1同底数幂的乘法、幂的乘方
第1讲 同底数幂的乘法及幂的乘方!
第一讲 同底数幂的乘法及幂的乘方模块一 同底数幂的乘法法则考点1：同底数幂的乘法公式的顺用 【例1】计算：（1)35x x -=______ ; (2) 231mm b b +⋅=________; (3)()()7633-⨯-=_______.(4)()()()22223+∙+∙+b b b =_________; （5）()()37a b a b -⋅-=__________. ◎变式提升训练◎ 1、计算些列各式： （1）234aa a a （2） ()8382322⨯⨯⨯-（3）32()()()mm x y x y x y +⋅+⋅+ （4）12343m m m m m x x x x x x +-+⋅-⋅-⋅2、下列计算是否正确？错误的指出错误的原因，并加以改正．⑴339a a a ⋅=；⑵4482a a a ⋅=；⑶336x x x +=；⑷22y y y ⋅=；⑸34x x x ⋅=；⑹236x x x ⋅=考点2：同底数幂的乘法公式变形应用()()b a a b -=-- ()()22b a a b -=- ()()33b a a b -=--()()44b a a b -=-★小结：()21n b a +-=________； ()2nb a -=_______ ；在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：()()()nn a n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数为奇数；()()()nn b a n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数为奇数1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即nm nmaa a +=⋅ (m ，n 都是正整数)．2、法则推广： 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质． 如：p n m p n ma a a a++=⋅⋅ (m ，n ，p 都是正整数)．★ 注意：a 可以表示任意有理数，也可表示代数式。
m n m a a a +=⋅n m p n m a a a a ++=⋅⋅【例2】计算:（1）()()48x x x ---（2）()()()21221222n nn x y y x x y +----（3）3242().().()().()a a a a a ---+-- （4）()()()37x y y x y x ---◎变式提升训练◎：324(1)()()x x x -⋅-⋅- 234(2)()()()m n n m n m ---考点3：同底数幂的乘法公式的逆用2+3110,10,;(2)10m n m n m n a b +++==【例3】已知求下列各式的值（用含a ，b 的代数式表示）。
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例1 计算 （1）82004×0.1252004； （2）（－8）2005×0.1252004．
随堂练习
0.2520×240-32003·( )2002＋
类型四积的乘方在生活中的应用
例1地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V＝ πr3。地球的半径约为 千米，它的体积大约是多少立方千米？
知识点一
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘
am·an=(m、n都是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，用公式表示为
am·an·ap= am+n+p（m、n、p都是正整数）
知识点精讲
1．同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字．
2．解题时要注意a的指数是1．
3．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆．
4．-a2的底数a，不是-a．计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a4．
5．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算
4、拓展：
（1）已知n为正整数，且x2n＝4．求（3x3n）2－13（x2）2n的值．
（2）已知xn＝5，yn＝3，求（xy）2n的值
（3）若m为正整数，且x2m＝3，求（3x3m）2－13（x2）2m的值．
知识点四
同底数幂相除， 底数，指数．
即：am÷an=（ ，m，n都是正整数，并且m>n）
规定：a0=1（a≠0）即：任何非0的数的0次幂都等于1
典型例题讲解
例一、填一填
⒈ =；
⒉ =；
⒊ ；
幂的运算(知识总结)
幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。
用式子表示为：nm nma a a -=÷。
(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。
) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。
三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。
用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。
幂的运算法则公式
幂的运算法则公式
幂运算法则公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m×a n=a（m+n）；同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n=a（m-n）。
（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a m×a n=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m÷a n=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（3）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a m)n=a(mn)，(m,n都为正整数)
（4）积的乘方：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n=a n b n，（n为正整数）
