五年高考荟萃_第七章__第三节_不等式组与简单的线性规划(09年9月最新更新)。。
高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划 理(全国通用)
第三节 简单的线性规划A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1．(2015·江南十校模拟)已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( ) A ．5B ．3C ．2 2D. 655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D2．(2015·河南郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得； ∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B3．(2014·北京海淀二模)若整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥1，y ≤32，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．1B.132C ．2D ．3解析 根据限制条件画出可行域，如图所示， 画出直线l 0：2x ＋y ＝0，经平移知，在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32处z 取得最大值，∴z max ＝132.故选B. 答案 B4．(2014·山西考前适应性训练)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，4]B ．[1，5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，5 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0所表示的平面区域，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5， 此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D. 答案 D 二、填空题5．(2014·北京朝阳二模，11)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析 原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． ∵x 2＋y 2表示可行域内任意一点P (x ，y )与原点(0，0)距离的平方， ∴当P 在线段AB 上且OP ⊥AB 时，x 2＋y 2取得最小值，∴(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－0＋1|22＝12.答案 12一年创新演练6．设x ，y 满足条件|x |＋|y －1|≤2，若目标函数z ＝x a ＋y b(其中b >a >0)的最大值为5，则8a ＋b 的最小值为( ) A ．3B ．1C ．5D ．6解析 先画出|x |＋|y |＝2，再将其图象向上平移1个单位，则图中阴影部分即为可行域．∵参照线y ＝－ba x 且－b a<－1，∴当其过点A (2，1)时，z 取最大值，即2a ＋1b ＝5.∴8a ＋b ＝15(8a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋2b a ＋8a b ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋22b a ·8a b ＝5，并且仅当a ＝12，b ＝1时取等号，故C 正确．答案 C7．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋3y |的最小值是________．解析 作出现行约束条件的可行域，如图所示：|x ＋3y |＝10×|x ＋3y |10，其中|x ＋3y |10表示可行域内的点到直线x ＋3y ＝0的距离，易知B (3，1)到直线x ＋3y ＝0的距离最小为|3＋3×1|10＝610，所以|x ＋3y |的最小值为6.答案 6B 组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题8．(2014·浙江金华十校模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y |的最大值为( ) A ．10B ．8C ．6D ．4解析 作出可行域(如图中阴影部分)，z ＝|x －3y |＝|x －3y |10×10表示点(x ，y )到直线x －3y ＝0距离的10倍，图中点A (－2，2)到直线x －3y ＝0的距离为810，则z ＝|x －3y |的最大值为810×10＝8，故选B. 答案 B9．(2014·广东汕头4月模拟题)汕头某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配．每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元D ．2 800元解析 设需甲、乙型货车各x 、y 辆，由题意有：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，令w ＝400x ＋300y ，由线性规划知识易知当x ＝4，y ＝2时，w min ＝2 200. 答案 B 二、填空题10．(2015·浙江余姚模拟)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2，2)处取到最大值，则a 的取值范围为________． 解析 作出不等式对应的平面区域，当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za 要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点(2，2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1a x ＋z a 的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a ，满足k ＞k AC ，即－1a＞－3，∵a ＞0，∴a ＞13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，故答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞11．(2014·山东青岛4月)若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，2y －x ≤2，y ≥mx ，且y ＋12x 的最大值为2，则实数m 的值为________．解析 设z ＝y ＋12x ，当y ＋12x 取最大值2时，有y ＋12x ＝2，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，2y －x ≤2，y ≥mx 对应的可行域，如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12x ＝2，2y －x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，代入直线y ＝mx ，得m ＝32.答案 32三、解答题12．(2014·福州六校联考)某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨) 电(千瓦)A 产品 3 9 4B 产品1045的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？ 解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为 z ＝7x ＋12y .作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20，24)时z 取最大值．∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．一年创新演练13．已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋3a ＋3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫67，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，65D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，73 解析 由函数y ＝f ′(x )的图象可知， 当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－2，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．根据题意知2a ＋b <4，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b <4，a >0，b >0.表示的平面区域S 是以O (0，0)，A (2，0)，B (0，4)为顶点的三角形(不包括边界)．设P (－3，－3)，则b ＋3a ＋3表示平面区域S 内的点与点P 的连线的斜率，故k PA <b ＋3a ＋3<k PB ，即35<b ＋3a ＋3<73，选D. 答案 D14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 答案 1。
(五年高考)高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划 文(全国通用)-人教版高三全册数学试题
第三节 简单的线性规划考点一 不等式表示的平面区域1.(2015·某某，10)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A.－3B.1C.43D.3解析 不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23， C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43，∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1. 答案 B2.(2014·某某，11)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A.5B.29C.37D.49解析 平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6，1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C.答案 C3.(2012·某某，6)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值X围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[－1，6] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1表示的可行域如图所示，由目标函数z ＝3x －y 得直线y ＝3x －z ，当直线平移至点B (2，0)时，目标函数z ＝3x －y 取得最大值为6， 当直线平移至点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，目标函数z ＝3x －y 取得最小值为－32.所以目标函数z ＝3x －y 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6.答案 A4.(2012·某某，10)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.－1B.1C.32D.2解析 如图所示，当直线x ＝m 经过点A (1，2)时，m 取最大值1.故选B.答案 B5.(2014·某某，13)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________.解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案 46.(2013·某某，12)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________.解析 画出约束条件对应的平面区域是第一象限的四边形区域，当目标函数y ＝－x ＋z 经过边界上点(4，0)时，z ＝x ＋y 取得最大值4. 答案 4考点二 简单的线性规划问题1.(2015·某某，5)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A.－1B.－2C.－5D.1解析 (x ，y )在线性约束条件下的可行域如图， ∴z max ＝－2×1＋1＝－1.故选A.答案 A2.(2015·某某，11)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A.2B.5C.8D.10解析 如图，过点(4，－1)时，z 有最大值z max ＝2×4－3＝5.答案 B3.(2015·某某，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A.7B.8C.9D.14 解析作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移直线l 可知，经过点A 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x ＋2y －8＝0，得A (2，3)，故z max ＝3×2＋3＝9.选C.答案 C4.(2015·某某，11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析 设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元).答案 D5.(2015·某某，10)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A.－2B.－1C.1D.2解析 由图形知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，B ⎝⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0).只有在B 点处取最大值2，∴2＝42m －1－2m2m －1.∴m ＝1.答案 C6.