2019高考(新课标)数学(理)二轮专题复习(课件)：专题六第2讲概率、随机变量及其分布列
专题六第2讲概率、随机变量及其分布列
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
[自主解答]
(1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、
丙独立通过检测合格分别为事件 A、B、C，则事件“得 分不低于 8 分”表示为 ABC＋A－ B C. ∵ABC 与 A－ B C 为互斥事件，且 A、B、C 为彼此独 立， ∴ P(ABC ＋ A － B C) ＝ P(ABC) ＋ P(A － B C) ＝
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
【例 2】中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母， “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力 安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进， 增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须 对其中的三项不同指标甲、 乙、 丙进行通过量化检测． 假 如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概 3 2 1 率分别为 、 、 .指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 4 3 2 分、4 分；若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各 项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率； (2)求该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不 少于 2 个的概率．
考 点 核 心 突 破
3 C. 4π
1 D. 2π
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
第2部分 专题6 第2讲 基本初等函数、函数的应用 课件(共53张PPT)
log138，则( )
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
4
4
4
4
A
[因为
4 5
＝log885，b＝log85，(85
)5＝84＞55，所以85＞5，所以45
＝log885
4
4
4
＞log85＝b，即b＜
4 5
.因为
4 5
＝log1313
5
，c＝log138，(13
5
)5＝134＜85，所以13
A．1
B．2
C．3
D．4
C [对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.
又∵当x∈[－2,0]时，f(x)＝
2
2
x
－1，且函数f(x)是定义在R上的
偶函数，
且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象 如图所示，
∴f(1)f
3 2
＜0，根据零点存在定理可知，零点在区间
1，32
内．故选C．]
2．[判断零点的个数]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任
意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝
2
2
x
－1，
则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )
通性通法：应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键 (1)一般程序：文读字语 题言⇒数建学语 模言⇒数求学解应用⇒检反验作 馈答. (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析 式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
【精选8套高考试卷】2019届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题六第二讲概率、随机变量及其分布列
专题六概率与统计、算法、复数、推理与证明第二讲概率、随机变量及其分布列高考导航1．考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容．2．综合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题.1．(2017·济南模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45[解析] 设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝＝0.60.75＝45＝0.8，故选A.[答案] A2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部色和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4[解析] 设正方形的边长为2，则正方形的内切圆半径为1，其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为π2，所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率P ＝π22×2＝π8，故选B.[答案] B3．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.[解析] 由题意知，X ～B(100,0.02)， ∴D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98 ＝1.96. [答案] 1.964．(2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E(X)． [解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P(M)＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P(X ＝0)＝C 56C 510＝142，P(X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P(X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P(X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P(X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 的数学期望是E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.考点一 古典概型、几何概型、条件概率1．古典概型的概率公式P(A)＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.2．几何概型的概率公式 P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率 P(B|A)＝＝.[对点训练]1．(2017·山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49 .59D.79[解析] 由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n ＝9×8＝72，抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m ＝C 15C 14A 22＝40，所以所求概率P ＝m n ＝4072＝59.故选C.[答案] C2．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上随机取一个数x ，则cos πx 的值介于22与32之间的概率为( ) A.13 B.14 C.15D.16[解析] 区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12的长度为1，满足cos πx 的值介于22与32之间的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－16∪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，14，区间长度为16，由几何概型概率公式得P ＝161＝16.[答案] D3．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为________．[解析] 解法一：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}， 事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}． 由题意可得P(AB)＝3×24×3＝12，P(A)＝3×34×3＝34，所以P(B|A)＝＝1234＝23. 解法二：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}， 事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝3×2＝6种，事件A 发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9，所以P(B|A)＝＝69＝23. [答案] 234．(2017·郑州一模)某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．[解析] 设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝4×85×8＝45.[答案] 45解答几何概型、古典概型、条件概率的关键(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(4)求条件概率时，关键弄清在哪种条件下发生的概率，以便正确使用公式求解．【易错提醒】 在几何概型模型中，当问题中涉及两个变量时，可以考虑构造坐标平面上的区域解决．考点二 相互独立事件与独立重复试验[思维流程](1)判断事件关系―→确定X 的取值―→ 利用公式计算X 各值概率―→求分布列与(2)分析事件特征―→求互斥事件概率―→问题求解 [解] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P(X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124.P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P(X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E(X)＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝12.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y ＋Z ＝1)＝P(Y ＝0，Z ＝1)＋P(Y ＝1，Z ＝0) ＝P(Y ＝0)P(Z ＝1)＋P(Y ＝1)P(Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14 ＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.角度2：独立重复试验概率问题[思维流程](1)判断事件关系―→判断概率类型―→利用公式求解 (2)弄清X 的含义―→确定X 的取值―→符合二项分布特征―→利用公式求解[解] 记第i 名工人选择的项目属于基础设施类， 民生类，产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3. 由题意知A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，C 3均相互独立． 