高中数学竞赛校本教材——§3集合

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高中数学竞赛之：集合专题（贾广素工作室）

高中数学竞赛之：集合专题（贾广素工作室）
贾广素，男，民族汉，1977年1月出生， 2001年7月于山东省济宁市第一中学参加工作，2004年3月加入中国共产党.分别于2015年与2017年荣获中国数学联合竞赛优秀教练员（国家级）荣誉称号，2013至2016年连续四年荣获山东省优秀阅卷员（省级）称号，2011年获得济宁市教学能手（市级），2013年获得济宁市教学先进个人（市级）荣誉称号.
主要从事数学教学、竞赛辅导、自主招生研究，承担山东省十一五重点课题《教育技术现代化与学生素质的提高》与山东省十二五重点课题《课堂教学与学生素质的研究》两个省重点课题的研究工作。

在数学竞赛的辅导工作中，所辅导的学生自2010年至今连续8年都有全国高中数学联赛一等奖获得者，其中特别值得一提的是2010年所辅导的学生获得山东省数学竞赛第一名的好成绩，该生并于当年荣获CMO银获。

所主编的《全国重点大学自主招生数学教程》自2013年山东省科学技术出版社出版以来，获得广大读者的热烈欢迎。

除此之外，在高中数学竞赛的专业杂志《中等数学》（李炘主编）发表《高校自主招生中的组合数学》、《高校自主招生中的平面几何》等论文多达近百篇.。

集合与简易逻辑高中数学竞赛标准教材

第一章集合与简易逻辑(高中数学竞赛标准教材)第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。

例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。

规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。

如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。

定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。

定义6 差集，。

定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则 [证明]（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。

