2019-2020学年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质学案 新人教A版选修1-1
高中数学 椭圆的简单几何性质教案(2) 新人教A版选修2-1
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)●教学目标１．熟悉椭圆的几何性质；２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程； ３．了解椭圆在科学研究中的应用． ●教学重点：椭圆的几何性质应用 ●教学过程：Ⅰ、复习回顾：利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质． Ⅱ、讲授新课：例6．点 ),(y x M 与定点 )0,4(F 的距离和它到定直线 425:=x l 的距离的比是常数54，求点的轨迹．解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==54d MF M P 由此得54425)4(22=-+-x y x ．将上式两边平方，并化简得 22525922=+y x即192522=+y x所以，点M 的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点与焦点的距离和它到定直线的距离的比是常数（e 为椭圆的离心率）。
其中定直线叫做椭圆的准线。
对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 ．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．【典例剖析】 ［例1］已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，P (x 0，y 0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF 1｜＝a ＋ex 0，｜PF 2｜＝a －ex 0，其中e 是椭圆的离心率．［例2］已知点A (1，2)在椭圆121622y x +＝1内，F 的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．［例3］在椭圆92522y x +＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． Ⅲ、课堂练习： 课本Ｐ52，练习 ５ 再练习：已知椭圆上一点 到其左、右焦点距离的比为1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为．）思考： 已知椭圆 内有一点 ，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出 ，再计算最小值是很繁的．由于 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法． 解：设在右准线 上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有 即．∴．显然，当 、、 三点共线时，有最小值．过 作准线的垂线．由方程组 解得 ．即 的坐标为．【随堂训练】1．椭圆2222ay b x +＝1(a ＞b ＞0)的准线方程是( )A ．y ＝±222b a a + Ｂ．y ＝±222b a a -Ｃ．y ＝±222ba b - Ｄ．x ＝±222ba a -2．椭圆4922y x +＝1的焦点到准线的距离是( )A ．554和559 B ．559和5514 C ．554和5514 D ．5514 3．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为( ) A ．3422y x +＝1 B ．31622y x +＝1 C ．121622y x +＝1 D ．41622y x +＝14．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e ＝0．8，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆的方程是( )A ．92522y x +＝1或92522x y +＝1B ．92522y x +＝1或162522y x +＝1C ．162x ＋92y ＝1 D ．162522x y +＝15．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为337，中心到准线的距离为334，则椭圆的方程为( ) A ．42x ＋y 2＝1 B ．22x ＋y 2＝1C ．42x ＋22y ＝1D ．82x ＋42y ＝16．椭圆22)2()2(-+-y x ＝25843++y x 的离心率为( )A ．251 B ．51 C ．101 D ．无法确定【强化训练】1．椭圆2222by a x +＝1和2222by a x +＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴2．椭圆92522y x +＝1上点P 到右焦点的最值为( )A ．最大值为5，最小值为4B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为13．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A ．51 B ．43 C ．33 D ．214．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A ．41 B ．22 C ．42 D ．215．椭圆m y m x 21322++＝1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．0＜m ＜1C ．m ＞1D ．m ＞0且m ≠16．椭圆92522y x +＝1上的点P 到左准线的距离是2．5，则P 到右焦点的距离是________．7．椭圆103334)1()1(22--=-++y x y x 的长轴长是______．8．AB是过椭圆4522y x +＝1的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长．9．已知椭圆的一个焦点是F (1，1)，与它相对应的准线是x ＋y －4＝0，离心率为22，求椭圆的方程．10．已知点P在椭圆2222bx a y +＝1上(a ＞b ＞0)，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，求|PF 1|·|PF 2|的取值范围．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应．．准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上的点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实a2，但必须注意这是椭圆的为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±c中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。
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2019-2020学年高中数学《椭圆的简单几何性质》学案新人教版选修2-1【课程标准】掌握椭圆的简单几何性质【学习目标】(1)了解用方程的方法研究图形的对称性；(2)理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；(3)掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的几何性质解决实际问题；【自主学习】1、范围的探究（1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程为____________________（2）焦点在x轴上的椭圆的范围是________________________证明你的结论：2、对称性的发现与证明（1）画出焦点在x轴上的椭圆的图形：（2）观察图形，椭圆的对称性是____________以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例证明你的结论：3、顶点的发现与确定（1）你认为椭圆上哪几个点比较特殊？（2）以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例，你能写出这些特殊点的坐标吗？（3）结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距4. 你能由a,b,c大小关系得出椭圆的离心率的范围吗？【典型例题】例1：求椭圆16422=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标以及范围．例2.比较下列两组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？变式：已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值例3：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点())5,0(,0,22Q P -； 22222(1)19161221610x x y x y +=+=222y +=1与；5y （）x +=1与。
