【人教版】七年级数学上册热点专题高分特训第4章线与角

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人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．破疑点角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案：C【例1－2】如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”．解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ，所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

人教版七年级数学上册第四单元角复习讲义

21．学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是 A、B、C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西 25
方向，那么平面图上的∠CAB 等于（）．
A．115
B．155
C． 25
D． 65
22．如图 12，AB、CD 相交于点 O，OB 平分∠DOE，若∠DOE＝60°，则∠AOC 的度数是
①15 的角；② 65 的角；③ 75 的角；④135 的角；⑤145 的角．
A．①③④
B．①③⑤
C．①②④
D．②④⑤
能用一副三角板画出来的角都是______的倍数．
16．时钟在 4 点整时，时针与分针的夹角为
度．
17．一副三角板按如图方式摆放，且∠1 比∠2 大 40°，
则∠2 的度数是（）．
求∠2 和∠3 的度数．
E
D
A
2
B
3 O1
CFΒιβλιοθήκη 11．如图，从∠AOB 内部引出一条射线 OC，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，若∠AOB＝80°，求∠DOE 的度数．
12．如图，BD 平分∠ABC，BE 分∠ABC 为 2 : 5 两部分，∠DBE＝21°，求∠ABC 的度数．
D
C
E
A
B
两步一回头
D．140
同一个角的补角与余角的联系
同一个角的补角比它的余角大________． 8．一个角的补角加上10 后，等于这个角的余角的 5 倍，求这个角的度数．
9．两个角的大小之比是 7 : 3 ，他们的差是 72°，求这两个角的度数．
重点题型 2
【角度计算】
10．如图所示，直线 AB、CD 相交于 O，OE 平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，

最新部编版人教初中数学七年级上册《第4章：截面与三视图热点专题高分特训及答案》精品优秀测试题

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（最新精品热点专题高分特训）学生做题前请先回答以下问题问题1：举出一个几何体，使得从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状都一样，你能举出几种？问题2：观察一个几何体的形状通常从三个方向看，从正面看（主视图），从左面看（左视图），从上面看（俯视图），从正面看可以看到几何体的________和________；从左面看可以看到几何体的________和________；从上面看可以看到几何体的________和________．问题3：在利用三视图确定小木块个数时，数字一般标在________图上．截面与三视图（人教版）一、单选题(共16道，每道6分)1.用一个平面去截五棱柱，则截面不可能是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.圆答案：D解题思路：五棱柱的面均为平面，面面相交得直线，而不可能成为曲线，圆是由曲线构成的，所以五棱柱的截面不可能是圆．故选D．试题难度：三颗星知识点：几何体的截面2.用一个平面去截如图所示的圆锥，得到的图形不可能是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如果用平面去截圆锥，平面过圆锥顶点时得到的截面图形是一个等腰三角形；如果不过顶点，且平面与底面平行，那么得到的截面就是一个圆；如果不与底面平行且与底面相交，得到就是选项A中的图形；不可能是C中的直角三角形．故选C．试题难度：三颗星知识点：几何体的截面3.用一个平面去截下面的几何体，所得截面是三角形，则这个几何体不可能为( )。

初一数学上册(人教版)第四章几何图形初步4.3 知识点总结含同步练习及答案

已知 ∠A = 37∘ ，则 ∠A 的余角等于（
）
A. 37∘
B. 63∘
C. 143∘
D. 53∘
解：D．
如图，将一副三角尺的直角顶点重合后叠放在一起，若 ∠1 = 40∘ ，则 ∠2 的度数为（）
A. 60∘ 解：C．
B. 50∘
同角的余角相等．
C. 40∘
D. 30∘
下列关于角的说法，正确的有（）
分析：根据角平分线的定义求得 ∠COB + ∠DOC = 70∘，由已知条件和图示求得
∠AOB = ∠BOC = 40∘．
解：因为 OB 是 ∠AOC 的平分线，OD 是 ∠COE 的平分线，
所以 ∠COB + ∠DOC = 又因为 ∠COD = 30∘ ，
1 2
∠AOE =
1 2
× 140∘
= 70∘．
所以 ∠AOB = ∠BOC = 40∘．
已知一个角的补角比这个角的余角的 3 倍大 10∘ ，求这个角的度数解：设这个角是 x，则
(180∘ − x) − 3(90∘ − x) = 10∘ .
解得
所以这个角的度数 50∘ ．
x = 50∘ .
