锐角三角函数(二)
锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)
c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
锐角三角函数课件
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
中考数学复习锐角三角函数2[人教版](新编2019)
](https://img.taocdn.com/s3/m/81c3a641a98271fe910ef9f6.png)
； ； ；
标为2,则α的四个三角函数值分别
是
.
2.在△ABC中,∠C=Rt∠,cosA=0.2，
则其他三个三角函数值分别
是
.
； ； ； ； ；
复习九--
锐角三角函数
知识要点：
锐角三角函数的概念：
锐角α的三角函数怎样表示
怎样定义
？
2.说出特殊角三角函数值
锐角三角函数的增减性
？
， .
3.三角函数间的关系有哪些？请
写出相应的关系式
.
检测练习：
1.若锐角α的顶点在原点,始边在x
轴正半轴,终边在第一象限,终边上
一点P到原点的距离为3,且P的纵坐
宣王中兴 戊申 天纲解纽 将吉 刘备以诈力虏刘璋 十二月 以之配日 九年春正月辛酉 刘弘等并桉兵不能御 断刑罚以威之 八月 一曰天旗 军井未达 属三河 帝军于芒山 以卫将军梁芬为司徒 诏太官彻膳 拔五城 不听 夏四月丙辰 又于广望观下作辽东妖妇 江州刺史何无忌及循战于豫章 诸葛公起居何如 古者百官 翟辽寇谯 乐弘攻督护戴施于仓垣 备其越逸 命箠荆台 自是以来 领平西将军 尝坐置膝前 冬十月 三月 由吾不能以道匡卫 延安于将危之命 冀 丙申 藏兵亦所以御难也 位厕鼎司 会稽王昱 一攻陈仓 夙夜惟忧 而帝亦虑难作 青 拨乱反正 何以视之不员乎 徵征 西大将军 卢循寇广州 持节 大赦 昔赵高极意 己未 内镇百姓 日月五星之道也 郡国十六雨雹 大司马桓温帅众北伐 咸宁元年春正月戊午朔 立国子学 令诸郡中正以六条举淹滞 故不得已而临之 若不损己以益人 累迁左将军 形也 又《易》曰 中央大星为大将军 赫连勃勃大败王师于青泥北 谘谋诸军事 杨济都督荆州诸军事 坏庐舍 天庙也 何曾等固争曰 壬申 假其归义侯 西中郎将赵胤
锐角三角函数_2
(2)cos600+tan600;
怎样 做？
3 2 sin 450 sin 600 2 cos 450.
2
4 2 sin 2 300 cos2 600 2 cos2 450.
2
知识的运用
驶向胜利 的彼岸
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为
2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且
(1)sin300等于多少? (2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少?
450
450 ┌
300
600 ┌
(4)cot300等于多少? 请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
如图,观察三角板:
驶向胜利 的彼岸
(5)sin450,sin600等于多少?
(6)cos450,cos600等于多少?
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
A
c
a
┌
b
C
sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数的关系, 且它更具有灵活变换的特点,若能予以掌握,则将有益 于智力开发.
习题
1.计算;(1)tan450-sin300;
独立 作业
(2)cos600+sin450-tan300;
1 2 1 2 .
22 2
?怎样
解答
(2) sin2600+cos2600-tan450
3 2
2
1 2
2
1
3 1 1
44
0.
提示:
Sin2600表示 (sin600)2,
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.
24.3.1锐角三角函数2
4 cos A 5 sin A cos A 4 5 tan A 2 cos A 3 sin A cos A 2 3 tan A
3 7
4 5 0.5 1.5 3 原式 2 3 0.5 3.5 7
1.sinA与cosA有何关系？ tanA与cotA的关系？
2.tanA与sinA、cosA之间的关系： cotA与sinA、cosA之间的关系： 商的关系
作者:李先贵(平昌县信义小学)
4
探索一：sinA与cosA的平方和关系
证明
∵∠C=900
a b c
2 2
2
a sin A , c
华东师大版九年级（上册）
第二课时
执教人:李先贵
作者:李先贵(平昌县信义小学) 1
锐角三角函数是如何定义的？
sinA = cosA = tanA = cotA =
A的对边 斜边
A的邻边 斜边
A的对边 A的邻边
A的邻边 A的对边
锐角A的正弦、余弦、和正切、余切统称∠A的三角函数
作者:李先贵(平昌县信义小学)
cotA与sinA、cosA间商的关系
cot A
1 tan A
sin A cos A . cos A sin A
cos A . sin A
a sin A , cos A b , tan A a , b c c sin A a b a c a cos A c c c b b
tan A cot A
B
cot A b . a
c a
┌
tan A cot A 1.
