弹性力学第三章10xs
弹性力学第三章
of a rectangular plate in pure shear. P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
Hale Waihona Puke 11D. =bxy , X=0, Y=0
• 满足相容方程 4 =0
• 由下式求出应力分量 x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
Chapter 3 solution of plane problems in rectangular coordinates
第三章 平面问题直角坐标解答
3.1 solution by polynomials 3.1 多项式解答
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
1
Review: Inverse method 逆解法
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
9
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
10
D. =bxy , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 4 =0
• find the stress components by x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
u/x =My/(EI) u=Mxy/(EI)+f(y) v/y = -My/(EI) v= -My2/(2EI)+g(x) u/y+v/x=0 -df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
18
Separation of variables 分离变量
• Select satisfying the compatibility equation 设定 ,并 满足相容方程 4 =0 (2.12.11)
弹性力学第一章序论10xs(土木).
杆
板壳
块体
2)研究方法:
材料力学:较多的假设,得出近似的结果.
弹性力学:较少的假设,得出较精确的结果。
例如,对于高度较大的梁(深梁),材 料力学基于平面假设的公式不再成立。弹性 力学不引用平面假设,得到较为精确的答。 对于带孔的拉伸构件平面假设也不再成立, 应力的分布是不均匀的,弹性力学的计算表 明,在孔边发生应力集中。
机械构件,大的如水轮机
小的如各种齿轮,工作中都将受到载荷作用,需 要进行应力和变形的分析,而这些分析是过去用 理论力学或材料力学的方法办不到的。
第一章 绪论
(土力学,沙漠力学) (水力学)
(风力学)
理论分析方法
-探索新设计、新结构。
实验方法 -具体设计的实验验证
战斗机的静力实验-直接实验
弹性力学
上海大学
2019年9月5日
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第一章 緖 论
第一节 第二节 第三节
弹性力学的基本任务 弹性力学的基本假设 弹性力学的基本概念
第一节 弹性力学的基本任务
与材料力学等的关系:
相同:基本任务:分析、校核、优化 区别: 1)研究对象: 材料力学:研究杆状结构; 结构力学:研究杆系结构; 弹性力学: 板、壳和实体,较精确分析杆。
(Impeller of Power Machine)
动力设备的安全壳盖
(Cover of Safety Shell)
钢结构接头
运动中的乒乓球尾流
人造骨骼
橡胶轮胎
轮胎与轮毂
天文望远镜桁架
齿轮啮合
第二节 弹性力学的基本假设
(1)连续性假设:应力、应变 和位移等物 理量可用连续函数表示。
(桥梁结构)
(土木与建筑结构)
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 (一)逆解法的基本步骤:
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
(二)半逆解法的基本步骤:
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解:
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得: df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得: df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件: 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学第三章
x
M I
y
端部较远处误差较小。
(3) 当 l 远大于 h 时,误差较小;反之误差较大。
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4. 四次多项式
(1) ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
(2)
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
4
x4
24a
4
2 xy4 8c
4
y 4
24e
代入式(f),有
不转动)
u0 0,
M 2EI
l2
l
v0
0,
M l 0
EI
