(艺术生专用)2020版高考数学总复习第八章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课时冲关
2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书文新人教A版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书文新人教A版———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).1．(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b 的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12D [由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．255[圆心为(2，－1)，半径r＝2.5圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B 两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．4π[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.](y－1)2＝5的位置关系是( )【导学号：31222298】A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________．(1)A (2)x＋2y－5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为.因此切线的斜率k＝－2.故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.(2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0,0)，半径r＝2.∴圆心(0,0)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝3，|AB|＝2＝2.过C作CE⊥BD于E.如图所示，则|CE|＝|AB|＝2.∵直线l的方程为x－y＋6＝0，∴kAB＝，则∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.∴|CD|＝＝＝＝4.]x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( ) A．内切B．相交C．外切D．相离B [法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝.∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d ＝＝，解得a＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B 两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．4 [由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.又A，B关于OO1对称，∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．又∵·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2.∴AB＝4.]M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．图841[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.4分因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.5分(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝＝.8分因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋2，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．[解] (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，则r＝＝2.所以圆O的方程为x2＋y2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.则圆心O到直线MN的距离d＝.7分由垂径分弦定理，得＋()2＝22，即m＝±.10分所以直线MN的方程为2x－y＋＝0或2x－y－＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝.[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]2．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11C [圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C1C2|＝＝5.两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.]3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2 B．－4C．－6 D．－8B [由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20A [由题意知，O，A，B，P四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．又圆的半径r＝|OP|＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A．10 B．921C．10 D．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，∴最短弦的长为2＝2＝2.故所求四边形的面积S＝×10×2＝10]．二、填空题6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x＋y－3＝0 [∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.2 [如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．－[圆心C(－2,0)，半径r＝2.又圆C与直线l恒有公共点．所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.因此≤2，解得－≤k≤.所以实数k的最小值为－.]三、解答题9．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值．[解] (1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.2分当a＝时，A(1，)，易知所求切线方程为x＋y－4＝0；当a＝－时，A(1，－)，易知所求切线方程为x－y－4＝0.5分(2)设过点A的直线方程为x＋y＝b，则1＋a＝b，即a＝b－1，8分又圆心(0,0)到直线x＋y＝b的距离d＝，∴2＋2＝4，则b＝±.因此a＝b－1＝±－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．[解] (1)∵点M，N到直线l的距离相等，∴l∥MN或l过MN的中点．∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直线MN的斜率kMN＝1，MN的中点坐标为C(－1,1).3分又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；当l过MN的中点时，k＝kCD＝.综上可知，k的值为1或.6分(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l的距离大于半径，10分∴d＝>，解得k<－或k>1.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为( ) A．2 B．2 2C．3 D．2 3D [由圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，则C(3，－1)．依题意，圆C的圆心(3，－1)在直线kx＋y－2＝0上，所以3k－1－2＝0，解得k＝1，则点A(0,1)，所以|AC|＝，故|AB|＝＝＝2.]2．(2017·济南质检)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝__________.3[如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝＝ 2.2又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝，∠APB＝60°.故·＝××cos 60°＝.]3．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C 交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】[解] (1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.2分∵直线l与圆C交于M，N两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3，(*)∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).5分(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.8分在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝，故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离＝，∴1＋k2＝8，k＝±，经验证k＝±满足不等式(*)，10分故l的方程为y＝±x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±x.12分。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件
12/13/2021
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1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 如果 两个 圆 的方 程 组成 的方 程 组只 有一 组 实数 解 ，则 两 圆 外
切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
(4)由题意知圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0， －1)，半径为 2，则圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝|－1－2 1|＝ 2， 所以|AB|＝2 22－ 22＝2 2.
