成都九校联考2019年高一下学期数学(理)期中试卷及答案
2016-2017年四川省成都市九校联考高一(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）22．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±24．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，] 12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为．14．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8，则S6等于．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．20．（12分）已知数列{a n}前n项和（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos （A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；=2S△BCD，求BD．（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．2016-2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）2【解答】解：经观察分析数列的一个通项公式为：a n=（﹣1）n+1n2故选：C．2．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：2sin275°﹣1=﹣（1﹣2sin275°）=﹣cos150°=cos30°=，故选：D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±2【解答】解：∵xz=（﹣1）×（﹣2）=2，y2=2，∴y=﹣（正不合题意），∴xyz=﹣2．故选：C．4．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣【解答】解：由tan45°=tan（17°+28°）=，∴=．故选：B．5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米【解答】解：设AB=x米，在直角△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=x米．在直角△ABD中，∠D=30°，BD=x，∵BD﹣BC=CD，∴x﹣x=200，解得：x=100（+1）．故选：C．6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，∴sinα=，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣=，故选：B．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×=a1+（a1+d），解得a1=，故选：C．8．（5分）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，∴=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选：B．9．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或【解答】解：△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，∴，解得AB=，BC=1，∴由余弦定理得：，解得AC=1或AC=2，当AC=1时，△ABC的面积S===．当AC=2时，△ABC的面积S===．故选：D．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）=sin cosα﹣cos sinα，即3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴1+sin2α=，∴sin2α=﹣，∵，∴cos2α=﹣=﹣．故选：A．11．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】（本题满分为12分）解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）=，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，=，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为2．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．14．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8，则S6等于18．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和性质可得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列．∴2×6=2+S6﹣8，解得S6=18．故答案为：18．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为．【解答】解：在△ABC中由正弦定理可知：===2R，由sinC=2sinA，则c=2a，cosB=，sinB==，由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+（2a）2﹣2a•2a×，解得a=，c=3，△ABC的面积S=acsinB=××3×=，故答案为：，．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴，∴b n=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴n≥2时，（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜3．n=1时，b2=（1﹣λ）×2＞﹣λ=b1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为：λ＜2．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，∵a1，a3，a9成等比数列，∴，∴（1+2d）2=1×（1+8d）．∴d=0（舍）或d=1，∴a n=n．（2）令；S n=b1+b2+b3+…+b n=（21+1）+（22+2）+（23+3）+…+（2n+n）=（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）==，．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．【解答】解：（1）∵α为锐角，，∴；∵β为锐角，，∴，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，∵α+β∈（0，π），∴α+β=．（2）==sin50°•==1．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．【解答】解：函数，化解可得：f（x）=2sin2xcos+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．∴函数f（x）的最小正周期T=，由得，故函数f（x）的单调递增区间，（2）∵，∴，∵0＜A＜π，∴，∴，，在△ABC中，由正弦定理得：，即．，即．20．（12分）已知数列{a n}前n项和（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}前n项和为当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n+1．当n=1时，，不满足a n=n+1．∴{a n}的通项公式为．（2）当n≥2时，==．当n=1时，，∴T n=b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n=﹣++++…++=﹣+=﹣．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos （A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；=2S△BCD，求BD．（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：∵cosA•cosC﹣cos（A+C）=sin2B．∴cosA•cosC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=sin2B，可得：sinAsinC=sin2B，∴由正弦定理可得：b2=ac，∴a，b，c成等比数列；（Ⅱ）如图，∵角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，可得：AD+CD=6，=2S△BCD，可得：AD=2CD，∵S△BAD∴解得：AD=4，CD=2，∵由（Ⅰ）可得：b2=ac=36，∵=，可得：AB=2BC，即c=2a，∴解得：a=3，c=6，∴cosA==，∴BD==2．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵（n+1）a n=2S n，∴，n∈N*当n≥2时，，=（n﹣1）a n，即（n≥2）．∴na n﹣1∴（n≥2），又a1=1，也满足上式，故数列{a n}的通项公式a n=n（n∈N*）．．由，，，可知：数列{b n}是等比数列，其首项、公比均为，∴数列{b n}的通项公式：b n=．（2）∵a n b n=n．∴T n=+3×+…+n．=+…+（n﹣1）+n，∴T n=+…+﹣n=﹣n，∴．又S n=1+2+…+n=．不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，即λn+＜2，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0，（n∈N*）恒成立．设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N*）．当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ＞1时，由于对称轴x=＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．。
2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)新 版 新人教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的定义，求解集合，进而求解即可.【详解】由题意，因为集合，集合，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，绝对值不等式的求解，其中正确求解集合和利用集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 数列{a}中，,前项和为，则项数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，数列的通项公式为，利用裂项法求解数列的和，即可得到结论.【详解】由题意，数列的通项公式为，所以其前项和为，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中利用数列的通项公式，化简为，采用裂项法求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3. 设向量满足，且与的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的数量积的运算公式和向量的模的公式化简，即可求得结果.【详解】由题意可得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，平面的模的计算，其中熟记向量的模的计算公式和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在等比数列中，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，可得，解得，由此求得的值.【详解】由题意，等比数列中，，所以，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量的计算问题，其中熟记等比数列的通项公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5. 等差数列中，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为，由题意，求得，进而求解的值，得到答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，即，解得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的运算，其中熟记等差数列的通项公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 已知满足,且,那么下列选项中一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，从而得，即可得到答案.【详解】由题意，因为，且，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中熟记不等式的性质，以及不等式的推理过程是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7. 等差数列的首项为，公差不为，若成等比数列，则前项的和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式、等比数列的性质列出方程，求出公差，由此求出的前6项的和. 【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且构成等比数列，所以，所以，且，解得，所以的前6项的和，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式的应用，属于基础题，解题是要认真审题，主要等差数列、等比数列的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力.8. 已知的内角的对边分别为,若，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，利用同角三角函数的基本关系式，求得的值，利用正弦定理化简，再利用三角的面积公式列出关系式，进而求解的值.【详解】因为，利用三角函数的基本关系式，求得，由正弦定理化简，得，又由，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角形的面积公式，以及同角三角函数的基本关系式的应用，其中熟练掌握正弦定理的应用是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9. 已知数列的各项均为正数，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，利用等差数列的通项公式可得，又数列的各项均为正数，可得，利用裂项求和，即可求解.【详解】由题意，因为，所以数列为等差数列，且公差为，首项为，所以，又因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以数列的前8项的和为，故选C.