从三角问题解法错误上进行的探究性教学思考
三角形的面积教学反思(15篇)
三角形的面积教学反思(15篇)三角形的面积教学反思1成功之处:在本节课教学中，我引导学生发现问题、解决问题。
在解决问题的过程中，我充分放手，让学生自己探索计算方法，学生通过独立思考，小组交流讨论，经历与他人交流的过程，培养学生思维的独立性和灵活性。
同时，我让学生用自己的语言进行表述，而不是强求统一的语言进行操练，使学生在一种自由、民主、和谐的氛围中学习。
在教流过程中让学生感受到集体的智慧是无穷的，懂得欣赏别人，能够取长补短。
不足之处:我发现学生动手的能力十分有限，有的学生干脆就是坐着，无从下手，有的学生只是模仿其他好的学生一起动手。
用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形和用三角形的中位线剪拼后成为一个平行四边形。
从表面上看，学生动手是在操作，可实际上学生只是机械地拼一拼，没有感受到这样的操作是为什么，学后只做了一次“机械的操作工”而为什么要这样去动手，学生却不得而知。
看来,在今后的教学中,在学生小组合作,动手操作时,教师必要的引导是不可少的.三角形的面积教学反思2《三角形的面积》是在教学了长方形的面积和平行四边形的面积之后进行的新的图形的面积的计算内容。
本节课的重点是让学生通过转化的思想能够找出求三角形面积的方法。
难点是理解在三角形的面积公式中为什么要除以2。
同时，突破重点的过程也是本节课的一个新的难点。
尤其是对于那部分学困生来说，通过把三角形的面积转化成平行四边形的面积，从而在抽象出此时三角形的底和高与平行四边形的底和高是相等的这一重要环节上，肯定会出现一部分学生不知其所以然的局面。
在整个教学过程中，我通过以下环节来辅助本节课突破重难点：：1、学生掌握了学习平行四边形面积的方法，所以本节课我设计了提问导入：“三角形的面积跟什么图形有关系，可以让我们想办法求出三角形的面积”。
学生有过学习平行四边形面积的经验，因此今天我在抛出问题之后，只是稍作考虑就想到了可以把三角形转化成平行四边形的面积来计算。
1.5 三角函数的应用(教案)-北师大版数九年级下册
第5节三角函数的应用1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.3.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.1.从实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学思想.2.进一步感受数形结合思想(方程方法与画图法),力图引导学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想,即抽象成平面图形(直角三角形)后,再利用三角函数解决问题.1.发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.2.能将实际问题抽象成数学问题(数学符号或图形).3.让学生在探索活动中相互合作与交流,进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能力.【重点】1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用.2.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.【难点】灵活将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并选择适当三角函数来解决.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习解直角三角形的相关知识.导入一:课件出示:《盘点1833年以来重大海难》2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.仅14人生还.历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间的推移,因袭击所致的海难逐渐减少.但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年韩国“岁月号”客轮,2008年菲律宾“群星公主号”客轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.【引入】今天我们就探究与轮船航行有关的知识.[设计意图]通过对历史上海难事件的了解,使学生对本节课所要探究的知识有一个初步了解,在揭示本课主题的同时,也对学生进行了安全教育,一举两得.导入二:课件出示:多媒体播放:《泰坦尼克号》3D版预告片视频.音频介绍:泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮,由位于北爱尔兰贝尔法斯特的哈兰·沃尔夫船厂兴建,是当时最大、最豪华的客运轮船.在泰坦尼克号的处女航中,因为船长的大意、舵手没有能够分清方向、没有准确计算距离等人为错误,于1912年4月14日船上时间夜里11点40分撞上冰山,2小时40分钟后,船分裂成两半后沉入大西洋.泰坦尼克号海难为和平时期死伤人数(船上2208名船员和旅客中,只有705人生还)最惨重的海难之一,同时也是最广为人知的海上事故之一.【引入】如果你是船长,怎样才能利用我们所学的知识躲开冰山,进而避免像泰坦尼克号这样的灾难发生呢?[设计意图]通过一段视频,进行音乐与3D影片的欣赏,让学生有一些听觉与视觉的冲击,感受现代科技手段为影片带来的美感,感受生活是美的,我们的身边处处都是美,树立对美的追求.课件出示:如图所示,海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西55°的B处,往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗你是怎样想的?与同伴进行交流.师引导学生思考:问题1货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险是由什么决定的?【学生活动】学生分组讨论,统一答案:根据题意知小岛四周10n mile内有暗礁,那么货轮继续向东航行,如果到A的最短距离大于10n mile,则无触礁的危险,如果小于10n mile,则有触礁的危险.过A作AD⊥BC,D为垂足,A到BC所在直线的距离为即为AD的长度.我们需根据题意计算出AD 的长度,然后与10n mile比较.问题2如何利用已知条件求出AD的长度呢?【学生活动】先独立思考,然后小组交流,统一想法,代表发言:在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD是它们的公共直角边,而且BC是这两个直角三角形中直角边BD与CD的差,即BC=BD-CD,BD与CD的对角是已知的,可以利用两个直角三角形的三角函数分别表示出BD 和CD,即在Rt△ADB中,tan55°=,BD=AD tan55°.在Rt△ADC中,tan25°=,CD=AD tan25°.这样可以列出关于AD的一元一次方程,即AD tan55°-AD tan25°=20.【教师点评】在我们解决数学问题时,很多地方都会用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.【师生活动】学生独立解答,师巡视,对有困难的学生给予及时帮助,代表板演展示,师生共同订正,规范学生的解题过程.解:过A作BC的垂线,交BC于点D.在Rt△ABD中,易知tan55°=,∴BD=AD tan55°.在Rt△ACD中,易知tan25°=,∴CD=AD tan25°.设AD=x,则BD=tan55°x,CD=tan25°x.∵BC=BD-CD,∴tan55°x-tan25°x=20,解得x=≈20.79,即AD≈20.79n mile.∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.【讨论】此题的其他解法.【学生活动】分组相互讨论、交流,各组组长展示本组的解题方法,师生共同探讨其方法的可行性,统一做法,代表板演:解:设CD=x,则BD=x+20.在Rt△ACD中,tan25°=,∴AD=.在Rt△ABD中,tan55°=,∴BD=AD tan55°=·tan55°.∴x+20=·tan55°,∴x=≈9.70,∴AD=≈20.79(n mile).∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.[设计意图]在“货轮有触礁的危险吗?”的探讨过程中,学生入手感到困难,所以精心设计了一系列问题,将难点分解,逐步引导学生总结出应用数学知识解决实际问题的一般步骤,进一步培养了学生的探究、归纳能力和解决实际问题的能力.