【配套K12】江苏专用2018_2019学年高中数学课时分层作业19最大值与最小值苏教版选修1_1
2019-2020年江苏高中数学课时选修试题1：最大值与最小值(苏教版)
[课下梯度提能] 一、基本能力达标1．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数解析：选A f′(x)＝2－1x2＝2x2－1x2，令f′(x)＝0，得x＝－2 2.当x<－22时，f′(x)>0，当－22<x<0时，f′(x)<0，∴x＝－22是函数f(x)的极大值点，也是最大值点．2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是() A．12，－8 B．1，－8C．12，－15 D．5，－16解析：选A∵y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A.3．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为()A．0 B.1 eC.4e4 D.2e2解析：选A由题意得，y′＝(1－x)e－x，当x∈(1,4]时，y′＜0，当x∈[0,1)时，y′＞0，所以x＝1是函数y＝x·e－x(x∈[0,4])的极大值点，且当x＝1时，y＝1 e，当x＝0时，y＝0，当x＝4时，y＝4e4，因为0＜4e 4＜1e ， 所以y min ＝0.故选A.4．函数f (x )＝x 3－3x 在(a,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－1,1) C ．[－2,1)D ．[－1,1)解析：选C 由函数f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－1,1)上单调递减．又由f (1)＝－2，令f (x )＝－2，即x 3－3x ＝－2，解得x ＝－2或x ＝1.要使得函数f (x )＝x 3－3x 在(a,2)上有最小值，结合函数f (x )的图象可得实数a 的取值范围是[－2,1)，故选C.5．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2解析：选B y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝12， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝π6. 由y ′>0得sin x <12，∴0≤x <π6；由y ′<0得sin x >12，∴π6<x ≤π2，∴原函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上单调递减．当x ＝0时，y ＝2，当x ＝π2时，y ＝π2，当x ＝π6时，y ＝π6＋3，∵π6＋3>2>π2，∴当x ＝π6时取最大值，故选B.6．函数f (x )＝e xsin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为_______． 解析：f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以f ′(x )＞0.所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e π27．直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于A ，B 两点，则AB 的最小值为______．解析：设A (x 1，a )，B (x 2，a )，则2(x 1＋1)＝x 2＋ln x 2， ∴x 1＝12(x 2＋ln x 2)－1， ∴AB ＝x 2－x 1＝12(x 2－ln x 2)＋1， 令y ＝12(x －ln x )＋1，则y ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ， ∴函数在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，函数取得最小值32，即AB min ＝32. 答案：328．若关于x 的不等式x 2＋1x ≥m 对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 恒成立，则m 的取值范围是________．解析：设y ＝x 2＋1x ， 则y ′＝2x －1x 2＝2x 3－1x 2，当x ≤－12时，y ′＜0，y ＝x 2＋1x 是减函数， ∴当x ＝－12时，y 取得最小值为－74. ∵x 2＋1x ≥m 恒成立， ∴m ≤－74. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－749．已知k 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若x ＝－1是函数f (x )的极值点，求f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝x 3＋kx 2－4x －4k ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2kx －4. (2)由f ′(－1)＝0，得k ＝－12.∴f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4. 由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－2)＝0，f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (2)＝0，∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0， 由⎩⎨⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4， ∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表： x －3 (－3，－2) －2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )8极大值极小值4∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13. 二、综合能力提升1．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A 根据题意可得|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |≤t ，因为f ′(x )＝3x 2－3，x ∈[－3,2]，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增．f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以|f (x )max －f (x )min |＝20，所以t ≥20，故选A.2．已知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数f (x )＝tx －sin x (t ∈R )的值恒小于零，则t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，π2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，＋∞ 解析：选A f (x )＝tx －sin x <0在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内恒成立，即t <sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内恒成立，令g (x )＝sin xx ，则g ′(x )＝x cos x －sin x x 2.令φ(x )＝x cos x －sin x ，则φ′(x )＝－x sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，φ′(x )<0，∴φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减， ∴φ(x )<φ(0)＝0，∴sin x >x cos x ，∴g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，∴t ≤sin π2π2＝2π.3．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x 2－2x －3) ＝－3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )<0，则－3(x ＋1)(x －3)<0， 解得x <－1或x >3.∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)结合(1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3. 又∵x ∈[－2,2]，∴x ＝－1. 当－2<x <－1时，f ′(x )<0； 当－1<x <2时，f ′(x )>0.∴x ＝－1是函数f (x )的极小值点，该极小值也就是函数f (x )在[－2,2]上的最小值，即f (x )min ＝f (－1)＝a －5.又函数f (x )的区间端点值为 f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝a ＋22， f (－2)＝8＋12－18＋a ＝a ＋2.∵a ＋22>a ＋2，∴f (x )max ＝a ＋22＝20，∴a ＝－2. 此时f (x )min ＝a －5＝－2－5＝－7.4．已知f (x )＝ax －ln x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ， f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴所求切线的斜率为f ′(2)＝12，切点为(2,2－ln 2)，∴所求切线的方程为y －(2－ln 2)＝12(x －2)，即x －2y ＋2－2ln 2＝0. (2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]有最小值3， f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0＜1a ＜e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，e 上单调递增，故f (x )min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件； ③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.。
【优质文档】江苏省2018-2019学年度高一年级上学期数学期末考试试卷含解析
f (x) __________． x3 2x 1
5. 已知 lg 2 a,lg3 b, 则 lg 24 __________． 3a b
6. 若方程 3x2 (m 5)x m 2 0 的一个根在区间 0,1 上 , 另一个根在区间 1,2 上，则实
数 m 的取值范围是
__________ ．
4 0,
2. 已知指数函数 y f ( x) 的图像过点 2,16 , 则 f ( x) __________ ． 4x
3. 函数 y
x 2 的定义域是 __________ ． 2,1 1,
x1
4. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f ( x) x3 2x 1, 则当 x 0 时，
解：由题意知：
3
7. 已知函数 f (x) x2 x , 则 f ( x) 的单调增区间为 __________．
1 ,0 , 1 ,
2
2
8. 若三棱锥 P ABC 的侧棱两两垂直 , 且 PA PB PC 4, 则三棱锥 P ABC 的体积为
32
__________．
3
9. 已知点 P 2,2 关于直线 l :3 x
15. （本题满分 14 分）
如图， 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AC BC ， BC CC1，设 AB1 的中点为 D ， B1C BC1 E . 求证：（ 1） DE // 平面 AA1C1C ；
（ 2） BC1 AB1 .