可求得:
u0 0,
v0
Ml 2 2EI
,
u M (l x) y,
Ml
EI v M (l x)2 M
y2
EI
2EI
2EI
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u M (l x) y
EI
(3-4)
h/2
y0
y0
y0
将其代入(f)式,有
u0 0 v0 0
Ml 2 2EI
l
v0
0
Ml
2EI
将其代回(f)式,有
u M (x l )y
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程:
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
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M EI
常数
说明:在微小位移下,梁纵向纤维的曲率 相同。即
1
2v x 2
M EI
—— 材料力学中挠曲线微分方程
你现在浏览的是第十六页,共38页
弹性力学简明教材(电子版)
弹性力学简明教材(电子版)
本教材旨在对读者简明地阐述弹性力学的基本概念和公式,涉
及弹性体的基本特性,力学基本定律,应力应变状态的描述和计算,以及弹性体固有振动和波的传播等内容。
第一章弹性体的基本特性
本章介绍了弹性体的基本特性,包括弹性体的定义、分类、形
变和应力等概念,以及材料的弹性模量和泊松比等基本参数。
通过
本章的研究,读者将会了解弹性体的基本特性,为后续章节的研究
打下基础。
第二章力学基本定律
本章介绍了力学基本定律,即牛顿定律和能量守恒定律,以及
它们在弹性力学中的应用。
通过本章的研究,读者将会了解力学基
本定律的含义和应用。
第三章应力应变状态的描述和计算
本章介绍了应力应变状态的描述和计算方法,涉及应力应变张量和应力应变关系等内容。
通过本章的研究,读者将会了解弹性体中应力应变关系的基本概念和计算方法。
第四章弹性体固有振动和波的传播
本章介绍了弹性体固有振动和波的传播,包括弹性体的本征频率和本征振型,以及弹性波的类型和传播速度等内容。
通过本章的研究,读者将会了解弹性体固有振动和波的传播,为实际问题的解决提供理论基础。
第五章应用实例分析
本章通过实际问题的分析和计算,综合运用前面章节所学的知识,掌握弹性力学在实际工程中的应用。
通过本章的研究,读者将会了解如何分析和解决实际弹性力学问题。
附录:本教材的符号表和计算公式等内容,供读者参考。
总结
弹性力学是工程力学的重要分支之一,具有广泛的应用。
本教材对弹性力学的基本概念、公式和应用进行了简要的阐述,适合初学者学习和工程技术人员参考使用。
弹性力学第五版课后答案
弹性力学第五版课后答案弹性力学是力学中的重要分支之一,涉及材料的力学行为和变形规律等方面。
它在机械工程、航空航天工程、土木工程等诸多领域发挥着重要作用。
为了加深学生对弹性力学的理解和掌握,学术界陆续推出了不少经典教材,其中最受欢迎的当属《弹性力学》第五版。
该教材由Timoshenko、Goodier和Sodhi(逊迪)合作编写而成,是一本非常优秀的教材。
书中所涉及的内容涵盖了弹性力学的方方面面,讲解十分详细,图示清晰,优点诸多。
不过,有一些学生在学习该教材时会遇到答案不全的问题,为了帮助这些学生,下面我补充了一些该教材第五版课后答案的相关内容。
第一章弹性力学的基本概念1.1 弹性体的概念和弹性力学的分类1. What is the definition of an elastic body? 弹性体是什么?Answer: An elastic body is a body that can recover its original shape and size after having been deformed by external forces. 弹性体是指能够在外力作用下发生形变,而在去除外力后能够恢复其原有形态和大小的物体。
2. What are the main branches of elasticity? 弹性力学的主要分支是什么?Answer: The main branches of elasticity are statics of elasticity, dynamics of elasticity, and mathematical theories of elasticity. 弹性力学的主要分支有弹性静力学、弹性动力学和弹性力学的数学理论。
第二章密切假定2.1 独立假定3. Prove that the components of strain tensor do not depend on each other. 证明应变张量的各分量之间是相互独立的。
弹性力学简明教程第四版第三章课件
由应力推出应力函数 的形式; 3.将 代入相容方程,求出 的具体表达式;
4. 将 代入
∂ ∂y
∂ ∂x
∂ ∂x∂y
求出对应的应力分量。
5. 将应力代入边界条件
在s上
考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体,还须 满足位移单值条。如果所有的条件均能满足,上述 解答就是正确的解答。否则,就要修改假设,重新 进行求解。
v 0, 0 l x x y 0
w, u0 , v0
代入式中,得出下列三个方程来决定
2
Ml Ml u0 0, wl v0 0, w0 2 EI EI
求解之后,得
Ml Ml w , u0 0, v0 EI 2 EI
代入式中,得出该悬臂梁的位移分量