[知识拓展]应用三角函数知识解决实际问题的步骤:(1)根据题意,画出示意图,将实际问题转化为数学问题;(2)用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题;(3)解释结果的合理性.二、利用仰角和俯角解决实际问题课件展示:【想一想】如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)教师引导学生思考并回答:1.在这个图中,仰角为30°、仰角为60°分别指哪两个角?2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗?它们有什么共同点?【学生活动】1.学生分析题目中的两个仰角的对应情况,并相互订正.得出结论:∠DAC=30°,∠DBC=60°.2.两题的示意图都含有两个直角三角形,所以解答方法类似.【教师活动】要求学生类比“船触礁”问题的解答方法,对本题进行解答.【师生活动】学生思考后,独立完成,然后与同伴交流,代表展示,师生共同订正.解:在Rt△ACD中,tan30°=,即AC=.在Rt△BCD中,tan60°=,即BC=.由AB=AC-BC=50,得-=50,解得CD≈43,即塔CD的高度约为43m.[知识拓展]在“测量塔高”的问题中,小明的身高忽略不计,而在实际测量时,应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离.如果小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?【师生活动】引导学生画出示意图后,由学生自己解答.【学生活动】口述解答过程:如图所示,由前面的解答过程可知CD≈43m,则C'D≈43+1.6=44.6(m),即如果考虑小明的高度,塔的高度约为44.6m.[设计意图]直角三角形的边角关系在航海、工程测量等问题中有着广泛应用,通过“测量塔高”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系解决实际问题,提高学生的建模、转化能力,通过问题的变式训练让学生了解更贴近实际生活的数学问题,也为第6节“利用三角函数测高”打下了铺垫.三、利用倾斜角解决实际问题课件展示:【做一做】某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)【教师活动】要求学生根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,并进行解答.【学生活动】先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法.【师生活动】师生共同画出示意图:代表展示解题过程:解:如图所示,在Rt△ABC中,sin40°=,∵AC=4m,∴AB=4sin40°m,原楼梯占地长BC=4cos40°m.调整后,在Rt△ADB中,sin35°=,则AD==(m),楼梯占地长DB=m,∴调整后楼梯加长:AD-AC=-4≈0.48(m).楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).【教师点评】本节课所探究的内容是从实际问题中抽象出的数学模型——双直角三角形.[设计意图]本环节的难点在于是否能利用掌握的“双直角三角形”模型,借助方程思想解决问题.处理这个环节时,要给学生充分思考的时间和空间,发挥学生潜在的能力,通过小组合作交流,完善自己的想法,并在教师的指导下,规范地表述思考过程.[知识拓展]形如“双直角三角形”的图形的解题规律:设∠C=α,∠ADB=β,CD=a.1.非特殊角的组合(α和β组合):AB=a.2.特殊角的组合(α和β组合):(1)30°与60°组合:AB=a.(2)30°与45°组合:AB=a.(3)45°与60°组合:AB=a.1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12n mile到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,这时渔船与灯塔C的距离是()A.6n mileB.8n mileC.2n mileD.4n mile解析:由已知得∠BAC=90°-60°=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB·tan30°=12×=4(n mile).故选D.2.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20m,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为()A.10mB.10mC.20mD.m解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°,∴BD==AB.∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°,∴BC==AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=AB-AB=20,解得AB=10.故选A.3.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了m.解析:由题意知调整前梯高为4·sin45°=4×=2(m),调整后梯高为4·sin60°=4×=2(m),∴梯子升高了2(-)m.故填2(-).4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为m.解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ACD中,∠ACD=75°-30°=45°,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin45°=375(m).在Rt△ABD中,易知∠B=30°,∴AB=2AD=750(m).故填750.5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如下左图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1m)?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)解:过点P作PC⊥AB于C,如上右图所示,在Rt△APC中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°,∴PC=200×sin60°=200×=100.∵在Rt△PBC中,sin37°=,∴PB=≈≈288(m).答:小亮与妈妈相距约288m.5三角函数的应用1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.3.一个构造:若原图形不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.一、教材作业【必做题】1.教材第20页随堂练习第1,2题.2.教材第21页习题1.6第1,2题.【选做题】教材第21页习题1.6第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·哈尔滨中考)如图所示,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()A.1200mB.1200mC.1200mD.2400m2.(2014·苏州中考)如图所示,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4kmB.2kmC.2kmD.(+1)km3.如图所示,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15m,那么河AB宽为m.4.如图所示,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4nmile/h的速度匀速航行,同时乙货船从B港沿西北方向匀速航行,2h后两货船相遇在点P处,则乙货船每小时航行n mile(用根号表示).【能力提升】5.(2015·泰安中考)如图所示,轮船从B处以每小时60n mile的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是()A.20n mileB.40n mileC.n mileD.n mile6.