【点睛】本题主要考查了裂项求和，以及等差数列的通项公式及其性质的应用，其中求得数列的通项公式，合理裂项是解答的关键，着重考查了推理能力和计算能力，属于中档试题.10. 数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，数列满足，利用并项求和，即可得到答案.【详解】由题意，数列满足，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的并项求和，其中解答中根据数列的通项公式，合理并项是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11. 首项为正数的等差数列满足，则前项和中最大项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意求得数列的公差为，进而可得通项公式，从而数列的前10项为正数，从第11项开始为负数，即可得到结论.【详解】因为等差数列中满足，所以可得公差为，所以，令，可得，所以数列的前10项为正数，从第11项开始为负数，所以达到最大值的为10，即最大，故选B.【点睛】本题主要考查了等差的数列的前项和的最值问题，其中解答中得出数列的正负变化是解答问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.12. 在中，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两个向量的数量积的定义可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.【详解】由题意，在中，，利用向量的数量积的定义可知，即，即，设，解得，所以，所以由正弦定理可得，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及两个向量的数量积的定义的应用，其中利用向量的数量积的定义和正弦、余弦定理求解的比值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡上.13. 设，向量，，，且，则_________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据，求得，得到向量的坐标，再由，求得，得到向量的坐标，利用向量的加法的坐标运算公式，即可求解.【详解】根据题意，向量，由，则，解得，即，又由，则，解得，即，所以，所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的求解问题，其中解答中熟记向量的坐标运算公式和平面向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14. 等差数列、满足对任意都有，则=_______________．【答案】1【解析】【分析】由等差数列的性质可得，，代入即可得出.【详解】由等差数列的性质可得，，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其性质的应用，其中熟记等差数列的性质，合理运用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.15. 等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则其公比为_________．【答案】【解析】试题分析：、、成等差数列考点：1．等差数列性质；2．等比数列通项公式16. 在中，是边上的一点，，的面积为，则的长为___________．【答案】【解析】试题分析：如图，设，得，又在中，由余弦定理得，解得或．当时，由得，又由得；当时，同理得．考点：解三角形中的正弦定理、余弦定理．【易错点晴】已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论．可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系．如已知a，b，A，（一）若A为钝角或直角，当时，则无解；当时，有只有一个解；（二）若A为锐角，结合下图理解．①若或，则只有一个解．②若，则有两解．③若，则无解．也可根据的关系及与1的大小关系来确定．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置.17. 解下列不等式（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式，解得，再利用对数函数的性质，即可得到答案；（2）由不等式，得，即可求解.【详解】（1）由不等式，解得，再利用对数函数的性质，解得，即不等式的解集为.（2）由不等式，得，解得，即不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了不等式的求解，其中熟记分式不等式的解法，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18. 已知等比数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，列出方程组，求得，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；（2）由（1）可知，所以是等差数列，利用等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1），所以，求数列的通项公式为： .（2）由（1）可知，所以是等差数列所以，.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及等差数列前项和公式的应用，其中熟记等差数列、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 19. 已知的内角所对的边分别为．向量，且. （1）求；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）由，得，由正弦定理求得，即可得到；（2）由正弦定理可得，得到周长，进而求得三角周长的最大值.【详解】（1）由正弦定理可得：所以，（2）由正弦定理可得：所以，周长又，则，所以，当时，周长最大值是.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20. 已知数列的前项和=，数列为等差数列，且.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求证：数列的前项和.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由数列的前项和，利用和的关系，即可求解，利用，分别令，求得，得到；（2）由（1）得，利用裂项求和，即可求得数列的前项和. 【详解】（1）（2）【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项法求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 21. 已知数列中，其前项和满足：.（1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）由当时，得到，得，即可得到数列为等比数列； （2）由（1）可知：，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.【详解】（1）设，则当时所以，所以，数列是等比数列（2）由（1）可知：，则，【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.22. 已知数列中，（）.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）（此问题仅理科作答）设，求证：.（2）（此问题仅文科作答）设, 求数列的最大项和最小项.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由，利用叠加法，解求得，进而利用等比数列求和公式，求得；（2）由（1）得，因为：，所以，所以，，利用等比数列的求和公式，即可作出证明；（3）由（1）得，分是奇数和是偶数讨论，即可求解数列的最大项和最小项.【详解】（1）理科（2）因为：，所以，所以，文科（3）当是奇数时，递增，则当是偶数递减，则所以，，即：【点睛】在解决等差、等比数列的综合应用问题，试题难度较大，属于难题，解答时：一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.。
2019-2020学年四川省成都市高一第二学期(线上测试)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题.1．sin15°cos15°＝（）A．B．C．D．2．不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（）A．（﹣3，）B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）C．（﹣，3）D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）3．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9＝10，则S12等于（）A．30B．45C．60D．1204．已知，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．5．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜6．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形7．如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角α＝45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（）A．m B．m C．m D．m8．已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．9．已知{a n}是等比数列，且a5＝，4a3+a7＝2，则a9＝（）A．2B．±2C．8D．10．已知，则tan2α＝（）A．B．C．D．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则最大值为（）A．2B．C．2D．412．给出以下三个结论：①若数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1（n∈N*），则其通项公式为a n＝2•3n﹣1；②已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，则的最小值为2；③若正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，c＝1，，则b的值为．14．数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，则数列{a n}的通项公式a n＝．15．已知，且，则cos2α＝．16．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），a n＝（n∈N*），b n＝（n∈N*），考查下列结论：①f（1）＝1；②f（x）为奇函数；③数列{a n}为等差数列；④数列{b n}为等比数列．以上命题正确的是．三、解答题17．已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cos B cos C﹣sin B sin C ＝．（1）求角A；（2）若a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝24，S7＝63．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．若f（x）＝•（1）求f（x）递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f （A）的取值范围．21．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且对任意正整数n，满足2a n+1+S n﹣2＝0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．22．.已知数列{a n}，{b n}满足：a n+b n＝1，b n+1＝，且a1，b1是函数f（x）＝16x2﹣16x+3的零点（a1＜b1）．（1）求a1，b1，b2；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列，并求b n的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．sin15°cos15°＝（）A．B．C．D．【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之．解：因为sin2α＝2sinαcosα，所以sin15°cos15°＝sin30°＝．故选：A．2．不等式3+5x﹣2x2＞0的解集为（）A．（﹣3，）B．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）C．（﹣，3）D．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）【分析】把不等式化为一般形式，求出解集即可．解：不等式3+5x﹣2x2＞0可化为2x2﹣5x﹣3＜0，即（2x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣＜x＜3，所以原不等式的解集为（﹣，3）．故选：C．3．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9＝10，则S12等于（）A．30B．45C．60D．120【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．解：由等差数列的性质可得：．故选：C．4．已知，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式先求出cosα＝，cos（π+α）＝﹣cosα，由此能求出结果．解：∵，∴cosα＝，∴cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣．故选：A．5．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【分析】利用特例法，判断选项即可．解：不妨令a＝3，b＝1，c＝﹣3，d＝﹣1，则，，∴A、B不正确；，＝﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．6．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形【分析】由已知及余弦定理即可解得b＝c，从而得解．解：∵，又∵cos C＝，∴＝，整理可得：b2＝c2，∴解得：b＝c．即三角形一定为等腰三角形．故选：A．7．如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角α＝45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（）A．m B．m C．m D．m【分析】由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC 的长度．解：由题意得，∠BAC＝45°﹣15°＝30°，∠ABC＝α＝45°，且AC＝60m，在△ABC中，由正弦定理得，，即，解得BC＝30（m），故选：B．