第9章 方差分析

第九章 方差分析教学目的：理解方差分析的一般原理；掌握完全随机设计和随机区组设计方差分析的步骤；熟悉事后检验方法。

教学重点：完全随机化设计和随机区组设计类型的方差分析，事后检验。

教学时数：8学时Z 、t 检验用于两组样本平均差异的显著性检验，是通过检验两组样本平均值间的差异来推论各自代表的两总体均值的差异。

但在实际工作中，我们有时需要同时对多于两个的总体平均数有无显著性差异作出检验，如下例：例：某研究者设计了三种不同的教学方法，为比较三种方法有无优劣之分，他随机抽取了三组被试，每组6人，各组分别接受一种教法的教学，学习同一种材料，学完之后进行统一测试，测得结果如下，问这样的结果是否支持三种教学方法有无优劣之分。

对于这样一种多个总体平均数差异的显著性检验问题，似乎可用Z 、t 检验分别两两成对比较，但是我们不能忘记统计决策是有犯错误的风险的，在对两个总体平均数作检验时，犯弃真错误(Ho 为真，拒绝)的概率为α，结论正确的概率为1-α，比较次数会随着总体的增多而迅速增大，如此例，323==C n ，那第连续三次都正确的概率为3)1(α-，结论出错的概率为3)1(1α--，这个值>α，不符合我们希望在一次检验中犯弃真错误的概率为α的要求了。

因此，在对多个总体平均数作显著性检验时，采用Z 、t 检验两两逐对比较并不是一种理想的方法，另外，从检验工作量来说，平均数个数增多，两两比较次数迅速增多，工作量增大。

本章所介绍的方差分析，又称作变异数分析（Analysis of Variance ，缩写为ANOV A ）,就是一种用于多个总体平均数差异显著性检验，既不增加犯错误的概率，又不加大工作量的一次性通盘检验方法。

因对平均数的检验是通过对方差的分析比较进行的，故称方差分析。

方差分析是统计学中一种独特的假设检验方法，多个总体平均数差异显著性检验是其基本功能，但其功能不仅仅如此，还可以用于两种以上实验处理的数据分析（包括同时在多个不同方向上分别进行各向内多个平均数之间的比较，还可侦查不同方向因素之间有无交互作用）。

如为研究学习动机(A)和练习方法(B)对学生学习成绩的影响，某校从一年级中随机抽取30名学生，把他们分成6组(按智力水平、识字量多少、家庭辅导力量等)，按交叉分组的方式进行实验，结果如下：不同的实验设计，所需方差分析的具体过程存在着区别，本章主要讨论完全随机和随机区组两种最基本的实验设计的方差分析，并简要介绍多因素方差分析。

第一节 方差分析的原理及其基本过程一、几个基本概念 (一) 因素(factor)指实验因素，即实验中的自变量。

举出前面所述实例中的实验因素。

如教材改革实验，准备考察几种教材效果，则教材就是实验因素。

如教法改革，教学方法就是实验因素。

这种只有一个自变量的，称单因素实验。

如学习动机与练习方法对学习成绩的影响，二者都是实验因素。

这种有两个或两个以上的自变量的实验，称多因素实验。

实验因素又称实验因子。

(二) 水平(level)是指实验因素的水平，即每一个实验因素的不同情况。

实际上也就是实验因素这个变量所取的值。

如教法改革，教法分为A，B，C三种，即有三种水平。

如研究学习动机与练习方法对成绩的影响，则学习动机有三种水平，练习方法有二个水平。

注意：因素的水平与一个实验中因素的个数之间的区别。

不能把教学的三个水平当成实验中的三个因素。

(三) 实验处理(treatment)是指各种实验因素的不同水平的组合。

对于单因素实验来说，一个水平就是一种处理。

对于多因素实验来说，如每一种学习动机和每一种练习方法的组合就是一种实验处理。

即共有2×3=6种实验处理。

用方差分析检验某一因素对因变量的作用，称单因素方差分析。

用方差分析检验某几个因素对因变量的作用，称多因素方差分析。

二、方差分析的逻辑基础例：为研究三种不同教材的质量，抽取三个实验班分别使用其中一种教材，而对其他因素加以控制。

经过一段实验后进行测试，取得三种实验处理的数据如下，（共有j=1……k组处理，每组处理有i=1……n个被试）从上表可知，三种不同实验教材的教学效果不完全一致，表现在三个不同实验处理组的平均数之间存在差异；同时，同一实验组内部的5名样本的反应变量也存在差异。

从而我们将三个实验组的所有15名样本分数的差异分成两部分：实验组间的差异(称为组间差异)和实验组内的差异(称为组内差异)。

组间差异是由于不同实验组的实验处理不同造成的，组内差异是由于实验中一些未被有效控制的未知因素造成的，它们统统被认为是误差因素。

如果实验数据的总变异主要是由实验因素造成的，那么在总差异中组间差异将占较大比例，组内差异只占较小比例，这时有充分的理由认为不同教材的教学效果不同；反之，如果总变异主要是由误差因素造成的，那么就只能认为三种教材的教学效果无显著性差异。

