+,16x =,144元 【解析】(1)利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式;(2)根据“总利润=每件的利润⨯销售量”可得函数解析式,将其配方成顶点式,利用二次函数的性质进一步求解可得.【详解】(1)设y 与x 的函数解析式为y kx b =+,将()10,30、()16,24代入,得:10301624k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解得:140k b =-⎧⎨=⎩, 所以y 与x 的函数解析式为()y x 4010x 16=-+;(2)根据题意知,()()()2W x 10y x 10x 40x 50x 400=-=--+=-+- ()2x 25225=--+, a 10=-<,∴当x 25<时,W 随x 的增大而增大,10x 16,∴当x 16=时,W 取得最大值,最大值为144,答:每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.【点睛】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质.20.省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动,某中学为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查了部分学生,将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图(如图所示),请根据图中提供的信息,解答下列问题.m= %,这次共抽取名学生进行调查;并补全条形图;在这次抽样调查中,采用哪种上学方式的人数最多?如果该校共有1500名学生,请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名?【答案】(1)、26%;50;(2)、公交车;(3)、300名.【解析】试题分析:(1)、用1减去其它3个的百分比,从而得出m的值;根据乘公交车的人数和百分比得出总人数,然后求出骑自行车的人数,将图形补全;(2)、根据条形统计图得出哪种人数最多;(3)、根据全校的总人数×骑自行车的百分比得出人数.试题解析:(1)、1﹣14%﹣20%﹣40%=26%;20÷40%=50;骑自行车人数:50-20-13-7=10(名) 则条形图如图所示:(2)、由图可知,采用乘公交车上学的人数最多(3)、该校骑自行车上学的人数约为:1500×20%=300(名).答:该校骑自行车上学的学生有300名.考点:统计图21.某学校为增加体育馆观众坐席数量,决定对体育馆进行施工改造.如图,为体育馆改造的截面示意图.已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米,原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°,原坡脚B 与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米.如果按照施工方提供的设计方案施工,新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变,使A、E两点间距离为2米,使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG 为37°.若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米(即FD≥2.5),请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢?请说明理由.(参考数据:sin37°≈35,tan37°≈34)。

(完整版)50道解分式方程及答案

(完整版)50道解分式方程及答案

50道解分式方程1.解分式方程:13)1(2522-=--x x x x 2.解分式方程:xx x -=+--314323.解分式方程:x-3113x x 2+=--4.解分式方程:012132=---xx 5.解分式方程:212423=---x x x 6.解分式方程:2112323x x x -=-+7.解方程:221+=1x+1x 1-8.(2011•宁夏)解方程:.9.(本题10分)解方程:1422=---xx x x 10.(2011•綦江县)解方程:.11.(本小题满分8分)解方程:02311=-++xx 12.(11·孝感)解关于的方程:2131x x x =++-13.(2011•攀枝花)解方程:.14.解方程:.2x 1+=33x 19x 3--15.阅读理解 解分式方程+ = 3时,小云用了如下的方法:11+x 12+x 解:设 = y ,则原方程可化为y +2y = 311+x 解这个整式方程得 y= 1由= 1去分母,得x+1=1,∴x=011+x 经检验 x = 0 是原方程的根∴原方程的根为x = 0上面的方法叫换元法,请你用换元法解方程+ = 2 2-x x 634-x x 16.解分式方程312422x x x -=--17.(5分)解分式方程:22111x x =---18.解分式方程:.21221-=+--x x x19.解分式方程:.482222-=-+-+x x x x x 20.解分式方程:141212-=+--x x x x 21.解分式方程:.2353114=-+--xx x 22.解分式方程:.45251=+-++xx x 23. 解分式方程:.4112242x x x--=--24.解分式方程:22416222-+=--+x x x x x -25.解分式方程:2111x x x =-+-26.解分式方程:212423=---x x x 27.解分式方程:451+=x x 28.解分式方程.312422x x x -=--29.解分式方程:.12211x x x +=-+30.解分式方程:.225103x x x x-=+-31. 解分式方程:.11322x x x-+=--32. 解分式方程:223=124x x x --+-33.解分式方程:(本题6分)111142-+=+-x x x 34.(2011昭通,22,7分)解分式方程:212423=---x x x 35.解分式方程.123482---=-xxx 36.解分式方程:23222x x x -=+-37.解方程:.24x+2+=11xx 1---38.解方程:+3=21-x 21-x -x 39.解方程:21233x x x -=---40.解方程:.48122-=--x x x 41.1412132-=+--x x x 42.解方程:.213x x x +=+43.解分式方程.(1)(2) 11322x x x--=--222121393x x x x x =++--44.解方程:.13321++=+x xx x 45.解下列分式方程: (1); (2)0223=--xx xx x x +=++2111246.解方程:(1)+1=; (2)-=.32x x --32x -41x +11x -241x -47.解分式方程:(1)= (2)+1=23+x 11+x 35--x x x -3248.解分式方程(1)(2)35253=-+--x x x 114112=---+x x x 49.解方程(1) (2)23121x x x x +=++21124x x x -=--50.解方程:2511=+++x x x x参考答案1.无解2.解:2- x+4(x-3)=-1 , (2分) 3x=9, ∴x=3 (2分) 经检验:x=3是增根,舍去 (1分) 所以原方程无解 (1分)3.去分母:2-x=x-3-1x=3经检验x=3是方程增根,原方程无解。

分式方程说课稿5篇

分式方程说课稿5篇

分式方程说课稿分式方程说课稿精选5篇(一)大家好,我今天要给大家讲解一下分式方程的概念和解题方法。

分式方程是一个含有分式的等式,它的未知数出现在分母中。

学习分式方程的目的是为了解决实际问题中涉及到分式的计算。

接下来,我将按照以下四个方面来进行讲解:第一部分,首先我们来了解一下分式方程的基本概念。

分式方程是指方程中含有一个或多个分式的等式,在这个等式中,分母中的未知数被称为该分式方程的解。

第二部分,接下来我们会讲解一下如何解决含有分式的方程。

解分式方程的关键在于寻找方程中未知数的值。

首先,我们可以通过消去分母的方法将方程转化为整式方程,然后求解整式方程得到未知数的值,最后再将此值代入分母中验证。

第三部分,我将给大家演示一些具体的例题,并详细解答每一步的思路。

通过这些例题的讲解,相信大家可以更好地理解分式方程的解题方法。

第四部分,最后我将列举一些常见的分式方程的应用场景,例如时间、速度、液体的混合等,希望大家能够在实际问题中运用所学的知识解决实际问题。

通过今天的讲解,大家应该对分式方程有了更深入的了解,掌握了解决分式方程的方法,并能够应用这些知识解决实际问题。

谢谢大家!分式方程说课稿精选5篇(二)大家好,今天我将对分式的乘除法进行讲解。

在初中数学中,我们经常会遇到分式的乘除运算,因此对于这一知识点的理解和掌握十分重要。

首先,我们先回顾一下分式的乘法。

分式的乘法遵循如下的规则:两个分式相乘,就是将分子与分子相乘,分母与分母相乘。

例如,$\\frac{a}{b} \\times \\frac{c}{d} = \\frac{a \\times c}{b \\times d}$。

这个规则非常简单,只需记住分子与分子相乘,分母与分母相乘即可。

接下来,我们再来看一下分式的除法。

分式的除法可以通过乘以被除数的倒数来实现。

具体来说,将除数的分子与被除数的分母相乘,除数的分母与被除数的分子相乘。

例如,$\\frac{a}{b} \\div \\frac{c}{d} = \\frac{a}{b} \\times \\frac{d}{c} = \\frac{a\\times d}{b \\times c}$。