逆解法没有针对具体问题进行求解, 而是找出满足相 容方程的应力函数, 来考察它们能解决什么问题。这 种方法可以积累弹性力学的基本解答。
二. 半逆解法 半逆解法是针对实际问题来求解的,半逆解法的具 体步骤如下: 1. 根据弹性受力情况和边界条件等,假设部分或全 部应力分量的函数形式; 2. 根据
∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂x∂y
。 换为 1
例如,梁的纵向纤维的曲率公式,应该变换为
1
1 M
2
EI
§3.4
简支梁受均布载荷
设有矩形截面梁,深度为h,长度为2l,,体力可以不 计,受均布载荷q,由两端的反力ql 维持平衡。(=1 ) q 此问题用半逆解法,步骤如下:
ql 1. 假设应力分量的函数形式 ql h/2 O h/2 由材料力学知: l l 弯应力x 主要是由弯矩 M 引起的, y 切应力xy 主要是由剪力Fs引起的, 挤压应力y 主要是由直接载荷 q 引起的。 因q不随x变,因而可以假设y不随 x 变,也就是假 设 y 只是 y 的函数:y = f (y)
第3章 弹性力学基本知识
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理,ΣY=0, ΣZ=0,整理,得
Hale Waihona Puke : X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量,μ 是泊松比,and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1.外力
外力:作用于物体的外力,通常分为表面力(面力)和体积 力。
(1)面力:指分布在物体表面上的外力,如压力容器所受 的内压,物体和物体相互之间的接触压力等。一般地,面力 是位置坐标的函数,即物体表面各点所受的面力是不同的。 (2)体积力:指分布在物体体积内的外力,通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数,如重力,惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为:
第3章 弹性力学基础知识
平衡方程:
3.3 弹性力学的基本方程之平衡方程
三维问题微元体的平衡: 平衡方程:
xy yx , xz zx , zy yz
弹性力学基本方程
平 衡 方 程
yx s x zx fx 0 x y z xy s y zy fy 0 x y z yz xz s z fz 0 x y z
工程材料的特点
• 金属材料——晶体材料,是由许多原子,离子 按一定规则排列起来的空间格子构成,其中间 经常会有缺陷存在。 • 高分子材料——非晶体材料,由许多分子的集 合组成的分子化合物。 • 工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固 体材料微观结构的复杂性。
弹性力学的基本假定
五个基本假定: 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation)
x 0 x y 0 z xy y yz zx 0 z 0 y 0 x z 0 0 0 u z v 0 w y x
弹性力学的基本假定
1、连续性(Continuity)
整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填 满, 不留任何空隙.即,各个质点之间不存在任何 空隙 好处:物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示;
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
L:微分算子
Lu
弹性力学主要内容及参考书目《弹性力学》
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材: 《弹性力学》(上册,第三版)
徐芝纶 编 高等教育出版社 (Timoshenko)编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书:《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》(例题与习题)
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上,x',y',z' 必为x,y,
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形,将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 (剪)切应变
符号规定: 伸长为正,缩短为负 直角变小为正,直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程(柯西方程)
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3-3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同,应变张量也是二阶对称张量
则,a点的位移为:
u u dx x
v v dx x
b点的位移为:
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理:
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学简明教程(第四版)_第三章_课后作业题答案
第三章 平面问题的直角坐标解答【3-4】试考察应力函数ay 3在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数a 取何值,应力函数 a y 3总能满足应 力函数表示的相容方程,式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时,将应力函数代入公式(2-24),得⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零,故上下边界上无面力 左右边界上;主矢的中心在矩下边界位置。
即本题情况下,可解决各种偏心拉伸问题 偏心距e :e :P因为在A 点的应力为零。
设板宽为b ,集中荷载p 的偏心距e :同理可知,当a <0时,可以解决偏心压缩问题x6ay, y 0, xyyx应力分布如图所示,当 主矢,主矩l? h 时应用圣维南原理可以将分布的面力,等效为右端:f xx xl6ay (0 y h)h _l当a>0时,考察x 分布情况,注意到 0,故 y 向无面力左端:f x ( x )x 0 6ayxyx 0(x )A P pebh bh 2/6e h/6 图3-■xxyh(xy )x l 0Oyf②在x=0 , x=l的次要边界上,面力分别为:12FIy -3 , f yh因此,各边界上的面力分布如图所示:③在x=0,x=l的次要边界上,面力可写成主矢、主矩形式:x=0上x=l上【3-6】试考察应力函数一xy(3h24y2),能满足相容方程,并求出应2h力分量(不计体力),画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布(在小边界上画出面力的主矢量和主矩),指出该应力函数能解决的问题。
h/2h/2| l【解答】(1)将应力函数代入相容方程(2-25)4 4 4石2 2 2 40,显然满足x x y y(2)将代入式(2-24),得应力分量表达式12Fxy 0x 厂3 , y 0, xy yxh3h(i 帶(3)由边界形状及应力分量反推边界上的面力:号,应精确满足应力边界条件式①在主要边界上(上下边界)上,y (2-15),应力y y h/2 0,yxyh/2 0因此,在主要边界yh h2上,无任何面力,即f x y 20, f y y x 0: f x0f y 3Fy2h3Fi2h4y2h2xO(I?h)图3-(a ) (b ) 因此,该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F 作用的问题【3-8】设有矩形截面的长竖柱,密度为 p,在一边侧面上受 【解答】采用半逆法求解。
弹性力学2014_第三章
d 4 f y d 4 f1 y d 4 f2 y d 2 f y 0 0, 2 0 0, 0 4 4 4 2 dy dy dy dy f y Ay y 3 By y 2 Cy yD
2
§3-4 §3 4 简支梁受均布载荷
弹性力学与材料力学解答的比较 弹 学与 料 学解
y 2 3 M 6 q 2 y2 y 2 y3 x 3 yl qx 4 y 2q 4 2 I h h h5 h h 5 q y 2 y y 1 1 2 h h 2 FS6 S q h 2 y xy xy 3 x bI h 4
§3-1 逆解 § 逆解法与半逆解法 半逆解 多项式解 多项式解答
当体力为常量时,按应力求解平面问题,最后可以 归结为求解一个应力函数,它必须满足下列条件:
(1) 在区域内的相容方程
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
4 0
(2) 在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界条件)
u M v M v u y, y, 0 x EI y EI x y
§3-3 §3 3 位移分量的求出
将前两式积分可以得到
M M 2 u xy y f1 y , v y f2 x EI EI v u 0 代入 代 x y df 2 x M df1 y df 2 x M df1 y x x 0 dx EI dy dx EI dy
应力的量纲 N/m2 以上分量的量纲 N/m3 因此应力的表达式可能为 A1 gx, B 1 gy, C 2 gx, D 2 gy 的组合
弹性力学简明教程(第四版)第三章课后习题答案
③在 x=0,x=l 的次要边界上,面力可写成主矢、主矩形式: x=0 上 x=l 上
x向主矢:FN1 = y向主矢:FS1 = 主矩:M 1 =
h/2 -h/2
h/2
h / 2 h/2
f x dy 0, f y dy F ,
FN2 FS2
h/2
h / 2 h/2
h / 2
④在次要边界 x l 上,分布面力为
f x x l x x l f y x l xy
主矩: 弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示
M'
x x l ydy h / 2 2blydy 0 h / 2
(3) cxy
3
将应力函数代入公式(2-24) ,得应力分量表达式
x 6cxy, y 0, xy yx 3cy 2
考察应力边界条件,主要边界,由公式(2-15)得
y
在
h h h f x y bh, f y y 0 2 2 2 主要边界,上边界上,面力为
在
y
h h h f x y bh, f y y 0 2 2 2 ,下边界上,面力为