四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学） 1. 如图所示，用两种方法表示同一角的是 ( )
① 角是由两条有公共端点的两条射线组成的图形，故原命题错误；
② 角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故原命题正确； ③ 角的边是射线，无需延长，故在角的一边的延长线上取一点 D 说法错误；
④ 角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；
⑤ 把一个角放到一个放大 10 倍的放大镜下观看，角的度数不变，故原命题错误，故正确的有两个．

人教版数学七年级上册第四章分类思想巧解线段和角的计算型问题

人教版数学七年级上册第四章分类思想巧解线段和角的计算型问题计算线段的长度，角的大小，是基本平面图形中的一种题型，当我们遇到线段的端点位置不确定时，角的一边的位置不确定时，解答时，就需要利用分类的思想加以解决，下面就和同学们谈谈这个话题.一、根据有一个公共端点的两条线段的长度，探求非公共端点构成线段的长度例1 点A,B,C是直线a上的三点，且AB=10,AC=6, 求：BC的长度.分析：解答时，我们的基本思路是：1、固定一条线段，就等于固定了两个端点；2、确定重合的端点；3、非重合的两个端点在重合端点同侧，计算线段的长度；4、非重合的两个端点在重合端点异侧，计算线段的长度；5、综合上述，得出最后的结论.解：AB与AC重合的端点是点A，当点B,C在点A的同侧时，如图1所示，因为AB=AC+BC，所以BC=AB-AC=10-6=4；当点B,C在点A的异侧时，如图2所示，因为BC=AC+AB，所以BC=AB+AC=10+6=16，所以线段BC的长为4或16.点评：此题可以引申为一般性结论：点A,B,C是直线a上的三点，且AB=a,AC=b, (a＞b)，则BC的长度为a-b或a+b.二、根据有一个公共端点的两条线段的长度，探求线段中点构成线段的长度例2 在一条直线上任意取一点A,截取 AB=12cm,再截取AC=38cm, 点D是AB的中点，点E是AC的中点，求：D,E之间的距离.分析：解答时，我们的基本思路是：1、固定一条线段，就等于固定了两个端点；2、确定重合的端点；3、非重合的两个端点在重合端点同侧，计算线段的长度；4、非重合的两个端点在重合端点异侧，计算线段的长度；5、综合上述，得出最后的结论.解：AB与AC重合的端点是点A，当点B,C在点A的同侧时，如图3所示，因为点D是AB的中点，所以AD=BD=1/2AB；因为点E是AC的中点，所以AE=1/2AC,因为DE=AE-AD,所以DE=1/2AC-1/2AB=1/2(AC-AB)，因为AB=12,AC=38,所以DE=1/2(38-12)=13(cm)；当点B,C在点A的异侧时，如图4所示，因为点D是AB的中点，所以AD=BD=1/2AB；因为点E是AC的中点，所以AE=1/2AC,因为DE=AE+AD,所以DE=1/2AC+1/2AB=1/2(AC+AB)，因为AB=12,AC=38,所以DE=1/2(38+12)=25(cm)；所以线段DE的长为13cm或25cm.点评：此题可以引申为一般性结论：在一条直线上任意取一点A,截取 AB=b,再截取AC=a, 点D是AB的中点，点E是AC的中点，则D,E之间的距离为1/2(a-b)或 1/2(a+b).三、根据两角有公共的顶点，有一条公共边，探求角的度数例3 已知∠AOB=60°，∠COB=45°，则∠AOC的度数为（）A. 15°B. 105°C. 15°或105°D. 75°或105°分析：这两个角具有如下的特点：一是它们的顶点相同，二是它们有一条公共的边，现在亟待解决的问题是不知道这两个角是在公共边的同侧还是异侧，这种不确定性，就提醒我们在解答时，要分两角在公共边的同侧和两角在公共边的异侧两种情形加以求解，否则，就会漏解.解：当两角在公共边的同侧时，∠AOC表示是∠AOB与∠COB的差，所以∠AOC=∠AOB-∠COB =60°-45°=15°；当两角在公共边的异侧时，∠AOC表示是∠AOB与∠COB的和，所以∠AOC=∠AOB+∠COB=60°+45°=105°；综上所述，∠AOC的度数为15°或105°，所以选C.点评：公共顶点，有一条公共边的两个角，求非共边构成的角的度数时，要分两角在公共边的同侧和两角在公共边的异侧两种情形加以求解，千万不要漏解.此题可以引申如下结论：如果∠AOB=α，∠COB=β，且α＞β，则∠AOC的度数为（α+β）或（α-β）.四、根据两角有公共的顶点，有一条公共边，引入角的平分线，探求两角的平分线构成的角的度数例4 已知∠AOC=120°∠BOC=20°,OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC 的平分线，求∠DOE的度数.