(2014·某某，4)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A.2B.4C.7D.8 解析 画出可行域如图(阴影部分).设目标函数为z ＝2x ＋y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2解得A (3，1)，当目标函数过A (3，1)时取得最大值，∴z max ＝2×3＋1＝7，故选C. 答案 C7.(2014·新课标全国Ⅱ，9)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.8B.7C.2D.1解析 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，z 2为直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，要使z 最大，则需z2最大，所以当直线y ＝－12x ＋z2经过点B (3，2)时，z 最大，最大值为3＋2×2＝7，故选B.答案 B8.(2014·某某，10)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A.5 B.4 C. 5 D.2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0表示的平面区域为图中的阴影部分.由于a >0，b >0，所以目标函数z ＝ax ＋by 在点A (2，1)处取得最小值，即2a ＋b ＝2 5. 法一 a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20＝(5a －4)2＋4≥4，即a 2＋b 2的最小值为4. 法二 a 2＋b 2表示坐标原点与直线2a ＋b ＝25上的点之间的距离，故a 2＋b 2的最小值为2522＋12＝2，即a 2＋b 2的最小值为4.答案 B9.(2014·新课标全国Ⅰ，11)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A.－5B.3C.－5或3D.5或－3解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B. 答案 B10.(2014·某某，4)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A.7B.8C.10D.11解析 由约束条件画出如图所示的可行域，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z过点A 时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x ＋2y ＝8得A (4，2)，∴z max ＝2×4＋2＝10.故答案为C.答案 C11.(2013·新课标全国Ⅱ，3)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－3解析 画出可行域，化简目标函数得截距最小时z 最大，在点(3，4)取得.∴z min ＝2×3－3×4＝－6.答案 B12.(2013·某某，8)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A.48B.30C.24D.16解析 约束条件对应的平面区域是第一象限的四边形区域，当目标函数y ＝15x ＋15z .经过点(8，0)时，z ＝5y －x 取得最小值为b ＝－8，经过点(4，4)时取得最大值a ＝16，所以a －b ＝24. 答案 C13.(2013·某某，9)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元解析 设A 、B 两种型号的车辆的数量分别为x ，y ，则x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，租金z ＝1 600x ＋2 400y .即要求在可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ≥0，x ∈N ，y ＞0，y ∈N内找出目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 的最小值.作出可行域，如图，可以看出其三个顶点分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6).由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过点P (5，12)时，可以取得最小值，即最小租金为1 600×5＋2 400×12＝36 800.故选C. 答案 C14.(2011·某某，7)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A.11B.10 C解析 可行域如图所示，当直线2x ＋3y ＋1＝z 经过点A (3，1)时，z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.故选B.答案 B15.(2015·新课标全国Ⅰ，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________.解析 x ，y 满足条件的可行域如图所示的阴影部分，当z ＝3x ＋y 过A (1，1)时有最大值，z ＝4.答案 416.(2015·新课标全国Ⅱ，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________. 解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0表示的可行域，为如图所示的阴影三角形ABC .作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线z ＝x ＋y 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2 即A (3，2)，故z 最大＝2×3＋2＝8.答案 817.(2015·，13)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________.解析 z ＝2x ＋3y ，化为y ＝－23x ＋13z ，当直线y ＝－23x ＋z3在点A (2，1)处时，z 取最大值，z ＝2×2＋3＝7.答案 718.(2015·某某，12)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值为________.解析 作出约束条件表示的可行域如图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(－1，－3)，将三个点的坐标依次代入3x ＋y ，求得的值分别为10，6，－6，比较可得3x ＋y 的最大值为10. 答案 1019.(2014·某某，13)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________.解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一个三角形，三个顶点坐标分别为A (1，1)，B (2，2)，C (3，1)，画出直线2x ＋y ＝0，平移直线2x ＋y ＝0可知，z 在点C (3，1)处取得最大值，所以z max ＝2×3＋1＝7.答案 720.(2014·，13)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________.解析 根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0，1)时，z 取得最小值1.答案 121.(2014·某某，12)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值X 围是________.解析 由不等式组可画出变量满足的可行域，求出三个交点坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2，1)，代入z ＝x ＋y ，可得1≤z ≤3.答案 [1，3]22.(2013·大纲全国，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________.解析 画出可行域如图所示.画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3，3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.答案 323.(2013·某某，13)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________.解析 画出可行域，令z ＝x ＋y ，易知z 在A (4，2)处取得最大值6.]答案 6。
(五年高考真题)2016届高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划 理
第三节 简单的线性规划考点一 简单的线性规划问题1．(2015·广东，6)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( ) A.315B ．6C.235D ．4解析 不等式组所表示的可行域如图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题当目标函数直线l ：y ＝－32x＋z2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C. 答案 C2．(2015·北京，2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1C.32D ．2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z ，过点A (0，1)时，z 取得最大值2. 答案 D3．(2015·福卷，5)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( ) A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.答案 A4．(2015·山东，6)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示． 易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 答案 B5．(2015·陕西，10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析 设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示： 可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 答案 D6．(2014·广东，3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析 作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A时，z 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，则m ＝z max ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B时，z 的值最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1y ＝x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，则n ＝z min ＝2×(－1)－1＝－3，故m －n ＝6.答案 B7．(2014·安徽，5)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析 法一 由题中条件画出可行域，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二 目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案 D8．(2013·新课标全国Ⅱ，9)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a 等于( ) A.14B.12C ．1D ．2解析 作出约束条件表示的可行域如图所示，是△ABC 的内部及边界．由目标函数，得y ＝－2x ＋z ，当直线l ：y ＝－2x ＋z 过点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1. ∴ 2－2a ＝1，则a ＝12.答案 B9．(2015·新课标全国Ⅰ，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析 约束条件的可行域如下图，由y x ＝y －0x －0，则最大值为3.答案 310．(2014·大纲全国，14)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．解析 作出约束条件下的平面区域，如图所示．由图可知当目标函数z ＝x ＋4y 经过点B (1，1)时取得最大值，且最大值为1＋4×1＝5. 答案 511．(2014·湖南，14)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析 画出可行域(图略)，由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线2x ＋y ＝0，可知在点(k ，k )处z ＝2x ＋y 取得最小值，故z min ＝2k ＋k ＝－6.解得k ＝－2. 答案 －212．(2013·江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．解析 由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示： 当直线x ＋2y ＝0平移到过点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，0时，x ＋2y 取得最大值12. 当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2.因此所求的x ＋2y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1213．(2013·陕西，13)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析 如图，曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－1，2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－1)－2＝－4. 