(5)由xx22＋ ＋yy22－ －44＝ x＋04，y－12＝0， 得两圆公共弦所在直线为 x －y＋2＝0.又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 2
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( A )
A．4π
B．2π
C．9π
D．22π
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【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
a2|c＋| b2＝
|c| ＝ 2|c|
22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半
就等于 1－ 222＝ 22，所以弦长为 2. (2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为
置关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1) 在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交．
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2．(方向 2)已知直线 y＝ax 与圆 C：x2＋y2－6y＋6＝0 相交于 A，B
超实用高考数学专题复习(北师大版)：第八章平面解析几何 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
挖掘 1 直线与圆位置关系的判断/ 自主练透
[例 1] (1)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D.不确定
[解析] 法一：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆 x2＋(y－ 1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交． 法二：(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线 l 的距离 d＝ m|m2＋| 1＜1＜ 5，故直线 l 与圆相交． 法三：(代数法)由mx2x＋－（y＋y－1－1）m2＝＝05，，消去 y，整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)＞0，故直线 l 与圆相交． [答案] A
[基础梳理] 1．直线与圆的位置关系与判断方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系． ①___d_<_r____⇔直线与圆相交；
②__d_＝__r____⇔直线与圆相切；
③__d_>__r ____⇔直线与圆相离．
(2)代数法：联立方程，消去 x(或 y)得一元二次方程，计算 Δ＝b2－4ac. ①Δ>0⇔直线与圆___相__交____；
D.内含
答案：B
3．(基础点：圆的弦长)直线 l：3x－y－6＝0 与圆 x2＋y2－2x－4y＝0 相交于 A，B 两 点，则|AB|＝________．
答案： 10 4．(易错点：求圆的切线方程)已知直线 l：y＝k(x＋ 3)和圆 C：x2＋(y－1)2＝1，若 直线 l 与圆 C 相切，则 k＝________． 答案：0 或 3
(4)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y＝2x 上在第一象限内的点，B(5，0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若A→B·C→D＝0，则点 A 的横坐标为________． [解析] 因为A→B·C→D＝0，所以 AB⊥CD，又点 C 为 AB 的中点，所以∠BAD＝45°.
2020高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系模拟演练理
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·黄冈中学模拟]若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )B．[－1,3]A．[－3，－1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C．[－3,1]答案C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( )B．2条A．1条D．4条C．3条答案D解析圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径r2＝1.∴两圆心的距离d＝＝，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．3．[2017·湖北七市联考]将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是( )B．相切A．相交C．相离D．相交或相切答案B解析依题意得，直线l的方程是y＝tan150°(x－1)＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝＝2，因此该直线与圆相切．4．[2017·丽水模拟]若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是( )B．(x＋)2＋y2＝5A．(x－)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5答案B解析设圆心为(a,0)(a<0 )，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d＝＝1，解得a＝－，所以，所求圆的方程为：(x＋)2＋y2＝5. 5．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )B．22A.D.2C．3答案A解析如图，在Rt△PAB中，要使切线PB最小，只需圆心与直线y＝x＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP|min＝＝2，故|BP|min＝＝.6．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案22解析最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2. 7．[2017·太原模拟]圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________．答案(x－1)2＋(y－2)2＝5解析由于圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为(a>0)，又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d等于圆的半径r.由a>0，得到d＝≥＝，当且仅当2a ＝，即a＝1时取等号，所以圆心为(1,2)，半径r＝，则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 8．已知直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为________________．答案x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0解析①当斜率不存在时，l的方程为x＝－4.圆心到l的距离d＝|－4－(－1)|＝3.此时弦长为2＝8.符合题意．