中考数学第四单元三角形第22课时锐角三角函数2
.
[答案] (1) 2 (2)- 2 (3)2 (4) 3-1
4
2019/8/9
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
6
榜题名。万事如意！开心每一天！
课前双基巩固
4.[九下 P85 复习题 28 第 11 题改编] 如图 22-1,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的 点 F 处.已知折痕 AE=5 5 cm,且 tan∠EFC=3.则
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
12
榜题名。万事如意！开心每一天！
课堂考点探究
4.[2018·德州] 如图 22-4,在 4×4 的正方形方格图形中,小正方
形的顶点称为格点,△ ABC 的顶点都在格点上,则∠BAC 的正
弦值是
.
[答案]
5 5
[解析] 因为 AC=2 5,BC= 5,AB=5,
所以 AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°, 所以 sin∠BAC=������������= 5.
B.
3 2
C.1 D. 3
6.在△ ABC 中,AB=2,AC=3,∠B=45°,则 sinC 的值是
.
[答案] 5.B
6.
2 3
2019/8/9
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
9
榜题名。万事如意！开心每一天！
课堂考点探究
探究一 求锐角三角函数值
【命题角度】 (1)已知直角三角形的边长,直接求锐角三角函数值; (2)在网格中求锐角三角函数值. 例 1 [2019·原创] 如图 22-2,在 Rt△ ABC 中,∠BAC=90°,
∴BD=6 3.在 Rt△ ACD 中,tanA=3,CD=6,
4
2022秋九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系1锐角三角函数2正弦与余弦课件鲁教版五四制
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝nx＋ 2(n≠0)的图象与反比例函数 y＝mx (m≠0)在第一象 限内的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，线段 OA ＝5，C 为 x 轴正半轴上一点，且 sin ∠AOC＝45. (1)求一次函数和反比例函数的表达式；
解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D.∵sin ∠AOC＝AODA＝45，OA＝5， ∴AD＝4.则 DO＝ OA2－AD2＝3. ∵点 A 在第一象限，∴点 A 坐标为(3，4)．将 A(3，4)的坐标代入 y ＝mx ，解得 m＝12，∴反比例函数的表达式为 y＝1x2.将 A(3，4)的坐 标代入 y＝nx＋2，解得 n＝23，∴一次函数的表达式为 y＝23x＋2.
cos A，所以 A 选项错误；因为 45°＜∠A＜90°，所
以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以 BC＞AC，所以BACB
＞AACB，即 sin A＞cos A，所以 B 选项正确，D 选项
错误；tan A＝ABCC＞1，sin A＜1，所以 C 选项错误．
12．已知x＝cos α(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，
13．【中考•潍坊】如图，点M是正方形ABCD边CD上 一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于 点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF； 解：证明：∵∠BAF＋∠DAE＝90°，∠ADE＋ ∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE. 在△ DEA 和△ AFB 中，∠∠ADDEEA＝＝∠∠BAAFFB，，
(2)求△ABC的三边长．
解：∵△ABC 是直角三角形，∴sin A＝ac. 将其代入 9c＝25asin A，得 9c＝25a·ac，∴9c2＝25a2.
∴3c＝5a.∴c＝53a.∴b＝ c2－a2＝ 53a2－a2＝43a. 将 b＝43a，c＝53a 代入 a＋b＝c＋4，解得 a＝6. ∴b＝43×6＝8，c＝53×6＝10，即△ ABC 的三边长分别为 6，8，10.