《分式方程》教学设计(共5篇)

《分式方程》教学设计(共5篇)

《分式方程》教学设计(共5篇)篇:《分式方程》教学设计教材分析本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的,为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。

通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程,体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,进一步发展学生分析问题和解决问题的能力,培养应用意识,渗透类比转化思想。

学情分析《课标》指出:“数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。

”从教师的教学角度上看:教师是进行数学活动的组织者、引领者,是教学活动的主导;从学生的学习角度上看:数学活动是学生经历数学化过程的活动,是学生自己建构数学知识的活动,是学习活动的主体;从师生的合作角度上看:数学活动过程是教师和学生之间互动的过程,是师生共同发展的过程,即要促进学生发展,也要促进教师成长。

教师作为教学主导,学生是主体作用我们这学生基础知识较扎实,学生喜欢上数学课,学习数学的兴趣较浓,具有一定探索解决问题的能力,采用的学习方法:1、类比学习的方法。

通过与分数的乘除法运算类比得到分式方程的解法。

2、探究合作学习。

学生互助下进行学习。

教学目标知识技能:了解分式方程定义,理解解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因,掌握解分式方程验根的方法。

过程方法:通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程,体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题解决问题的能力,培养应用意识,渗透转化思想。

情感态度:强化用数学的意识,增进同学之间的配合,体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感,树立学好数学的自信心。

教学重点和难点教学重点:解分式方程的基本思路和解法。

教学难点:理解分式方程可能产生增根的原因。

第2篇:《分式方程》教学设计一、教材分析本节课是分式方程的起始课,要求能从实际的生活情境中抽象出分式方程的概念。

学生认知的基础是:已掌握简单的整式方程的解法(一元一次方程及二元一次方程组),学习过分式的四则运算。

鲁教版数学八年级上册2.4《分式方程》说课稿2

鲁教版数学八年级上册2.4《分式方程》说课稿2

鲁教版数学八年级上册2.4《分式方程》说课稿2一. 教材分析鲁教版数学八年级上册2.4《分式方程》是分式方程单元的一个重要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了分式的概念、性质、运算的基础上进行学习的,旨在让学生掌握分式方程的解法及其应用。

本节课的内容包括分式方程的定义、解法、检验及应用。

通过这部分的学习,学生能够进一步巩固分式的相关知识,提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析在进入八年级上册之前,学生已经学习了分式的基本概念、性质和运算,对分式有一定的认识和理解。

但学生在解决实际问题时,往往对分式方程的解法混淆不清,难以将理论知识运用到实际问题中。

因此,在教学过程中,需要关注学生的认知困惑,引导学生将分式的知识与实际问题相结合,提高解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标:让学生掌握分式方程的定义、解法、检验及应用,能够熟练解决实际问题中的分式方程。

2.过程与方法目标:通过自主学习、合作交流,培养学生解决实际问题的能力,提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的自主学习意识,使学生感受到数学在生活中的重要作用。

四. 说教学重难点1.教学重点:分式方程的定义、解法、检验及应用。

2.教学难点:分式方程的解法,如何将实际问题转化为分式方程,并运用相关知识解决。

五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用自主学习、合作交流、启发引导的教学方法,让学生在探究中发现问题、分析问题、解决问题。

2.教学手段:利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具,直观展示分式方程的过程,提高学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入新课:通过复习分式的相关知识,引出分式方程的概念,激发学生的学习兴趣。

2.自主学习:让学生自主探究分式方程的定义、解法、检验,培养学生自主学习的能力。

3.合作交流:学生分组讨论,分享学习心得,互相解答疑惑,提高学生的合作意识。

4.启发引导:教师针对学生的认知困惑进行讲解,引导学生运用分式方程解决实际问题。

2021年九年级数学中考复习——方程专题:分式方程实际应用(五)

2021年九年级数学中考复习——方程专题:分式方程实际应用(五)