8．已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y＝（x+4y）＝3+≥3+2＝3+2，当且仅当x＝2y＝1+时取等号．∴最小值为3+2．故选：B．9．已知{a n}是等比数列，且a5＝，4a3+a7＝2，则a9＝（）A．2B．±2C．8D．【分析】由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9．解：在等比数列{a n}中，由，得，又4a3+a7＝2，联立解得：．则q＝，∴．故选：A．10．已知，则tan2α＝（）A．B．C．D．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．解：∵，∴，化简得4sin2α＝3cos2α，∴，故选：C．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则最大值为（）A．2B．C．2D．4【分析】由已知可得：a×＝，可得2bc sin A＝a2＝b2+c2﹣2bc cos A，＝2sin A+2cos A＝2sin，即可得出．解：由已知可得：a×＝，可得2bc sin A＝a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝2sin A+2cos A＝2sin≤2，当且仅当A＝时取等号．故选：C．12．给出以下三个结论：①若数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1（n∈N*），则其通项公式为a n＝2•3n﹣1；②已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，则的最小值为2；③若正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①根据数列的前n项和求出通项公式，判断①错误；②根据一元二次不等式恒成立以及特称命题求得ab的关系，再利用换元法求出的最小值，判断②正确；③利用基本不等式求出xy的最小值，再转化为关于a的不等式，求出实数a的取值范围，判断③正确．解：对于①，数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1（n∈N*），∴S n﹣1＝3n﹣1+1（n≥2），∴a n＝S n﹣S n﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2•3n﹣1（n≥2），又a1＝S1＝4，∴通项公式为a n＝，①错误；对于②，a＞b时，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴，∴a＞0，且ab≥1；又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，可得△＝0，∴ab＝1，∴a＞1；∴＝＝＞0；∴＝＝＝，令a2+＝t，则t＞2，∴＝＝＝（t﹣2）+4+≥2+4＝8，当且仅当t＝4时“＝”成立；∴的最小值为8，即的最小值为＝2，②正确；对于③，正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，可得x+2y＝4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy≥34恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy≥34恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy＝x+2y+4≥4+2，即2﹣•﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞），③正确．综上，正确的命题是②③．故选：C．二、填空题13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，c＝1，，则b的值为．【分析】由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，代入计算即可得到所求值．解：a＝3，c＝1，，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝9+1﹣2×3×1×＝7，可得b＝．故答案为：．14．数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，则数列{a n}的通项公式a n＝．【分析】由a1＝1，a n+1＝，两边取倒数可得：＝，即﹣＝，再利用等差数列的通项公式即可得出．解：由a1＝1，a n+1＝，两边取倒数可得：＝，即﹣＝，∴数列是等差数列，首项为1，公差为．∴＝1+（n﹣1），解得a n＝．故答案为：．15．已知，且，则cos2α＝．【分析】将已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sinα﹣cosα的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求出2sinαcosα的值大于0，由α的范围，得到sinα大于0，cosα大于0，利用完全平方公式求出sinα+cosα的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，将各自的值代入即可求出值．解：∵sin（α﹣）＝（sinα﹣cosα）＝，∴sinα﹣cosα＝，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝＞0，∵，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0，∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，∴sinα+cosα＝，则cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝×（﹣）＝．故答案为：．16．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），a n＝（n∈N*），b n＝（n∈N*），考查下列结论：①f（1）＝1；②f（x）为奇函数；③数列{a n}为等差数列；④数列{b n}为等比数列．以上命题正确的是②③④．【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）＝yf（x）+xf（y），∴令x＝y＝1，得f（1）＝0，故①错误，（2）令x＝y＝﹣1，得f（﹣1）＝0；令y＝﹣1，有f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）＝0得f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，（3）若，则a n﹣a n﹣1＝﹣＝＝＝为常数，故数列{a n}为等差数列，故③正确，④∵f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），∴当x＝y时，f（x2）＝xf（x）+xf（x）＝2xf（x），则f（22）＝4f（2）＝8＝2×22，f（23）＝22f（2）+2f（22）＝23+2×23═3×23，…则f（2n）＝n×2n，若，则＝＝＝＝2为常数，则数列{b n}为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题17．已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．【分析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c＞0，再根据真子集的定义求出m的取值范围．解：（1）∵不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，∴1、3是方程ax2+x+c＝0的两根，且a＜0，…（1分）所以；…解得a＝﹣，c＝﹣；…（2）由（1）得a＝﹣，c＝﹣，所以不等式ax2+2x+4c＞0化为﹣x2+2x﹣3＞0，解得2＜x＜6，∴A＝{x|2＜x＜6}，又3ax+cm＜0，即为x+m＞0，解得x＞﹣m，∴B＝{x|x＞﹣m}，…∵A⊂B，∴{x|2＜x＜6}⊂{x|x＞﹣m}，∴﹣m≤2，即m≥﹣2，∴m的取值范围是[2，+∞）．…18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cos B cos C﹣sin B sin C ＝．（1）求角A；（2）若a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解：（1）在△ABC中，∵cos B cos C﹣sin B sin C＝，∴cos（B+C）＝，又∵0＜B+C＜π，∴B+C＝，∵A+B+C＝π，∴A＝；（Ⅱ）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，得（2）2＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，把b+c＝4代入得：12＝16﹣2bc+bc，整理得：bc＝4，则△ABC的面积S＝bc sin A＝×4×＝．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝24，S7＝63．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．解：（1）∵{a n}为等差数列，S4＝24，S7＝63．∴，解得，∴a n＝2n+1．（2）∵，∴．20．已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．若f（x）＝•（1）求f（x）递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f （A）的取值范围．【分析】（1）求出函数的解析式，根据正弦函数的性质求出函数的递增区间即可；（2）根据正弦定理得到B的值，求出f（A）的解析式，根据三角函数的性质求出f（A）的范围即可．解：（1）f（x）＝•＝＝＝，…由得：，∴f（x）的递增区间为…（2）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理得（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin（B+C），∵A+B+C＝π，∴sin（B+C）＝sin A≠0，∴…∵0＜B＜π，∴，∴，∴，，又∵，∴，故函数f（A）的取值范围是…21．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且对任意正整数n，满足2a n+1+S n﹣2＝0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，将n换为n﹣1相减，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）∵2a n+1+S n﹣2＝0，∴当n≥2时，2a n+S n﹣1﹣2＝0，两式相减得2a n+1﹣2a n+S n﹣S n﹣1＝0，2a n+1﹣2a n+a n＝0，∴；又当n＝1时，，即，∴{a n}是以首项a1＝1，公比的等比数列，∴数列{a n}的通项公式为；（2）由（1）知，，则，①Tn＝+++…++，②①﹣②得＝，所以，数列{b n}的前n项和为．22．.已知数列{a n}，{b n}满足：a n+b n＝1，b n+1＝，且a1，b1是函数f（x）＝16x2﹣16x+3的零点（a1＜b1）．（1）求a1，b1，b2；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列，并求b n的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．【分析】（1）由16x2﹣16x+3＝0解得：，可得a1，b1．由，得，可得b2．（2）由，可得．即c n+1＝c n﹣1，利用等差数列的通项公式可得c n，b n．（3）利用“裂项求和”方法可得S n，对a分类讨论，通过转化利用单调性即可得出．解：（1）由16x2﹣16x+3＝0解得：，∴．由，得，将代入得．（2）∵，∴．即c n+1＝c n﹣1，又．故：数列{c n}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．于是c n＝﹣4+（n﹣1）×（﹣1）＝﹣n﹣3，由得．（3）不由题意及（2）知：．＝＝．∴S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1＝+…+＝＝．由恒成立，即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可，）设f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8①当a＝1时，f（n）＝﹣3n﹣8＜0恒成立②当a＞1时，由二次函数的性质f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0不可能恒成立．③当a＜1时，由于，∴f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8在[1，+∞）上单调递减，由f（1）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＝4a﹣15＜0得，∴a＜1，4aS n＜b n恒成立．综上所述：所求a的取值范围是（﹣∞，1]．。
2019年高一下学期期中联考数学试题 含答案
