初高中数学衔接知识点专题
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点归纳
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a > 2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()ab a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()ab a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论①当0a≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a=，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
初高中数学衔接专题
解得： x 1．综上所述，原不等式的解为1 x 3 ．
解法 2： x − 2 表示 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离，所以不等式 x − 2 1的几何意义即
为 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1，观察数轴可知坐标为 x 的点在坐标为 3 的点的
左侧，在坐标为 1 的点的右侧．所以原不等式的解为1 x 3 ．
原式= a b + c + b a + c + c a + b = a(−a) + b(−b) + c(−c) = − a2 + b2 + c2 ①
bc
ac
ab bc ac ab
abc
a3 + b3 = (a + b)[(a + b)2 − 3ab] = −c(c2 − 3ab) = −c3 + 3abc
[公式 3]
= a3 − b3 (立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1]式子 a(a 0) 叫做二次根式，其性质如下：
(1) ( a)2 =
；(2) a2 =
；(3) ab =
[2] 平 方 根 与 算 术 平 方 根 的 概 念 ： x = a(a 0) ，其中 a (a 0) 叫做 a 的算术平方根． [3]立方根的概念： x= 3 a
； (4) b =
．
a
叫做 a 的平方根，记作
叫做 a 的立方根，记为
4．分式 分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子 都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以 分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
初高中数学衔接知识点
初高中数学衔接知识点1.立方和与差的公式这部分内容在初中教材中很多都不讲，但进入高中后，它的运算公式却还在用。
比如说：(1)立方和公式：(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3;(2)立方差公式：(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3;(3)三数和平方公式：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac;(4)两数和立方公式：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3;(5)两数差立方公式：(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3。
2.因式分解十字相乘法在初中已经不作要求了，同时三次或三次以上多项式因式分解也不作要求了，但是到了高中，教材中却多处要用到。
3.二次根式中对分子、分母有理化这也是初中不作要求的内容，但是分子、分母有理化却是高中函数、不等式常用的解题技巧，特别是分子有理化。
4.二次函数二次函数的图像和性质是初高中衔接中最重要的内容，二次函数知识的生长点在初中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容.二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，经久不衰。
5.根与系数的关系(韦达定理)在初中，我们一般会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程，而到了高中却不再学习，但是高考中又会出现这一类型的考题，对学生有以下能力要求：(1)理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况;(2)掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式(这里指对称式)的值，能构造以实数p、q为根的一元二次方程。
6.图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点，对称轴、给定直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、不等式初中教材中同样不作要求，只作定量研究，而在高中，这部分内容被视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
初高中数学衔接知识点专题
初高中数学衔接知识点专题数学作为一门重要的学科，是学生学习中不可或缺的一部分。
在学生从初中升入高中的过程中，数学的难度和要求都会有所提高，因此初高中数学之间的衔接问题也就显得尤为重要。
本文将就初高中数学之间的衔接知识点进行专题讨论，希望能够帮助学生顺利度过这一关键阶段。
一、代数部分1. 整式的化简与展开初中阶段，学生已经学习了整式的加减乘除，高中阶段则会更深入地学习整式的化简与展开。
在初中阶段，学生应该掌握好整式的基本运算法则，包括加减乘除的各种情况。
而在高中阶段，学生需要进一步学会应用分配律、乘法公式等知识，进行整式的化简与展开。
2. 方程与不等式的解法初中阶段学生学习的主要是一元一次方程和一元一次不等式的解法，高中阶段则会学习到更多种类的方程和不等式。
学生在学习初中数学时，要牢固掌握一元一次方程和不等式的解法，这样在高中学习更高阶的方程和不等式时，就会更加得心应手。
3. 函数的概念与性质初中阶段学生已经接触到了一些简单的函数，比如一次函数、二次函数等。
而高中阶段学生则会学习到更多种类的函数，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
学生在初中要学会理解函数的概念和性质，这样在高中学习更复杂的函数时，就会更容易掌握。
二、几何部分1. 相似三角形的性质初中阶段学生学习的主要是相似三角形的性质，高中阶段则会学习到更多种类的相似性质。
学生在学习初中数学时，要学会判断两个三角形是否相似，掌握相似三角形的性质，这样在高中学习更复杂的相似性质时，就会更加游刃有余。
2. 圆的相关性质初中阶段学生学习的主要是圆的面积和周长的计算，高中阶段学生则会学习到更多种类的圆的性质。
学生在学习初中数学时，要学会计算圆的面积和周长，了解圆的相关性质，这样在高中学习更多的圆的性质时，就会更容易掌握。
3. 三角函数的概念与性质初中阶段学生学习的主要是三角函数的初步概念，高中阶段学生则会学习到更多种类的三角函数的性质。
学生在学习初中数学时，要学会理解三角函数的概念和性质，这样在高中学习更多的三角函数的性质时，就会更加得心应手。