2021年九年级数学中考复习——方程专题:分式方程实际应用(五)1.在国家精准扶贫的政策下,某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证,绿标的认证,使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力,今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元.预计今年的销量是去年的3倍,年销售额为360万元.已知去年的年销售额为80万元,问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤?2.某超市购进A和B两种商品,已知每件A商品的进货价格比每件B商品的进货价格贵2元,用200元购买A商品的数量恰好与用150元购买B商品的数量相等.(1)求A商品的进货价格;(2)计划购进这两种商品共30件,且投入的成本不超过200元,那么最多购进多少件A 商品?3.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求乙每小时做零件的个数.4.某工厂制作甲、乙两种窗户边框,已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个,且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料.(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料?(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米,要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍,求应最多安排多少米材料制作甲种边框?(不计材料损耗)5.某商场经销A,B两款商品,若买20件A商品和10件B商品用了360元;买30件A 商品和5件B商品用了500元.(1)求A、B两款商品的单价;(2)若对A、B两款商品按相同折扣进行销售,某顾客发现用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件,求对A、B两款商品进行了几折销售?(3)若对A商品进行5折销售,B商品进行8折销售,某顾客同时购买A、B两种商品若干件,正好用完49.6元,问该顾客同时购买A、B两款商品各几件?6.某企业拟投资共购买10条N95口罩生产线和平面口罩生产线.已知购买一条平面口罩生产线需要资金为100万元,购买一条N95口罩生产线所需资金是一条平面口罩生产线所需资金的2倍;一条平面口罩生产线每小时比一条N95口罩生产线多生产4200只口罩,且一条平面口罩生产线生产36000只口罩与一条N95口罩生产线生产15000只口罩所用时间相同.(1)如果计划用于购买N95口罩生产线的资金不超过用于购买平面口罩生产线的资金,那么该企业最多可购买几条N95口罩生产线?(2)该企业按照(1)中的最大值购买N95口罩生产线,所有10条生产线全部正常投产后按照每天工作8小时计算,问该企业每天可以生产N95口罩和平面口罩的总和为多少只?7.甲乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加工1件,乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同.(1)求甲每天加工服装多少件?(2)甲乙两人新接了200件服装加工订单,受供货时间限制,二人都提高了工作效率,设甲提高后每天能加工m件,乙提高后每天加工的件数是甲的k倍(1.5≤k≤2),这样两人工作10天恰好能完成任务,求m的最大值.8.为做好复工复产,某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg,且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg 所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.9.今年疫情防控期间,某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要.随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足,消毒液每瓶下降了2元,学校又购买了一批消毒液,花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等,求第一批购进的消毒液的单价.10.某公司经销甲种产品,受国际经济形势的影响,价格不断下降.预计今年的售价比去年同期每件降价1000元,如果售出相同数量的产品,去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元.(1)今年这种产品每件售价多少元?(2)为了增加收入,公司决定再经销另一种类似产品乙,已知产品甲每件进价为3500元;产品乙每件进价为3000元,售价3600元,公司预计用不多于5万元且不少于4.9万元的资金购进这两种产品共15件,分别列出具体方案,并说明那种方案获利更高.参考答案1.解:设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤,则今年黑木耳的年销量为3x万斤,依题意,得:﹣=20,解得:x=2,经检验,x=2是原方程的解,且符合题意.答:该村企去年黑木耳的年销量为2万斤.2.解:(1)设A商品的进货价格为x元,则每件B商品的进货价为(x﹣2)元,根据题意可得:=,解得:x=8,经检验得:x=8是原方程的根,答:A商品的进货价格为8元;(2)设购进a件A商品,则购进(30﹣a)件B商品,根据题意可得:8a+6(30﹣a)≤200,解得:a≤10,答:最多购进10件A商品.3.解:设乙每小时做x个零件,甲每小时做(x+6)个零件,根据题意得:=,解得:x=12,经检验,x=12是原方程的解,且符合题意,答:乙每小时做12个零件.4.解:(1)设制作每个乙种边框用x米材料,则制作甲种边框用(1+20%)x米材料,由题意,得﹣1=,解得:x=2,经检验x=2是原方程的解,∴(1+20%)x=2.4(米),答:制作每个甲种用2.4米材料;制作每个乙种用2米材料.(2)设应安排制作甲种边框需要a米,则安排制作乙种边框需要(640﹣a)米,由题意,得≥×2.解得a≤240,答:最多安排240米材料制作甲种边框.5.解:(1)设A商品的单价为x元,B商品的单价为y元,依题意,得:,解得:.答:A商品的单价是16元,B商品的单价是4元.(2)设对A、B两款商品进行了a折销售,依题意,得:﹣=20,解得:a=8.答:对A、B两款商品进行了8折销售.(3)设顾客购买A商品m件,B商品n件,依题意,得:16×0.5m+4×0.8n=49.6,∴m=.又∵m,n都为正整数,∴,,.∴共有三种购买方案,方案1:购买A商品1件,B商品13件;方案2:购买A商品3件,B商品8件;方案3:购买A商品5件,B商品3件.6.解:(1)设该企业购买x条N95口罩生产线,则购买购买(10﹣x)条平面口罩生产线,依题意,得:2×100x≤100(10﹣x),解得:x≤.又∵x为正整数,∴x的最大值为3.答:该企业最多可购买3条N95口罩生产线.(2)设一条N95口罩生产线每小时生产m只口罩,则一条平面口罩生产线每小时生产(m+4200)只口罩,依题意,得:=,解得:m=3000,经检验,m=3000是原方程的解,且符合题意,∴m+4200=7200,∴[3000×3+7200×(10﹣3)]×8=475200(只).答:该企业每天可以生产N95口罩和平面口罩的总和为475200只.7.解:(1)设甲每天加工服装x件,则乙每天加工服装(x+1)件,依题意,得:=,解得:x=5,经检验,x=5是原方程的解,且符合题意.答:甲每天加工服装5件.(2)依题意,得:10m+10km=200,∴m=.∵20>0,1+k>0,∴m随k值的增大而减小,∴当k=1.5时,m取得最大值,最大值==8.答:m的最大值为8.8.解:设B型机器人每小时搬运xkg原料,则A型机器人每小时搬运(x+20)kg原料,依题意,得:=,解得:x=100,经检验,x=100是原方程的解,且符合题意,∴x+20=120.答:A型机器人每小时搬运120kg原料,B型机器人每小时搬运100kg原料.9.解:设第一批购进的消毒液的单价为x元,则第二批购进的消毒液的单价为(x﹣2)元,依题意,得:=,解得:x=10,经检验,x=10是原方程的解,且符合题意.答:第一批购进的消毒液的单价为10元.10.解:(1)设今年这种产品每件售价是x元,则去年同期这种产品每件售价是(x+1000)元.依题意可得:=,解得x=4000,经检验x=4000是原方程的解.答:今年这种产品每件售价是4000元.(2)设购进甲产品a件,则购进乙产品(15﹣a)件,依题意可得:,解得,8≤a≤10,∵a是整数,∴a=8,9,10,所以共有3种进货方案:方案①:购进甲产品8件,购进乙产品7件;方案②:购进甲产品9件,购进乙产品6件;方案③:购进甲产品10件,购进乙产品5件.方案①利润:(4000﹣3500)×8+(3600﹣3000)×7=8200(元);方案②利润:(4000﹣3500)×9+(3600﹣3000)×6=8100(元);方案①利润:(4000﹣3500)×10+(3600﹣3000)×5=8000(元);∵8200>8100>8000,∴方案①的利润更高.。

分式方程教案(5篇)

分式方程教案(5篇)