2019年高一下学期期中联考数学试题含答案一．填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知直线：的倾斜角为，则实数的值是_____________.2.不等式的解集是_________________.3.数列为等差数列，已知，则___________.4.在中，角所对的边分别为，若，则的面积是__________.5.若为等差数列，其前项和为，若，则=_____.6.在公比为的等比数列中，是其前项和，若，则 .7.在中，角所对的边分别为，若，，则____________.8.等比数列的前项和为且，则数列的公比为_____.9.已知直线与线段有公共点，则的取值是_____________.10.变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是__________.11..数列的首项为，数列为等比数列且，若则= ．12在中，角所对的边分别为,,,则边长的值是____________.13.设数列的前项和为，且，为等差数列，则_______________.14．已知函数若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________.二．解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15,16,17题每题14分，18,19,20题每题16分)15.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小（2）若，求边的大小.16.已知直线经过点.（1）若直线的倾斜角为，且直线经过另外一点，求此时直线的方程；（2）若直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程.17.设数列的前项和为且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.18.如图，在中，是内的一点．（1)若是等腰直角三角形的直角顶点，求的长；（2）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值·19.已知函数（1）当不等式的解集为时，求实数的值；（2）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；（3）设为常数，解关于的不等式.20.设数列，，，已知，，，，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，为定值；（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．xx 学年度春学期期中试卷高一数学参考答案及评分建议xx.4 一．填空题（每空5分，共70分）1. ，2. ，3. 5，4. ，5.15. ，6. 8，7. ， 8. ， 9.或， 10.[]， 11.4， 12. ，13. ， 14. .二．解答题（第15-17题每题14分，第18-20题每题16分）15 .解：（1）利用正弦定理，由，得.……2分因为sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以.……4分因为，所以.………6分因为，所以.………8分（2）由余弦定理，得，因为，，所以，即，………12分解得或………14分16.解：（1）直线的斜率为，………2分解得，即……4分所以直线的斜率为，直线的方程为；………6分（2）由题意知，直线的斜率必存在，且不为零，则设，………7分分别令等于零得到轴上的截距为，轴上的截距为，………8分由=，得=，解得或；………10分或者=，解得或；………12分经检验不合题意，舍去.………13分综上：的值为，直线的方程为：或.……14分（用截距式也可）17.解：（1）当时，.………1分因为，即.两式相减得：，………2分因为，所以.………3分所以数列是首项，公比为的等比数列，所以.………4分（2）因为，………5分利用累加得：1221111()111121()()22()1222212n n n n b b -----=++++==--.………7分 又因为，所以.………8分（3）因为，………9分 所以012111112[()2()3()()]2222n n T n -=++++. 123111112[()2()3()()]22222n n T n =++++. ………10分 由-，得：01211111112[()()()()]2()222222n n n T n -=++++-.………11分 故11()18184244()84()81222212nn n n n n n T n n -+=-=--=--………14分18.解：（1）因为是等腰直角三角形的直角顶点，且，所以，………1分又因为，………2分在中，由余弦定理得：，………5分所以.………6分（2）在中，，，所以，………7分由正弦定理得………8分………9分所以得面积1243()sin sin()sin 2333S PB PC ππθθθ=⋅=-………11分=223332sin cos sin 2cos 2333θθθθθ-=+-……12分 =，………14分所以当时，面积得最大值为.………16分19 .解：（1） 即∴ ∴……2分∴或（若用根与系数关系也算对） ……………………4分（2），即即 …………6分∴恒成立 …………………………10分（3）即,∴△=10当即时， …………………………………12分20当即时，解集为} ………………………14分30当即时，解集为{或} ……16分20. 解：（1）因为，，所以（）， …………１分所以，，， …………………………………2分即数列是首项为，公比为的等比数列， …………………………3分所以． ………………………………………………………4分（2）， ……………………………………5分 所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n n n n c b c b c b ，………………………………8分 而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值．………………………………………………………………………10分（3）由（1）、（2）知，所以，…………11分 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n nn n n S 2113242112114， 所以， …………………………………………12分由得，因为，所以， ……………………13分当为奇数时，随的增大而递增，且，当为偶数时，随的增大而递减，且，所以，的最大值为，的最小值为． …………………15分由，得，解得． …………16分所以，所求实数的取值范围是． .。
2019年成都市高一数学下期中一模试卷含答案
2019年成都市高一数学下期中一模试卷含答案一、选择题1．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．82．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( ) A ．α⊥β，且m ⊂α B ．m ⊥n ，且n ∥β C ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β3．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是()A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π6．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π7．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π8．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a10．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32π C ．4πD ．34π 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 833二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________15．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．16．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 17．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．18．底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________19．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.20．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.三、解答题21．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM . 22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．23．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 24．在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点. （1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程； （2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 25．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点． （1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．26．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案. 【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立； //m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.4．C解析：C 【解析】 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果． 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．C解析：C 【解析】 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.9．B解析：B 【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ． 故选:B ． 【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误；在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．A解析：A 【解析】 【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径. 【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径DE =243S ππ== 故选A 【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=. 故选：B.二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：33【解析】【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ.【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126,22AO AO ==，易知232sin 36θ==. 3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题. 14．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平 解析：①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个 解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离2d =，Q 圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，222222a a ∴-= 即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则2MN =，3R r +=Q ，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．16．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有，故底面面积，故圆柱的体积.考点：圆柱的体积17．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为2225534d -==+，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系18．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据 解析：43【解析】【分析】将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分相加求和即可.【详解】如图, 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分. 其中四棱锥N ACPM -的高为2sin 603⨯︒=.ACPM 为梯形.则()3521833323N ACPM V -+⨯=⨯⨯=.123434323N ABC V -⨯=⨯⨯=. 故多面体ABC MNP -体积为834343+=故答案为：3【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法,根据多面体的特征分为两个棱锥计算即可.属于中档题.19．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的 解析：2271416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(2)y < 【解析】【分析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解.【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即1=，联立消去a 并由图可知2y <，可得 ()2271()2416x y y +-=<. 故答案为：()2271()2416x y y +-=< 【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题. 20．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】【解析】【分析】将y y =()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC =+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值；【详解】 解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点.又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥.又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ，∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ，∴面1AB D ⊥面ABM .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.22．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.23．（1）4x =或3480x y +-=（2）22【解析】【分析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心C 与直线l 的距离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解: (1)由题意可得()2,3C ,直线l 与圆C 相切当斜率不存在时，直线l 的方程为4x =,满足题意当斜率存在时，设直线l 的方程为14y k x +=-,即410kx y k ---= 2234121k k k ---=+,解得34k =- ∴直线的方程为3480x y +-=∴直线l 的方程为4x =或3480x y +-=(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，直线l 的方程为30x y +-=圆心()2,3C 到直线l=∴弦长为=【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.24．