2.5 初等变换与初等矩阵.
初等变换与初等矩阵
1 (k 1,2,, r) ，然后再对矩阵作第三种
bk
初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶 梯形
0 0
1 0
0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r4 12r3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初
等行变换 1 3 2 2 1
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
1 3 0 6 3
( 12)rr13, r2112r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 13
Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B
若记P= P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt ， 则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵， 于是得到
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶 可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必 存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使 得
外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，
且所在列的其它元素都为零，
则称 A为简化阶梯形矩阵.
例如
0 2 1 4 A 0 0 5 7
0 0 0 0
1 2 0 5 3
B
0 0 0
0 0 0
4 0 0
8 3 0
3 10
为阶梯形矩阵；
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1
初等变换与初等矩阵
2.3初等变换与初等矩阵授课题目 2.3初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A为B,通过B的性质来探讨A的性质，这是研究矩阵的重要手段。
为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。
一.初等变换与初等矩阵1.初等变换（1）定义定义1矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置；2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，k为任意数。
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
（2）记法分别用[i,j],[i（k）],[i • j（k）]表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换,写在箭头下面表示列变换。
或者行变换用R.. R j,kR j,R j ■ kR j，列变换用C- C j,kC i,C i kC j例110-12if T10-12100 2A =2312033-203 3 -2-121丿J-121丿-1 3 1丿2.初等矩阵（1 ）初等矩阵的定义定义2由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵(110 1 :11 : 1 0 1i 行二 Di（k ）i 行= T j (k) j 行1 k+ .a1j 列(1i 行 = T j (k) j 行 bR j 、D j (k)、T ij (k)分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。
* T j (k)是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。
二. 初等变换与初等矩阵的关系1、 问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？ 如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。
2-5矩阵的初等变换与初等矩阵
a21 a11
a22
a12
I 1 3
3
A
0
0 a11
1
a21
a12 a22
3a11 a21
3a12
a22
I
1
22
A
1 0
2 a11
1
a21
a12 a22
a11
2a21 a21
a12 2a22
a22
AI
1,
2
a11 a21
a12 0
0
1
(2)(3)
0
1
0
0
0 1 0
1 1 1
3 1 5
0 0 1
2
1
3 (1)
1 0 0 2 1 1
0
1
0
6
1
4
0 0 1 5 1 3
1 0 0 2 1 1
0
1
0
6
1
4
,
(1) 0 0 1 5 1 3
所以
2 1 1
B 1
6
1
4
5 1 3
定理2.2
一个可逆方阵
A
aij
经若干次
nn
初等行变换总可以化为单位矩阵In .
证明： 由于 A可逆，则至少有一个 ai1 0( 若 ai1
皆为零，则 A不可逆．) 设a11 0 (若 a11 0, ai1 0,
则可将第i行与第1行对调 ，从而使(1,1)元非零)，
先用
a 1 11
乘以第1行，再用
例3用初等行变换将下列矩阵化为行最简形矩阵.
2 1 2 3
1 0 1
•
（1）A
2-5初等变换与初等矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1 r3 ( 1) r1 2 1 5 2 2 1 5 2 3 2 6 3 2 1 5 2
1 1 1 1 r3 ( 1) r2 2 1 5 2 0 0 0 0
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (2) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行 (列）对应的元素上去;
(3) 对调矩阵的两行(列).
※ 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换. （Elementary Transformations ）
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注意到这些初等变换不改变B的第1行及第1列的元素.至此， 已将矩阵A化为
1 0 C 0 0
0 1 0
0 0 c33
0 cm 3
0 0 c3n , cmn
如此继续下去，最后必能得到一个标准形矩阵.根据等价 的定义，显然A ≌ D.