分式方程教案(5篇)分式方程教案(5篇)分式方程教案范文第1篇一、预习导学,呈现问题导入新课思索:你能正确识别分式方程吗?下列关于x的方程,其中是分式方程的有______.(填序号)问题1 什么是分式方程?问题2 为什么方程(4)不是分式方程?它是什么方程?如何看待其分母中的字母?引导同学思索并归纳总结,分式方程的特点是:①含分母;②分母中含有未知数,分母中是否含有未知数是区分分式方程与整式方程的标志.本例中的(4)是关于x的方程,其他字母皆为字母系数,通过本例辨析分式方程与含有字母已知数方程的区分.设计意图在设疑解惑中引导同学关注分式方程形式上的定义,不是简洁让同学重复概念,而是展现一组方程让同学识别,在答疑辨析中调动同学对分式方程概念的理解,加深理解分式方程概念的关键点——分母中含有未知数,设计的方程(3)(4)(6)用意深刻,是对同学思索提出的进展性目标.二、合作探究,问在学问发生处,点拨释疑·你会解分式方程吗?老师出示问题,同学动手解题,探究体验:比较方程(1)(2)的结果有差异吗?为什么?·为什么x=2不是原方程(2)的根?·产生x=2不是原方程(2)的根的缘由是什么?你能用数学语言说明吗? 解(2):方程两边同乘以3(x-2),得3(5x-4)=4x+10-3(x-2),x=2.检验:把x=2代入最简公分母3(x-2)中,3(x-2)=0,x=2称为原方程的增根.·引导同学进一步思索:(1)解分式方程的一般步骤?要求同学自己归纳总结,然后争论沟通.①去分母,方程两边同乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程;②解这个整式方程;③验根.使得最简公分母为0的根为原方程的增根,必需舍去.同学提出问题,小组合作探究争论:验根有几种方法?如何检验?适当的练习加强同学对解分式方程的理解,关心同学深刻理解化分式方程为整式方程的数学思想.(2)呈现错例,分析错误缘由.(组织同学开展纠错争论)①确定最简公分母失误;②去分母时漏乘整式项;③去分母时忽视符号的变化;④遗忘验根.设计意图分解因式是要求同学把握的基本技能,引导同学独立思索,总结归纳解题步骤,对错例进行剖析,加深对学问的理解.纠错是数学解题教学的一种重要学习形式.(3)增根从哪里来?为什么要舍去?(4)下面分式方程的解法是否正确?谈谈你的想法?引导同学议一议,深化思索:你对上述解法有什么看法?还有其他解法吗?通过解题表象再深化思索解分式方程的本质.分式方程的增根是它变形后整式方程的根,但不是原方程的根,产生增根的缘由是在分式方程的左右两边乘以为0的最简公分母造成的,所以使最简公分母为0的未知数的值均有可能为增根.着名教学者李镇西说过:“能让同学自己完成的,老师绝不帮忙.”老师引路设问,创设质疑争论的空间,深化对解分式方程本质的理解,拓宽同学的视野.三、敏捷应用,拓展思维思索“无解”与该分式方程有“增根”的意义一样吗?分析方程两边乘以(x+2)(x-2),可得2(x+2)+ax=3(x-2),(a-1)x=-10.明显a=1时原方程无解.当(x+2)(x-2)=0,即x=2或x=-2时,原方程亦无解,当x=2时,a=-4>:请记住我站域名/设计意图分式方程的增根问题是同学理解的难点,部分同学解题过程中存有怀疑,还会与无解相混淆.本课例设计直击难点,关心同学梳理如何争论增根问题,并能利用其解决方程无解的相关问题.老师运用问题串形式组织同学解分式方程不是表面上培育细心,明确算理,而是像几何推理那样步步有据,启发同学经过自己的独立思索去寻求解决问题方案.本课设计尝试从数学的角度提出问题,理解问题.引导同学理解解分式方程的途径是通过转化为整式方程来求解.在解分式方程的过程中体验增根的由来.总结出解分式方程的一般步骤和验根的方法,通过敏捷应用实例分析把方程的相关学问融会贯穿,在富有挑战性问题的引导下,同学在探究、答疑、辨别中体会到,提出一个有价值的问题有时比解决一个问题更重要,本课例的设计让同学学会质疑,学会思索,真正在思维的层面上学会数学解题.分式方程教案范文第2篇关键词:案例―任务驱动;计算机程序语言;教学模式在高校计算机教育中,老师讲授程序语言类课程时,一般是在课堂上进行学问点的介绍、举例、讲解、分析、总结等,同学被动地听讲并记忆,在上机实践环节中,同学提前不做什么预备,上机就是在集成环境中输入并运行笔记或教材上的例题,或是自己参按例题完成课后练习,有错误也不求甚解。

分式方程20道例题

分式方程20道例题

分式方程20道例题一、基础题型例1:解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析:1. 首先去分母,给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)(最简公分母),得到: - 2(x - 1)=x + 1。

2. 然后展开括号:- 2x-2=x + 1。

3. 接着移项:- 2x-x=1 + 2。

- 解得x = 3。

4. 最后检验:- 当x = 3时,(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。

- 所以x = 3是原分式方程的解。

例2:解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析:1. 先将方程右边的分母因式分解,x^2-4=(x + 2)(x - 2)。

2. 去分母,方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2),得到:- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。

3. 展开括号:- x^2+2x-(x^2-4)=4。

- x^2+2x - x^2+4 = 4。

4. 化简得:- 2x=0,解得x = 0。

5. 检验:- 当x = 0时,(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。

- 所以x = 0是原分式方程的解。

例3:解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析:1. 去分母,方程两边同时乘以x(x - 1),得到:- 3(x - 1)+6x=x + 5。

2. 展开括号:- 3x-3+6x=x + 5。

3. 移项合并同类项:- 3x+6x - x=5 + 3。

- 8x=8,解得x = 1。

4. 检验:- 当x = 1时,x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。

- 所以x = 1是增根,原分式方程无解。

二、有增根问题的分式方程例4:若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根,求m的值。

专题09 分式方程(归纳与讲解)(解析版)

专题09 分式方程(归纳与讲解)(解析版)

专题09 分式方程【专题目录】技巧1:分式的意义及性质的四种题型 技巧2:分式运算的八种技巧技巧3:巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 技巧4:分式求值的方法 【题型】一、分式有意义的条件 【题型】二、分式的运算 【题型】三、分式的基本性质 【题型】四、解分式方程 【题型】五、分式方程的解 【题型】六、列分式方程 【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念,掌握分式的基本性质,能熟练地进行约分、通分.2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题,并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件.3、理解分式方程的概念,会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。