如图所示,路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2m,灯杆与灯柱BC成120度角,锥形灯罩轴线AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线(D在中心线上),已知点C与D点之间的距离为12m,则BC的高是m.7.如图所示的是某滑板爱好者训练时的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°,已知原斜坡坡面AB的长为5m,点D,B,C在同一水平地面上.(1)改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB加长多少米?(精确到0.01m)(2)若斜坡的正前方能有3m长的空地就能保证安全,已知原斜坡AB的前方有6m长的空地,进行这样的改造是否可行?说明理由.8.(2014·南充中考)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我国两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140n mile处.(参考数据:sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;(2)若救助船A和救助船B分别以40n mile/h,30n mile/h的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.【拓展探究】9.如图所示,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,再沿山坡向上走到P处测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=90m,且B,C,D在同一条直线上,山坡坡度为(即tan∠PCD=).(1)求该建筑物的高度(即AB的长);(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测量角度的仪器的高度忽略不计,结果保留根号形式)【答案与解析】1.D(解析:易知∠ABC=∠α=30°,∴AB===2400(m),即飞机A与指挥台B的距离为2400m.故选D.)2.C(解析:过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,易知∠ADO=90°,∠AOD=90°-60°=30°,OA=4,∴AD=OA=2.在Rt△ABD中,易知∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=(90°-15°)-30°=75°-30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=AD=2.即该船航行的距离(即AB的长)为2km.故选C.)3.15(解析:过C作CE⊥AB,在Rt△ACE中,∵∠CAD=60°,AC=15m,∴∠ACE=30°,AE=AC=×15=7.5(m),CE=AC·cos30°=15×=(m).∵∠BCA=30°,∠ACE=30°,∴∠BCE=60°,∴BE=CE·tan60°=×=22.5(m),∴AB=BE-AE=22.5-7.5=15(m).故填15.)4.2(解析:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度航行,∴∠PAC=90°-60°=30°,AP=4×2=8,∴PC=AP×sin30°=8×=4.∵乙货船从B港沿西北方向匀速航行,∴∠PBC=45°,∴PB=PC÷sin45°=4÷=4,∴乙货船每小时航行4÷2=2(n mile).故填2.)5.D(解析:如图所示,作AM⊥BC于M.由题意得∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40(n mile),∠NCA=10°,则∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°.∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,∵AM⊥BC,∴CM=BC=20(n mile).在直角三角形ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC===(n mile).故选D.)6.12-4(解析:设灯柱BC的长为h m,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.∴四边形BCHE为矩形.∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.在Rt△AEB中,AE=AB sin30°=1,BE=AB cos30°=,∴CH=.又∵CD=12,∴DH=12-.在Rt△AHD中,tan∠ADH===,解得h=12-4.故填12-4.)7.解:(1)在Rt△ABC中,BC=AC=AB·sin45°=(m),在Rt△ADC中,AD==5(m),CD==(m),∴AD-AB=5-5≈2.07(m).答:改善后的斜坡约加长2.07m.(2)这样改造能行.由(1)可知CD-BC=-≈2.59(m),而6-3>2.59,∴这样改造能行.8.解:(1)过点P作PE⊥AB于点E,如图所示,由题意得∠PAE=90°-53.5°=36.5°,∠PBA=45°,设PE 为x n mile,则BE=PE=x n mile.∵AB=140n mile,∴AE=(140-x)n mile.在Rt△PAE中,=tan∠PAE,即=0.75,解得x=60,∴可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离为60n mile.(2)由(1)知在Rt△PBE中,PE=60n mile,∠PBE=45°,则BP=PE=60(n mile),B船需要的时间为≈2.83(h).在Rt△PAE中,=sin∠PAE,∴AP=PE÷sin∠PAE≈60÷0.6=100(n mile),∴A船需要的时间为100÷40=2.5(h).∵2.83>2.5,∴A船先到达P处.9.解:(1)由题意可知AB⊥BC,在Rt△ABC中,BC=90m,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan60°=90(m),故建筑物的高度为90m.(2)如图所示,过点P作PE⊥BD于E,PF⊥AB于F.∵AB⊥BC于B,∴四边形BEPF是矩形,∴PE=BF,PF=BE.设PE=x m,则BF=PE=x m.∵在Rt△PCE中,tan∠PCD==,∴CE=2x.∵在Rt△PAF中,∠APF=45°,∴AF=AB-BF=90-x,PF=BE=BC+CE=90+2x.又∵AF=PF,∴90-x=90+2x,解得x=30-30.答:此人所在位置点P的铅直高度为(30-30)m.本节课选用的教学素材来源于现实生活,船是否有触礁的危险、小明测塔高、怎样改造楼梯都是学生关注和感兴趣的实例,使学生感受到了数学知识就在身边,与现实世界有着非常密切的联系.这些内容对一部分学生来说会显得轻松自如,但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得心应手,关键是不会合理构造直角三角形,所以在学习时会有些困难.在教学时,注重引导学生在审清题意的基础上,自己(或在老师的引导下)画出示意图,将实际问题转化为数学问题,通过亲身经历数学活动的过程,初步掌握数学建模的方法,然后留时间给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以合作互助、优势互补的方式突破难点.本节课的知识比较抽象,为了满足学生的认知规律和逻辑思维习惯,在内容设计上有一定的层次性和弹性.此外,在教学过程中,把一个知识对象尽量用多样化的载体予以呈现,体现了知识发展的阶梯.1.学生间差异较大,部分学生跟不上教学节奏,学习较吃力,需要课下加强辅导.2.本节课设计的练习题的题量比较大,有部分学生没有当堂完成.学生对数学建模思想理解得不透彻,再教时应该时刻提醒学生首先要建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.随堂练习(教材第20页)1.约7.96m.2.(1)17°8'21″.(2)10182.34m3.习题1.6(教材第21页)1.解:∵sin A===,∴∠A=30°,即斜坡的倾斜角为30°.2.解:如图所示,由题意得∠A=30°,AB=50m,∠CBD=45°.∵CD⊥AD,∴CD=BD.设CD=x m,则BD=x m.在Rt△ADC中,tan A===,∴3x=50+x,∴x=≈68.3(m).3.