2（2） 长轴长是短轴长的5倍，且经过点()0,5P ；（3） 焦距是8，离心率等于0.8.例4.如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．【课堂检测】1、 求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标。
（1）16x 2+25y 2=400; (2) 4x 2+y 2=162、 根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1） 中心在原点，焦点X 在轴上,长轴、短轴的长分别为8和6；（2） 中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4；（3） 对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率为0.6；（4） 中心在原点，焦点在X 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.3、已知椭圆22221x y a b += （a>b>0）过点（3，-2）a,b 的值【我的收获】。
高中数学第2章第1课时椭圆的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修1
2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)1．通过学习椭圆的几何性质，培养学生直观想象的数学素养.2．借助椭圆的几何性质，培养数学运算及逻辑推理的数学素养.1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：(1)离心率e 能否用ba 表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示](1)e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)D [椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．] 2．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率是( )A ．34B ．541C ．45D ．35D [∵a ＝5，b ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，∴e ＝35.]3．若点P (m ，n )是椭圆x 24＋y 23＝1上任意一点，则m 的取值范围是________，n 的取值范围是________．[－2,2] [－3，3] [由题意可知m 24＋n 23＝1，由m 24≤1可知－2≤m ≤2；同理，由n 23≤1可知－3≤n ≤ 3.]根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 24＋y 2m ＝1.(1)当0＜m ＜4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝ca＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F 1()－1，0，F 2()1，0，顶点坐标为A 1()－2，0，A 2()2，0，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝ca＝m －4m＝12，解得m ＝163，∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a ，b ，c .,(4)写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍.[跟进训练] 1．(1)椭圆x 2＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14B ．12C ．2D ．4(2)对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的几何性质的表述正确的是( )A ．范围相同B ．顶点坐标相同C ．焦点坐标相同D ．离心率相同(1)A (2)D [(1)由题意可知a 2＝1，b 2＝m ，由a ＝2b 可知1＝4m ，∴m ＝14.故选A ．(2)结合椭圆的几何性质可知，C 1与C 2的离心率相同，均为1－b 2a2，故选D ．]利用几何性质求椭圆的标准方程(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同的离心率．[思路点拨] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a 与b 的关系，再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)．[解] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a＝1－b 2a2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27.∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形， OF 为斜边A 1A 2的中线(高)， 且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2. 设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b 2＝1.将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等.[跟进训练]2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A ．x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1A [由2a ＝18得a ＝9，又a －c ＝2c ，则c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72， ∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.]求椭圆的离心率1．已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，怎样求椭圆的离心率？提示：由OP ∥AB 可知，k OP ＝k AB ， 又A (a,0)，B (0，b )，P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 故－b a ＝－b 2ac ，即b ＝c ，∴a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.2．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若P 是曲线C 上的动点，当P 在何处时∠APB 最大？若C 上存在点P 满足∠APB ＝120°，如何求椭圆的离心率？图1提示：当P 位于短轴的端点处时，∠APB 最大．如图1，要使存在P 使得∠APB ＝120°，只需∠APB ≥120°， 即∠APO ≥60°， ∴tan ∠APO ≥3，即3m≥3， ∴0<m ≤1. 此时由e ＝1－b 2a2＝1－m 3可知e ∈⎣⎡⎭⎫63，1．图2如图2，由题意可知m3≥3，∴m ≥9， 又m >3，∴m ≥9.由e ＝1－b 2a 2＝1－3m可知e ∈⎣⎡⎭⎫63，1.综上可知离心率e ∈⎣⎡⎭⎫63，1.【例3】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33[思路点拨] 设|PF 2|＝m ，在Rt △PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|，|F 1F 2|，进而求得离心率． D [设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m2m ＋m ＝33.]1．(变条件)若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．[解] 在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°， ∠PF 2F 1＝75°，∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中，有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°， ∴m ＋nsin 75°＋sin 45°＝2c sin 60°， ∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22.2．