奥数：小学奥数系列：第八讲 数学游戏

第八讲数学游戏我们在进行竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是对策.在小学数学竞赛中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.例1 甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？分析采用倒推法（倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法）.由于每次报的数是1～6的自然数，2000-1=1999，2000-6=1994，甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994～1999，由于1994-1=1993（或1999-6=1993），因此，甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样，由于1993-1=1992，1993-6=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987～1992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样，由于1986-1=1985，1986-6=1980，所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980～1985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979，….把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列：2000、1993、1986、1979、….观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差d=7，这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为：19、12、5.所以甲要获胜，必须先报，报5.因为12-5=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（=7-3）.解：①甲要获胜必须先报，甲先报5；②以后，乙报几甲就接着报7减几.这样甲就能一定获胜.例2 有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.①甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？②乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？分析为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1～1994号.取球时先取序号小的球，后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个是1985，….把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来：1993、1989、1985、….观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球，因为a+（4-a）=4，所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a 个球.解：①甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.②乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.例3 甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.分析采用“对称”思想.设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜.解：（略）.例4 把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？分析采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.（对方从A格出发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A格.同理可知，每次都占据A～E这五个格中的某一格的人一定获胜.解：为保证取胜，应先走.首先把棋子走进E格，然后，不管对方走至哪一格，（肯定不会走进A～D格），先走者可以选择适当的方法一步走进A～D格中的某一格.如此继续，直至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜.例5 白纸上画了m×n的方格棋盘（m，n是自然数），甲、乙两人玩画格游戏，他们每人拿一枝笔，先画者任选一格，用笔在该格中心处画上一个点，后画者在与这个格相邻（有一条公共边的两个格叫相邻的格）的一个格的中心处也画上一个点，先画者再在与这个新画了点的格相邻的格的中心画上一个点，后画者接着在相邻的格中再任选一格画上一个点，…，如此反复画下去，谁无法画时谁失败.问：先画者还是后画者有必胜策略？他的必胜策略是什么？（注：已画过点的格子不准再画.）分析m，n是自然数，不定，不妨选几个小棋盘来试试，以便从中找出规律.1×1棋盘，先画者胜.1×2棋盘，后画者胜.2×2棋盘，后画者胜.2×3棋盘，后画者胜.后画者的策略如下：2×3棋盘，总可以事先分割成3个1×2的小棋盘.后画者采用“跟踪”的方法：先画者在某个1×2的小盘中某个格内画了点，后画者就在同一个1×2小盘中的另一格画点；先画者只得去寻找另外的1×2的小盘，后画者“跟踪”过去；直至先画者找不到新的1×2小盘，这时，先画者就失败.由2×3棋盘的分析过程知：m，n中至少有一个为偶数时，m×n棋盘总可以事先分成一些1×2或2×1的小棋盘，利用上面所说的“跟踪”法，后画者有必胜策略.若m，n都是奇数，先画者事先把m×n棋盘划分成一些1×2小棋盘后，还剩一个小格.这时，先画者可以先在这个剩下的小格中画点，之后，先画者用“跟踪”法，就归结为m、n至少有一个为偶数的情形，先画者有必胜策略.