②当斜率存在时，设为k，其方程为y＝k(x＋4)，由题意，|AB|＝8，故圆心到l的距离d＝3，即＝3，解得k＝－.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0，综上，所求直线方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.9．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点M的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．解(1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2，当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当过点M的直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知＝2，解得k＝.∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，∴2＋2＝4，解得a＝－. 10．过平面内M点的光线经x轴反射后与圆C：x2＋(y－2)2＝2相切于A，B两点．(1)若M点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；(2)若|AB|＝，求动点M的轨迹方程．解(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k，则此直线方程可以设为y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．又反射光线与圆C：x2＋(y－2)2＝2相切，所以＝，解得k＝－1或－，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0.(2)设动点M的坐标为(x，y)(y≥0)，则反射光线所在直线必过点M关于x轴的对称点Q(x，－y)，设动弦AB的中点为P，则|AP|＝，故|CP|＝＝.由射影定理|CP|·|CQ|＝|AC|2，得|CQ|＝＝8，即＝8，即x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．[B级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·东莞模拟]已知点(4a,2b)(a>0，b>0)在圆C：x2＋y2＝4和圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝4的公共弦上，则＋的最小值为( )A．8B．4D．1C．2答案A解析将两圆方程作差得x＋y－2＝0，即为两圆的公共弦所在的直线方程，因为点(4a,2b)在两圆的公共弦上，故2a＋b＝1(a>0，b>0)．由基本不等式得＋＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝2a时取等号．12.如图所示，直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，若满足C2＝A2＋B2，则·(O为坐标原点)等于( )B．－1A．－2D．1C．0答案A解析原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝＝1，又圆的半径为2，所以∠MON＝120°，所以·＝||·||cos∠MON＝2×2×cos120°＝－2.故选A. 13．[2016·全国卷Ⅲ]已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.答案 4解析 设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －＝0的距离为d ，则弦长|AB|＝2＝2，得d ＝3，即＝3，解得m ＝－，则直线l ：x －y ＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.14．[2015·全国卷Ⅰ]已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以<1，解得<k<，所以k 的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.OM →·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2.。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为 高考必考内容．预测 2020 年高考将会考查： ①直线与圆位置关系的判断及应用；②直线与 圆相交时弦长问题；③利用直线与圆位置关系 求参数的取值范围问题．试题以客观题形式呈 现，难度一般不大，属中档题型．此外也不要 忽略在解答题中出现的可能性.
答案
A．相交或相切或相离 B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案 C
答案
解析 解法一：直线 kx－y＋2－k＝0 的方程可化为 k(x－1)－(y－2)＝0， 恒过定点(1,2)，
因为 12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆 x2＋y2－2x－8＝0 的内部，所 以直线 kx－y＋2－k＝0 与圆 x2＋y2－2x－8＝0 相交．
2．小题热身 (1)直线 x－y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
答案
解析
圆心(0,0)到直线
x－y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，而
0<
22<1.故选
B.
解析
(2)已知直线 l：y＝k(x＋ 3)和圆 C：x2＋(y－1)2＝1，若直线 l 与圆 C 相
基础知识过关
1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的 一元二次方程的判别式为 Δ.
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆
解法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝m|2m＋| 1<1< 5，故直线 l 与圆相交．
解法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l
与圆相交．
3．[教材改编]直线 l：3x－y－6＝0 与 x2＋y2－2x－4y＝0，相交于 A，B 两点，则|AB|＝___1_0____.
__相__交__．___
3．必记结论
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
小题快做 1.思考辨析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件．( × ) (2)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ ) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
第八章 平面解析几何
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲展示
三年高考总结
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，
圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程 直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等