初高中数学衔接知识点专题
初高中数学衔接知识点专题★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；(2)= ；(3)= ；(4)= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作0)x a =≥，其(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．例2 计算：（1）221()3x +（2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x +的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3） （4）例6 设x y ==33x y +的值．例7 化简：（1）1xx x x x -+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+-- 22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x +-------===+-+-+ 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1． 解不等式 327x x ++-<2．设x y ==22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4．设12x=，求4221x x x ++-的值．5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1) 3÷(2)(3)(4) ÷★ 专题二 因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4]2()a b c ++=[5]33a b +=(立方和公式) [6] 33a b -=(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法（1）2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()x p q x pq +++2()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++， ∴2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法【例题选讲】例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -；(2) 76a ab -例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd --- （2）2222428x xy y z ++-例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x --(3) 226x xy y +- (4) 222()8()12x x x x +-++ 解：（1） 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ （2）15(5)3,(5)32-=-⨯-+=- 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+（3）分析：把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．解：222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(4) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解： 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- ；(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+ 324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 例5 （拆项法）分解因式3234x x -+【巩固练习】1．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+- (2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x + (4) 32113121x x x -+- (5) 3223428x xy x y y --+2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．3．现给出三个多项式，1212-+x x ，13212++x x ，x x -221，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： ． 由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,x x x x +==说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．【例题选讲】例1 已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．例2 已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例3 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．例4 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x xx x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．【巩固练习】1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( ) A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ，q = _ ____ ．4．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ．5．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．6．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．★ 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1．平面直角坐标系[1] 组成平面直角坐标系。
初高中数学衔接知识点专题word版含答案