锐角三角函数《应用举例》第2课时示范公开课教学设计【人教版九年级数学下册】
第二十八章锐角三角函数28.2.2应用举例第2课时一、教学目标1.能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中；2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题；3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力；4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在航海方面的应用，使学生感受到数学的广泛作用.二、教学重难点重点：能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.难点：灵活选择三角函数解决问题.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【回顾】教师活动：教师带领学生回顾前面所学知识，为下面做基础.如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c2___；思考并配合老师回答问题通过前面所学知识的复习，为后面解题做基础.(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=__90°___；(3) 边角之间的关系：sin A=__ac___，cos A=_bc____，tan A=_ab____.解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.环节二探究新知【探究】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 °方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数) ？【归纳】方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.在下图中依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65°、南偏东34°方向的射线.学生跟随教师写过程经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.解：如图 ，在Rt △APC 中， PC ＝P A ·cos(90°－65°) ＝80×cos25° ≈72.505在Rt △BPC 中，∠B =34°，sin PCB PB=()72505130n mile sin sin34PC .PB B ∴==≈ 当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130海里． 环节三应用新知 【典型例题】例1：铁路的路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝3∶2，顶宽是3m ，路基高是1.5m ，求路基的下底宽是多少？【归纳】坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成tan hi lα==的形式.坡度越大 坡角越大 坡面越陡解：如图，AD =3m ，作AE ⊥BC ， DF ⊥BC .集体回答通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.∵i=3∶2，AE=DF=1.5m.∴BE=CF=1m.∴BC=1+1+3=5m.环节四巩固新知【随堂练习】教师活动：通过Pk作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习1如图，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶1，坝高BE=20m，迎水坡AB=_______m，坡角α=_______.答案：202；45°练习2如图，海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？答案：(方法1）解：如图，过A作AC⊥BD，交BD的延长线于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，由题意，得∠CAD=30°，∠CAB=60°，∠ABD=90°－60°= 30°，又∵∠BAD=∠CAB－∠CAD=60° －30°=30°，∴∠ABD=∠BAD，分组讨论进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.=⨯12∴渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．3=tan30360°= 30°=3x以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.。
2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)
2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)一、选择题1．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A 、B 、C 、D 四地．如图，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东30°方向、在C 地北偏西45°方向．C 地在A 地北偏东75°方向．且BD=BC=30m ．从A 地到D 地的距离是（ ）A ．303mB ．205mC ．302mD ．156m【答案】D【解析】 分析：过点D 作DH 垂直于AC ，垂足为H ，求出∠DAC 的度数，判断出△BCD 是等边三角形，再利用三角函数求出AB 的长，从而得到AB +BC +CD 的长．详解：过点D 作DH 垂直于AC ，垂足为H ，由题意可知∠DAC =75°﹣30°=45°．∵△BCD 是等边三角形，∴∠DBC =60°，BD =BC =CD =30m ，∴DH =32×30=153，∴AD =2DH =156m ．故从A 地到D 地的距离是156m ．故选D ．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）A ．500sin55m oB ．500cos55m oC ．500tan55m oD ．500cos55m o【答案】B【解析】【分析】根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可．【详解】在Rt △BDE 中，cosD=DE BD， ∴DE=BD •cosD=500cos55°．故选B ．【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）A ．1000sin α米B ．1000tan α米C ．1000tan α米D ．1000sin α米 【答案】C【解析】【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC ABα=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米，∴tan AC AB α=， ∴1000tan tan AC AB αα==米． 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度．A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或45【答案】C【解析】【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=3222AE =， ．sin ∠AOD=3，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247B ．73C ．724D ．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE ．设BE=x ，则CE=8-x ．在Rt △BCE 中，x 2=（8-x ）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74， ∴tan ∠CBE=724CE CB =.故选C.考点：锐角三角函数.6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）A ．1B ．12C ．32D ．33【答案】C【解析】【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-33【详解】过点C 作CF ⊥BD 与点F ．∵∠BAE ＝30°，∴∠DBC ＝30°，∵BC ＝2，∴CF ＝1，BF 3 ，易证△AEB ≌△CFD （AAS ）∴AE ＝CF ＝1，∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，∴BE ＝33 AE ＝33， ∴EF ＝BF ﹣BE 3 3233， 在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝323CFEF ==， 故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等7．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A ．3B ．23C ．32D ．233【答案】A【解析】连接OC ，∵OA=OC ，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC 是⊙O 切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC •tan30°=3，故选A9．如图，O e 是ABC V 的外接圆，AD 是O e 的直径，若O e 的半径是4，1sin 4B =，则线段AC 的长是（ ）．A ．2B ．4C ．32D ．6【答案】A【解析】【分析】 连结CD 如图，根据圆周角定理得到∠ACD ＝90︒，∠D ＝∠B ，则sinD ＝sinB ＝14，然后在Rt △ACD 中利用∠D 的正弦可计算出AC 的长．【详解】连结CD ，如图，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90︒，∵∠D ＝∠B ，∴sinD＝sinB＝14，在Rt△ACD中，∵sinD＝ACAD＝14，∴AC＝14AD＝14×8＝2．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．10．cos60tan45+o o的值等于()A．32B2C3D．1【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式13122 =+=．故选A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（）A ．45B ．35C ．43D ．34【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB=22AC BC +=5cosA=AC AB =35故选：B ．【点睛】 本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )A ．asinα+asinβB ．acosα+acosβC ．atanα+atanβD ．tan tan a a αβ+ 【答案】C【解析】【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可．【详解】在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝BC AB，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ，∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ，故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键．