16. （本题满分 14 分） 已知直线 l 与 3x 4 y 1 0 垂直 , 根据下列条件分别求直线 l 方程， （1）在 x 轴上的截距为 4; （2）与坐标轴围成的三角形面积为 24.
【精品】江苏省近两年(2018,2019)高考数学试卷以及答案(word解析版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：锥体的体积13V Sh=，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=▲ ．2．若复数满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则的实部为▲ ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲ ．5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 则((15))f f 的值为 ▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．%网（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为267，所以21 267AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即11，1d 3，32d 5，73d 9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(1,2]m q ∈，则112n m q q -<≤≤， 从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>． 因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．．．．．．．．．．答题区域内作答．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长． B ．选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点． （1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =23，OC =2， 所以OP =22PC OC +=4．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2， 所以π4cos236AB ==． 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ． 因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,,2)22P -， 从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--， 故111|||14|310|cos ,|20||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-+===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020． （2）因为Q 为BC 的中点，所以31(,,0)22Q ， 因此33(,,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量， 则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,22220.x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 不妨取(3,1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为， 则111||25sin |cos |,|||552CC CC CC |θ==⋅⨯⋅==n n n ， 所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-． 为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f （x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C 交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B＝，cos B ＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF 2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF 2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x ＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，。
2018-2019学年度江苏省盐城市第二学期高一年级期终考试数学试题
高一数学 第1页（共4页）2018/2019学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题(总分150分，考试时间120分钟)本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷包含1至4页；答题卷1至2页. 参考公式：扇形的面积公式：21122S lr r α==，其中l 、r 、α分别表示扇形的弧长、半径和圆心角.圆锥的体积公式：13V Sh =,其中S 表示圆锥的底面积，h 表示圆锥的高.方差公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）1．直线:30l x y +-=的倾斜角为 A ．6πB ．4πC ．34π D ．56π 2．已知集合{}1,0,1,2,3A =-,{}1B x x =≤，则AB =A ．{1,0,1}-B ．{1,1}-C ．[]1,1-D ．{2,3}3．某学校高一、高二、高三教师人数分别为100、120、80，为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，则抽取高一教师的人数为 A ．12B ．15C ．18D ．304．某同学5天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为12,8,10,9,11，则这组数据的方差为 A ． 4B ．2C ．9D ．35．已知平面α//平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，则直线,m n高一数学 第2页（共4页）A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行、相交或异面6．袋中共有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是偶数的概率为 A ．25 B ．35C ．13 D ．237．已知30.3121log 3,2,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ． a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8．若函数()()0f x x m mx m =-->有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是A ． ()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()1,2D ． 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是A ．在59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．图象关于直线12x =对称 C ．图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．当1(0,)2x ∈时，函数()f x 的值域为()2,210．以(1,)m 为圆心，且与两条直线240x y -+=，260x y --=都相切的圆的标准方程为A ．22(1)(9)5x y -++=B ．22(1)(11)25x y -+-=C ．22(1)(1)5x y -+-=D ．22(1)(9)25x y -++=11．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32AC AB BA BC CA CB ⋅-⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu r，2cos cos b b C c B =+，则cos C 的值为 A ．13B ．13-C ．18D ．18-12．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-uuu r uu u r ，则CD 的长为A ．2B ．6C ．7D ．22第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）13．过点()2,3A -且与直线:230l x y --=垂直的直线方程为 ▲ ．（请用一般式表示）14．若一个圆锥的高和底面直径相等且它的体积为23π，则此圆锥的侧面积为 ▲ ．高一数学 第3页（共4页）15．若点()11,A x y ，()22,B x y 是圆22:1C x y +=上不同的两点，且121212x x y y +=，则+OA OB 的值为 ▲ ．16．如图，AD ，BE 分别为ABC ∆的中线和角平分线，点P 是AD 与BE 的交点，若=22BC BA =,23AP CP ⋅=-,则ABC ∆的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 17．(本小题满分10分)为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t （单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：（1）从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；（2）求频率分布直方图中,a b 的值.18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =,BD CD ⊥，点E 、F 分别是棱BC 、BD 的中点.（1）求证：EF //平面ACD ； （2）求证:AE BD ⊥.组号 分组 频数 1 [2,4) 6 2 [4,6) 8 3 [6,8) 22 4 [8,10) 28 5 [10,12) 12 6 [12,14)4第16题PEDCBA 停车时间/t h2468101214Oab 频率 组距DBCAEF第18题高一数学 第4页（共4页）19．(本小题满分12分)设向量()1=22sin ,1,,2cos 2a b αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）若a b ⊥，求sin 2cos 2sin cos αααα+-的值；（2）若222a b -=，求sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.20． (本小题满分12分)已知函数()121()2x x f x a R a+-=∈+为奇函数.（1）求实数a 的值并证明函数()f x 的单调性； （2）解关于m 不等式：()22()22f m f m m m +-≤--.21． (本小题满分12分)在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得=2CB BD ，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系下，已知圆22:16O x y +=，直线():300l x y t t -+=>与圆O 相交于,A B 两点，且27AB =.（1）求直线l 的方程；（2）若点,E F 分别是圆O 与x 轴的左、右两个交点,点D 满足3ED DF =，点M 是圆O 上任意一点，点N 在线段MF 上，且存在常数R λ∈使得23DN DE DM λ=+，求点N 到直高一数学 第5页（共4页）线l 距离的最小值.2018/2019学年度第二学期高一年级期终考试高一数学参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分):1. C2. A3. B4. B5. C6.C7. D8. A9. A 10. C 11. D 12. B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）：13. 2+10x y -= 14.5π 15. 3 16.233三、解答题（本大题共6小题，计70分）：17. 解：（1）记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A ， ……………2分 则()3698020m P A n ===； ……………6分 （2）8180==220a ， ……………8分12380==220b …………… 10分高一数学 第6页（共4页）18．证明：(1) 因为点E 、F 分别是棱BC 、BD 的中点，所以EF 是BCD ∆的中位线， 所以EF //CD ,又因为EF ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD ,EF //平面ACD …………6分 （2）由（1）得，EF //CD ，又因为BD CD ⊥，所以EF BD ⊥,因为AB AD =，点F 是棱BD 的中点，所以AF BD ⊥,又因为EFAF F =，所以BD ⊥平面AEF ,又因为AE ⊂平面AEF ,所以AE BD ⊥ .