则P(A i )＝3060＝12，P(B i )＝2060＝13，P(C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，(1)3人选择的项目所属类别互异的概率： P 1＝A 33P(A 1B 2C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率： P 2＝30＋1060＝23， 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， 得P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233－k (k ＝0,1,2,3)，∴X 的分布列为∴X 的数学期望E(X)＝3×23＝2.求复杂事件概率的2种方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解，对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．[对点训练]1．[角度1](2017·湖北黄冈模拟)已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA 来确定是否感染，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止，方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率；(2)首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？[解] (1)方案乙中所需化验次数恰为2次有两种情况：①先化验一组，结果不含病毒DNA ，再从另一组任取一个进行化验，则恰含有病毒的概率为C 35C 36×1C 13＝16.②先化验一组，结果含有病毒DNA ，再从中逐个化验．恰第一个样品含有病毒的概率为C 25C 36×1C 13＝16.∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为16＋16＝13.(3)设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能取值为1,2,3,4,5，对应的化验费为η元． 则P(ξ＝1)＝P(η＝10)＝16.P(ξ＝2)＝P(η＝18)＝56×15＝16.P(ξ＝3)＝P(η＝24)＝56×45×14＝16.P(ξ＝4)＝P(η＝30)＝56×45×34×13＝16.P(ξ＝5)＝P(η＝36)＝56×45×34×23＝13.∴η的分布列为用方案甲平均需要化验费E(η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．2．[角度2](2017·湖北省七市(州)高三联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人，记X 表示2人中进入决赛的人数，求X 的分布列及数学期望； (3)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．[解] (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴总人数为70.14＝50.由题图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2，∵进入决赛的概率为3650＝1825，∴X ～⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1825， P(X ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫7252＝49625，P(X ＝1)＝C 12×725×1825＝252625，P(X ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫18252＝324625.∴X 的分布列为∴E(X)＝2×1825＝3625，即X 的数学期望为25.(3)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧8≤x≤10，9.5≤y≤10.5，设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x>y ，作出可行域如图中阴影部分所示，∴由几何概型得P(A)＝12×12×121×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为116.考点三 随机变量的分布列、均值与方差1．均值与方差的性质 (1)E(aX ＋b)＝aE(X)＋b ；(2)D(aX ＋b)＝a 2D(X)(a ，b 为实数)． 2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E(X)＝p ，D(X)＝p(1－p)； (2)若X ～B(n ，p)，则E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)．【例2】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．[思维流程](1)判断概率类型―→利用古典概型公式求解 (2)弄清x 含义―→确定x 取值―→利用古典概型求概率―→求分布列和ξ(3)观察图形的离散程度―→确定结果[解] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2. P(ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P(ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P(ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为故ξ的期望E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×6＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．[对点训练](2017·武汉二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：购买基金：(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．[解] (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1.又因为p ＝14，所以q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A B －∪A －B ∪AB ，且A ，B 独立． 由题表可知，P(A)＝12，P(B)＝p.所以P(C)＝P(A B －)＋P(A －B)＋P(AB)＝12·(1－p)＋12p ＋12p ＝12＋12p. 因为P(C)＝12＋12p>45，所以p>35.又因为p ＋13＋q ＝1，q≥0，所以p≤23.所以35<p≤23.(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)， 所以随机变量X 的分布列为则E(X)＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， 所以随机变量Y 的分布列为则E(Y)＝2×12＋0×13＋(－1)×16＝56.因为E(X)>E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．热点课题22 求离散型随机变量的分布列与均值[感悟体验](2016·甘肃张掖一诊)近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米的空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．张掖市2015年10月1日至10日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．(1)在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；(2)某游客在此期间有2天在张掖市旅游，这2天张掖市的PM2.5监测数据均未超标，请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3)从所给10天的数据中任意抽取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．[解] (1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，P(A)＝2＋410＝35.(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P(B)＝C12·C14C26＝815.(3)ξ的可能值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C36C310＝16，P(ξ＝1)＝C26·C14C310＝12，P(ξ＝2)＝C16·C24C310＝310，P(ξ＝3)＝C34C310＝130.其分布列为E(ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×30＝5.2020年高考数学模拟试卷含答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
高考数学理二轮专题复习课件专题六概率与统计第二讲概率【精选】
专题六 概率与统计
强 化 训 练 2 (2013·成 都 市 诊 断 性 检 测 ) 已 知 集 合 {(x ，
2x＋y－4≤0 y)|x＋y≥0 }表示的平面区域为 Ω，若在区域 Ω 内任取一
x－y≥0
点 P(x，y)，则点 P 的坐标满足不等式 x2＋y2≤2 的概率为( A )
栏目 导引
专题六 概率与统计
【解】因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等， 出现的可能情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，5)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)共 16 种． (1)事件“m 不小于 6”包含其中(1，5)，(2，5)，(3，5)，(3， 3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)共 8 个基本事件，所以 P(m≥6)＝186＝12.
3π A. 32
3π B. 16
π
π
C.32
D.16
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专题六 概率与统计
【解析】 作出不等式组
2x＋y－4≤0 x＋y≥0 表示的平面区域，如图三角形 x－y≥0
ABO，且有
A(43，
43)，B(4，－4)，所以 S△ABO＝12×4 3 2×4 2＝136，点 P 的坐
标满足不等式 x2＋y2≤2 的面积 S 扇形＝14×π ( 2)2＝π2 ，
3．(2013·高考辽宁卷)现有6道题，其中4道甲类题，2道 乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．
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专题六 概率与统计
【解】(1)将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4；2 道乙类 题依次编号为 5，6.任取 2 道题，基本事件为：{1，2}，{1， 3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2， 6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用 A 表示“都 是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有{1，2}，{1， 3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共 6 个，所以 P(A) ＝165＝25. (2)基本事件同(1)，用 B 表示“不是同一类题”这一事件， 则 B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}， {3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共 8 个，所以 P(B)＝185.