4、了解解分式方程产生增根的原因,会检验和对分式方程出现的增根进行讨论. 【考点总结】一、分式形如AB(A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子叫做分式.A A【考点总结】二、分式方程【注意】1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的,也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式混合运算的运算运算顺序:1.先把除法统一成乘法运算;2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式;3.确定分式的符号,然后约分;4.结果应是最简分式.【技巧归纳】分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母,即a b ·c d =acbd .分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即a b ÷c d =a b ·d c =adbc在分式的加减乘除混合运算中,应先算乘除,进行约分化简后,再进行加减运算,遇到有括号的,先算括号里面的.运算结果必须是最简分式或整式.技巧1:分式的意义及性质的四种题型 【类型】一、分式的识别1.在3x 4x -2,-5x 2+7,4x -25,2m ,x 2π+1,2m 2m中,不是分式的式子有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.从a -1,3+π,2,x 2+5中任选2个构成分式,共有________个. 【类型】二、分式有无意义的条件3.若代数式1a -4在实数范围内有意义,则实数a 的取值范围为( )A .a =4B .a>4C .a<4D .a≠4 4.当x =________时,分式x -1x 2-1无意义. 5.已知不论x 为何实数,分式3x +5x 2-6x +m 总有意义,试求m 的取值范围.【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6.若x +2x 2-2x +1的值为正数,则x 的取值范围是( )A .x <-2B .x <1C .x >-2且x≠1D .x >1 7.若分式3x -42-x 的值为负数,则x 的取值范围是________.8.已知分式a -1a 2-b 2的值为0,求a 的值及b 的取值范围.【类型】四、分式的基本性质及其应用 9.下列各式正确的是( )A .a b =a 2b 2B .a b =ab a +bC .a b =a +c b +cD .a b =ab b 2 10.要使式子1x -3=x +2x 2-x -6从左到右的变形成立,x 应满足的条件是( ) A .x >-2 B .x =-2 C .x <-2 D .x≠-2 11.已知 x 4=y 6=z7≠0,求 x +2y +3z 6x -5y +4z 的值.12.已知x +y +z =0,xyz≠0,求x |y +z|+y |z +x|+z|x +y|的值. 参考答案1.C 点拨:4x -25,2m ,x 2π+1不是分式.2.6 点拨:以a -1为分母,可构成3个分式;以x 2+5为分母,可构成3个分式,所以共可构成6个分式. 3.D 4.±15.解:x 2-6x +m =(x -3)2+(m -9).因为(x -3)2≥0,所以当m -9>0,即m >9时,x 2-6x +m 始终为正数,分式总有意义.6.C 点拨:x 2-2x +1=(x -1)2.因为分式的值为正数,所以x +2>0且x -1≠0.解得x >-2且x≠1. 7.x >2或x <438.解:因为分式a -1a 2-b 2的值为0,所以a -1=0且a 2-b 2≠0.解得a =1且b≠±1.9.D 10.D11.解:设x 4=y 6=z7=k(k≠0),则x =4k ,y =6k ,z =7k.所以x +2y +3z 6x -5y +4z =4k +2×6k +3×7k 6×4k -5×6k +4×7k =37k 22k =3722.12.解:由x +y +z =0,xyz≠0可知,x ,y ,z 必为两正一负或两负一正.当x ,y ,z 为两正一负时,不妨设x >0,y >0,z <0,则原式=x |-x|+y |-y|+z|-z|=1+1-1=1;当x ,y ,z 为两负一正时,不妨设x >0,y <0,z <0,则原式=x |-x|+y |-y|+z|-z|=1-1-1=-1.综上所述,所求式子的值为1或-1. 值的分式消元求值. 技巧2:分式运算的八种技巧 【类型】一、约分计算法 1.计算:a 2+6a a 2+3a -a 2-9a 2+6a +9.【类型】二、整体通分法 2.计算:a -2+4a +2.【类型】三、顺次相加法3.计算:1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1.【类型】四、换元通分法4.计算:(3m -2n)+(3m -2n )33m -2n +1-(3m -2n)2+2n -3m3m -2n -1.【类型】五、裂项相消法⎝⎛⎭⎫即1n (n +1)=1n -1n +15.计算:1a (a +1)+1(a +1)(a +2)+1(a +2)(a +3)+…+1(a +99)(a +100).【类型】六、整体代入法6.已知1a +1b =16,1b +1c =19,1a +1c =115,求abcab +bc +ac 的值.【类型】七、倒数求值法7.已知 x x 2-3x +1=-1,求x 2x 4-9x 2+1的值.【类型】八、消元法8.已知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,且xyz≠0,求5x 2+2y 2-z 22x 2-3y 2-10z 2的值.参考答案1.解:原式=a (a +6)a (a +3)-(a +3)(a -3)(a +3)2=a +6a +3-a -3a +3=9a +3. 点拨:在分式的加减运算中,若分式的分子、分母是多项式,则首先把能因式分解的分子、分母分解因式,其次把分子、分母能约分的先约分,然后再计算,这样可简化计算过程. 2.解:原式=a -21+4a +2=a 2-4a +2+4a +2 =a 2a +2. 点拨:整式与分式相加减时,可以先将整式看成分母为1的式子,然后通分相加减. 3.解:原式=x +1x 2-1+x -1x 2-1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=2x x 2-1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=2x (x 2+1)+2x (x 2-1)(x 2-1)(x 2+1)+4x 3x 4+1=4x 3x 4-1+4x 3x 4+1=4x 3(x 4+1)+4x 3(x 4-1)(x 4-1)(x 4+1)=8x 7x 8-1. 点拨:此类题在计算时,采用“分步通分相加”的方法,逐步递进进行计算,达到化繁为简的目的.在解题时既要看到局部特征,又要全局考虑.4.解:设3m -2n =x ,则原式=x +x 3x +1-x 2-x x -1=x (x 2-1)+x 3(x -1)-x 2(x 2-1)-x (x +1)(x +1)(x -1)=-2x(x +1)(x -1)=4n -6m(3m -2n +1)(3m -2n -1).5.解:原式=1a -1a +1+1a +1-1a +2+1a +2-1a +3+…+1a +99-1a +100=1a -1a +100=100a (a +100).点拨:对于分子是1,分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减,常用1n (n +1)=1n -1n +1进行裂项,然后相加减,这样可以抵消一些项. 6.解:1a +1b =16,1b +1c =19,1a +1c =115,上面各式两边分别相加,得⎝⎛⎭⎫1a +1b +1c ×2=16+19+115, 所以1a +1b +1c =31180.易知abc≠0,所以abc ab +bc +ac =11c +1a +1b =18031.7.解:由xx 2-3x +1=-1,知x≠0,所以x 2-3x +1x =-1.所以x -3+1x =-1.即x +1x =2.所以x 4-9x 2+1x 2=x 2-9+1x 2=⎝⎛⎭⎫x +1x 2-11=22-11=-7. 所以x 2x 4-9x 2+1=-17.8.解:以x ,y 为主元,将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x -3y =6z ,x +2y =7z.解得x =3z ,y =2z. 因为xyz≠0,所以z≠0.所以原式=5×9z 2+2×4z 2-z 22×9z 2-3×4z 2-10z 2=-13.点拨:此题无法直接求出x ,y ,z 的值,因此需将三个未知数的其中一个作为常数,解关于另外两个未知数的二元一次方程组,然后代入待求值的分式消元求值.技巧3:巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1.已知关于x 的分式方程2x +4=m x 与分式方程32x =1x -1的解相同,求m 2-2m 的值.【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围2.若关于x 的方程x -2x -3=mx -3+2有解,求m 的取值范围.【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值 3.如果解关于x 的分式方程m x -2-2x 2-x=1时出现增根,那么m 的值为( ) A .-2 B .2 C .4 D .-44.若关于x 的方程m x 2-9+2x +3=1x -3有增根,则增根是多少?并求方程产生增根时m 的值.【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5.若关于x 的分式方程x -ax +1=a 无解,则a =________.6.已知关于x 的方程x -4x -3-m -4=m3-x 无解,求m 的值.7.已知关于x 的分式方程x +a x -2-5x=1.(1)若方程的增根为x =2,求a 的值; (2)若方程有增根,求a 的值; (3)若方程无解,求a 的值. 参考答案1.解:解分式方程32x =1x -1,得x =3.经检验,x =3是该方程的解. 将x =3代入2x +4=mx ,得27=m 3.解得m =67. ∴m 2-2m =⎝⎛⎭⎫672-2×67=-4849.2.解:去分母并整理,得x +m -4=0.解得x =4-m.∵分式方程有解, ∴x =4-m 不能为增根. ∴4-m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时,原分式方程有解. 3.D4.解:因为原方程有增根,且增根必定使最简公分母(x +3)(x -3)=0,所以x =3或x =-3是原方程的增根.原方程两边同乘(x +3)(x -3),得m +2(x -3)=x +3. 当x =3时,m +2×(3-3)=3+3,解得m =6; 当x =-3时,m +2×(-3-3)=-3+3, 解得m =12.综上所述,原方程的增根是x =3或x =-3. 当x =3时,m =6; 当x =-3时,m =12.点拨:只要令最简公分母等于零,就可以求出分式方程的增根,再将增根代入分式方程化成的整式方程,就能求出相应的m 的值.5.1或-16.解:原方程可化为(m +3)x =4m +8.由于原方程无解,故有以下两种情形:(1)若整式方程无实根,则m +3=0且4m +8≠0,此时m =-3;(2)若整式方程的根是原方程的增根,则4m +8m +3=3,解得m =1.经检验,m =1是方程4m +8m +3=3的解.综上所述,m 的值为-3或1.7.解:原方程去分母并整理,得(3-a)x =10.(1)因为原方程的增根为x =2,所以(3-a)×2=10.解得a =-2. (2)因为原分式方程有增根,所以x(x -2)=0.解得x =0或x =2.因为x =0不可能是整式方程(3-a)x =10的解,所以原分式方程的增根为x =2.所以(3-a)×2=10.解得a =-2.(3)①当3-a =0,即a =3时,整式方程(3-a)x =10无解,则原分式方程也无解; ②当3-a≠0时,要使原方程无解,则由(2)知,a =-2.综上所述,a 的值为3或-2.点拨:分式方程有增根时,一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解.