……………12分19.解：(1) 若a b ⊥，则2sin 2cos 0αα+=，得tan =1α-， 所以sin 2cos tan 21=2sin cos 2tan 13αααααα++=--- …………… 4分(2)因为()1=22sin ,1,,2cos 2a b αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，()222sin 1,122cos a b αα-=--，因为222a b -=， ()228a b-=，即228sin 42sin 1142cos 8cos 8αααα-++-+=，化简得42sin 42cos =2αα+即8sin =24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1sin =44πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， …………… 8分因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35+,444πππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，15cos =44πα⎛⎫+- ⎪⎝⎭,所以15sin 2=2sin cos 4448πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，27cos 2=12sin 448ππαα⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 2=sin 2sin 2cos cos 2sin 3464646πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦15371357828216+=-⨯-⨯=- …………… 12分高一数学 第7页（共4页）20. 解：（1）因为函数()121()2x x f x a R a+-=∈+为奇函数，所以()+()0f x f x -=，即112121+022x x x x a a -+-+--=++，即()()()()()()1111212+212=022x x x x x x a a a a -+-++-+-+-+++， 即()()()()11212+212=0x x x x a a -+-+-+-+，化简得()()2222=0x x a --+-，所以=2a . …………… 4分 (说明直接由用(0)0f =求解不给分) 由=2a 得11()221x f x =-+， 任取12x x <，则()()121221211211111122()()=22122121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 因为12x x <，所以1222x x<，12220xx -<，122+10,210x x >+>，所以12()()0f x f x -<所以12()()f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增. …………… 8分 （2）()22()22f m f m m m +-≤--可化为()22()22f m m f m m +≤-+-， 设函数()()+g x f x x =，由（1）可知，()()+g x f x x =在R 上也是单调递增，所以22m m ≤-，即220m m +-≤，解得21m -≤≤ ……………12分21.解：（1）设BAD α∠=,在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=,而在直角ABC ∆中， =sin AB BC C ,所以sin sin sin BD BC CDα=,因为AC AD =，所以C D =,又因为=2CB BD ， 所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠= ……………6分 （2）设BAD α∠=,在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=,而在直角ABC ∆中，高一数学 第8页（共4页）()=cos cos AB BC ABC BC D α∠=+,所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==,因为=2CB BD ，所以 所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-，即22sin cos sin 2tan =1+2sin 2cos 2D ααααα=- ()22tan tan cos 2sin 2tan 1sin 2D D D αααϕ=+=++，根据三角函数有界性得，22tan 1tan 1DD ≤+及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得30tan 3D <≤，所以角D 的最大值为6π……………12分22.解:(1) 圆22:16O x y +=，圆心(0,0)O ，半径4r =直线():300l x y t t -+=>与圆O 相交于,A B 两点,且27AB =，∴圆心O 到直线l 的距离1673d =-=，又22,01(3)t d t =>+-，解得6t =，∴直线l 的方程为360x y -+=. ……………4分（2）点,E F 分别是圆O 与x 轴的左、右两个交点，3ED DF =，∴(4,0),(4,0),(2,0)E F D - ……………6分设(,),(,)M m n N x y ，则(2,),(6,0),(2,)DN x y DE DM m n =-=-=-23DN DE DM λ=+，∴23y n =，即32n y =.又点N 在线段MF 上，即,FM FN 共线，高一数学 第9页（共4页）∴(4)(4)m y n x -=-，∴322m x =-，点M 是圆O 上任意一点，∴2216m n +=， ∴将,m n 代入上式，可得2233(2)()16,22x y -+=即22464()39x y -+=. ……………10分点N 在以4(,0)3R 为圆心，半径为83的圆R 上.圆心R 到直线:360l x y -+=的距离'22461183331(3)d +==>+-， '813d ∴-= ∴点N 到直线:360l x y -+=距离的最小值为1. ……………12分（说明：利用点,,M N F 三点共线，求出19λ=-，进而可得,M N 点坐标之间的关系，同样对应给分）。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
(江苏专用)2018-2020学年高中数学 课时分层作业5 圆锥曲线 苏教版选修1-1
课时分层作业(五) 圆锥曲线(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题 1．下列说法①坐标平面内，到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆； ②坐标平面内，到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆； ③坐标平面内，到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；④坐标平面内，到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离相等的点的轨迹是椭圆．正确的是________(填序号)． 【解析】【答案】2．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是________.【导学号：95902071】【解析】 动点P 的条件满足抛物线的定义，所以P 点的轨迹是抛物线． 【答案】 抛物线3．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹为________．【解析】 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．【答案】 以F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线4．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9a(a ＞0)，则点P 的轨迹是________.【导学号：95902072】【解析】 PF 1＋PF 2＝a ＋9a≥6.∴轨迹为线段或椭圆．【答案】 椭圆或线段5．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹是________． 【解析】 由题意，动点P 以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支． 【答案】 双曲线的右支6．若点P到F(3,0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1，则动点P的轨迹为________．【解析】由题意知P到F(3,0)的距离比它到直线x＝－4距离小1，则应有P到(3,0)的距离与它到直线x ＝－3距离相等．故P的轨迹是以F(3,0)为焦点的抛物线．【答案】以F(3,0)为焦点的抛物线7．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是________.【导学号：95902073】【解析】∵|PM－PN|＝2＝MN，∴点P的轨迹是两条射线．【答案】两条射线8．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．【解析】若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若PA＋PB＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．【答案】必要不充分二、解答题9．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹．【解】如图所示，连结AP，∵l垂直平分AC，∴AP＝CP，∴PB＋PA＝BP＋PC＝4，∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．10．设圆A的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切，且与已知圆A相外切的动圆圆心M的轨迹.【导学号：95902074】【解】如图所示，圆A的方程可化为(x－5)2＋y2＝52，所以A(5,0)，设直线l的方程为x＝－5.结合已知条件，得动圆圆心M到定点A和定直线l的距离相等，所以动圆圆心M的轨迹为抛物线．又由于圆M与y轴相切，若圆M与y轴切于原点，则必与圆A相切．根据外切的条件，得M的轨迹方程为y＝0(x＜0)，当x＞0时，圆M与圆A内切，不符合条件．所以动圆圆心M的轨迹为抛物线或y＝0(x＜0)．[能力提升练]x－＋x＋＋【解析】方程x－2＋y2＋x＋2＋y2＝8，表示动点P(x，y)到两定点(2,0)，(－2,0)的距离之和为定值8，所以点P的轨迹是椭圆．【答案】椭圆2．如图211所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________.【导学号：95902075】图211【解析】在正方体ABCDA1B1C1D1中，C1D1⊥平面BB1C1C，连结PC1，则PC1⊥C1D1，所以P、C1两点间的距离PC1即为P到直线C1D1的距离．所以在平面BB1C1C内，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离．根据抛物线的定义，知点P的轨迹所在的曲线是以点C1为焦点，以直线BC为准线的抛物线．【答案】抛物线3．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1－PF2|＝2a(a＞0)，则当a＝3和a＝5时点P的轨迹为________．【解析】因为|PF1－PF2|＝2a，所以PF1>PF2.又因为F1F2＝10，当a＝3时，F1F2>2a，符合双曲线的定义，但只是双曲线的右支；当a＝5时，F1F2＝2a，轨迹为x轴上以F2为端点向右射出的一条射线．【答案】双曲线的一支和一条射线4．已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.【导学号：95902076】【解】设F(x，y)为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴FA＋CA＝2a，FB＋CB＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴FA＋CA＝FB＋CB，∴FA－FB＝CB－CA＝2.∴FA－FB＝2.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上.。
【新课标】2018-2019学年苏教版高中数学必修一全册课时同步练习及解析
必修一数学版高中苏教年度学2018-2019）课标（新）1及其表示（义集合的含1.1
§训练后课感受理解【】N ：) 集数自然为其中(题出下列
命给．1baNbNaNaaNN∈②若1 中最小的元素是①值的
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的集合；实数所确定的③由
成的集合组上的点)数的自然5小于为
(线④抛物22MMxxxx为的解-2=0-和方程+6=0-5若方程3. 个数为中元素的则，为元素的集合
可以是组值的取则元素，个3中含有，集合个成一．由4】
用应思考【元素个成的集合里最多有
组所实数．由5组”由“6. 是值的则实数
集合，个成的集合是同一组”由“与成的集合 . 明理由说，若不
确定，来求出请否确定的？若确定，
算：运集
合义．定7，求集合设，集合
2x空集、含一为，解
集时件么条足什别满当分，的方程于关．8 元素？两个元素、
含个 .