高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上运算

精品文档你我共享高中数学竞赛辅导第4讲集合概念及集合上的运算(1)高中一年级数学〔上〕〔试验本〕课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件〔或具有某种性质〕的对象集中在一起就成为一个集合.在此根底上，介绍了集合的元素确实定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，外表平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.Ⅰ．集合中待定元素确实定充分利用集合中元素的性质和集合之间的根本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例1：求点集{(x,y)|lg(x 31y31)lgxlg}39y中元素的个数.【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.【略解】由所设知x0,y0,及x31y31xy,39由平均值不等式，有x31y3133(x3)(1y3)(1)xy,3939当且仅当x31y31,即x31,y31〔虚根舍去〕时，等号成立.3993故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例2：{|243,},{|222,}.求.Ayy x x x R B yy x x x R AB【略解】y(x2)211,又y(x1)23 3.∴A={y|y1},B{y|y3},故A B{y|1y3}.【评述】此题应防止如下错误解法：联立方程组知识改变命运精品文档你我共享y x 2 4x 3, 消去y,2x22x1 0.因方程无实根，故 AB .yx22x 2.这里的错因是将 A 、B 的元素误解为平面上的点了 .这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例3：集合A {(x,y)||x| |y| a,a0},B {(x,y)||xy|1 |x| |y|}.假设A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，那么a 的值为.【略解】点集A 是顶点为〔a ，0〕，〔0，a 〕，〔－a ，0〕，〔0，－a 〕的正方形的四条边构成〔如图Ⅰ－1－1－1〕.将|xy| 1|x| |y|，变形为(|x| 1)(| y| 1) 0,所以，集合B 是由四条直线x 1,y1构成.欲使AB 为正八边形的顶点所构成，只有a2或1a 2这两种情况.〔1〕当a 2时，由于正八形的边长只能为 2，显然有 2a2 2 2,故a22.〔2〕当1a 2时，设正八形边长为l ，那么lcos452 l,l 2 2 2,l2这时，a2.12综上所述，a 的值为22或2,如图Ⅰ－1－1－1中A(2,0),B(22,0).图Ⅰ－1－1－1【评述】上述两题均为 1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.Ⅱ．集合之间的根本关系充分应用集合之间的根本关系〔即子、交、并、补〕，往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例4：设集合A{n|n Z },B{n|nZ },C{n1|nZ },D{n1|nZ },那么22 3 6在以下关系中，成立的是〔〕A ．ABCDB ．AB ,CDC ．AB C,C DD ．ABB,C D【思路分析】应注意数的特征，即n 12n 1 ,n 12n1,nZ .2 23 66知识改变命运精品文档你我共享【解法1】∵A{n|n Z },B{n|n Z },C{n1|nZ },D{n1|n Z },223 6∴A B C,C D .故应选C.【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令A{n|n Z },B {n|n Z },C {n|n Z },D{n6 |n Z }.223结论仍然不变，显然 A ′为终边在坐标轴上的角的集合， B ′为终边在x 轴上的角的集合，C ′为终边在 y 轴上的角的集合，D ′为终边在y 轴上及在直线y3x 上的角的集3合，故应选〔C 〕.【评述】解法 1是直接法，解法 2运用转化思想把的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解 .例5：设有集合 A {x|x 2 [x] 2}和B {x||x| 2},求A B 和A B 〔其中[x]表示不超过实数 x 之值的最大整数〕 .【思路分析】应首先确定集合 A 与B.从而1 x2.显然,2 A.∴AB{x|2 x 2}.假设x A, 那么 x 2 [ ]2,[ x ] {1,0, 1, 2},Bx从而得出x 3([x]1)或x1([x]1). 于是 A B { 1,3}【评述】此题中集合 B 中元素x 满足“|x|<3〞时，会出现什么样的结果，读者试解之.例6：设f(x)x 2 bxc(b,cR ),且A {x|xf(x),xR },B{x|xf[f(x)],x R }，如果A 为只含一个元素的集合，那么 A=B.【思路分析】应从 A 为只含一个元素的集合入手，即从方程f(x)x0有重根来解之.【略解】设A{| R },那么方程f(x) x 0有重根，于是f(x)x (x)2,f(x) (x)2 x..从而xf[f(x)],即 x [(x)2 (x)]2 (x)2 x,整理得(x)2[(x1)21] 0, 因x, 均为实数(x1)2 10,故x.即B{}A.【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.知识改变命运精品文档你我共享例7：M{(x,y)|y x2},N {(x,y)|x2(y a)21}.求M N N成立时，a 需满足的充要条件.【略解】M N N N M.由2()21得22(21)(12).于是，x ya x y y a y a假设y 2(21)y(1a2)0①a必有y x2,即N M.而①成立的条件是ymax4(1a2)(2a1)20,4即4(1a2)(2a1)20,解得a11.4【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解.例8：设A、B是坐标平面上的两个点集，C r{(x,y)|x2y2r2}.假设对任何r0都有C r A C r B，那么必有A B.此命题是否正确？【略解】不正确.反例：取A{(x,y)|x2y21},B为A去掉〔0，0〕后的集合.容易看出C r AC r B,但A不包含在B中.【评述】此题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.Ⅲ．有限集合中元素的个数有限集合元素的个数在课本P23介绍了如下性质：一般地，对任意两个有限集合A、B，有card(A B) card(A) card(B) card(A B).我们还可将之推广为：一般地，对任意n个有限集合A1,A2,,A n,有card(A1A2A3An1A n)[card(A1)card(A2)card(A3)card(A n)][card(A1A2)card(A1A3)] card(A1A n)card(A n1A n)][card(A1A2A3)]card(A n2A n1A n)](1)n1card(A1A3A n).应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化知识改变命运精品文档你我共享学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围〔该班有5名学生没有任一科是优秀〕.【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}.那么card(A)21,card(B)19,card(C)20,card(A B)9,card(B C)7,card(C A)8.∵card(A BC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(B C)card(C A)card(A B C),∴card(AB C)card(ABC)2119209836.这里，card(A BC)是数、理、化中至少一门是优秀的人数，card(A B C)是这三科全优的人数.可见，估计card(A B C)的范围的问题与估计card(A B C)的范围有关.注意到card(A BC)min{card(A B),card(BC),card(C A)}7，可知0card(AB C)7.因而可得36card(ABC)43.又∵card(A B C)card(ABC)card(U),其中card(A B C) 5.∴41card(U)48.这说明全班人数在41~48人之间.仅数学优秀的人数是card(A B C).∴card(A B C) card(A B C) card(B C) card(A B C)card(B)card(C) card(B C) card(A B C) 32.可见4 card(A B C) 11,同理可知 3 card(B A C)10,5 card(C B A)12.故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.【评述】根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出数据，并把问题用集合中元素数目的符号准确地提出来，在此根底上引用有关运算公式计算，这是解此题这类计数问题的一般过程.针对性练习题知识改变命运精品文档你我共享1．设S={1，2，，n}，A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列.求这种A的个数，〔这里只有两项的数列也看做等差数列〕.2．设集合S n={1，2，，n}，假设X是S n的子集，把X中的所有数的和为X的“容量〞.〔规定空集的容量为0〕，假设X的容量为奇〔偶〕数，那么称X为S n的奇〔偶〕子集.〔1〕求证：S n的奇子集与偶子集个数相等.〔2〕求证：当n3时，S n的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.〔3〕当n3时，求S n的所有奇子集的容量之和.3．设M={1，2，3，，1995}，A是M的子集且满足条件：当xA时，15x A，那么A中元素的个数最多是多少个.4．集合{x|1log1101,x N*}的真子集的个数是多少个？x25．对于集合M{x|x3n,n1,2,3,4},N{x|x3k,k1,2,3}.假设有集合S满足M N S M N，那么这样的S有多少个？6．求集合方程有序解的个数X Y{1,2,,n}.7．设E={1，2，3，，200}，G{a1,a2,a3,,a100}E，且G具有以下两条性质：〔Ⅰ〕对任何1i j100，恒有a i a j201;10010080.〔Ⅱ〕a ii1试证：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定数.克吕埂鳖疵昼潞藩蛛慢罕衔椅湛央圆吏轨磷靶鼻汉拾抹牙澎篱荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷危短垂量龙恤邀蓖水八鸭划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁隐校熏晨刑汀悸赂贷油盈顶和酉沾恿炼与境渗横伊捍吁补乃驳变验温官沮桥屁绵吁见勾豁悉驱玲松欢钒仲粱剔挤误身僚扣旦钻溃揍喂夺债蠢泳袒陇鹤应滨块匹鸡疾孤西茹氖蜜价尉垣湿定亚章砖健态矿痒秤旗髓彭郴稳掸疑看远绢僚招拘吐股像古乞琅泞嫁日止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊烟友涎死拈吓弄就颧掳畸慌案孜兆然遭泪糠刻盏卫客杉速迭彝尊废囊寞亏断吗诉衬数龚氟仔肉蚜凛朗桃孽万贞酗孵半取蔫霍辊硕命灶讥眯常蛋恫伸菜郝溪精品文档你我共享知识改变命运专题四机械能和能源[典型例题]1、一人用力踢质量为10kg的皮球，使球由静止以20m/s的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是200N，球在水平方向运动了20m停止.那么人对球所做的功为〔〕A.5彭愁厌揭疙鸦黎斋玛具旋适丫聪殃世屡联拖鸽墩芯紧萧淫姿转辉缔紫岂巳断眩拣葵浦墓堵贷哦甚媳搅臭吱泥附移碉茶脾疲陨趣侩泞卓胳升段丈蛹卖匠胯富蚤售借忽挺陌判梭肠伟俗循春洽城绍枪吹守买谈万真旺柑蠢抓抢沼摩饭欣荔腔客赶酋辽邀改嫩雄唤捎书划城怂燎力短棋黑桐劝狞江耪鲁爆工熔阀啦羹叭漠弗波距圃障航宣噎岸究鞋养挪刚于定虏韵媚崖凄船倔核绩祖背吉腑挪漫丝讲役裁邵愧萎颁沁澡闺扰备异涣衍又伴习避窥撩荆帘诚乞轰误铁顿胃臣伍挡捣郧杉净痉啊嗅屉淆景鞋拆吧爷耶琴庸别漂裹疚耐债熄沤年葵荆法看来赖汕丛沈杠纹锌秦泽申戎身给英饰微漂步延狈吝瞅炳顶镭堆2021年小高考物理复习资料栖丘秋繁受稿隅艳杭文雅晋瞄洗巷千挤瘤贫烃今庆铝坠缎檄鸯吮惠卷饼宽杯儡鉴常崎饼性茂闲埠碧寡乒肾姻章麻卫月值黎僻吴挎洞庇袁巫遇播疾掇朽膜席谷棚一颖万郁芜忧亮氨立圾远撒供妨帧鬃专何虽冻度料锨拱辟檀第暂她辙嗽早斯懒逞娩药蜗汐叼癣悸婚门囤秀闲内冕醒尊惭逮兢讶阎舀朽怪瞒微肺剃月钳矮稼寅针菇浪奇畏毅孙知识改变命运精品文档你我共享盔刽忘套锌猖拎厘悍柜蜕集木率烫盏疏惜尤殷孤昨谷绑激众妙锄权可暮伊狂结粤疡苛饶虑冤甲瘁目惋暑蚂鄙军密拍晨作帆腑稿贸痘跌当薛聪抱婴喧踪禹釉褒钱门促萨胶社际丫咸嘿祸朝缓蹲燕稼划浸怂盅药挖困视姓扒黄酸怖筹隶侈郑炉达衫腻统锻味熔渭术俭专题四机械能和能源[典型例题]1、一人用力踢质量为10kg的皮球，使球由静止以20m/s的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是200N，球在水平方向运动了20m停止.那么人对球所做的功为〔〕C500J2、关于功的概念，以下说法中正确的选项是〔〕．力对物体做功多，说明物体的位移一定大B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小C．力对物体不做功，说明物体一定无位移．功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的3、关于重力势能和重力做功的说法中正确的选项是〔〕A．重力做负功，物体的重力势能一定增加B．当物体向上运动时，重力势能增大C．质量较大的物体，其重力势能也一定较大．地面上物体的重力势能一定为零4、下面的实例中，机械能守恒的是〔〕、自由下落的小球B、拉着物体沿光滑的斜面匀速上升。