分析：利用分类的思想，画出符合题意的图形，是解题的关键.解答时，分∠BOC在∠AOC 的内部和外部两种情形加以求解，否则，就会漏解.解：当∠BOC在∠AOC的外部时，如图5，因为OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC 的平分线，所以∠BOC=2∠EOC，∠AOC =2∠DOC，因为∠AOC+∠BOC=120°+20°=140°，所以2∠EOC+2∠DOC=140°，所以∠EOC+∠DOC=70°，因为∠DOE=∠EOC+∠DOC，所以∠DOE=70°；当∠BOC在∠AOC的内部时，如图6，因为OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC 的平分线，所以∠COD=1/2∠AOC，∠EOC =1/2∠BOC，因为∠DOE=∠COD-∠EOC，所以∠DOE=1/2∠AOC-1/2∠BOC=1/2(∠AOC-∠BOC)= 1/2(120°-20°)=50°,所以∠DOE的度数为50°或70°.点评：此题可以引申如下的结论：如果∠AOC=α∠BOC=β°,OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC 的平分线，且α＞β，则∠DOE的度数为（α+β）/2或（α-β）/2.五、根据两角有公共的顶点，有一条公共边，引入角的平分线，探求两角的平分线构成的角的度数例5 已知∠AOC=120°∠BOC=20°,OD是∠AOB的平分线， OE是∠BOC 的平分线，求∠DOE的度数.分析：利用分类的思想，画出符合题意的图形，是解题的关键.解答时，分∠BOC在∠AOB 的内部和外部两种情形加以求解，否则，就会漏解.解：当∠BOC在∠AOC的外部时，如图7，因为OD是∠AOB的平分线， OE是∠BOC 的平分线，所以∠BOD=1/2∠AOB，∠EOB =1/2∠BOC，因为∠DOE=∠BOD-∠EOB，所以∠DOE=1/2∠AOB-1/2∠BOC=1/2(∠AOB-∠BOC)= 1/2(140°-20°)=60°；当∠BOC在∠AOC的内部时，如图8，因为OD是∠AOB的平分线， OE是∠BOC 的平分线，所以∠BOD=1/2∠AOB，∠EOB =1/2∠BOC，因为∠DOE=∠BOD+∠EOB，所以∠DOE=1/2∠AOB+1/2∠BOC=1/2(∠AOB+∠BOC)= 1/2(100°+20°)=60°；所以∠DOE的度数为60°.点评：此题可以引申如下的结论：如果∠AOC=α∠BOC=β°,OD是∠AOB的平分线， OE是∠BOC 的平分线，且α＞β，则∠DOE的度数为α/2.。

2023-2024学年人教版七年级数学第四章4.3角

4.3角1.掌握角的不同表示方法.2.会度量角,会用角表示方位,能比较两个角的大小.3.会计算两个角的和与差,能计算有关余角、补角的简单问题.1.在理解角的有关概念的基础上,会进行图形语言和符号语言的转化.2.培养学生独立分析问题的能力,增强解决问题的能力和论证说理的能力.培养学生严谨的学习态度,理解数形结合思想.【重点】角的定义及表示,角平分线的定义及应用.【难点】有关方位角的表示,角的相关计算.4.3.1角1.通过丰富的实例,理解角的形成,建立几何中角的概念.2.掌握角的两种定义形式和四种表示方法.通过在图片、实例中找角,培养学生观察、探究、概括的能力,以及把实际问题转化为数学问题的能力.1.通过实际操作,体会角在实际生活中的应用.2.培养学生参与数学学习活动的热情和对数学的好奇心.【重点】角的概念与角的表示方法.【难点】正确理解角的概念.【教师准备】多媒体课件、直尺、三角板.【学生准备】直尺、三角板、量角器.导入一:1.观察上面的图片,你能发现其中有什么相同的图形吗?2.你能把观察得到的图形画在本子或黑板上吗?这些是什么图形?3.根据这些图形,你能归纳出它们的共同特征吗?[设计意图]挖掘和利用现实生活中与角相关的模型,让学生在现实背景中认识角,培养学生的动手能力,引导学生观察并归纳角的特点.导入二:小学里我们已经学过与角有关的简单知识,也知道角是一种基本图形,那么在我们的现实生活中,你能举出一些角的实例吗?其实我们周围的事物存在着各种各样的角,可以说,只要有直线的地方,就一定有角.门、窗户、桌子、椅子都有直角,我们使用的三角板上有锐角、直角,使用的钟表的指针,时针和分针在不停地转动,它们有时组成锐角,有时组成直角,有时组成钝角,有时还可以组成平角和周角.如果仔细观察,就会很容易理解角的相关知识了.[设计意图]让学生从生活中发现角,通过教师的举例和讲解,使学生认识到生活中处处存在着角,从而使学生主动、积极地投入到本节课的学习之中.探究1:角的定义线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.