分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解. 技巧4:分式求值的方法 【类型】一、直接代入法求值 1.先化简,再求值:⎝⎛⎭⎪⎫2a +1+a +2a 2-1÷a a -1,其中a =5.【类型】二、活用公式求值2.已知实数x 满足x 2-5x +1=0,求x 4+1x 4的值.3.已知x +y =12,xy =9,求x 2+3xy +y 2x 2y +xy 2的值.【类型】三、整体代入法求值4.已知x y +z +y z +x +z x +y =1,且x +y +z≠0,求x 2y +z +y 2z +x +z 2x +y 的值.【类型】四、巧变形法求值5.已知实数x 满足4x 2-4x +1=0,求2x +12x 的值.【类型】五、设参数求值6.已知x 2=y 3=z4≠0,求x 2-y 2+2z 2xy +yz +xz 的值.参考答案1.解:原式=[2a +1+a +2(a +1)(a -1)]·a -1a=2(a -1)+(a +2)(a +1)(a -1)·a -1a=3a +1. 当a =5时,3a +1=35+1=12.2.解:由x 2-5x +1=0得x≠0,∴x +1x=5.∴⎝⎛⎭⎫x +1x 2=25.∴x 2+1x 2=23. ∴x 4+1x 4=⎝⎛⎭⎫x 2+1x 22-2=232-2=527 点拨:在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时,可考虑运用完全平方公式进行解答. 3.解:x 2+3xy +y 2x 2y +xy 2=x 2+2xy +y 2+xy xy (x +y )=(x +y )2+xyxy (x +y ).因为x +y =12,xy =9, 所以(x +y )2+xy xy (x +y )=122+99×12=1712.4.解:因为x +y +z≠0,所以等式的两边同时乘x +y +z ,得x (x +y +z )y +z +y (x +y +z )z +x +z (x +y +z )x +y=x +y +z ,所以x 2y +z +x (y +z )y +z +y 2z +x +y (z +x )z +x +z 2x +y +z (x +y )x +y =x +y +z.所以x 2y +z +y 2z +x +z 2x +y +x +y +z =x +y +z.所以x 2y +z +y 2z +x +z 2x +y=0.点拨:条件分式的求值,如需对已知条件或所求条件分式变形,必须依据题目自身的特点,这样才能收到事半功倍的效果.条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想. 5.解:∵4x 2-4x +1=0,∴(2x -1)2=0.∴2x =1. ∴2x +12x =1+11=2.6.解:设x 2=y 3=z4=k≠0,则x =2k ,y =3k ,z =4k.所以x 2-y 2+2z 2xy +yz +xz=(2k )2-(3k )2+2(4k )22k·3k +3k·4k +2k·4k=27k 226k 2=2726. 【题型讲解】【题型】一、分式有意义的条件例1x 的取值范围是( ) A .x≥4 B .x >4C .x≤4D .x <4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.4﹣x >0,解得:x <4 即x 的取值范围是:x <4故选D . 【题型】二、分式的运算 例2、分式222111a a a a++---化简后的结果为( ) A .11a a +-B .31a a +-C .1a a --D .2231a a +--【答案】B【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可.异分母分式相加减,先通分,再根据同分母分式相加减的法则计算. 【详解】解:222111a a a a++--- ()()()()()21221111a a a a a a ++=-+--+ ()()()222111a a a a +++=+-()()2222111a a a a a ++++=+-()()()()3111a a a a +=++- 31a a +=- 故选:B .【题型】三、分式的基本性质 例3、若b a b -=14,则ab的值为( ) A .5B .15C .3D .13【答案】A 【解析】因为b a b -=14, 所以4b=a -b .,解得a=5b① 所以a b ①55b b=. 故选A.【题型】四、解分式方程 例4、方程2152x x =+-的解是( ) A .1x =- B .5x =C .7x =D .9x =【答案】D【分析】根据题意可知,本题考察分式方程及其解法,根据方程解的意义,运用去分母,移项的方法,进行求解. 【详解】 解:方程可化简为()225x x -=+ 245x x -=+9x =经检验9x =是原方程的解 故选D【题型】五、分式方程的解 例5、关于x 的分式方程2mx -﹣32x-=1有增根,则m 的值( ) A .m =2 B .m =1C .m =3D .m =﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,确定出m 的值即可. 【详解】解:去分母得:m +3=x ﹣2, 由分式方程有增根,得到x ﹣2=0,即x =2,把x=2代入整式方程得:m+3=0,解得:m=﹣3,故选:D.【题型】六、列分式方程例6、随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件,平均每人每周比原来多投递80件,若快递公司的快递员人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件?设原来平均每人每周投递快件x件,根据题意可列方程为()A.3000420080x x=-B.3000420080x x+=C.4200300080x x=-D.3000420080x x=+【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件x件,则现在平均每人每周投递快件(x+80)件,根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量,结合快递公司的快递员人数不变,即可得出关于x的分式方程,此题得解.【详解】解:设原来平均每人每周投递快件x件,则现在平均每人每周投递快件(x+80)件,根据快递公司的快递员人数不变列出方程,得:3000420080x x=+,故选:D.分式方程(达标训练)一、单选题1.(2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测)关于x的分式方程3122m xx x++=--有解,则实数m应满足的条件是()A.m=-1B.m≠-1C.m=1D.m≠1【答案】D【分析】解分式方程得:m + x-3=2-x即x=52m,由题意可知x≠2,即可得到m.【详解】解:31 22m xx x++= --方程两边同时乘以2-x得:m+x-3=2-x, 2x=5-m,x=52m①分式方程有解① x ≠2, 即52m≠2, ①m ≠1. 故选D .【点睛】本题主要考查了分式方程的解,熟练掌握分式方程的解法,理解分式方程有意义的条件是解题的关键.2.(2022·海南省直辖县级单位·二模)分式方程211x =+的解为( ) A .1- B .0 C .1 D .2【答案】C【分析】按照分式方程的解法求解判断即可. 【详解】①211x =+, 去分母,得2=x +1, 移项,得 x =2-1=1,经检验,x =1是原方程的根 故选C .【点睛】本题考查了分式方程的解法,熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 3.(2022·天津南开·二模)化简2222432x y x yx y y x -----的结果是( )A .5x y- B .5x y+ C .225x y -D .223x yx y +-【答案】B【分析】利用同分母分式的加法法则计算,约分得到最简结果即可.【详解】解:2222432x y x yx y y x ----- 2222432x y x yx y x y --=+--55()()x yx y x y -=+-5()()()x y x y x y -=+-5x y=+,【点睛】本题主要考查了分式的加减,解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则. 4.(2022·贵州贵阳·三模)计算222m m m ---的结果是( ) A .2 B .-2C .1D .-1【答案】C【分析】根据分式减法运算法则进行运算,化简即可. 【详解】解:221222m m m m m --==---, 故选:C .【点睛】本题考查了分式的减法,正确运算是解题关键,注意运算后需要约分化简. 5.(2022·江苏淮安·一模)若分式2xx +有意义,则x 的取值范围是( ) A .0x ≠ B .2x ≠- C .2x >- D .2x ≥-【答案】B【分析】根据分式有意义的条件:分母不为0即可得到. 【详解】要分式2xx +有意义,则20x +≠, 解得:2x ≠-. 故选:B【点睛】本题考查分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是解题的关键.二、填空题6.(2022·四川省遂宁市第二中学校二模)分式方程31311x x x -=-+的解为 ______. 【答案】x =-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】解:去分母得:3x (x +1)-(x -1)=3(x +1)(x -1), 解得:x =-2,经检验x =-2是分式方程的解, 故答案为x =-2.【点睛】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.7.(2022·湖南怀化·模拟预测)计算52x x ++﹣32x +=_____. 【答案】1【分析】根据同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减计算即可. 【详解】解:52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为:1.【点睛】本题考查分式的加减,解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变,分子相加减,异分母相加减时,先通分变为同分母分式,再加减.三、解答题8.(2022·浙江丽水·一模)解方程:13233x x-=--. 【答案】=5x【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程,根据解分式方程的一般步骤:去分母,转化为求解整式方程,然后检验得到的解是否符合题意,最后得出结论. 【详解】两边同时乘以(3)x -,得132(3)x +=-, 去括号,得426x =-, 化简,得=5x ,检验:当=5x 时,30x -≠, ∴原分式方程的解为=5x .【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程,熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键,但是要特别注意:检验是不可少的环节.分式方程(提升测评)一、单选题1.(2022·辽宁葫芦岛·一模)2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱.某特许零售店准备购进一批吉祥物销售.已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同,已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元,设购进“冰墩墩”的单价为x 元,则列出方程正确的是( )A .60050010x x=+ B .60050010x x =+ C .60050010x x=- D .60050010x x =- 【答案】D【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x ,则 “雪容融”的销售单价为(x -10)元,然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程.【详解】解:设“冰墩敏”的销售单价为x ,则 “雪容融”的销售单价为(x -10)元, 根据题意,得60050010x x =-。