（1）220x y +-=；（2）5250x y --=【解析】【分析】【详解】（1）因为,A B 分别为直线与射线:0(0)OA x y x -=≥及:20(0)OB x y x +=≥的交点， 所以可设(,),(2,)A a a B b b -，又点(1,0)P 是AB 的中点， 所以有21,2{0.2a b a b -=+=即2,3{2.3a b ==-∴A 、B 两点的坐标为2242(,),(,)3333A B -， ∴223324233AB k --==--， 所以直线AB 的方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=（2）①当直线AB 的斜率不存在时，则AB 的方程为1x =，易知,A B 两点的坐标分别为1(1,1),(1,),2A B -所以AB 的中点坐标为1(1,)4，显然不在直线12y x =上, 即AB 的斜率不存在时不满足条件.②当直线AB 的斜率存在时，记为k ，易知0k ≠且1k ≠，则直线AB 的方程为(1).y k x =-分别联立(1),{0y k x x y =--=及(1),{20.y k x x y =-+= 可求得,A B 两点的坐标分别为(,),11k k A k k --2(,)1212k k B k k -++ 所以AB 的中点坐标为(,)22122224k k k k k k k k+--+-+ 又AB 的中点在直线12y x =上,所以1()222422212k k k k k k k k -=+-+-+解得52k = 所以直线AB 的方程为5(1)2y x =-，即5250x y --=25．(1) 13+24y x = (2) 2【解析】【分析】 (1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x =圆心C 到直线l 的距离为110d -+==2，∴弦AB 的长为2=. 【点睛】 本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.26．（1）43y-19=0x +（2）见解析（3）221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】【详解】（1）直线AB 方程为：y 1x-45-11-4-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB 514-1-43k -==； BC 5231--34k -==（）， ∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥∴△ABC 为直角三角形（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为r=|AC |2， ∴△ABC 外接圆方程为221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
四川省成都市2019学年高一下学期半期考试数学试卷【含答案及解析】
四川省成都市2019学年高一下学期半期考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若直线过点，，则直线和（）A. 平行________B. 相交但不垂直________C. 垂直________D. 相交于点2. 等比数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.3. 已知，则下列推证中正确的是（）A. B.C. D.4. 设单位向量，则（）A. 0B.C.D.5. 已知，集合，，则的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 数列中，，（），那么（）A. 1B. -2C. 3D. -37. 已知，则等于（）A. B. C. D.8. 已知幂函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（）A. B. C. D.9. 若实数满足约束条件，则的最小值为（）A. B. 1 C. D.10. 设的面积为，它的外接圆面积为，若的三个内角大小满足，则的值为（）A. B. C. D.11. 已知且，，成等比数列，则有（）A. 最大值________B. 最小值________C. 最大值________D. 最小值12. 在平面直角坐标系中，设直线与圆（）交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则（）A. B. 2 C. D.二、填空题13. 中，三内角所对边的长分别为，已知，不等式的解集为，则 __________ ．14. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程是 __________ ．15. 设等比数列满足，，则的最大值为__________ ．16. 定义在上的偶函数满足，当时，，若直线（）的图象有且仅有三个支点，则的取值范围为 __________ ．三、解答题17. 已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和 .18. 已知三边所在直线方程：，，（）.（1）判断的形状；（2）当边上的高为1时，求的值.19. 已知向量，，函数.（1）求函数的零点；（2）若的三内角的对边分别是，且，求的取值范围.20. 已知以点（）为圆心的圆与轴交玩点为，与轴交于点，其中为坐标原点.（1）试写出圆的标准方程，并证明的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的标准方程.21. 如图，公园有一块边长为2的等边三角形的地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.（1）设，，请将表示为的函数，并求出该函数的定义域；（2）如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又应在哪里？请予以说明.22. 已知两个等差数列2，4，6……及2，5，8，……由这两个数列的共同项按从小到大的顺序组成一个新数列，数列的前项和为 .（1）求，并写的通项公式（可不用叙述过程）；（2）求出的通项公式，并求数列的前项和 .（3）记集合，若的子集个数为8，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019-2020年高一下学期期中理科数学试卷 含答案
2019-2020年高一下学期期中理科数学试卷 含答案1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的考试号、科目填涂在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。
答在试卷上无效。
3．考试结束，监考人员将试卷和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．82.在⊿ABC 中，已知ba c b a 2222+=+，则∠C=( ) A 300B 1500C 450D 13503.一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14-4.数列{},{}n n a b 满足1,(1)(2)n n n a b a n n ==++，则{}n b 的前10项之和 A ．14 B ．712 C ．34 D ． 5125.已知等比数列}{n a 的各项均为正数,公比1≠q ,设293a a P +=,75a a Q ∙=,则P 与Q 的大小6.已知点(3,1)和(- 4,6)在在直线3x-2y+a=0的两侧,则a 的取值范围是 A.a<-7或 a>24 B. a=7 或 a=24 C. -7<a<24 D. -24<a<77. 不等式1213≥--xx 的解集是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或 D ．{}2|<x x8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2462,10,S S S ==则等于A ．12B ．18C ．24D ．429.设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）Ａ．直角三角形 Ｂ.钝角三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ.等边三角形10若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．14C ．16D ．1811.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为2a,b,c,asin Asin B bcos A +=,则b a= ( )(A) 12. 设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n = A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 二、填空题（每题5分，共20分）13.在ABC ∆中, 若13,cos 2a A ==-,则ABC ∆的外接圆的半径为 .14.在横线上填上正确的不等号：.15不等式0)3)(2(2>--x x 的解集是 ----------16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a-b)sinB ＝asinA －csin C.，且a 2＋b 2－6(a+b)＋18＝0，则AB BC BC CA CA AB ++＝＿开滦一中2015—2016学年度第二学期高一年级期中考试（数学理）试卷 命题人：张明刚二．填空题：.每小题5分，共20分.将答案直接填在题中横线上。
四川省成都市2019～2020学年度下学期期末高一年级调研考试理科数学试题 (解析版)
2019-2020学年四川省成都市高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是（）A．0B．C．D．﹣2．二次不等式ax2+bx+c≥0的解为全体实数的条件是（）A．B．C．D．3．已知sinα＝，则cos2α＝（）A．B．﹣C．D．﹣4．已知单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（）A．q＝1B．q＜0C．q＞1D．0＜q＜15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：7，则△ABC 为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．若a＜b＜c，则下列说法正确的是（）A．lna＜lnb B．a2＜b2C．D．7．把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'（如图所示），其中B'O'＝O'C'＝2，O'D'＝，则四边形ABCD一定是一个（）A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形8．在△ABC中，若角B＝，AC＝，AB＝，则角C＝（）A．B．C．或D．或9．体积为的某三棱锥的三视图如图所示（其三个视图均为直角三角形），则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（）A．B．2C．D．610．若数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，则a n＝（）A．B．C．D．11．夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作．为更好地考察防汛工作实际情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据．如图所示，CE是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得坝顶E的仰角为θ，对着大坝在水平地面上前进30m后到达B处，测得仰角为原来的2倍，继续在水平地面上前进10m 后到达坡底C处，测得仰角为原来的4倍，则该大坝的高度为（）A．10m B．15m C．20m D．5m12．下列四个说法中，错误的是（）①若a，b均为正数，则；②若x∈（0，），则sin x+的最小值为2；③若a＞b＞1，则；④a＞b＞0，则a+＞b+．A．①②③B．①③C．②③D．②④二、填空题（共4小题）.13．等比数列{a n}中，a1＝1，q＝﹣3，则a5＝（用数字作答）．14．将2sin2x+2sin x cos x化简为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的形式为．15．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺，则夏至的日影子长为尺．16．已知A、B、C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则的最小值为．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．图形ABCDE由矩形ABCD和扇形ADE组合而成（如图所示），AD⊥DE，AB＝2AD ＝2．求将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．18．已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最大值．19．已知sinβ＝，cos（α+β）＝﹣，0＜α＜β＜．（1）求tan2β的值；（2）求角α的大小．20．已知函数f（x）＝x2﹣5x﹣a（a﹣5）．（1）当a＝1时，求当x∈（0，+∞）时，函数g（x）＝的值域；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}的前n项和为T n，证明：＜T n＜．22．2020年5月6日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计，一个承接成渝地区双城经济圈建设、落实成都东进战略的新区正式成立．为落实东部新区“双城一园、一轴一带”的空间布局，某部门规划了一个如图所示的三角形（△ABC）产业园区，其中AC•sin A＝BC•cos B．（1）求角B的大小；（2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区△ADE（D、E是边BC上的点），且C ＝，∠DAE＝，AC＝200米，求核心功能区△ADE面积的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是（）A．0B．C．D．﹣【分析】由两角和的余弦公式的逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．解：cos75°•cos15°﹣sin75°sin15°＝cos（75°+15°）＝cos90°＝0．故选：A．2．二次不等式ax2+bx+c≥0的解为全体实数的条件是（）A．B．C．D．【分析】设f（x）＝ax2+bx+c，a≠0，讨论a＞0，a＜0，结合二次函数的图象和判别式的符号，即可得到结论．解：设f（x）＝ax2+bx+c，a≠0，当a＞0，△≤0时，f（x）≥0的解为全体实数；当a＜0时，f（x）≥0的解不为全体实数．综上，二次不等式的解为全体实数的条件是．故选：B．3．已知sinα＝，则cos2α＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2＝．故选：A．4．已知单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（）A．q＝1B．q＜0C．q＞1D．0＜q＜1【分析】利用等比数列的性质直接求解．解：单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是0＜q＜1．故选：D．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：7，则△ABC 为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】易判断最大角为C，直接由余弦定理可求cos C，结合cos C的取值来判断该三角形的形状．