(2)下面的三个图形是角吗?(3)小组交流:说说生活中的角.分组活动,先独立思考,然后小组内互相交流并做记录,最后各组选派代表发言.探究2:角的表示方法1.一种远古恐龙在漫步时,它的身体与地面总是保持一定的角度,以利用自己长长的尾巴保持身体的平衡,如图所示,设恐龙的眼睛为点A,脚与地面的接触点为B,恐龙正前方的地面上一点为C,你能用适当的方式表示这个倾斜角吗?2.角的表示:角用符号“∠”表示,常见的方法有:(1)用三个大写英文字母表示,如图(1)所示,可记作∠AOB或∠BOA,其中O是角的顶点,必须写中间,A,B分别是角的两边上的一点,写在两边,可以交换位置.(2)用一个大写英文字母表示,如图(1)所示,可记作∠O.用这种方法表示的前提是同一个点作顶点的角只有一个,否则不能用这种表示方法.如图(2)所示的∠AOC就不能记作∠O,因为此时以O为顶点的角不止一个,容易引起混淆.(3)用数字或希腊字母来表示,用这种方法表示角时,要在靠近顶点处加上弧线,注上阿拉伯数字或小写希腊字母α,β,γ等.如图(2)所示,∠AOB可记作∠1,∠BOC记作∠2,如图(3)所示,∠AOB记作∠β,∠BOC记作∠α.[知识拓展](1)不要混淆角的符号“∠”与小于号“<”.(2)几种角的表示方法的优缺点:∠用三个大写英文字母来表示,适用于所有的角的表示,但比较烦琐;∠用顶点处一个字母来表示角时比较简便,但只能用来表示以这个点为顶点的角只有一个的情况;∠用数字或小写希腊字母来表示角比较简便,但需在图中标出相应的数字或小写希腊字母,另外当要表示的角较多且较集中时,会让人有一种眼花缭乱的感觉.(3)在具体表示一个角时,首先用顶点字母表示,若不行,再选用数字或小写希腊字母来表示,至于用三个大写英文字母来表示,一要会用,即顶点字母在三个英文字母的中间,二要少用,因为这种方法较为烦琐.探究3:用旋转的观点定义角思路一想象:1.大海上,一艘轮船打着探照灯正在寻找目标.2.一只挂钟的钟摆不停地摆动.思考:在想象过程中,有以新的方式出现的角吗?在讨论的基础上归纳出:如图所示,角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位说明:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角.继续旋转,当终边和始边重合时,所成的角叫做周角.思路二教师展示一条射线绕端点旋转,通过多媒体,展示出运动从初始状态到终止状态的过程.给出角的概念:一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做角.其中起始位置的射线叫做角的始边,终止位置叫做角的终边.探究4:角的度量即1°=60',1'=60″.归纳:以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.1.想一想:角度进位制和其他什么进位制类似?(时间进位制)2.出示三个问题:【问题1】 (1)一个直角等于 ,一个平角等于 ,一个周角等于 . (2)12直角等于 ,13平角等于 ,110周角等于 .【问题2】 3.32小时= 小时分秒; 3.32度= 度分秒【问题3】 12小时9分36秒= 小时; 12°9'36″= 度.分组讨论后,让学生回答度、分、秒间的转化方法.师生共同总结得出:由度化分,由分化秒,只要乘60即可;由秒化分,由分化度,只要除以60就行.3.角的度量可以用量角器,经纬仪等,在实际应用中,我们还可以借助三角尺画一些特殊的角.请你试一试,利用两个直角三角板,能画出哪些角?[设计意图] 在识别角的过程中加深对角的概念的理解,培养学生主动参与合作交流的意识,提高分析、概括的能力.并通过角的度量,使学生了解了角的单位之间的进率,培养了学生的计算能力.[知识拓展] (1)角的大小与角的两边的长短无关,只与构成角的两条射线张开的幅度有关.(2)角的大小可以度量,可以比较,也可参与计算.角{定义{ 静态描述:有公共端点的两条射线组成的图形动态描述:由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形表示方法{三个大写字母一个大写字母一个希腊字母一个阿拉伯数字角的度量{单位:度、分、秒1°=60′,1′=60″1.下列关于角的说法正确的是 ( ) A.角是由两条射线组成的图形 B.角的边越长,角越大 C.角的一边长为5 cmD.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形解析:角是由两条有公共端点的射线组成的图形,它的两边是射线,没有长短,故A,B,C错误,D正确.故选D.2.如图所示,下列说法正确的是()A.∠1与∠OAB表示同一个角B.∠AOC也可以用∠O表示C.