解:过点A作AE⊥BC于E,∵tan B=,∴BE=≈≈49(mm),由题意知四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD+2BE≈180+2×49=278(mm).4.33.94n mile.[提示:(解法不唯一)方法1:过点B作AN的垂线,可得BC sin75°-BC cos75°=36×.方法2:过点C作AB的垂线,得出两个特殊直角三角形,再利用∠A=45°,∠B=30°求得BC.]1.运用直角三角形的边角关系解决实际问题的关键是掌握两个转化:实际问题数学问题,已知条件数学图形中的边角关系.2.本节课的图形比较特别,为“双直角三角形”,准确把握此图形的特征是总结其规律的前提条件,熟记“双直角三角形”的规律方法会让学生节省大量的时间,提高解题效率.某船以每小时36n mile的速度向正东方向航行,在点A测得某岛C在北偏东60°方向上,匀速航行半小时后到达点B,测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16n mile内有暗礁.(1)试说明点B是否在暗礁区域外;(2)若继续向东航行有无触礁危险?请说明理由.〔解析〕(1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求CB的距离是否大于16,如果大于则不在暗礁区域内,反之,则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和直角三角形CBD的公共直角边,可先求出CD的长,再求出CB的长.(2)本题实际上是求C到AB的距离是否大于16,如果大于则无触礁危险,反之,则有,C到AB的距离在(1)中已经求出,只要进行比较即可.解:(1)如图所示,作CD⊥AB于D点,设BC为x,在Rt△BCD中,∠CBD=90°-30°=60°,∴BD=x,CD=x.在Rt△ACD中,∠CAD=90°-60°=30°,∴tan∠CAD==,由题意可知AB=36×=18(n mile),∴=,解得x=18,∵18>16,∴点B在暗礁区域外.(2)有.理由如下:由(1)可知CD=x=×18=9≈15.6(n mile).∵15.6<16,∴若继续向东航行,船有触礁的危险.。
如何在数学教学中渗透研究性学习思想
如何在数学教学中渗透研究性学习思想摘要：作为一种教学方式和学习方式，研究性学习渗透于所有学科、所有活动之中，它具有开放性、探究性、实践性等特点。
在数学学科领域中，结合研究性学习的特点，引入研究性学习的思想和方法，使书本内容与学生的生活联系起来，在书本知识的教学中能够让学生联想起他的生活经验，让学生全面发挥各种感官的作用，满足内在各种需要。
关键词：研究性学习思想渗透研究性学习是指教师不把现成结论告诉学习者，而是学习者自己在教师指导下自主地发现问题、探究问题，获得结论的过程。
学习活动应当是主体积极参与的一种源自于内在需要的活动，是学生不断地积累经验、改变经验、重组经验，不断地更新自我、充实自我的过程。
传统教学方式常常以教师为中心，以学生是否记住书本知识为目标，学习难以成为学生作为一个完整的人的内在需要。
而“研究性学习”着力于学生的学，鼓励学生以类似科学研究的方式主动获取知识，应用知识，解决问题。
它改变了学生以单纯接受教师传授知识为主的学习方式，有利于学生加深对知识的理解和掌握，提高其发现问题、分析问题、解决问题的能力，培养其创新意识。
作为一种教学方式和学习方式，研究性学习渗透于所有学科、所有活动之中，它具有开放性、探究性、实践性等特点。
在数学学科领域中，结合研究性学习的特点，引入研究性学习的思想和方法，使书本内容与学生的生活联系起来，在书本知识的教学中让学生联想起他的生活经验，让学生全面发挥各种感官的作用，满足内在各种需要。
一、数学开放题与研究性学习的渗透数学开放题体现了数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程。
数学开放题既展示了数学问题的形成过程，又反映了解答对象的实际状态，有利于培养学生思维的灵活性和发散性。
因此，利用数学开放题引入研究性学习应是十分有意义的。
数学开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，是一种全新的教育理念的体现。
数学开放题的构建主要有两方面：一是问题本身的开放性而获得新问题，其二是问题解法的开放性而获得新思路。
锐角三角函数教学反思
锐角三角函数教学反思直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一。
锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，因此，学好本节中关于锐角的三种三角函数，正切，正弦，余弦的定义是关键。
通过这一阶段的课堂教学，在合作探究中培养学生的问题意识，同学们的表现有了明显的转变，课堂上有问题能及时提出来，有的同学一堂课能提出好几个问题，其他同学对提出的问题争先恐后地辩解，争得面红耳赤。
本节课采用问题引入法，从教材探究性问题梯子的倾斜度入手，让学生主动参与学习活动。
用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图，找边、角，计算各个方面进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后就问：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系，三角函数与三角形的形状有关系吗？进一步深入地去认识三角函数；当得出正切的概念后，学生们就提出：能不能把公式变形成积的形式，去求边，这个问题已经把本课的内容拓展了，说明学生的问题意识已经增强了，能够合理地提出问题。
至此，每个学生在课堂的表现明显改变，表现得积极、主动、问题意识强。
在教学中，我还注重对学生进行数学学习方法的指导。
在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会作题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目。
通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念、基础知识。
在这节课的教学中存在许多缺陷，促使我进一步研究和探索。
我们必须清醒地认识到，课程改革势在必行，在教学中加入新的理念，发挥传统教学的基础性和严谨性，不断地改善教法、学法，才能适应现代教学。
总之，在教学方法上，改变教师教、学生听的传统模式，采用学生自主交流、合作学习、教师点拨的方式，把主动权真正交给学生，让学生成为课堂的主人，才能提高学生的问题意识。
反思二：锐角三角函数教学反思本节课是锐角三角形这章的第一节课，是学生在学了直角三角形及勾股定理基础上再来研究直角三角形边与角的关系的内容，本章的知识通过解直角三角形与实际问题中的坡度、方向角方位角建立联系，解决问题。
解三角形教案
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
三角形面积教学反思
三角形面积教学反思三角形面积教学反思1《三角形的面积》是人教版五年级上册第六单元《多边形面积》中的内容，《三角形的面积》教学反思和谐小学吴凤琴。
本节内容的教学目标可以定位两个:1.通过拼一拼，探索并掌握三角形的面积计算公式，会计算三角形的面积。
2.能用公式解决简单的实际问题。
这两个目标也是本节课的重难点。
对于第三代导学案的使用，我们一直处于探索中，边使用变改动，但都是根据学情来确定的。
这节的课教学设计我是在检查了学生的预习情况后稍作了调整后进行的。
在检查了学生的预习情况后，对于温故知新中的做钝角三角形的高一题我看学生做对的有两三个人，就临时加了处理这道题的环节，平时只让学生对改更正，不作处理。
然后回顾了新课先知中本节课的难点，探索拼成的平行四边形和原来三角形的关系，然后看怎样得出三角形的面积公式。
接下来进行分层训练。
最后总结，教学反思《《三角形的面积》教学反思和谐小学吴凤琴》。
一节课下来，总结得失有如下几点：一、本节课的成功之处:1、由于预习较充分，学生都能用转化思想讲出三角形面积公式的探索过程，虽然语言不是那么简练，这说明学生确实经过了思考，交流。
2、这也是我没有预料到的，学生的自信，敢于质疑。
在在分层训练中，李嘉瑶写出并讲述了分层训练（二）中第1小题的思考过程后，本人认为她讲的非常精彩，可是当她讲完后随即就有同学质疑，周万里说她写的语言不够准确，应该是拼成的平行四边形，少写了拼成一次，宫浩真说应该用他的那种解法最好，于是我就对比了两种解法，让同学们评判，从中选出了最优解法。
本节课的不足之处:1、教师本人的总结语言欠精炼。
在学生探索出三角形面积公式后，表述拼成的平行四边形和原来三角形的关系时，应该总结出它们是等底等高，所以三角形的面积是底×高÷2，我总结的比较啰嗦。