判断圆与圆的位置关系． 考查比较频繁，一般为选择题、填空题，以中等难
所以直线与圆相交． (2)若直线与圆不相交，则直线与圆相离或相切，故有|a＋2|≥1 解得 a≥ 5－2 或 a≤－ 5－2，故选
5 D.
典例2
命题角度 2 求弦长问题 [2014·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0，被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截
2 55 得的弦长为___5_____．
高中数学学业水平测试第八章 平面解析几何 知识点总结
第八章 平面解析几何一、复习内容必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式 必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程 4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系二、教学目标①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。
③.掌握圆的标准方程和一般方程.④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.三、教学过程（分四个教学单元节完成复习）第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【知识点】1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+bya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）斜截式下，若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔；② 12121l l k k ⊥⇔=-；③1212l l k k ⇔≠与相交 （2）一般式下，若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．【典型例题】 【巩固练习】第二节 直线的交点坐标与距离公式 【知识点】5．平面两点距离公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y 则22122121)()(||y y x x P P -+-=．x 轴上两点A,B 间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ．6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200BA CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221BA C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可表示为10Ax By C ++=． ③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线， 可表示为00()()0A x x B y y -+-=． （2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线，可表示为10Bx Ay C -+=． ② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线， 可表示为00()()0B x x A y y ---=． （3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =), 其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=, 其中,A B 是待定的系数． （4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程，为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x yg x y ==的解．【典型例题】 【巩固练习】第三节 圆的方程 【知识点】10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． （3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=．（2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D （3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．（4）掌握用待定系数法求圆的方程。
2025年高考数学总复习课件64第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
核心回扣
圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
图形
量的关系
课时质量评价
外离
__d_>_r_1_＋__r_2 __
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m. ①当两圆外切时， 5－1 2+ 6－3 2＝ 11+ 61－m，解得m＝25＋10 11.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 解：(方法一：作差法)
核心考点 提升“四能”
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
应用1 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P 1， 3 处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
√D．x－ 3y＋2＝0
D 解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P 1， 3 在圆Q上，所以所求
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 C．外切
√B．相交
D．相离
B 解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
2020新课标高考艺术生数学复习：直线、平面平行的判定与性质含解析
答案：平行
解决有关线面平行、面面平行的判定与性质的基本问题要注意：
(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件、如线面平行的条件中线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形、结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．
考点二 直线与平面平行的判定与性质(师生共研)
[命题角度1] 直线与平面平行的判定 [典
例
] (20xx·
全
国
Ⅰ卷
)如图、直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形、AA 1＝4、AB ＝2、
∠
BAD ＝60°、E 、M 、N 分别是BC 、BB 1、A 1D 的中点．
(1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求点C 到平面C 1DE 的距离． [解]
(1)连结B 1C 、ME .因为M 、E 分别为BB 1、BC 的中点、所以ME ∥B 1C 、且ME ＝1
2B 1C 、
又因为N 为A 1D 的中点、所以ND ＝1
2
A 1D .
由题设知A 1B 1
CD 、可得B 1C
A 1D 、故ME
ND 、因此四边形MNDE 为平行四
边形、MN ∥ED 、又MN ⊄平面C 1DE 、所以MN ∥平面C 1DE .
(2)过C 作C 1E 的垂线、垂足为H 、
由已知可得DE ⊥BC 、DE ⊥C 1C 、所以DE ⊥平面C 1CE 、故DE ⊥CH 、
1 2。
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线
对值，否则可能内切或内含。
• (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两 圆的公共弦所在×的直线方程。( )
• 解析 错误。只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直 线方程。
• (为y50解y)A过＝析，圆rB2。O正，：(确则。xO2＋由，)已yP2知＝，可rA2得，外OB一，四点P点，P共(Ax，0圆，B且y四0)点直作共线圆圆A的，B的两其方方条√ 程程切为是线xx，－0xx2切＋02点＋
解析 两圆心间的距离 d＝ 3＋12＋0－32＝5， 已知圆的半径为 3，故所求圆的半径 r＝5－3＝2， ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4。
• 5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2
2 55
＋(y＋1)2＝4截得5 的弦长为_______________。
解析 圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 的圆心为 C(2，－1)，半径 r＝2，圆心 C
解析 由题意知点在圆外，则 a2＋b2>1，圆心到直线的距离 d＝ a21＋b2<1，故直线与圆相交。
答案 B
3．直线 l：y＝kx＋1 与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则“k＝1”
是“△OAB 的面积为12”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3
38 <k<
3
3。
由题意知点(1,2)应在已知圆的外部，
把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0，
解析 k＝1 时，图像如图(1)，此时△OAB 的面积 S＝12×1×1＝12， 所以 k＝1 是△OAB 面积为12的充分条件；而当△OAB 面积为12时，直线 l 有 l1 或 l2 两种可能，如图(2)，k＝1 或 k＝－1。综上，可知选 A。
2020届艺术生高考数学二轮复习课件：第八章 平面解析几何 (全章复习课件)
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2．斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 α≠90°，则斜率 k＝ tan α . (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝yx22－ －yx11.
第八章
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3．直线方程的五种形式
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解：如图所示，kPA＝－21－－－ 0 1＝－1，kPB＝1－2－－01＝1，由图 可观察出：直线 l 倾斜角 α 的范围是0，π4∪34π，π.
