第二章 连续系统的时域分析法

'
−2t
+ C 2e
-3t
−ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
+
2 cos( t −
π
)
π
4
)
确定待定系数： 确定待定系数：
-2t

+ C 2e
-2t
+ 2 cos( t -
y (t ) = -2C1e -3C2e
-3t
- 2 sin(t - ) 4
π
4
将
y(0) = 2, y (0) = 0 代入： 的增大呈现等 代入： 值随t的增大呈现等 值随
j =0
m
(t )
a 其中，i (i = 0,1,⋯, n), b j ( j = 0,1,⋯, m) 均为常数，且 an = 1
该方程的全解由齐次解 该方程的全解由齐次解 yh (t ) 和特解 即 y( t ) = y h ( t ) + y p ( t ) (1)齐次解：齐次解是齐次微分方程 齐次解： 齐次解
y (t ) + an−1 y
(n)
( n −1)
(t ) + ⋯ + a1 y (t ) + a0 y(t ) =
(1)
bm f
即：
( m)
(t ) + bm−1 f
(i ) i
( m−1)
(t ) + ⋯ + b1 f (t ) + b0 f (t )
(1)
( j)
∑a y
i =0
n
(t ) = ∑bj f
41页表2 列出了不同激励所对应的特解. 41页表2-2列出了不同激励所对应的特解. 页表 激励 特解 Pm t m + Pm −1t m −1 + ⋯ + P1t + P0
t r [ Pm t m + Pm −1 t m −1 + ⋯ + P0 ]
αt
t
m
所有的特征根均不 等于零 有r重等于零的特 征根
书上42 42页 例2 .1-2 描述某系统的微分方程为 :(书上42页)
y (t) + 5y (t) + 6y(t) = f (t) ' 0 求输入 f (t ) = 10cost , t ≥ , y(0) = 2, y (0) = 0
'' '
时的全响应。 时的全响应。 全响应
∴ 解：齐次解同上， y h ( t ) = C 1 e 齐次解同上，
Pe αt
Pr t r eαt + Pr −1 t r −1eαt + ⋯ + P1 te αt + P0 eαt
e
P1 te αt + P0 eαt
α 不等于特征根 α 等于特征根 α 等于r重特征根 等于r
所有的特征根 均不等于 ± jβ
cos( βt )
或
sin( βt )
P cos( β t ) + Q sin( β t ) 或 A cos( β t − θ )
−2 t
+ C 2e
（2）特解 yp (t ) ） 查表设 y p ( t ) = Pe
−t
−t
，代入原方程，得 代入原方程，
−t
Pe + 5( − Pe ) + 6 Pe
解得： 解得： = 1 P
−t
= 2e
−2t
−t
∴ y p (t ) = e
−t
全解为： y(t ) = yh t + y p t = C1e 全解为： 确定待定系数： 确定待定系数： 将
待定系数的求法：一般n阶微分方程，利用已知的 一般n阶微分方程，
n个初始条件 个初始条件y(0) , y(1)(0) , y(2)(0) … y(n–1)(0) ,就可求 个初始条件 就可求 出全部的待定系数。 时接入， 出全部的待定系数。设f (t)在t=0时接入，则全解适 在 时接入 合于区间[0 合于区间 +，∞）。
i
等为待定系数。 等为待定系数。
均为单根， 例：若 λ 1 , λ 2 , ⋯ λ n 均为单根，则：
y h (t ) = C 1 e
λ1 t
+ C 2e
λ2 t
+ ⋯ + C ne
λn t
=
∑C
i=1
n
i
e
λit
(2)特解 ： 特解的函数形式与激励的函数形式有关 。 特解：特解的函数形式与激励的函数形式有关。 特解 书上表2-2列出了不同激励所对应的特解。 书上表 列出了不同激励所对应的特解。 列出了不同激励所对应的特解 选定特解后，将它带入到原微分方程， 选定特解后，将它带入到原微分方程，求出 各待定系数，就可得出方程的特解。 各待定系数，就可得出方程的特解。
λn + an−1λn−1 + ⋯ + a1λ + a0 = 0
的n个根 λ i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 个根
称为微分方程
的特征根。 的特征根。 的函数形式由特征根决定 齐次解 yh (t ) 的函数形式由特征根决定 。
41页表2-1列出了不同特征根所对应的齐次解。 41页表2 列出了不同特征根所对应的齐次解。 页表 特征根 齐次解 单实根 r 重实根 一对共轭复 根 λ1 , 2 = α ± j β
微分方程的经典解： 一、微分方程的经典解： 一般而言， 如果单输入 单输出系统的激励 单输入—单输出系统 一般而言 ， 如果 单输入 单输出系统 的激励 为f (t)，响应为y(t)，则描述LTI连续系统激励与响 ，响应为 ，则描述 连续系统激励与响 连续系统 应之间关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程 线性微分方程， 应之间关系的数学模型是 阶常系数线性微分方程， 它可写为： 它可写为：
第二章 连续系统的时域分析法
时域分析法不通过任何变换， 时域分析法不通过任何变换，直接求解系统 的微分方程。 的微分方程。系统的分析计算全部在时间变量领 域内进行。这种方法直观，物理概念清楚， 域内进行。这种方法直观，物理概念清楚，是学 习各种变换域分析方法的基础。 习各种变换域分析方法的基础。 本章将在用经典法求解微分方程的基础上， 本章将在用经典法求解微分方程的基础上 ， 讨论零输入响应， 特别是零状态响应的求解。 讨论零输入响应 ， 特别是零状态响应的求解 。 在引入系统的冲激响应之后， 在引入系统的冲激响应之后 ， 零状态响应等于 冲激响应与激励的 卷积积分 ， 最后介绍卷积积 分的性质。 分的性质。
'
−t
：（1） 解：（ ）齐次解 yh (t )
y '' ( t ) + 5 y ' ( t ) + 6 y ( t ) = 0 齐次解是齐次微分方程 齐次解是齐次微分方程
的解。 的解。特征方程为 λ + 5λ + 6 = 0
2
∴ λ1 = − 2, λ 2 = − 3
均为单实根
−3 t
∴ y h ( t ) = C 1e
稳态响应
-3t
y(t ) = 2e
-2t
-e
+
2 cos( t 强迫响应
π
4
)
， t ≥0
自由响应
* 一般输入为有始周期信号或阶跃信号且特征根 有负实部时，稳定系统的全响应可分为瞬态响应和 可分为瞬态响应 有负实部时，稳定系统的全响应可分为瞬态响应和 稳态响应两部分 两部分。 稳态响应两部分。
二、关于0- 和0+ 初始值 关于0
'