解：由a：b：c＝4：5：7，知最大角为C，∵cos C＝＝＝﹣，由于cos C＝﹣＜0，0＜C＜π，∴＜C＜π，∴△ABC为钝角三角形．故选：C．6．若a＜b＜c，则下列说法正确的是（）A．lna＜lnb B．a2＜b2C．D．【分析】根据a＜b＜c，取c＝1，b＝0，a＝﹣1，则可排除错误选项．解：根据a＜b＜c，取c＝1，b＝0，a＝﹣1，则可排除ABD．故选：C．7．把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'（如图所示），其中B'O'＝O'C'＝2，O'D'＝，则四边形ABCD一定是一个（）A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形【分析】根据斜二测画法把直观图还原回原图形，即可得到四边形ABCD一定是一个菱形．解：把平行四边形A'B'C'D'换元回原图形，过程如下：在平面直角坐标系中，在x轴上截取BC＝4，且使O为BC的中点，在y轴上截取OD＝，过D向左左x轴的平行线段DA，使DA＝4，连接AB，CD，可得平行四边形ABCD．∵OC＝2，OD＝2，∴CD＝．∴平行四边形ABCD为菱形．故选：A．8．在△ABC中，若角B＝，AC＝，AB＝，则角C＝（）A．B．C．或D．或【分析】由正弦定理，则有sin C＝，从而可求C解：由正弦定理可得：，则sin C＝＝＝，因为AC＜AB，所以B＜C，故C＝或，故选：D．9．体积为的某三棱锥的三视图如图所示（其三个视图均为直角三角形），则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（）A．B．2C．D．6【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积求法x，然后求解四个面面积的最大值．解：由题意可知，三棱锥是正方体的一个角的三棱锥，三棱锥O﹣ABC．所以＝，解得x＝2，所以面积的最大值为：S△ABC＝＝2．故选：B．10．若数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，则a n＝（）A．B．C．D．【分析】由数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，求出{a n}的前四项，由此猜想数列的通项公式，再由数学归纳法进行证明．解：∵数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，∴＝，＝，＝，由此猜想a n＝，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，，成立；②假设n＝k时成立，即，则当n＝k+1时，＝＝＝，成立．由①②，得a n＝．故选：A．11．夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作．为更好地考察防汛工作实际情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据．如图所示，CE是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得坝顶E的仰角为θ，对着大坝在水平地面上前进30m后到达B处，测得仰角为原来的2倍，继续在水平地面上前进10m 后到达坡底C处，测得仰角为原来的4倍，则该大坝的高度为（）A．10m B．15m C．20m D．5m【分析】先根据条件得到BA＝AD﹣BD＝DE（cotθ﹣cot2θ）和BC＝DE（cot2θ﹣cot4θ）；求出其比值，结合三角函数的性质求得θ，进而求得结论．解：由题可得：AB＝30，BC＝10，在RT△ADE中，AD＝DE cotθ；在RT△CBD中，BD＝DE cot2θ；故BA＝AD﹣BD＝DE（cotθ﹣cot2θ）；同理可得：BC＝DE（cot2θ﹣cot4θ）；∴＝＝＝；∵cotθ﹣cot2θ＝﹣＝＝；同理cot2θ﹣cot4θ＝；∴＝＝2cos2θ；∴cos2θ＝，结合题意可得2θ＝30°⇒θ＝15°；故DE＝＝BA sin2θ＝15．故选：B．12．下列四个说法中，错误的是（）①若a，b均为正数，则；②若x∈（0，），则sin x+的最小值为2；③若a＞b＞1，则；④a＞b＞0，则a+＞b+．A．①②③B．①③C．②③D．②④【分析】利用不等式的性质以及基本不等式判断选项的正误即可．解：①若a，b均为正数，则；满足基本不等式的性质，所以①正确．②若x∈（0，]，则sin x+≥2，当且仅当x＝时，表达式取得最小值为2；导数条件缺少x＝，所以②不正确；③∵a＞b＞1，∴＞1，＞即＞，1﹣＞1﹣，即．所以；不正确；所以③不正确；④a＞b＞0，可知，所以a+＞b+．所以④正确；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．等比数列{a n}中，a1＝1，q＝﹣3，则a5＝81（用数字作答）．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．解：∵a1＝1，q＝﹣3，∴a5＝（﹣3）4＝81．故答案为：81．14．将2sin2x+2sin x cos x化简为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的形式为2sin（x﹣）+1．【分析】利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可得解．解：2sin2x+2sin x cos x＝2×+sin2x＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（x﹣）+1．故答案为：2sin（x﹣）+1．15．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺，则夏至的日影子长为 3.6尺．【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．解：设夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n}，则a3+a4+a5＝3a4＝18，a10＝10.8，∴a4＝6，a10＝10.8，d＝＝0.8，a1＝3.6则夏至的日影子a1＝3.6故答案为：3.616．已知A、B、C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则的最小值为．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝3sin A cos B，利用三角函数恒等变换的应用可求＝，利用正弦函数的性质进而求解．解：∵tan B＝2tan A，可得：，可得：2sin A cos B＝cos A sin B，∴sin C＝sin A cos B+cos A sin B＝3sin A cos B，∴＝+＝＝＝＝＝＝，∵角A为锐角，若tan B＝2tan A＞0，可得B为锐角，∴＝≤，当且仅当2B＝时，即B＝时等号成立．故答案为：．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．图形ABCDE由矩形ABCD和扇形ADE组合而成（如图所示），AD⊥DE，AB＝2AD ＝2．求将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．【分析】该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为1，圆柱高为2，由此能求出将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．解：由题意得，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为1，圆柱高为2，圆柱的底面积S1＝πr2＝π，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝4π，半球球冠的表面积S3＝＝2π，∴将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积为：S＝S1+S2+S3＝π+4π+2π＝7π，圆柱的体积V1＝Sh＝S1×2＝2π，半球的体积V2＝＝，∴将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的体积为：V＝V1+V2＝2＝．18．已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最大值．【分析】（1）利用等差数列通项公式列方程组，解得a1＝10，d＝﹣2，由此能求出{a n}的通项公式．（2）S n＝﹣n2﹣11n＝﹣（n﹣）2+，由此能求出{a n}的前n项和S n的最大值．解：（1）∵等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．∴，解得a1＝10，d＝﹣2，∴{a n}的通项公式为a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．（2）由（1）得：S n＝＝＝﹣n2﹣11n＝﹣（n﹣）2+，∴当n＝5或n＝6时，{a n}的前n项和S n取最大值S5＝S6＝30．19．已知sinβ＝，cos（α+β）＝﹣，0＜α＜β＜．（1）求tan2β的值；（2）求角α的大小．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosβ，tanβ，进而根据两角和的正切函数公式即可求解．（2）由已知可得0＜α+β＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），由α＝（α+β）﹣β，利用两角差的正弦函数公式可求sinα＝，结合范围0，可求α＝．解：（1）∵sinβ＝，0＜β＜．∴cosβ＝＝，tanβ＝＝4，∴tan2β＝＝＝﹣．（2）∵0＜α＜β＜，∴0＜α+β＜π，∵cos（α+β）＝﹣，∴sin（α+β）＝＝，∴sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝﹣（﹣）×＝，∵0，∴α＝．20．已知函数f（x）＝x2﹣5x﹣a（a﹣5）．（1）当a＝1时，求当x∈（0，+∞）时，函数g（x）＝的值域；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．【分析】（1）根据题意得g（x）＝x+﹣5 （x＞0），由基本不等式可得x+≥2＝4（当且仅当x＝时，即x＝2时，上式取“＝“）进而可得g（x）的值域．（2）令f（x）＝（x﹣a）[x﹣（5﹣a）]＝0，得x＝a或x＝5﹣a，再分①当a＝5﹣a，②当a＜5﹣a，③当a＞5﹣a，三种情况讨论，不等式的解集．解：（1）当a＝1时，g（x）＝＝＝x+﹣5，因为x∈（0，+∞），所以x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，上式取“＝“，所以g（x）的值域为[﹣1，+∞）．（2）f（x）＝x2﹣5x﹣a（a﹣5）＝（x﹣a）[x﹣（5﹣a）]，令f（x）＝0，得x＝a或x＝5﹣a，①当a＝5﹣a，即a＝时，由f（x）≤0，解得x＝，②当a＜5﹣a，即a＜时，由f（x）≤0，解得a≤x≤5﹣a，③当a＞5﹣a，即a＞时，由f（x）≤0，解得5﹣a≤x≤a，综上所述，当a＝时，原不等式的解集为{}，当a＜时，原不等式的解集为{x|a≤x≤5﹣a}，当a＞时，原不等式的解集为{x|5﹣a≤x≤a}．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}的前n项和为T n，证明：＜T n＜．【分析】（1）易知，a1＝3≠0．由2S n＝3a n﹣3，可知2S n﹣1＝3a n﹣1﹣3，两式相减整理得a n＝3a n﹣1，即（n≥2），为常数．故数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）可知a n＝3n，b n＝n，于是＝，然后采用错位相减法可求得T n＝＜；当n≥2时，采用作差法可证得T n﹣T n﹣1＞0，即数列{T n}为递增数列，T n＞T1＝，故而得证．【解答】证明：（1）因为2S n＝3a n﹣3，所以2S n﹣1＝3a n﹣1﹣3，两式相减得，2a n＝3a n﹣3a n﹣1（n≥2），即a n＝3a n﹣1（n≥2），在2S n＝3a n﹣3中，令n＝1，则2a1＝2S1＝3a1﹣3，解得a1＝3≠0，故数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可知a n＝3n．所以b n＝log3a n＝log33n＝n，所以＝．所以T n＝+++……++，T n＝+++……++，两式相减得，T n＝+++……+﹣＝﹣＝，所以T n＝＝＜，当n≥2时，T n﹣T n﹣1＝＝＞0，故数列{T n}为递增数列，T n＞T1＝．综上所述，＜T n＜．22．2020年5月6日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计，一个承接成渝地区双城经济圈建设、落实成都东进战略的新区正式成立．为落实东部新区“双城一园、一轴一带”的空间布局，某部门规划了一个如图所示的三角形（△ABC）产业园区，其中AC•sin A＝BC•cos B．（1）求角B的大小；（2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区△ADE（D、E是边BC上的点），且C ＝，∠DAE＝，AC＝200米，求核心功能区△ADE面积的最小值．【分析】（1）由正弦定理可得sin B sin A＝sin A cos B，结合sin A≠0，利用同角三角函数基本关系式可求得tan B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知及（1）可求AB的值，记∠BAD＝α，则，则∠BDA＝﹣α，利用正弦定理可得AD＝，AE＝，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求△ADE的面积S＝，结合范围，可求范围2α∈[0，]，利用正弦函数的性质即可求解．解：（1）∵AC•sin A＝BC•cos B，∴由正弦定理可得sin B sin A＝sin A cos B，∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴sin B＝cos B，可得tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝…5分（2）由已知及（1）可知，∠BAC＝，∵AC＝200米，∴AB＝200米，…6分记∠BAD＝α，则，则∠BDA＝﹣α，∴在△ABD中，＝，可得AD＝，…7分由∠CAE＝﹣α，C＝，则∠CEA＝+α，∴在△ACE中，＝，可得AE＝，…8分∴△ADE的面积S＝AD•AE•sin∠DAE＝××sin＝×＝＝，…11分当时，2α∈[0，]，当α＝时，sin2α取得最大值1，此时△ADE 面积的最小值30000（2﹣）平方米…12分。
四川省成都市九校高一数学下学期期中联考试题理