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直线的斜率与倾斜角的区别与联系
直线 l 的斜率
直线 l 的倾斜角 α
区 直线 l 垂直于 x 轴时 l 的斜率不 直线 l 垂直于 x 轴时 l 的斜角是
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考点一 直线的倾斜角与斜率(子母变式) [母题] 直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的 线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 ____________ .
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[解析] 如图， ∵kAP＝12－ －01＝1, kBP＝ 03－－10＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
名称
方程
点斜式 斜截式
y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
两点式
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
截距式 一般式
ax＋by＝1 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
适用范围 不含直线 x＝x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x＝x1 (x1≠x2)和直线 y ＝y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的 直线 平面直角坐标系内的直线都适 用
新一线高考数学二轮专题复习艺术专用(课件+课后作业) 平面解析几何第八章 第4节
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2．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9 上到直线 3x＋4y－11＝0 的距离等于 1
的点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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解析：C [因为圆心到直线的距离为|9＋152－11|＝2，又因为圆 的半径为 3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离 为 1 的点有 3 个．]
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3．圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要条件是 ______ .
解析：法一：将直线方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝ 0，直线与圆没有公共点的充要条件是 Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得 k ∈(－ 3， 3)．
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2．圆的切线方程的两种求法 (1)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程 组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 Δ＝0 进而求得 k. (2)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离 公式表示出圆心到切线的距离 d，然后令 d＝r，进而求出 k.
)
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心，但与圆相交
D．相离
解析：B [依题意知圆心为(－1,0)，到直线 x－y＋1＝0 的距离
d＝ 12＋0－12＝0，所以直线过圆心．]
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2．[教材改编]若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，
高考数学一轮复习第8章平面解析几何重点强化课4直线与圆课件
直线 l 的方程4x＋3y＝1 可化为 3x＋4y－12＝0， 由题意可得|3m＋342＋m－4212|＝m，解得 m＝1 或 m＝6(不符合题意，舍去)． ∴△OAB 内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
∴过点 C(－2,2)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝ x2，整理得 y2＋4x－4y＋8＝0.
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
D＋3E＋F＋10＝0， 则4D＋2E＋F＋20＝0，
D－7E＋F＋50＝0，
D＝－2， 解得E＝4，
2mn·2nm＝9.
∴2m＋n 的最小值为 9.]
重点 2 圆的方程
(1)若圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称，
过点 C(－a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0
B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0
D．y2－2x－y－1＝0
(2)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )
A．2 6
B．8
C．4 6
D．10
(1)C (2)C [(1)由圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x －1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线 y＝x－1 上，故可得 a＝2，即点 C(－2,2)．
重点 1 直线方程与两直线的位置关系
(1)(2017·浙江台州模拟)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0 过定点
高中数学高考复习：第八章第4讲
第八章 平面解析几何
5．(2015·高考湖南卷)若直线 3x－4y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝ r2(r>0)相交于 A，B 两点，且∠AOB＝120°(O 为坐标原点)， 则 r＝___2_____． [ 解 析 ] 如 图 ， 过 点 O 作 OD⊥AB 于 点 D ， 则 |OD| ＝
为 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2，所以圆心到直线 x－y＋2a＝0
的距离为|－a＋2a|＝ 2
|a|
，所以
2
|a2| 2＋(
3)2＝(
a2＋2)2，解得
a2＝2，所以圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面积为 4π.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
解决直线与圆综合问题的常用结论 (1)圆与直线 l 相切的情形：圆心到 l 的距离等于半径，圆心 与切点的连线垂直于 l. (2)圆与直线 l 相交的情形：①圆心到 l 的距离小于半径，过 圆心且垂直于 l 的直线平分 l 被圆截得的弦； ②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦； ③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的 那条弦，最长的是过这点的直径．
圆 C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心 C2(2，1)，半径长 r2＝1.