答案 －4考点二 与线性规划有关的综合性问题 1．(2014·山东，9)已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C. 5D ．2解析 法一 不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝2b ，即b ＝25，a ＝45时等号成立．法二 把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4.答案 B2．(2013·山东，6)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.答案 C3．(2013·北京，8)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53解析 图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C.答案 C4．(2012·福建，9)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B ．1C.32D ．2解析 由约束条件作出其可行域，如图阴影部分所示．由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m . 答案 B5．(2014·新课标全国Ⅰ，9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3解析 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C. 答案 C6．(2013·浙江，13)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC ，其中点A (4，4)，B (0，2)，C (2，0)．目标函数z ＝kx ＋y ，化为y ＝－kx ＋z . 当－k ≤12即k ≥－12时，目标函数z ＝kx ＋y ，在点A (4，4)取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意； 当－k >12即k <－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B (0，2)取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解，综上可知，k ＝2. 答案 27．(2012·陕西，14)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x －2y 在D 上的最大值为________． 解析 由题知在点(1，0)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝11＝1，则切线方程为y ＝x －1.区域D 为如图阴影部分所示．则z 的最大值即为直线y ＝12x －z2在y 轴上的最小截距，此时，(0，－1)为最优解，所以z ＝0－2×(－1)＝2.答案 2。
新高考数学一轮复习教师用书：第7章 3 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组) 表示区域Ax＋By＋C>0(<0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x,y的函数解析式,如z＝x＋2y 线性目标函数关于x,y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是________,________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(－1,－1),B(2,－1),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12,画直线l 0：y ＝－2x,平移l 0过点B 时,z max ＝4,平移l 0过点A 时,z min ＝－2.答案：4 －22．(必修5P91练习T2改编)投资生产A 产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米；投资生产B 产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x,y 分别表示生产A,B 产品的吨数,x 和y 的单位是百吨)解析：用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出,x ≥0,y ≥0,200x ＋300y≤1 400,200x ＋100y≤900. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y≤1 400，200x ＋100y≤900，x ≥0，y ≥0[易错纠偏](1)不会用代点法判断平面区域；(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．点(－2,t)在直线2x －3y ＋6＝0的上方,则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示,所以由点(－2,t)在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0,解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 2．已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x －y ＝0,平移直线经过点A(1,0)时,目标函数z ＝x －y 取得最大值,最大值为1.答案：13．已知x,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示,问题转化为区域上哪一点与点M(－3,1)连线斜率最大,观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52,使k MA 最大,z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3. 答案：34．已知x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x,y)有无数个,则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时,z 取得最大值的点(x,y)有无数个,所以－a ＝k AB ＝1,所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0，x ＋y≤a 表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A(1,1),易得B(0,4),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,|BC|＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a≤1或a≥43.【答案】 (1)C (2)(0,1]∪[43,＋∞)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时,边界应画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点,属必考内容,题型多为选择题和填空题,难度适中,属中档题．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)． 角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考浙江卷)若实数x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示,数形结合可知,当直线z ＝3x ＋2y 过点(2,2)时,z 取得最大值,z max ＝6＋4＝10.故选C.【答案】 C角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2020·嘉兴市高考模拟)已知实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0y －1≥0x －y ＋1≥0,若ax ＋y 的最大值为10,则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 画出满足条件的平面区域,如图所示(阴影部分)：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋1＝0, 解得A(3,4),令z ＝ax ＋y,因为z 的最大值为10,所以直线在y 轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10), 所以z ＝ax ＋y 与可行域有交点, 当a ＞0时,直线经过A 时z 取得最大值．即ax ＋y ＝10,将A(3,4)代入得,3a ＋4＝10,解得a ＝2,当a≤0时,直线经过A 时z 取得最大值,即ax ＋y ＝10,将A(3,4)代入得,3a ＋4＝10,解得a ＝2,与a≤0矛盾,综上a ＝2.【答案】 C角度三 求非线性目标函数的最值(范围)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2C.322D. 5【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(1,2)、B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A 与B,又两平行直线的斜率为1,直线AB 的斜率为－1,所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离,易得|AB|＝2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.【答案】 B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点； ③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值． 常见的目标函数有：(ⅰ)截距型：形如z ＝ax ＋by ；(ⅱ)距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；(ⅲ)斜率型：形如z ＝y －bx －a. (2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中,求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里,寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时,易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方,易忽视平方而求错．1．(2020·温州七校联考)实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0|x ＋y|≤1,使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个,则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示,因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个,所以－a ＝1,a ＝－1,所以当x ＝1,y ＝0或x ＝0,y ＝－1时,z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1,所以ax ＋y ＋1的最小值是0,故选A.2．(2020·温州市高考模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0,则y 的最大值为________,y ＋1x ＋2的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0,对应的平面区域如图(阴影部分)：可知A 的纵坐标取得最大值2.设z ＝y ＋1x ＋2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D(－2,－1)的斜率,由图象知BD 的斜率最小,AD 的斜率最大,则z 的最大为2＋10＋2＝32,最小为0＋11＋2＝13,即13≤z ≤32,则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.答案：2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，323．(2020·绍兴一中高三期中)设x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y≥2x－1x≥0，y ≥0,若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0,b ＞0)的最大值为35,则a ＋b 的最小值为________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y≥2x－1x≥0，y ≥0的区域是一个四边形,如图所示四个顶点分别是(0,0),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,(2,3),由图易得目标函数在(2,3)取最大值35,即35＝2ab＋3,所以ab ＝16,所以a ＋b≥2ab ＝8,当a ＝b ＝4时等号成立, 所以a ＋b 的最小值为8. 答案：8线性规划的实际应用某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意,设产品A 生产x 件,产品B 生产y 件,利润z ＝2 100x ＋900y,线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y≤150，x ＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又由x∈N ,y ∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100), 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多,为了了解题目中量与量之间的关系,可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数； (3)作图：准确作图,平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果,检验反馈．