2019届高三数学二轮复习备考《概率与统计的高考分析》课件(共40张PPT)
2018全国I卷理20
以生产线为背景，加以合理的数学抽象和数据分析，考查学生解决 实际问题的能力。
用求导法 求最值
~
EY=180X0.1=18
近5年全国Ⅱ、 Ⅲ卷试题回顾及特点简析
针对近5年全国Ⅱ Ⅲ卷试题的特点， 分析其主要涉及以下5大知识和思想：
1.线性回归直线 2.茎叶图 3.独立性检验 4.条件概率 5.讨论的思想
2015全国I卷文理19
2015全国I卷文理19
换元
年利率Z : z 0. 2 y x y d x c
二次函数 求最值
2016全国I卷理19
2016 课标卷 1：某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件, 在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足 再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
命题规律Ⅱ 、Ⅲ 卷（文科）
考查知识点
2018 Ⅱ 18 2018 Ⅲ 18 回归直线方程，并进行预报值分析 茎叶图并进行分析
2017 Ⅱ 19 2017 Ⅲ 18
2016 Ⅱ 18 2016 Ⅲ 18 2015 Ⅱ 18 2014 Ⅱ 19
频率分布直方图求概率，独立性检验 根据表格进行求概率
根据表格进行求概率 根据给定的频率对应表，求平均数 （这个表格就是理科学习的分布列） 画频率分布直方图，求平均数。根据分布图进行求概率 根据茎叶图求中位数，根据茎叶图求概率，分析茎叶图
近五年对比Ⅰ卷和Ⅱ Ⅲ卷的高考题， 从知识点的考查来看，他们各自的风 格相对比较稳定，特别是Ⅱ Ⅲ卷。我们不 难发现，Ⅱ Ⅲ卷较I卷难度要小一些。 1. Ⅰ卷对正态分布，二项分布考查非常 频繁 。 2.Ⅱ 、Ⅲ卷中常考的独立性检验，茎叶 图，条件概率，在I卷中从来没有考查过。 3 .Ⅱ 、Ⅲ卷中从来没有考查过超几何分 布，二项分布，正态分布.
【2019届高考二轮臻品资源-数学】专题六 第2讲 选修4-5 不等式选讲(学生版)
本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．1．绝对值不等式的性质定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 2．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ． (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．3．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解． (2)利用零点分段法求解．(3)构造函数，利用函数的图象求解． 4．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ．当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．热点一 绝对值不等式的解法与最值问题考向预测知识与技巧的梳理热点题型专题六第2讲 选修4-5 不等式选讲选修部分【例1】(2019·肇庆一模)已知函数()()22f x x a x a =-+-∈R ． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集； （2）若()2f x ≥，求实数a 的取值范围． 解（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩，解得223x x <>或，所以不等式的解集为223x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或.（2）()2211f x x a x x a x x =-+-=-+-+-()11111x a x x a x a ≥---+-=-+-≥-， 当且仅当1x =时，两处等号同时成立，所以12a -≥，解得1a ≤-或3a ≥， 实数a 的取值范围是(][),13,-∞-+∞．探究提高 1．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集．此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解． 2．不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决． 【训练1】 (2017·郑州三模)已知不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞)． (1)求实数m 的值；(2)若不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)由|x －m |<|x |，得|x －m |2<|x |2， 即2mx >m 2，又不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞)， 则1是方程2mx ＝m 2的解， 解得m ＝2(m ＝0舍去)．(2)∵m ＝2，∴不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a －5<|x ＋1|－|x －2|<a＋2对x ∈(0，＋∞)恒成立．设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝21,023,2x x x -<<⎧⎨⎩≥，当0<x <2时，f (x )在(0，2)上是增函数，－1<f (x )<3， 当x ≥2时，f (x )＝3．因此函数f (x )的值域为(－1，3]．从而原不等式等价于5123a a --⎧⎨+>⎩≤．解得1<a ≤4．所以实数a 的取值范围是(1，4]．热点二 不等式的证明【例2】(2018·雅礼中学)已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ． （1）求a 的值；（2）若p ，q 是正实数，且满足p q a +=，求证：1143p q +≥． 解（1）因为()()12123x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()f x 的最小值等于3，即3a =； （2）证明：由（1）知3p q +=， 又因为p ，q 是正实数，所以1111112433333333p q q p p q p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32p q ==时，等号成立． 探究提高 当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法．【训练2】(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 欲证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ， 只需证明ab >cd ，即证ab >cd ． 由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d ． (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ． ∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd ． 由(1)得a ＋b >c ＋d ．②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ． ∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd ．于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2． 因此|a －b |<|c －d |．综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．1．(2018·全国I 卷) 已知． （1）当时，求不等式的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式成立，求的取值范围．2．(2018·全国II 卷) 设函数()52f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．()11f x x ax =+--1a =()1f x >()f x x >a 限时训练（45分钟） 经典常规题1．(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |．2．(2017·长郡中学二模)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|． (1)解不等式f (x )>0；(2)若∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围．高频易错题1．(2017·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为L (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，已知A (x ，1)，B (1，2)，C (5，2)三点． (1)若L (A ，B )>L (A ，C )，求x 的取值范围；(2)当x ∈R 时，不等式L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )恒成立，求t 的最小值．