A DBC四川省成都市九校2016-2017学年高一数学下学期期中联考试题理考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为( )A ．2n a n =B ．21)1(n a n n +-= C ．2)1(n a n n -=D ．2)1()1(+-=n a n n2．计算22sin 751-的值等于( )A ．12B ．12-C ．32-D ．323．已知数列2,,,,1--z y x 成等比数列,则xyz =( )A ．22-B ．4±C ．4-D ．±224．1tan17tan 28tan17tan 28-+等于( )A ．－1B ． 1C ．22D ．－225．如图,D ，C,B 三点在地面同一直线上,从地面上C,D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD ＝200米,点C 位于BD 上,则山高AB 等于 ( )A ．1002B ．)503+1米C ．()1003+1米D ．200米6．若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为( ) A ．1665-B ．6365 C ．5665D ．33657．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为( )A ．116B ．56C ．53D ．1038．在ABC ∆中，2cos 2B ＝2a c c + (,,a b c 分别为角,,A BC 的对边)，则ABC ∆的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知△ABC 中，︒=∠30A ,AB 2,BC 分别是1132+、1132－的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( )A ．23B ．43 C ．23或3 D ．23或43 10．若),2(ππα∈，且)4sin(2cos 3απα-=，则cos2α的值为( )A ．3518-B ．3518C ．1817D ．1817-11．设等差数列{}n a 满足2222477456sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+,公差(1,0)d ∈-,当且仅当9n =时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围( )A ． 74(,)63ππ B ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43(,)32ππD ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．在锐角三角形ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,()()a b c a c b +++- =(23ac +,则cos sin A C +的取值范围为( )A ．332⎛ ⎝B ．3322⎫⎪⎪⎭C ．332⎛ ⎝D ．332第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019年高一下学期期中联考(数学)
2019年高一下学期期中联考（数学）注意事项：1. 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.）1.已知,, 则·等于（ ）A. 0B. 10C. 6D. 2.函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 3.的弧度数是（ ）A. B. C. D.4.已知向量，，若、平行，则的值为（ ） A ．0 B ．－4 C ． 4 D ．5. 若向量、的夹角为，，则( )A. B. C. D.6.已知圆与直线 及都相切，圆心在直线，则圆的方程为（ ） A. B. C. D.7.函数的单调增区间为（ ）A.5[,]()66k k k Z ππππ-+∈ B. 5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈C.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D. 5[2,2]()612k k k Z ππππ-+∈ 8. 设集合，},1cos |{R x x x Q ∈-==，则（ ）A. B. C. },2|{Z k k x x Q P ∈==πD. 9.定义在R 上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ）A. B. C. D.10.平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为 （ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.已知21212,2e e b e e a-=+=，则＝____________.12.函数的定义域为___________________. 13.对于函数,下列命题:①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点对称; ③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题是 .14.对于任意的两个实数对，规定：，当且仅当； 定义运算“”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕.设，若，则＝___________.三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. （本小题满分12分）（1）化简sin(2s n()cos()sin(3cos()i παπαπαπαπα-⋅+⋅-+-⋅+））．（2）求函数的最大值及相应的的值.16．（本小题满分12分）在棱长为1的正方体中，是的中点。
四川省成都市九校高一数学下学期期中联考试题 文
四川省成都市九校2016-2017学年高一数学下学期期中联考试题文考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为 ( )A ．2n a n =B ．21)1(n a n n +-=C ．2)1(n a n n -= D ．2)1()1(+-=n a n n2．计算22sin 751-的值等于 ( )A ．12B ．12-C ．2-D ．23．已知数列2,,,,1--z y x 成等比数列,则xyz = ( )A ．22-B ．4±C ．4-D ．±4．1tan17tan 28tan17tan 28-+等于 ( )A ．－1B ． 1C ．22D ．－225．如图,,,D C B 三点在地面同一直线上,从地面上C,D 两点望山顶A ，测得它们的 仰角分别为45°和30°,已知CD ＝200米,点C 位于BD 上,则山高AB 等于( )A ．B ．)50米C ．)100米D ．200米6．若,αβ为锐角，且满足，则sin β的值为 ( )A B C D 7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为 ( )A ．116B ．56C ．53D ．1038．在ABC ∆中，2cos 2B ＝2a c c + (,,a b c 分别为角,,A BC 的对边)，则ABC ∆的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知△ABC 中，︒=∠30A ,AB 2,BC 分别是1132+、1132－的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于 ( )A ．23B ．43 C ．23或3 D ．23或43 10．若),2(ππα∈，且)4sin(2cos 3απα-=，则cos2α的值为 ( )A ．18-B ．18C ．1817D ．1817-11.设等差数列{}n a 满足4747sin cos cos sin 1a a a a -=，公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围 ( )A ． 74(,)63ππB ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43(,)32ππD ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．在锐角三角形ABC ∆中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,222a c b +-=, 则cos sin A C +的取值范围为 ( )A ．32⎛ ⎝B ．32⎫⎪⎪⎭C ．32⎛ ⎝D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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2016～2017学年度（下期）高2014级第一次联考试卷理科数学考试时间共120分，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.已知集合}1|{},2|||{2≤∈=≤∈=x Z x B x R x A ，则=B A I （ ）A.]1,1[-B.]2,2[-C.}1,0,1{-D.}2,1,0,1,2{--2.关于复数iz +-=12，下列说法中正确的是（ ） A.2||=z B.z 的虚部为i -C.z 的共轭复数z 位于复平面的第三象限D.2=⋅z z3.已知a 是平面α外的一条直线，过a 作平面β，使αβ//，这样的β（ ）A.恰能作一个B.至多能作一个C.至少能作一个D.不存在4.已知二项式43)(xax -的展开式中常数项为32，则=a （ ）A.8B.8-C.2D.2-5.函数)22(cos ln ππ<<-=x x y 的图象是（ ）6.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等.”，则其中分得钱数最多的是（ ）A.65钱 B.1钱 C.67钱 D.34钱 7.将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（ ）A.60B.90C.120D.1808.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值为4，则t 的值不可能是（ ）A.3B.6C.8D.119.若函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与)(x f 的图象交于C B ,两点，则=⋅+OA OC OB )(（ ）A.32B.16C.-16D.-3210.三棱锥ABC D -及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点D C B A ,,,均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A.π32 B.π36C.π128D.π14411.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.()1,2B.),2(+∞C.)2,1(D.),2(+∞12.设函数m xx x f --=3ln 2)(，若关于x 的方程x x f f =))((恰有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.),43ln 2(+∞-B.)43ln 2,(--∞C.),4(+∞-D.)4,(--∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x ，则y x z 2+=的最大值.14.已知向量)(),2,1(b a a a +⊥=，则向量b 在向量a 方向上的投影为.15.斜率为)0(>k k 的直线l 经过点)0,1(F 交抛物线x y 42=于B A ,两点，若AOF ∆的面积是BOF ∆面积的2倍，则=k .16.已知数列}{n a 满足411=a ，21n n n a a a +=+)(*N n ∈，则2016111n na =+∑的整数部分是.三、解答题（本大题共小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分) 在ABC ∆中，已知4A π=，25cos 5B =. (1)求cos C 的值；(2)若25BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长.18.(本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面,120,2,ο=∠==ABC BC AB ABCD 7==CD AD ，直线PC 与平面ABCD 所成角的正切为21. (1)设E 为直线PC 上任意一点，求证：BD AE ⊥； (2)求二面角A PC B --的正弦值.19.(本小题满分12分)为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下： 甲校： 乙校：以抽样所得样本数据估计总体 (1)比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；(2)若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X 人，求X 的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)已知椭圆146:221=+y x C ，圆t y x C =+222:经过椭圆1C 的焦点.(1)设P 为椭圆上任意一点，过点P 作圆2C 的切线，切点为Q ，求POQ ∆面积的取值范围，其中O 为坐标原点；(2)过点)0,1(-M 的直线l 与曲线21,C C 自上而下依次交于点D C B A ,,,，若||||CD AB =,求直线l 的方程.21.(本小题满分12分) 已知函数R a x a ax x x f ∈-+-=,ln )3(21)(2. (1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=+-y x 垂直，求a 的值； (2)设)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求证：23)()(521-<<--x f x f .请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2019学年高一数学下学期期中联考试题新版 新人教版
2019学年度第二学期期中测试高一数学（考试时间120分，总分160分）一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．求值：020215sin 15cos -= ▲ 。
2．函数x x f 2sin 2)(=的最小正周期为 ▲ 。
3．在等比数列}{n a 中，31,274-==q a ，则7a = ▲ 。
4．在ABC ∆中，060,2,1===C b a ，则边长c = ▲ 。
5．已知函数x x x f cos 4sin 3)(-=，则)(x f 的最大值为 ▲ 。
6．在等差数列}{n a 中，5,320171==a a ，则1009a = ▲ 。
7．在ABC ∆中，0150,3,2===C b a ，则ABC S ∆= ▲ 。
8．在243和3之间插入c b a ,,这3个数，使得243，c b a ,,，3这5个数成等比数列，则b = ▲ 。
9．将函数x x x f sin cos 3)(-=的图象向右平移ϕ个单位长度，得到的函数图象关于直线6π=x 对称，则ϕ的最小正值为 ▲ 。
10．已知等差数列}{n a 中，851511,3a a a =-=，则前n 项和n S 的最小值为 ▲ 。
11．已知31)3cos(=-πα，则)62sin(πα-的值为 ▲ 。
12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若A c C a cos 2cos 3=，且31tan =A ，则角B= ▲ 。
13．已知等差数列}{n a 中，前m 项（为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且181=-m a a ，则数列}{n a 的通项公式n a = ▲ 。
14．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ▲ ．二：解答题（本大题共6小题，计90分。