初高中数学衔接知识点专题（一）★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作0)x a =≥，其(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．例2 计算：（1）221()3x + （2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x +的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3） （4）例6设x y ==，求33x y +的值．例7 化简：（1）11xx x x x -+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 ．【巩固练习】1． 解不等式 327x x ++-<2．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4． 设x=，求4221x x x ++-的值．5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1)3÷ (2)(4) ÷+1AC |x －1||x －3|● 各专题参考答案 ●专题一数与式的运算参考答案例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =； ①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB |可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．例2（1）解：原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=33331111()()521258m n m n -=-（3）原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=-（4）原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++ 例3解：2310x x -== 0x ∴≠ 13x x∴+= 原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x+-+=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab+++⋅+⋅+⋅222()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① 33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abcabc-=-例5解：（1）原式6==- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3）原式ab =（4） 原式===例6解：22(277 14,123x y x y xy ===+=-⇒+==- 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】1．43x -<< 2． 3．3-或2 4．3-5．444222222222x y z x y x z y z ---+++ 6．()(((13,23,4-。
初升高数学衔接知识点
初升高数学衔接知识点
1. 函数的概念嘿！你想想看，函数就像一个魔法机器，你给它一个输入，它就会给你一个特定的输出。
比如说，y = 2x，当你给 x 赋值 5 时，y 不就等于 10 了嘛，神奇吧！
2. 二次函数的图像哇塞！二次函数的图像就像一条会跳舞的曲线。
像抛物线 y = x^2，它有个最低点，多有意思啊！还记得你扔出的球的轨迹吗？那就和二次函数图像有点像呢。
3. 几何图形的认识哎呀！几何图形就像生活中的各种东西呀。
圆就像个大皮球，三角形像个屋顶，正方体像个盒子。
你看我们身边到处都是几何图形呢！
4. 不等式的求解嘿呀！不等式就像个天平，要让两边平衡呀。
比如说
2x + 5 > 10，解出来 x 的范围，不就知道哪些数满足条件啦，是不是很有
趣呢？
5. 因式分解哇靠！因式分解就像是把一个大东西拆分成好多小零件。
像x^2 - 9 可以分解成 (x + 3)(x - 3)，厉害吧！
6. 概率的初步了解天哪！概率就像是在碰运气呢。
抛个硬币，正面朝上的概率是二分之一。
就好像抽奖一样，充满了未知和期待，多刺激呀！
7. 数列的奥秘哟呵！数列就像一串有规律的数字在排队。
等差数列 1，3，5，7，它们每次都增加 2，是不是很神奇呢！
8. 三角函数的神奇嘿嘿！三角函数就像是数学里的魔法师。
像正弦函数，余弦函数，它们能解决很多几何问题呢，你不好奇吗？
我的观点结论就是：初升高这些数学衔接知识点真的很重要，很有趣，能让我们更好地进入高中数学的学习呢！。
初高中数学衔接知识点+配套练习
第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，了解字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式〔多项式、单项式〕、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式〔平方差公式与完全平方公式〕，并且了解乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式〞等有关内容．一、乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字言语表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：〔1〕)416)(4(2m m m +-+〔2〕)41101251)(2151(22n mn m n m ++-〔3〕)164)(2)(2(24++-+a a a a 〔4〕22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：〔1〕原式=333644m m +=+ 〔2〕原式=3333811251)21()51(n m n m -=-〔3〕原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a〔4〕原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+说明：〔1〕在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．〔2〕为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】0132=+-x x ，求331xx +的值． 解：0132=+-x x 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：此题假设先从方程0132=+-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．此题是依据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．此题的解法，表达了“正难则反〞的解题策略，依据题求利用题知，是明智之举．【例5】0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅abcc b a ab c c ac b b bc a a 222)()()(++-=-+-+-= ①abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简以下各式：(1)(2)1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+==(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类商量．【例7】计算(没有特别说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)(3) -+解：(1) 原式6==-(2) 原式=(3) 原式==说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母(．