所以 d＝ （－1－2）2＋（－1－1）2＝ 13，r1＋r2＝3，
所以 d＞r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆有 4 条公切线．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．(2017·郑州质检)若⊙O1：x2＋y2＝5 与⊙O2：(x＋m)2＋y2
则实数 a 的值为( D )
A．－1 或 3
B．1 或 3
C．－2 或 6
D．0 或 4
(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系讲义理
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知 识 梳 理1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：[微点提醒]1.关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形. 2.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )解析 (1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(必修2P132A5改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由x 2＋y 2－2x －4y ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r ＝ 5.又圆心(1，2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|9＋1＝102，由⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝10，即|AB |＝10. 答案103.(必修2P133A9改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线方程x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x－y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以，所求弦长为2 2. 答案 2 24.(2019·大连双基测试)已知直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，则m 值为( ) A.± 3B.±33C.±32D.±1解析 由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2，0)，半径r ＝2，又直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d ＝|2m |m 2＋1＝2，解得m ＝±1. 答案 D5.(2018·西安八校联考)若过点A (3，0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( ) A.(－3，3)B.[－3，3]C.(－33，33)D.⎣⎡⎦⎤－33，33 解析 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1，0)与直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33.答案 D6.(2019·北京海淀区模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A.21B.19C.9D.－11解析 圆C 1的圆心为C 1(0，0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3，4)，半径r 2＝25－m (m <25).从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9. 答案 C考点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)(2019·青岛测试)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－433)∪(433，＋∞)C.(－∞，－233)∪(233，＋∞)D.(－433，433)解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆O 相交. (2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0.由d ＝|0－0－2|1＋k2＝1，得k ＝± 3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为(－433，2)，(433，2).故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－433)∪(433，＋∞).答案 (1)B (2)B规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A.相离 B.相切C.相交D.以上都有可能解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件. (2)直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交. 答案 (1)A (2)C考点二 圆的切线、弦长问题 多维探究角度1 圆的弦长问题【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2.答案 2 2角度2 圆的切线问题【例2－2】 过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34B.y ＝－12C.y ＝－32D.y ＝－14解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.答案 B角度3 与弦长有关的最值和范围问题【例2－3】 (2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8] C.[2，32]D.[22，32]解析 圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32].根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2，0)，(0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]. 答案 A规律方法 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.2.过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证. 【训练2】 (1)已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线x －ay ＋1＝0平行，则a ＝________. (2)(2019·杭州测试)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.解析 (1)因为点P 在圆(x －1)2＋y 2＝5上，所以过点P (2，2)与圆(x －1)2＋y 2＝5相切的切线方程为(2－1)(x －1)＋2y ＝5，即x ＋2y －6＝0，由直线x ＋2y －6＝0与直线x －ay ＋1＝0平行，得－a ＝2，a ＝－2. (2)设P (3，1)，圆心C (2，2)，则|PC |＝2，半径r ＝2.由题意知最短的弦过P (3，1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－（2）2＝2 2. 答案 (1)－2 (2)2 2 考点三 圆与圆的位置关系【例3】 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.故两圆的公共弦的长为 2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到.【训练3】 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离(2)(2018·安阳模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－∞，14D.⎝⎛⎦⎤－∞，14 解析 (1)由题意得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)将圆C 1与圆C 2的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx ＋(k －2)y －4＝0，即k (x ＋y )－(2y ＋4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4＝0，x ＋y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 即P (2，－2)，因此2m ＋2n －2＝0，∴m ＋n ＝1，则mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴mn的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14. 答案 (1)B (2)D[思维升华]1.解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长l 2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝(l2)2＋d 2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形. [易错防范]1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， ∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12， ∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B2.