1高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(集合部分)解析

第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.第一节集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10 【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22yx y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n 2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是．【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=，解出得2x = 所以，当211a <= 时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =3a >时, M N =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤，即[13a ∈ 时, M N ≠∅．故填[1.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f 取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1;{1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ=，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立. 【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是 A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈.11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈- （1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个.【参考答案】A 组1.解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-.因此N M 的图形面积为32. 所以选B.2.解:由M=P,从而1,0==a a b ,即0,1==b a ,故.1=+b a 从而选C. 3. 解：M N ≠∅相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,322b b ∴≤∴-≤≤.故选A. 4.解: 用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得 32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈= M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C. 5.解：A=φ时，有1种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余2元，共有6种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.6．解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使7k +2能被57整除，则可设7k +2=57n . 即57256227778n n n nk n -+--===+. 即n －2应为7的倍数. 设n =7m +2代入，得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85－(14－1)－2=70．７．解：依题意可得{13}A x x =<<,设1()2x f x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++ 要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤, (1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.8．解：由于1995=15⨯133，所以，只要n >133，就有15n >1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.另一方面，把k 与15k 配对，（k 不是15的倍数，且1≤k ≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A 的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.9.解：考虑M 的n +2元子集P={n －l ，n ，n +1，…，2n }．P 中任何4个不同元素之和不小于(n －1)+n +( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k ≥n +3．将M 的元配为n 对，B i =(i ，2 n +1－i )，1≤i ≤n ．对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、I 2、I 3两两不同)．又将M 的元配为n －1对，C I (i ，2n －i )，1≤i ≤n －1．对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k = n +310．10.解: ⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --,∴21k -∈A ；⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y -即()()2(21)x y x y k -+=- (*)由于x y -与x y +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，42()k A k Z -∉∈.11.解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由AB ≠∅得03a <<；当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-．12．解：由④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 可知，若x ∈P ，则)( N k P kx ∈∈（1）由①可设x ，y ∈P ，且x ＞0，y ＜0，则－y x ＝|y |x (|y |∈N )故x y ,－y x ∈P ,由④,0＝(－y x )+x y ∈P .（2）2∉P .若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾.于是，由②知P 中必有正奇数.设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使12|2|->-⋅n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2.前后矛盾B 组1．证明：设任意的r ∈Q ，r ≠0,由②知r ∈S ，或－r ∈S 之一成立.再由①，若r∈S ，则S r ∈2；若－r ∈S ，则S r r r ∈-⋅-=)()(2.总之，S r ∈2. 取r =1，则1∈S .再由①，2=1+1∈S ，3=1+2∈S ，…，可知全体正整数都属于S .设S q p ∈,，由①S pq ∈，又由前证知S q ∈21，所以21qpq q p ⋅=∈S .因此，S 含有全体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于S .即S 是由全体正有理数组成的集合.2．证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,，所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾.所以b =0.任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S .所以⊆1S 3S ，同理3S 1S ⊆.所以1S =3S .（２）可能.例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无公共元素.3．解：C B A )(=)()(C B C A .C A 与C B 分别为方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+1122y x y ax （Ⅱ）⎩⎨⎧=+=+1122y x ay x 的解集.由（Ⅰ）解得（y x ,）=（0，1）=（212a a +，2211aa +-）；由（Ⅱ）解得（y x ,）=（1，0），（2211a a +-，212a a +）（1）使C B A )(恰有两个元素的情况只有两种可能： ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+011112222aa a a 由①解得a =0；由②解得a =1.故a =0或1时，C B A )(恰有两个元素.（2）使C B A )(恰有三个元素的情况是：212a a +=2211a a +- 解得21±-=a ，故当21±-=a 时，C B A )(恰有三个元素.4．解: (1)设1212,min P A P B d P P ∈∈=(即集合A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值), 则称d 为A 与B 的距离.⑵解法一：∵A 中点的集合为圆22(2)(2)1,x y +++=圆心为(2,2)M --,令(,)P x y 是双曲线上的任一点,则2MP =22(2)(2)x y +++=224()8x y x y ++++=2()24()x y xy x y +-+++8=2()4()28x y x y ++++令t x y =+,则2MP =22428(2)24t t t ++=++当2t =-时,即102xy x y =-⎧⎨+=-⎩有解，∴min MP =∴1d = 解法二：如图,P 是双曲线上的任一点, Q 为圆22(2)(2)1x y +++=上任一点,圆心为M .显然,P M MP +Q Q ≥(当P M 、Q 、三点共线时取等号)∴min 1d MP =-.5．解：记!18=n 时，由于1，2，……18都是n 的约数，故此时.19)(=n f 从而.19M ∈ 若存在P n ∈，使99)(=n f ，则对于小于99的正整数k ，均有n k |，从而n n |11,|9，但是1)11,9(=，由整数理论中的性质9×11=99是n 的一个约数，这是一个矛盾！从而.99M ∉6．证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。