图中共有三个角:∠AOB,∠AOC和∠BOCD.∠β表示的是∠COA解析:A.∠1与∠OAB不能表示同一个角,故错误;B.∠AOC不可以用∠O表示,故错误;C.图中共有三个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,正确;D.∠β表示的不是∠COA,故错误.故选C.3.如图所示,在∠AOB的内部引两条射线OC和OD,则图中角的个数是()A.3B. 4C.5D.6解析:按顺序数有∠AOC,∠COD,∠DOB,∠AOD,∠COB,∠AOB,共6个角.故选D.4.写出图中符合下列条件的角.(图中所有的角均指小于平角的角)(1)能用一个大写字母表示的角;(2)以点A为顶点的角;(3)图中所有的角(用简便方法表示).解:(1)能用一个大写字母表示的角有∠B,∠C.(2)以点A为顶点的角有∠CAD,∠BAD,∠BAC.(3)∠C,∠B,∠1,∠2,∠3,∠4,∠CAB.4.3.1角探究1:角的定义(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.探究2:角的表示方法(1)三个大写字母(2)一个大写字母(3)一个希腊字母(4)一个阿拉伯数字探究3:用旋转的观点定义角探究4:角的度量一、教材作业【必做题】教材第134页练习第1,2,3题.【选做题】教材第139页习题4.3第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示的四个图形中,能用∠α,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的图形是()2.下列说法中正确的有()∠由两条射线组成的图形叫做角;∠角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的角度有关;∠角的两边是两条射线;∠把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数也扩大10倍.A.1个B.2个C.3个D.4个3.从3时到6时,钟表的时针旋转的度数是()A.30°B.60°C.90°D.120°4.下图中角的表示方法正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.下图中表示∠ABC的是()【能力提升】6.若∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°,则()A.∠A>∠B>∠CB.∠B>∠A>∠CC.∠A>∠C>∠BD.∠C>∠A>∠B7.图中以O点为顶点的角有几个?以D点为顶点的角有几个?试用适当的方法来表示这些角.(图中所有的角均指小于平角的角)【拓展探究】8.小刚是个数学迷,最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题,他想和大家一起来讨论相关的问题.(1)分针每分钟转多少度?时针每分钟转多少度?(2)12:00整,时针和分针重合,至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象?此时,时针和分针各转动了多少度?【答案与解析】1.B(解析:A.因为顶点O处有四个角,所以这四个角均不能用∠O表示,故本选项错误;B.因为顶点O处只有一个角,所以这个角能用∠O,∠α及∠AOB表示,故本选项正确;C.因为顶点O处有三个角,所以这三个角均不能用∠O表示,故本选项错误;D.因为∠O与∠α表示的不是同一个角,故本选项错误.故选B.)2.B(解析:∠角是由有公共端点的两条射线所构成的图形,故错误;∠角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的角度有关,故正确;∠角的两边是两条射线,故正确;∠把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数不变,故错误.只有∠∠正确.故选B.)3.C (解析:从3时到6时,钟表的时针旋转的度数是(6-3)×30°=90°.故选C.)4.B(解析:因为平角是由处在同一直线上方向相反的两条射线构成的角,不能将直线和射线混为一谈,所以(1)错误,(2)正确;图(3)(4)中,点A为顶点,可表示为∠CAB,所以图中角的表示方法正确的有2个.故选B.)5.C (解析:A应为∠CAB;B没构成角;D应为∠ACB.故选C.)6.A(解析:易知∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°=20°15',所以∠A>∠B>∠C.故选A.)7.解:以O点为顶点的角有3个,分别是∠AOB,∠AOC,∠BOC;以D点为顶点的角有4个,分别是∠1,∠2,∠3,∠4.8.