综上所述，当m、n中至少有一个为偶数时，后画者有必胜策略；当m、n都为奇数时，先画者有必胜策略.解：（略）.例6 现有9根火柴，甲、乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止.最后数一数各人所得火柴总数，得数为偶数者胜.问先拿的人是否能取胜？应怎样安排策略？分析我们从最简单的情况开始进行考虑.由于9是奇数，它分成两个自然数的和时，必然一个是奇数，一个是偶数，所以两人中必然一胜一负.由于偶数分成两个自然数的和时，必然同奇或同偶，故无论如何取，都只能平局.因此我们只对火柴总数为奇数的情况加以讨论.1.如果有1根火柴，那么先取的人必败，后取的人必胜.2.如果有3根火柴，先取的人可以取2根，后取的人只能取1根，那么先取的人必胜，后取的人必败.3.如果有5根火柴，不妨设为甲先拿.甲先拿1根：①乙拿1根，还剩3根，甲取3根.甲的火柴总数为：1＋3＝4（根），乙的火柴总数为1根，因此甲胜.②乙拿2根，还剩2根，甲取1根，乙取1根.甲的火柴总数为：1＋1＝2（根），乙的火柴总数为：2＋1＝3（根），因此甲取胜.③乙拿3根，还剩1根，甲取1根.甲的火柴总数为：1＋1＝2（根），乙的火柴总数为3根，因此甲胜.因此，如果有5根火柴，先拿的人有必胜的策略.4.下面讨论7根火柴的情形.甲先取了3根：还剩4根，同前面3①～③分析可知甲必胜。

因此，有7根火柴时，先取的人有必胜的策略.5.最后讨论9根火柴的情形.①甲先取1根，乙取3根，还剩5根.（a）甲取1根，还剩4根，乙取3根，甲取1根，乙胜.（b）甲取2根，还剩3根，乙取3根，乙胜.（c）甲取3根，还剩2根，乙取1根，甲取1根，乙胜.因此，在甲先取1根的情况下，（乙接着取3根）乙有必胜的策略.②甲取2根时，还剩7根，这时乙面临7根的情形，乙取3根，不论以后甲怎样取，乙都有必胜的策略.③甲取3根时，还剩6根；乙取1根，还剩5根.（a）甲取1根，还剩4根，乙取3根，甲取1根，乙胜.（b）甲取2根，还剩3根，乙取3根，乙胜.（c）甲取3根，还剩2根，乙取1根，甲取1根，乙胜.因此在甲先取3根的情况下，乙只要取1根，不论以后甲怎样取，乙都有必胜的策略.综上所述，先取的人没有必胜的策略，后取的人有必胜的策略.解：（略）.习题八1.甲、乙两人轮流报数，必须报1～4的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？2.有1994个格子排成一行，左起第一个格子内有一枚棋子，甲、乙两人轮流向右移动棋子，每人每次只能向右移动1格、2格、3格或4格，谁将棋子走到最后一格谁败.那么甲为了取胜，第一步走几格？以后又怎样走？3.54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁拿到最后一张谁输，问先拿牌的人怎样确保获胜？4.n个1×1的正方形排成一行，左起第一个正方形中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子，每步可向右移动1格、2格或3格，谁先走到最后一格谁为胜利者.问先走者还是后走者有必胜的策略？5.如果将例4中的条件改为“得数为奇数者为胜”，那么怎样才能确保取胜？习题八解答1.解：把胜利者报完数后累加起来的和倒着进行排列：1000、995、990、985、…、10、5，这是一等差数列，公差d=5.且每个数都能被5整除.因此，胜利者第一次报完数后应为5，而进行的是1～4报数，所以甲要取胜，应让乙先报.然后根据乙报几，甲就报5减几，这样就能确保甲取胜.2.解：把这1994个格子从左至右编上号码为1，2，…，1994.把胜利者每走一步棋子所落入的号数倒着进行排列：1993、1988、1983、1978、…，这是一等差数列，公差d=5，且每个数被5除都余3.因而胜利者走第一步棋子所落入的号数是3号.所以，甲为了取胜，第一步向右移动2格.然后乙向右移动几个格，甲就向右移动5减几个格，这样就能确保获胜.3.解：把这54张扑克牌进行编号1～54，不妨设甲要取胜.把甲每次所拿牌中的最大序号倒着进行排列：53、48、43、38、…，这个等差数列的公差为5，且每个数被5除均余3，因此甲第一次应拿3张牌，以后乙拿几张，甲就拿5减几张，这样就能确保甲胜.4.解：把这n个1×1的小正方形进行编号1～n，不妨设为甲要取胜.把甲走完后所落入的正方形的号数倒着进行排列：n、n-4、n-8、…，这也是一等差数列.每个数被4除的余数都与n除以4的余数相同，所以甲的策略要根据n被4除的余数来定，下面分四种情况进行讨论：①如果n被4除余0：那么甲第一次走完后应落入4号格，因此甲先走，甲向右移动3格.②如果n被4除余1：那么甲第一次走完后应落入5号格，因而是由乙先走，乙走几格，甲就向右移动4减几格.③如果n被4除余2：那么甲第一次走完后应落入2号格，因此甲先走，向右移1格.④如果n被4除余3：那么甲第一次走完后应落入3号格，因此甲先走，向右移2格.5.解：分析过程与例4类似.甲的详细策略如下：赠：小学五年级数学竞赛题1.把自然数1.2.3.4.....的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011.......已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位?2. 在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255，乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365，那么正确的乘积是多少？3. 将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法？4、把自然数1、2、3、4......的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213.....已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有几个？6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202，这群孩子至少有几人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。