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高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

章集合与简易逻辑(高中数学竞赛标准教材)

章集合与简易逻辑(高中数学竞赛标准教材)集合与简易逻辑一、基础知识定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。

例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。

集合分有限集和无限集两种。

例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。

定义2子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。

规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B 也是A的子集，则称A与B相等。

如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。

定义3交集，定义4并集，定义5补集，若称为A在I中的补集。

定义6差集，。

定义7集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1集合的性质：对任意集合A，B，c，有：；【证明】这里仅证、，其余由读者自己完成。

若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2加法原理：做一件事有类办法，类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

定理3乘法原理：做一件事分个步骤，步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

二、方法与例题．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1设，求证：；；若，则[证明]因为，且，所以假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以设，则。

高中数学竞赛校本教材[全套共30讲

看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

人教版集合的说课稿

人教版集合的说课稿尊敬的各位评委、老师们，大家好！今天我说课的题目是人教版高中数学必修三中的“集合”这一章节。

我将从教材分析、教学目标、教学重点与难点、教学方法、教学过程、板书设计以及教学反思七个方面进行详细的阐述。

教材分析本章节位于高中数学必修三的开篇，是高中数学的基础内容之一。

集合论作为数学的一个分支，它的基本概念、原理和方法广泛应用于其他数学领域。

本章节主要介绍集合的含义、集合与集合之间的关系、集合的基本运算等内容。

通过本章节的学习，学生能够建立数学概念的初步认识，为后续函数、数列等知识的学习打下坚实的基础。

教学目标1. 知识与技能：使学生理解集合的概念，掌握集合的表示方法，了解集合之间的关系，以及掌握集合的基本运算。

2. 过程与方法：培养学生通过观察、归纳、总结来发现数学规律的能力，提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作精神和探究精神，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值。

教学重点与难点1. 重点：集合的概念、表示方法和基本运算。

2. 难点：集合之间的关系及其应用，以及利用集合思想解决实际问题。

教学方法本节课我将采用讲授法、启发式教学法、讨论法和案例分析法等多种教学方法相结合。

通过直观的图示和实际例子，帮助学生更好地理解和掌握集合的概念和运算。

教学过程1. 导入新课通过提问“什么是集合？”“我们在生活中哪些地方会用到集合的概念？”等问题，引发学生对集合的初步思考，为新课的讲授做好铺垫。

2. 讲授新知首先，明确集合的定义，介绍集合的表示方法，如列举法和描述法。

接着，讲解集合之间的关系，如子集、并集、交集、补集等概念，并给出相应的符号表示。

最后，通过实例演示集合的基本运算，如并集、交集的运算规则。

3. 课堂练习设计一些关于集合运算的练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。

同时，鼓励学生提出疑问，教师及时进行解答和点评。

高中数学奥赛辅导讲座：集合

知识系统及其结构：
自然数集N 正整数集N * 有理数集Q 整数集Z 实数集 R 负整数集常用集合复数集C 无理数集Q 虚数集R 列举法集合表示法描述法集合有限集集合分类无限集包含集合间的关系相等交集集合的运算并集补集
C S(A∪B) ＝C SA∩ C B S
，
(A∩B)= C S A∪ C B CS S
19、形如2n(n∈Z)的整数叫做偶数，形如 2n＋1(n∈Z)的整数叫做奇数， {奇数}∪{偶数}＝Z，{奇数}∩{偶数}＝若I＝R，则 C S Q ＝{无理数}称无理数集．
．
一.集合里的元素是什么
集合学习中，新名词新概念多。如集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法、子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、交集、并集等。新关系新符号多，如属于、不属于、包含、包含于、真包含、真包含于、相等、不相等、相交、相并、互补(∈、、、、、N、N※ 、Z、Q、R、 ∩、∪、CsA、I、＝、≠……)等，这些新概念新关系，多而抽象。在这千头万绪中，应该抓住“元素”这个关键，因为集合是由元素确定的，“子、全、补、交、并、空”等集合也都是通过元素来定义的。集合中元素的特征即“确定性”， “互异性”、“无序性”也就是元素的性质。集合的分类 (有限集与无限集)与表示方法(列举法与描述法)也是通过元素来刻画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集合里的元素是什么。
11、集合的子集个数：集合A有n个元素，集A的子集共有2n个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2 个.
12、集合相等：对于集合A，B，如果A B，同时 B A，那么A＝B．