所以在教学中还要继续提炼语言的准确、精炼程度。
2、小组交流不太充分。
在探索面积公式时学生进行了交流，在分层训练时，没有让学生在互讲思考过程。
小学数学“三学探究式”课堂的几点思考教研课题论文开题结题中期研究报告(反思经验交流)
小学数学“三学探究式”课堂的几点思考教研课题论文开题结题中期研究报告（反思经验交流）摘要：小学数学教学的本质是理论知识的教学，逐渐演变成对问题的探究，成为学生学习道路上的重要保证。
为此小学数学课堂要成功运用三学探究式的重要方法，就需要教师结合小学数学的主要特点，针对教学过程中具体实施的方案和内容进行探索。
教师发挥出自身的教学引导作用，促使学生形成独立自主学习和合作学习的能力，为学生提供自由表达、积极探究的学习机会，从而将学习的主导权交给学生自己。
关键词：小学数学;三学探究式;几点思考引言：小学数学三学探究式课堂的形成，就是以教师引导学生学习、启发学生自主学习、学生合作探究讨论为基础的教学模式。
为此在教学的过程中，就需要教师掌握学生学习的实际情况，并就学生自主学习能力的培养作为起点，从而发展学生的思维能力。
促使学生在掌握了数学学习的方法和技巧时，能够独立自主的去学习、去思考、去应用，进一步增加学生自主学习的机会，搭建参与探究学习的平台，真正使学生得以充分而全面的发展。
一、创设教学情境，启发学生自主学习在小学数学课程中，学生掌握基本数学知识以及处理数学教育问题的知识基础，都是依据学生对学习知识产生兴趣，为此要求学生能在教学过程中，积极或主动地参加对数学知识的探索，以建立自主学习的意识。
所以为能调动学生探究学习的兴致，教师需要创设趣味性、启发性的教学情境，通过有趣的教学环节设置，把课堂教学内容巧妙融入到教育情境之中，才能够引起学生对学习的注意力。
所以，通过创造教学情境的方式，就能够调动学生对探索与学习的兴趣，使得学生更加充分掌握数学知识，有助于学生自主学习能力的培养和提升，并在教师有效的教学引导下，学生自主学习意识也会得到增强，进而促使学生渴望探究数学知识[1]。
例如，在教学北师大版小学六年级数学《图形的运动》时，针对这一节课的教学设计，教师在以学生自主探究学习数学为中心，以及激发学生探究学习兴趣作为起点，通过设计课堂情境的方法教学数学基础知识点，以增进学生对数学知识的了解。
中考数学复习指导：相似三角形的探索性问题
相似三角形的探索性问题探索性问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，要求学生通过自己的观察、分析、比较、概括，得出结论，形成方法和思路的数学问题，这类题是考查学生分析问题和解决问题的重要题型，它可以分为三类：一、条件探索性问题条件探索性问题是指所给问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目，这类问题大致分为两种类型：一是问题中的条件未知或不足需要探求，二是条件多余或有错，要求排除或修正.例1:如图1,已知△ABC ,P 是AB 边上的一点,连结CP .要使△APC ∽△ACB ,则应添加一个条件是_______.分析:⑴∠ACP =∠B (或∠APC =∠ACB )时,可得到△APC ∽△ACB ;⑵即△APC ∽△ACB方法探究:在△APC 和△ACB 中,已有一角对应相等,因此添加的条件应从“有两个角对应相等，两个三角形相似”和“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形形似”两个途径进行思考，本题是一个条件探究题，这类问题一般解法是把结论当作已知反溯条件.二、结论探索性问题它是指题目结论不确定,不唯一,或题目结论需要通过类比引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论.例2:已知:如图2, △ABC 中,点D.E 分别在边AB.AC 上,连结DE 并延长交BC 的延长线于点F ,连结DC.BE .若∠BDE +∠BCE =180°.(1)写出图中三对相似三角形(注意:不得加字母和线);(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对,说明他们相似的理由.分析: 先由角的关系入手,由∠BDE +∠BCE =180°和图形中∠BDE +∠ADE =∠BCE +∠ECF =180°, 可得∠BDE =∠ECF , ∠ADE =∠BCE , 易得△ADE ∽△ACB (∠A 为公共角)、 △ECF ∽△BDF (∠F 为公共角), 其次，由△ECF ∽△BDF 得 可得△FDC ∽△FBE (∠F 为公共角).图2A图1PCB解：⑴△ADE ∽△ACB ，△ECF ∽△BDF ，△FDC ∽△FBE .⑵①△ADE ∽△ACB . 证明如下：∵∠BDE +∠BCE =180°.又∵∠BDE +∠ADE =180°，∴∠ADE =∠BCE . ∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB 。
六年级数学下册《数学思考》的教学反思
六年级数学下册《数学思考》的教学反思苏教版六年级数学下册《数学思考》的教学反思（通用7篇）在充满活力，日益开放的今天，教学是我们的工作之一，反思意为自我反省。
那么优秀的反思是什么样的呢？以下是小编收集整理的六年级数学下册《数学思考》的教学反思（通用7篇），欢迎大家分享。
六年级数学下册《数学思考》的教学反思篇1数学思考主要是通过三道例题进一步巩固，发展学生找规律的能力，分步枚举组合的能力和列表推理的能力。
这里的规律的一般化表述是：以平面上几个点为端点，可以连多少条线段。
这种以几何形态显现的问题，便于学生动手操作，通过画图，由简到繁，发现规律。
解决这类问题的策略是，由最简单的情况入手，找出规律，以简驭繁。
这也是数学解决问题比较常用的方法之一。
反思课堂教学，我注重了以下几点：一、注重数学学习方法的指导现代教学论认为，教学过程不是单纯的传授和学习知识的过程，而是促进学生全面发展（包括思维能力的发展）的过程。
从小学数学教学过程来说，数学知识和技能的掌握与思维能力的发展也是密不可分的。
一方面，学生在理解和掌握数学知识的过程中，不断地运用着各种思维方法和形式，如比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理；另一方面，在学习数学知识时，为运用思维方法和形式提供了具体的内容和材料。
本节课我注重了数学思想方法的教学，开课时，出示一个点，问：可以连几条线段？学生不假思索的说：一条。
在片刻安静之后，学生突然恍然大悟，立刻反应：不能连成线段，因为线段有两个端点……接着在黑板上又点一个点，问，两个点之间可以连几条线段？（一条）。
在学生及其兴奋的时候，我不再一个一个添点，而是一下点了8个点，问：8个点之间可以连多少条线段？学生喊着8条、10条……然后是相互的争论，互不相让。
在学生兴奋的时候，我说：究竟是几条呢？给你们一个建议：在纸上画一画、数一数。
由于点比较多，想一下子数清楚并不是一件容易的事。
大约1分钟之后，我又说：点多了，想比较快的数出可以连多少条线段不容易，怎么办？有的学生根据以前的学习经验，想到先研究点比较少的情况，找到规律后，再应用规律研究点比较多的情况。
高中数学解题中常见错误成因及应对策略 (4)
高中数学解题中常见错误成因及应对策略高中数学解题是学生学习数学的重要环节，也是考验学生数学能力的重要方式。
但是，由于知识点繁杂、思维难度大，往往会出现各种各样的错误。
因此，对于高中数学解题中的错误成因进行分析和总结，并提出相应的应对策略就显得至关重要。
一、错解问题错解问题是指由于解题者的疏忽、粗心或不规范导致的错误。
这种错误往往是解题者没有认真审题或没有按照一定的步骤进行解题所导致的。
实际上，许多错解问题的原因都比较简单，例如计算错误、符号错误、漏写关键步骤等。
具体如下：1.计算错误：计算错误常常是解题者精神状态不佳或缺乏细心造成的。
例如：35÷（10-5）=5，而很多学生却把它算成了7。
2.符号错误：符号错误是解题中比较常见的错误。
例如：$(-1) \\times (1-2)=-1$，而很多学生却把它算成了2。
3.漏写关键步骤：解题中若漏写关键步骤，同样也会导致错误的产生。
例如：要求求出$f(x)=\\sqrt{1-x}$在$x=-1$处的导数，但很多学生不会注意到要使用链式法则进行求导，而直接算出来为$-\\frac{1}{2}$。
应对策略：解决错解问题的办法就是增强自己的细心和认真态度，攻克解题中常见的易错点：1.认真审题：在做题之前认真审题，理解题目要求，确定具体解题步骤。
2.重视符号：识别符号、理解符号意义、确定符号使用范围，避免符号误用。
3.多核对：解题之后要认真核对，核对答案是否正确，核对解题步骤是否齐全。