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A （下期）高期中联考试卷理科数学考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为( )A ．2n a n = B ．21)1(n a n n +-= C ．2)1(n a n n -=D ．2)1()1(+-=n a n n2．计算22sin 751-的值等于( ) A ．12B ．12-C ．32-D ．323．已知数列2,,,,1--z y x 成等比数列,则xyz =( ) A ．22- B ．4±C ．4-D ．±224．1tan17tan 28tan17tan 28-+等于( )A ．－1B ． 1C ．22D ．－225．如图,D ，C,B 三点在地面同一直线上,从地面上C,D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD ＝200米,点C 位于BD 上,则山高AB 等于 ( )A ．1002B ．)503+1米C ．()1003+1米D ．200米6．若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为( ) A ．1665-B ．6365 C ．5665D ．3365 7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为( ) A ．116B ．56C ．53D ．1038．在ABC ∆中，2cos 2B ＝2a c c + (,,a b c 分别为角,,A BC 的对边)，则ABC ∆的形状为( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知△ABC 中，︒=∠30A ,AB 2,BC 分别是1132+、1132－的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( ) A ．23B ．43 C ．23或3 D ．23或43 10．若),2(ππα∈，且)4sin(2cos 3απα-=，则cos2α的值为( )A ．3518-B ．3518C ．1817D ．1817-11．设等差数列{}n a 满足2222477456sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+,公差(1,0)d ∈-,当且仅当9n =时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围( ) A ． 74(,)63ππ B ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43(,)32ππD ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．在锐角三角形ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,()()a b c a c b +++-=()23ac +,则cos sin A C +的取值范围为( ) A ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．33,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭C ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,32⎛⎫⎪⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数()sin 3cos f x x x =+,则()f x 的最大值为 . 14．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若242,8S S ==,则6S 等于 . 15．已知ABC ∆内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,若1cos ,34B b ==,AC sin 2sin =，则ABC ∆的面积为 . 16．已知数列满足：()*111,,2nn n a a a n N a +==∈+，若()111,n n b n a λ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本题满分10分)已知公差不为零的等差数列}{n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设=2+n an b n ,求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本题满分12分)（1）设,αβ为锐角，且5310sin ,cos 510αβ==,求αβ+的值；（2）化简求值：sin 50(13)︒+︒.19．(本题满分12分) 已知函数()sin(2)sin(2)cos 2+166f x x x x ππ=++-+ （1）求函数()f x 的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()=3,34f A B a π==,,求AB .20．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 前n 项和213+422n S n n =- （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c,且()2cos cos cos sin A C A C B -+=.（1）证明：,,a b c 成等比数列；（2）若角B 的平分线BD 交AC 于点D ,且6,b =2BAD BCD S S ∆∆=,求BD .22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且()+12n n n a S =(n ∈*N ),数列{}n b 满足112b =,214b =,对任意n ∈*N ,都有212n n n b b b ++=.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1122...n n n T a b a b a b =+++.若对任意的*n ∈N ,不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+<+恒成立,试求实数λ的取值范围.2016～2017学年度（下期）高2016级期中理科数学联考答案一．选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分.1.B2.D3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.D 10.A 11.C 12.B12.【解析】由条件可得，()()2223a c b ac +-=+，即2223a c b ac +-=根据余弦定理得：2223cos 22a cb B ac +-==B是锐角，6B π∴=.56A C π∴+=即56C A π=- 5cos sin cos sin 65533cos sincos cos sin sin cos 3sin 66223A C A A A A A A A A ππππ⎛⎫∴+=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭又ABC ∆是锐角三角形，0202A C ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩32A ππ∴<<,25336A πππ∴<+< 33cos sin ,22A C ⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.2 14.1815.9151616.λ<216.【解析】：由12n n n a a a +=+得，112+1n n a a +=111+121n n a a +⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，易知11+120a =≠，则n 1+12na =，可得()12n nb n λ+=-，则()121,n n b n λ-=--()*2,n n N ≥∈，由1n n b b +>得()2n n λ->()121n n λ---，则1n λ<+()*2,n n N ≥∈恒成立，1n +的最小值为3，21,3,2(1),2b b λλλλ∴<>∴->-∴<又，则λ的取值范围为λ<2.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本题满分10分) 解：（1）设数列}{n a 公差为d, ……………………………………………………1分139,,a a a 成等比数列 2319=a a a ∴()212d 118d ∴+=⨯+（）……………………………………2分∴0d =（舍）或1d=, ……………………………………………………3分∴n a n = …………………………………………………………………………5分 （2）令2+2n ann b n n ==+123S ++n n b b b b =+⋅⋅⋅+()()()()123=2+1+2+1+2+12+1n +⋅⋅⋅+……………………………………6分12(22...2)(123...)n n =++++++++……………………………………7分 ()212(1)+122n n n -+=- …………………………………………8分 +1(1)22+2n n n +=- …………………………………………9分 1(1)22+2n n n n S ++=-………………………………………10分 18．(本题满分12分) 解：（1）α为锐角，525sin ,cos 55αα=∴=………………………………1分β为锐角，31010cos sin 1010ββ=∴=，………………………………2分 ()cos +cos cos sin sin αβαβαβ=-………………………………3分2531051025105102=⨯-⨯=…………………………………………4分 ()0,αβπ+∈ ………………………………………………5分4παβ∴+=……………………………………………………6分（2）原式=3sin10sin 50(1)︒︒………………………………………………7分cos103sin10sin 50︒+︒=8分 2cos50sin 50cos10︒=︒⋅︒……………………………………………………10分sin100cos10︒=︒1.= ………………………………………………12分解：（1）()sin(2)sin(2)cos 2166f x x x x ππ=++-++3sin 2cos 21x x =++…………………………………………1分=2sin(2)16x π++…………………………………………3分)(x f ∴的最小正周期ππ==22T ……………………………4分 要使()f x 函数的单调递增222262k x k πππππ∴-≤+≤+-()36k x k k Z ππππ∴≤≤+∈ ………………………………………5分故函数()f x 的单调递增区间[,]()36k k k Z ππππ-+∈ ………………6分（2）()2sin(2)1,()36f x x f A π=++=2sin(2)1=36A π∴++sin(2)16A π+= ………………………………………………7分 132666A πππ<+<又 ……………………………………………8分 2,626A A πππ∴+=∴=………………………………………………9分()()62sinC sin sin sin 644A B A B πππ+⎛⎫=-+=+=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭在ABC ∆中，由正弦定理得：c sin sin a A C=，即316224b =+ …………………………………………11分 3262b +=,即326=2AC b += ………………………………12分解：解：（1）数列{}n a 前n 项和为213+422n S n n =- 当2n ≥时,1n n n a S S -=-……………………………………………………………………1分()()221313+41142222n n n n ⎡⎤=------⎢⎥⎣⎦1n =+ …………………………………………………………………………3分 当1n =时,11134222a S ==+-=-，不满足1n a n =+ …………………4分∴{}n a 的通项公式为21=1,2n n a n n -=⎧⎨+≥⎩， ……………………………………6分（2）当2n ≥时,21n n n b a a +==()()113n n ++=111213n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭……………………8分当1n =时,113111==248b a a =--⨯ …………………………………………………9分 12341n n nT b b b b b b -∴=++++⋅⋅⋅++ 111111111111118235465768213n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ …10分111111823423n n ⎛⎫=-++-- ⎪++⎝⎭ …… ……………………………………11分 ()()1111256236223n n n n n -=--=-++++ …… ……………………………………12分21．(本题满分12分)解：（1）因为()2cos cos cos sin A C A C B -+=，所以()2cos cos cos cos sin sin sin A C A C A C B --=化简可得2sin sin sin A C B = ……………………………………………………1分由正弦定理得，2=b ac ，又因a 、b 、c 均不为0……………………………3分故,,a b c 成等比数列. …………………………………………………………4分（2）由2BADBCDS S ∆∆=，得11sin 2sin 22BA BD ABD BC BD CBD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 又因为BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，即sin sin ABD CBD ∠=∠，化简得，2BA BC =，即2c a =. ……………………………6分由（1）知，2=ac b ，解得a c == ……………………………………7分再由2BAD BCD S S ∆∆=得，11222AD h CD h ⎛⎫⋅=⨯⋅ ⎪⎝⎭（h 为ABC ∆中AC 边上的高）， 即2AD CD =，又因为6AC =，所以4,2AD CD ==. (8)分在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos2b c a A bc +-=== (10)分在BAD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅，即((22242428BD =+-⨯⨯=，求得BD =.……………12分（说明：角平分线定理得到4,2AD CD ==同样得分）（2）另解：同解法一算出4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos2b a c C ab +-==， (10)分在BCD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD CD BC CD BC C =+-⋅，即(22222228BD =+-⨯⨯=，求得BD =. ……………12分(说明：本题还有其它解法，阅卷老师根据实际情况参照上述评分标准给分。