山西省实验中学2017届高三3月联考理数试题 Word版含答案

山西省实验中学2017届下学期高三级考数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知{}{},3,13+==<=x y x B x A x则=B A （ ）A ．[)0,3-B ．[]0,3-C ．()0,+∞D ．[)+∞-,32.若复数z 满足,1=-iz zi其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．221i +- B ．221i -- C ．221i - D ．221i +3.已知命题,2:π=t p 命题,1sin :=⎰xdx q t o 则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.过双曲线()01222>=-b by x 的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E ,O 为坐标原点，若,2EOF OFE ∠=∠则=b （ ）A ．21B ．3 C.2 D ．335.九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为（ ） A ．96 B ．72 C. 48 D ．246.已知锐角θ的终边经过点()3,m P 且,2cos m=θ将函数()x x x f cos sin 21+=的图象向右平移θ个单位后得到函数()x g y =的图象，则()x g y =的图象的一个对称中心为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,3π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,6π 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．12B ．11 10 D ．98.已知实数y x ,满足,0002⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 且y x z +=的最大值为6，则()225y x ++的最小值为（ ）A ．5B ．3 C.5D ．39.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱及底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马及鳖臑的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:2 C.1:1 D ．2:110.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<>+=,10,,1,2cos 12x x x x x f π函数()(),01>++=x a x x x g 若存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0x h ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2-<aB ．2-≤a C. 1-<a D ．1-≤a11.已知抛物线,42x y =过其焦点F 的直线l 及抛物线分别交于B A ,两点（A 在第一象限内）,,3=过AB 的中点且垂直于l 的直线及x 轴交于点G ，则三角形ABG 的面积为（ ） A ．938 B ．9316 C.9332 D ．9364 12.已知函数()2ln x x x f -=及()()()()R m m x x x g ∈--+-=22122的图像上存在关于()0,1对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2ln 1,-∞-B ．(],1ln 2-∞- C.()+∞-,2ln 1 D ．[)+∞-,2ln 1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在1022⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，15x 的系数为 ．14.已知(),xxxe e x x f +=定义()()()()[]()()[].,,,,1121*+∈'='='=N n x a x a x a x a x f x a n n 经计算令()()()()()(),,33,22,11321 xx x x x x e x ex x a e x e x x a e x e x x a ++-=++-=++-=令()(),2017x a x g =则()=1g ．15.已知在ABC ∆所在平面内有两点,,Q P 满足,,0BC QC QB QA PC PA =++=+若,32,24===∆APQ S 则AB AC ⋅的值为 ．16.已知ABC ∆中,,sin 2sin sin sin 2sin 7sin 3222A CB AC B +=+则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πA ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 为等差数列，且,9,553==a a 数列{}n b 的前n 项和.3132+=n n b S （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设,n n n b a c =求数列{}n c 的前n 项的和.n T18. 京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布(),,2σμN 同时随机抽取100位参及某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在[]80,30内），样本数据分别区间为[)[)[)[)[],80,70,70,60,60,50,50,40,40,30由此得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ) 若()(),6838>=<ξξP P 求b a ,的值；（Ⅱ）现从样本年龄在[]80,70的票友中组织了一次有关京剧知识的问答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为32，且每个人回答正确及否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列及数学期望.19.