（5）分式的乘方：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果
(a/b)n=(a n)/(b n)，（n为正整数）
（6）零指数：
a0=1 (a≠0)
（7）负整数指数幂
a-p=1/a p(a≠0, p是正整数）
（8）负实数指数幂
a(-p)=1/(a)p或（1/a）p(a≠0，p为正实数）（9）正整数指数幂
①a m a n=a m+n
②（a m）n=a mn
③a m/a n=a m-n(m大于n,a≠0)
④(ab)n=a n b n。
同底数幂的乘法乘方公式
同底数幂的乘法公式是：$a^m \times a^n = a^{m+n}$，其中$a$ 是底数，$m$ 和$n$ 是指数。
这个公式告诉我们，当底数相同时，幂的乘法可以通过将指数相加来得到结果。
同底数幂的乘方公式是：$(a^m)^n = a^{m \times n}$，其中$a$ 是底数，$m$ 和$n$ 是指数。
这个公式告诉我们，幂的乘方可以通过将指数相乘来得到结果。
这两个公式在解决涉及同底数幂的运算问题时非常有用。
例如，如果我们想计算$2^3 \times 2^4$，我们可以使用同底数幂的乘法公式将其简化为$2^{3+4} = 2^7$。
同样地，如果我们想计算$(3^2)^3$，我们可以使用同底数幂的乘方公式将其简化为$3^{2 \times 3} = 3^6$。
第1讲 幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。
同底数幂和幂的乘方的区别-概述说明以及解释
同底数幂和幂的乘方的区别-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以简要介绍本文的主题和内容。
以下是一个示例：概述本篇文章旨在探讨同底数幂和幂的乘方之间的区别。
在学习数学的过程中，我们经常会遇到底数相同但指数不同的幂以及幂的乘方的表达式。
虽然它们看起来很相似，但实际上它们之间存在着一些重要的区别。
通过深入研究同底数幂和幂的乘方的特点和性质，我们将能够更好地理解它们的区别和联系。
在本文的正文部分，我们将首先介绍同底数幂的概念和特点。
我们将讨论底数相同但指数不同的幂的数学定义以及常见的运算规则。
这将帮助我们建立对同底数幂的理解和认识。
接下来，我们将介绍幂的乘方的概念和特点。
幂的乘方是指将一个幂作为指数来表示另一个幂的运算。
我们将深入探讨幂的乘方的定义和运算规则，并与同底数幂进行比较，以突出它们之间的差异。
最后，我们将重点讨论同底数幂和幂的乘方之间的区别。
通过对比它们的数学表达式、特点和应用领域等方面的差异，我们将能够清晰地理解它们之间的本质区别。
这将为我们在数学学习和问题解决中提供重要的指导和启示。
总之，本文将通过对同底数幂和幂的乘方的概念和特点的阐述和比较，帮助读者深入理解它们之间的区别和联系。
同时，我们也将展望未来的研究方向，并探讨这些概念在数学学习中的重要性和应用前景。
希望本文能够引起读者的兴趣，并为他们在数学领域的学习和研究提供有益的参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将以论述同底数幂和幂的乘方的区别为主要目的，文章结构分为以下几个部分：1. 引言：介绍同底数幂和幂的乘方的概念和背景，并说明本文的目的和重要性。
2. 正文：2.1 同底数幂的概念和特点：详细讲解同底数幂的定义、性质和运算规律，例如同底数幂的指数相加、乘法交换律等。
2.2 幂的乘方的概念和特点：介绍幂的乘方的概念和基本性质，例如幂的指数相乘、乘方的性质等。
2.3 同底数幂和幂的乘方的区别：深入分析同底数幂和幂的乘方的区别，探讨它们在运算规律、数值大小上的差异，并提供具体的例子进行说明。
整式的乘除知识点整理
一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。
学好幂的运算 应注意
学好幂的运算应注意同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法是整式乘除运算的基础，也是进行整式乘除运算的依据，学好幂的有关运算十分的重要。
一、同底数幂的乘法数学表达式：a m·a n=a m+n（m、n都是正整数）。
文字语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：1.对于三个或三个以上的同底数幂相乘,也具有底数不变,指数相加.即a m·a n·a p=a m+n+p(m、n、p都是正整数)。
2.同底数幂的乘法运算中的“同底数”，不仅可以是数，也可以是代数式。
3.注意分清底数和指数.把同底数幂的乘法与合并同类项区别开来.二、幂的乘方数学表达式: (a m)n=a mn(m、n都是正整数)。
文字语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
注意：1.[(a m)n]p=a mnp(m、n、p都是正整数)仍成立。
2.幂的乘方中的底数“a”可以是数，也可以是代数式。
3.注意幂的乘方和同底数幂的乘法的区别.三、积的乘方数学表达式: (ab)n=a n b n(n是正整数)文字语言叙述:积的乘方.等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.注意:1.三个或三个以上的积的乘方,也具有这一特性.即(abc)n=a n b n c n(n是正整数).2.这里的a、b可以是具体的数,也可以是代数式.3.应抓住“每个因式分别乘方”这一要点.四、同底数幂的除法数学表达式: a m÷a n=a m-n(a≠0,m,n是正整数,且m>n).文字语言叙述:同底数相除,底数不变,指数相减.注意:1.表达式中的a是一个不为0的数.2.表达式中的a可以是具体的数,也可以是代数式.3.在计算时,注意法则的正确使用.。
同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方
幂的运算一1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数)同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。
学习这个法则时应注意以下几个问题：（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。
（5）不要与整式加法相混淆。
乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1=(- )1+2+3②底数为- ，不变。
=(- )6③指数相加1+2+3=6= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行计算。
(完整版)《同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方》专项练习