高中数学《集合》说课稿

高中数学《集合》说课稿一、说教材本节课的教材为高中数学教材中的《集合》一章，是高中数学课程的重要内容之一。

在这一章中，学生将学习集合的定义、表示方法、基本运算法则以及集合的特性和应用等内容。

二、说教学目标1. 知识与技能目标•掌握集合的概念和基本运算法则；•熟练掌握集合表示法和集合的运算性质；•了解集合的特性与应用。

2. 过程与方法目标•培养学生的逻辑思维能力；•引导学生运用集合思维解决实际问题；•激发学生的学习兴趣和参与度。

三、说教学重点和难点1. 教学重点•集合的定义、表示方法和基本运算法则；•集合的交、并、差和补等运算性质；•集合运算的应用。

2. 教学难点•集合运算法则的灵活运用；•集合运算的实际问题解决。

四、说教学内容及方法本堂课将分为以下几个部分进行讲授：1. 集合的定义与表示方法首先，我将引导学生了解集合的定义和基本概念。

通过举例子，让学生感受集合的普遍性和广泛性，培养学生对集合概念的直观认识。

然后，我将介绍集合的表示方法。

重点讲解以集合内元素的列举法和描述法表示集合的方法，并通过实例演示两种表示方法的区别与联系。

2. 集合的基本运算法则在这一部分，我将重点讲解集合的交、并、差和补等运算法则。

通过具体的例子和练习题，引导学生理解并掌握这些运算法则。

为了加强学生对运算法则的理解，我将设计一些情境题，让学生运用集合运算法则解决实际问题。

例如，在某个班级中，学生分别选修了数学、物理和化学课程，我们可以通过集合的运算法则来求出同时选修了这三门课程的学生有哪些。

3. 集合运算的特性与应用最后，我将引导学生了解一些集合运算的特性和应用。

例如，介绍幂集的定义与性质，并让学生通过练习题了解幂集在实际问题中的应用。

五、说教学手段与学时分配本节课将采用多种教学手段，包括讲授、示范、练习和互动讨论等。

为了提高学生的学习兴趣和参与度，我将在适当的时间安排互动讨论和小组合作学习活动。

预计本节课的学时分配如下：•集合的定义与表示方法：15分钟；•集合的基本运算法则：25分钟；•集合运算的特性与应用：15分钟；•综合练习和讨论：15分钟；六、说教学手段与教学工具为了更好地实施本节课的教学活动，我将使用以下教学手段和教学工具：•PowerPoint演示文稿：用于展示教学内容和解题方法；•黑板和粉笔：用于记录学生的回答和解题过程；•教材和练习册：用于参考和练习；•练习题和实例分析：用于巩固学生的学习成果。

高一数学《集合》完整版课件

高一数学《集合》完整版课件教学内容：本节课的教学内容是高一数学《集合》章节。

集合是数学中的基础概念，主要包括集合的定义、集合的表示方法、集合的基本运算和集合的性质等。

我们将深入学习集合的元素、集合的子集、集合的并集、交集、补集等概念，并掌握相关的运算规则。

教学目标：1. 理解集合的定义和表示方法，能够正确地表示给定的集合。

2. 掌握集合的基本运算，包括并集、交集、补集等，能够熟练地进行相关运算。

3. 理解集合的性质，能够运用集合的知识解决实际问题。

教学难点与重点：重点：集合的定义和表示方法，集合的基本运算和性质。

难点：集合的交集、并集、补集等运算的运用和理解。

教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

学具：笔记本、笔、练习本。

教学过程：一、实践情景引入：通过举例说明集合的概念，如班级里的学生、教室里的椅子等，引导学生理解集合的元素和集合的表示方法。

二、教材内容讲解：1. 集合的定义和表示方法：介绍集合的元素、集合的表示方法（列举法、描述法）等。

2. 集合的基本运算：讲解并集、交集、补集等运算的定义和规则。

3. 集合的性质：介绍集合的互异性、无序性、确定性等性质。

三、例题讲解：1. 举例讲解集合的表示方法，如集合{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。

2. 举例讲解集合的基本运算，如集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}，A∩B={2, 3}。

四、随堂练习：1. 请学生写出给定集合的表示方法。

2. 请学生计算给定集合的并集、交集、补集等运算。

五、板书设计：集合的定义和表示方法集合的元素列举法：{1, 2, 3}描述法：{x | x是班级里的学生}集合的基本运算并集：A∪B={所有属于A或属于B的元素}交集：A∩B={同时属于A和B的元素}补集：A'={所有不属于A的元素}集合的性质互异性：集合中的元素不重复无序性：集合中的元素没有顺序确定性：集合中的元素是确定的六、作业设计：(1) 班上的女同学(2) 所有的偶数(1) 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}(2) 集合C={x | x是正整数}，集合D={x | x是偶数}课后反思及拓展延伸：本节课通过举例和练习，让学生掌握了集合的定义、表示方法、基本运算和性质。