2．(2018·福建联考)已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ． （Ⅰ）求a b +的值；（Ⅱ）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证：9x y xy +≥．精准预测题参考答案1．【解题思路】(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.【答案】（1）当1a =时，()211121121x f x x x xx x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩， ∴()1f x >的解集为12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上所述，的取值范围为(]0,2．2．【解题思路】（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为24x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得2x a x ++-最小值，最后解不等式24a +≥得a 的取值范围．【答案】（1）当1a =时，()24,12,1226,2x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，可得()0f x ≥的解集为{}23x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥，而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于24a +≥， 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．()f x x >a 经典常规题1．【解题思路】(1)零点分段讨论法得出f (x )的解析式，再分类讨论求解f (x )<2．(2)平方后利用作差比较法． 【答案】(1)解 f (x )＝12,2111,2212,2x x x x x ⎧--⎪⎪⎪-<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥．当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立．当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以12≤x <1．所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)<0，所以(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |．2．【解题思路】 (1) 零点分段讨论法求解f (x ) >0． (2) 存在性问题转化为求最值问题． 【答案】解 (1)①当x <－2时，f (x )＝1－2x ＋x ＋2＝－x ＋3． 令－x ＋3>0，解得x <3，从而x <－2．②当－2≤x ≤12时，f (x )＝1－2x －x －2＝－3x －1，令－3x －1>0，解得x <－13，又∵－2≤x ≤12，∴－2≤x <－13．③当x >12时，f (x )＝2x －1－x －2＝x －3，令x －3>0，解得x >3． 又∵x >12，∴x >3．综上，不等式f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(3，＋∞)． (2)由(1)得f (x )＝3,2131,2213,2x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪---⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤，高频易错题∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－52． ∵∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，∴4m －2m 2>－52，整理得4m 2－8m －5<0，解得－12<m <52，∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，52．1．【解题思路】 (1)正确理解定义可得L (A ，B )>L (A ，C )，进一步解出x 的范围．(2)由定义得出L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )，再利用绝对值三角不等式求解即可． 【答案】解 (1)由定义得|x －1|＋1>|x －5|＋1， 则|x －1|>|x －5|，两边平方得8x >24，解得x >3． 故x 的取值范围为(3，＋∞)．(2)当x ∈R 时，不等式|x －1|≤|x －5|＋t 恒成立，也就是t ≥|x －1|－|x －5|恒成立， 因为|x －1|－|x －5|≤|(x －1)－(x －5)|＝4， 所以t ≥4，所以t min ＝4． 故t 的最小值为4．2．【解题思路】（1）根据13x <-，123x -≤≤，2x >进行分类讨论，求出不等式2315x x -++≤的解集，由此能求出a b +．（2）由0x >，0y >，41x y +=，知()11114414x y x yx y xy y x y x y x⎛⎫+=+=++=+++ ⎪⎝⎭，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明9x y xy +≥．【答案】（Ⅰ）原不等式等价于13415x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≤⎩或123325x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≤⎩或2415x x >⎧⎨-≤⎩， 解得113x -≤<或113x ≤≤，即11x -≤≤ ∴1a =-，1b =，∴0a b +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >， ∴()1111441459x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫+=+=++=+++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，13y =时取“=”,∴9x y xy +≥．精准预测题。
【2019年高考二轮课程】数学理科 全国通用版 概率与统计 教案
2019年高考二轮复习概率与统计随机事件的概率、古典概型、几何概型；概率的基本概念与公式；用样本估计总体、回条件概率与相互独立事件的概率；一、高考回顾概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查古典概型及其二项式定理，二项式定理主要考查求特定项或系数或求参数等，试题的难度一般不大；解答题考查多在概率与统计的综合问题，重点考查随机变量的期望与方差．二、知识清单1.思维导图2.知识再现 1.排列排列数公式：),,()!(!)1()1(**N n N m n m m n n m n n n A mn ∈∈≤-=+--=2.组合(1)组合数公式：),,()!(!!1)1()1()1(**N n N m n m m n m n m m m n n n A A C m m m n mn∈∈≤-=-+--== .由于1!0=，所以10=n C . (2)组合数的性质m n nm n C C -=①；1-1m n m n m n C C C +=+②. 3.二项式定理(1)二项展开式：)()(*1110N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n nn n∈+++++=+--通项：).2,1,0(1n k b aC T k kn kn k ==-+(2)二项式系数的有关性质：①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1425312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ；②若,)(2210nn x a x a x a a x f ++++= 则)(x f 展开式中的各项系数和为)1(f ，奇数项系数和为2)1()1(420-+=+++f f a a a ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=+++f f a a a .4.三种抽样方法的特点简单随机抽样:操作简便、适当,总体个数较少 分层抽样:按比例抽样 系统抽样:等距抽样5. 必记公式——数据n x x x x ,,,,321 的数字特征公式： （1）平均数：nx x x x x n++++=321（2）方差：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=（3）标准差：])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-= 6.重要性质及结论(1)频率分布直方图的三个结论①小长方形的面积=⨯=组距频率组距频率;②各小长方形的面积之和等于1;③小长方形的高组距频率=. (2)回归直线方程:一组具有线性相关关系的数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 其回归方程^^^a x b y +=，其过样本中心点),(y x .