同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方专项练习一、同底数幂的乘法:n m a a a n m n m ,(+=⋅是正整数)1。
公式及其推广：m n p m n p a a a a ++=p n m ,,(是正整数)2．公式顺用：例1、计算（1） 21n n n a a a ++ (2）232)()(x x x -⋅⋅- (3)432111()()()101010-- （4）34(2)(2)(2)x y x y y x --- (5)2132()()()n n a a a ++---练习(1）若,1032x x x m m =-则整式=+-1322m m （2）若,1282)8(22-=⋅-⋅+n n 则=n(3）n 为正整数=-+-+n n 212)2(2)2(,3。
公式的逆用例2。
若,64412=+a 解关于x 的方程)1(532-=+x x a 二、幂的乘方:p n m a a a p n m mn n m ,,(])[(,)(=是正整数)1．公式的应用例3．计算:(1)34()x - （2）34[()]x -练习:计算下列各题253(1)()x x - 2844(2)()()x x 2332222(3)()()(2)y y y y +-2．公式的逆用例4．（1)已知,3,2==n n y x 求n n y x )()(23的值；（2)已知,310,210==b a 求b a 3210+的值；(3）若,0352=-+y x 求y x 324⋅的值； (4）若,)()(963131y x y x n m =⋅+-求n m +的值．三、积的乘方:n c b a abc b a ab n n n n n n n ()(,)(==是正整数)1.公式的顺用例5．计算：（1）52)(b x - 322(2)(2)()ab ab 23(3)3()x x --练习：计算2233(1)()()(5)ab a b ab -- 122(2)()()n n n c d c d -2。
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例１计算
⑴(5４)３⑵－(a2)３⑶⑷［(a+b)2］４
随堂练习
(1)(ａ4)3+ｍ; (2)[(－)3］2;⑶[－(ａ+b)4］3
类型二幂得乘方公式得逆用
例1已知ａｘ＝2,ａy=3,求a2x＋y;ax+3y
随堂练习
(１)已知ax=２,ay＝3,求ax＋3y
(2)如果,求x得值
随堂练习
3。积得乘方得推广(abc)ｎ=(n就是正整数).
例题精讲
类型一积得乘方得计算
例１计算
(1)(2b２)５;(2)(-4xｙ２)２(3)-(-ab)2(4)［－2(a—b)3]5.
随堂练习
(１)(2)(3)(-xy2)2(4)［－3(n－m)2］3、
类型二幂得乘方、积得乘方、同底数幂相乘、整式得加减混合运算
(2)[—(－x)5］2·(—x2)3=____＿_＿_;(ｘm)３·(—x3)2=＿______＿。
(３)(—ａ)３·(ａn)５·(ａ1—n)5=_＿___＿__;-(ｘ－y)2·(y—x)３＝_＿＿_____.
(4)x12=(x3)(__＿____)=(x６)(____＿＿_)、
(5)x2ｍ(ｍ+1)＝()m+１。若x2m=3,则ｘ6m＝____＿___、
２、解题时要注意ａ得指数就是１.
3、解题时,就是什么运算就应用什么法则.同底数幂相乘,就应用同底数幂得乘法法则;整式加减就要合并同类项,不能混淆.
４、-a2得底数a,不就是—ａ.计算—a2·ａ2得结果就是—(a２·a2)＝—a４,而不就是(—a)2+2=a4。
5.若底数就是多项式时,要把底数瞧成一个整体进行计算
2、若(x２)n=x8,则m=_＿＿＿________＿。
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方篇一：同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方练习同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方1、同底数幂的乘法法则：a·amnmnmn?am?n（m，n都是正整数）.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：①底数a可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式、相反数。
②逆用am?n?am?an mnmnnm2、幂的乘方法则：(a)?a （m，n都是正整数）。
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
逆用：a?(a)?(a)3. 积的乘方法则：(ab)?a·b（n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
逆用：ambm?(ab)m nnn 练习：1.10m?1?10n?1=_____,?64?(?6)5，32m·3m=_______，23·(－2)4=_____，x·(－x)4·x7=_____，1 000×10m-3=_______，xx?xx=______，(x?y)(x?y)=______，10?100?10?100?100?100?10000?10?10=___________. 2342532. (－23xy)=_________；a·(a)·a=_________.32322343. 若?2ambm?n??8a9b15成立，则m=,n=4. ①若am?a3a4,则②若x4xa?x16,则③若xx2x3x4x5?xy,则④若ax(?a)2?a5,则⑤若64×8＝2，则x＝_________.5. ①若x＝4，则x＝________;②a＝(_________)＝(________);③若2x?1?16,则x=________; ④若x=2，y=3，则(xy)=_______;⑤若x·x2 43x2nn6n1263 n3nn-3n+3=x，则n=_________.10.?10cm，则它的表面积是_________. 6. 一个正方体的边长是117.下面计算正确的是( )A．b3b2?b6；B．x3?x3?x6；C．a4?a2?a6；D．mm5?m68.81×27可记为( )A.93;B.37;C.36;D.31222339.若x?y,则下面多项式不成立的是() A(y?x)?(x?y);B.(y?x)??(x?y)C.(?y?x)?(x?y);D.(x?y)?x?y10.下列说法中正确的是( )A. ?a和(?a) 一定是互为相反数B. 当n 为奇数时, ?a和(?a)相等C. 当n为偶数时, ?a和(?a)相等D. ?a和(?a)一定不相等计算11、⑴(⑹－(a3-m)2⑺ (－2x5y4z) 5⑻ 0.12516×(－8)17⑼ (513110)?(622222nnnnnnnn110)⑵a?a?a⑶?a?(?a)⑷(?x)?x?(?x)⑸y874333 24m?1?y?y23?m（m是正整数）)199×(－235)199 ⑽0.299×5101⑾(?2)1999?(?2)200012、⑴(2x?3y)5?(2x?3y)2⑵(a?b)2?(b?a)3 ⑶(a?b)2n?(a?b)n?(a?b)2（n是正整数）.⑷(x?y)2?(x?y)3?(y?x)2?(y?x)3⑸（-2a2b）3+8（a2）2·（-a）2·（-b）3；⑹(?x)2?(?x)3?2x?(?x)4?(?x)?x4⑺x?xm?1?x2?xm?2?3?x3?xm?313、⑴已知am?8，an?32，求a⑶xn=5,yn=3,求(x2y)2n的值。