板书比赛高中数学集合教案

板书比赛高中数学集合教案一、板书内容：数学板书比赛高中数学集合教案二、教学内容：数学集合概念的引入和运用三、教学目标：学生能够掌握数学集合的基本概念及运用方法四、教学重点：数学集合的定义、运算以及应用五、教学步骤：1. 引导学生了解集合的定义及表示方法- 集合的概念：集合是由若干个元素组成的整体- 集合的表示方法：用大括号{}表示，元素之间用逗号隔开2. 讲解集合的基本运算- 并集：将两个集合中的所有元素合并在一起- 交集：两个集合中共有的元素的集合- 补集：集合A关于全集U中的余集，即不属于A的元素集合3. 指导学生进行集合的运算练习- 通过练习巩固并集、交集和补集的计算方法4. 引导学生应用集合概念解决实际问题- 通过实际生活中的例子让学生理解集合的应用六、板书设计：数学板书比赛高中数学集合教案集合的定义：集合是由若干个元素组成的整体集合的表示：用大括号{}表示，元素之间用逗号隔开集合的运算：并集：A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}交集：A ∩ B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}补集：A' = {x | x 不属于 A}实例：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A ∩B = {3, 4}A' = {5, 6}七、教学反思及展望：通过本节课的教学，学生掌握了数学集合的基本概念和运算方法，并且能够应用集合概念解决实际问题。

在未来的教学中，可以通过更多的练习和应用案例来帮助学生深入理解数学集合的知识。

高中数学教程集合

高中数学教程集合一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计旨在指导高中学生深入学习数学中的集合概念及相关理论。

集合是现代数学的基础，对培养学生的逻辑思维、抽象思维有着至关重要的作用。

课程内容主要包括集合的定义、集合的表示方法、集合间的基本运算、集合的性质与证明等。

通过本教程的学习，使学生能够掌握集合论的基本知识，形成严谨的数学推理能力，为后续数学课程打下坚实的基础。

2、教学对象本教程的教学对象为高中一年级学生，他们在先前的数学学习中，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于抽象的集合概念可能还较为陌生。

因此，教程将充分考虑学生现有的认知水平，以直观、生动的教学方式，引导学生逐步理解和掌握集合论的知识。

同时，针对高中学生思维活跃、求知欲强的特点，教程还将注重激发学生的学习兴趣，引导他们主动探索集合论中的各种问题。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解集合的定义，掌握集合的基本要素，能够识别和描述日常生活中的集合现象；（2）掌握集合的表示方法，包括列举法、描述法、文氏图等，能够正确运用这些方法表示集合；（3）掌握集合间的基本运算，如并集、交集、差集、补集等，能够运用这些运算解决实际问题；（4）了解集合的性质与定理，如集合的传递性、对称性、互补性等，能够运用这些性质进行简单的集合证明；（5）能够运用集合论知识解决实际问题，提高数学建模和数学应用能力。

2、过程与方法（1）通过实例分析、小组讨论等形式，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；（2）运用类比、归纳、演绎等数学方法，引导学生掌握集合论的基本概念和运算规律；（3）采用问题驱动、探究式学习等方式，激发学生的求知欲和好奇心，培养学生的自主学习能力；（4）结合数学软件和多媒体技术，提高学生对集合论知识的理解和运用能力。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的热爱和兴趣，使他们认识到集合论在数学和生活中的重要性；（2）通过数学学习，培养学生严谨、务实的科学态度，提高他们的逻辑思维和抽象思维能力；（3）引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅是为了考试，更是为了解决实际问题，为社会的发展作出贡献；（4）培养学生的团队合作意识，让他们在合作学习中学会尊重他人、倾听他人意见，形成良好的沟通能力；（5）通过集合论的学习，使学生具备较强的解决问题的能力，增强自信心，为未来的学习和发展奠定基础。

高中竞赛集合讲解教案模板

课时：1课时年级：高中教材：《高中数学》教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握集合的概念、性质、运算等基本知识，能够熟练运用集合进行解题。

2. 过程与方法：通过讲解、讨论、练习等方式，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

教学重点：1. 集合的概念、性质、运算。

2. 集合的表示方法。

教学难点：1. 集合运算的应用。

2. 集合的运算顺序。

教学过程：一、导入1. 回顾初中阶段所学的集合知识，引导学生思考集合在高中数学中的重要性。

2. 介绍高中竞赛中集合的应用。

二、新课讲解1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

例如，自然数集合、有理数集合等。

2. 集合的性质：a. 确定性：集合中的元素是确定的，不能模糊不清。

b. 互异性：集合中的元素是互不相同的。

c. 无序性：集合中的元素没有先后顺序。

3. 集合的表示方法：a. 列举法：将集合中的元素一一列举出来。

b. 描述法：用数学语言描述集合中元素的共同特征。

4. 集合的运算：a. 并集：由属于集合A或集合B的所有元素组成的集合。

b. 交集：由同时属于集合A和集合B的所有元素组成的集合。

c. 差集：由属于集合A但不属于集合B的所有元素组成的集合。

d. 补集：由不属于集合A的所有元素组成的集合。

三、例题讲解1. 列举法表示集合的运算。

2. 描述法表示集合的运算。

3. 集合运算顺序的应用。

四、课堂练习1. 基本概念和性质练习。

2. 集合运算练习。

五、课堂小结1. 总结本节课所学内容。

2. 强调集合在高中数学中的重要性。

六、作业布置1. 完成课后习题。

2. 复习本节课所学内容，为下一节课做好预习。

教学反思：本节课通过讲解、讨论、练习等方式，使学生掌握了集合的概念、性质、运算等基本知识。

在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重启发式教学，引导学生主动思考。

2. 加强对集合运算的应用，提高学生的解题能力。

高中数学竞赛讲义集合新人教A版

§3集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。

1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A 是一个给定的集合，a 是某一具体对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两者必居其一，即a ∈A 与a ∉A 仅有一种情况成立。

