2012届高一数学专题复习课件：函数解析式的求法

代入f ( x + 1) = x + 2 x , 得f ( t ) = t 2 − 1( t ≥ 1), ∴ f ( x ) = x 2 − 1( x ≥ 1). 方法二 ∵ f ( x + 1) = x + 2 x = ( x )2 + 2 x + 1 − 1 = ( x + 1) 2 − 1, 且 x + 1 ≥ 1, ∴ f ( x ) = x 2 − 1( x ≥ 1).
b 2 − 4ac 又 | x1 − x2 |= = 2 2 ,∴ b 2 − 4ac = 8a 2 . ② |a|
由已知得c 由已知得c=1.
1 式解得b=2,a ,c 由①、②、③式解得b=2,a= ,c=1, 2
③
1 2 +2x ∴f（x）= x +2x+1. 2
( 2)方法一
设 x + 1 = t ( t ≥ 1), 则 x = t − 1.
六、迭代法
是一次式, 例6 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式 求 f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: f[f(x)]=a2x+ab+b. ∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b≡27x+13. 由题意知 ≡ 比较系数得: 比较系数得 a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法. 评注 本题的解法除了用迭代法 还用了待定系数法
在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉 及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 及的内容 形式多样 没有一定的程序可循 综合性强 解起 来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 来有相当的难度 但是只要认真仔细去探索 还是有一些常用 之法. 的方法. 之法 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法
1 例4.设f(x)满足关系式 f ( x ) + 2 f = 3x x 求函数的解析式.
1 f ( x ) , f 看成两个变量，那 分析：如果将题目所给的 x
么该等式即可看作二元方程，那么必定还需再找一个关于 它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程
解 ： 设 F
四、递推求和法
的自然数, 例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数 a≠0 且 - f(2)=8, 求 f(n) 的解析式 的解析式. 解: 由已知, f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, …, f(n)-f(n-1)=an, 由已知 - 将这(n- 个式子相加 个式子相加, 将这 -2)个式子相加 得: (a=1 时); f(n)-f(2)=a3+a4+…+an= n-2 n-2 … a3(1-a - )(1-a)-1 (a≠1 时). ∵ f(2)=8, n+6 (a=1 时); ∴ f(n)= 8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a≠1 时). 评注: 这是运用数列中递推公式的思想. 评注 这是运用数列中递推公式的思想
二、换元法
f ( x + 1) = x 2 + 2 x + 2 ，求 2.已知 例2.已知
f (3)及f ( x ) , f ( x + 3)
分析：这是含有未知函数 的等式， 分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数 的等式 比较抽象。 f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则 不变的条件 的定义可知， 的定义可知 在函数的定义域和对应法则f不变的条件 自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式， 下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对 函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。 函数本身并无影响，这类问题正是利用这; 1) = x 2 + 2 x + 2
m2 − 2 < 0 − 4m − =2 2(m2 − 2) 4n(m2 − 2) − (−4m)2 =2 4(m2 − 2)
解得: 解得
m=-1, n=-2. 即：y=-x2+4x-2
五、待定系数法
例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 f[g(x)] 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式. 而右端是二次式， 都是一次式 而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式 则可设 是一个二次式, 则可设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有 从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 表示同一个式子, ∴ 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子 即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1 . ≡ 比较系数得: 比较系数得 a=1, b=0, c=-1. 从而有: 从而有 f(x)=x2-1. 评注: 的基本形式, 再用待定系数法, 评注 先分析出 f(x) 的基本形式 再用待定系数法 求出各 系数. 系数
三、解方程组法
例3 已知 f(x)+f(x-1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x). x x- 1 记题中式子为① 代替① 整理得: 解: 记题中式子为①式, 用 x 代替①中的 x, 整理得 x-1 )+f( 1 )= 2x-1 ②, 再用 1 代替①中的 x, 整理得 代替① 整理得: f( x x 1- x 1- x 1 )+f(x)= 2-x ③, 解由 ①, ②, ③ 组成的方程组 得: 组成的方程组, f( 1-x 1- x x 3- x 2- 1 f(x)= . 2x(x-1)
1 1 3 (3)把题目中的x换成 , 得2 f ( ) + f ( x) = , x x x 1 ① 2 f ( x ) + f ( x ) = 3 x 联立方程 2 f ( 1 ) + f ( x ) = 3 ② x x 3 ① × 2 − ②得3 f ( x) = 6 x − , x 1 所以f ( x) = 2 x − ( x ≠ 0). x
= ( t −1) + 2( t −1) + 2 = t +1 ， 2 ∴ f ( x ) = x + 1. f ( 3) = 10.
2 2
∴ y = f ( x + 3) = ( x + 3) +1 = x + 6x +10
2 2
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围. 注意点：注意换元的等价性， 的取值范围
)
设二次函数f 满足f 2)=f 2)， 【练习】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)， 练习】 且图象在y轴上的截距为1 且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为
2 2 ，求f(x)的解析式； 的解析式；
（2）已知 f ( x + 1) = x + 2 x , 求f ( x);
练习2:（求下列二次函数解析式） 练习 （求下列二次函数解析式） 若抛物线y=(m2-2)x2-4mx+n对称轴是 若抛物线 对称轴是 1 直线x=2,且最高点在直线 y = x +1 上. 直线 且最高点在直线 2 解法:可先求出顶点坐标 可先求出顶点坐标(2,2), 解法 可先求出顶点坐标 再由题意得
一、配凑法
x+1 x2+1 1 例1 已知 f( x )= x2 + x , 求 f(x). x+1 )= x2+1 + 1 =1+ 1 + 1 =( 1 +1)2-( 1 +1)+1 解: ∵f( x x x2 x x x2 x =( x+1 )2-( x+1)+1 并且 x+1 ≠1, x x x ∴f(x)=x2-x+1(x≠1). x+1 x2+1 + 1 评注: 评注 若在给出的函数关系式中 x2 x 与 x 的关系 不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系. 不明显时 要通过恒等变形寻找二者的关系
1 1+ 5x 2+5x,则f(x)= (x ≠ 0) . 练习.已知f 练习.已知f（ ）=x +5x 2 x x
1 1 解析 ∵ x ≠ 0,∴ 令 x = t , 即x = t ( t ≠ 0), 1 1 1 + 5t · ∴ f ( t ) = ( ) 2 + 5 = 2 ( t ≠ 0), t t t 1+ 5x 故f ( x ) = ( x ≠ 0). 2 x
1 ∴所求的解析式为： = (x − 2)2 −1 所求的解析式为： y 3
(3)图象与 轴交于 图象与X轴交于 且过点(0,-2) 图象与 轴交于(2,0) (-1,0)且过点 且过点 解法(一 可设一般式 解法 一)可设一般式 解法(二 可设交点式 解法 二)可设交点式 轴交于点(2,0)(-1,0) 解:∵抛物线与 轴交于点 ∵抛物线与X轴交于点 设解析式为:y=a(x-2)(x+1) ∴设解析式为 把点(0,-2)代入 把点 代入 a(0-2)(0+1)=-2 解得 a=1 ∴y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
则
c =0 a +b +c = 2 4a + 2b + c = 3