(2018·佛山调研)已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝1，圆O 2的方程为(x ＋a )2＋y 2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( ) A.{1，－1，3，－3} B.{5，－5，3，－3} C.{1，－1}D.{3，－3}解析 由题意得两圆的圆心距d ＝|a |＝2＋1＝3或d ＝|a |＝2－1＝1，解得a ＝3或a ＝－3或a ＝1或a ＝－1，所以a 的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}. 答案 A3.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 C4.(2019·湖南十四校二联)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－ 6 B.5或－ 5 C. 6D. 5解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋（－2）2＝1，所以a ＝± 5.答案 B5.(2019·济南二模)直线l ：kx －y ＋k ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝8交于A ，B 两点，且|AB |＝42，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，是|MN |等于( ) A.2 2B.4C.4 2D.8解析 |AB |＝42为圆的直径， 所以直线AB 过圆心(0，0)，所以k ＝－1，则直线l 的方程为y ＝－x ， 所以两条垂线的斜率均为1，倾斜角45°， 结合图象易知|MN |＝2×2×22＝8. 答案 D二、填空题6.(2019·天津河西区一模)若A 为圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，B 为圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，则线段AB 长度的最大值是________.解析 圆C 1：x 2＋y 2＝1的圆心为C 1(0，0)，半径r 1＝1， 圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4的圆心为C 2(3，－4)，半径r 2＝2， ∴|C 1C 2|＝5.又A 为圆C 1上的动点，B 为圆C 2上的动点， ∴线段AB 长度的最大值是|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝5＋1＋2＝8. 答案 87.已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________________.解析 由题意知圆心C (－1，0)，其到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋1)2＋y 2＝28.已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴.过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________.解析 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， 则圆心C (2，1)满足直线方程x ＋ay －1＝0， 所以2＋a －1＝0，解得a ＝－1， 所以A 点坐标为(－4，－1). 从而|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36. 即|AB |＝6. 答案 6 三、解答题9.已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上. (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 解 (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C 点坐标为(1，－2)，半径r ＝|AC |＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，则直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A.3B.4C.2 3D.8解析 连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55， ∴在Rt △ACO 2中，|AC |＝|AO 2|·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，∴|AB |＝2|AC |＝4.答案 B12.(2018·合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A.3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B.3x ＋4y －12＝0或x ＝0C.4x －3y ＋9＝0或x ＝0D.3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C (1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C (1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2， ∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.答案 B13.(2019·上海崇明区模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0相交于A ，B 两点，且|AB →|＝15，则CA →·CB →＝________.解析 圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，AB ＝2AD ＝2AC ·cos ∠CAD ， ∴15＝2×5×cos ∠CAD ，∴∠CAD ＝30°，∴∠ACB ＝120°，则CA →·CB →＝5×5×cos 120°＝－52.答案 －5214.已知⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2.(1)求⊙H 的方程；(2)若存在过点P (a ，0)的直线与⊙H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围. 解 (1)设⊙H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r >0)，因为⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H (m ，n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)， 所以m ＝2，n ＝1.又⊙H 截x 轴所得线段的长为2，所以r 2＝12＋n 2＝2.所以⊙H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.(2)设N (x 0，y 0)，由题意易知点M 是PN 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2，y 02.因为M ，N 两点均在⊙H 上，所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2，①⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2－22＋⎝⎛⎭⎫y 02－12＝2， 即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8，②设⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8，由①②知⊙H 与⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8有公共点，从而22－2≤|HI |≤22＋2， 即2≤（a －2）2＋（1－2）2≤32，整理可得2≤a2－4a＋5≤18，解得2－17≤a≤1或3≤a≤2＋17，所以实数a的取值范围是[2－17，1]∪[3，2＋17].新高考创新预测15.(思维创新)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y ＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________.解析C2关于直线x－y＝0的对称圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，由题意，圆C与圆C1有交点，所以r－1≤2≤r＋1，所以r的范围是[2－1，2＋1].答案[2－1，2＋1]。
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第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2
＋y 2
＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离
D ．不确定
解析：B [由题意知点M 在圆外，则a 2
＋b 2
>1，圆心到直线的距离d ＝1
a 2＋
b 2
<1，故直
线与圆相交．]
2．(2020·烟台一模)若一个圆的圆心为抛物线y ＝－14x 2
的焦点，且此圆与直线3x ＋4y
－1＝0相切，则该圆的方程是( )
A ．x 2
＋(y －1)2
＝1 B ．(x ＋1)2
＋y 2
＝1 C ．(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝1 D ．x 2
＋(y ＋1)2
＝1
解析：D [抛物线y ＝－14x 2，即x 2
＝－4y ，其焦点为(0，－1)，即圆心为(0，－1)，圆
心到直线3x ＋4y －1＝0的距离d ＝|－5|32
＋4
2
＝1，即r ＝1，故该圆的方程是x 2＋(y ＋1)2
＝1，
选D.]