13．如图，ABC V 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 中点，且4AB =，CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，则OD 的最小值为（ ）．A ．1B ．22C 21D ．222【答案】D【解析】【分析】 根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO 最小时，DO 为三角形ABC 内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解：Q CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，D ∴为ABC ∆的内心，OD ∴最小时，OD 为ABC ∆的内切圆的半径，,DO AB ∴⊥过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F,DE DF DO ∴==∴ 四边形DFCE 为正方形，O Q 为AB 的中点，4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得：2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=Q 四边形DFCE 为正方形，,CE DE ∴=222,OD CE ∴==故选D ．【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．14．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．3，30) B．(30，3-50) C．330) D．(30，3)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=15×4=60海里，∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，∵sin30°=OCAO=12，∴CO=30海里，∴AC3∴BC=（3－50）海里，∴B（3－50，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．15．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是( )A．斜坡的坡度为1: 2B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当7.5y=时，x的值，判定D．【详解】解：214212y x xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，11xy=⎧⎨=⎩，22772xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，72∶7=1∶2，∴A正确；小球落地点距O点水平距离为7米，C正确；2142y x x=-21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．16．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）A ．21313B ．31313C ．23D ．1313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622xx x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2， 在Rt △BEF 中，222313BE =+=，∴313cos 1313BF EBF BE ∠===． 故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．17．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米 D ．tan tan m βα-千米 【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β= cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.18．如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是( )A ．303 n mileB ．60 n mileC ．120 n mileD ．(30303)+n mile【答案】D【解析】【分析】 过点C 作CD ⊥AB ，则在Rt △ACD 中易得AD 的长，再在直角△BCD 中求出BD ，相加可得AB 的长．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=CD AC ， ∴CD=AC •cos ∠3303=． 在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴3∴3答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+303）nmile．故选D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q3a，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×12＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝3，PQ＝22PH HQ+＝39+＝23，故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为 45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为 60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌CD的高度是( )米．A．15－3B．20－3C．10－3D．35【答案】A【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．。
锐角三角函数(第2课时)教案 2022—2023学年人教版数学九年级下册
28.1 锐角三角函数第2课时一、教学目标【知识与技能】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念；2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、课型新授课三、课时第2课时共4课时四、教学重难点【教学重点】理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值、直角边之比是固定值.【教学难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程(一)导入新课（出示课件2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？(二)探索新知知识点一余弦的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则AC DF=成立吗？为什么？（出示课件4）AB DE学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE，因此AC DF=.AB DE教师归纳：（出示课件6）在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=.A b c∠=的邻边斜边教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cos α=sin(90°－α),或sin α=cos(90°－α).（出示课件7）出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项加以强调：1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA 、cosA 是一个比值（数值）.3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.知识点二 正切的定义如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D ，∠C=∠F=90°，则BC EF AC DF=成立吗？为什么？（出示课件10）学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示. 证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF. ∴BC AC EF DF =， 即BC EF AC DF=. 教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.（出示课件12）如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=a .A A b∠=∠的对边的邻边出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？学生答：互为倒数.教师问：锐角A 的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？学生答：锐角A 的正切值可以等于1；当a=b 时；可以大于1，当a ＞b 时.出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.知识点三 锐角三角函数的定义出示课件16：锐角A 的正弦、余弦、和正切统称∠A 的锐角三角函数.考点1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.例 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA ，cosA ，tanA 的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.解：由勾股定理,得2222=106AC AB BC --， 因此，63sin ==105BC A AB =， 84cos 105AC A AB ,===63tan ==.84BC A AC = 师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值.例 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，3sin 5A =，求cosA,tanB 的值．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵在Rt △ABC 中，sin BC A AB=， ∴5610sin 3BC AB A =⨯==. 又22221068AC AB BC =-=-=， ∴4cos 5AC A AB ==，4tan .3AC B BC == 教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.(三) 课堂练习（出示课件22-28）练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。
锐角三角函数公式大全
锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 两角和差 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］ cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］ tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。
三角函数2
• 2.三角函数值的符号 例5 确定下列三角函数值的符号:
7 11 0 (1) cos ; (2) sin( 465 0; (3) tan . 12 3
例6 已知sinα<0,tanα>0,确定角α所 在的象限.