如图,平面⊥ABEF 平面,CBED 四边形ABEF 为直角梯形,,900=∠=∠FEB AFE 四边形CBED 为等腰梯形,,//BE CD 且.42222=====EF BC CD AF BE （Ⅰ）若梯形CBED 内有一点G ，使得//FG 平面ABC ,求点G 的轨迹； （Ⅱ）求平面ABC 及平面ACDF 所成的锐二面角的余弦值.20. 已知O 为坐标原点,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为,,E F 上顶点为P ,右顶点为Q ,以21F F 为直径的圆O 过点P ,直线PQ 及圆O 相交得到的弦长为.332 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 及椭圆C 相交于N M ,两点，l 及x 轴，y 轴分别相交于B A ,两点，满足：①记MN 的中点为E ,且B A ,两点到直线OE 的距离相等；②记OAB OMN ∆∆,的面积分别为,,21S S 若.21S S λ=当1S 取得最大值时,求λ的值.21.已知函数()2ln bx x a x f +=的图像在点()()1,1f 处的切线方程为()()R t t x af x g y x ∈+==--,2,01且.2≤t（Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）求证：()().t x f e x g x++<请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系及参数方程已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,22,22t y t x （t为参数），曲线C 的参数方程为,sin 222cos 22⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθy x （θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为.2,23⎪⎭⎫⎝⎛π（Ⅰ）求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 及曲线C 交于B A ,两点，求三角形PAB 的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()a x x x f -++-=112的定义域为.R（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若a 的最大值为k ，且(),0,02>>=+n m k n m 求证：.341≥+nm试卷答案一、选择题1-5: ABADC 6-10:CBABA 11、12：CD 二、填空题13. 180 14. ee 20162018+ 15. 34± 16.1010-三、解答题17.解：（Ⅰ）数列{}n a 为等差数列，所以(),22135=-=a a d 又因为12,1,513-=∴=∴=n a a a n ，当1=n 时，,313211+=b b 所以;11=b 当2≥n 时，,2,3232111----=∴-=-=n n n n n n n b b b b S S b即数列{}n b 是首项为1，公比为2-的等比数列，所以().21--=n n b （Ⅱ）()(),212252311,212121---++⨯+⨯+⨯=∴-==n n n n n n n T n b a c(),212252321232n n n T -++⨯+⨯+⨯=两式相减得()()(),21222221212222222111212n n n n n n n T --++++=--⨯++⨯+⨯+⨯=---()()(),22332124212122122211n n n n nn n n -+-=---+=----⨯+=-所以().2323nn n T -+=18.解：（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，()(),6838>=>ξξP P 所以;5326838=+=μ 再由频率分布直方图得()⎩⎨⎧=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++++537510652.05510453.0351.011002.003.001.0a b a b解得.035.0005.0⎩⎨⎧==b a（Ⅱ）样本年龄在[]80,70的票友共有510005.0=⨯人，由题意,5,4,3,2,1=η所以()(),24310321321,24313210415505=⎪⎭⎫ ⎝⎛-===⎪⎭⎫ ⎝⎛-==C P C P ηη ()(),24380321323,2434032132223353225=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛==C P C P ηη ()(),24332325,243803213245551445=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P C P ηη 所以5,4,3,2,1,0=η分布列为所以,31024332524380424380324340224310124310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ηE 或根据题设，()(),5,4,3,2,1,0,32132,32,5~55=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-k C k P B kkk ηη所以.310325=⨯=ηE 19.