() ，转化为 “分母中有根式〞的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(2+2)．【例8】计算：(1) 21)(1++--(2)+解：(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+(2) 原式++说明：有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x y ==33x y +的值．解：77 14,123x y x y xy ==+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可依据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的根本性质．【例10】化简11xx x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x xx x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方法逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的根本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般依据题目特点综合使用两种方法． 【例11】化简222396162279x x x x xx x x ++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++- 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的根本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，肯定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，肯定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．此题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试． 【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．分析：按照原先分组方法，无公因式可提，需要把括号翻开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方法，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把以下各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2)3649,4913=⨯+=说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 【例8】把以下各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=(2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把以下各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家了解，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们觉察，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过屡次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把以下各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，假设原常数为负数，用减法〞凑〞，看是否符合一次项系数，否则用加法〞凑〞，先〞凑〞绝对值，然后调整，添加正、负号．四、其它因式分解的方法1．配方法【例11】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-说明：这种设法配成有完全平方法的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方法，然后用平方差公式分解．当然，此题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法【例12】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．此题还可以将23x -拆成224x y -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照以下步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．第三讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：(1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-【例1】不解方程，推断以下方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=解：(1) 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，依据以下条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=- (1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=； (3) 141203k k -≥⇒≤；(4) 141203k k -<⇒>．【例3】实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得： 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-． 综上知：1,0x y =-=二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：所以：1222b b bx x a a a-+--+=+=-，定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达觉察，所以通常把此定理称为〞韦达定理〞．上述定理成立的前提是0∆≥．【例4】假设12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求以下各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．分析：此题假设直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，依据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x =====-说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理表达了整体思想．【例5】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，依据以下条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类商量．