二、既得论证问题既得论证问题是指解题者从已有出发，带有主观性地证明某个命题。
这种错误的产生往往是解题者对基本概念、定理及证明不了解或不理解，从而误导自己进行不当的推理。
例如：已知$PA=PB$，$\\angle A=60^\\circ$，$\\angle P=70^\\circ$，$AB=1$，则$AP=BP$。
错误的证明：由已知$PA=PB$，得$\\triangle PAB$是等边三角形，再由$\\angle P=70^\\circ$，$\\angle A=60^\\circ$可知$\\angle PBA=50^\\circ$，又由余角定理可得$\\angle ABP=80^\\circ$，因此$\\angle PAB=50^\\circ$，所以$\\triangle PAB$是等腰三角形，故$AP=BP$。
问题激发思维 导向深度学习——八年级“三角形的中位线”课例研究
过 程后 ，他 们逐 步发 现 了取 中点
的重 要性 ，会 得 出“应 沿 着联 结
两 边 中 点 的线段 剪 开 ”的结论 。
在 拼 图过 程 中，学生也 会经 历一
图 １
１４９
见 代 擞 学 ２０１８／７ＡＢ
草根式科研
些尝试 的过程 ，从无规律 的简单 拼凑 ，到 发现可 以将 剪 下的小三角形通过旋转运动 ，即绕着一边 中点旋转 １８０。就可 以拼成 平行 四边形纸 片，思维逐 步变得 有 序且清 晰起来 。
草根 式科研
Ｉ ：竺 ｌ
问题激发思维 导 向深度学 习
八年级 “三角形 的中位线”课例研 究
文／上海市青浦 区颜 安中学 陶 颖
【摘 要 】本文 以激发 学生思维为主线 ，通过 对八年级 “三角形 的 中位 线”一课 的课 例研 究，从 学生学 习的真 实 问题 出发 ，开展 “预 学展示 、助 学评议”的课 堂改进循证 实践 ，从而导向 学生的深度 学习。
二、教学 过程
本节课 的教学 内容主 要分 为三 部分 ：通 过 学生
动手操 作发现三角形 的中位线，结合操作探 究三 角形
中位线 的性质 ，运 用三角形的中位线定理解决 问题 。
１．立 足学生 问题 。引入真实情境
针 对 “一 张任意 的三角形 纸片 ，你 能否剪一 刀分
成 两 部分 ，然 后将 这两 部 分拼 成 一个 平 行 四边 形纸
片 ”这一 问题 ，为 了让学生将操 作与说理结合起来 ，我
在 预学 单 中设计 了三个 小 问题 ：（１）你 是如 何剪 的？
（剪在什么位置 ，为什么 ？ ）（２）你是如何拼 的？ （３）
三角形内角和教学反思
《课程标准》倡导探究性学习，力图改变学生的学习方式，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生收集和处理科学信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力等，突出创新精神和实践能力的培养。
探究三角形内角和的过程的时候，我注意鼓励学生通过动手操作、小组合作的方法去探究，并利用多媒体去验证学生的结论，最终得到三角形的内角和都是180°。
给学生一些问题，让他们自己去探索；给学生一片空间，让他们自己飞翔。
“为什么不能画出有两个直角的三角形？三角形的内角度数有何奥秘？”这正是小组合作的契机。
通过小组内交流，让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程。
教师引导学生通过测量、剪拼、折拼等实际操作，建立解决问题的目标意识，形成学习的气氛，给学生更多的自主学习、合作学习的时机，促进学生的主体参与意识。
在此根底上，教师通过多媒体动画演示，让学生更直观、更清晰地观察到剪拼、折拼的过程，进一步验证探究结论。
同学们通过自主实践、合作探究完成了本节课的教学任务。
整节课的练习设计，由易到难。
在应用“三角形内角和是180°”这一结论时，第一、二层练习是三角形两个内角的度数，求另一个角和简单的判断题。
第三层练习是求特殊三角形内角的度数，真正做到了三角形内角和知识与三角形特点的有机结合。
在实际教学中，我屡次利用超级画板、flah动画，从开始的激趣引入、观察猜测，到后来的数据验证，多媒体在整个教学中起到了不可无视的辅助作用。
另外，参与学生的探究活动是我教学的一大特点，询问、点拨、交流，使学生都能积极参与到合作学习之中，更好地完成教学任务。
同时我也发现，学生在合作探究中的组织如合理分工、有效合作等方面不够科学合理，还需更具体的指导，以使每位学生都能真正参与，让合作探究更有效。
学生在学习了三角形的特征以及三角形分类的根底上，进一步研究三角形三个角的关系。
根据教学目标和学生掌握知识的情况，课堂上我围绕以下几点去完成教学目标：一、创设情境，营造研究气氛怎样提供一个良好的研究平台，使学生有兴趣去研究三角形内角的和呢？为此我抛出大、小两个三角形争吵的情境，让学生评判谁说的对？为什么争吵？导入课引出研究问题。
《相似三角形的判定》教学反思
《相似三角形的判定》教学反思《相似三角形的判定》教学反思1这节课是在学习完“相似三角形判定定理一”后的一节习题课，相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，而“相似三角形判定定理一”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在，“难”的不是定理的本身，而是要跟以前学过的“角的等量关系”证明联系紧密，综合性比较强，因此对定理的运用也带来的障碍。
通过建立数学模型，引导学生使用化归思想。
要让学生善于学习，促进他们通法的掌握是重要途径之一。
化归思想与转化思想不同，主要是化归思想必须有一归结的目标，也就是老经验。
因此，在教学实践中，我采用了下列两个做法：一是建立“一线三等角”的数学模型，让学生在实验操作中探寻出折纸问题中的数学问题本质特征。
并把它上升为一种理论，指导其他问题的解决。
二是采用探究条件的转化，使问题表象发生变化，引导学生去伪存真，还原出数学问题的本质。
在教学后，我觉得有很多需要改进的地方。
1．教学的方式过于单一，学生的参与面较低。
主要是我没有调动好他们的情绪，说明我对课堂的驾驭能力还需要提高。
2．教学内容还有待于进一步改进。
3．备课时没有考虑学生的实际情况，犯了备课只备教材不备学生的大忌，因此，在今后的教学中要引以为戒。
《相似三角形的判定》教学反思2《数学课程标准》要求：让学生成为行为主体“动手实践、自主探索、合作交流”。
以上述思想为出发点，本节课的教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、体验性。
教学流程：创设情境，激发求知欲——合作交流，探索新知——应用拓展，达成目标——归纳总结，深化目标1.关于探索两个三角形相似条件的探索，本设计没有按照教科书那样直接指导学生按部就班地画一个角，两个角这样的程序进行。
而是首先在新旧知识的转折处，创设有助于学生自主学习的问题情境——能否配制一张完全一样的玻璃来引导学生探索并深入研究。
使学生经历“直观感觉――动手感知――理性思维”的活动过程，在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，真正感受数学创造与探索的乐趣。
问题化教学，让数学课堂更精彩
问题化教学，让数学课堂更精彩作者：徐美华来源：《教育界》2024年第10期【摘要】教师可以在数学课堂中科学应用问题化教学，以调动学生的思考热情，引导学生通过思考、实践深入了解数学知识、建立完善的知识体系。
文章对于在数学课堂中科学应用问题化教学的策略进行探索，提出了通过问题引导学生思考、引导学生探索、推动学生思维发展的相关策略。
【关键词】小学数学；课堂教学；问题化教学作者简介：徐美华（1988—），女，江苏省苏州市相城区望亭中心小学。
让学生在数学课堂上学会思考，提升思考能力、形成创新意识，是数学教师的重要任务。
在部分数学课堂上，数学教师提出的教学问题不够科学，要么非常简单，学生只要回答对或错即可；要么过于复杂，无论学生怎样思考，都不能切中问题的要害。
显然，这两种问题都难以真正发挥引导学生前进的作用。
要有效引导学生思考，教师需要了解学生的認知规律和发展需求，结合教学内容精心设计具有引导性、梯度性、开放性的数学问题，引领学生步步逼近知识的本质，建立正确的认知结构，提升思维品质。
一、巧用问题，引导学生思考（一）运用趣味问题，调动学习热情趣味问题可以让抽象的数学知识变得生动、有趣，从而调动学生的学习热情［1］。
在小学数学课堂上，教师可以针对教学内容设计趣味问题，以集中学生的注意力，让他们积极参与课堂活动，主动地探索数学知识。
在教授苏教版小学数学五年级下册“圆”一节时，笔者先使用电子白板展示了自行车、小轿车、公交车、摩托车等交通工具的图片，然后提示学生观察这些交通工具的车轮的相同之处。
在仔细观察之后，学生给出了自己的想法：“这些车轮都是圆形的。