已知集合9. A：证求数明：任何整证
(1)设(2)的元素；都是2121】拓展提高【，① 成的集合：构所实数件的两个
条足下列满是设9.则，，②若：问题解答下列请
这两个数，求出两个数中必有另外则，）若1（；
则，：若证）求2（a S明理由；请说？个中元素能否只有一）在集合3（S. 不同的元素个中至少有三：集合证）求4（。
苏教版2018-2019学年高一上学期期末数学试题(精品Word版,含答案解析)
2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合M={-1,0,1}，N={|=}，则M∩N=（）A. {-1，0，1}B. {0,1}C. {1}D. {0}【答案】B【解析】，M={-1,0,1}M∩N={0,1}【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出，再利用交集定义得出M∩N2.函数f（x）＝＋lg（1＋x）的定义域是（）A. （－∞，－1）B. （1，＋∞）C. （－1,1）∪（1，＋∞）D. （－∞，＋∞）【答案】C【解析】试题分析：由分母不为0，对数的真数大于0，可得（－1，1）∪（1，＋），故选C.考点：函数的定义域.3.方程的实数根的所在区间为（）A. （3，4）B. （2，3）C. （1，2）D. （0，1）【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用求得实数根所在的区间.【详解】构造函数，，，故零点在区间.【点睛】本小题主要考查函数与方程的思想，考查零点的存在性定理的理解和运用，属于基础题.4.A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由指数函数与对数函数的图形与性质可知，所以，故选D.考点：指数函数与对数函数的性质.5.若奇函数在内是减函数，且，则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】，选D.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内6.下列结论正确的是（）A. 向量与向量是共线向量，则ABCD四点在同一条直线上B. 若，则或C. 单位向量都相等D. 零向量不可作为基底中的向量【答案】D【解析】【分析】根据向量共线、垂直、单位向量、基底等知识，对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，两个共线向量，对应点可以是平行的，不一定在同一条直线上，故A选项错误.对于B 选项，两个向量数量积为零，可能这两个向量垂直，故B选项错误.对于C选项，单位向量是模为的向量，并没有确定的方向，故C选项错误.两个不共线的非零向量可以作为基底，零向量不能作为基底，故D选项正确.故选D.查基底的知识，属于基础题.7.已知角的终边过点且，则的值为（）A. －B.C. －D.【答案】C【解析】因为角的终边过点，所以，，解得，故选A.8.若平面向量与的夹角是180°，且，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则（1）又（2），由（1）（2）可解得x=-3,y=6故选A；9.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.10.要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】B【解析】【分析】根据化简，再利用图像变换的知识得出正确选项.【详解】由于，故，故只需将向左平移个单位，即可得到的图像.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.由于题目所给的两个函数的系数一正一负，故首先要利用诱导公式将系数为负的变为正数再来进行图像变换.图像变换过程中要注意的系数的影响.11.已知函数,若在区间上的最大值为,则的最小值是A. B. C. D.【分析】先求出，再根据的最大值为1得到m的取值范围即得解.【详解】由题得，因为函数f(x)的最大值为，所以的最大值为1，所以.所以m的最小值为.故答案为：B【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.12.方程在区间上的解的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值求得的值，进而求得的值，对进行赋值求得在内解的个数.【详解】依题意可知，故，当时，，故解的个数是个，故选C.【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查正切函数有关概念及运算，属于基础题.二、本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卷的指定位置.13.著名的函数，则=__________.【答案】0【解析】【分析】由于为无理数，根据分段函数的解析式，可求得对应的函数值.【详解】为无理数，故.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查分段函数求函数值的方法，属于基础题.14.设扇形的半径为，周长为，则扇形的面积为__________【答案】3根据半径和周长求得弧长，再根据扇形面积公式求得扇形面积.【详解】由于扇形的半径为，周长为，故弧长为，所以扇形的面积为.【点睛】本小题主要考查扇形的周长公式，考查扇形的面积公式，属于基础题.15.设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝________．【答案】3【解析】分析：由向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，可得，解方程可得。
(江苏专用)2018-2019学年高中数学 课时分层作业2 充分条件和必要条件 苏教版选修1-1
课时分层作业(二) 充分条件和必要条件(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的________条件．【解析】 “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”⇒“cos 2α＝12”，“cos 2α＝12”⇒/“α＝π6＋2k π”(k ∈Z )．因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z )，∴“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要2．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件． 【解析】 当a >0且b >0时， a ＋b >0且ab >0；当ab >0时，a ，b 同号，又a ＋b >0， ∴a >0且b >0.故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充分必要条件． 【答案】 充分必要3．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的__________条件.【导学号：95902018】【解析】 由2－x ≥0得x ≤2，由|x －1|≤1得0≤x ≤2，∵x ≤2⇒x ≤2,0≤x ≤2⇒x ≤2，故“2－x ”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．【答案】 必要不充分4．对任意的a ，b ，c ∈R ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充要条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件． 其中真命题的个数是________． 【解析】 当c ＝0时，ac ＝bc ⇒a ＝b ，故①是假命题，③a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，故③是假命题，命题②、④是真命题．【答案】 25．已知函数y ＝ln(x －4)的定义域为A ，集合B ＝{x |x ＞a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围__________.【导学号：95902019】【解析】 A ＝{x |x ＞4}．∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B .∴a ＜4，即实数a 的取值范围是{a |a ＜4}． 【答案】 {a |a ＜4}6．给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．【解析】 “直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”． 【答案】 充要7．不等式ax 2＋ax ＋a ＋3>0对一切实数x 恒成立的充要条件是________.【导学号：95902020】【解析】 ①当a ＝0时，原不等式为3>0，恒成立； ②当a ≠0时，用数形结合的方法则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4aa ＋⇒a >0.∴由①②得a ≥0. 【答案】 a ≥08．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中： ①α，β都平行于直线l ，m ；②α内有三个不共线的点到β的距离相等； ③l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥β；④l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β. “α∥β”的充分条件是________．【解析】 ①、③中l 与m 可能平行，②中三点位于两平面交线的两侧时，如图．AB ∥l ，α∩β＝l ，A 与C 到l 的距离相等时，A ，B ，C 到β的距离相等． 【答案】 ④ 二、解答题9．指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，p: y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；q ：y ＝f (x )是奇函数．(2)p ：x ＋y ≠3；q ：x ≠1或y ≠2.【导学号：95902021】【解】 (1)若函数y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，此时|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，因此y ＝|f (x )|是偶函数，其图象关于y 轴对称，但当y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称时，未必推出y ＝f (x )为奇函数，故y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称是y ＝f (x )是奇函数的必要不充分条件．(2)原命题等价其逆否形式，即判断“x ＝1且y ＝2是x ＋y ＝3的必要不充分条件”，故x ＋y ≠3是x ≠1或y ≠2的充分不必要条件．10．已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m ＞0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 由q 可得(x －1)2≤m 2(m ＞0)， 所以1－m ≤x ≤1＋m .即﹁p ：x ＞10或x ＜－2，﹁q ：x ＞1＋m 或x ＜1－m . 因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，所以﹁q ⇒﹁p .故只需要满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥101－m ≤－2，∴m ≥9.所以实数m 的取值范围为[9，＋∞)．[能力提升练]1．下列命题：①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a ，b ，c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． 其中的真命题有________.【导学号：95902022】【解析】 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A ，B ，C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tanB >1，知A ，B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真． 【答案】 ③④2．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．【解析】 因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲⇒乙，但乙⇒/甲；又∵乙是丙的充要条件，即乙⇔丙；又∵丙是丁的必要不充分条件，即丁⇒丙，但丙⇒/丁，故丁⇒/甲，甲⇒/乙，即丁是甲的既不充分又不必要条件．【答案】 既不充分又不必要3．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝________.【导学号：95902023】【解析】 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ，得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a . 由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1.即p ⇒q ，反之不成立．【答案】 14．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． 【解】 ①当a ＝0时，原方程化为2x ＋1＝0，此时根为x ＝－12，满足条件．②设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，当a ≠0时，因为方程的常数项为1不为0，方程没有零根． (i)若方程有两异号的实根，x 1，x 2，则x 1x 2＝1a<0，即a <0；(ii)若方程有两个负的实根x 1，x 2，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝1a＞0，x 1＋x 2＝－2a＜0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＞0，－2a ＜0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1.综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1. 反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0，至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.。