(变条件，变设问)若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．[解] 由题意，知c >b ，∴c 2>b 2.又b 2＝a 2－c 2， ∴c 2>a 2－c 2， 即2c 2>a 2. ∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22. 故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.求椭圆离心率的值或范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 的值，可直接利用公式e ＝ca 求解；若已知a ，b 或b ，c 的值，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c ，a 的值，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于c ，a 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．1．判断正误(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b )的长轴长为a ，短轴长为b .( ) (2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．( )(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称． [答案] (1)× (2)× (3)√2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)D [由题意可知a ＝13，b ＝10，∴c ＝69，又焦点在y 轴上，故选D ．]3．如图，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A ．15B ．25C ．55D ．255D [由题意可知F 1(－2,0)，B (0,1)， 即c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴e ＝c a ＝25＝255，故选D ．]4．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a －c ＝2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.。
高二数学教案：《椭圆的简单几何性质》(人教A版选修)
§2.1.2椭圆的简单几何性质1
【学情分析】：
学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
②掌握标准方程中a,b,c的几何意义
③通过对椭圆的研究，加强学生对学习“圆锥曲线”的方法（用代数来研究几何）的理解。
2、过程与方法：
通过学生对椭圆的图形的研究，加深对“数形结合法”的理解
3、情感态度与价值观：
通过“数形结合法”的学习，培养学生辨证看待问题。
【教学重点】：
知识与技能①②③
【教学难点】：
知识与技能③
【课前准备】：
课件学案。
2019-2020学年高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)学案 新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质（1）学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.熟练椭圆的几何性质，当焦点不定时，注意分类思想；2.熟练运用椭圆的几何元素a,b,c,e 求椭圆。
【基础训练】1、椭圆224936x y +=长轴上顶点坐标为 ；长轴长为 ；短长轴上顶点坐标为 ；短轴长为 ；焦点坐标为 ；焦距为 ；离心率为 ；2、椭圆229436x y +=长轴上顶点坐标为 ；长轴长为 ；短长轴上顶点坐标为 ；短轴长为 ；焦点坐标为 ；焦距为 ；离心率为 ；3、椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是 ；4、已知椭圆22221x y a b +=与椭圆2212516x y +=有相同的长轴，与椭圆221219x y +=的短轴长相等，则（ ）A 、2225,16a b ==B 、229,25a b ==C 、2225,9a b == D 、222225,99,25a b a b ====或5、椭圆221164x y +=的离心率为 .【合作探究】例1、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。
变式训练1、已知椭圆的焦点是1(0,1)F -和2(0,1)F ，离心率12e =（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在这个椭圆上，且12||||1PF PF -=，求12F PF ∠的余弦值。
例2的离心率变式训练2、求与椭圆22194x y +=共同焦点，有过点(3,2)M -的椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为（ ）A.3B.3D.253或3变式训练3、m 是8,2的等比中项，则椭圆122=+m y x 离心率（ ）A.23或25 B.23 C.5 D.23或5【课后练习】1、如果椭圆191622=+y x 上一点P 到右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离为（ ）A.5 B.1 C.15D.82、椭圆2281x y +=的短轴的端点坐标是（ ） A、(0,、 B 、(1,0)-、(1,0) C、、(- D、、(0,-3、椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．34 Ｂ．2Ｃ．2 Ｄ．23 4、已知1F 、2F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，过2F 作椭圆的弦AB ，若1A FB ∆的周长为16，椭圆离心率2e =，则椭圆方程是（ ）A 、22143x y += B 、221163x y += C 、2211612x y += D 、221164x y +=5、已知椭圆2222:1x y C a b +=与椭圆22148x y +=有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是（ ）A 、222(0)84x y m m +=≠B 、2211664x y +=C 、22182x y += D 、以上都不可能6、经过点(3,0)P -、(0,2)Q -的椭圆的标准方程为：7、方程22221(1)x ym m+=-表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是；8、若焦点在x轴的椭圆2212x ym+=的离心率为12，则m的值为_______________.9、椭圆()222124x yaa+=>的离心率为，则a=__________.。
人教版高中数学优质教案2：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一) 教学设计
2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【教学目标】1、知识目标：⑴掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.⑵能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题.2、能力目标：培养学生的[解析]几何观念，培养学生观察、概括能力，以及分析问题、解决问题的能力.3、情感目标：培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高学生数学素养,培养学生对立统一的辩证唯物主义思想. 【教学重点】椭圆的简单几何性质. 【教学难点】椭圆的简单几何性质的应用. 【教学方法】尝试教学法 【教具准备】多媒体电脑课件 【教学过程】一、思考并回答下列问题： 1．椭圆的定义在平面内，到两定点F 1、F 2的距离之和为常数（大于|F 1F 2 |）的动点的轨迹叫做椭圆.2．椭圆的标准方程 当焦点在X 轴上时当焦点在Y 轴上时3．椭圆中a,b,c 的关系：22c b a +=4．平面[解析]几何研究的两个主要问题是什么？ （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a b x a y（2）通过方程，研究平面曲线的性质. 二、椭圆的简单几何性质（以 )0(12222>>=+b a b y a x 为例） 1．椭圆的范围：由12222=+b y a x-a ≤x ≤a , -b ≤y ≤b 知椭圆落在x =±a , y = ± b 组成的矩形巩固练习题1．椭圆14922=+y x 的范围是22,33≤≤-≤≤-y x 巩固练习题2．椭圆)0,0(12222>>=+n m y n x m 的范围是ny n m x m 11,11≤≤-≤≤- 2．椭圆的对称性：从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称. 