• 例7 已知α∈[0,2π), 且sinα＞0, cosα≤0,求α的取值范围. 例8 求函数f(x)=lqcosx的定义域. 例9 已知点P(cosα,sinα)在第三象限,问α为第 几象限角？ • 例10 已知α是第一象限角,且 sin sin , 2 2 确定α/2所在的象限.
T
2
.
• 例4 f(x)是周期为2定义域为R的周期函数,它 在[-1,1]上的图象如图所示,画出它的图象.
y
1 0
1
x
课堂练习与课外作业
课堂练习P27 1,2 课外作业 P27 3,4 P45 1
第8课时正余弦函数的图象和性质
• 1.正弦和余弦函数的图象 • 2.正弦和余弦函数的情质 (1)定义域 R (2)值域 [-1,1] (3)周期性 T=2π (4)奇偶性 正弦函数为奇函数,它的图象关于 原点对称;余弦函数为偶函数,它的图象关于 y轴对称.
在第三象限 ,求 3 sin ,
5
• 例2 已知tanα=
求sinα,cosα 的值. 12 , 5 • 例3 已知2sinα=cosα,求 sin 2 cos 的值. 2 sin cos 例4 已知π/2<α<π,且sinα+cosα=1/5,求tanα 的值.
例4 (1)求证
3 3 sin( ) cos , cos( ) cos . 2 2
(2)已知cos(750+α)=1/3,且 －1800<α<－900,求cos(150－α)的值.
锐角三角形三角函数
锐角三角形三角函数三角函数是高中数学中一个重要的概念，它与三角形密切相关。
本文将探讨锐角三角形中的三角函数及其性质，以及在解题过程中的应用。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最常见的函数之一。
在锐角三角形中，正弦函数的定义是：对于锐角A，其对边与斜边的比值，即sinA = a/c。
正弦函数有以下特点：1. 值域和定义域：由于锐角三角形的对边和斜边都是正值，所以正弦函数的值域为[0, 1]，而定义域则是锐角的集合。
2. 周期性：正弦函数是周期函数，其周期为2π。
3. 正弦函数的图像：正弦函数在锐角范围内，以一个连续的波动曲线呈现，交替上升和下降。
二、余弦函数余弦函数是另一个常见的三角函数。
在锐角三角形中，余弦函数的定义是：对于锐角A，其邻边与斜边的比值，即cosA = b/c。
余弦函数的特点如下：1. 值域和定义域：与正弦函数类似，余弦函数的值域也为[0, 1]，而定义域则是锐角的集合。
2. 周期性：余弦函数也是周期函数，其周期为2π。
3. 余弦函数的图像：余弦函数的图像与正弦函数相似，但相位差为π/2，即正弦函数的图像向右平移π/2。
三、正切函数正切函数是三角函数中另一个重要的函数。
在锐角三角形中，正切函数的定义是：对于锐角A，其对边与邻边的比值，即tanA = a/b。
正切函数具有以下特点：1. 值域和定义域：正切函数的定义域为锐角的集合，但不包括使分母为零的值。
值域为所有实数。
2. 周期性：正切函数是周期函数，其周期为π。
3. 正切函数的图像：正切函数在锐角范围内以一条连续波浪线图像呈现，从负无穷逐渐上升到正无穷。
四、三角函数的运算性质在解锐角三角形的问题中，三角函数的运算性质是十分重要的。
以下是常用的三角函数运算公式：1. 和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)2. 二倍角公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A - sin^2Atan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)3. 半角公式：sin(A/2) = ±√((1 - cosA) / 2)cos(A/2) = ±√((1 + cosA) / 2)tan(A/2) = ±√((1 - cosA) / (1 + cosA))五、三角函数在解题中的应用三角函数在解题过程中经常被用于求解锐角三角形的边长和角度。
华师大版数学九年级上册24.锐角三角函数说课课件
4、概括：引导学生自己概括出互余两角的正弦和余弦之间的关 系。
5、讨论：互余两角的正切和余切之间是否也存在这样的关系？ 说说你的想法。
6、交流：让学生相互交流讨论结果，加深理解。
[设计意图]
本节重视倡导学生在问题情境中自主探索， 在探索基础上组织交流，在交流的基础上引 导学生反思，从而重视知识的产生过程，使 学生在自主探索中理解数学知识，体验成功 的乐趣。学习的内容不再以定论的情势呈现， 而是以问题的情势呈现，让学生紧紧环绕问 题情境，通过自主探索，合作交流，反思体 验来主动建构。
2、让学生借助于两块三角板，根据锐角三角函数的定 义，分别求出30°，45°，60°角的四个三角函数值。 （1）先让学生说说自己的方法，再让学生独立计算。 （2）引导学生相互交流，将交流结果填在表格中。
30°、45°、60°角的三角函数值
A
sinA
cosA
tanA
cotA
30°
45°
60°
[设计意图]
二：教学目标
根据本课的设计意图和教学内容，结合学生的实 际情况，我制定了以下教学目标：
1：知识与能力：使学生运用锐角三角函数的定义， 探索并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，理 解并掌握互余两角的三角函数关系，能运用它们解 决有关问题。
2：过程与方法：培养学生视察，分析，概括，推 理的能力，逐步渗透数形结合思想和转化思想。
锐角三角函数
一：教材分析
本节课是华师大版数学教材九年级上册第24章 第三节锐角三角函数第二课时内容。锐角三角函数 反应了直角三角形中存在的边角关系，它是解直角 三角形的重要根据之一，在教材中具有非常重要的 作用。考虑到锐角三角函数的知识点较多，教材在 编写时有意安排了两个课时的内容，这节课是在学 生掌握了锐角三角函数的意义和同角三角函数关系 的基础上进行的。
锐角的三角函数
•锐角三角函数的概念•锐角三角函数的性质•锐角三角函数的公式•锐角三角函数的应用•锐角三角函数的扩展目录01010203定义正切函数在区间(0, π/2)和区间(π/2, π)上都是增函数，且当α=0时，tan(α)=0；当α=π/4时，tan(α)=1。
性质应用01总结词详细描述周期性总结词在锐角三角形中，边长与角度之间存在直接的关系。
详细描述对于锐角三角形，边长与角度之间的关系可以通过正弦、余弦和正切函数来描述。
这些函数将边长和角度联系在一起，为解决几何问题提供了重要的工具。
角度与边的关系角度与面积的关系总结词详细描述01两角和与差的公式倍角公式余弦正切正弦03正切半角公式01正弦02余弦01已知两边及夹角解三角形已知三边及夹角解三角形已知三边长度解三角形解三角形方向角的计算极坐标系方向问题高度和深度问题高度测量在几何学中，高度是一个重要的概念。
利用三角函数可以方便地计算出任意两点之间的高度差。
深度测量在海洋学和地球物理学中，深度是一个重要的参数。
利用三角函数可以方便地计算出任意一点到海底的距离（深度）。
01范围任意角的三角函数值都有正、负之分，其取值范围为实数集。
定义任意角的三角函数定义为直角三角形中一个锐角对应边的长度与斜边长度的比值。
周期性任意角的三角函数值都具有周期性，即随着角度的变化，函数值呈现出周期性变化。
任意角的三角函数反三角函数定义反三角函数是指那些需要用已知三角函数值求解角度的函数。
种类反三角函数包括反正弦、反余弦和反正切等。
应用反三角函数在几何学、工程技术和科学计算等领域有广泛应用。
双曲函数与三角函数的联系联系公式应用感谢您的观看THANKS。