第1讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方(解析版)
第1讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方【知识点拨】考点1：同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.考点2：幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 考点3：积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点4：注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【考点精讲】考点1：同底数幂的乘法【例1】（2021秋•西湖区校级月考）下列四个算式：①a6•a6＝a6；②m3+m2＝m5；③x2•x•x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中计算正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①a6•a6＝a6，底数不变指数相加，故①错误；②m3+m2＝m5，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故②错误；③x2•x•x8＝x11，底数不变指数相加，故③错误；④y2+y2＝y4，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故④错误；故选：A．【例2】（2021春•青羊区期末）已知a m＝4，a n＝5，则a m+n的值是20．【解答】解：a m+n＝a m•a n＝4×5＝20，故答案为：20．【变式训练1】（2021秋•邓州市期中）若a x＝3，a y＝2，则a2x+y等于（）A．6 B．7 C．8 D．18【解答】解：∵a x＝3，a y＝2，∴a2x+y＝（a x）2×a y＝32×2＝18．故选：D．【变式训练2】（2021秋•松江区校级月考）已知10a＝3，10β＝5，10γ＝7，试把105写成底数是10的幂的形式10α+β+γ．【解答】解：105＝3×5×7，而3＝10a，5＝10β，7＝10γ，∴105＝10γ•10β•10α＝10α+β+γ；故应填10α+β+γ．【变式训练3】（2021春•建平县期末）若23n+1•22n﹣1＝，则n＝﹣1．【解答】解：23n+1•22n﹣1＝，25n＝2﹣5，则5n＝﹣5，故n＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式训练4】（2021秋•浦东新区月考）已知x a+b•x2b﹣a＝x9，求（﹣3）b+（﹣3）3．【解答】解：∵x a+b•x2b﹣a＝x9，∴a+b+2b﹣a＝9，解得：b＝3，（﹣3）b+（﹣3）3＝（﹣3）3+（﹣3）3＝﹣27﹣27＝﹣54．【变式训练5】已知a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值7．【解答】解：∵a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），∴a3+m+2m+1＝a25，∴3+m+2m+1＝25，解得m＝7，故填7．【变式训练6】（2021秋•南安市期中）已知两个单项式a m+2n b与﹣2a4b k是同类项，求2m•4n•8k的值．【解答】解：∵由已知可得：，∴2m•4n•8k＝2m•22n•8k＝2m+2n•8k＝24×8＝128．【变式训练7】（2021春•丹阳市校级月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m ＝n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：①2×8x＝27；②2x+2+2x+1＝24．【解答】解：①原方程可化为，2×23x＝27，∴23x+1＝27，3x+1＝7，解得x＝2；②原方程可化为，2×2x+1+2x+1＝24，∴2x+1（2+1）＝24，∴2x+1＝8，∴x+1＝3，解得x＝2．考点2：幂的乘方与积的乘方【例1】（2021秋•松江区期末）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝3a2B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．（ab2）3＝a3b5D．（a）2＝a2【解答】解：A、（3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；C、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a）2＝a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【例2】（2021秋•松北区期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2C．（a3）4＝a7D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：∵3a2﹣a2＝2a2，∴选项A不符合题意；∵（3a）2 ＝9a2 ，∴选项B符合题意；∵（a3）4＝a12，∴选项C不符合题意；∵a2+b2≠（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项D不符合题意．故选：B．【变式训练1】（2021秋•原州区期末）若x m＝3，x n＝2，则x2m+3n＝72•【解答】解：∵x m＝3，x n＝2，∴x2m+3n＝（x m）2×（x n）3＝32×23＝72．故答案为：72．【变式训练2】（2021春•东台市期中）314×（﹣）7＝﹣1．【解答】解：314×（﹣）7＝（32）7×（﹣）7＝（﹣×9）7＝（﹣1）7＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式训练3】（2021春•邗江区期中）x3•（x n）5＝x13，则n＝2．