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初等行变换的背景
刘徽注释《九章算术》说，“ 程，课程也．二物者再程，三物者 三程，皆如物数程之，并列为行， 故谓之方程．” 古代是将它用算筹布置起来解 的（如下图所示），图中各行由上 而下列出的算筹表示 x，y，z 的系 数与常数项．一次方程组各未知数 的系数用算筹表示时好比方阵，所 以叫做方程．
1 1 1 1 1 r1 (1) r2 r3 ( 1) r2 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ( 1) r3 c3 3c2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 c3 ( 4) c1 1 3 0 0 1 3 0 c4 ( 1) c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 O 0 0 O O 0 0
2.5矩阵的初等变换与初等方阵
（） 反身性 A ≅ A； 1
（）对称性 若 A ≅ B , 则 B ≅ A; 2 （）传递性若 A ≅ B,B ≅ C,则 A ≅ C. 3
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等方阵。 矩阵称为初等方阵。 我们对n阶单位矩阵 施行三种初等变换得到以 我们对 阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以 阶单位矩阵 下三类n阶初等方阵 阶初等方阵。 下三类 阶初等方阵。
3．上述三种变换都是可逆的． ．上述三种变换都是可逆的．
若( A)
若( A)
i
↔
j
(B ), 则(B )
i
↔
j
( A);
i
i
×k +k
j
(B ), 则(B )
(B ), 则(B )
i
i
÷ k ( A);
若( A)
−k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 由于三种变换都是可逆的， 方程组与变换后的方程组是同解的． 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． 变换是同解变换．
(2)设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵 设 是 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 是 × 矩阵 求出矩阵X 矩阵， 满足XA=B。 满足 。
方法： 化成(E 方法：用初等行变换把 (AT,BT)化成 n, (BA-1) T)， 化成 ， 可求出X 可求出 T= (BA-1) T. 具体过程： 具体过程： (A T,B T) → (En,X T)。 。
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是 换成“ ． 把“r”换成“c”)． 换成 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等列变换 初等行变换统称为 初等列变换与 定义 初等变换． 初等变换．
线性代数 华中科技大学出版社 2-5 刘少平课件
矩阵F 称为标准形.
对任何m×n矩阵，总可以经过初等变 换(行变换和列变换)把它化为标准形
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 F 0 0 1 0 0 r行 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m×n
E (i , j )
i列
j列
（2）用非零数k乘与E的第i行（列）所得到的矩阵
1 0 E 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 i行×k 0 0 1 0 0 0 0 1 i列×k
非零行（列）数
Er O ( m r )r Or ( n r ) O( m r )( n r )
r列
F称为矩阵Am×n的最简形式—标准形。
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B． 等价关系的性质：
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 k 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Ei (k )
（3）将E的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加 到第j列)所得到的矩阵
不难证明，对于任何矩阵Am×n ，总可以 经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩 阵和行最简形矩阵。 例如在引例中，把增广矩阵化成了 行阶梯形矩阵：
1 2 1 2 0 5 5 5 0 0 1 1
例1 用矩阵的初等行变换将B化为行最简形：
1 2 r r 2 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 3 B 2 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
初等变换与初等矩阵
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵1
2 1 1
3 0 1 例如 设 A 1 1 2 则有 0 1 1 1 c1 3 5 0 1 3 0 1 31 02 1 12c2 r r A 1 1 1] 5 1 2 [3(2) ~ 3 A 1 1 2 ~ 2 0 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1
3 0 11 0 1 3 0 1 0 T A E3(3 1(2))1 11 0 11 AE31 (2) 1 2 0 2 1 0 1 2 0 0 1 1 2 0
0 5 0 1 0 0 5 1 2 1 2 1 1
1 1 2 2 1 1 B2 2 3 1 3 6 9
1 1 1 7
4 2 2 9
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2 即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
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2x1 x2 x3 x4 2 例如 x1 x2 2x3 x4 4 4x 6x 2x 2x 4 2 3 4 1 3x1 6x2 9x3 7 x4 9
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五、求逆矩阵的初等变换方法
1.基本定理： 若方阵A可逆，则A可以通过行初等变换化为E. >>> 2. 推论： 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1 P2 Ps 使 A P1P2 Ps >>>
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2.5 初等变换与初等矩阵
A1
A1
因此
A
E ERT
E
A 1
初等变换 求逆法
A 1 AA1 E 类似的 A A 1 EA1 E A 1 E 1 1 ps p2 p1 1 E A A ECT E 因此 A 1 E
a11 ai 1 ka j 1 Em ( i , j ( k )) A a j1 a m1 基本事实
ain a jn ( ri ) a jn ( r j ) amn a1n
a11 a12 a j1 a j 2 Em ( i , j ) A a ai 2 i1 a m 1 am 2 a11 a1 j a21 a2 j AEn ( i , j ) a m 1 amj ( ci )
例4
1 0 0 0 1 1 1 1 0 , B 1 0 1 ,求 X ，使 A 1 1 1 1 1 0
AXA BXB AXB BXA E .