某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设旅行社租用A 型客车x 辆,B 型客车y 辆,租金为z,则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21，y －x≤7，36x ＋60y≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y.画出可行域(图中所示阴影中的整点部分),可知目标函数过点N(5,12)时,有最小值z min ＝36 800(元)．[基础题组练]1．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤12，2x ＋3y≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分,四边形ABCD 是平行四边形,由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.2．设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z,作出直线y ＝－x,平移使之经过可行域,观察可知,最优解在B(0,3)处取得,故z max ＝0＋3＝3,选项D 符合．3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）≥0x≥1,则2x －y( )A ．有最小值,无最大值B ．有最大值,无最小值C ．有最小值,也有最大值D ．无最小值,也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x －y ＝z,则y ＝2x －z,z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线y ＝2x －z,可得当直线过点A 时z 取得最小值,z 没有最大值．故选A.4．(2020·台州高三质检)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2,则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A.32 B.43 C ．2D ．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分),由区域面积为2,可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1,y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1,－1)连线的斜率,所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13,所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43. 5．(2020·金华十校联考)设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤a，x ＋y≥8，x ≥6且不等式x ＋2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义．由图可知x＋2y 在点(6,a －6)处取得最大值2a －6,由2a －6≤14得,a ≤10,故选A.6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个,则yx －a的最大值是( )A.25B.23C.16D.14解析：选A.易知a≠0,那么目标函数可化为y ＝－1a x ＋1a z.要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个,则－1a ＝k AC ＝1,则a ＝－1,故y x －a ＝yx ＋1,其几何意义为可行域内的点(x,y)与点M(－1,0)的连线的斜率,可知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋1max＝k MC＝25,故选A. 7．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4则z ＝－x ＋y 的最小值是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中A(1,1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,C(0,4)．经过点A 时,目标函数z 达到最小值． 所以z min ＝－1＋1＝0. 答案：08．(2020·杭州中学高三期中)已知点A(3,3),O 为坐标原点,点P(x,y)满足⎩⎨⎧3x －y≤0x －3y ＋2≥0y≥0,则满足条件的点P 所形成的平面区域的面积为________,OP →在OA →方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图,P 所在区域即为阴影部分,由⎩⎨⎧3x －y ＝0x －3y ＋2＝0得到C(－2,0),B(1,3),所以其面积为12×2×3＝ 3.令OP →在OA →方向上投影为z ＝OA →·OP →|OA →|＝3x ＋3y 23＝32x ＋12y,所以y ＝－3x ＋2z,过点B 时z 最大,所以,OP →在OA →方向上投影的最大值为32＋32＝ 3.答案： 339．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0,y 0)∈D|x 0,y 0∈Z,(x 0,y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D,如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点 A(0,1)处取得最小值,在线段BC 处取得最大值,而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标,在取最大值时线段BC 上共有5个整点,分别为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2020·温州市高考实战模拟)若变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y≤12,则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2x －y ,令u ＝x －y,则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值,此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1611．(2020·杭州市高三模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x≤1x －2y≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x|＋|y|的取值范围．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x≤1x －2y≥0作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,0≤x ≤1. (2)当x≥0,y ≥0时,z ＝|x|＋|y|＝x ＋y 过(1,12)时有最大值为32,过O(0,0)时有最小值0； 当x≥0,y ≤0时,z ＝|x|＋|y|＝x －y 过(1,－1)时有最大值为2, 过O(0,0)时有最小值0.所以|x|＋|y|的取值范围是[0,2]． 12．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A(3,4)时z 取最小值－2,过C(1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a<2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y≥－2x －y≤0x≥－4,若不等式2x －y＋m 2≥0恒成立,则实数m 的取值范围为( )A ．[－6,6]B ．(－∞,－6]∪[6,＋∞)C ．[－7,7]D ．(－∞,－7]∪[7,＋∞)解析：选 D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y≥－2x －y≤0x≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分),令z ＝－2x ＋y,当直线经过点A(－4,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7,即实数m 的取值范围为(－∞,－7]∪[7,＋∞),故选D.2．(2020·温州校级月考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M.若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a(a>0)至少有两个公共点,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．(1,5) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．(1,5]解析：选C.如图所示(阴影部分),若使以(4,1)为圆心的圆与平面区域M 至少有两个交点,结合图形,当圆与直线x －y －2＝0相切时,恰有一个公共点,此时a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12,当圆的半径增大到恰好过点C(2,2)时,圆与平面区域M 至少有两个公共点,此时a ＝5,故实数a 的取值范围是12<a ≤5.3．(2020·丽水模拟)已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥1，x －y≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a,b,且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b,a)上有两个不同的实数解,则实数k 的取值范围是____________．解析：作出可行域,如图所示(阴影部分),则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1,在点(－1,1)处取得最小值－3,所以a ＝1,b ＝－3,从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同的实数解．令f(x)＝x 2－kx ＋1,则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＞0，f （1）＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0⇒－103＜k ＜－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 4．设a ＞0,集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x≤3，x ＋y －4≤0，x －y ＋2a≥0,B ＝{(x,y)|(x －1)2＋(y －1)2≤a 2}．若“点P(x,y )∈A”是“点P(x,y)∈B ”的必要不充分条件,则a 的取值范围是____________．解析：由题意知B A,从而得到圆面的半径≤圆心到相应直线的距离,即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a≤3，|1＋1－4|2≥a，|1－1＋2a|2≥a，解得0＜a≤ 2.答案：0＜a≤ 25．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异．甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费如下表所示,求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x 件,二等奖奖品y 件,x,y ∈N, 则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件,二等奖奖品(6－y)件．则x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，3－x≥0，6－y≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元,则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x －200y ＋6000,作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A(3,1),故组委会订做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．6．已知正数a,b,c 满足：5c －3a≤b≤4c－a,cln b ≥a ＋cln c,求ba 的取值范围．解：条件5c －3a≤b≤4c－a,cln b ≥a ＋cln c 可化为：⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋bc≥5，a c ＋b c≤4，b c ≥e a c.设a c ＝x,bc＝y,则题目转化为：已知x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≥5，x ＋y≤4，y ≥e x，x ＞0，y ＞0，求yx 的取值范围．求目标函数z ＝b a ＝y x 的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分),过原点作y ＝e x的切线,切线方程为y ＝ex,切点P(1,e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P(1,e)时,z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72时,z max ＝7,故b a ∈[e,7]．。
高考数学一轮复习第七章不等式简单的线性规划课件
第七章 不等式
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第3讲 简单的线性规划
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
求出点 A，B，C 的坐标分别为 A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC 的面积为 S＝21×(2－1)×2＝1.