面力的主矢、主矩为 x 向主矢
Fx
x x l dy h / 2 6clydy 0 h / 2
h/2 h / 2
h/2
h/2
y 向主矢:
Fy
h/2
y x l
dy
h/2
h/2
h / 2
ch 3cy dy 1 4
2
3
主矩:
弹性力学第三章
u =u v=v
位移解法例题
单位厚度薄板,两侧均匀受压,上下刚性约束, 单位厚度薄板,两侧均匀受压,上下刚性约束,不计摩擦和 体力 位移场
u = u ( x) v=0
拉梅方程
E ′ ∂ 2u 1 −ν ' ∂ 2u 1 + ν ' ∂ 2 v ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y E ′ ∂ 2 v 1 −ν ' ∂ 2 v 1 + ν ' ∂ 2u ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂ 2u =0 2 ∂x
第三章 平面问题的直角坐标解法 问题的简化
空间问题
特殊化
平面应力问题 平面问题 平面应变问题
问题的解法
位移解法 应力解法 应力函数解法
特殊问题的解
悬臂梁的弯曲解 均布横向荷载简支梁的弯曲解 任意横向荷载简支梁弯曲的三角级数解
平面应变问题
1)无限长的等直柱体; 2)在柱体侧面受到与轴线垂直,且沿轴向均布的面力 作用; 0 Tz = 3)体力也垂直于轴线,并沿轴线均布。Fz = 0
边界条件
力学边界条件
E′ ∂u 1 − ν ′ ∂u ∂v ' ∂v [ nx ( + ν ) + ny ( + )] = Tx 2 1 −ν ′ ∂x ∂y 2 ∂y ∂x E′ ∂v ∂u 1 − ν ′ ∂v ∂u ′ ) + nx [ny ( + ν ( + )] = Ty 2 1 −ν ′ ∂y ∂x 2 ∂x ∂y
− ∫ yσ x dy = M
h 下表面 y = + : 2 nx = 0, n y = 1
弹性力学第4章第3章PPT课件
9
D 由应力函数求解时所用公式 应力函数表示的相容方程为
4x 4 2x22y2 4y 4 0
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy
y
l x m yx fx
m y l xy f y
xy
2 xy
40
10
逆解法的主要步骤
• 就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数;
40
• 再求出应力分量;
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
• 然后根据应力边界条件来考察, 在各种形状的弹性体上,
这些应力分量对应于什么样的面力, 从而得知所设定的应
2xy
xy
6
用应力表示的相容方程〈平面应力情况 )
x2 2 y2 2 xy 1 fx x fy y
用应力表示的相容方程(平面应变情况)
x22 y22 xy 1 1 fxx fyy
如体力与坐标无关(例如重力), 则
x22 y22x y 0
y
2 x 2
xy
2 xy
l x m yx fx
m y l xy f y
13
§3-1 多项式解答2
第三章 平面问题的直角坐标解答
用逆解法求出几个简单平面问题的多项式解答
假定体力可以不计 fx fy 0
取一次式 Φabxcy 相容方程总能满足!
x 0 y 0
xyyx0
fx fy 0
x
2 y 2
弹性力学3
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答 §3-2 矩形梁的纯弯曲 §3-3 位移分量的求出 §3-4 简支梁受均布载荷 §3-5 楔形体受重力和液体压力 习题课
2
学习指导
1、按应力函数求解时,必须满足的条件; 2、逆解法和半逆解法; 3、由应力求位移的方法; 4、从简支梁受均布荷载的问题中,比较弹性 力学和材料力学解法的异同。
逆解法基本步骤:
代入
设定 Φ 式(b)
求出 应力分量
代入
应力边 界条件
求出 面力(合力)
确定
解决 什么问题
6
半逆解法:针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和受 力情况,假设部分或全部应力分量为某种形式的函数,从而推 出应力函数Φ ,然后来考察,这个应力函数是否满足相容方程, 以及,原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应 力分量,是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方 程和各方面的条件都能满足,自然就得出正确的解答;如果某 一方面不能满足,就要另作假设,重新考察。
由第二式可见,不论约束情况如何,只要位移是微小的,梁的 各纵向纤维的曲率都为
1 2v M
x2 EI
22
(一)简支梁 M
o
x
l y
图3-3 (a)
M
u
M EI
xy y
u0
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x
v0
如图3-3(a),约束条件为: (u)x0 0, (v)x0 0, (v)xl 0
y
解: 按逆解法
弹性力学(徐芝纶)第三章习题答案