四、小结
１、矩阵的初等变换（Elementary transformation） ri rj ci c j ; 初等行(列)变换 ri k ci k ; ri krj ci kc j .
Th A B AQ B
ECT 一次
ET ET ３、 Th if A B B A
定义 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B 等价关系的性质： （1）反身性： A ~ A; （2）对称性： if A ~ B , B ~ A； （3）传递性： if A ~ B , B ~ C A ~ C. 具有上述三条性质的关系就称为等价． Th A B PAQ B 定理： , Q 为可逆阵 P Er O Th R A标准形 PAQ A r O O 1 p1 , p2 , , ps , 定理： Th if A 有限个初等矩阵
初等矩阵与初等变换的关系
初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。
初等变换指的是对矩阵进行三种基本操作：交换两行（列）的位置、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）的倍数加到另一行（列）上。
这篇文章将以生动的方式介绍初等矩阵与初等变换之间的关系，并解释它们在数学和实际中的重要性。
让我们从一个简单的例子开始，考虑一个3x3的单位矩阵：I = [1 0 0][0 1 0][0 0 1]现在，我们进行一次交换第一行和第二行的初等变换，得到矩阵：E1 = [0 1 0][1 0 0][0 0 1]我们可以观察到，矩阵E1是通过单位矩阵在第一行和第二行进行交换得到的。
这就是初等矩阵与初等变换之间的关系：初等变换通过对单位矩阵的某些行（列）进行操作，得到对应的初等矩阵。
接下来，让我们考虑另外两种初等变换：第一行乘以一个非零常数和第一行的倍数加到第二行上。
首先，我们将第一行乘以2，得到矩阵：E2 = [2 0 0][0 1 0][0 0 1]再将第一行的2倍加到第二行上，得到矩阵：E3 = [1 0 0][2 1 0][0 0 1]我们可以观察到，矩阵E2和E3分别由单位矩阵通过第一行乘以2和第一行的2倍加到第二行上得到。
这再次验证了初等矩阵与初等变换之间的关系。
初等矩阵与初等变换在数学中扮演着重要角色。
它们可以用于求解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等。
通过将初等变换应用于矩阵，我们可以通过初等矩阵的乘积来实现这些操作，简化计算过程。
在实际应用中，初等矩阵与初等变换也非常有用。
它们可以用于图像处理、数据压缩、机器学习等领域。
例如，在图像处理中，我们可以通过初等变换来调整图像的亮度、对比度或色彩饱和度。
在数据压缩中，我们可以使用初等矩阵表示矩阵的近似，从而减少存储空间和计算复杂度。
总结起来，初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。
初等变换是对矩阵进行交换行（列）、乘以一个非零常数或行（列）的倍数加到另一行（列）上的基本操作。
线性代数-线代2-05
初等变换的结果审视：
• 初等变换后的矩阵和原矩阵不等. • 行阶梯形不是惟一的，但是行标准形和标准型是
惟一的. • Gauss-Jordan 消元法可以将矩阵化为行标准型;
仅用行初等变换不一定能将一个矩阵化为标准形 F. • 矩阵的阶梯形、行标准型和标准型的共性:
– 非零行的数目r 相等. – n阶方阵的r=n时，行标准型是单位矩阵. – 从阶梯形可以直接得到标准型.