10 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3．不等式组xx－－y3＋y＋2<6≥0 0， 表示的平面区域是(
)
解析 x－3y＋6≥0 表示直线 x－3y＋6＝0 以及该直线下方的区域，x－y＋2<0 表示直线 x－y＋2＝0 上方的区域，故选 B.
含有两个未知数，并且未知数的次数都是 1 的不等式称为二元一次不等式．
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对构成的集合称为二 元一次不等式(组)的解集． 二元一次不等式(组)的解集可以看成平面直角坐标系内的点构成的集合．
2 二元一次不等式表示的平面区域
菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4 吨
1.2 万元 0.55 万元
韭菜 6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：
亩)分别为( )
A．50,0
高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划课件 理
[点评] 解决此类问题的关键是准确运用给出目标函数的几 何意义.
方法2 求参数取值（或范围） 求解线性规划中含参问题的方法 这类问题主要有两类：一是在条件不等式组中含有参数，二是在 目标函数中含有参数. 求解方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的 求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或 不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子， 通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位 置，从而求出参数.
(2)分析：①画出可行域，根据线性目标函数中 z 的几何意义确定
最优解；②根据最大值小于 2 求得 m 的取值范围.
3.在通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b>0 时，截距bz取最大值时，z 也取最大值；截距bz取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距bz取最大值时，z 取最小值；截距bz取 最小值时，z 取最大值.
方法1 求目标函数的最值 利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示 的平面直线系中的任意一条直线l. (2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.有时 需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较. (3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数， 求出目标函数的最值.
【名师助学】
1.本部分知识可以归纳为： (1)一个口诀：线定界，点定域，同侧同号，异侧异号. (2)两种应用：①收益最大的问题；②安排最合理问题. (3)三类目标函数：①z＝ax＋by(截距型)；②z＝xy－－ab(斜率型)； ③z＝(x－a)2＋(y－b)2(距离的平方型). 2.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不 等式标准化.
高考数学培优复习：第7章 3 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题新题培优练
[基础题组练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C.用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.2．(2019·开封市高三定位考试)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值是( )A.132 B.116 C ．32D ．64解析：选C.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设u ＝x －2y ,由图知,当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值,即u min ＝1－2×3＝－5,此时z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值,即z max ＝⎝⎛⎭⎫12－5＝32,故选C.3．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ,y )|x －y ≥1,ax ＋y >4,x －ay ≤2},则( ) A ．对任意实数a ,(2,1)∈A B ．对任意实数a ,(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时,(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A解析：选D.若(2,1)∈A ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32,所以当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A ,故选D.4．(2019·长春市质量检测(二))已知动点M (x ,y )满足线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，5x ＋y －8≤0，定点N (3,1),则直线MN 斜率的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.不等式组表示的平面区域为△ABC 内部及边界,如图所示,数形结合可知,当M 点与B 点重合时,MN 的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y －8＝0，x ＋y ＝0，得B (2,－2)．MN 斜率的最大值为1＋23－2＝3.5．(2019·陕西省质量检测(一))若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：法一：由约束条件可知可行域的边界分别为直线y ＝1,x ＋y ＝0,x －y －2＝0,则边界的交点分别为(－1,1),(3,1),(1,－1),分别代入z ＝x －2y ,得对应的z 分别为－3,1,3,可得z 的最大值为3.法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线x －2y ＝0并平移,由图可知,当直线过点(1,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝1－2×(－1)＝3. 答案：36．(2019·广东茂名模拟)已知点A (1,2),点P (x ,y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，O 为坐标原点,则z ＝OA →·OP →的最大值为________．解析：由题意知z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,作出可行域如图阴影部分,作直线l 0：y ＝－12x ,当l 0移到过A (1,2)的l 的位置时,z 取得最大值,即z max ＝1＋2×2＝5.答案：57．(2019·石家庄市质量检测(二))设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0，则y ＋1x的最大值为________．解析：作出可行域,如图中阴影部分所示,而y ＋1x 表示区域内的动点(x ,y )与定点(0,－1)连线的斜率的取值范围,由图可知,当直线过点C (1,2)时,斜率最大,为2－（－1）1－0＝3.答案：38．若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A (3,4),B (0,1),C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A (3,4)时z 取最小值－2,过C (1,0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ,y )∈D ,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ,y )∈D ,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A.通解 作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示,直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ,不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域,所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.优解 在不等式组表示的平面区域D 内取点(7,0),点(7,0)满足不等式2x ＋y ≥9,所以命题p 正确；点(7,0)不满足不等式2x ＋y ≤12,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.2．(2019·重庆六校联考)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D.画出约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示．令z ＝0,画出直线y ＝ax ,a ＝0显然不满足题意．当a <0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与x ＋y －2＝0平行,此时a ＝－1；当a >0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与2x －y ＋2＝0平行,此时a ＝2.综上,a ＝－1或2.3．(2019·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ,B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时．A ,B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千克B ．360千克C ．400千克D ．440千克解析：选 B.设生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,利润z 千元,则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ,作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x ＋y ＝0,平移该直线,当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ,y ∈N )时,z 取得最大值,为360.4．(综合型)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5,其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7,9),显然点B到直线x ＋2y －4＝0的距离最大,此时z max ＝21.答案：21。
2025届高考数学一轮复习第7章不等式第2节二元一次不等式组及简单的线性规划问题课时跟踪检测理含解析
