高三数学二项式定理

1 7.已知 x 展开式的各项系数之和比(1+2x)2n展 3 x 1 开式的二项式系数之和小240，求 x 3 展开式中 x
系数最大的项.
n
n
1 【解题回顾】在 x 展开式中，各项系数之和 3 x
就等于二项式系数之和；而在(1+2x)2n展开式中各项
0 n n n 1 n n1 n
, C C ,C C ,
2 n k n
n 2 n
n k n
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二 项式系数先增后减，且在中间取得最大值。 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二 项式系数最大，即n偶数：
C
r n
max
Cn R n
2
n 2
n n n n
（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、 证不等式,如证明： n 取
2 2nn 3, n N
的展开式中的四项即可。
2 1 1
n
n
2．重点难点: 二项式定理和二项展开式的性质。
3 ．思维方式 : 一般与特殊的转化，赋值法的应用。 4．特别注意: ①二项式的展开式共有n+1项，
1 n 例6：当 n N 且n>1，求证 2 (1 ) 3 n
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问 题，它的取舍根据题目而定。
三、课堂小结：
1 、二项式定理及二项式系数的性质。通项公 式。 2 、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。 3、证明组合恒等式常用赋值法。
四、课 前 热 身
n
【解题回顾】展开式中有理项的特点是字母x的
3r 3r 指数 4 - Z 即可，而不需要指数 4 - Z 4 4
1 3. 求 x 4 的展开式中，系数的绝对值最 2 x 大的项和系数最大的项.
n
【解题回顾】由于这个二项式的第二项分母中有 数字 2 ，所以展开式中的系数不是二项式系数， 因此不能死背书上结论，以为中间项系数最大.
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
89《排列组合－
二项式定理》
一、内容归纳
1． 知识精讲：
（1）二项式定理：
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
其通项是
n N r n r r Tr1 C n a b (r 0 ,1 ,2 , ,n)
1
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二 项式系数相等并且最大，即。
C
r n
max
Cn
n 1 2
Cn
n 1 2
Tn1 Tn1
2 1 2
1
③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于
2 即
n
0 1 n Cn Cn Cn 2n
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数 和相等，即 C 0 C 2 C1 C 3 2n1
C a
r n n r r
b
是第r+1项。
r n r r T ②通项是 r 1 Cn a b （r=0,1,2,……,n）中
含有Tr 1 , a, b, n, r 五个元素，只要知道其中四个 即可求第五个元素。 ③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的 前几项求 (1 x) n 的近似值。
【解题回顾】用二项式定理讨论一个式子被 m 除的余
数时，一般把其主要式子写成 (a+bm)n(a 、 b∈Z) 的形 式，即首项外其余各项均能被 m 整除 . 而对于不满足 C0n+C1n+C2n+…+Cnn ＝ 2n 的组合数运算时，要注意转 化 利用k· Ckn＝nCk-1n-1.
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10.(1)今天是星期一，问1090天后是星期几? (2)证明：2n+2· 3n+5n-4能被25整除.
1120 50 3 4 5 （3）求 (1 x) (1 x) (1 x) … (1 x)
的展开式中
x
3
的系数。
C
4 51
例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋…
＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，
1 n 1 2 n 2
An＝ C a C a ...... C a
n
(C) 210
(D) 10
9. 已知(2x+1)n(n∈N+)的展开式中各项的二项式系数之
S n Tn 和为Sn，各项的系数和为Tn，则 lim ( A ) n S T n n
(A) -1 (B) 0
(C) 12
(D) 1
10. 1-90C110+902C210-903C310+…+(-1)k90kCk10+…+9010C1010 除以88的余数是(
n
系数之和不等于二项式系数之和，解题时要细心审
题，加以区分.
8.已知(3x-1)7＝a7x7+a6x6+…+a1x+a0， 求：(1)a1+a2+…+a7; (3)a0+a2+a4+a6. (2)a1+a3+a5+a7;
【解题回顾】本题采用的方法是“赋值法”，多项式 f 1 f - 1， f(x) 2 的各项系数和均为f(1) ，奇数项系数和为 f 1 f - 1 偶数项的系数和为
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1 1 4. 求证 x 及 x 的展开式中不能同 x x 时含有常数项.
n 1
n
【解题回顾】二项式定理解题活动中，涉及到 的很多问题都是关于整数的讨论，要注意其中 的字母取整数这一隐含条件的应用.
5. (1)求证：kCkn=n· Ck-1n-1; (2)等比数列{an}中，an＞0，试化简 A=lga1-C1nlga2+C2nlga3-…+(-1)nCnnlgan+1.
(A) 第11项 (C) 第6项 (B) 第7项 (D) 第5项
10
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６. 已知(3-2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则
568 (1)a2+a3+a4+a5的值为________ ；
(2)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=_________ 2882 .
7. 2C02n+C12n+2C22n+C32n+…+2C2k2n+C2k+12n+…+C2n-12n +2C2n2n=________ 3· 22n-1 .
3 1 8. 若 x 2 的展开式中只有第6项的系数最大，则 x
不含x的项为( C ) (A) 462 (B) 252
4
求（1） a0 a2 a4 ― a1 a3 的值。
2
2
（2） a0 a1 a2 a3
的值。
【思维点拨】 用赋值法时要注意展开式的形式。 思考题：设 4 5 2 9 x 1 x 2 a0 a1 x 3 a2 x 3 a9 x 3
2


5
【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题 时，常用通项公式，用待定系数法确定r。 练习：(优化设计P180思考讨论)（1）在 2 3 7 (1 x x x )(1 x) 的展开式中，求 的系数。 14
x
4
。
4 4 ( x 4 ) （2）求 的展开式中的常数项。 x
n
C C x C x C x
0 n 1 n r r n
0 n 1 n 2 n r n n n
n n n
n N
、 C 、 、 C 其中， C 、 C 、 C 、
是二项式系数。而系数是字母前的常数。 （2）二项展开式系数的性质：①对称性, 在二项展开式中，与首末两端“等距离” 的两项的二项式系数相等， 即： C C , C C
【解题回顾】不仅要掌握二项式的展开式，而 且要习惯二项展开式的逆用，即应用二项式定 理来“压缩”一个复杂的和式，这一解题思想 方法是很重要的. 返回
6. 求 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中 x2 的系 数.
【解题回顾】解一、解二各有优点，在具体的问题中 应视情况不同选用.
二、问题讨论
例1．（1）
C 3C 9Cn 3 C
1 n 2 n
3
n1
n n
等于 （ D ） A、 4
n
B、 3 4
n
n
4 C、 3 1
n
4 1 D、 3
n
（2）若n为奇数，则
7 C 7
A、 0 B、2
1 n1 n
C 7
2 n
n 2
C 7
D、 8
n1 n
(1) 用q 和n 表示An
1 2 n n
n n n
An (2)当 3 q 1 时,求 lim n n 2
【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及
C C C 2
0 n 1 n n n
n
例4、若 2 x 3 = a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a4 x 4 ，
a0 a2 a4 a6 a8 ― a1 a3 a5 a7 a9 则 0
2
2
备用题：
1 例5已知 （ ( 2 x ) n , 2 （1） 若展开式中第5项、第6项与第7项的二 项式系数成等差数列，求展开式中二项式系 数最大项的系数。