【解答】解：∵x3•（x n）5＝x13，∴3+5n＝13，解得：n＝2．故答案为：2．【变式训练4】（2021秋•路北区期中）比较3555，4444，5333的大小．【解答】解：∵3555＝35×111＝（35）111＝243111，4444＝44×111＝（44）111＝256111，5333＝53×111＝（53）111＝125111，又∵256＞243＞125，∴256111＞243111＞125111，即4444＞3555＞5333．【变式训练5】（2021春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a2＝2，b3＝3，∴a6＝8，b6＝9，∵8＜9，∴a6＜b6，∴a＜b；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．【变式训练6】（2021秋•静安区月考）35×84×．【解答】解：原式＝﹣35×212×＝﹣．【课后巩固】一．选择题1．（2021春•锦江区期末）如果x m＝2，x n＝，那么x m+n的值为（）A．2 B．8 C．D．2【解答】解：如果x m＝2，x n＝，那么x m+n＝x m×x n＝2×＝．故选：C．2．（2021•成都模拟）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、x3•x2＝x5，原计算正确，故此选项符合题意；C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．3．（2021春•西湖区校级月考）已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；②当2x•2y＝16时，a＝18；③当不存在一个实数a，使得x＝y．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（①②③）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；解得：∵x，y的值互为相反数，∴x+y＝0∴25﹣a+15﹣a＝0解得：a＝20故①正确；②当2x•2y＝16时，a＝18；∵2x•2y＝2 x+y＝24∴x+y＝25﹣a+15﹣a＝4解得：a＝18故②正确；③当不存在一个实数a，使得x＝y．若x＝y，得25﹣a＝15﹣a此方程无解．∴不存在一个实数a，使得x＝y．故③正确．故选：D．4．（2021秋•海珠区校级期中）下列各项中，两个幂是同底数幂的是（）A．x2与a2B．（﹣a）5与a3C．（x﹣y）2与（y﹣x）2D．﹣x2与x2【解答】解：对于A：x2的底数是x，a2的底数是a；对于B：（﹣a）5的底数是﹣a，a3的底数是a；对于C：（x﹣y）2的底数是（x﹣y），（y﹣x）2的底数是（y﹣x）；对于D：﹣x2的底数是x，x2的底数也是x．故选：D．5．（2021秋•松江区期末）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝3a2B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．（ab2）3＝a3b5D．（a）2＝a2【解答】解：A、（3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；C、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a）2＝a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．6．（2021秋•松北区期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2C．（a3）4＝a7D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：∵3a2﹣a2＝2a2，∴选项A不符合题意；∵（3a）2 ＝9a2 ，∴选项B符合题意；∵（a3）4＝a12，∴选项C不符合题意；∵a2+b2≠（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项D不符合题意．故选：B．7．（2021秋•辛集市期末）下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10故②的答案不正确；③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；④25+25＝2×25＝26．所以正确的个数是1，故选：B．8．（2021秋•泉港区期中）若a＝（99×99×99）9，b＝999，则下列结论正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．ab＝1【解答】解：∵a＝（99×99×99）9，b＝999，两个数均大于1∴D选项：ab＝1错误；∵＝＝＝＝•∵1＜＜227＜945∴0＜•＜1∴0＜＜1∴a＜b∴选项B，C不正确．故选：A．二．填空题9．（2021秋•洮北区期末）如果10m＝12，10n＝3，那么10m+n＝36．【解答】解：10m+n＝10m•10n＝12×3＝36．故答案为：36．10．（2021秋•岳麓区校级期中）已知a m＝3，a n＝5，则a m+n的值为15．【解答】解：∵a m×a n＝a m+n，∴a m+n＝a m×a n＝3×5＝15．故答案为：15．11．（2021春•顺德区校级期末）计算：﹣b3•b2＝﹣b5．【解答】解：原式＝﹣b3+2＝﹣b5，故答案为：﹣b512．（2021•博兴县模拟）若x m＝2，x n＝3，则x m+2n的值为18．【解答】解：∵x m＝2，x n＝3，∴x m+2n＝x m x2n＝x m（x n）2＝2×32＝2×9＝18；故答案为：18．13．（2021秋•丛台区校级期末）用科学记数法表示（2.5）8（0.4）10＝ 1.6×10﹣1．【解答】解：（2.5）8（0.4）10＝＝＝＝18×0.16＝1.6×10﹣1．故答案为：1.6×10﹣1．14．（2021秋•延边州期末）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，则m＝．【解答】解：由于（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，根据新规定的运算可得，3a＝5，3b＝6，m＝32a﹣b，∴m＝32a﹣b＝＝＝，故答案为：．15．（2021秋•浦东新区校级月考）若a n＝2，a m＝5，则a m+n＝10．若2m＝3，23n＝5，则8m+2n＝675．【解答】解：∵a n＝2，a m＝5，∴a m+n＝a m•a n＝5×2＝10；∵2m＝3，23n＝5，∴8m+2n＝（23）m+2n＝23m+6n＝23m×26n＝（2m）3×（23n）2＝33×52＝27×25＝675．