分式方程例题解析

分式方程例题解析

分式方程例题解析分式方程是含有分式的方程,其中未知量出现在分式中。

解分式方程需要先将方程中的分式化简,然后通过消去分母来求解未知量。

下面是一些分式方程的例题解析。

例题1:求解方程 $\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} = \frac{5}{x^2-x}$首先,我们需要将方程中的分式化简。

观察到分母$x^2-x$可以因式分解为$x(x-1)$,我们可以将方程两边的分式乘以$x(x-1)$,得到:$2(x-1) + 3x = 5$接下来,我们将方程中的未知量移到一边,常数移到另一边,得到:$2x - 2 + 3x = 5$合并同类项,得到:$5x - 2 = 5$然后,我们将常数项移到另一边,得到:$5x = 7$最后,我们将方程两边除以系数,得到:$x = \frac{7}{5}$所以,方程的解为$x = \frac{7}{5}$。

例题2:求解方程 $\frac{1}{x-2} - \frac{2}{3x+1} = \frac{5}{x-2} - \frac{1}{3x+1}$首先,我们需要将方程中的分式化简。

观察到方程两边的分式具有相同的分母$x-2$和$3x+1$,我们可以将方程两边的分式合并,得到:$\frac{1}{x-2} - \frac{5}{x-2} = \frac{2}{3x+1} - \frac{1}{3x+1}$ 化简后,得到:$-\frac{4}{x-2} = \frac{1}{3x+1}$接下来,我们将方程两边的分式乘以分母,得到:$-4(3x+1) = x-2$展开后,得到:$-12x - 4 = x - 2$将未知量移到一边,常数移到另一边,得到:$-13x = 2$将常数项移到另一边,得到:$-13x = 6$最后,我们将方程两边除以系数,得到:$x = -\frac{6}{13}$所以,方程的解为$x = -\frac{6}{13}$。

通过以上两个例子,我们可以看到解分式方程的关键是将方程中的分式化简,并通过消去分母来求解未知量。

分式方程教案

分式方程教案

分式方程教案分式方程教案「篇一」关于分式方程的应用的教案范本关于分式方程的应用的教案范本教学目标1.使学生能分析题目中的等量关系,掌握列分式方程解应用题的.方法和步骤,提高学生分析问题和解决问题的能力;2.通过列分式方程解应用题,渗透方程的思想方法。

教学重点和难点重点:列分式方程解应用题。

难点:根据题意,找出等量关系,正确列出方程。

教学过程设计一、复习例解方程:(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;(3)2(1x+1x+3)+x-2x+3=1。

解 (1)方程两边都乘以x(3+3),去分母,得2(x+3)+x2=x2+3x,即2x-3x=-6所以 x=6。

检验:当x=6时,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根。

(2)方程两边都乘以x(x+12),约去分母,得15(x+12)=30x。

解这个整式方程,得x=12。

检验:当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根。

(3)整理,得2x+2x+3+x-2x+3=1,即2x+2+x-2 x+3=1。

即 2x+xx+3=1。

方程两边都乘以x(x+3),去分母,得2(x+3)+x2=x(x+3)。

分式方程教案「篇二」一、教学目标1.知识与技能能掌握解分式方程的步骤,会如何解分式方程2.过程与方法通过一步步引导,使学生掌握解分式方程其实是转化为整式方程求解后验证解是否成立个一个过程。