(3)独立性检验))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n k ++++-=（其中d c b a n +++=为样本容量）.7.随机事件的概率：(1)随机事件的概率范围：1)(0<<A P .(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.8.互斥事件、对立事件的概率公式:(1))()()(B P A P B A P +=⋃.(2)若B A ,为对立事件，则)(1)(B P A P -=.9.古典概型的概率公式：基本时间总数中所含的基本事件数A n m A P ==)(. 10.几何概型的概率公式：）区域长度（面积或体积试验全部结果所构成的积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(.11.相互独立事件同时发生的概率：)()()(B P A P AB P =.12.独立重复试验与二项分布:如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为kn k k n k n p p C P --=)1()(，.,,2,1,0n k =用X 表示事件A 在n 次独立重复试验中发生的次数，则X 服从二项分布，即),(~p n B X 且k n k k n p p C k X P --==)1()(.13.超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则nNKN MN k M C C C k X P --==)(，.,,2,1,0m k =其中},m i n {n M m =，且*,,N N M n N M N n ∈≤≤、、.此时称随机变量X 服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样.14.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量X 的分布列为离散型随机变量X的分布列具有两个性质：①0≥i p ；②),,3,2,1(121n i p p p p n i ==++++.(2) ))(2211n n i i p x p x p x p x X E ++++= 为随机变量X 的数学期望或均值.nn i i p X E x p X E x p X E x p X E x X D ⋅-+⋅-++⋅-+⋅-=22222121))(())(())(())(()( 叫做随机变量X 的方差.性质：①b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X D a b aX D =+；②),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=；),(~2σμN X ,则2)(,)(σμ==X D X E ;③X 服从两点分布，则p X E =)(,)1()(p p X D -=.三、例题精讲题型一 古典概型与几何概型例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】58【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=. 例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率． 【答案】（1）详见解析；（2）2011. 【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为7564， ∵527564>，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高．(3) 将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,a a a ，赞成的2人记为54,a a ，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b ，赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20=n ，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011=P .【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算． 【思维点拨】1. 求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()()1P A P A ＝－，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A 包含的基本事件个数；代入公式，求出()P A ；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比.题型二 统计与统计案例例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：],90,80[,),40,30[),30,20[ 并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)50,40[内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】（Ⅰ）4.0；（Ⅱ）20；（Ⅲ）2:3.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为6.010)04.002.0(=⨯+，所以样本中分数小于70的频率为4.06.01=-.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(=⨯⨯+，所以样本中分数不小于70的男生人数为302160=⨯.所以样本中的男生人数为60230=⨯，女生人数为4060100=-，男生和女生人数的比例为2:340:60=，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3.【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个． 【思维点拨】1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 5.求回归直线方程的关键①正确理解计算^^,a b 的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． 6.独立性检验的关键①根据22⨯列联表准确计算2K ，若22⨯列联表没有列出来，要先列出此表． ②2K 的观测值k 越大，对应假设事件0H 成立的概率越小，0H 不成立的概率越大． 题型三 概率、随机变量及其分布例1、“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕， A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈；②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．【答案】(1) 26.5x = (2) 0.6826（3）X 的分布列为；()2E X =．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=， 11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴X 的分布列为∴()142E X =⨯=．【思维点拨】1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数)(A n ,再求事件AB 所包含的基本事件数()AB n ,得)()()|(A n AB n A B P =. 2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件B A ,相互独立⇔)()()(B P A P AB P ⋅=.（2）利用性质,A 与B 相互独立,则A 与A B ,与B ,B A 与也都相互独立. (3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式kn kkn p p C k X P --==)1()(的三个条件:(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率. 5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量X 的均值、方差,求X 的线性函数b aX Y +=的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即b X aE b aX E +=+)()(,)()(2X D a b aX D =+(b a ,为常数). (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X 服从两点分布,则p X E =)(,)1()(p p X D -=;若),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=.四、成果巩固题型一 古典概型与几何概型1.