2019年苏教版数学必修一课时分层作业10 函数的最大值、最小值
课时分层作业(十)(建议用时：45分钟)[学业达标练]一、填空题1．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则关于f (x )的最值的说法正确的是________．(填序号)①只有最大值； ②只有最小值；③既有最大值，又有最小值； ④既无最大值，又无最小值．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，－x 2(x <0)，画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．[答案] ④2．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是________.【导学号：48612095】[解析] 由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.[答案] ±23．函数f (x )＝|x －2|－2在区间[0,3]上的最小值为________，最大值为________．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[0，2]，x －4，x ∈[2，3]，图象如图．由图可知，x ＝2时，f (x )min ＝－2；x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝0. [答案] －2 04．下列函数在[1,4]上最大值为3的是________．(填序号) ①y ＝1x ＋2；②y ＝3x －2；③y ＝x 2；④y ＝1－x .[解析] ②③在[1,4]上均为增函数，①④在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．[答案] ①5．函数f (x )＝|1－x |－|x －3|，x ∈R 的值域是________．[解析] f (x )＝|1－x |－|x －3|＝|x －1|－|x －3|，利用绝对值的几何意义可知f (x )表示x 到1的距离与x 到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．[答案] [－2,2]6．已知函数f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________.【导学号：48612096】[解析] ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.[答案] f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫347．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． [解析] 令f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1， 图象如下：∴f(x)的最小值为f(0)＝f(2)＝0.而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.[答案]a<08．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．[解析]f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由最小值为1知m≥2.由最大值为5知f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.[答案]2≤m≤4二、解答题9．若函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，求a和b的值．[解]y＝－x2＋6x＋9＝－(x－3)2＋18，图象对称轴为直线x＝3，开口向下，因为a＜b＜3，所以[a，b]是函数的单调递增区间，故f(a)＝－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2或a＝8(舍去)；f(b)＝－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0或b＝6(舍去)．所以a和b的值分别为－2和0.10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋3x(x∈[2，＋∞))，(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围.【导学号：48612097】[解](1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x ＋2. 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 1x 2.∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵x 1≥2，x 2≥2， ∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝2时，f (x )有最小值，即f (2)＝112. (2)∵f (x )的最小值为f (2)＝112，∴f (x )>a 恒成立，只须f (x )min >a ，即a <112.[冲A 挑战练]1．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．[解析] 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. [答案] 62．对任意的两个实数a ，b ，定义min(a ，b )＝⎩⎨⎧a (a ＜b )b (a ≥b )，若f (x )＝4－x 2，g (x )＝3x ，则min(f (x )，g (x ))的最大值为________.【导学号：48612098】[解析] f (x )－g (x )＝4－x 2－3x ，当4－x 2－3x ＝－(x －1)(x ＋4)≥0，即－4≤x ≤1时，f (x )≥g (x )． 当4－x 2－3x ＝－(x －1)(x ＋4)＜0，即x ＞1或x ＜－4时，f (x )＜g (x )， 所以min(f (x )，g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，－4≤x ≤1，4－x 2，x ＞1或x ＜－4，作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A 处取得，最大值为f (1)＝3.[答案] 33．如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝________. [解析] ∵f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1－x21＋x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝f (1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋f (2 016)＋f 12 016＝0.[答案] 04．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2－2x ＋2. (1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最值； (2)当x ∈[2,3]时，求f (x )的最值；(3)当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )． [解] y ＝f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.(1)∵对称轴x ＝1∈[0,4]， ∴当x ＝1时，y 有最小值， y min ＝f (1)＝1. ∵f (0)＝2<f (4)＝10， ∴当x ＝4时，y 有最大值， y max ＝f (4)＝10.(2)∵1∈ /[2,3]，且1<2， ∴f (x )在[2,3]上是单调增函数， ∴当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝2， 当x ＝3时，f (x )max ＝f (3)＝5.(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)， 当t ＋1<1，即t <0时， 函数在[t ，t ＋1]上为减函数， g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1， 当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1，当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上为增函数， g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，1，t 2－2t ＋2，t <0，0≤t <1，t ≥1.。
配套K122018年秋高中数学 课时分层作业19 函数的最大(小)值与导数 新人教A版选修1-1
课时分层作业(十九) 函数的最大（小）值与导数(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x ＋cos x 在[0，π]上的( ) A ．最小值为0，最大值为π2B ．最小值为0，最大值为π2＋1C ．最小值为1，最大值为π2D ．最小值为1，最大值为π－1D [f ′(x )＝1－sin x ，由x ∈[0，π]知，f ′(x )≥0，即f (x )在[0，π]上是增函数，所以f (x )max ＝f (π)＝π－1，f (x )min ＝f (0)＝1.]2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．－1B [f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－13(舍)．由f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2知f (x )max ＝f (2)＝a ＋2＝3，解得a ＝1.]3．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．0B [∵f ′(x )＝3ax 2， ∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2＞0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4.]4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )【导学号：97792164】A ．0≤a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜12B [∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a .∴x ＝±a .又∵f (x )在(0,1)内有最小值， ∴0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.故选B.]5．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32A [∵f ′(x )＝2x 3－6x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3， 验证可知x ＝3是函数的最小值点， 故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立，得f (x )≥－9恒成立， 即3m －272≥－9，∴m ≥32.]二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域为__________．[0，e] [f ′(x )＝2x －x2e x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2(舍)．