复合函数的导数(2)
复合函数的导数
如果圆的半径以2cm/s的等速度增加 求圆半径 的等速度增加,求圆半径 例3:如果圆的半径以 如果圆的半径以 的等速度增加 求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度 时 圆面积增加的速度. 圆面积增加的速度 解:由已知知 圆半径R=R(t),且 R t′ = 2cm/s. 由已知知:圆半径 且 由已知知 圆半径 又圆面积S=πR2,所以 S t′ | R =10 = 2πR ⋅ Rt′ | R =10 = 2π ⋅10 ⋅ 2 又圆面积 所以 =40π(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为
说明:对于抽象函数的求导 一方面要从其形式是把握其 说明 对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 对于抽象函数的求导 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法 结构特征 另一方面要充分运用复合关系的求导法 则.
有这样的一个结论: 有这样的一个结论 “可导的偶函数的导函数为奇函数 可导的奇函数的导函 可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 可导的偶函数的导函数为奇函数 数为偶函数” 现在我们利用复合函数的 现在我们利用复合函数的导数重新加以 数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以 证明: 证明 两边同时对x 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对 当 为可导的偶函数时 则 两边同时对 求导得: f ′(− x)(− x)′ = f ′( x) ⇒ f ′(− x) = − f ′( x),故 f ′ ( x ) 为 求导得 故 奇函数. 奇函数 同理可证另一个命题. 同理可证另一个命题 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数 我们还可以证明类似的一个结论 可导的周期函数 的导函数也是周期函数. 的导函数也是周期函数 为其一个周期 证:设f(x)为可导的周期函数 为其一个周期 则对定义 设 为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有 都有f(x+T)=f(x). 域内的每一个 都有 两边同时对x求导得 求导得: 两边同时对 求导得 f ′( x + T )( x + T )′ = f ′( x), 即 f ′(x+T) 也是以 为周期的周期函数 = f ′(x).∴ f ′(x) 也是以T为周期的周期函数.
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
求导是微积分中的一个重要概念，它是求函数的变化率的一种方法。
求导的公式有很多，其中复合函数求导公式也是很重要的一种。
首先，复合函数求导的基本公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
这是复合函数求导的基本公式，也是最常用的公式。
其次，复合函数求导的链式法则是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)，其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示g(x)在x 处的导数。
再次，复合函数求导的指数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为指数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)*ln(a)，其中a为指数函数的底数。
最后，复合函数求导的对数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为对数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)/x，其中x为对数函数的底数。
以上就是复合函数求导的公式大全，它们是微积分中的重要概念，也是求函数的变化率的一种方法。
学习这些公式，可以帮助我们更好地理解复合函数求导的概念，从而更好地掌握微积分的知识。
复合函数的求导法则,反函数的求导法则
数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x
g[ f ( x )] g[ f ( x )]
f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x
e
x ln x
e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
多元复合函数的二阶偏导数公式
多元复合函数的二阶偏导数公式黄世强郑州工业大学数力系孙跃俊焦作工学院基础部454150摘要本文建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。
关键词偏导数矩阵内积中图分类号O17211使用Jacobi矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。
但是长期以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式。
本文以具有两个中间变元的复合函数为例建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。
从而使繁冗且易错的运算可以规范化地进行。
1一阶偏导数的各种表示式设函数zfuv∈C2其中uuxy∈C2vvxy∈C2。
构造函数矩阵行向〕By〔u′yv′ｙ〕则成立一阶偏导数量2:A〔f′uf′ｖ〕Bx〔u′xv′ｘ公式5z5xf′uu′xf′vv′xABTxABx15z5yf′uu′yf′vv′yABTyABy2其中AT是A的转置ABx是A与Bx的内积。
定义称F?6?9f〃uuf〃uvf〃uvf〃vv为A关于u、v的导数矩阵。
2定理定理一矩阵A关于x或y的偏导数等于矩阵Bx或By〕左乘A关于u、v的导数矩阵F。
证明5A5x〔55xf′u5A5xf′ｖ〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvBxF3同理可得5A5yByF4定〔u′xv′ｘ理二设矩阵G〔Υｘ、y.7x、y〕∈C′则55xAGTBxFGTA55xGT5第18卷第3期1997年9月郑州工业大学学报JournalofZhengzhouUniversityofTechnology Vol118No131Sep1199755yAGTByFGTA55yGT6证明由式。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复合函数求导公式
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);
②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
1什么是复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
2复合函数怎么求导
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数
x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。
在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。