解:(1)分针旋转的速度是360÷60=6(度/分),时针旋转的速度是30÷60=12(度/分).(2)设至少经过x分,会再次出现时针和分针重合的现象,由题意得6x-12x=360,解得x=72011,分针旋转6×72011=432011(度),时针旋转12×72011=36011(度).答:至少经过72011分钟会再次出现时针和分针重合的现象,此时,时针转动了36011度,分针转动了432011度.在教学过程中教师以多媒体课件引入图片,直观形象地刻画出角的形象,与小学阶段的角的形象相对应,自然地引入本节课的内容,给学生熟悉、亲近的感觉.在探索过程中,借助多媒体生动形象地描绘出角的另一种描述方式:以运动的观点来描述,通过多媒体展示运动的角,让学生从感性上接受角的另一种描述方式.关于角的度量换算的内容,充分发挥了学生的主观能动性,通过小组讨论以及师生之间的合作交流,在师生、生生之间的互动中解决本节课的重点和难点,让每个学生都能在交流的过程中获益,同时也培养了学生的合作意识.1.学生对用一个大写字母表示角的方法不熟练,当一个顶点处有多个角的时候也用一个大写字母表示.2.学生对度、分、秒之间的换算练习不到位,以致在做题的过程中出现的错误较多.在本节课的教学中角的表示方法是个难点,教师应针对不同的图形增加练习题,让学生掌握这种表示方法.另外对于角度单位的换算,应明确单位之间的进率与时、分、秒单位之间的进率相同,在换算时典型题多练习、多指导,在课堂上学生没有完全掌握的地方,在习题之后可以再补充几道题,不要局限于有限的资源.练习(教材第134页)1.解:6时整,钟表的时针和分针成180°角;8时整,钟表的时针和分针成120°角;8时30分,钟表的时针和分针成75°角.2.提示:度、分、秒是角的度量单位,相邻两个单位之间的进率都是60,即1°=60',1'=60″.由此即可进行换算.解:(1)35°=35×60'=2100',35°=35×3600″=126000″.(2)38°15'和38.15°不相等.因为38.15°=38°+0.15×60'=38°9',38°9'<38°15',所以38°15'>38.15°.3.解:画法如下:(1)先画一个圆;(2)以圆的半径为半径用圆规在圆周上顺次截取六等份,在圆周上得到六个点A,B,C,D,E,F;(3)顺次连接这六个点就得到正六边形ABCDEF.角是最基本的几何图形之一,正确理解角的概念,掌握角的表示方法对今后的学习非常重要.1.认识角角是由有公共端点的两条射线组成的图形.如图(1)所示,角是由两部分组成的,一是角的顶点(点O);二是角的两条边(射线OA,OB).学习角的定义应注意把握角的特征:(1)角是几何图形;(2)角的边是射线;(3)角的大小与两条边的张开程度有关,与所画角的两边的长短无关.角还可以看作是一条射线OA绕着它的端点O由原来的位置旋转到另一个位置OB所形成的图形.如图(1)所示,旋转所经过的平面部分是角的内部,不包括射线的其他平面部分是角的外部.【评注】应理解并掌握角的定义,注意角的特征.2.表示角角的表示方法主要有以下几种:(1)在角的符号“∠”后面加注角两边上的两个字母和角的顶点字母来表示.如图(1)所示,这个角可记作∠AOB或∠BOA.应注意顶点字母应写在两个字母的中间.(2)在角的符号“∠”后面标注顶点字母表示.如图(1)所示,∠AOB也可以记作∠O.注意这种表示方法必须是在顶点处只有一个角的时候才能使用.当一个顶点处不是唯一的一个角时,不能使用这种方法表示.(3)在角的符号“∠”后标注数字或希腊字母表示.如图(2)所示,这两个角可分别表示为∠1,∠β.【评注】角的表示方法有三种,在表示具体的角的时候,应根据图形的特征,灵活选用表示方法.3.划分角(1)平角:射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时所成的角,如图(3)所示.(2)周角:射线OA绕它的端点O旋转,当终边OB和始边OA重合时所成的角,如图(4)所示.(3)直角:等于平角一半的角.(4)锐角:大于0°而小于90°的角.(5)钝角:大于90°而小于180°的角.【评注】直角、平角、周角都是固定大小的角.直角不是锐角,也不是钝角,同样,平角、周角不是钝角,也不是锐角.4.理清角(1)平角不是直线,周角不是射线.平角、周角都是比较特殊的角,因为平角和周角都有顶点和两条边.平角的两条边成一条直线;周角的两边重合成一条射线.平角和直线是两种不同的几何图形.同样周角与射线也是不同的几何图形.所以要注意它们之间的区别.(2)角和角的度数.角是一个几何图形,而角的度数是用来反映角的大小的一个“量”,带有单位.不能把角和角的度数混为一谈.4.3.2角的比较与运算1.会比较角的大小,能估计一个角的大小.2.在操作活动中认识角的平分线.1.经历利用已有知识解决新问题的过程.2.