第三章1、解:由题意可知:简支梁所受体力为F g ρ=,所以0,x y f f g ρ==应力函数为:232325432()()2106x A BAy By Cy D x Ey Fy Gy y y Hy Ky Φ=++++++--++从而得应力分量:()2232223222262(62)22622(32)(32)x x y y xy x f x Ay B x Ey F Ay By Hy Ky f y Ay By Cy D gyxx Ay By C Ey Fy G σσρτ∂Φ=-=+++--++∂∂Φ=-=+++-∂=-++-++ (a )考虑对称性,,x y σσ为x 的偶函数,xy τ为x 的奇函数。
于是得:0E F G ===。
下面考虑上下两边的边界条件:22()0,()0y hxy h y y στ=±=±==,代入(a ),得: 3208422h h h hA B C D g ρ+++-= 3208422h h h hA B C D g ρ-+-++= 23()04h x A hB C -++=即2304h A hB C ++=23()04h x A hB C --+=即2304h A hB C -+=以上四式联立得:223,0,,22g g gA B C D h h ρρρ=-===- 代入(a ),并注意0E F G ===得:2322322264+6223226+2x y xy g g x y y Hy K h h g g gy y gy h h g g xy xh ρρσρρρσρρρτ=-++=-+--= (b )现在考虑左右两个边的边界条件,由于对称性,只需考虑一边,例如右边,也就是x l =,用多项式求解,只能要求x σ在这部分边界上合成为平衡力系,也就是要求:2-2()0,h h x x l dy σ==⎰2-2()0h h x x l ydy σ==⎰。
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2
4 0
(可作为应力函数 )
2 x 2 2c y 2 2a xy xy b (a >0 , b >0, c >0) x y 2a
2
(3)边界条件
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x y dy M 12 M x 3 y h
h 2 h 2
6ay dy M M x 3 y (h / 12)
2
M x y I
可见:此结果与材力中结果相同,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。 l l
说明: M min 3dh
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布,且中心处为零,结果才 是精确的。 (2) 若按其它形式分布,如: 则此结果不精确,有误差; 但按圣维南原理,仅在两端误差较 大,离端部较远处误差较小。
适用性:由一些直线边界构成的弹性体。 目的: 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ,能解决什么样的 力学问题。 ——逆解法
1. 一次多项式
( x, y) ax by c
其中: a、b、c 为系数。
4
4 4 4 (1) 检验φ(x,y) 是否满足相容方程: 2 2 2 4 0 4 x x y y 显然φ(x,y) 满足相容方程,因而可作为应力函数。
4 x 2 ( 4) f ( y) xf1( 4) ( y) f 2( 4) ( y) y 4 2
x 2 ( 4) ( 4) ( 4) ( 2) f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) 2 f ( y ) 0 2
x ( 4) f ( y ) xf1( 4) ( y ) f 2( 4) ( y ) 2 2 f ( 2) ( y ) 0
将其代入(f)式,有
u0 0
v0 0
Ml 2 EI
梁的挠曲线方程:
Ml 2 l v0 0 2 EI
将其代回(f)式,有
M M 2 v (l x) x y 2 EI 2 EI
M l u (x ) y EI 2
v y 0
M (l x) x 2 EI
x EI
率相同。即
2v M 2 x EI 1
—— 材料力学中挠曲线微分方程
2. 位移边界条件的利用
(1)两端简支
其边界条件:
u x 0 0 v x 0 0 v x l 0
y 0 y 0
y 0
M u xy y u0 EI (f) M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
—— 与材力中结果相同
按应力求解的应力函数法基本方程: 应力函数表示 的相容方程
(对常体力情形)
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
0
4
应力函数表示 的应力分量
2 2 2 x 2 Xx y 2 Yy xy xy y x
将式 (d) 代入 (c) 中第三式,得:
f1 ( y) y u0
M 2 f 2 ( x) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x x v0 EI
将上式代入式(d),得
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
M u xy y u0 (f) EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
2c 2a y
2c x
结论2: 二次多项式对应于均匀应力分布。
xy b
例: 试求图示板的应力函数。
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
y2