复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。
一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。
链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。
2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。
3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。
4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。
链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。
利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。
例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。
二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。
指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。
对于指数函数e^x，其导数等于其本身。
即d(e^x)/dx = e^x。
当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。
指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。
则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。
2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。
则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。
复合函数的导数求法
幂函数的导数
幂函数是形如$y = x^n$的函数，其 中$n$是实数。
VS
幂函数的导数可以通过幂函数的定义 和极限的定义求得，结果为$y' = nx^{n-1}$。
三角函数的导数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数是余弦函数，即$frac{d}{dx}sin x = cos x$；余弦函数的导数是负的正弦函数，即$frac{d}{dx}cos x = -sin x$； 正切函数的导数是正切函数的平方与1的和的倒数，即$frac{d}{dx}tan x = frac{1}{cos^2 x}$。
探讨未来可能的研究方向
复杂复合函数的求导 方法
对于更为复杂的复合函数，如多 层嵌套、多变量复合等，需要进 一步研究更为高效、简洁的求导 方法。这有助于解决实际应用中 更为复杂的数学问题。
复合函数导数的性质 研究
复合函数的导数具有一些独特的 性质，如连续性、可微性等。未 来可以进一步探讨这些性质在复 合函数求导中的应用，以及它们 对导数求解的影响。
对数函数是形如$y = log_a x$的函数，其中$a > 0$且$a neq 1$。
03 复合函数求导举例
简单复合函数求导
举例1
$y = sin(2x)$
分析
这是一个简单的复合函数，其中内层函数是 $2x$，外层函数是$sin u$。
求导过程
根据链式法则，$frac{dy}{dx} = cos(2x) cdot 2 = 2cos(2x)$。
指数函数和对数函数的导数
指数函数的导数是其本身与底数自然对数的乘 积，即$frac{d}{dx}a^x = a^x ln a$。
对数函数的导数是底数的倒数与自变量对数的倒数之 积，即$frac{d}{dx}log_a x = frac{1}{x ln a}$。
几种类型函数的二阶导数计算方法举例(8)
几种类型函数的二阶导数计算及答案（8）一、基础复合函数二阶导数☂1：求y=(6x+12)4二阶导数。
☂2：求y=92-20x 2 的二阶导数。
☂3：求y=e 4x 二阶导数y"的计算过程。
☂4：计算y=sin(15x+39)的二阶导数。
☂5：求y=e 9x 2cosx+3x 二阶导数。
☂6：求y=ln(9x-2x 2-52)的二阶导数。
二、函数和差类型二阶导数☂7：求y=10x4+15x-19的二阶导数。
☂8：求y=8x7+5x3-21x+81的二阶导数。
☂9：求y=x5-2x4+6x+37的二阶导数。
☂10：计算y=5x4-sin4x的二阶导数。
☂11：求y=cos(9x+1)+x4+e4的二阶导数过程。
三、函数乘积类型二阶导数☂12：求函数y=x(64-4x)的二阶导数。
☂13：y=xe4x的二阶导数。
☂14：y=x 6*4x 的二阶导数。
☂15：求y=xe -x 3+7的二阶导数。
☂16：y=sin19x*cos30x，求此函数的二阶导数。
☂17：z=xln(8x+4y)，求其所有二阶偏导数。
四、函数商类型二阶偏导数☂18：求y=x-6x+5的二阶导数。
☂19：函数 y=28x 2-19x+83的二阶导数。
☂20：求y=8x11+x2的二阶导数。
☂21：计算y=sin3xx+10的二阶导数。
☂22：求y=22x+xx2-39的二阶导数。
五、三角函数二阶偏导数☂23：y=sin6x求二阶导数。
☂24：求函数y=cos3xtan10x的二阶导数。
☂25：求函数y=cos(3x+12)x的二阶导数。
☂26：求z=sin(x5+5y)的二阶偏导数。
☂27：求z=sin5(12x+35y)的二阶偏导数。
☂28：求函数z=sin 13x-x3y3+e3的二阶偏导数。
参考答案一、基础复合函数二阶导数☂1：求y=(6x+12)4二阶导数。
解：y=(6x+12)4，y'=4(6x+12)3*6,=24(6x+12)3，y"=24*3(6x+12)2*6,=432(6x+12)2。
复 合 函 数 的 求 导 法 则
复合函数的表示方法
记号表示
复合函数通常用记号F(u)来表示，其 中F表示外部函数，u表示内部函数的 输出。
具体表示
如果y=f(x)且u=g(y)，则复合函数可 以表示为z=f(g(y))或z=F(u)，其中 z=F(u)表示z是u的函数。
03
链式法则
链式法则的原理
链式法则是复合函数求导的重要法则之一，其原理是将复合 函数分解为多个基本函数，然后对每个基本函数分别求导， 再根据复合函数的复合关系，将各个基本函数的导数相乘， 得到复合函数的导数。
商的求导法则的原理
商的求导法则指出，对于两个函数的商，其 导数等于被除函数的导数除以除函数的导数 。即 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
这个法则的原理基于函数的商的性质，即当 两个函数同时变化时，其商的变化率满足特
定的关系。
商的求导法则的应用示例
假设有两个函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x)，我们需要 求它们的商函数 f(g(x)) = x^2 / sin(x) 的导数。
进一步学习高阶导数、隐 函数求导等更深入的数学 知识，为后续学习打下基 础。
THANKS
感谢观看
乘积法则
在求导过程中，将复合函数的中间变 量与常数相乘，并使用乘积法则进行 求导。
反函数求导法则
对于反函数，使用反函数求导法则进 行求导。
学习建议与展望
熟练掌握复合函数的求导 法则，能够快速准确地求 出复合函数的导数。
了解复合函数在实际问题 中的应用，如经济学、物 理学等领域。
ABCD
在学习过程中，多做练习 题，加深对复合函数求导 法则的理解和掌握。
表示
(完整版)(整理)复合函数的导数二.