又f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e，则f (x )max ＝f (－1)＝e ，f (x )min ＝f (0)＝0，因此函数f (x )的值域为[0，e]．]7．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．(－4，－2) [f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0得，x ＝m2.由题意知－2<m2<－1，∴－4<m <－2.]8．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为__________． 3－1 [f ′(x )＝a －x 2x 2＋a2(a >0)，令f ′(x )＝0得x ＝a 或x ＝－a (舍)．当0<a ≤1时，f ′(x )≤0，则f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，从而f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1， 当a >1时，x ∈[1，a )时，f ′(x )>0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0， 则当x ＝a 时，f (x )有最大值，即f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝34不合题意． 综上知，a ＝3－1.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数.【导学号：97792165】(1)求f (x )的表达式．(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． [解] (1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， 所以g (x )＝f (x )＋f ′(x ) ＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数， 所以g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0. 解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.10．已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0. (1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2＜f (x 0)＜2－2. [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0.因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0， 而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x.当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0. 综上，a ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x . 设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．又h (e －2)>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0,1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点． 由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)． 由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12得f (x 0)＜14.因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点， 由e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2. 所以e －2<f (x 0)<2－2.[能力提升练]1．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )A [令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴u (x )在[a ，b ]上为减函数，∴u (x )在[a ，b ]上的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．]2．设直线x ＝m 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时m 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22D [|MN |＝x 2－ln x ，令F (x )＝x 2－ln x ，F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0<x <22时，F ′(x )<0；当x >22时，F ′(x )>0；所以当x ＝22时，F (x )有极小值也就是最小值，故选D.] 3．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．[4，＋∞) [∵x ∈(0,1]， ∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当 0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. ∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4， 它也是最大值，故a ≥4.]4．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________.【导学号：97792166】(－∞，2ln 2－2] [f ′(x )＝e x－2，令f ′(x )＝0得x ＝ln 2. 又当x <ln 2时，f ′(x )<0，当x >ln 2时，f ′(x )>0，因此当x ＝ln 2时，函数f (x )有最小值，若函数f (x )有零点，则f (x )min ＝f (ln 2)＝eln2－2ln 2＋a ≤0，解得a ≤2ln 2－2.]5．设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a >1知，2a >2，当x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2<x <2a 时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a ＝－43a 3＋4a 2＋24a ，f (0)＝24a .由假设知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，fa，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－43a a ＋a －，24a >0，解得1<a <6.故a 的取值范围是(1,6).。
(江苏专用)2018-2019学年高中数学 课时分层作业1 四种命题 苏教版选修1-1
课时分层作业(一) 四种命题(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．下列语句：①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②x，y都是无理数，则x＋y 是无理数；③请完成第九题；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．其中是命题的是________．【解析】根据命题的定义逐个判断．①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，是假命题，例如－2＋2＝0，不是无理数；③不是命题，因为它不是陈述句；④是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．【答案】②④2．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：(1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；其中所有正确叙述的序号是________.【导学号：95902006】【解析】原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．【答案】(1)(2)3．给出下列几个命题：(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；(2)若a＞b，则a2＞b2；(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0；(4)若a，b是无理数，则a＋b是无理数．其中的假命题有________个．【解析】根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)中若a、b均为负数时不正确，为假命题；(3)中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题；(4)中取a ＝2，b＝－2，则a、b均为无理数，而a＋b＝0为有理数，故为假命题．【答案】 34．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________.【导学号：95902007】【解析】①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．【答案】②5．命题“若a2＋b2＝0，则a，b都为零”的逆否命题是________．【解析】因为原命题为：若a2＋b2＝0，则a，b都为零；所以逆否命题为：若a，b 不都为零，则a2＋b2≠0.【答案】若a，b不都为零，则a2＋b2≠06．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题的真假性为________(填“真”或“假”).【导学号：95902008】【解析】逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，显然此命题是假命题．【答案】假7．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是________．【解析】①③是真命题，②④是假命题．【答案】①③8．下列有关命题的说法：①“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题；②“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题；③“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题；④命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0.正确的是________【导学号：95902009】【解析】①中，∵2x≤1时，x≤0，从而否命题“若x≤1，则2x≤1”为假命题，故①不正确；②中，sin β＝0时，cos β＝±1，则逆命题为假命题，故②不正确；④中，由已知条件得a≥1，故④不正确．【答案】③二、解答题9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：(1)菱形的四条边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(3)空集是任何集合的真子集．【解】 (1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等．真命题． (2)若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0.真命题．(3)若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集．假命题．10．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac ＜0，则该二次函数的图象与x 轴有公共点.【导学号：95902010】【解】 (1)该命题为假命题．因为当c ＝0时，有ac 2＝bc 2. 逆命题：若ac 2＞bc 2，则a ＞b .(真) 否命题：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2.(真) 逆否命题：若ac 2≤bc 2，则a ≤b .(假) (2)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真) 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真) 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真) (3)该命题为假命题．当b 2－4ac ＜0时，二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x 轴无公共点．逆命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b 2－4ac ＜0.