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=；②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去． 综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：依据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．【例6】12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 ∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 ∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． (2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <， 要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，假设能求出，则说明存在，否则即不存在．41 k 为整数的分析方法．(2) 此题综合性较强，要学会对第四讲 二次函数的最值问题二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要根底．在初中阶段大家已经了解：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个根底上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数及其对称轴在所给范围的草图，〔注意：是所给范围的。
初高中数学衔接知识点专题
初高中数学衔接知识点专题初高中数学衔接知识点是初升高学生在学习过程中需要重点关注的内容。
由于初中数学和高中数学在知识点、难度和深度上存在较大差异，因此，做好初高中数学衔接工作至关重要。
以下将围绕几个重要的衔接知识点进行详细阐述，以帮助初升高学生更好地适应高中数学学习。
一、数系与函数在初中数学中，我们主要学习的是有理数、无理数和实数的概念，而在高中数学中，我们需要进一步了解复数。
复数是一个包含实部和虚部的数，它在解决一些实际问题时具有重要作用。
因此，学生需要掌握复数的概念、运算规则和性质。
此外，函数是高中数学的重要概念之一。
在初中阶段，我们主要学习了一次函数、二次函数等基本函数类型。
而在高中阶段，我们需要学习更复杂的函数，如幂函数、对数函数、三角函数等。
学生需要掌握函数的定义、性质和图像特征，并学会用函数的观点去解决问题。
二、几何学初中几何学主要涉及平面几何的基本概念和性质，如三角形、四边形、圆等。
而在高中数学中，我们需要进一步学习立体几何，包括空间点、线、面的位置关系和度量计算等。
学生需要掌握空间几何的基本概念、性质和定理，并学会用空间几何的知识去解决实际问题。
三、代数与不等式初中代数主要涉及方程的解法、不等式的性质和运算等。
而在高中数学中，我们需要进一步学习数列、排列组合、二项式定理等知识点。
学生需要掌握数列的概念、性质和通项公式，了解排列组合的计算方法和二项式定理的应用。
同时，在高中数学中，不等式的学习难度也会增加。
学生需要掌握不等式的性质、解法和应用，如不等式的证明、不等式的求解等。
此外，还需要了解一些特殊的不等式类型，如均值不等式、柯西不等式等。
四、概率与统计初中概率与统计的知识点相对简单，主要涉及概率的基本概念和简单统计方法。
而在高中数学中，我们需要进一步学习概率论与数理统计的内容，包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、期望与方差等知识点。
学生需要掌握这些知识点的基本概念、性质和应用方法。
初高中数学衔接知识点专题
初高中数学衔接知识点专题一、引言初中和高中是数学学科中两个重要的阶段，初中数学是高中数学的基础，初中数学的学习成绩对于高中数学的学习有着至关重要的影响。
因此，初高中数学的衔接是学生数学学习中不可忽视的一部分。
本文将对初高中数学衔接的一些重要知识点进行总结和梳理，帮助同学们顺利过渡，并提升高中数学学习的效果。
二、整数和有理数1. 整数的概念和性质初中数学中，我们学习了整数的概念和运算法则。
在高中数学中，整数的概念会更加深入，并引入了更多的性质和应用。
在初高中数学的衔接过程中，同学们需要对整数的概念、四则运算、绝对值以及整除性质等进行复习和巩固。
2. 有理数的概念和运算有理数是初高中数学中的一个重要概念，它包括整数和分数，常用的有理数运算有加法、减法、乘法和除法。
在高中数学中，有理数的概念还会进一步扩展，引入有理数的比较大小、约分、整除性质等内容。
在初高中数学的衔接过程中，同学们需要对有理数的基本概念和运算法则进行巩固和提升。
三、代数式和方程1. 代数式的概念和运算在初中数学中，我们学习了代数式的概念和四则运算法则。
在高中数学中，代数式的概念会更加深入，并引入了更多的性质和应用。
在初高中数学的衔接过程中，同学们需要对代数式的概念、运算法则、展开和因式分解等进行复习和巩固。
2. 一元一次方程和方程组一元一次方程是初中代数中的重要内容，解一元一次方程是数学学习中的重点和难点。
在高中数学中，一元一次方程的应用更加广泛，同时还引入了一元一次方程组的概念和解法。
在初高中数学的衔接过程中，同学们需要对一元一次方程的概念、解法、应用以及一元一次方程组进行复习和巩固。
四、几何1. 平面几何初中数学中，我们学习了平面几何中的基本概念和性质，例如线段、角、三角形等。
在高中数学中，平面几何的概念会更加深入，并引入了更多的性质和应用。
在初高中数学的衔接过程中，同学们需要对平面几何的基本概念、性质、证明以及应用进行复习和巩固。
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳1.数的概念与运算-自然数：1,2,3,…，初中数学的基础-整数：包括正整数、零和负整数，初中时学习整数的加减运算-分数：初中开始介绍分数的概念，学习分数的四则运算-小数：分数与小数之间可以互相转换，小数也可以进行四则运算2.代数与方程-代数运算：包括整式的加减乘除-一元一次方程：化简方程，通解，解方程的应用-二元一次方程组：解方程组，解方程组的应用-不等式：不等式的性质，不等式的解集3.几何基础-点、线、面的概念：初中开始学习几何基础，了解点、线、面的定义与性质-角的概念：初中学习角的概念、角的度量方法，熟练掌握角的性质-直线与圆的性质：线段、射线、直线与圆的性质，角平分线、垂直线与平行线的性质4.解析几何-平面直角坐标系：了解直角坐标系的概念与性质，熟练使用坐标表示点的位置-直线的方程：了解直线的一般方程、截距式与点斜式，掌握直线的特殊情况-圆的方程：了解圆的一般方程与标准方程，掌握圆的性质与相关定理5.数列与数学归纳法-等差数列：掌握等差数列的概念与公式，了解等差数列的前n项和公式-等比数列：了解等比数列的概念与公式，掌握等比数列的前n项和公式-通项公式与前n项和公式：掌握数列的通项公式与前n项和公式的推导与应用6.实数与函数-有理数与无理数：了解有理数与无理数的概念与性质，实数的分类-函数的概念与表示：函数的定义、函数的表示方法，了解函数与变量的关系-函数的性质：函数的奇偶性、周期性，了解函数的分类与图像的特点7.图形的性质与变换-三角形：了解三角形的性质与分类，三角形的周长与面积-二次曲线与圆锥曲线：了解二次曲线（抛物线、椭圆、双曲线）与圆锥曲线的性质-平面图形的变换：包括平移、旋转、翻折与对称等变换，了解平面图形的性质与变换规律8.概率与统计-概率的概念与计算：了解概率的定义与计算方法，掌握基本概率的计算规则-统计图与统计量：了解统计图（条形图、折线图、饼图）的表示与应用，掌握统计量的计算与分析以上是初高中数学知识点的大致归纳，其中涵盖了数的概念与运算、代数与方程、几何基础、解析几何、数列与数学归纳法、实数与函数、图形的性质与变换、概率与统计等主要内容。
