2020版高考数学复习专题8立体几何第60练表面积与体积文

第60练 表面积与体积
[基础保分练]
1.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于4
3π，则该圆锥的体积为________.
2.用平面α截球O 所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________.
3.如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为________.
4.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的同一顶点的三条棱长分别为3,4,5，则该长方体的外接球表面积为________.
5.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为________.
6.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短为50cm ，最长为80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2
.
7.在梯形ABCD中，∠ABC＝π
2
，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋
转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________.
8.(2019·江苏省如东中学调研)在正四棱锥S—ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA ＝23，则该棱锥的体积为________.
9.棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为________.
10.已知圆柱M的底面半径与球O的半径相同，且圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱∶V球＝________.
[能力提升练]
1.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________.
2.三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝3，则该三棱锥外接球的表面积为________.
3.(2018·江苏泰州中学月考)如图所示的图形是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm.
4.菱形ABCD 的边长为2，且∠BAD ＝60°，将三角形ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A －BCD ，则三棱锥A －BCD 体积的最大值为________.
5.已知正四面体P －ABC 的棱长为2，若M ，N 分别是PA ，BC 的中点，则三棱锥P －BMN 的体积为________.
6.已知三棱锥P －ABC 满足PA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为43的等边三角形，D 是线段AB 上一点，且AD ＝3BD ，球O 为三棱锥P －ABC 的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O 的表面积为________.
答案精析
基础保分练 1.45
81
π 2.43π
解析 如图，设平面α截球O 所得圆的圆心为O 1，则OO 1＝2，O 1A ＝1，
∴球的半径R ＝OA ＝2＋1＝3， ∴球的体积V ＝43πR 3
＝43π.
3.312
解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，易知三棱锥A －B 1BC 1的高为32
，底面积为12，故其体积为13×12×32＝3
12.
4.50π
5.4 2
解析 设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高h ＝a 2
＋b 2
，
设外接球的半径为r ，则43πr 3＝32π
3，
解得r ＝2，
∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心， ∴2h ＝2r ＝4.∴h ＝22，∴a 2
＋b 2
＝h 2
＝8≥2ab ， ∴ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时“＝”成立. ∴三棱柱的体积V ＝Sh ＝1
2abh ＝2ab ≤4 2.
6.2600π
7.5π3
解析 如图，过点D 作BC 的垂线，垂足为H .则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.其中圆柱的底面半径R ＝AB ＝1，高h 1＝BC ＝2，其体积V 1＝πR 2
h 1＝π×12
×2＝2π；圆锥的底面半径r ＝DH ＝1，高h 2＝1，其体积V 2＝13πr 2h 2＝13π×12
×1＝π3.故所求几何体的体积为V ＝V 1－V 2＝2π－π3＝
5π
3
.
8.323
解析 ∵在正四棱锥S －ABCD 中，侧棱SA ＝23，高SO ＝2， ∴底面中心到顶点的距离AO ＝SA 2
－SO 2
＝22， 因此，底面正方形的边长AB ＝4，底面积S ＝AB 2
＝16， 该棱锥的体积为V ＝1
3S ABCD ·SO
＝13×16×2＝323. 9.πa 2
10.34
能力提升练 1.239＋43＋36
解析 ∵正三棱柱的高为6，AB ＝4，
∴四棱锥C －A 1ABD 的表面A 1DC 为等腰三角形，
A 1D ＝CD ＝5，A 1C ＝213，D 到A 1C 距离为25－13＝23，
∴1A DC S △＝1
2
×213×23＝239，
1C AA BD S －＝1
ABDA S 梯形＋S △BDC ＋1AA C S △＋S △ABC ＋1A DC S △＝12(6＋3)×4＋12×4×3＋12
×6×4＋
3
4×16＋239＝239＋43＋36. 2.5π
解析 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC ，
又∵AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ， ∴BC ⊥平面PAC ，
由直角三角形的性质可得PB 中点到四点距离相等， ∴PB 是三棱锥P －ABC 的外接球直径. ∵Rt△PBA 中，AB ＝2，PA ＝3， ∴PB ＝5，可得外接球半径R ＝12PB ＝5
2，
∴外接球的表面积S ＝4πR 2
＝5π. 3.0.6
解析 因为圆锥形铅锤的体积为 13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20＝60π(cm 3
). 设水面下降的高度为x cm ，
则小圆柱的体积为π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2022×x ＝100πx (cm 3
).
所以60π＝100πx ， 解得x ＝0.6.
则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm. 4.1
解析 由于三棱锥A －BCD 底面积固定，所以高最高的时候取得体积的最大值，此时高为1
2
AC .
故体积的最大值为13×12×BD ×12AC ×12AC ＝1
24×2×23×23＝1.
5.2
6
解析 连结AN ，作MD ⊥PN ，交PN 于D ，
∵正四面体P －ABC 的棱长为2，M ，N 分别是PA ，BC 的中点， ∴AN ⊥BC ，PN ⊥BC ，MN ⊥AP ，且AN ＝PN ＝3， ∵AN ∩PN ＝N ，AN ，PN ⊂平面PNA ， ∴BC ⊥平面PNA ，
∵MD ⊂平面PNA ，∴MD ⊥BC ， ∵BC ∩PN ＝N ，BC ，PN ⊂平面PBN ， ∴MD ⊥平面PBN ，
MN ＝PN 2－PM 2＝2，
∵12PN ·MD ＝1
2PM ·MN ， ∴MD ＝
PM ·MN PN ＝1×23
＝6
3， ∴三棱锥P －BMN 的体积
V P －BMN ＝V M －PBN ＝1
3×S △PBN ×MD ＝13×12×1×3×
63＝26
. 6.100π
解析 将三棱锥P －ABC 补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O ，记三角形
ABC 的中心为O 1，设球的半径为R ，PA ＝2x ，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即OO 1＝x ，连
结O 1C ，则O 1C ＝4，∴R 2
＝x 2
＋16，在三角形ABC 中，取AB 的中点为E ，连结O 1D ，O 1E ，则O 1E ＝12O 1C ＝2，DE ＝14AB ＝3，∴O 1D ＝7，在Rt△OO 1D 中，OD ＝x 2
＋7，由题意得当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则最小截面圆的面积为πr 2
，当截面过球心时，截面面积最大为πR 2
，
∴球的表面积为4π×25＝100π.。