a 为系数
y
0
( x, y) 0 xy
3. 三次多项式
(1) 相容方程
ay 3
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
0
横截面保持平面
—— 材力中“平面保持平面”的假设成立。
(2) 将下式中的第二式对 x 求二阶导数:
M u xy y u0 EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI 1 2v M 2 常数 说明:在微小位移下,梁纵向纤维的曲
方程的特点:
2
1
q
ql
h/2 h/2
ql
x
z
y
l
关于 x 的二次方程,且要求 -l≤ x ≤ l 内方程均成立。 由“高等代数”理论,须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即:
假设部分应力分量 x , y , xy 的某种函数形式 ; (2) 4 根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 0 ,求 出φ(x,y) 的形式;
(3)最后利用式计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和位移单值 条件。
二. 多项式解答
y
h 上下边界;y : 2
左右边界; l : x
h 2
1
精确满足
h 2 h 2
xy dy 0
xy 0
h 2 h 2
满足
h 2 h 2
h 2 h 2
x dy 0
x 6ay
6ay dy 0 满足
2M a 3 h M (或a 3 ) h 2
(1)应变分量
由前节可知,其应力分量为:
M y
x
1
h
y 0 xy 0
M y My x I h3 / 12
(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
(2)位移分量
将式(b)代入几何方程得:
平面应力情况下的物理方程:
x 1 ( x y)
结论3 :
ay
3
—— 对应于线性应力分布, 矩形截面梁的纯弯曲。
三.矩形梁的纯弯曲(不计体力)
设应力函数
l
l
ay
4
3
(1) 相容方程
(2) 应力分量
0 满足 x 6ay, y 0, xy 0
y 0, xy 0
M
h 2
M x
(3)边界条件 (确定常数 a 与弯矩 M 的关系)
E y 1 ( y x) E xy xy
G
将式(a)代入得:
u 1 My x x E I v My y y E I xy u v 0 y x
(c)
(2)位移分量
u 1 My x x E I v My y y E I u v xy 0 y x
(2) 由应力分量计算式, 求出
x , y , xy(具有待定系数);
(2)半逆解法
(3)再利用应力边界条件式,来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样 的边界面力问题,从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问 题。 —— 主要适用于简单边界条件的问题。 (1)根据问题的条件(几何形状、受力特点、边界条件等),
(2)位移分量
M u xy y u0 (f) EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
式中:u0、v0、ω 由位移边界条件确定。
M
l
M y
x
1
h
讨论:
(1)
M u M 当 x = x0 =常数 u x0 常数 x y x x0 EI y EI u —— u 关于铅垂方向的变化率,即铅垂方向线段的转角。 y u M x0 常数 说明: 同一截面上的各铅垂 |x x y x x0 EI 线段转角相同。
位移边界条件
u s u , vs v
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
应力边界条件
说明:
(1)对多连体问题,还须满足位移单值条件。
(2)应力函数确定方法:逆解法、半逆解法。
五. 简支梁受均布载荷
要点 —— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 1. 应力函数的确定
2
结论1:
(1) 一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态;
在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。 (2)
2. 二次多项式
(1) 相容方程
ax 2 bxy cy 2
其中: a、b、c 为系数。
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
2 0 x 2 Xx 0 y 2 Yy 0 xy xy y x l ( x ) s m( xy ) s X X 0 (3)应力边界条件 得 m( y ) s l ( xy ) s Y Y 0
2
(2) 对应的应力分量: (不计体力:X = Y =0)
(1) 分析: x —— 主要由弯矩引起; h/2 h/2
1
q ql z ql x l y l
xy y
—— 主要由剪力引起;
y
——由 q 引起(挤压应力)。
又∵ q =常数,图示坐标系和几何对称,∴ y 不随 x 变化。 推得:
y f ( y)
( x, y ) 的形式:
(2) 由应力分量表达式确定应力函数
应力分量
2
0
4
M min
(可作为应力函数 ) 3ah
M