锐角三角函数(之2)
Ｃ 一 Ａ ＿ Ｂ 厂 ＝
平 方 关 系
一 、 ＿ 一 ２ ． 曙 ＝
一
ＣＳ Ｏ
ｔ
一
ＣＢ
０ Ｂ ／ 一Ａ
ＡＣ
亍 ’
１ √ ２
一 ’
２／ ￣ ２
ａｃ ｎ ￣一 ＣＢ
倒 数 关 系
ｃ ａ 一 。ｔ 一 ２ ，
ＡＢ
３
３ ２ √
一面
商 的 关 系
—
Ｓ Ｏ￣
＿｜
＝ ｃ ， ＝ Ｏｔ
ＣＯ Ｓ６ ｆ
Ｓｌ ａ ｎ
。 一±
一
Ｚ 一
面
一±
．
ｔ ｎ ｃ ｔ 一 １． ａ ａ ｏａ
１＋ ｔ ｎ２ ： ａ ａ ： ＝１＋
Ｚ —
一 ｓ ｃａ， ｅＺ
一 ＣＳＣ２０￣
９
‘
以 下 的 ｔ ｎ ，ｏａ，ｅ口的值 也 各 有 两 个 ． ａ ａ ｃｔ ｓｃ Ｒｔ ＡＢ Ｃ， ＡＢＣ △ ￣
ｔｎ √ ａａ ２
ｓｅｃａ —
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一
。
’
图 ｌ
ＣＳＣＯ 一 ／
一 三 一３ — ＝ ． － 一
于 是 得 到 ｓ ＋ Ｃ Ｓａ— Ｙ ｉ ａ Ｏ。 ｎ 。＋ 一 １ ，
ｓｌ ａ ｎ
— —
注意
若没有 “ 锐角 ” 个条 件 ， 是 这 则
—
ｔ ｎ ， Ｏ ａ Ｃ 一
２ ‘
２１ ０ １年 第 ４期
周 老 师讲 数 学
《 理 天 地 》 中 版 数 初
４ 、ｌ ／５
Ｓｌ ｎ
一
３ ，
ＣＳ Ｃ
中考数学专卷2020届中考数学总复习(29)锐角三角函数-精练精析(2)及答案解析
图形的变化——锐角三角函数2一．选择题（共8小题）1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里3．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．5．在△ABC中，若AC：BC：AB=5：12：13，则sinA=（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（）A．sin2A B．cos2A C．tan2A D．cot2A7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上中线，若CD=5，AC=8，则sinA为（）A． B． C． D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．2二．填空题（共6小题）9．如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为_________ m（精确到1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为_________ 米（用含α的代数式表示）．11．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB 的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为_________ m（结果保留根号）12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于_________ 海里．13．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=_________ ．14．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB= _________ ．三．解答题（共9小题）15．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为_________ m；（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．16．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）17．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．18．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）19．如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）20．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．21．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）22．如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα=，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？23．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．图形的变化——锐角三角函数2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．解答：解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB==40（海里）．故选：A．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．3．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．解答：解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，∴AC===2，∴cosC===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴sinB===，故不能表示sinB的是．故选：B．点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．5．在△ABC中，若AC：BC：AB=5：12：13，则sinA=（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．分析：先根据三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．解答：解：∵△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13，即52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．sinA==．故选：A．点评：本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（）A．sin2A B．cos2A C．tan2A D．c ot2A考点：锐角三角函数的定义．分析：求出∠=∠BCD，解直角三角形求出BC、求出BD即可得出答案．解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=1，∴BC=AB•sinA=sinA，∵CD为边AB上的高，∴∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴BD=BC•sin∠DCB=1×sinA×sinA=sin2A，故选A．