2019最新高中数学 专题强化训练1 计数原理 新人教A版选修2-3

专题强化训练(一) 计数原理(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图1­1所示，电路中有4个电阻和一个电流表，若没有电流通过电流表，其原因仅因电阻断路的可能性共有( )图1­1A ．9种B ．10种C ．11种D ．12种C [分两类：第1类，R 1断路时，若R 4断路，R 2，R 3有4种可能，若R 4不断路，则R 2，R 3至少有一个断路，有3种可能，故R 1断路时有7种可能．第2类，R 1不断路时，R 4必断路，此时，R 2，R 3共有4种可能，则共有4＋7＝11种可能．] 2．若C 3n ＝C 4n ，则n ！3！n －！的值为( )【导学号：95032100】A ．1B ．20C ．35D ．7C [若C 3n ＝C 4n ，则有n ＝3＋4＝7.故n ！3！n －！＝7！3！4！＝7×6×53×2×1＝35.] 3．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种D [利用分类加法计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有C 12×C 24＝12种，第二类，当甲和另一个一起时，有C 12·C 14·C 23·A 22＝48种，所以共有12＋48＝60种．]4．A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )【导学号：95032101】A ．60种B ．48种C ．30种D ．24种B [由题意知，不同的座次有A 22A 44＝48种，故选B.]5．如图1­2，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图1­2A ．24B ．18C ．12D ．9B [从E 到G 需要分两步完成：先从E 到F ，再从F 到G .从F 到G 的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F 到G 的最短路径共有3条．如图，从E 到F 的最短路径有两类：先从E 到A ，再从A 到F ，或先从E 到B ，再从B 到F .因为从A 到F 或从B 到F 都与从F 到G 的路径形状相同，所以从A 到F ，从B 到F 最短路径的条数都是3，所以从E 到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]二、填空题6.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) －56 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 8x 16－3r，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.]7．设(3x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 6＋a 4＋a 2＋a 0的值为________.【导学号：95032102】2080 [令x ＝1，得a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝26＝64. 令x ＝－1，得a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)6＝4 096. 两式相加得2(a 6＋a 4＋a 2＋a 0)＝4 160， 所以a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝2 080.]8．四面体的一个顶点为A ，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A 在同一平面上，有________种不同的取法？33 [如图所示，含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有3C 35种取法，含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3C 35＋3＝33种．]三、解答题9．由－1,0,1,2,3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数.【导学号：95032103】(1)开口向下的抛物线有几条？(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条？(3)与x 轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？[解] (1)a ＜0，a 只能取－1，b ，c 有A 24种选法，共有A 24＝12(条)． (2)a ＞0且c ≠0，共有C 13C 13C 13＝27(条)．(3)ac ＜0，当a ＞0，c ＜0时，a ，b ，c 分别有C 13，C 13，C 11种选法；当a ＜0，c ＞0时，a ，b ，c 有C 11，C 13，C 13种选法，共有C 13C 13C 11＋C 13C 13C 11＝18(条)．10．已知A 4n ＝40C 5n ，设f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x n. (1)求n 的值．(2)f (x )的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可)．(3)求f (x )的展开式中系数最大的项和系数最小的项(回答第几项即可)． [解] (1)由已知A4n＝40C5n，可得n (n －1)(n －2)(n －3)＝40·n n －n －n －n －5×4×3×2×1，求得n ＝7.(2)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·(－1)r ·x7－4r3，令7－4r 3为整数，可得r ＝0,3,6，故第1项、第4项、第7项为有理项．(3)由于f (x )的展开式中第r ＋1项的系数为C r7·(－1)r，故当r ＝4时，即第5项的系数最大；当r ＝3时，即第4项的系数最小．[能力提升练]一、选择题1．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )【导学号：95032104】A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种C [5名同学可分为2,2,1和3,1,1两种方式：当5名学生分成2,2,1时，共有12C 25C 23A 33＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C 35A 33＝60种方法．由分类加法计数原理，共有90＋60＝150种不同保送方法．] 2．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60C [法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：(x 2＋x ＋y )5为5个(x 2＋x ＋y )之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.]二、填空题3．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.【导学号：95032105】3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5. ① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.]4．10件产品中有2件次品，8件合格品，从中任意取4件，至少有1件是次品的抽法有________种．140 [法一(直接法)：抽取的4件产品至少有1件次品分为有1件次品、2件次品2种情况，有1件次品的抽法有C 12C 38种；有2件次品的抽法有C 22C 28种．根据分类加法计数原理至少有1件次品的抽法共有C 12C 38＋C 22C 28＝140种．法二(间接法)：从10件产品中任意抽取4件，有C 410种抽法，其中没有次品的抽法有C 48种，因此至少有1件次品的抽法有C 410－C 48＝210－70＝140种．]三、解答题5．由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…直到末项(第120项)是54 321.问：(1)43 251是第几项？(2)第93项是怎样的一个五位数？【导学号：95032106】[解](1)由题意知，共有五位数个数为A55＝120，比43 251大的数有下列几类：①万位数是5的有A44＝24个数；②万位数是4，千位数是5的有A33＝6个数；③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A22＝2个数；所以比43 251大的共有A44＋A33＋A22＝32个数，所以43 251是第120－32＝88项．(2)从(1)知万位数是5的有A44＝24个数，万位数是4，千位数是5的有A33＝6个数，但比第93项大的数有120－93＝27个，第93项即倒数第28项，而万位数是4，千位数是5的6个数是45 321、45 312、45 231、45 213、45 132、45 123，从此可见第93项是45 213.。