复合函数的导数二课 题: 3．4复合函数的导数(2) 教学目的:1. 掌握复合函数的求导法则，并能进行简单的运用． 教学重点：利用复合函数的求导法则求函数的导数. 教学难点：复合函数的求导法则的应用． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析： 如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体。
求导的次序是由外向内. 对于复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构，引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导． 教学过程：一、复习引入:1. 常见函数的导数公式：0'=C ;1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =;x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数：设函数u =ϕ（x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′（x )，函数y =f （u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′（u )，则复合函数y =f （ϕ (x ））在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ （x ））=f ′(u ) ϕ′（x ）.4。
复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 二、讲解范例：例1函数4)31(1x y -=的导数。
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。
链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。
反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。
我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
复合函数的导数 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x ) = c , 则 f' ( x ) = 0;
n
n -1
公式 2.若f ( x ) = x , 则 f' ( x ) = nx ;
公式 3.若f ( x ) = sinx , 则 f' ( x ) = cosx;
公式4.若f ( x ) = cosx , 则 f' ( x ) = -sinx;
x
1
x2, 由题意知, e = + =1,
∴x1=0, x2=1−b, 两切点分别为(0, 1+a), (1-b, a2);
两切点处的切线方程分别为y−(1+a)=x和y−a2=x−(1−b),
2
2
2
故a+1=a −1+b, 则b=−a +a+2=−(a−) + ≤ ,
∴b的取值范围是 −∞, .故选D.
=2e2xcos3x−3e2xsin3x
∴曲线在点(0, 1)处的切线的斜率为y′|x=0=2,
∴切线方程为y-1=2x，即y=2x+1.
−
设l的方程为y=2x+m, 则 = , 解得m=−4或m=6.
当m=−4时, l的方程为y=2x−4; 当m=6时, l的方程为y=2x+6.
所以l的方程为y=2x−4或 y=2x+6.
=2[cosx∙cosx+sinx∙(−sinx)]
=2(cos2x−sin2x) =2cos2x
另一方面，y′u＝(sinu)′＝cosu ，u′x＝(2x)′=2 ,
可以发现 y′x＝2cos2x=cosu×2=y′u×u′x .
多元复合函数的二阶偏导数公式
多元复合函数的二阶偏导数公式黄世强郑州工业大学数力系孙跃俊焦作工学院基础部454150摘要本文建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。
关键词偏导数矩阵内积中图分类号 O17211使用Jacobi矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。
但是长期以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式。
本文以具有两个中间变元的复合函数为例建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。
从而使繁冗且易错的运算可以规范化地进行。
1 一阶偏导数的各种表示式设函数zfuv?C2其中uuxy?C2vvxy?C2。
构造函数矩阵行向量2:A〔f′uf′v〕Bx〔u′xv′x〕By〔u′yv′y〕则成立一阶偏导数公式5z5xf′uu′xf′vv′xABTxABx15z5yf′uu′yf′vv′yABTyABy2其中AT是A的转置ABx是A与Bx的内积。
定义称F,6,9f〃uuf〃uvf〃uvf〃vv为A关于u、v的导数矩阵。
2 定理定理一矩阵A关于x或y的偏导数等于矩阵Bx或By左乘A关于u、v的导数矩阵F。
证明5A5x〔55xf′u5A5xf′v〕〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvBxF3同理可得5A5yByF4定理二设矩阵G 〔Υx、y.7x、y〕?C′则55xAGTBxFGTA55xGT5第18卷第3期1997年 9月郑州工业大学学报JournalofZhengzhouUniversityofTechnology Vol118 No131Sep1199755yAGTByFGTA55yGT6 证明由式1及内积求导公式2并利用式3有55xAGT55xAG5A5xGA5G5xBxFGTA55xGT同理可得6式。
3 复合函数的二阶偏导数公式取GBx或GBy将其分别代入式5、6整理后就有:52Z5x2〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xxv〃xx752Z5y2〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′yv′y〔f′u.f′v〕u〃yyv〃yy852Z5x5y〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xyv〃xy9特别地当uuxvvx时有d2Zdx2〔u′v′〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′v′〔f′u.f′v〕u〃v〃。