§8.4全微分与梯度

同样
f y (0 , 0 ) = 0
x + y ≠0
2 2
时
1 2x cos 2 f x ( x , y ) = 2 x sin 2 − 2 2 2 x + y x + y x 1 2y f y ( x , y ) = 2 y sin 2 − 2 cos 2 2 2 x + y x x + y lim f x ( x , y ),
∂z ∂z 2 解： = y +2x ， = 2 xy ， ∂x ∂y
∂z ∂z =6 ， ∂ x (1, 2) ∂y
=4 ，
(1, 2)
dz = 6dx + 4dy ， grad z = {6, 4} 。
例 4．求函数 u = e x + z sin( x + y ) 的全微分。
∂ u x+ z 解： =e [sin( x + y ) + cos( x + y )] ， ∂x
证明： ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )
= [ f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y + ∆y )]+[ f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )]
= f x ( x + θ1∆x, y + ∆y ) ∆x + f y ( x, y + θ 2 ∆y )∆y
∂z ∂z 即 grad z = { , } 。 ∂x ∂y
一般地，若 n 元 函数 u = f ( M ) = f ( x1 , x 2 ,L x n ) ，
在点 M 处可微，则在点 M 处有 ∆u = du + o( ∆M ) ，
∂u ∂u ∂u du = grad u ⋅ dM = dx1 + dx 2 +L+ dx n ， ∂x1 ∂x 2 ∂x n
∆z = f ( x + ∆x, y) − f ( x, y) = A∆x + o ∆x ，
o ∆x f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) lim = lim ( A + ) = A， ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x
f x ( x, y ) = A
同理
f y ( x, y ) = B .
∂u ∂u ∂u grad u = { , ,L, } ， dM = {dx1 , dx 2 , Ldx n } 。 ∂x1 ∂x 2 ∂x n
xy x2 + y2 ≠ 0 例1 设f ( x, y ) = x 2 + y 2 x2 + y2 = 0 0 求f x (0,0), f y (0,0), 并讨论 f ( x, y ) 在 (0,0) 处的可微性.
全微分的两个性质： 全微分的两个性质： （1） dz是∆x和∆y的线性函数 ； ） （2） ∆z与dz之差是比ρ高阶的无穷小 。 ）
可微
连续
∵ z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微 可微，
∴ ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ) ，∴ lim ∆z = 0 。
ρ →0
处不连续， 若函数 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处不连续， 处必不可微。 则 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处必不可微。
( x , y )→ (0 , 0 )
( x , y )→ (0 , 0 )
lim
f y ( x , y )不存在
1 + y2 1 + y2
∴ f x , f y 在 (0,0 ) 处不连续 .
而 ∆z −
2
= (∆ x ) + (∆ y ) sin
2
[
(f
' x
(0 , 0 ) ∆ x +
f y (0 , 0 ) ∆ y 1
上式当 ∆ x , ∆ y 分别沿 ∆ y = 上式的极限不存在
∆x , ∆y = − ∆x
趋于零时 , 极限分别为 1, − 1 .因此当 ( ∆ x , ∆ y ) → ( 00 ), .故 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处不可微 .
注:由定理及例1知偏导数存在是可微的必要条件, , 而非充分条件当偏导数存在时可得到表达式 . ∂z ∂z ∆x + ∆y. 但它并不一定是全微分dz, 必须再 ∂x ∂y ∂z ∂z 加上"∆z −[ ∆x + ∆y]是比ρ 高阶无穷小"的条件, ∂x ∂y
ρ = ( ∆ x ) + ( ∆y )
2
2
则称f ( x , y )在( x , y )处可微
记 dz = A∆x + B∆y ∆
( x + ∆x , y + ∆y ) • y • ( x, y)
为f ( x , y )在( x , y )处的全微分
0
x
处处可微， 若 z = f ( x, y ) 在区域 D 内 处处可微，则称 z = f ( x, y ) 为区域 D 内 的可微函数。 可微函数。
§8.4 全微分与梯度
一、全微分 的定义
一元函数微分学 一元函数微分学 ∆ y = f ( x + ∆ x ) − f ( x ) = f ′ ( x ) ∆ x + o( ∆ x ) ≈ f ′ ( x ) ∆ x
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ≈ f x ( x , y )∆ x
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ≈ f y ( x , y )∆y
偏增量 偏微分
1．二元函数全微分的定义 ．
全增量 定义
使
∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y )
若∃与∆x、∆y 无关的常数A、B
∆z = A∆x + B∆y + 0( ρ ) 成立 ∆ ∆∆x源自(∆x )2 + (∆y )2
+ α2
∆y
(∆x )2 + (∆y )2
≤ α1 + α 2 ,
又 lim α i = 0 (i = 1, 2).
ρ→0
∴ α1∆x + α 2 ∆y = o(ρ)(ρ → 0).
故由定义知 z = f ( x, y ) 在点 M ( x, y ) 可微。
1 2 2 ( x + y ) sin 2 2 例2 设 f ( x, y ) = x + y 0
]
)
= o
∴ f ( x , y )在 (0 , 0 )可微 , 且 dz = 0 .
(∆ x )2 + (∆ y )2
(∆ x )2 + (∆ y )2

z 在点( x , y )处， = f ( x , y )
偏导数连续
可微
偏导数 ∃
连续
例 3．求函数 z = xy 2 + x 2 在点 (1, 2) 处的全微分 dz 和梯度。
如果 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 存在全微分 dz = A∆x + B∆y ， 那么 A＝？，B＝？
3．定理 2（可微的必要条件） 可微的必要条件）
如果函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微，则该函数在 点 ( x, y ) 的偏导数 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) 必存在，且
dz = f x ( x, y ) ∆x + f y ( x, y )∆y
规定 dx = ∆x ， dy = ∆y ，则
.
∂z ∂z dz = f x ( x, y ) dx + f y ( x, y )dy 或 dz = dx + dy 。 ∂x ∂y
r ∂z ∂z 若记 A = { , } ， dM ={dx, dy} 。 ∂x ∂y
∂u x+ z =e cos( x + y ) ， ∂y
∂ u x+ z =e sin( x + y ) ， ∂z
du = e
x+ z
{[sin( x + y ) + cos( x + y )]dx + cos( x + y )dy + sin( x + y )dz}
(0 < θ1 <1, 0 < θ 2 <1)
= [ f x ( x, y ) + α1 ]∆x +[ f y ( x, y ) + α 2 ]∆y (α i → 0)
= f x ( x, y )∆x + f y ( x, y )∆y + α1∆x + α 2 ∆y
α1∆x + α 2 ∆y = α1 而 ρ
r ∂z ∂z ∂z ∂z 则 dz = A⋅ dM = { , }⋅{dx, dy} = dx + dy 。 ∂x ∂y ∂x ∂y
r ∂z ∂z 梯度， A = { , } 称为 z = f ( M ) = f ( x, y ) 在点 M ( x, y ) 处的梯度 梯度 ∂x ∂y
记为 grad z ，
lim f (∆x,0) − f (0,0) lim 0 − 0 解 : f x (0,0) = = =0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x lim f (0, ∆y ) − f (0,0) lim 0 − 0 =0 f y (0,0) = = ∆y → 0 ∆y → 0 ∆y ∆y