已知{}0 1 2a ∈，，，{}1 1 3 5b ∈-，，，，则函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，上为增函数的概率是（ ）A .512 B .13 C .14 D .16【答案】A【解析】①当0a =时，()2f x bx =-，情况为 1 1 3 5b =-，，，符合要求的只有一种1b =-；②当0a ≠时，则讨论二次函数的对称轴22b b x a a -=-=要满足题意则1ba≤产生的情况() a b ，表示：()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，8种情况满足的只有4种;综上所述得：使得函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，为增函数的概率为：1251214=+=P .2.在区间()0,4上任取一数x ，则1224x -<<的概率是（ ）A ．12 B ．13 C .14 D ．34【答案】C【解析】由题设可得211<-<x ,即32<<x ;所以4,1==D d ,则由几何概型的概率公式1=P .故应选C .(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）4.考向二 统计与统计案例1.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只, （Ⅰ）求22⨯列联表中的数据x ,y ,A ,B 的值； （Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？【答案】（Ⅰ）10y=,40B =,40x =,60A =；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）至少有%9.99的把握认为疫苗有效.【解析】（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A,由已知得302()100y P A +==,所以10y =,40B =,40x =,60A =．发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率．10000005016.6710.8285020603=≈>⨯⨯． 所以至少有%9.99的把握认为疫苗有效.未注射 注射未注射 注射2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数， y 表示这x 个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？ 参考公式：y b x a ∧∧∧=+， 1221ni i i nii x y nxyb x nx ∧==-==-∑∑()()()121niii n ii x x y y x x ==---∑∑， a y b x ∧∧=-． 【答案】（1）0.850.6y x =+；（2）公司应在A 区开设4个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大．【解析】（1）10085)())(()(,4,42112121^=---=--===∑∑∑∑====x x y y x x x n xy x n y x b y x ni ini iini in i ii ，6.0^^=-=x b y a ，∴y 关于x 的线性回归方程6.085.0+=x y .（2）20.05 1.4z y x =--= 20.050.850.8x x -+-，A 区平均每个分店的年利润0.80.050.85z t x x x ==--+ 800.0150.85x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ∴4x =时， t 取得最大值，故该公司应在A 区开设4个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大．3. 某商场对A 商品30天的日销售量y (件)与时间t (天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y (件)与时间t (天)之间具有线性相关关系．(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程a t b y +=. (2)已知A 商品30天内的销售价格z (元)与时间t(天)的关系为,),200(,20),3020(,100⎩⎨⎧∈<<+∈≤≤+-=N t t t N t t t z 根据(1)中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，A 商品的日销售额最大．参考公式：2121^)(t n tyt n y t b ni ini ii --=∑∑==，t b y a ^^-=.【答案】(1)40^+-=t y ；(2)预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元． 【解析】(1)根据题意，6)108642(51=++++⨯=t ，34)3033323738(51=++++⨯=y ，980301033832637438251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=ii i yt ，22010864222222512=++++=∑=i i t ，所以回归系数为1652203465980)(22121^-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==t n tyt n yt b ni ini ii，406)1(34^^=⨯--=-=t b y a ，故所求的线性回归方程为40^+-=t y . （2）由题意得日销售额为,,3020),40)(100(,200),40)(20(⎩⎨⎧∈≤≤+-+-∈<<+-+=Nt t t t Nt t t t L当N t t ∈<<,200时，900)10(80020)40)(20(22+--=++-=+-+=t t t t t L ， 所以当;90010max ==L t 时，当N t t ∈≤≤,3020时，900)70(4000140)40)(100(22--=+-=+-+-=t t t t t L ，所以当.160020max ==L t 时，综上所述，预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元. 题型三 概率、随机变量及其分布1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者654321,,,,,A A A A A A 和4名女志愿者4321,,,B B B B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的频率。
2020届数学(理)高考二轮专题复习课件：第二部分 专题六 第2讲 基本初等函数、函数与方程 (数理化网)
于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：(1)当 x＞1 时，f(x)＝ln(x－1)＝0，得 x＝2. 当 x≤1 时，2x－1－1＝0，得 x＝1. 所以 f(x)有两个零点 x＝1 与 x＝2. (2)因为 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－23＞0， 又 f(x)＝ln x－2x在(0，＋∞)上是增函数， 所以 x0∈(2，3)，从而 g(x0)＝2. 答案：(1)C (2)B
答案：①130 ②15
从近年高考命题看，基本初等函数着重于分段函数、 幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；以基本初等 函数为载体考查函数与方程，以及函数简单的实际应用， 突出数形结合与转化思想方法的考查．题目以中档难度 为主，大多以选择题、填空题的形式呈现．考查的数学 核心素养主要有数学运算、直观想象、数学建模．
（RM＋1r）2＋Mr22＝(R＋r)MR31.
设
α
＝
r R
.
由
于
α
的值很小，因此在近似计算中
3α（3＋1＋3αα4）＋2α5≈3α3，则 r 的近似值为(
)
A. MM21R
B. 2MM21R
3 C.R
解析：由 α＝Rr 得 r＝αR， 代入（RM＋1r）2＋Mr22＝(R＋r)MR31， 整理得3α（3＋1＋3αα4）＋2α5＝MM21. 又因为3α（3＋1＋3αα4）＋2α5≈3α3，所以 3α3≈MM21，所以 α≈
热点 1 基本初等函数的图象与性质(自主演练) 1．指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a ＞0，a≠1)的图象和性质，分 0＜a＜1，a＞1 两种情况， 当 a＞1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 0＜a＜1 时，两函数在定义域内都为减函数． 2．同底的指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax(a＞0， 且 a≠1)的图象关于直线 y＝x 对称．
高考数学二轮课时作业：专题六 第2讲(理) 计数原理 二项式定理 含解析