”笔者追问：“为什么这些交通工具的车轮都要制成圆形的呢？如果车轮是其他形状的，会发生什么事呢？人们坐在这样的交通工具里会有怎样的感觉呢？”这些问题激起了学生的讨论热情，学生开始你一言我一语地讨论起来。
在学生纷纷表达自己的看法之后，笔者适时播放课前准备好的教学视频。
在这个视频中，坐在圆形车轮的交通工具里的人感到舒适、惬意，认为旅程十分顺畅；而坐在其他形状车轮的交通工具里的人，则因为颠簸而显得痛苦不堪。
高中数学探究性教学的几点思考
高中数学探究性教学的几点思考摘要：探究性教学就是教师在教学过程中有目的、有计划地创设问题情境，培养学生进行探究的学习习惯。
本文结合笔者的教学实践，论述了探究性教学在数学教学中的实践及思考。
关键词：探究性教学；数学；教师作者简介：郭劲，任教于福建莆田第五中学。
《数学课程标准(实验)》强调：高中课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
数学课问题探究式教学就是教师在教学过程中有目的、有计划地创设数学问题情境，培养学生根据问题层层深入进行探究的学习习惯。
学生在此过程中，不但获取了知识，并且还发展了自己的探究性思维。
近两年，笔者听了不少探究性的教学课堂，也积极进行探究性的教学实践，有以下几点思考：一、不把探究性教学神秘化、形式化人类与生俱来具有探究的本能，探究的过程是由一个人的好奇心、求知欲或要理解观察到的内容、解决一个问题的热情所驱动的。
不应该神化科学探究，我们没有必要纠缠一堂课是否完整地经历探究的几个环节，在每个环节学生是否达到自主探究的程度；也没有必要刻意去追求学生在程序上、形式上是否重复科学家的发现过程，我们真正关注的是学生的“学”。
如果探究的环节都有了，科学家的样子也做得像模像样了，学生的学习仍然是机械而不是有意义的，那样的探究又有什么真正的价值？二、理解并处理好探究性学习所需要时间与课时的矛盾科学探究既作为科学学习内容，又作为科学学习方法出现，目的在于通过亲历探究活动，让学生既学到科学知识、又培养科学探究能力，同时增加对科学探究的理解。
要实现这样的目标，时间确实是一个重要的问题。
但我们往往是静态地、孤立地计算探究性学习所花的时间，而没有考虑学生真正掌握知识为日后的学习所省下的麻烦。
事实上，那种“堤内损失堤外补”的办法反而是效率更低的。
再者是探究性学习的选题。
我们没有必要将课程标准中所有的内容都设计成探究性的。
最值得选择的内容是对学科来说具有核心和基础地位的那些概念和规律性知识，因为学生真正理解了这样的知识，就等于掌握了学科知识主干，形成了扩充和扩展自己知识结构的能力。
《三角形的认识》教学实录与评析
《三角形的认识》教学实录与评析教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）四年级下册80~81页的例1、例2及相关练习。
教学目标：1、通过动手操作和观察比较认识三角形。
知道三角形的底、高的含义，会在三角形内画高。
2、了解三角形具有稳定性，体验三角形的稳定性在生活中的广泛应用，感受几何图形与现实生活的密切联系。
3、提高学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
教学重点：1、理解三角形的特性。
2、在三角形内画高。
教学难点：会在三角形内画高。
教学准备：课件、小棒若干根、三角形和四边形框架。
教学过程：一、创设情境，初步感知师：这个袋子里有我们认识的一些平面图形，有三角形，你能把它摸出来吗？（指名一生到前面摸三角形。
）师：你怎么又快又准确的摸出哪个是三角形？生：因为三角形有三个角，其它图形都比三个角多，比如长方形有四个角，梯形也有四个角。
师：三角形仅仅是有三个角吗？生：还有三条边，三个顶点。
师：看来三角形还有很多的奥秘，今天咱们就一起来认识三角形（板书课题：三角形的认识）[评析]新课伊始，韩老师创设摸图形的游戏情境，激起了学习兴趣，引发了参与热情，唤醒了原有的经验储备。
学生摸三角形的过程，实际是学生调动已有对三角形的模糊经验，初步建构三角形特征的过程。
一句“你怎么又快又准确的摸出哪个是三角形？”的反问，让学生在三角形与其他平面图形的对比中，加深了对三角特征认识。
此时，记忆苏醒，心智激活，兴趣倍增。
二、自主建构，探究特征1、画三角形，得出概念（1）第一次画三角形，从学生错误的作品中得出“围成”。
师：同学们，要想深入的研究三角形，只靠摸和看是不够的，还要画。
会画三角形吗？（会）画一个三角形吧。
学生独立画，师巡视了解学生画的情况。
展示一名学生的作品：三条线之间有空隙。
师：对于她画的三角形，想说些什么吗？生1：我觉得她画得不对，那线和线之间不能有空，三条线要连在一起才行。
师：要连在一起，好像不太好理解。
解三角形教学反思
解三角形教学反思解三角形教学反思1掌握直角三角形的边角关系并能灵活运用；会运用解直角三角形的知识，利用已知的边和角，求未知的边和角；能结合仰角、俯角、坡度等知识，综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题。
《课程标准》中指出“教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力”，注重对学生对知识间的沟通与联系进行讲解，将这些知识点灵活组合，通过综合性题目所提供的信息，搜寻解决问题的相关知识点，找出解决问题的方法。
在平时教学中能讲到中考一模一样的题目的可能性微乎其微.那怎么办,教给学生思考方法和解题的策略往往更有用.这样可以举一反三,会一题可能就会掌握一类题,并在学生理解之后及时复习巩固,努力把新方法新技巧纳入到原有的知识体系中。
在解题中应该尽量的让题目一题多解,或者多提一解,尽量在学生思维的的转折点处进行点拨,这样最有效。
解三角形教学反思2新课标把三角形的内角和作为四年级下册中三角形的一个重要组成部分，它是学生学习三角形内角关系和其它多边形内角和的基础。
即使在以前没有这部分内容，大部分教师在课后也会告诉学生三角形的内角和是180度，学生容易记住。
因此让学生经历研究的过程成了本节课的重点。
既让学生经历“再创造”----自己去发现、研究并创造出来。
教师的任务不是把现成的东西灌输给学生，而是引导和帮助学生去进行这种“再创造”的工作，最大限度调动其积极性并发挥学生能动作用，从而完成对新知识的构建和创造。
本节课我基本达到了要求，具体表现在以下2个方面。
1、为学生营造了探究的情境。
学习知识的最佳途径是由学生自己去发现，因为通过学生自己发现的知识，学生理解的最深刻，最容易掌握。
因此，在数学教学中，教师应提供给学生一种自我探索、自我思考、自我创造、自我表现和自我实现的实践机会，使学生最大限度的投入到观察、思考、操作、探究的活动中。
比方法更重要的是思想 ——《三角形内角和》的教学研究。县一等奖
比方法更重要的是思想——《三角形内角和》的教学研究。
县一等奖本文探讨了小学数学中的三角形内角和教学研究，认为比方法更重要的是数学思想的渗透。
作者以长方形和直角三角形的内角和为起点，通过激活学生的思维，破解锐角三角形和钝角三角形内角和的研究难点。
作者还通过几何画板让学生直观感受三个内角在运动变化过程中的相互关系，渗透函数思想和极限思想，将研究的视角从“是什么”向“为什么”转变。
三角形内角和是小学数学中的重要内容，有助于学生理解三角形的三个内角之间的关系。
然而，近年来公开课中教师在关键地方缺少及时的追问和反问，导致学生无法发现知识背后隐藏的数学思想。
教学案例中存在着不完全归纳推理的思路，学生仅仅按照“猜想→验证→归纳”的流程，得出结论。
这样的教学设计无法证明所有的三角形内角和都是180°，结论不够严密，思维含量不高。
作者提出了自己的教学思路，以长方形和直角三角形的内角和为起点，通过激活学生的思维，破解锐角三角形和钝角三角形内角和的研究难点。
通过几何画板让学生直观感受三个内角在运动变化过程中的相互关系，渗透函数思想和极限思想，将研究的视角从“是什么”向“为什么”转变。
这种教学思路强调了数学思想的渗透，可以更好地激发学生的研究兴趣和思维能力。
在教学三角形内角和时，学生的起点应该是对三角形的基本概念和性质的理解和掌握。
只有在掌握了三角形的基本概念和性质后，才能更好地理解和探究三角形内角和的规律。
3.验证内角和的方法在验证三角形内角和的方法上，可以采用测量、剪拼、折拼等多种方法。
但是，教师应该让学生了解每种方法的优缺点，并引导学生思考如何减小误差，使得验证结果更加准确和严密。
4.突破难点对于学生难以理解的难点，教师可以采用多种方式进行突破。
例如，可以通过图形演示、实物模型等方式让学生直观地感受三角形内角和的变化规律，从而更好地理解和掌握这个概念。
5.引领学生感悟除了验证内角和的规律外，教师还应该引领学生感悟三角形内角和不变的原因。
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解得tan x =-3或tan x = 1 .