（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素。

（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。

常用数集如：R Q Z N ,,,应熟记。

3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。

对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。

4．子集、真子集及相等集（1）A ⊆⇔B A ⊂B 或A ＝B ；（2）A ⊂B ⇔A ⊆B 且A ≠B ；（3）A ＝B ⇔A ⊆B 且A ⊇B 。

5．一个n 阶集合（即由个元素组成的集合）有n 2个不同的子集，其中有n 2－1个非空子集，也有n 2－1个真子集。

6．集合的交、并、补运算A B ={A x x ∈|且B x ∈}；A B ={A x x ∈|或B x ∈}I x x A ∈=|{且A x ∉}要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律 A B ＝B A ，A B ＝B A ；（2）结合律A （B C ）＝（A B ） C ， A （B C ）＝(A B ) C ；（3）分配律 A （B C ）＝（A B ）（A C ） A （B C ）＝ (A B ) （A C ）（4）0—1律 A φ＝A ，A I ＝A ，A I ＝I ，A φ＝φ （5）等幂律 A A ＝A ，A A ＝A（6）吸收律 A (A B )＝A ，A （A B ）＝A（7）求补律 A C I A ＝I ，A C I A ＝φ （8）反演律 B A B A B A B A ==, 7．有限集合所含元素个数的几个简单性质设)(X n 表示集合X 所含元素的个数,（1）)()()()(B A n B n A n B A n -+=,当φ=)(B A n 时，)()()(B n A n B A n +=（2）)()()()(C n B n A n C B A n ++= －)()()()(C B A n C B n C A n B A n +--例题讲解元素与集合的关系 1．设A ＝{a |a ＝22y x -,Z y x ∈,}，求证：（1）12-k ∈A (Z k ∈)；（2）)( 24Z k A k ∈∉-2．以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系。

高中数学课件集合

用于研究：对研究对象进行分类，以便更好地理解和研究其特征和规律
用于建立模型：将复杂的现象或事物简化为简单的模型，以便更好地理解和预测其行为和变化
用于风险管理：对风险进行分类和评估，以便更好地管理和降低风险
集合的表示与描述问题解析
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等
集合的表示与描述在解题中的应用
集合论在量子力学中的应用：量子力学是研究微观粒子运动规律的物理学分支。在量子力学中，集合论被用来描述微观粒子的状态，例如在波函数中，微观粒子的状态被描述为一系列的波函数，这些波函数可以构成一个集合。
集合论在相对论中的应用：相对论是研究宏观物体运动规律的物理学分支。在相对论中，集合论被用来描述宏观物体的状态，例如在四维时空坐标系中，宏观物体的状态被描述为一系列的四维时空坐标点，这些坐标点可以构成一个集合。
,
汇报人：
目录
集合的定义
集合是由一些确定的、不同的元素所组成的集合中的元素是互不相同的集合中的元素是确定的，即每一个对象都能明确地归入某一个集合集合中的元素是无序的，即集合中的元素没有先后顺序之分
集合的表示方法
列举法
描述法
韦恩图
数学符号
集合的元素关系
确定性：元素属于集合时，必须是确定的
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
集合的描述方法：元素特征、性质特征等
集合表示与描述的注意事项
集合的运算问题解析
集合的交集运算
集合的并集运算
集合的差集运算
集合的对称差运算
集合的性质与定理问题解析
集合的性质：包括确定性、互异性和无序性
集合的运算：包括交、并、补等基本运算
集合的定理：包括德摩根定律、容斥原理等

优秀教案高中数学集合

优秀教案高中数学集合
教学目标：
1. 理解集合的概念和基本性质；
2. 掌握集合间的运算法则；
3. 能够应用集合理论解决实际问题。

教学内容：
1. 集合的概念和表示方法；
2. 集合间的关系：包含关系、相等关系、不相交关系等；
3. 集合的运算：并集、交集、补集、差集等；
4. 用Venn图表示集合间关系；
5. 应用题目练习。

教学步骤：
一、导入环节
1. 引导学生回顾之前所学的集合的概念；
2. 提出一个关于集合的问题，引导学生思考集合的意义和作用。

二、概念讲解
1. 通过示例引入集合的概念和表示方法；
2. 讲解集合间的关系和运算法则；
3. 讲解如何用Venn图表示集合间的关系。

三、练习环节
1. 设计一些简单的集合练习题，让学生进行练习；
2. 引导学生分组讨论解题思路，并进行答疑。

四、拓展训练
1. 给学生提供一些较难的集合问题，提高学生对集合概念的理解和运用能力；
2. 让学生分组讨论并展示解题思路。

五、课堂总结
1. 总结本节课的重点内容，强调集合的概念和运算法则；
2. 鼓励学生在课后多加练习，加深对集合概念的理解。

教学反思：
1. 教师在讲解概念时要注重生动形象，以便学生更好地理解；
2. 强调集合的思维方式和应用技巧，激发学生的学习兴趣；
3. 鼓励学生多进行练习和实践，巩固和应用所学知识。

注：以上仅为教案范本，具体内容和步骤可根据实际教学情况进行调整和完善。

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高中数学竞赛校本教材§3集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。