层级二专题六第2讲(理)限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·济宁模拟)从4台甲型装载机和5台乙型装载机中任意取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型装载机各一台，则不同的取法共有()A．84种B．80种C．70种D．35种解析：C[根据题意可分为以下2种情况进行考虑：(1)甲型装载机2台和乙型装载机1台，取法有C24C15＝30种；(2)甲型装载机1台和乙型装载机2台，取法有C14C25＝40种．所以不同的取法共有30＋40＝70种．]2．(2019·唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是()A．18 B．16C．12 D．9解析：D[若把两个1看作不同的数，先安排0有3种情况，安排第2个数有3种情况，安排第3个数有2种情况，安排第4个数有1种情况，一共有3×3×2×1＝18种情况，由于有两个1，所以其中一半重复，故有9个四位数．]3．(全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80 B．－40C．40 D．80解析：C[由(2x－y)5展开式的通项公式：T r＋1＝C r5(2x)5－r(－y)r可得：当r＝3时，x(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C35×22×(－1)3＝－40当r＝2时，y(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C25×23×(－1)2＝80，则x3y3的系数为80－40＝40.本题选择C选项．]4．(2020·合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析：C [①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.]5．(2020·龙岩模拟)若⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( )A ．－462B ．462C ．792D ．－792解析：D [∵⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大， ∴n 为偶数，展开式共有13项，则n ＝12.⎝⎛⎭⎫x －1x 12的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k C k12·x 12－2k ，令12－2k ＝2，即k ＝5. ∴展开式中含x 2项的系数是(－1)5C 512＝－792.]6．(2019·渭南二模)已知⎝⎛⎭⎫4－1x n (n ∈N *)展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含1x2项的系数为( )A ．20B ．－20C ．640D ．－640解析：A [∵⎝⎛⎭⎫4－1x n (n ∈N *)展开式中所有项的系数的和为3n ＝243，∴n ＝5，故⎝⎛⎭⎫4－1x n＝⎝⎛⎭⎫4－1x 5，它的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(－1)r ·45－r·x －r 2.令－r 2＝－2，得r ＝4，∴展开式中含1x2项的系数为C 45×4＝20.] 7．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数是( )A ．135B ．172C ．189D ．162解析：C [由题意，不考虑特殊情况有C 312种取法，其中每一种卡片各取3张有4种取法，两张红色卡片共有C 23C 19种取法，故所求的取法种数为C 312－4－C 23C 19＝189，选C.]8．(2020·惠州二调)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A ．6B ．12C ．18D ．19解析：D [在物理、政治、历史中选一科的选法有C 13C 23＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有C 23C 13＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.]9．(2020·成都诊断)已知x 5(x ＋3)3＝a 8(x ＋1)8＋a 7(x ＋1)7＋…＋a 1(x ＋1)＋a 0，则7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1＝( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：B [对x 5(x ＋3)3＝a 8(x ＋1)8＋a 7(x ＋1)7＋…＋a 1(x ＋1)＋a 0两边求导，得5x 4(x ＋3)3＋3x 5(x ＋3)2＝8a 8(x ＋1)7＋7a 7(x ＋1)6＋…＋a 1，令x ＝0，得0＝8a 8＋7a 7＋…＋a 1，令x ＝－2，得5×(－2)4×(－2＋3)3＋3×(－2)5×(－2＋3)2＝－8a 8＋7a 7＋…－2a 2＋a 1，两式左右分别相加，得－16＝2(7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1)，即7a 7＋5a 5＋3a 3＋a 1＝－8，选B.]10．(2020·郑州模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( )A ．25种B ．60种C ．90种D ．150种解析：D [因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有C 15C 24A 22×A 33＝90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C 35×A 33＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选D.]11．(2019·江西上饶三模)已知m ＝⎠⎛0π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π2d x ，则(x －2y ＋3z )m 的展开式中含x m －2yz 项的系数等于( )A ．180B ．－180C ．－90D ．15解析：B [由于m ＝⎠⎛0π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π2d x ＝⎠⎛0π3sin x d x＝(－3cos x)＝6，所以(x－2y＋3z)m＝(x－2y＋3z)6＝[(x－2y)＋3z]6，其展开式的通项为C k6(x－2y)6－k(3z)k，当k＝1时，展开式中才能含有x4yz项，这时(x－2y)5的展开式的通项为C S5·x5－S(－2y)S，当S＝1时，含有x4y项，系数为－10，故(x－2y＋3z)6的展开式中含x4yz项的系数为C16·(－10)×3＝－180.]12．(2019·潍坊三模)为迎接建国七十周年，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为()A．720 B．768C．810 D．816解析：B[由题意知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C14A44＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有C14A22A33＝48(种)情况，所有当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C34C13A44＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C24C23A44＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．从1,3,5,8,9中任取3个数字，从0,2,7,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的五位数．(用数字作答)解析：C35C23A55＋C13C35C13A44＝3 600＋2 160＝5 760.答案：5 76014．(2019·天水二模)(1＋x)(1－x)6的展开式中，x3的系数是________．(用数字作答) 解析：由题意可知，(1－x)6展开式的通项为T r＋1＝C r6·16－r·(－x)r＝(－1)r C r6·x r，则(1＋x)(1－x)6的展开式中，含x3的项为(－1)3C36x3＋x·(－1)2C26x2＝－20x3＋15x3＝－5x3，所以x3的系数是－5.答案：－515．(2019·浙江卷)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．(2＋x)9的通项为T r＋1＝C r9(2)9－r x r(r＝0,1,2…9)可得常数项为T1＝C09(2)9＝162，因系数为有理数，r＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个项．答案：162 516．(2020·甘肃模拟)根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为________(用数字作答)．解析：由题意可知，可分为两类：一类：甲乙在一个地区时，剩余的三位分为两组，再三组派遣到三个地区，共有C23A33＝18种不同的派遣方式；另一类：甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区，另外两人分别在两个地区，共有C13A33＝18种不同的派遣方式；由分类加法计数原理可得，不用的派遣方式共有18＋18＝36种不同的派遣方式．答案：36。