从方程上看：（1）以-x 代x 方程不变，椭圆关于y 轴对称； （2）以-y 代y 方程不变，椭圆关于x 轴对称；（3）以-x 代x ，同时以-y 代y 方程不变，椭圆关于原点成中心对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.巩固练习题3．若方程)0(2≠++=a c bx ax y 所表示的曲线关于y 轴对称，则=b 0 巩固练习题4．在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( D )A.x 2＝yB.x 2＋2xy ＋y ＝0C.x 2－4y 2＝5xD.9x 2＋y 2＝4 3．椭圆的顶点：在12222=+by a x （)0(>>b a 中112222≤≤⇒by a x 和令x =0，得y =？，说明椭圆与y 轴的交点？ 令y =0，得x =？，说明椭圆与x 轴的交点？顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点.长轴、短轴：线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为a 2和b 2， a 、b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.巩固练习题5．椭圆的一个顶点为)0,2(A ，其长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为1422=+y x 141622=+x y 或 巩固练习题6．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( C )A. 21B.2C.41D.44．椭圆的离心率e (刻画椭圆扁平程度的量) 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：ace =叫做椭圆的离心率. [1]离心率的取值范围： 因为a >c > 0，所以0＜e ＜1 [2]离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近 1，c 就越接近a ，从而b 就越小，椭圆就越扁. 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而b 就越大，椭圆就越圆.3）特例：e =0，则a = b ，则c =0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）[3]e 与a ,b 的关系:巩固练习题7．椭圆122=+my x 的离心率为23，则m 的值为( C ) A. 2或21 B. 2 C. 41或4 D. 41巩固练习题8．求适合下列条例的椭圆方程： （1）经过点P （-3，0），Q （0，-2）222221ab a b a ac e -=-==（2）长轴长等于20，离心率等于53 三、目标检测1．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于（ A ） A.5或3 B.5 C.8 D.162．椭圆的一个顶点和一个焦点在直线360x y +-=上，则此椭圆的标准方程是（ D ）A.221404x y +=B.2213640x y +=C.22221140363640x y x y +=+=或D.2222114043640x y x y +=+=或3.下列椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）1922=+y x （2）1121622=+y x 4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，6=a ，31=e ； (2) 焦点在y 轴上，3=c ，53=e . 四、课堂小结1．椭圆的简单几何性质2. 椭圆中的有四个基本量a，b，c，e，可以知二求二.3．椭圆有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点，四个顶点），“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）.要注意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离.五、课下作业。
椭圆的简单几何性质+学案 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
课题：3.1.2椭圆的简单几何性质（1）课型：新授课课程标准： 1.掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质，能够应用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。
2.会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程学科素养：数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模重点：学会椭圆的长短轴、焦点坐标、离心率的基本概念难点：掌握椭圆的离心率、长短轴的定义基础及其灵活应用教学过程：一、复习回顾1. 椭圆的定义：2.椭圆的标准方程以及焦点位置的判定3.求椭圆标准方程的方法 4．特征三角形与焦点三角形二、探究新知1.椭圆的简单几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围____≤x≤_________≤y≤__________≤x≤___________≤y≤______对称性对称轴：_________对称中心：___________顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2注：离心率的大小对椭圆形状的影响2．典例例1 求椭圆16x2＋25y2＝400旳长轴长短轴长，离心率，焦点和顶点坐标（课本P112 例4）变式：方程m x2＋n y2＝mn表示椭圆的条件及相应几何性质练习：分别求适合下列条件的椭圆方程（1）短轴长为52 e3（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6三、课堂小结：1.椭圆的几何性质、2.根据椭圆几何性质求标准方程课题：3.1.2椭圆的简单几何性质（2）课型：新授课课程标准： 1.理解椭圆的第二定义2.理解与掌握椭圆离心率取值及取值范围的求解方法学科素养：数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模重点：学会椭圆离心率取值及取值范围的求解方法难点：掌握椭圆离心率取值及取值范围的求解方法教学过程：一、复习回顾椭圆的简单几何性质：标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围____≤x≤_________≤y≤__________≤x≤___________≤y≤______对称性对称轴：_________对称中心：___________顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2二、探究新知例1：课本P113 例5（实际应用题、椭圆定义、求椭圆标准方程）探究：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比是一个常数，动点M的轨迹是否也是椭圆呢？例3：已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点. P为椭圆E上一动点. 探究：当P在何位置时，|PF1|最小？P又在何位置时，|PF1|最大？注：椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，P(x0,y0)为椭圆E上一动点焦半径公式：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0当P点位于离焦点较近那个长轴端点时，|PF1|min=a−c，当P点位于离焦点较远那个长轴端点时，|PF1|max=a+c.三、课堂小结：1.椭圆的焦半径公式及最值情况2.离心率的值及取值范围的求解方法。
2019-2020学年高中数学 2.2.2 椭圆的简单几何性质1教案 新人教A版选修2-1.doc
※动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在 轴上， ， ；
⑵焦点在 轴上， ， ；
⑶经过点 ， ；
⑷长轴长等到于 ，离心率等于 ．
三、总结提升
※学习小结
1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
批 注
教学重点：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念。
教学难点：掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念。
教学用具： 三角板，圆规等
教学方法： 探究，讨论
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P43~P46）
长轴，其长为；短轴，其长为；
离心率：刻画椭圆程度．