第七章 不等式其次节 二元一次不等式(组)及简洁的线性规划问题A 级·基础过关 |固根基|1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )A B C D解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C ．2．(2025届南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤12，43 C ．⎣⎡⎦⎤12，2D ．⎣⎡⎦⎤43，2解析：选C不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得点A (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得点C (1，2)．又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此依据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2.3．(2024年浙江卷)若实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点A (2，2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.故选C ．4．(2025届贵阳摸底)已知实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥4，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．11B ．9C ．8D ．3解析：选C 依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移，则当直线y ＝－3x ＋z 过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即B (2，2)，故z 的最小值为3×2＋2＝8.故选C ．5．(2025届昆明市质检)若x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －3y －3≤0，且z ＝x ＋2y ，则( )A ．z 有最小值也有最大值B ．z 无最小值也无最大值C ．z 有最小值无最大值D ．z 有最大值无最小值解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋2y 可变形为y ＝－12x ＋z2，所以z的几何意义为直线y ＝－12x ＋z2的纵截距的两倍，结合图形可知，当直线z ＝x ＋2y 过A 点时，z 取最小值，无最大值．6．(2025届郑州市其次次质量预料)设变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值为( ) A ．⎝⎛⎭⎫1311B ．⎝⎛⎭⎫133C ．3D ．4解析：选C 可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y，设u ＝3x ＋y ，欲求z＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值，等价于求u ＝3x ＋y 的最小值．u ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋u ，该直线的纵截距为u ，作出直线y ＝－3x 并平移，当直线y ＝－3x ＋u 经过点B (－1，2)时，纵截距u 取得最小值u min ＝3×(－1)＋2＝－1，所以z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y 的最大值z max ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3.故选C ．7．设x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1，5]B ．[2，6]C ．[2，10]D ．[3，11]解析：选D 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )与定点D (－1，－1)连线的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，易知B (0，4)，A ⎝⎛⎭⎫127，127，则z ′∈[k DA ，k DB ]，又k DB ＝4＋10＋1＝5，k DA ＝127＋1127＋1＝1，∴z ′∈[1，5]，所以z ＝1＋2z ′∈[3，11]．8．(2025届济南市高考模拟)已知变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，若z ＝2x －y ，则z 的取值范围是( )A ．[－5，6)B ．[－5，6]C ．(2，9)D ．[－5，9]解析：选A 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y＝2x ，并平移，可知当直线经过点A (－2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5；当直线经过点B (2，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×2＋2＝6.由于点B 不在可行域内，所以z ∈[－5，6)，故选A ．9．已知实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋1，y ≥－x ＋4，x ≥3，则z ＝1－y －3x 的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即B (3，1)．由图可知，直线z ＝1－y －3x 经过点B (3，1)时，z 取得最大值，z max ＝1－1－3×3＝－9.答案：－910．已知x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有多数个，则a的值等于________．解析：先依据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有多数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－1B 级·素养提升 |练实力|11.(2025届成都摸底)若实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≤0，x －1≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选A 解法一：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作出y ＝12x 并平移，由图可知，当动直线y ＝12x －12z 经过点A 时，z 取得小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －2＝0，得A 1，12，即z min ＝1－2×12＝0，故选A ．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，此时z ＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，此时z ＝2；由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，此时z ＝1.综上所述，z 最小值为0，故选A ． 12．(2025届南昌市重点中学测试)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]D ．(－∞，8]解析：选C不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，由图知目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值的最优解为A (1，4)，所以目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为6.因为∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，所以a ≤6，故选C ．13．(2025届江西五校联考)设点M 是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －2y ＋6≥0，x ＋2y ＋2≥0表示的区域Ω1内任一点，点N 是区域Ω1关于直线l ：y ＝x 的对称区域Ω2内的任一点，则|MN |的最大值为( )A ． 2B ．2 2C ．4 2D ．5 2解析：选D不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －2y ＋6≥0，x ＋2y ＋2≥0表示的区域Ω1如图中阴影部分所示，因为区域Ω1与区域Ω2关于直线y ＝x 对称，并且M 是区域Ω1内任一点，N 是区域Ω2内任一点，所以当点M 到直线y ＝x 的距离最大，并且点N 为M 关于直线y ＝x 的对称点时，|MN |最大，最大值为点M 到直线y ＝x 距离的2倍，因此转化为求区域Ω1内的点到直线y ＝x 的距离的最大值，由图可知点A (－4，1)到直线y ＝x 的距离最大，为522，所以|MN |的最大值为5 2.14．设实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，y －12x ≥0，x －1≥0，则u ＝y x －xy的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤－23，2 C ．⎣⎡⎦⎤－23，32 D ．⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令yx ＝t ，由图可得k BO ≤t ≤k OA ，而12≤t ≤2，则u ＝t －1t 在⎣⎡⎦⎤12，2上明显是增函数，所以当t ＝12时，u min ＝－32；当t ＝2时，u max ＝32，因此u ＝y x －xy的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，32.15．设x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．16解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线ax ＋by ＝0(a >0，b >0)并平移，可知在点A (2，3)处，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最小值2，故2a ＋3b ＝2≥22a ×3b ，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝12，b ＝13时取等号，所以ab ≤16，故选D ．16．(2025届河北五个一名校联盟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元B ．17万元C ．18万元D ．19万元解析：选C 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满意不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点A (2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．。
(浙江专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 简单的线性规划课件.pptx
x y
2y 2
5
0,
解得A(-1,2),所以zmax=-1+2×2=3.故选D.
x
∴z的最大值为3+2×3=9.故选D.
12
x 2 y 5 0,
4.(2017山东文,3,5分)已知x,y满足约束条件
x
3则 z0=, x+2y的最大值是
(
)
y 2,
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 D 本题考查简单的线性规划. 画出可行域如图:
作直线l0:y=- 1 x.
2
经平移可得z=x+2y在点A处取得最大值,由
由于a>0,b>0,所以目标函数z=ax+by在点A(2,1)处取得最小值,即2a+b=2 5. 解法一:a2+b2=a2+(2 5-2a)2=5a2-8 a5+20=( a-54)2+4≥4,即a2+b2的最小值为4. 解法二: a表2 示b2坐标原点与直线2a+b=2 上的点5 之间的距离,故 的最小a值2 为b2
2 =52,即a2+b2的最小值为4.
22 12
4
评析 本题考查线性规划与最值问题,考查学生运算求解能力以及数形结合和转化与化归思想 的应用能力.