故答案为：10；675．16．（2021春•薛城区期末）若3×9m＝311，则m的值为5．【解答】解：已知等式整理得：3×32m＝32m+1＝311，可得2m+1＝11，解得：m＝5，故答案为：5三．解答题17．（2021春•镇江期末）已知关于x、y的方程组．（1）求代数式2x+y的值；（2）若x＜3，y≤﹣2，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若满足x y＝1，则符合条件的k的值为1或3．【解答】解：（1）∵，∴①+②得：3x＝3k﹣6，∴x＝k﹣2，将x＝k﹣2代入②得：y＝﹣k﹣1，∴x+y＝k﹣2﹣k﹣1＝﹣3，∴2x+y＝2﹣3＝．（2）由（1）可知：，解得：1≤k＜5．（3）由于x＜3，y≤﹣2，x y＝1，当x＝1时，此时k＝3，y＝﹣4，满足x y＝1，当x＝﹣1时，此时k＝1，y＝﹣2，满足x y＝1，所以k＝3或1，故答案为：3或1．18．（2021秋•虹口区校级月考）我们规定2×2＝22，2×2×2＝23，可得22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝55；（2）a3•a4═a7；（3）计算：a m•a n；（4）若x m＝4，x n＝5，则求x m+n的值．【解答】解：（1）（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝55；故答案为：5；（2）a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝a7；故答案为：7；（3）a m•a n＝a m+n；（4）x m+n＝x m•x n＝4×5＝20．19．（2021春•张家港市校级月考）若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值．【解答】解：（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）＝a m+1×a2n﹣1×b n+2×b2n＝a m+1+2n﹣1×b n+2+2n＝a m+2n b3n+2＝a5b3．∴m+2n＝5，3n+2＝3，解得：n＝，m＝，m+n＝．20．（2021秋•涧西区校级期中）已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，求a+b的值．【解答】解：∵27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，∴（33）b＝32×3a+3，24＝22×22b﹣2，∴33b＝3a+5，24＝22b，∴，解得，，∴a+b＝1+2＝3．21．（2021秋•东莞市校级期中）①若a m＝2，a n＝3，求a2m+n的值．②已知x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【解答】解：①∵a m＝2，a n＝3，∴a2m+n＝a2m•a n＝（a m）2•a n＝22×3＝4×3＝12；②∵x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．22．（2021秋•大石桥市期中）完成下列各题．（1）已知（9a）2＝38，求a的值；（2）已知a m＝3，a n＝4，求a2m+n的值为多少．【解答】解：（1）∵（9a）2＝38，∴（32a）2＝38，∴4a＝8，a＝2；（2）∵a m＝3，a n＝4，∴a2m+n＝a2m•a n＝（a m）2•a n＝32•4＝36．23．（2021春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0∴m+4n＝3原式＝2m•24n＝2m+4n＝23＝8．（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，＝43﹣2×42，＝32，24．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知x2n＝4，求（x3n）2﹣x n的值．（其中x为正数，n为正整数）【解答】解：∵x2n＝4，x为正数，n为正整数，∴x n＝2，∴（x3n）2﹣x n＝（x n）6﹣x n＝26﹣2＝62．25．（2021春•泉山区校级期中）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，∴1+7x＝22，∴x＝3；②∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2．26．（2021春•东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝2，（5，1）＝0，（3，）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），（3）小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）【解答】解：（1）∵52＝25，∴（5，25）＝2；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵3﹣2＝，∴（3，）＝﹣2；故答案为2，0，﹣2；（3）①（8，1000）﹣（32，100000）＝（23，103）﹣（25，105）＝（2，10）﹣（2，10）＝0；②设3x＝4，3y＝5，则3x•3y＝3x+y＝4×5＝20，所以（3，4）＝x，（3，5）＝y，（3，20）＝x+y，∴（3，20）﹣（3，4）＝x+y﹣x＝y＝（3，5），即：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）27．（2021春•相城区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3，（4，1）＝0（2，0.25）＝﹣2；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，故答案为：3，0，﹣2；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a×3b＝3c，∴a+b＝c．28．（2021春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝2；log216＝4；log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义说明上述结论．【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN；（4）设M＝a m，N＝a n，∵＝m，＝n，＝m+n，∴+＝，∴+＝log a MN．。