解：（Ⅰ）设O 为BE 的中点，连接,,DO FO因为,900=∠=∠FEB AFE 所以,//BO AF 又,BO AF =所以AFOB 为平行四边形，所以,//OF AB又⊄OF 平面,ABC 所以//OF 平面,ABC同时,//,//,//CD AF BE CD BE AF ∴又,CD AF =所以ACDF 也为平行四边形，所以,//AC DF又⊄DF 平面,ABC 所以//DF 平面,ABC 因为,F OF DF = 所以平面//DOF 平面,ABC故当G 位于线段OD 上时，//FG 平面,ABC 从而点G 的轨迹为线段.OD（Ⅱ）由题意,BE EF ⊥因为平面⊥ABEF 平面CBED ,平面 ABEF 平面,BE CBED =所以⊥EF 平面,CBED 又可证,//AO EF 所以⊥AO 平面.CBED根据题意,DE CD OD OC ===所以COD ∆为正三角形，连接O 及CD 的中点并延长，以此线为x 轴，以O 为原点，OE 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，所以()()()()()()()0,0,0,0,0,2,0,2,0,3,1,0,0,2,2,3,1,2,0,2,0,O A B CAB AC CD --=--=--=设平面ABC 的一个法向量为(),,,z y x =η则2200,,3200y z AB n x y z AC n ⎧--=⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨--=⎪⋅=⎪⎩⎩令,1=z 则3,1,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭同理可得平面ACDF 一个法向量为23,0,1,3m ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭所以平面ABC 及平面ACDF 所成的锐二面角的余弦值为553.77733m nm n⋅==⋅20.解：（Ⅰ）因为以21F F 为直径的圆O 过点P ,所以,c b =则圆O 的方程为,222b y x =+直线PQ 的方程为,22b x b x a b y +-=+-=则,1,332211222=∴=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-b b b 所以,2=a 所以椭圆C 的方程为.1222=+y x（Ⅱ）由题意，设直线的方程为()()(),,,,,02211y z N y x M km m kx y ≠+=则().,0,0,m B k m A ⎪⎭⎫⎝⎛-由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12,22y x m kx y 得()()*=-+++,022421222m kmx x k,0881622>+-=∆m k 所以,1222+<k m由韦达定理得,2122,2142221221km x x k km x x +-=+-=+ 因为B A ,两点到直线OE 的距离相等，所以线段MN 的中点及线段AB 的中点重合，所以,0214221kmk km x x -=+-=+解得.22±=k 于是，()()221222212211112112121km x x k km y y x x d MN S +-+=+-+-==m === 由1222+<k m 及,22±=k 可得.22<m 所以，当12=m 时，1S 有最大值,22 此时,222222==m S 故.1=λ 21.解：（Ⅰ）当1=x 时，,0=y 代入()2ln bx x a x f +=得,0=b 所以()(),,ln xax f x a x f ='= 由切线方程知(),11='f 所以,1=a 故().ln x x f =（Ⅱ）要证当2≤t 时，()()t x f e x g x++<恒成立，即证明；当2≤t 时，()0ln >+-t x e x对于()+∞-∈∀,t x 恒成立，由于()()()(),2ln ln ,2ln ln ,2,2+-≥+-+≤++≤+≤x e t x e x t x x t x t xx只要证明：()02ln >+-x e x对于()+∞-∈∀,2x 恒成立即可.证明：令()(),2,2ln ->+-=x x e x xϕ则(),21+-='x e x xϕ令()(),x x k ϕ'=则()(),0212>++='x e x k x ()x ϕ'∴在()+∞-,2上单调递增，且()(),02110,0111>-='<-=-'ϕϕe(),0,10-∈∃∴x 使得()021000=+-='x e x x ϕ成立， 当()0,2x x -∈时，()()x x ϕϕ,0<'单调递减； 当()+∞∈,0x x 时，()()x x ϕϕ,0>'单调递增；()()(),2ln 00min 0+-==∴x e x x x ϕϕ又由(),021000=+-='x ex x ϕ得,2100+=x e x 且(),2ln 00+-=x x ()()()(),021212ln 020000min 0>++=++=+-==∴x x x x x e x x x ϕϕ ()02ln >+-∴x e x 对于()+∞-∈∀,2x 恒成立，()()t x f e x g x ++<∴得证.22.解:(Ⅰ)l 的参数方程为,2222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t y tx 化为普通方程为,0=-y x 直线l 的极坐标方程为();4R ∈=ρπθ曲线C 的普通方程为()(),422222=-+-y x所以极坐标方程为.06sin 24cos 222=+--θρθρρ(Ⅱ)由4πθ=得,0662=+-ρρ所以(),3242122121=-+=-=ρρρρρρAB点P 到直线l 的距离,34sin23==πd 所以.3333221=⨯⨯=∆PAB S 23.解:(Ⅰ)函数()x f 的定义域为R ,即0112≥-++-a x x 恒成立,即,112a x x ≥++-设(),21,3211,21,3112⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+--<-=++-=x x x x x x x x x g 根据图像可知当21=x 时,(),23221min =+-=x g 所以.23≤a (Ⅱ)因为a 的最大值为k ,所以23=k ,故(),0,0,3>>=+n m n m 所以().3425314531413141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n m m n n m m n n m n m n m 当且仅当2,1==n m 时,等号成立.。