初高中数学衔接知识点
初高中数学衔接知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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(集合)初升高数学衔接知识点
(集合)初升高数学衔接知识点初升高数学衔接知识点11、数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏);2)有标准。
2、非负数：正实数与零的统称。
(表为：x0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3、倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.04、相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5、数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6、奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7、绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
初升高数学衔接知识点
初升高数学衔接知识点1.绝对值绝对值的几何意义是表示一个数在数轴上的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义是指在数轴上，这两个数之间的距离。
填空。
1) 若 x=5，则 x=5；若 x=-4，则 x=-4.2) 如果 a+b=5，且 a=-1，则 b=6；若 1-c=2，则 c=-1.选择题。
下列叙述正确的是（C）若a<b，则a<b。
化简：|x-5|-|2x-13| (x>5)。
2.乘法公式我们在初中已经研究过了一些乘法公式。
1) 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2.2) 完全平方公式 (a±b)^2=a^2±2ab+b^2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式。
1) 立方和公式 (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.2) 立方差公式 (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.3) 两数和立方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.4) 两数差立方公式 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.练。
填空。
1) 1111.2) (4m+2)^2=16m^2+4m+4.3) a^2-b^2=(b+a)(b-a)。
4) (a+2b-c)^2=a^2+4b^2+c^2-2ab+2ac-4bc。
选择题。
1) 若 x^2+mx+k 是一个完全平方式，则 k 等于 1.2) 不论 a，b 为何实数，a^2+b^2-2a-4b+8 的值可以是正数也可以是负数。
3.分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。
十字相乘法。
例1 分解因式。
1) x^2-3x+2.2) x^2+4x-12.3) x^2-(a+b)xy+aby^2.4) xy-1+x-y。
提取公因式法与分组分解法。
例2 分解因式。
1) x^3+9+3x^2+3x。
2) 2x^2+xy-y^2-4x+5y-6.练。
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳一、初中数学知识点1.基本运算：加减乘除是数学的基本运算，初中数学中多种题型都是基于这些基本运算进行扩展的。
2.数的性质：数的整数性质、分数性质、实数性质等内容是数学的基础，理解和掌握这些性质对于后续的学习至关重要。
3.代数：代数是数学的一种运算方法，包括代数式、方程式等内容。
学好代数可以帮助我们解决实际问题，并为后续的高中数学打下基础。
4.几何：几何是研究空间和图形的学科，包括平面几何和立体几何两个部分。
初中数学主要包括平面几何内容，如线段、角、三角形、四边形等。
5.函数：函数是数学中的一个重要概念，初中数学中主要学习一次函数和二次函数的性质。
二、高中数学知识点1.高中数学的知识点是在初中数学的基础上进一步延伸和发展的。
2.数列和数列的极限：数列是一列有序的数的集合，数列的极限是数列的重要性质之一3.三角函数：三角函数是高中数学中的重点内容，包括正弦函数、余弦函数等。
4.数与方程：高中数学中的方程更加复杂，包括一元二次方程、二元一次方程组等。
5.几何与向量：高中数学中的几何和初中数学有所不同，包括平面向量、解析几何等内容。
6.概率与统计：概率与统计是高中数学的重点内容，涉及到事件的概率计算、数据的统计与分析等。
三、初高中数学知识点的衔接1.初中数学为高中数学打下基础，数的性质、代数、几何等知识点为理解和掌握高中数学提供了基础。
2.初中数学中的基本运算为高中数学中的计算提供了基础。
3.初中数学的解题思路和方法为高中数学的解题提供了参考。
4.初中数学中的几何知识为高中数学中的几何形状的分析提供了基础。
5.初中数学的代数知识为高中数学中的函数、方程等内容提供了基础。
初中高中数学衔接知识点
初中高中数学衔接知识点一、初中数学知识点1. 整数的四则运算：初中数学中，学生学习了整数的加减乘除运算规则，包括同号相加、异号相减、乘法法则和除法法则等。
这些运算规则是高中数学的基础，后续的代数运算和方程解法都建立在此基础之上。
2. 分数的四则运算：初中还学习了分数的加减乘除运算，包括分数的通分、约分和分数的乘除法规则。
这些运算规则在高中的二次函数、三角函数等概念中会经常用到。
3. 百分数和比例：初中学生还学习了百分数和比例的概念与应用，包括百分数的转化、比例的求解和比例的应用问题。
这些知识点在高中的函数、概率与统计等领域有着重要的应用。
二、初中与高中数学的衔接知识点1. 代数运算：初中数学中学习的整数和分数的四则运算是代数运算的基础，高中数学中会进一步学习代数式的加减乘除运算、代数方程的解法以及代数函数的性质和应用。
2. 函数与方程：初中学生在学习了一元一次方程和一元一次函数的基础上，高中会学习更加复杂的二次函数、指数函数、对数函数等函数的概念与性质，以及二次方程、指数方程、对数方程等方程的解法和应用。
3. 几何与三角：初中数学中学习了平面图形的性质和计算，高中会进一步学习立体图形的性质和计算，以及三角函数的概念与应用，包括三角函数的定义、性质和应用问题的求解。
4. 概率与统计：初中学生在学习了简单的概率和统计概念后，高中会进一步学习更加复杂的概率计算和统计分析方法，包括条件概率、期望、方差以及抽样调查等内容。
三、高中数学的拓展知识点1. 数列与数列求和：高中数学中会学习等差数列、等比数列和特殊数列的性质与应用，以及数列的求和公式和递推公式的推导与应用。
2. 极限与导数：高中数学中会学习函数极限的概念与性质，以及导数的定义、求导法则和应用，这些内容是微积分的基础，对后续的微分方程和积分有着重要的影响。