2
23
解法2院因为1=姨sin2x+cos2x ，所以2cosx=姨sin2x+cos2x
+sinx，两边同除以cosx得2= 姨1+tan2x +tanx，解得tanx=
3. 4
2tan x
2tan x
因为tanx=
2 ，所以
2 =3.
1-tan2 x
教学 参谋
解法探究
2019 年 7 月
从三角问题解法错误上进行的探究性教学思考
筅安徽省临泉第二中学 刘 帅
帮助学生修正学习中的错误是教师的教学日常，因 此，帮助学生有效认识错因并修正错误也就成了教师教 学中的重大任务.很多教师在实际教学中喜欢采取直接 告知的方式来纠正学生的错误，但这样的教学行为却往 往 无 法 收 到 教 师 预 期 的 教 学 效 果 .事 实 上 ，教 师 准 确 把 握学生的错误及原因并因此启发学生反思错因、探究错 误的修正方法，才能真正使学生学有所获.
这样做的理由是什么呢？
生 1（理 直 气 壮）：因 为 当 sinx =-1 时 ，cosx =0，因 此 可
知tanx没有意义，利用二倍角的正切公式求tan x 是行不 2
通的，因此将这一情况舍去.
生2（反驳）：tanx没有意义并不能说明tan x 也是没 2
有意义的.比如当x=
仔 2
时，x 2
=
响 到 本 题 的 求 解 ，解 题 中 出 现 多 种 结 果 之 时 ，我 们 应 对
解题过程进行反思并对题设条件进行再一次的审视. （学 生 在 分 析 、比 较 并 收 获 解 题 心 得 后 表 现 得 更 加
积极.）
解法探究
教学 参谋
3.积极实践并深化认识 师 ：在 三 角 函 数 的 范 畴 中 ，角 的 范 围 对 三 角 函 数 的 取值往往能起到决定性的影响，三角函数的值对于角的 范围也同样会起到决定性的作用.大家在解决涉及角的 范围、三角函数取值之类的问题时一定要把握好两者之 间的关系，把握好这一制约关系能使大家对题目形成更 深层次的挖掘，很多错解也就能够得到很好的避免.
大家对于解法2的错误之处能进行仔细地分析吗？
生4：在解 法 2 中 ，两 边 同 除 以 cosx 的 过 程 中 漏 掉
了 cosx =0 这 一 情 况 的 讨 论 ，因 此 将 - 1 这 个 解 遗 漏 了 . 实
际 上 ，当 cosx =0 时 ，sinx = -1 ，等 式 成 立 ，根 据 解 法 1 可 得
即（1+sinx）（5sinx-3）=0，解得sinx=-1或sinx=
3 5
.
当sinx=-1时，cosx=0（舍去），
当sinx=
3 5
时，cosx=
4 5
，故tanx=
sinx cosx
=
3 4
.
2tan x
2tan x
因为tanx=
2 ，所以
2 =3，
1-tan2 x
1-tan2 x 4
2
2
tan x =-1；由tanx= 3 求tan x 时，解法1中的错误就再次
2
4
2
发生了. 师：你的分析很到位，太棒了！大家再对解法3和解
法4进行一下研究吧，看结果是对的，那解题过程是否有
问题？
生5：两种解法都对且在运算上显得很简洁.
师 ：大 家 的 分 析 都 很 棒 ，大 家 比 较 一 下 这 些 解 法 并
22
2
2
解得tan
x 2
=-1或tan
x 2
=
1 3
.
1-tan2 x
2tan x
解法4院利用万能公式得2·
2 =1+
2，
1+tan2 x
1+tan2 x
2
2
整理得3tan2 x +2tan x -1=0，
2
2
解得tan
x 2
=-1或tan
x 2
=
1 3
.
2.揭示矛盾并探究问题
师 ：大 部 分 同 学 在 本 次 练 习 中 的 表 现 都 很 好 ，现 在
仔 4
，tanx在此时确实没有
68
高中
2019 年 7 月
意义，但tan
x 2
=1.我们要求的是tan
x 2
，并不是tanx，因此
轻易舍去这一情况是不对的.
事实上，当sinx=-1时，x= 3仔 +2k仔，k 沂Z，x = 3仔 +
2
24
k仔，k沂Z.故tan x =tan 3仔 =-1.
2
4
因此，本题应该有-3、1 、-1三个解. 3
请大家对以上四种解法进行认真的研究并阐述一下自
己的想法.
（有 意 识 地 请 运 用 解 法 1 的 学 生 代 表 首 先 进 行 了 阐
述）
生1：我运用的是解法1，我认为自己做得没错，不过
对于解法3、解法4中出现的“-1”这个答案，我感到困惑.
师：你在解答过程中舍去了当sinx=-1时的情况，你
谈谈收获吧.
生6：解法3和解法4目标明确且运算简单，漏解和多
解的现象也不易发生.
生7：方 程 的 思 想 在 以 上 四 种 解 法 中 都 得 到 的取值范围扩大了，-3这 2
一 解 也 就 多 出 来 了 ，因 此 可 知 ，角 的 范 围 扩 大 会 直 接 影
1-tan2 x 4
2
2
解得tan x =-3或tan x = 1 .
2
23
蓸 蔀 解法3院由 二 倍 角 公 式 得 2
cos2 x 2
- sin2 x 2
=1+
蓸 蔀 蓸 蔀 2sin
x 2
cos
x 2
，cos
x 2
+sin
x 2
cos x -3sin x
2
2
=0，
所以cos x +sin x =0或cos x -3sin x =0，
以下是笔者在学生的一些错误练习上进行的探究 性教学，围绕学生的解法与错误所展开的教学简录.
一尧课堂简录
1.凸显矛盾并制造问题
问题1院已知2cosx=1+sinx，求tan x . 2
（笔者在讲评之前打印了学生的四种解法并发给了 学生，这四种解法都具有一定的代表性.）
解法1院两边平方，得4cos2x=（1+sinx）2. 因为cos2x=1-sin2x，所以4（1-sin2x）=（1+sinx）2，
生3：我觉得解法1中，当sinx=
3 5
时，tan
x 2
只有一解.
因为sinx=2sin
x 2
cos
x 2
=
3 5
跃0，因此
x 2
为第一、三象限的
角，因此tan
x 2
跃0，所 以 tan
x 2
=-3 应 舍 去 ，因 此 本 题 的 解
为 1 和-1. 3
（大家纷纷点头并表示赞赏）
师：很好，由以上讨论可知，解法2是不正确的，那么