椭圆的焦距与长轴长的比 称为离心率，记 ，且 ．
反思： 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
※典型例题
例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
变式：若椭圆是 呢？
小结：①先化为标准方程，找出 ，求出 ；
②注意焦点所在坐标轴．
例2 点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹．
◆过程与方法目标
椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率，让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．
2019-2020年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质学案 新人教A版选修1-1
2019-2020年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质学案 新人教A 版选修1-1►基础梳理1． 椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e .(1)因为a >c >0，所以0<e <1．(2)e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁．(3)当e ＝0时，即c ＝0，a ＝b 时，两焦点重合，椭圆方程变成x 2＋y 2＝a 2，成为一个圆． (4)当e ＝1时，即a ＝c ，b ＝0时，椭圆压扁成一条线段． (5)离心率e 刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关． 3．直线与椭圆．设直线方程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．,►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为(D )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为(A )A.x24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 3．椭圆x 216＋y 28＝12解析：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是(B )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(A )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故选A.3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．解析：由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.答案：224．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65. 5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为(D )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距 2．(xx·广东四校联考)已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为(B ) A.13 B.33 C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为(B )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是(D )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有(A )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴解析：将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于(D )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．答案：328．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2c b 2a ＝tan60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 答案：3310．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．解析：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2， 得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程． 解析：(1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得22a 2＋（－3）2b 2＝1又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝0 12．(xx·惠州调研)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0， 即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考1．(xx·全国大纲卷)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为(A)A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(xx·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a .由于AB //y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝⎛⎭⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎫2c ，b 2a ·⎝⎛⎭⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)，又e ＝ca，且e ∈(0，1)，∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．答案：333．(xx·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形，∴c ＝22a ，e ＝22.4．(xx·新课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2//y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，即b ＝27. ∴a ＝7，b ＝27.。
2019-2020年高中数学 2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1
2019-2020年高中数学 2.1.2 第2课时椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系点与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外． 设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1.直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 4＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ② 将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0 ③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝－5或m＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0， (*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 36＋y 9＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12. 这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P1P2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2 y1＋y22－4y1y2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上，∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2， 故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ② 又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论．