2x y 2 0,
4.(2013山东,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组
x
2所y 表1 示 0的, 区域上一动点,
3x y 8 0
2
x y 2,
2.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足 2x 则3yx2+9y,2的最大值是 ( )
x 0,
A.4 B.9 C.10 D.12 答案 C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,
2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第7章第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)续表名称意义目标函数关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A ．右上方 B.右下方 C ．左上方D ．左下方解析：选C .画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C .点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，所以S 阴＝S △ABC ＝12×4×2＝4.答案：4已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为________． 解析：依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.答案：7已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，最大值为3.答案： 3二元一次不等式(组)表示的平面区域 [学生用书P111][典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A .32B.23 C .43D ．34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．(3)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C .(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，所以S △ABD ＝S ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， 所以m ＝1或m ＝－3，又因为当m ＝－3时，不满足题意，应舍去， 所以m ＝1.(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)C (2)1 (3)(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法①“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．②当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．(2)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C .(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C .2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面阴影区域．因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时， 52＝k 2＋43， 所以k ＝73.答案：73求目标函数的最值(高频考点) [学生用书P112]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，且常与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)求参数值或取值范围．[典例引领]角度一 求线性目标函数的最值(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以z min ＝－5.【答案】 －5角度二 求非线性目标函数的最值 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域， 如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)， 所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．1.保持本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．2．保持本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值． 解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12， 所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.角度三 求参数值或取值范围(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5 B.3 C ．－5或3D ．5或－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．【解析】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B .(2)画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.【答案】 (1)B (2)10(1)求目标函数的最值的三个步骤①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线．②平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置．③求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． (2)常见的三类目标函数 ①截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.表示点(x ，y )与(a ，b )的距离的平方． ③斜率型：形如z ＝y －bx －a.表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．[通关练习]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 若m ＝0， 则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m >0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时， 有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上， 使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m ＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1. 答案：1线性规划的实际应用问题[学生用书P113][典例引领](2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放 时长(分钟)收视 人次(万) 甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解】 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．[注意] 在实际应用问题中，变量x ，y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及以人数为变量的实际应用问题中，人数必须是自然数，在解题时不要忽略了这些隐含的制约条件．[通关练习]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件， 利润z ＝2 100x ＋900y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000求目标函数最值的方法(1)求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．(2)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 由目标函数求最值的方法求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[学生用书P293(单独成册)]1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B .根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0， 解得－7<a <24.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1 B.1 C ．3 D ．2解析：选C .如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1，0)． 故z 的最小值为3×1－0＝3. 故选C .3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3] B.[－1，1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选D .直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D .4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15 B.－9 C ．1D ．9解析：选A .法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A .法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2，(a <1)且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A .211 B.14 C .12D ．34解析：选B .在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案：58．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0，1)，B (1，0)，C (3，4)． 目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.答案：－129.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0， 解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A .13 B.23 C ．1D ．2解析：选D .由选项得m >0，作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0（m >0），3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2，4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m＝2.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：214．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或25．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，求n 的值．解：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示． 设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－3.又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝103.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
高三数学考点-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z＝y－3x得直线y＝3x＋z，当直线y＝3x＋z平移经过点A⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z＝y－3x取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ， 则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三 含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3， 所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大， 当经过点A (3，－3)时，直线截距最小． 则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足， －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五 线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0， 若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *） 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六 线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， 即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是． 第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1， 得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D . 2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1， 则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0， 若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧甲乙1－P甲＝P乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝8，4x＋y＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax＋y≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a≤4，1≤a＋32≤4，1≤2a＋1≤4.解不等式组可得1≤a≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.项目用量产品。
高等数学第七章.ppt
规
划
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
(1)
的
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
(2)
标
准
……
型
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
第三节 单纯形法
其简缩形式为
一
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
线 性
n
aij x j bi
ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150
x2 15 A
3x1+x2=15
可行域
10
B
x1+x2=10
5
C
O
5
10
A(0,15) B(2.5,7.5) C(9,1) D (15,0)
x1+6x2=15
D
15
x1
10x1+20x2＝0
第三节 单纯形法
单纯形方法是一种较为完善的、步骤 化的线性规划问题求解方法。它的原理涉 及到较多的数学理论上的推导和证明，我 们在此仅介绍这种方法的具体操作步骤及 每一步的经济上的含义。为更好地说明问 题，我们仍结合实例介绍这种方法
第
一
节
线
《经济大词典》定义线性规划：一种
性
具有确定目标，而实现目标的手段又有
规
一定限制，且目标和手段之间的函数关
划 模 型
系是线性的条件下，从所有可供选择的 方案中求解出最优方案的数学方法。
的
基
本
原
理
二、线性规划三要素
第
高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理
(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不 符合题意，故 B 不正确；