3.情感、态度与价值观探求新知是一个将新知与旧知如何建模链接的过程,边探索,边完成这个过程。

二、重点与难点1.重点分式方程的解法2、难点分式方程转化整式方程时的理论依据及具体步骤三、学情分析及课前反思本节课的学习前,学生已经熟练掌握解整式方程的求解,等式的基本性质,分式的运算。

因此只需要点一下,应该就可以顺利过渡。

教师的任务是如何能恰当地点一下,并让学生知其所以然。

四、重难点突破1、前面复习时复习分式的性质要详尽并板书2、不按照传统的顺序,给出题目后马上给出整式方程,引起学生的学习兴趣。

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教学依据
随着生活中问题复杂性的增加,人们需要持续地提升理解问题的水平。

八年级的学生早已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组),他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a的形式)已经比较熟悉。

在这个基础上再理解分式方程及其解法,就显得容易多了。

通过新知识的学习,让学生体会数学的化归思想,也让学生理解到持续学习的意义,并提升学生学习数学的兴趣和热情。

教学设计
教学目标
1.知识与技能目标
(1)结合实际问题的分析和解决,使学生理解分式方程的意义,学会区分整式方程与分式方程。

(2)初步学会解分式方程的基本思路和解法。

(3)理解分式方程可能无解(产生增根)的原因,并掌握解分式方程的验根方法。

2.过程与方法目标
经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学会分析问题、解决问题的水平,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。

3.情感态度与价值观目标
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值。

教学重点与难点
重点:解分式方程的基本思路和解法。

难点:理解分式方程可能无解(产生增根)的原因。

教学方式
问题解决教学方式及启迪法。

教学过程
一、导入新课
同学们,初一的时候我们已经学习了方程,现在先请同学们来回顾一下什么叫做方程,什么叫做一元一次方程。

学生回答:含有未知数的等式叫做方程。

若方程只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,那么这样的方程叫做一元一次方程。

嗯,很好!那请同学们举几个一元一次方程的例子。

学生尽情地回答:x+4=1,3x-7=x+1,22x ++4
3x +=1,… 很好,请同学们用最快的速度求出以上三个方程的根。

学生完成后,老师做简单的点评。

二、讲授新课
现在请同学们看下面这个问题:
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 教师:请同学们完成如下的空白。

分析:设江水的流速为V 千米/时,填空:
轮船顺流航行速度为 千米/时,逆流航行速度为 千米/时,顺流航行100千米所用时间为 小时,逆流航行60千米所用时间为 小时。

学生:20+V ,20-V ,V 20100+ ,V
-2060 。

教师:请同学们分析题目中存有什么等量关系?
学生:两次航行所用的时间相等。

教师:好,那请同学们根据这个等量关系列出方程。

学生:V 20100+=V
-2060. ① 教师:嗯,很好!请同学们观察方程①,这与刚才我们举出的方程有什么不同吗? 学生:通过观察发现方程①的分母中含有未知数。

教师:嗯,对了,那你能尝试给这类方程取个名字吗?
学生:因为刚刚学习了分式的知识,学生自不过然地想到了“分式方程”。

师生共识:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

以前我们学习的方程,如一元一次
方程、二元一次方程等,都是整式方程,分式方程与整式方程的不同之处是
在分母中含有未知数。

教师:整式方程我们已经会解了,那如何解分式方程呢?
学生:通过教师的提示,学生自不过然地想到能否将分式方程化为整式方程呢? 师生一起努力一步步解出方程:
分式方程①中各分母的最简公分母是(20+v )(20-v ).
方程①两边同乘(20+v )(20-v ),得
100(20-v )=60(20+v ).
解得 v=5.
检验:将v=5代入①中,左边=4=右边,所以v=5是分式方程①的解。

由上可知,江水的流速为5千米/时。

归纳:解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,
即方程两边同乘最简公分母。

这也是解分式方程的一般思路和做法。

教师:下面请同学们继续解方程:5-x 1=25
-x 102. ② 经过前面的归纳后,学生自然会照做不误,不过对于一部分学生来说,这个题目的最简公分母有可能会误认为是(x-5)(2x -25),所以教师应巡视学生是否出现这样的误区,并引导他们纠正过来。

学生:按部就班解完后却发现解出来的根会令分母x-5和2x -25的值都为0,这样分式
就无意义了。

学生提出疑问。

教师:即时肯定学生的结论,并说明x=5虽是整式方程x+5=10的解,但不是分式方程
5-x 1=25
-x 102的解。

实际上,这个分式方程无解。

教师:请同学们讨论上面两个方式方程中,为什么V 20100 =V
-2060 ①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而5-x 1=25
-x 102②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?
学生:讨论后,发表看法。

教师:点评学生的看法后,做归结:解分式方程去分母时,方程两边同乘一个含未知数
的式子(最简公分母)。

方程①两边同乘(20+v )(20-v ),得到整式方程并进而得到它的解v=5。

当v=5时,(20+v )(20-v )≠0,这就是说,为去分母,①两边同乘了一个不为0的式子,所以所得整式方程的解与①的解相同。

方程②两边同乘
(x-5)(x+5),得到整式方程并进而得到它的解x=5。

当x=5时,(x-5)(x+5)=0,这就是说,为了去分母,②两边同乘了一个等于0的式子,这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象,所以这样的解不是②的解。

归纳:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,
所以应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。

例题讲解:
例1 解方程3-2x =x
3. 解:方程两边同乘x (x -3),得
2x=3x -9.
解得 x=9.
检验:x=9时x (x -3)≠0,x=9 是原分式方程的解.
例2 解方程1
-x x -1=2)1)(-(3 x x . 解:方程两边同乘(x -1)(x+2),得
x(x+2) -(x -1)(x+2)=3
化简,得 x+2=3.
解得 x=1.
检验:x=1时(x -1)(x+2)=0,x=1不是原分式方程的解,原分式方程无解.
( 例题讲解可通过教师与学生互动的形式,分步骤提问学生,如最简公分母、化简结果、得数、检验结果,通过提问不同的学生从而提升课堂氛围,调动全体学生的积极性。

同时教师板出规范的解题步骤。

)
归纳:师生一起归纳解分式方程的一般步骤如下:
布置作业:
解方程:
(1)
x 21=32+x ; (2)1+x x =3
32x +x +1; (3)1-2x =1-42x ; (4)x x +25-x x -12=0.
小结:请同学们归纳本节课的主要内容:①分式方程的概念。

②解分式方程的一般思路和做法。

③分式方程无解的原因。

教后反思
数学课相对于其它科目来说比较枯燥,所以在教学的过程中应该注意联系实际,充分调动学生的学习热情,这样才能使学生真正参与到学习中来,才能主动地去学习。

同时在教学的过程中也应该给学生充足的思考空间,不要急于给出答案,就是学生说错了,也应婉转地给予鼓励,并给他留下思考的空间。

总来说之要充分发挥学生的主体地位。

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