有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ， 则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)， 则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 2302＝2x 0y 01 500， 当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页)运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(xx·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1. 2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分 由y 1＋y 2＝－y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0.7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y Mx M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k 2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2. 2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】 点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内． 【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， 椭圆焦点坐标为(±3，0)． 【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB|＝1＋k2AB·x1＋x22－4x1x2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜2B ．a ＜－2或a ＞2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0. ∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．3x －2y －4＝0C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】 根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D 4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m2＋n2＜4，即m2＋n24＜1.∴m29＋n24＜1，∴点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是()A．2(a－c) B．2(a＋c)C．4a D．以上答案均有可能【解析】如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.【答案】D二、填空题6．(xx·济宁高二检测)已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线方程联立消去x得(a2＋3b2)y2＋83b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0及c＝2得a2＝7，∴2a＝27.【答案】277．(xx·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m ＝2－1.【答案】2－1或228．(xx·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)， ∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22 ＝2·4b 2－4a ＋b b －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b ＝1.① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(xx·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2.证明：1k 1－3k 2＝2. 【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝22， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22， 又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1， 因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2，所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2.(教师用书独具)(xx·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝21＋k 24＋6k 21＋2k 2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(xx·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b 2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a 3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. .。
高中数学2.2.2椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修2-1
高中数学椭圆的简单几何性质教案新人教 A 版选修 2-1课前预习教案一、预习目标：预习椭圆的四个几何性质二、预习内容：(1) 范围 :----------------，椭圆落在-----------------构成的矩形中．(2)对称性 : 图象对于y轴对称．图象对于x轴对称．图象对于原点对称原点叫椭圆的---------，简称 -----．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接能够看出它的范围，对称的截距（ 3）极点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的极点椭圆共有四个极点：---------------加两焦点----------共有六个特别点.A1 A2叫椭圆的-----，B1B2叫椭圆的-----．长分别为2a,2b a, b分别为椭圆的-------和 ---- --.椭圆的极点即为椭圆与对称轴的交点(4) 离心率 :椭圆焦距与长轴长之比e ce 1 (b)20 e 1 a a椭圆形状与 e 的关系： e0,c0 ，椭圆变---，直至成为极限地点圆，此时也可以为圆为椭圆在 e 0 时的特例 e 1,c a, 椭圆变---，直至成为极限地点线段F1 F2，此时也可以为圆为椭圆在 e 1时的特例三、提出迷惑：同学们，经过你的自主学习，你还有哪些迷惑，请把它填在下边的表格中迷惑点迷惑内容课内研究教案一、学习目标： 1 掌握椭圆的范围、对称性、极点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义。
2初步利用椭圆的几何性质解决问题。
学习重难点：椭圆的几何性质的商讨以及a,b,c,e的关系x 2 y 21(a b 0) 的形状，二、学习过程：研究一观察椭圆2 b2a你能从图形上看出它的范围吗？它拥有如何的对称性？椭圆上哪些点比较特别？1、范围：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。
椭圆上点的纵坐标的范围是 ____________________.。
（2）由椭圆的标准方程x2 y20) 知a1(a b2b2① x 2____1,即 ____ ____；②y 2____ 1；即 ____ y ___2 x 2a b所以 x2y 2 1(a b 0) 位于直线 ___________ 和 __________围成的矩形里。
高中数学2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案新人教A版选修2-1