3. 向量与坐标系：高中数学中会学习向量的概念与性质，以及向量的加减法和数量积、向量积的计算方法与应用。
初高中数学衔接知识点总结
初高中数学衔接知识点总结一、基础概念的复习1.数的性质：正数、负数、零的性质，有理数和无理数的区分。
2.分数的运算：分数的四则运算，分数的化简和比较大小。
3.负数的运算：负数相加、相减和相乘，负数的运算法则。
4.二次根式：二次根式的定义与性质，二次根式的化简与比较大小。
5.整式与分式：整式和分式的区别，整式和分式的运算。
二、解题方法的延伸1.方程的解法：一元一次方程的解法，一元二次方程的解法，一元一次方程组的解法。
2.几何图形的证明：几何图形的性质和证明方法，平行线与等角的证明。
3.概率的计算：事件的概率，事件的运算，独立事件和互斥事件的概率计算。
4.数据的统计：数据图的绘制和分析，均值、中位数和众数的计算。
三、思维能力的培养1.推理与证明能力：运用已知条件进行推理和证明，运用逻辑推理解决问题。
2.创新与发散思维：从不同角度思考问题，发散思维解决问题。
3.抽象与推理：将实际问题抽象为数学问题，运用推理和推导解题。
4.应用与实践：运用数学知识解决实际问题，培养数学思维。
四、学习方法的转变1.主动学习：培养积极主动的学习态度，主动参与讨论和思考。
2.自主学习：培养自主学习的能力，合理安排学习时间和学习计划。
3.合作学习：与同学一起学习，相互讨论和交流，共同解决问题。
4.多样化学习：多种学习方式的结合，如听课、做练习、看教材、做题等。
总之，初高中数学的衔接是一个渐进过程，需要在巩固基础知识的基础上延伸解题方法，培养思维能力，转变学习方法。
通过全面复习基础概念，延伸解题方法，培养思维能力，转变学习方法，学生能够更好地应对高中数学的学习和应用，为将来的学习打下坚实的基础。
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初高中数学衔接知识点专题（一）数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< 例2 计算：（1）221()3x +（2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++例3 已知2310x x -==，求331x x +的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥ （3）（4）例6设x y ==，求33x y +的值． ★ 专题二 因式分解1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4]2()a b c ++=[5]33a b +=(立方和公式) [6] 33a b -=(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法（1）2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()x p q x pq +++2()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++， ∴2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法 例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -；(2) 76a ab -例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd --- （2）2222428x xy y z ++- 例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- (3) 226x xy y +- (4) 222()8()12x x x x +-++例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- ；(2) 22568x xy y +-解：说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 例5 （拆项法）分解因式3234x x -+ (3) 32113121x x x -+-(4) 3223428x xy x y y --+★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系 【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： ．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,x x x x +==说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 【例题选讲】例1 已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．例2 已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 例3 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．例4 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <．∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x xx x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．★ 专题四平面直角坐标系一次函数、反比例函数要点回顾】12．函数图象[1]一次函数： 称y 是x 的一次函数，记为：y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)特别的，当b =0时，称y 是x 的正比例函数。
[2] 正比例函数的图象与性质：函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象是 的一条直线，当 时，图象过原点及第一、第三象限，y 随x 的增大而 ；当 时，图象过原点及第二、第四象限，y 随x 的增大而 ．[3] 一次函数的图象与性质：函数y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)的图象是过点(0，b )且与直线y =kx 平行的一条直线.设y kx b =+(k ≠0)，则当 时，y 随x 的增大而 ；当 时， y随x 的增大而 ．[4]反比例函数的图象与性质：函数ky x=(k ≠0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y 随x 的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y 随x 的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x =与y x =-；又是中心对称图形，对称中心是原点． 【例题选讲】例1 已知()12,A y 、()2,3B x -，根据下列条件，求出A 、B 点坐标．(1) A 、B 关于x 轴对称；(2) A 、B 关于y 轴对称；(3) A 、B 关于原点对称．例2已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式。