（1）交换方程次序； （2）以不等于０的数k 乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
➢消去一些系数，使得方程组呈阶梯形，从而可以用回 代法求解的方法称为Gauss消元法． ➢变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 ，未知量并未参与运算． ➢Gauss消元法完全可以转换为相应矩阵行的变换．
1 ．矩阵初等变换的定义
定义2 .10 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
p53 1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所 3把（ 某i一 行 第 行k ,记 所 乘 有 kr i倍 作 k 元 ） 加素 到的 另一
对应的元素上 j行去 的 k（ 倍第 加到 i行 第上 记作 ri kjr） .
0
0
1
0
0
2
*
0 0 0 0 0 0 0
• 行标准形：
– 行阶梯形中，每一个非零行领头的非零元是 数1，它所在的列其余元素是零的矩阵被称 为行标准形。
• 例 ：下列矩阵是行标准形
1 0 0
0
1
0
0 0 1
1 0 *
0
1
*
0 0 0
0 1 * 0
0
0
2.5 矩阵的初等变换
AX B
2 2 1 0 1 , 1
，其中
0 B 1 1 1 3 1
一个求逆矩阵的方法
作 n 2n 矩阵（A，E）用初等行变换把左边一半变成E， 这时，右边的一半就是 A 1 。 即
( A, E) 初等行变换 ( E, A1 )
例2 用初等行变换求矩阵
1 A 1 1
的逆矩阵
0 2 2
1 0 1
例3 解矩阵方程
1 0 0 0 1 2 1 0 1
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 3 0
1 0 0
1 0 0
1 1 0
1 0 1
1 2 1
定义4 称一个矩阵是简单阶梯形矩阵，是指它满足如下三个条件：
（1）它是阶梯形的； （2）每一个非零行的第一个非零元均是1； （3）每个非零行的第一个非零元所在列的其它元素都是零
特别，令 B E(ri , r j ) ，得
A1 A j (第 i 行) E (ri , r j ) A Ai (第 j 行) Am
这就相当于 把A的第i行与 第j行互换。
令 B E (kri ) 得
第五节 矩阵的初等变换
2.5.1 矩阵的初等变换与初等矩阵
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
（1）对换矩阵的 i, j 两行，记作 ri r，称为对换； j
（2）用数 k 0乘矩阵的第i行，记作 kri ，称为倍乘； （3）把矩阵的第i行的k倍加到第j行上去，记作 r j kri ， 称为倍加。 类似地，可定义矩阵的初等列变换，并依次记为
线性代数2_5 矩阵的初等变换 初等矩阵
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对矩阵 Am×n 进行一次初等行变换等 同于 A 左乘一个相应的 m 阶初等矩阵,
即
1> 交换 A 的第 i 行和第 j 行←→Rij · A 2>用数 k (≠0)遍乘 A 的第 i 行←→ Ri (k)· A 3> 把 A 的第 i 行乘数 k 加至第 j 行 ←→ Rij (k) · A
j i j i
Байду номын сангаас
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如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B ， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B ． 等价关系的性质：
（1） 反身性 A ~ A；
（2）对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A;
× ci 也得到 .
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(2) 用非零数a乘单位矩阵I的某行(列)得到初等矩阵.
1 1 Ri (α ) = Ci (α ) = α 第i行 1 1
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(1)
a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34
R12 A
~
r1 2
a 21 a11 a 31
(1) ri ↔ rj 对调两行(列)得到的初等矩阵.