1 / 6高中数学 椭圆及其简单几何性质 (1) 教案 新人教 A 版选修 2-1学习目标1．依据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．依据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，绘图．学习过程一、课前准备（预习教材理 P 43~ P 46，文 P 37 ~ P 40 找出迷惑之处）复习 1： 椭圆x 2y 2 1 上一点 P 到左焦点的距离是 2 ，那么它到右焦点的距离是． 16 122 2复习 2：方程xy 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是． 5 m二、新课导学※学习研究问题 1：椭圆的标准方程x 2 y 2 22 1 ( a b 0) ，它有哪些几何性质呢？ab图形：范围： x ： y ：对称性： 椭圆对于轴、轴和都对称； 极点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率： 刻画椭圆程度． 椭圆的焦距与长轴长的比 c称为离心率，a记 ec，且 0 e 1 ．a1试一试：椭圆y2x2 1 的几何性质呢？16 9图形：范围： x ：y ：对称性：椭圆对于轴、轴和都对称；极点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；c离心率： e=．b c反省：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例 1 求椭圆 16 x225y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和极点的坐标．2 2变式：若椭圆是9 x y81呢？2 / 62 3 / 6小结：①先化为标准方程，找出a, b ，求出 c ；②注意焦点所在座标轴．25 的距离的比是常数 4 ，求点M的例 2 点 M (x, y) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l : x4 5轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※着手试一试练 1．求合适以下条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在 x 轴上，a 6 ，e 1 ；3⑵焦点在 y 轴上， c 3 ，e 3 ；5⑶经过点 P( 3,0) ， Q(0,2) ；⑷长轴长等到于20，离心率等于 3 ．5三、总结提高※学习小结34 / 65 / 61 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、极点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率． ※知识拓展（数学与生活） 已知水平川面上有一篮球，在斜平行光芒的照耀下，其暗影为一椭圆， 且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．学习评论※自我评论 你达成本节导教案的状况为（ ） .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1．若椭圆x 2y 21 的离心率 e10，则 m 的值是（）．5 m5A ．3B ．3或25 C ． 15 D ． 15或5 153 32．若椭圆经过原点，且焦点分别为 F 1 (1,0) ， F 2 (3,0) ，则其离心率为（ ）．A ．3B．2C ．1D ．143243．短轴长为5 ，离心率 e2的椭圆两焦点为 F 1, F 2 ，过 F 1 作直线交椭圆于A, B 两点，则3ABF 2 的周长为（）．A ． 3B ． 6C ．12D ．242 24．已知点 P 是椭圆xy 1 上的一点， 且以点 P 及焦点 F 1 , F 2 为极点的三角形的面积等于541 ，则点 P 的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18 ，且两个焦点恰巧将长轴三平分，则此椭圆的方程是．课后作业1．比较以下每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？ ⑴ 9 x 2y236 与 x 2y 2 1 ；16 1222⑵ x 29y 236 与xy 1 ．6 102．求合适以下条件的椭圆的标准方程： ⑴经过点 P( 2 2,0) ， Q(0, 5) ； ⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点 P(3,0) ；⑶焦距是 8 ，离心率等于 0.8 ．45 6 / 6。
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2019-2020学年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修1-1►基础梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0，所以0<e<1．(2)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．(3)当e＝0时，即c＝0，a＝b时，两焦点重合，椭圆方程变成x2＋y2＝a2，成为一个圆．(4)当e＝1时，即a＝c，b＝0时，椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．,►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为(D )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为(A )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 3．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22．解析：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8， ∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是(B )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(A )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故选A.3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．解析：由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.答案：224．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为(D )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距2．(2013·广东四校联考)已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为(B )A.13B.33C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为(B )A.1289 B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是(D )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有(A )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴解析：将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于(D )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．答案：328．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2c b 2a＝tan 60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 答案：3310．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．解析：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2， 得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程． 解析：(1)由椭圆经过点N (2，－3)，得22a 2＋（－3）2b2＝1 又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝012．(2014·惠州调研)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0， 即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考1．(2014·全国大纲卷)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为(A) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(2014·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，。