第十六页，共44页。
(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
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线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0， 得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
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(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的 点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
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x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三 线性规划中的参数问题
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
【龙门亮剑】高三数学一轮理数 第七章 第三节 简单的线性规划课件 全国版
最小值
最大值
最小值
可行解与最优解有何关系？最优解是 否惟一？ 【提示】 最优解必定是可行解，但 可行解不一定是最优解.最优解不一 定惟一，有时惟一，有时有多个.
x＋y≥0 1．不等式组 所表示的平面区域 x－y≥0
(阴影部分)是(
)
【解析】 特殊值验证法，将(1,0)点 代入不等式组适合，故阴影部分包含 (1,0)点，故选B. 【答案】 B
解析式， 关于x，y的函数________ 如z＝2x＋3y
线性目标函 数 可行解 可行域 最优解 线性规划问 题
关于x，y的_______ 一次 解析式 满足线性约束条件的________ 解(x，y) 所有可行解组成的_____ 集合 使目标函数取得_______ 或 最大值 ________的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 ________或_______问题
【解析】
由题意得
50x＋40y≤2 000 x∈N* * y ∈ N
【答案】
50x＋40y≤2 000 x∈N* * y ∈ N
x＋y≤4 5．已知点 P(x，y)满足条件y≥x x≥1
2 2
，则
x ＋ y 的 最 小 值 为 ________ ， 最 大 值 为 ________．
x＋2y－2≥0 x－y＋4≥0 5x－2y＋2≤0
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法 (1)直线定界，特殊点定域 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线 画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不 过原点，特殊点常选取原点． (2)同号上，异号下 即当B(Ax＋By＋C)＞0时，区域为直线Ax＋By ＋C＝0的上方，当B(Ax＋By＋C)＜0时，区域 为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
第七章 第三节 不等式组与简单的线性规划(09年9月最新更新)
y
2x 3y （0，6） O （3，4）
x 0 y 0 则有： 3x y 13 2 x 3 y 18
目标函数 z 5 x 3 y 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当 x ＝3， y ＝5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D
（
13 9 ，0） 3
x
2 x y 4 5.（2009 宁夏海南卷理）设 x,y 满足 x y 1, 则z x y x 2 y 2
A.有最小值 2，最大值 3 C.有最大值 3，无最小值 答案 B B.有最小值 2，无最大值 D.既无最小值，也无最大值
Go the distance
第三节
不等式组与简单的线性规划第一部分
五年高考荟萃
2009 年高考题
一、选择题
3x y 6 0 1. (2009 山东卷理)设 x，y 满足约束条件 x y 2 0 x 0, y 0
若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为 12，
1 x 1 1 或③ 不等式组①无解, 由②得 x 1 , 由③得 1 x , 综 2 2 2 (2 x 1) (x 2) 0
上得 1 x 1 ,所以原不等式的解集为 {x | 1 x 1} . 16.(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知 设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产 品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元. 答案 解析 2300 设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,则
高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明3简单的线性规划课件理
课前自助餐
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二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域． (2)由于对在直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把 它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所得到实数的符号都相同，所 以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0＋C 的符号即可判断 Ax＋By＋C>0 表示直线哪一侧的平面区域．
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(3)由(1)知，x∈[－52，3]，y∈[－3，8]， ∴S＝12(3＋52)(3＋8)＝1241. 【答案】 (1)x∈[－52，3]，y∈[－3，8]
121 (2)42 (3) 4
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★状元笔记★ (1)确定 Ax＋By＋C≥0 表示的区域有两种方法：①试点法， 一般代入原点；②化为 y≥kx＋b(y≤kx＋b)的形式．不等式 y≥kx ＋b 表示的区域为直线 y＝kx＋b 的上方，不等式 y≤kx＋b 表示 的区域为直线 y＝kx＋b 的下方． (2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐 一数出；若数目较大，则可分 x＝m 逐条分段统计．
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思 考 题 1 (1)(2018·沧 州 七 校 联 考 ) 若 不 等 式 组 x－y≥0， 2x＋y≤2， y≥0， 表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围 x＋y≤a， 是________．
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【解析】 作出不等式组 x2－ x＋y≥ y≤0， 2，表示的平面区域(中图中阴影 y≥0， 部分)．由图知，要使原不等式组表示的平 面区域的形状为三角形，只需动直线 l：x＋y＝a 在 l1，l2 之间(包 括 l2，不包含 l1)或 l3 上方(包含 l3)．故 0<a≤1 或 a≥43.
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答案 A
10. (2005重庆)不等式组 的解集为 ( ) A.(0, )； B.( ,2)； C. ( ,4) D.(2,4)
设 满足约束条件
则 的最大值为 ．
答案 11
解析 本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点
或③ 不等式组①无解,由②得 ,由③得 ,综上得 ,所以原不等式的解集为 .
16.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为： －z，画直线 及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。
2005--2008年高考题
一、 选择题
1、（2008山东）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 B
8、（2006安徽）如果实数 满足条件 ，那么 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案 B
9、（2006辽宁）双曲线 的两条渐近线与直线 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 （ ）
答案 D
4.（2007天津）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值
为 （ ）
Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14
答案 B
5、（2008山东）10、（2006山东）已知x和y是正整数，且满足约束条件 则x－2x 3y的最小值是
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B
7.(2009湖南卷理)已知D是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 在区域D内
的弧长为 [ B]
8.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件： .则目标函数z=2x+3y的最小值为
A.6 B.7 C.8 D.23
答案 B
【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
解析 画出不等式 表示的可行域，如右图，
让目标函数表示直线 在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组 得 ，所以 ，故选择B。
则有：
目标函数
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当 ＝3， ＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
5.（2009宁夏海南卷理）设x,y满足
A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值
C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值
答案 A
解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,
目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而 = ,故选A.
【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.
交点为D，则由 知 ，∴
∴ 选A。
3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于
A. B. C. D.
解析 由 可得 ，故 阴 = ，选C。
答案 C
4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是
9.（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
答案 D
解析 设生产甲产品 吨，生产乙产品 吨，则有关系：
A原料 B原料
甲产品 吨 3 2
乙产品 吨 3
(元)
甲设备 5 10 200
乙设备 6 20 300
则满足的关系为 即: ,
作出不等式表示的平面区域,当 对应的直线过两直线 的交点(4,5)时，目标函数 取得最低为2300元.
答案 B
解析 画出可行域可知，当 过点（2，0）时， ，但无最大值。选B.
6.（值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值
C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值
答案 B
第三节 不等式组与简单的线性规划第一部分
五年高考荟萃
2009年高考题
一、选择题
1. (2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ，
若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，
则 的最小值为 ( ).
A. B. C. D. 4
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
答案 D
【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）
解析 设甲、乙种两种产品各需生产 、 吨，可使利润 最大，故本题即
已知约束条件 ，求目标函数 的最大
答案 B
6、（2006广东）在约束条件 下，当 时，目标函数 的最大值的变化范围是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
7、（2006天津）设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 （ ）
分别为 验证知在点 时取得最大值11.
11．（2007浙江）设 为实数，若 ，则 的取值范围是_____________。
答案 2300
解析 设甲种设备需要生产 天, 乙种设备需要生产 天, 该公司所需租赁费为 元,则 ，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品
设备 A类产品
(件)(≥50) B类产品
(件)(≥140) 租赁费
A .[1,3] B.[2, C.[2,9]
D.[ ,9]
答案 C
解析 本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M， 显然 ，只需
研究过 、 两种情形。 且 即
2、（2008广东）若变量 满足 则 的最大值是（ ）
A . B. C. D.
答案 B
解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是 ，所以圆心角 即为两直线的所成夹角，所以 ，所以 ，而圆的半径是2，所以弧长是 ，故选B现。
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..
17.（2009上海卷文） 已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_______.
答案 －9
值，可求出最优解为 ，故 ，故选
择D。
10.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组 （ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则 的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
答案
解析 本题主要考查线性规划方面
的基础知. 属于基础知识、基本运算
的考查.
如图，当 时，
为最小值.
故应填 .
15.(2009山东卷理)不等式 的解集为 .
答案
解析 原不等式等价于不等式组① 或②
答案 D
解析 如图可得黄色即为满足 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是 ；当a=3时，面积恰好为2，故选D.
二、填空题
11.（2009浙江理）若实数 满足不等式组 则 的最小值是 ．
13.（2009北京文）若实数 满足 则 的最大值为 .
答案 9
解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图，当 时，
为最大值.
故应填9.
14.（2009北京卷理）若实数 满足 则 的最小值为__________.
A．90 B．80 C．70 D．40
答案 C
解析 画出可行域（如图），在 点取最大值
3．（2007北京）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 或
答案 4
解析 通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，
12.（2009浙江卷文）若实数 满足不等式组 则 的最小
是 ．
【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求
解析 通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，