弹塑性力学-第十一章 塑性力学基础

EA
N1
图示为两端固定的等
P
N2
截面杆(超静定杆)，
x ab
设材料为理想弹塑性材料，
在x = a 处（b a）作用一
逐渐增大的力P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s
理想弹塑性模型
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§11-2 一维问题弹塑性分析
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
a
N1a EA
b
N2b EA
代入变形协调方程为
N1a N2b 0 或
EA EA
N2
N1
a b
由于b a，所以 N1 N2 ，将 N2N1ab
代入平衡方程。
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§11-2 一维问题弹塑性分析
得 N1P/1 (ab) N 2(P ab)(1ab)
最大弹性荷载
P e N 1 ( 1 a b )sA ( 1 a b )
bN E2bA (PE sA A)b
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§11-2 一维问题弹塑性分析
bN E2bA (PE sA A)b
P esA (1ab) sAP e (1ab) P P e(1 ab )bP a (P P e)b
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.3金属材料在静水压力实验：
前人（Bridgman）对大量金属进行水压力实验 及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：
1.在静水压力(高压) p 作用下, 金 属 体 积 应 变
e=V/V=p/k成正比，当p达到或超过金属材料 的s时，e与p 仍成正比；并且除去压力后，
1. 理想弹塑性模型：
加载时： =E = s
s s
s
o s
理想弹塑性模型
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
2. 线性强化弹塑性模型：
加载时： =E s
Et
s
E
= E s+ Et ( - s ) s o s
sE t(s) sE E tE (s)线性强化弹塑性模型
体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单 独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈
服应力 s没有影响。
结论：静水压力与塑性变形无关。
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§11-2 一维问题弹塑性分析
1.拉压杆的弹塑性问题
o
p
e
p
e
’s s
A
BC
合金钢 -
o
O’
p e
当应力－应变曲线在OA范围内变化，材料
为弹性变化。当应力达到 s时（软钢有明显
屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生） 将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的
条件为
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）
力P 作用点的伸长为
e
N1a Pea sa
EA (1a)EA E
b
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§11-2 一维问题弹塑性分析
(2)弹塑性解Pp P Pe : P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
第十一章 塑性力学基础
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型 §11-2 一维问题弹塑性分析
§11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e 等效应变 e、罗德（Lode）参数
§11-4 屈服条件 §11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力 §11-6 弹塑性应力应变关系增量理论
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形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，
由O’点继续加载，在O’B段又是线性弹性变化，
当 达到B点再次发生塑性变形，
’s s
A
B
o
O’
p e
C - ’s=0——后继屈服函数 ’s=’s( p)
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
当卸载后，反向加载时，有些金属材料反
是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。
（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料， 屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流 动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。
（4）有些强化材料具有包辛格效应。
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.2 常见的几种简化力学模型
当软钢应力达到A点后，软钢有明显屈服 （塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为
强化阶段，BC段），但强化阶段 增幅较少。
A
s
B
C
’s s
A
B
软钢 -
o
p
e
p
e
o
O’
p e
C
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
映出反向加载的屈服极限 ’’s s —— 称为
包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。
BC
包辛格效应
A
’s s
o
O’
’
s’’
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
小结：
（1）在弹性阶段（ s）： = e 应力ห้องสมุดไป่ตู้变关系
一一对应。
（2）当应力达到初始屈服条件（ =s时），材料 进入弹塑性阶段， = e+ p，应力－应变关系不再
1
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1 单 向 拉 压 实 验 ：
不同材料在单向拉压实验中，有不同的 应力－应变曲线。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
软钢 -
o O’
p e
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
C
软钢 - s A B
s(1E E t)E t s(1)E t Et E1
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
在实际问题中，有时当弹性应变 e p 塑
性应变，可忽略弹性变形。
上述两种模型分别简化为： s 时, = 0
s =s
Et
s
s+Et
o
理想刚塑性模型
o
线性强化刚塑性模型