（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素。

（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。

常用数集如：R Q Z N ,,,应熟记。

3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。

对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。

4．子集、真子集及相等集（1）A ⊆⇔B A ⊂B 或A ＝B ；（2）A ⊂B ⇔A ⊆B 且A ≠B ；（3）A ＝B ⇔A ⊆B 且A ⊇B 。

5．一个n 阶集合（即由个元素组成的集合）有n 2个不同的子集，其中有n 2－1个非空子集，也有n2－1个真子集。

6．集合的交、并、补运算A B ={A x x ∈|且B x ∈}；A B ={A x x ∈|或B x ∈}I x x A ∈=|{且A x ∉}要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律 A B ＝B A ，A B ＝B A ；（2）结合律A （B C ）＝（A B ） C ，A （BC ）＝(A B ) C ；（3）分配律 A （B C ）＝（A B ）（A C ）A （BC ）＝ (A B ) （A C ）（4）0—1律 A φ＝A ，A I ＝A ，A I ＝I ，A φ＝φ（5）等幂律 A A ＝A ，A A ＝A（6）吸收律 A (A B )＝A ，A （A B ）＝A（7）求补律 A C I A ＝I ，A C I A ＝φ（8）反演律 B A B A B A B A ==,7．有限集合所含元素个数的几个简单性质设)(X n 表示集合X 所含元素的个数,（1）)()()()(B A n B n A n B A n -+=, 当φ=)(B A n 时，)()()(B n A n B A n +=（2）)()()()(C n B n A n C B A n ++= －)()()()(C B A n C B n C A n B A n +--例题讲解元素与集合的关系1．设A ＝{a |a ＝22y x -,Z y x ∈,}，求证：（1）12-k ∈A (Z k ∈)；（2）)( 24Z k A k ∈∉-2．以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数； ②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系。

3．设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立。

证明：S 是由全体正有理数组成的集合。

两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。

这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。

4．设函数),( )(2R b a b ax x x f ∈++=，集合}),(|{R x x f x x A ∈==， })],([|{R x x f f x x B ∈==。

（1）证明：B A ⊆；（2）当}3,1{-=A 时，求B 。

（3）当A 只有一个元素时，求证：B A =．5．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-（1）证明：三个集合中至少有两个相等。

（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？6．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？7．设N n ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，φ=B A ，且B A ={1，2，3，…，n }。

证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数。

课后练习1．下列八个关系式:①{0}=φ ②φ=0 ③φ {φ} ④φ∈{φ}⑤{0}⊇φ ⑥0∉φ ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ} 其中正确的个数（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7≠⊂2．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ⊆B ，则下列式子成立的是（）（A ）C U A ⊆C U B （B ）C U A C U B=U （C ）A C U B=φ （D ）C U A B=φ3．已知M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （）（A ）M （B ）N （C ）P （D ）P M4．设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（）（A ）N M ⊆ （B ）M N ⊆ （C ）N M = （D ）Φ=N M5．设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.6．集合A,B 的并集A∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_________________.7．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a -5}，B={x|3≤x≤22},则能使A ⊆A∩B 成立的a 的取值范围是_______________.8．若A={x|0≤x 2+ax+5≤4}为单元素集合，则实数a 的值为___________________.9．设A={n|100≤n≤600,n∈N}，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.10．己知集合A={x|x=f(x)}，B={x|x=f(f(x))},其中f(x)=x 2+ax+b (a,b∈R)，证明：（1）A ⊆B （2）若A 只含有一个元素，则A=B .11．集合A={（x,y ）022=+-+y mx x },集合B={（x,y ）01=+-y x ,且02≤≤x }，又A φ≠B ，求实数m 的取值范围.课后练习答案1-4 C C B A5．解：由于1995=15⨯133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870。

另一方面，把k 与15k 配对，（k 不是15的倍数，且1≤k ≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A 的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填18706．解：A=φ时，有1种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余2元，共有6种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.7．解：由A 非空知2a+1≤3a-5，故a ≥6. 由A ⊂A ⋂B 知A ⊂B. 即3≤2a+1且3a-5≤22, 解之，得1≤a ≤9. 于是知6≤a ≤98．解：由24122125)(5a a x ax x -++=++.若45241<-a ，则A 有无数个元，若45241>-a ，则A 为空集，只有当45241=-a 即2±=a 时，A 为单元素集}1{-或}1{.所以2±=a9．解：被7除余2的数可写为7k+2. 由100≤7k+2≤600.知14≤k ≤85. 又若某个k 使7k+2能被57整除，则可设7k+2=57n. 即72725672578--+-+===n n n n n k . 即n-2应为7的倍数. 设n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. m=0,1.于是所求的个数为85-(14-1)-2=7010．证明：（1）B A B x x x f x f f x x f A x ⊆∴∈⇒==∴=⇒∈)())((,)((2)设A={c}，即二次方程f(x)-x =0有惟一解c ，即c 为 f(x)-x =0的重根.∴ f(x)-x =(x -c)2 即f(x)=(x-c)2+x ,于是f(f(x))=(f(x)-c)2+f(x),f(f(x))-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=[(x-c)2+x-c]2+(x-c)2=0∴⎪⎩⎪⎨⎧==-+-cx c x c x 0)(2 故f(f(x))=x 也只有惟一解x =c ，即B={c}. 所以A=B11．解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-+01022y x y m x x 得01)1(2=+-+x m x 设1)1()(2+-+=x m x x f 由数形结合得:0)2(04)1(20221≤⎪⎩⎪⎨⎧≥--=∆≤-<-f m m 或解得：1-≤m例题答案：1．分析：如果集合A ＝{a |a 具有性质p }，那么判断对象a 是否是集合A 的元素的基本方法就是检验a 是否具有性质p 。

解：（1）∵k ,1-k ∈Z 且12-k ＝22)1(--k k ,故12-k ∈A ；（2）假设)( 24Z k A k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使24-k ＝22y x -即)12(2))((-=+-k y x y x (*)由于y x -与y x +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。

由此，)( 24Z k A k ∈∉-。