培养学生的数感和对数学活动的兴趣,让学生实际观察、操作,体会角的大小.3.培养学生的观察思考能力.1.在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论.2.敢于表达自己的观点,尊重和理解他人的见解,从而在交流中获益.【重点】角的比较和角平分线的定义.【难点】角的和差与画法.【教师准备】直尺、三角板.【学生准备】直尺、三角板.导入一:教师提出问题:(1)角的表示方法有几种?(2)怎样比较两条线段的大小?学生思考后回答.导入二:1.把12.35°用度、分、秒表示.2.回顾线段比较大小的方法:度量法和叠合法.提出问题:以前我们学过线段的大小比较,那么怎么来比较图中两个角的大小呢?请同学们在透明纸上任意画两个角.然后想办法比较这两个角的大小.[设计意图]通过对两条线段长短的比较的类比,探究角的大小的比较方法,巩固旧知识,引入新知识.一、角的比较方法问题1请同学们回忆一下,前面我们学习了线段的哪些内容?【师生活动】学生回顾在线段中所学内容,教师归纳.教师关注:学生对所学线段内容的整体认识以及“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程.[设计意图]通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料,使学生对学习进程做到心中有数,帮助学生掌握探究问题的方法.问题2类比线段长短的比较,你认为该如何比较两个角的大小?在练习本上画两个角,比较它们的大小,并说明你是怎样比较的.【师生活动】学生讨论解决问题的方法,学生代表展示交流.学生展示交流后提问:比较角的大小的方法有几种?每种方法中应注意的问题是什么?教师在学生展示交流的基础上,利用课件动画演示:用量角器量角、用叠合法比较角的大小的过程,归纳操作要点.量角器量角要注意:对中,重合,读数.叠合两角时要注意:(1)重合(两角的顶点及一边重合);(2)同旁(另一边落在第一条边的同旁).追问:两个角的大小关系有几种?你能用图形和符号表示吗?【师生活动】学生画出图形,并用符号表示(如图所示),指出两个角的大小关系有且仅有三种情况.教师关注:学生运用度量法、叠合法比较角的大小操作的规范性;学生是否能体会两个角的大小关系有且仅有三种情况.[设计意图]用类比的方法,按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序,学生动手操作,自主探究.建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系,在对比中加深理解.指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样,有且仅有三种情况,为以后分类探究一些有关角的问题奠定基础.问题3如图所示,图中共有几个角?它们之间有什么关系?【师生活动】学生确定角的个数,明确角之间的和差关系.教师关注:学生是否能发现角的和差关系,若学生仅说出它们的大小关系,教师可引导学生进一步观察图形,类比线段的和与差,发现角的和差关系.学生完成上述问题后提问:你能用符号表示这些角之间的和差关系吗?教师关注:学生能否理解角的和与差的意义.[设计意图]以角的比较大小的图形为背景,提出角的和差问题,将知识由角的大小过渡到角的和与差,衔接自然流畅.同时针对同一图形变换审视角度提出问题,可以提高学生的读图能力.用符号表示角的和差关系,仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程,在图形与等式之间建立一种关系.从角的大小上研究角的和与差,突出反映角的和与差与度数的数量关系,加深对角的和与差概念的理解.二、角的运算问题4利用一副三角板,你能画出哪些度数的角?这些角有什么规律?【师生活动】学生动手操作,小组合作探究,师生归纳.师生归纳:一副三角板上的角都是常用的角,它们是30°,45°,60°,90°的角,利用这些角可以很方便地画出与这些角相关的一些特殊角,如15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°等.[设计意图]用一副三角板画出一些特殊角,除了让学生巩固角的和与差概念外,也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识,培养对角的大小的估计能力和动手操作能力,加深学生对角的认识.问题5类比线段的中点,在∠AOB中,射线OB有没有一种特殊位置?若有,此时各个角之间又存在怎样的关系?【师生活动】画出图形(如图所示),明确角的平分线的概念.提出问题:(1)你能用符号表示图(1)中角之间的关系吗?(2)类似角的平分线,还有角的三等分线(如图(2)所示),一个角的三等分线有几条?四等分线呢?