(假) 否命题：若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac ≥0，则该二次函数图象与x 轴没有公共点．(假)逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴没有公共点，则b 2－4ac ≥0.(假)[能力提升练]1．命题“ax 2－2ax －3≤0恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 因为ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0.故－3≤a ≤0.【答案】 [－3,0]2．命题“若abc ＝0，则a ，b ，c 至少有一个为0”的否命题为________，是________(填“真”或“假”)命题.【导学号：95902011】【解析】本题中“至少有一个为0”的否定是“都不为0”，故其否命题是“若abc≠0，则a，b，c都不为0.”由相关知识判断为真命题．【答案】若abc≠0，则a，b，c都不为0 真3．命题“若x≠2或y≠3，则x＋y≠5”的等价命题为__________，是__________命题．(填真、假)【解析】命题“若x≠2或y≠3，则x＋y≠5”的等价命题为“若x＋y＝5，则x＝2且y＝3”，是假命题．【答案】若x＋y＝5则x＝2且y＝3 假4．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：95902012】【证明】证法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)< f(－b)，f(b)< f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．证法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)< f(－b)，f(b)< f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。
高中数学课时分层作业19
课时分层作业(十九) 函数的最大(小)值 (60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 求函数的最值1．(5分)函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (1)，f (2) B ．f (2)，f (5) C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)D 解析：f ′(x )＝2x －4＝0，解得x ＝2，当x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，∴x ＝2是极小值点，f (2)＝－3.又f (1)＝－2，f (5)＝6， ∴最大值是f (5)，最小值是f (2)．2．(5分)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5在区间[－4,4]上的最大值是( ) A ．10 B ．－71 C ．－15D ．－22A 解析：f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.当x ＝－1时，函数有极大值f (－1)＝10；x ＝3时函数有极小值f (3)＝－22.而f (4)＝－15，f (－4)＝－71.所以最大值是f (－1)＝10.知识点2 与最值有关的参数问题3．(5分)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12B 解析：∵f ′(x )＝3x 2－3a ，f ′(x )＝0有解， ∴a ＝x 2.又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.故选B ．4.(5分)若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________．3－1 解析：f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－a<x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.5.(5分)已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．－37 解析：令f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，解得x ＝0或x ＝2. ∵f (x )在(－2,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数， ∴最大值为f (0)＝m ＝3，∴f (x )＝2x 3－6x 2＋3. 又f (－2)＝－37，f (2)＝－5， ∴此函数在[－2,2]上的最小值为－37. 知识点3 生活中的优化问题6．(5分)某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时的年产量是( ) A ．100 B ．150 C ．200D ．300D 解析：由题意，得总成本函数为C ＝C(x )＝20 000＋100x ，总利润P (x )＝R (x )－C(x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.所以P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大．7．(5分)某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( ) A ．32,16 B ．30,15 C ．40,20D ．36,18A 解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设堆料场的宽为x 米，则长为512x 米，因此新砌墙壁总长L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(米)，可使L 最短.8.(10分)如图，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？解：设小正方形的边长为x cm ⎝⎛⎭⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x )cm ，宽为(5－2x )cm ， V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大值＝V (1)＝18.因为在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大．能力提升练能力考点 适度提升9.(5分)如果函数f (x )＝x 4－8x 2＋c 在[－1,3]上的最小值是－14，那么c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2B 解析：令f ′(x )＝4x 3－16x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2或x ＝2，由f (－1)＝c －7，f (0)＝c ，f (2)＝c －16，f (3)＝c ＋9，得最小值为f (2)＝c －16＝－14.∴c ＝2. 10．(5分)内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2RC ．43RD ．34RC 解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2， ∴r 2＝2Rh －h 2.∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3.V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0. 故当h ＝43R 时，圆锥体积最大．11．(5分)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于M ，N .则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1B ．12C ．52D ．22D 解析：由题意，设F (t )＝t 2－ln t (t >0)．令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)．F (t )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，则t ＝22时，F (t )取最小值，即|MN |最小． 12．(5分)内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( ) A ．R 2和32RB ．55R 和455R C ．45R 和75RD ．以上都不对B 解析：设矩形的宽为x ，则长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )，l ′＝2－4xR 2－x 2， 令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)． 当0<x <55R 时，l ′>0； 当55R <x <R 时，l ′<0， 所以当x ＝55R 时，l 取得最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R ，455R . 13.(5分)函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取最大值时，x 的值为________． π6 解析：y ′＝1－2sin x ．由y ′≥0得0≤x ≤π6；由y ′<0得π6<x ≤π2. 所以原函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增，在⎣⎡⎦⎤π6，π2上递减．故当x ＝π6时，函数取得极大值，同时也是⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值.14.(5分)当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2ex 的值域是________．[0，e] 解析：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝2x ·e x－x 2·e x(e x )2＝2x －x2e x ，x ∈[－1,1]， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)． ∵f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e，∴函数f (x )＝x 2ex ，x ∈[－1,1]的值域为[0，e].15.(5分)已知函数f (x )＝ax2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．[e ，＋∞) 解析：由f (x )＝ax 2＋2ln x 得f ′(x )＝2(x 2－a )x 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.16.(5分)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y (千克)与销售价格x (元/千克)满足关系式y ＝2x －3＋10(x －6)2，x ∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大． 4 解析：商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)·(x －6)2,3<x <6，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)． 令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝6(舍去)．函数f (x )在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减， ∴当x ＝4时函数f (x )取得最大值f (4)＝42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.17.(15分)设函数f (x )是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝2ax ＋1x2(a ∈R )．(1)当x ∈(0,1]时，求f (x )的解析式；(2)若a >－1，试判断f (x )在(0,1)上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1)时，f (x )有最大值－6? 解：(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)，f (－x )＝－2ax ＋1x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1]．(2)a >－1时，f (x )在(0,1)上是增函数．证明如下： f ′(x )＝2a ＋2x 3＝2⎝⎛⎭⎫a ＋1x 3. ∵a >－1，x ∈(0,1)，1x3>1，∴a ＋1x3>0，即f ′(x )>0.∴a >－1时，f (x )在(0,1)上是增函数．(3)由(2)知当a ≥－1时，f (x )在(0,1]上单调递增． 由f (x )max ＝f (1)＝－6得a ＝－52(不合题意，舍去)，当a <－1时，令f ′(x )＝0，得x ＝3－1a. 列表如下：可知f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3－1a ＝－6，解得a ＝－2 2. 此时x ＝22∈(0,1)． ∴存在a ＝－22，使得f (x )在(0,1)上有最大值－6.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