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 一，基础知识
1. 同底数幂的意义 几个相同因式a相乘，即
，记作
，读作a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数。 同底数幂是指底数相同的幂，如：
5. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如 等。 （积的乘方的意义）
（乘法交换律，结合律）
6. 积的乘方的性质 （n为正整数）
这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得 的幂相乘。
此性质可以逆用：
二 ，知识总结： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注意：Ⅰ.在此公式中，底数a可代表数字，字母也可以是一个代数 式. Ⅱ.此公式相乘的幂必须底数相同，若不相同，需进行调整，化为 同底数，才可用公式.
7.
，当
时，m等于（ ）
A. 29
B. 3
C. 2
D. 5
8. 若
，则
D. n是负数
等于（ ） A. 12
二. 填空题。 1.
B. 16
C. 18
（） 2.
3.
（） 4.
（） 5.
（） 6. 若
，（n，y是正整数），则
（） 7.
（ ），
（） 8. 若
，则
（） 9. 一个正方体的边长是
，则它的表面积是（ ） 三. 计算： （1）
（2）
D. 216
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
初中数学幂的运算规则教案
初中数学幂的运算规则教案教学目标：1. 理解幂的运算规则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法。
2. 能够运用幂的运算规则进行相关的计算和解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 掌握幂的运算规则。
2. 能够正确进行幂的运算。
教学难点：1. 幂的运算规则的理解和运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入幂的概念，复习已学过的幂的定义和基本性质。
2. 提问：同学们，我们已经学习了幂的概念，那么你们知道幂的运算规则吗？二、新课讲解（20分钟）1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
示例：\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
示例：\((a^m)^n = a^{mn}\)3. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
示例：\((ab)^n = a^n \times b^n\)4. 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
示例：\(a^m / a^n = a^{m-n}\)三、例题讲解（15分钟）1. 举例讲解同底数幂的乘法法则的应用。
2. 举例讲解幂的乘方法则的应用。
3. 举例讲解积的乘方法则的应用。
4. 举例讲解同底数幂的除法法则的应用。
四、练习与巩固（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固幂的运算规则。
2. 老师选取一些练习题进行讲解和解析。
五、总结与反思（5分钟）1. 总结幂的运算规则，让学生清晰地掌握每个运算规则的要点。
2. 让学生反思自己在学习过程中遇到的困难和问题，并进行解答。
教学延伸：1. 进一步学习幂的更高级运算规则，如幂的乘方与除方的运算法则。
2. 运用幂的运算规则解决实际问题，如代数方程的求解等。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了幂的运算规则。
指数幂的运算法则公式
指数幂的运算法则公式
指数幂的运算法则包括乘法、除法、幂的乘方、积的乘方、分式乘方等。
具体如下：
1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即 (m,n都是有理数)。
2. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即 (m,n都是有理数)。
3. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即
= · (n是有理数)。
4. 分式乘方，分子分母各自乘方。
即(b≠0)。
5. 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即(a≠0，m,n都是有理数)。
6. 任何不等于零的数的零次幂都等于1。
即(a≠0)。
7. 任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
即(a≠0,p是正整数)。
对于混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅数学书籍或咨询数学专家。
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第1课时 同底数幂的乘法
一、【重点知识】
1、乘方：
2、同底数幂的乘法：
二、【知识探究】
1、指出下列各式的底数与指数：
（1）34； （2）a 3； （3）(a ＋b)2； （4）(－2)3； （5）－23．
2、计算（1）103×102 = ，（2）a 3·a 2 ，（3）a m ·a n = ，
思考：①等号左边是什么运算？ ②等号两边的底数有什么关系？
③等号两边的指数有什么关系？ ④公式中的底数a 可以表示什么？
⑤当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？
因此：同底数的幂相乘：_________________________,即a m ·a n =
三、【典型例题】
例1、计算：(1)105·106； (2)（-3）7·（-3）3； (3)y 3·y 2； (4)b 5·b
(5)x 2·x n ； (6)y 4·y 3·y 2·y ；
例2、计算：(1)-b 3·b 3； (2)-a ·(-a)3； (3)(-x)·x 2·(-x)4；
(4) (x －y)2(y －x)3 (5) (2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m －1
四、【跟踪训练】
1、计算：①y 12·y 6； ②x 5·x 6·x 3． ③(－a)2·(－a)3·(－a)
反思与小结：（1）同底数幂相乘，底数 ，指数 ；
（2）－a 2的底数 ，不是______.