3．圆x 2
＋y 2
＋4x ＝0与圆x 2
＋y 2
－8y ＝0的公共弦长为( ) A.25
5 B.45
5 C.85
5
D.
165
5
解析：C [解法一 联立得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＋4x ＝0，
x 2＋y 2
－8y ＝0，
得x ＋2y ＝0，将x ＋2y ＝0代入x 2
＋y
2
＋4x ＝0，得5y 2
－8y ＝0，解得y 1＝0，y 2＝85，故两圆的交点坐标是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，85，则
所求弦长为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－1652＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫852＝855，故选C.
解法二 联立得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＋4x ＝0，
x 2＋y 2
－8y ＝0，得x ＋2y ＝0，将x 2＋y 2
＋4x ＝0化为标准方程得(x
＋2)2＋y 2
＝4，圆心为(－2,0)，半径为2，圆心(－2,0)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|－2|5
＝
25
5
，则所求弦长为222
－⎝
⎛⎭
⎪⎫2552＝85
5，选C.] 4．(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2
＋y 2
＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )
A ．[2,6]
B ．[4,8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
解析：A [设圆(x －2)2
＋y 2
＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得AB ＝22，所以△ABP 面积的最大值为
12
AB ·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为1
2
AB ·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．]
5．已知圆C ：(x －1)2
＋(y －4)2
＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( )
A ．[－2,6]
B ．[－3,5]
C ．[2,6]
D ．[3,5]
解析：C [本题考查直线与圆的位置关系．由题意，知满足条件的t 的值在直线x ＝5的两个点的纵坐标之间取值，过此两个点与圆相切的两条直线互相垂直．设过点(5，t )的直线方程为y －t ＝k (x －5)，由相切条件，得|k －4＋t －5k |k 2
＋1＝10，整理，得6k 2
＋8(4－t )k ＋(t －4)2
－10＝0，由题意知此方程的两根满足k 1k 2＝－1，所以(t －4)2
－10
6
＝－1，解得t
＝2或t ＝6，所以2≤t ≤6，故选C.]
6．(2020·广东六校联考)已知集合M ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2
＋y 2
＝2}，N ＝{(x ，
y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝2}，则M ∩N 的元素个数为 ________ .
解析：由题意得圆x 2＋y 2
＝2的圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离为d ＝|－2|2＝2，故
直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以M ∩N 的元素个数为1.
答案：1
7．若圆x 2
＋y 2
＝4与圆x 2
＋y 2
＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝ ________ .
解析：两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y ＝1
a
，如图，由已知得|AC |＝3，
|OA |＝2，
∴|OC |＝1
a
＝1，∴a ＝1.
答案：1
8．已知直线l ∶x －3y ＋6＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝ __________ .
解析：法一：由圆x 2
＋y 2
＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3.∴圆心(0,0)到直线x －3
y ＋6＝0的
距离d ＝
61＋3
＝3，|AB |＝
212－32
＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E . 如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝
3
3
，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝23
3
2
＝4.
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧
x －3y ＋6＝0，
x 2＋y 2
＝12，
得y 2
－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为
y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，
得x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4. 答案：4
9．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2
＝|a －2a －1|2.
化简，得a 2
－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C 点坐标为(1，－2)，
半径r ＝|AC |＝(1－2)2
＋(－2＋1)2
＝ 2. 故圆C 的方程为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝2.
(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得
|k ＋2|
1＋k
2
＝1，解得k ＝－3
4， 则直线l 的方程为y ＝－3
4
x .
综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.
10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)易知圆心坐标为(2,3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|
1＋k
2
<1. 解得4－73<k <4＋73.
所以k 的取值范围为⎝
⎛⎭
⎪⎫
4－73
，
4＋
73.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2
＝1，整理得 (1＋k 2
)x 2
－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝7
1＋k 2.
OM →
·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2
＝(1＋k 2
)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.
由题设可得4k (1＋k )
1＋k 2＋8＝12，
解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。