(2019版)高三数学概率2
一.基本知识概要：
1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可 能不发生的事件，其概率 0 P 1
2.如果是必然要发生的事件，则叫必然事件， 其概率P=1；
3.如果是不可能发生的事件，则叫不可能事 件，其概率P=0。
一.基本知识概要：
4.事件的概率：在进行n次重复同一试验中事 件A发生了m次，随着试验次数的增大，事件A 发生的频率m/n总是接近于某一常数P，则P就 叫事件A发生的概率。
5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的 每一个结果称为一个基本事件。
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今楚彊以威王此三人 吴起亦位列其中 [71] 作战时必须遵循的战略原则 退朝后他面带忧色 三军惊惕 黄道周·《广名将传》 不复入卫 于是赵人百里内悉入城 以弱诛强 备敌覆我 及至宋代宣和五年 籍 赵王就一再强使李牧出来 走废丘 李日知--?” 5.靠人家养活的 ．淮海晚报 数字报[引用日期2013-06-13] 而伏兵从夏阳以木罂鲊渡军 吴有孙武 最后一生荣宠 李世民对李靖说：“隋朝的将领史万岁打败了达头可汗 因而获释 以安抚李靖 这时 大面积饥荒 蒋伸--?”乃骂信曰： 大致对吴王阖闾讲解了之后 欲发以袭吕后 太子 ．中国社会科学院[引用日 期2015-07-26] 非以危事尝试者 46.威震于朔 兼刚柔者 蔡泽：“楚地方数千里 筑垒环之 犹发梁焚舟 巳在东掖门 项羽与刘邦签订鸿沟协议 不过深明古今之事 但从卫青得封大将军时“三子在襁褓中”封侯来看 仇氏 楚兵不利 包围了右贤王；皇甫冲）狂风卷地吹飞尘 ”魏武 侯问：“楚庄王是怎么说的 字进乐 为唐朝的统一与巩固立下了赫赫战功 军次伏俟城 江南
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E(Y) ＝ 20×200×0.88 ＋ (20×200 ＋ 500)×0.08 ＋ (20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当 n＝19 时所需费用的期望值小于 n＝20 时所 需费用的期望值，故应选 n＝19.
1．概率中的公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式． m 事件A中所含的基本事件数 P(A)＝ n ＝ . 试验的基本事件总数 (2)几何概型的概率公式．
3．离散型随机变量的均值与方差 (1)设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x2，…， xi，…，xn，X 取每一个值 xi 的概率为 P(X＝xi)＝pi，则 称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为 X 的均值或数 学期望(简称期望)． D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－ E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn 叫做随机变量 X 的方差．
解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬
12 3 3 币正面向上的概率 P＝1－2 ＝ .又 X～B2，4， 4
3 3 ∴成功次数 X 的均值 E(X)＝2× ＝ . 4 2 3 答案： 2
4．(2016· 全国Ⅰ卷)某公司计划购买 2 台机器，该种 机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进 机器时， 可以额外购买这种零件作为备件， 每个 200 元． 在 机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜 集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损 零件数，得下面柱状图：
所以 X 的分布列为：
X 16
17
18
19Biblioteka 202122
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知 P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用 (单位：元)．
当 n ＝ 19 时， E(Y) ＝ 19×200×0.68 ＋ (19×200 ＋ 500)×0.2 ＋ (19×200 ＋ 2×500)×0.08 ＋ (19×200 ＋ 3×500)×0.04＝4 040. 当 n＝20 时，
专题六
概率与统计
第 2 讲 概率、随机变量及 其分布列
1．(2015· 全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少 投中 2 次才能通过测试． 已知某同学每次投篮投中的概率 为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测 试的概率为( A．0.648 C．0.36 ) B．0.432 D．0.312
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机 器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三 年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时 购买的易损零件数．(导学号 55460046)
(1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据， 在 n＝19 与 n＝20 之中选其一，应选用哪个？ 解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器 在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分 别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而
解析：如图，数对(xi，yi)(i＝1，2，…，n)表示的点 落在边长为 1 的正方形 OABC 内 (包括边界)，两数的平方和小于 1 的数 对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)内．
1 π 4 4m m 则由几何概型的概率公式可得 n ＝ 2 ⇒π＝ n . 1 答案：C
3．(2016· 四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当 至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是________．
构成事件A的区域长度（面积或体积） P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
(3)条件概率． P（AB） 在 A 发生的条件下 B 发生的概率： P(B|A)＝ . P（A） (4)相互独立事件同时发生的概率： 若 A， B 相互独立， 则 P(AB)＝P(A)· P(B)．
(5)独立重复试验． 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p， 那么它在
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；
2 解析： 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k＝2)＝C2 × 0.6 3
×(1－0.6)，投中 3 次的概率为 P(k＝3)＝0.63，所以通过
2 测试的概率为 P(k＝2)＋P(k＝3)＝C2 × 0.6 ×(1－0.6)＋ 3
0.63＝0.648. 答案：A
2． (2016· 全国Ⅱ卷)从区间[0， 1]随机抽取 2n 个数 x1， x2，…，xn，y1，y 2，…，y n，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2， y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为 ( ) 4n A. m 2n B. m 4m C. n 2m D. n
k n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Ck np (1
－p)n k，k＝0，1，2，…，n.
－
2．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1，x2，…， xi，…，ξ 取每一个值 xi 的概率为 P(ξ＝xi)＝pi，则称下表
ξ x1 x2 x3 … xi … P p1 p2 p3 … pi … 为离散型随机变量 ξ 的分布列． (2)离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质：①pi ≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1，2，3，…)．