1 1 Cij = 第i行 第 j行 1 1
2.5矩阵的初等变换和初等矩阵
§2。
5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。
一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。
10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。
（3） 将 若把定义2。
10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。
另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。
复原为矩阵A B A B 定义2。
11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。
由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。
C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。
３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。
矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。
线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵
例2、 设A可逆，求证A可逆，并求( A )1 .
证明 得 所以
因为A可逆， 所以 | A | 0, 由
AA A A | A | I
|
1 A
|
A A
A |
1 A|
A
I
A可逆， A 1 1 A. | A|
例3、 已 知 三 阶 矩 阵A的 逆 矩 阵 为
0
0
1
b21
b23
b22
b31 b32 b33 0 1 0 b31 b33 b32 .
据例1可知,
左乘--行变换;右乘—列变换.
初等矩阵左乘A,C----相当于是对A,C做相应的初等行变换
初等矩阵右乘B----相当于是对B做对应的初等列变换
A1( A B) (E A1 B)
即
( A B) (E A1 B)
初等行变换
同理, 求解矩阵方程 XA B, 等价于计算矩阵BA1,
则可利用初等列变换, 计算矩阵 BA1 , 即
A 初等列变换 E
B
BA1
注意: 也可改为对 ( AT , BT ) 作初等行变换..
0 0 1 0
0
1
0
0
0
k
0
k
0
0
1 0 0 00 0 1 1 0 0 0
0
0
0
1
c
0
0
1
c
0
0
矩阵的初等变换与初等矩阵
1 0 0 0
0
0
1 0
0 0
0 0
E2 0
0 0
,
1
0
0 1
0
0
0
0
1
0
0
.
0 0
0
1 0
1
.
0
0
1
都是标准形矩阵。
定理2.3 任何矩阵都可以经过单纯的行初等 变换化为阶梯形矩阵。
证明看下面定理的证明，类似。
定理2.4 任何矩阵都可以经过单纯的行初等 变换化为简化阶梯形矩阵，任何非零矩阵都可以 经过初等变换化为标准形矩阵。
aaa a nn2 1 12n n
A
a0 31 a a3 32 2 a a3 33 3
1
a0 m1 a am m2 2 a am m3 3
aa n3 3n
aa mm nn
其中A1为(m－1) ×(n－1)矩阵。
若A1=0，则定理得证；
否则，对A1重复对A的讨论，如此一直变换，可
3
1 4 7 3
1
3
4
1
7
3 2 9 6
1
4
7
3
r2 r1
r3 3r1
r4 r1
1 4 7 3
0
1
3
14
0 10303
0
0
0
0
1 4 7 3
r3 10r2 0 0
1 0
3 0
11 44 3＝B
依其形状的特征 称为阶梯形矩阵。
0
0
0
0
可划出一条阶梯线，线
2. 行阶梯形矩阵
类似，依次将第二、三、…、r列的适当倍数加到其他各列， 得标准形矩阵。
[理学]25_初等变换与初等矩阵_OK
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0
1
0
0
1 0 0 0
k 1
0
k
0
0
1 0 0 0
c
0
0
1
1
c
0
0
1
30
( P1P2P3 )1 P31P21P11
0 0 1 0
P1
0
1 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
1
1
P2
c
1
1
1
P3
k
1
1
1
1 k
1
1
1 c
1
1
0
0
E
1 2
2 2
31 10
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2 r1 r3 3r1
1 0 0
2 2 2
3 5 6
1 2 3
0 1 0
0 0 1
r1r2 r3 r2
35
1 0 0
0 2 0
2 5 1
1 2 1
1 1 1
0
0 1
r1 2 r3 r2 5r3
1 0 0
0 2 0
若记
a11 a12
B
(A
b)
a21
a22
am1
am 2
a1n b1
a2n
b2
amn
bm
则对方程组的变换完全可以转换为
对矩阵B（方程组的增广矩阵）的变换．
6
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行 3种初等运算：
统称为矩阵的
(1) 对调矩阵的两行。
初等行变换
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。