表述数据离散趋势的差异量中只有方差具有可加性。

由此可见，方差分析作为一种统计方法，就是把引起实验数据变化的各种因素进行分析和比较，从而找出形成各样本之间差异的主要因素。

它所依据的基本原理是变异的可加性，根据这一原理可将总变异分解为不同来源的变异，并根据不同来源的变异在总变异中所占的比重对造成数据变异的原因作出解释。

在方差分析中，是以实验数据与平均数的离差平方和（简称平方和，以符号SS 表示）(Sum of Square)，作为变异的统计量。

数据模式记： Xj 为第 j 个处理下的 n 个数据的平均数；Xt 为 nk 个数据的总平均数。

则对每个数据有：)()()(t j j ij t ij X X X x X x -+-=-从而第 j 组中n 个数据的离差平方和为22121212121)()( )()()(2)( )]()[()(t j ni j ij t j ni j ij t j ni j ij ni t j j ij ni t ijX X n X x X X n X x X X X x X X X x X x-⋅+-=-⋅+--+-=-+-=-∑∑∑∑∑=====将k 组平方和连加∑∑∑∑∑=====-⋅+-=-k j k j kj t j ni j ij ni t ijX X n X x X x11122121)()()(式中： 总离差平方和 =t SS ∑∑==-k j ni t ijX x121)( t 为total 的缩写组间离差平方和 =b SS ∑=-⋅kj t jX Xn 12)( b 为between groups 的缩写组内离差平方和 ∑∑==-=kj ni j ijw X xSS 121)( w 为within groups 的缩写w b t SS SS SS +=这里我们以离差平方和表示实验数据变异，并将总变异分为组间变异和组内变异两部分。

从上所述我们知道，组内变异是由实验误差造成的，因而又可记为SSE ，（error ）,组间变异是由实验处理造成的，因而又可记为SSA ，（affect ）。

在方差分析中，比较组间差异与组内差异，不能直接比较各自的离差平方和，因离差平方和是若干项的平方和，其大小与项数有关(k 或n)，需要把项数的影响消掉，所以平方和必须除以各自的自由度，称为均方，以MS 表示，它实际上也就是总体方差的无偏估计量。

组间均方 bbb df SS MSA MS == 1-=k df b 组内均方 www df SS MSE MS == k N n k df w -=-=)1( 总均方 ttt df SS MS =11-=-=N nk df t w b t df df df +=方差分析要检验的原假设是H 0：μ1＝μ2＝……＝μk ，相应的备择假设H 1：至少有一对μ是不等的。

原假设即无实验处理效应，也即MS b ≤MS w 。

若在水平Aj 下，总体),(~2σμj j N X ，则有kj N ni X ij ij j ij ,2,1 ),0(~,2,1 2==+=σεεμ其中各组方差未知但都相同，称各总体间具有方差齐性。

若设k j k j j kj j ，，1,2 11=-==∑=μμδμμ j δ反映了因素的第j 个水平的影响。

称为处理效应。

故ij j ij εδμ++=X 。

故原假设也即0=j δ，在原假设成立的情况下，有),(~2σμN X ij 所以),(~w b wbdf df MS MS F ={ )1()(122--=∑=k X XSE Kj t jXnSE X22σ=)1()(ˆ122--⋅=∑=k X X n Kj t j σ即组间均方是总体方差的一个估计式。

另若K 组样本均来自同一总体，也即μ相等，2σ相等，此时可用K 组样本方差的加权平均作总体方差的估计值。

即组内均方是总体方差的第二个估计式。

}故检验两方差之间的差异要用F 检验。

),(~w b wbdf df MS MS F =，采用右单侧检验。

F 反映了组间均方与组内圴方的比率数，如F ≤1，说明数据的总变异中组间均方(即处理效应引起的变异)所占比例小于或等于组内变异(即实验误差引起的变异)，不能拒绝原假设。

当F>1且落入F 分布的否定域，即F>),(w b df df F α时，表明变异主要由处理效应造成，从而拒绝原假设。

上例：k=3 n=5=t SS ∑∑==-k j ni t ijX x121)(＝192 =b SS ∑=-⋅kj t j X X n 12)(＝70∑∑==-=kj ni j ijw X xSS 121)(＝122 w b t SS SS SS +=1-=k df b ＝2 bbb df SS MSA MS ==＝35 k N n k df w -=-=)1(＝12 w w w df SS MSE MS ==＝10.167 11-=-=N nk df t ＝14 ttt df SS MS ==13.714 wbMS MS F ==3.44 88.3)12,2(05.0=F 接受Ho三、方差分析的步骤利用方差分析来检验K 个平均数差异的显著性，其进行的步骤如下：1、建立Ho ：μ1＝μ2＝……＝μk ，即各组的平均数所来自的总体平均数相等，它们之间的差异是由抽样误差所致，也即不存在处理效应H1：至少有两个总体的平均数不同，即处理效应不全为0 2、求F 值：（1）求平方和：进行方差分析时最关键的问题 （2）计算自由度 （3）求均方 （4）计算F 值3、判断结果：将计算出来的F 值与F 表中的临界值相比较，作出K 个平均数之间的差异是否达到某种显著性水平的最后结论4、作方差分析表：一般包括变异来源、平方和、自由度、均方、F 值、F 临界值和检验结果等项四、方差分析的基本条件 （一）方差分析的基本假定与其他统计方法一样，应用方差分析也有一定的条件限制。