−t
C1 = 3 C 2 = -2
全解： 全解： y
(t ) = 3 e
−2 t
- 2e
−3 t
+e
t≥0
齐次解
特解
自由响应
强迫响应
可见，齐次解的函数形式 的函数形式仅仅依赖于系统本身的特 可见，齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特 而与激励的函数形式无关， 性，而与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或 固有响应。特征方程的根称为系统的“固有频率”,它 特征方程的根称为系统的“ 决定了系统自由响应的形式。特解的形式 的形式由激励信号确 决定了系统自由响应的形式。特解的形式由激励信号确 定，称为强迫响应。

'
'
()
−2t
y(0) = 2, y (0) = −1
−3t −t
()
+ C2e
−3t
+e
−t
代入： 代入：
y(t) = C1e +C2e +e
−2t
y (t) =−2C1e −3C2e −e
−3t
−t
得:
y ( 0) = C 1 + C 2 + 1 = 2 y (0) = −2C1 − 3C 2 − 1 = −1
描述某LTI系统的微分方程为（书上 页） 系统的微分方程为（ 例2.1-1描述某 描述某 系统的微分方程为 书上40页
y ( t ) + 5 y ( t ) + 6 y( t ) = f ( t )
'' '
时的全解。 求输入 f (t ) = 2e , t ≥ 0, y(0) = 2, y (0) = −1 时的全解。
y p (t )
组成， 组成，
y ( n ) (t ) + an−1 y ( n−1) (t ) + ⋯ + a1 y (1) (t ) + a0 y(t ) = 0
的解， 的一些函数的线性组合。 的解，它是形式为 Ce λt 的一些函数的线性组合。 λ 为特征方程的根 特征根。 为特征方程的根----特征根 特征根。 特征根： 特征根：特征方程