【优质文档】2018–2019学年度高一数学上学期期末质量检测试卷十九含答案
3
4
C． f sin 4
f 3a 2
D
2 ． f 2 a2
f a2 2a 5 4
12. 已知定义在 R 上的函数 f x 满足： f x
2
x 2, x
2
2 x ,x
0,1 ，且 f x 2
1,0
f x，
g x 2 x 5 ，则方程 f x g x 在区5
B ．6 C ．7 D ．8
A． , 3
B
． ,1
C ． 1,
D ． 1,
4. 学校为了调査学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为
n 的样本，其频率分布
直方图如图所示，其中支出在 50,60 元的同学有 30 人，则 n 的值为（ ）
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A． 300
B
．200 C ． 150 D ． 100
5. 如图一铜钱的直径为 32 毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为
8 毫米，现向该铜
钱内随机地投入一粒米 （米的大小忽略不计） ，则该粒米没落在铜钱的正方形小孔内的概率
为（ ）
A． 1
B
4
6. 已知函数 f x
．1 1 4
1 C．
2
D ．1 1 6
log 2 x, x 2 ，则 f f 2 等于（ ） f x 2 ,x 2
A． 2 B ． 4 C ． 1 D ． 1
2018– 2019 学年度高一数学上期末质量检测试卷十九
数学
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
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注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题作答用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
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课时分层作业(十九) 最大值与最小值(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．已知函数f (x )＝x 3－3x ，|x |≤1，f (x )的最小值为________．【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1,1]上是单调递减函数，f (x )的最小值为f (1)＝－2.【答案】 －22．函数y ＝xex 在[0,2]上的最大值是________.【导学号：95902240】【解析】 由f (x )＝x e 得f ′(x )＝1－xe，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1,2]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，函数取得最大值f (1)＝1e .【答案】 1e3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是________． 【解析】 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′＞0，则函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π. 【答案】 π 4．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为________． 【解析】 f ′(x )＝－1x ＋2＋1＝x 2＋2xx ＋2，所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立， 即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134 5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于________.【导学号：95902241】【解析】 由已知y ′＝－2x －2，令y ′＝0，解得x ＝－1；∴函数在(－∞，－1)上是单调递增；在(－1，＋∞)上是单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－32舍去. 若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154，综上，a ＝－12.【答案】 －126．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．【解析】 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1; 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.【答案】 127．下列结论：①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 时达到； ④在区间[a ，b ]上的连续函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值． 其中正确的是________(填序号)．【解析】 因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以①②③都不正确，而连续函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值，所以④正确．【答案】 ④8．已知函数f (x )＝ax2＋2ln x ，若当a ＞0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902242】【解析】 由f (x )＝ax2＋2ln x 得f ′(x )＝x 2－ax 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1. 要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e. 【答案】 [e ，＋∞) 二、解答题9．求函数f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]的最大值和最小值．【解】 f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：max 当x ＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (－1)＝－2.10．已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ≤0，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值. 【导学号：95902243】【解】 因f (x )＝1－x x ＋k ln x ，f ′(x )＝－x －1＋x x 2＋k x ＝kx －1x2. ①若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1. ②若k <0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2<0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1.综上，当k ＝0时，f (x )min ＝1－ee，f (x )max ＝e －1； 当k <0时，f (x )min ＝1e＋k －1，f (x )max ＝e －k －1.[能力提升练]1．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )．若f ′(－1)＝0，函数f (x )在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________．【解析】 由原式可得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4.由f ′(－1)＝0得a ＝12，此时f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43. 又f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43 ＝－5027，f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.【答案】 92 －50272．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图3310所示图3310下列关于函数f (x )的命题： ①函数f (x )的值域为[1,2]； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，函数f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点． 其中正确命题的序号是________.【导学号：95902244】【解析】 由导函数的图象可知，当－1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当0＜x ＜2和4＜x ＜5时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ＝0和x ＝4时，函数f (x )取得极大值f (0)＝2，f (4)＝2，当x ＝2时，函数f (x )取得极小值f (2)＝1.5，又f (－1)＝f (5)＝1，所以函数f (x )的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确，②正确；要使x ∈[－1，t ]时，函数f (x )的最大值是2，则0≤t ≤5，所以t 的最大值为5，所以③不正确；因为函数f (x )的极小值为f (2)＝1.5，极大值为f (0)＝f (4)＝2. 所以当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点，所以④正确．【答案】 ①②④3．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．【解析】 因为x ∈(0,1]，所以f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝－2xx 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0＜x ＜12时，g ′(x )＞0；当12＜x ≤1时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，它也是最大值，故a ≥4.【答案】 [4，＋∞)4．已知函数f (x )＝x －ln x ，g (x )＝x 2－ax .(1)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；(2)令h (x )＝g (x )－f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图象上任意两点，且满足h x 1－h x 2x 1－x 2＞1，求实数a 的取值范围.【导学号：95902245】【解】 (1)f ′(x )＝1－1x，x ＞0，令f ′(x )＝0，则x ＝1.当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，f (x )的最小值为f (t )＝t －ln t ； 当0＜t ＜1时，f (x )在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝1.综上，m (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t －ln t ，t ≥1，1， 0＜t ＜1.(2)h (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋ln x ， 不妨取0＜x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0， 则由h x 1－h x 2x 1－x 2＞1，可得h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2，变形得h (x 1)－x 1＜h (x 2)－x 2恒成立．令F (x )＝h (x )－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x ，x ＞0， 则F (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 故F ′(x )＝2x －(a ＋2)＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x ＋1x≥a ＋2在(0，＋∞)上恒成立．因为2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，所以a ≤22－2.。