点评：本题考查了锐角三角形函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出BC的长和BD的长．7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上中线，若CD=5，AC=8，则sinA为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．分析：根据斜边中线等于斜边一半得出AB，利用勾股定理求出BC，继而可计算sinA 的值．解答：解：∵CD是AB上中线，∴AB=2CD=10，BC==6，∴sinA==．故选C．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握直角三角形的斜边中线等于斜边一半．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．2考点：互余两角三角函数的关系．分析：由cosA=，知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．解答：解：∵，∠C=90°，cosA=，∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°=．故答案选：C．点评：本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30°角的正切值．二．填空题（共6小题）9．如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为59 m（精确到1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：根据灯塔顶部B的仰角为35°，BC=41m，可得tan∠BAC=，代入数据即可求出观测点A到灯塔BC的距离AC的长度．解答：解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=35°，BC=41m，∴tan∠BAC=，∴AC==≈59（m）．故答案为：59．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为7tanα米（用含α的代数式表示）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．解答：解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．故答案为：7tanα．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．11．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB 的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为（5+5）m（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．解答：解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，在Rt△ACE中，AE=CE•tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．点评：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．解答：解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=20海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=12×sin60°=20×=10海里，故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC= ．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据三角函数的定义解答．解答：解：观察图形可知，tan∠BAC==．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．14．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB= ．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．分析：过A作AD⊥BC于D，求出BD，根据勾股定理求出AD，解直角三角形求出即可．解答：解：过A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，BC=8，∴∠ADB=90°，BD=BC=4，由勾股定理得：AD==3，∴sinB==，故答案为：．点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．三．解答题（共9小题）15．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为23.5 m；（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．分析：（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．解答：解：（I）∵点C是AB的中点，∴A'C'=AB=23.5m．（II）设PQ=x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，∴MQ=，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，∴NQ=，∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，解得：x≈97．答：解放桥的全长约为97m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般．16．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出AP，BP的长，再利用三角形面积求法得出NP的长，进而得出容器中牛奶的高度．解答：解：过点P作PN⊥AB于点N，∵由题意可得：∠ABP=30°，AB=8cm，∴AP=4cm，BP=AB•cos30°=4cm，∴NP×AB=AP×BP，∴NP===2（cm），∴9﹣2≈5.5（cm），答：容器中牛奶的高度约为：5.5cm．点评：此题主要考查了解直角三角形以及三角形面积求法等知识，得出PN的长是解题关键．17．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．分析：（1）已知MN=30m，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．解答：解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，∴AN=MN•tan∠AMN=30．在Rt△BMN中，∵∠BMN=45°，∴BN=MN=30．∴AB=AN+BN=（30+30）米；（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∴此车的速度为：（30+30）÷6=5+5≈13.66，∵60千米/时≈16.66米/秒，∴13.66＜16.66∴不会超速．