2、计算：（1） (x+y)(x+y)3·(x+y)m （2）(a －b)·(b －a)2m ·(b －a)
3 （3） 23324()2()x x x x x x -⋅+⋅--⋅ （4）122333m m m x x
x x x x ---⋅+⋅-⋅⋅
反思与小结：（1）若底数是多项式时，做法和单项式相同，
（2）互为相反数要先转化为同底数的幂，然后再相乘。
五、【拓展提高】
1、已知：a 2·a 4·a m =a 14,求m 的值.
2、已知：a m =2,a n =3,求a m+n 的值。
3、计算并把结果写成一个底数幂的形式:
① 43981=⨯⨯ ② 66251255=⨯⨯
4、计算：（1）3·(－3)2m +(－3)
2m+1 （2）y ·y n+1－2y n ·y 2 5、计算2010200922-等于( ) A 、20092 B 、 2 C 、1 D 、20102-
第2课时 幂的乘方
一、【重点知识】
幂的乘方：
二、【知识探究】
1、 64表示4个____相乘;(62)4表示4个_______相乘.
a 3表示3个____相乘;(a 2)3表示3个_______相乘.
2、（62）4=______×_______×_____×______ =__________(根据a n ·a m =a nm )
=__________
（33）5=_____×_______×_______×________×_______
=__________ =__________
（a 2）3=_______×_________×_______
=__________=__________
（a m ）2=________×_________ =__________ =__________
（a m ）n =________×________×…×_______×_______
=__________ =__________
即 （a m ）n = _________(其中m 、n 都是正整数)幂的乘方,底数______,指数_____.
三、【典型例题】
例1计算：（1）（a 5）2； （2）（c n ）2
； （3）32)10(
例2计算：（1）m x )(2-； （2）y y ∙32)( （3）4362)()(2a a -
例3计算：3（y 2）3·y 3－（y 3）3＋y 2·y 7．
注意：在既有幂的乘方运算又有同底数幂的混合运算中应注意运算顺序，先算幂的乘方运算，再算同底数幂的混合运算。
四、【跟踪训练】
1、判断题，错误的予以改正。
（1）a 5+a 5=2a 10 （ ） （2）（s 3）3=x 6 （ ）
（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （ ） （4）x 3+y 3=（x+y ）3 （ ）
（5）[（m －n ）3]4－[（m －n ）2]6=0 （ ）
2、计算下列各题：：
（1）（103）3 （2）[（
32）3]4 （3）[（－6）3]4 （4）（x 2）5 （5）－（a 2）7 （6）－（a s ）
3 五、【拓展延伸】
1、若（x 2）n =x 8，则m=_____________.
2、若[（x 3）m ]2=x 12，则m=_____________。
3、计算：（x 3）4·x 2 ； 2（x 2）n －（x n ）2 ； [（x 2）3]7
4、若x m ·x 2m =2，求x 9m 的值。
已知a m =2,a n =3,求a 2m+3n 的值.
若a 2n =3，求（a 3n ）4的值
【当堂检测】
1.选择题:
（1）下面计算正确的是( )
A ．326b b b =；
B ．336x x x +=；
C ．426a a a +=；
D ．56mm m =
（2） 81×27可记为( )
A.39
B.73
C.63
D.123
（3）若x y ≠,则下面多项式不成立的是( )
A.22()()y x x y -=-
B.33()x x -=-
C.22()y y -=
D.222()x y x y +=+
（4）下列各式正确的是（ ）
A 、835)(a a =
B 、632a a a =⋅
C 、532x x x =+
D 、422x x x =⋅
2、计算下列各式：
（1）_______25=⋅x x （2）_______66=⋅x x （3）_______6
6=+x x
（4）_____)(33=x （5）_____)(52=-x （6）23x x x ⋅⋅=________ （7）_____)(32=n x （8）1110
10m n +-⨯=________ （9）25()()x y x y ++ =______. （10）若2,5m n a a ==,则m n a
+=________.
3.计算： ①234
x x xx + ② 456(6)-⨯-
③4233x x x x ⋅+⋅ ④4233)()(m m ⋅- ⑤_____)(532=⋅a a。