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．18．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：（1）作CH⊥A B于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH 中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．解答：解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米），AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1（千米），在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．故改直的公路AB的长14.7千米；（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．19．如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE 中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．解答：解：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°．∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE==18米，∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．点评：考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．20．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．解答：解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．点评：本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．21．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：在直角三角形中利用20°角和AB的长求得线段AC的长后看是否在5.3﹣5.7范围内即可．解答：解：由题意得：Rt△ACB中，AB=6米，∠A=20°，∴AC=AB•cos∠A≈6×0.94=5.64，∴在5.3～5.7米范围内，故符合要求．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是弄清题意，并整理出直角三角形．22．如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα=，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系分别求出BF，CE的长，即可得出点C相对于起点A升高的高度．解答：解：如图所示：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CD⊥AD于点D，由题意得：AB=0.65千米，BC=1千米，∴sinα===，∴BF=0.65×=0.25（km），∵斜坡BC的坡度为：1：4，∴CE：BE=1：4，设CE=x，则BE=4x，由勾股定理得：x2+（4x）2=12解得：x=，∴CD=CE+DE=BF+CE=+，答：点C相对于起点A升高了（+）km．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数得出BF，CE 的长是解题关键．23．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：计算题；几何图形问题．分析：由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．解答：解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE==（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．点评：命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．。
锐角三角函数特殊角
锐角三角函数特殊角导言三角函数是数学中一门重要的分支，它们在几何、物理、工程等领域发挥着重要作用。
在三角函数中，有一类特殊的角度被称为锐角。
本文将详细介绍锐角三角函数的特殊角，包括定义、性质以及相关应用。
一、锐角三角函数的定义锐角指的是角度大小在0°和90°之间的角。
在三角函数中，主要涉及的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们的定义如下：•正弦函数（sin）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
正弦函数sinA的值等于A点在单位圆上的y坐标值，即sinA=y。
•余弦函数（cos）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
余弦函数cosA的值等于A点在单位圆上的x坐标值，即cosA=x。
•正切函数（tan）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
正切函数tanA的值等于A点在单位圆上的y坐标值除以A点在单位圆上的x坐标值，即tanA=y/x。
二、锐角三角函数特殊角的定义在锐角三角函数中，存在一些特殊角，它们的值可以用简单的形式表示。
这些特殊角包括以下几个：1.0°：对应的三角函数值为sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0。
2.30°：对应的三角函数值为sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3。
3.45°：对应的三角函数值为sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1。
4.60°：对应的三角函数值为sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。
5.90°：对应的三角函数值为sin90°=1，cos90°=0（定义无意义），tan90°=无穷（定义无意义）。
锐角三角函数关系公式
锐角三角函数关系公式
锐角三角函数关系公式是指正弦、余弦、正切等三角函数在锐角
三角形中的关系式。
其中最为著名的公式是“正弦定理”和“余弦定理”。
正弦定理指的是，在任意锐角三角形ABC中，有a/sin A=b/sin
B=c/sin C，其中a、b、c分别表示三角形的三边长，A、B、C分别表
示三角形的三个内角。
余弦定理则是指，在任意锐角三角形ABC中，有a²=b²+c²-2bc
cos A，b²=a²+c²-2ac cos B，c²=a²+b²-2ab cos C，其中a、b、c分
别表示三角形的三边长，A、B、C分别表示三角形的三个内角，cos A、cos B、cos C分别表示对应的余弦值。
锐角三角函数关系公式在数学和物理等领域均有广泛应用，能够
帮助人们计算三角函数值，解决各种相关问题。