[设计意图]从角的和差问题中,将射线OB的位置特殊化,并类比线段的中点,引出角的平分线的概念,体现了由一般到特殊,再由特殊到一般的探究方法,同时,也能建立知识间的联系,完善认知结构.[知识拓展]角的平分线是一条射线,不是线段,也不是直线,它必须满足下面的两个条件:(1)是从角的顶点引出的射线,且在角的内部;(2)把已知角分成了两个角,且这两个角相等.问题6你能得到一个角的平分线吗?【师生活动】画图展示交流,归纳方法(用量角器、折纸),教师结合学生的展示交流(或利用课件动画)演示折叠过程中的翻折过程.教师关注:学生操作是否规范.[设计意图]进一步明确角的平分线的概念,为后续学习轴对称图形和研究有关图形的翻折问题打下基础.问题7在一张纸上画出一个角并剪下,将这个角对折,使其两边重合.想想看,折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系?让学生多想一想,做一做,通过观察和思考,师生共同归纳总结.引出角的平分线的定义及其几何表达式,类似的还有角的三等分线、四等分线等.想一想,还有什么方法可以画出一个角的平分线呢?师生共同归纳角的平分线的作法:(1)折叠法;(2)度量法.角平分线的几何表示.如右图所示,OC是∠AOB的平分线,根据图形填空.(1)∠AOB=∠AOC=∠COB;(2)∠AOC=∠COB=∠AOB.〔答案〕(1)22(2)12(教材例1)如图所示O是直线AB上一点,∠AOC=53°17',求∠BOC的度数.〔解析〕AB是直线,∠AOB是什么角?它是多少度?∠BOC,∠AOC,∠AOB之间是什么关系?学生讨论以上两个问题,然后师生共同解决问题,解题过程中教师应当关注学生能否准确叙述求角的过程,同时关注学生的求值结果是否正确.解:见教材.教师注意规范书写过程.点评:观察图形,发现各角之间的关系是解决问题的关键.(教材例2)把一个周角7等分,每一份是多少度的角(精确到分)?解:见教材.点评:教师要注意方法过程,要详细地把计算过程讲解给学生,学生刚开始对60进制不太熟练,所以要注意放慢速度.1.比较角的大小有两种方法:(1)度量法:即用量角器量角的度数,角的度数越大,角越大.(2)叠合法:即将两个角叠合在一起比较,使两个角的顶点及一边重合,另一边落在第一条边的同旁.2.从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫这个角的平分线,类似的还有角的三等分线.角的平分线把角分成了两个相等的角,这两个角都等于原角的一半.3.角的度数也可以进行加减乘除计算,在计算时要明确度量单位是60进制,需要借位时借1作60,需要进位时,满60进1.四种运算中,加减乘除都是相同单位间各自进行,最后进位,除法要从高位除起,余数化作下一级单位继续除.1.已知OC是∠AOB的平分线,则下列结论中不正确的是()A.∠AOC=∠BOC∠AOBB.∠AOC=12C.∠AOB=2∠BOCD.∠AOB=∠BOC∠AOB,故A,B正确,所以解析:如图所示,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB=2∠BOC,故C正确,D错误.故选D.2.如图所示,在∠AOB的内部取一点C,在∠AOB的外部取一点D,作射线OC,OD.下列结论中错误的是()。

人教版数学七年级上册第四章第四章课题：角专题(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如如何利用角度知识设计图案等。 Nhomakorabea四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《角的专题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量角度或判断角的大小的情况？”（如用直尺和量角器量画图等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角的奥秘。
人教版数学七年级上册第四章第四章课题：角专题（教案)
一、教学内容
人教版数学七年级上册第四章《角的专题》：
1.角的定义及表示方法；
2.角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角；
3.周角与平角的关系；
4.角的度量：度、分、秒的换算；
5.两条直线相交形成的角：对顶角、邻补角；
6.角的加减运算及几何图形中角的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述角的特征、分类及度量，提升数学表达与交流能力；
2.培养学生通过观察、操作、推理等过程，发展空间观念和几何直观，提高解决实际问题的能力；
3.培养学生掌握角的换算方法，培养数感和符号意识，提高数据处理能力；
4.培养学生在解决角的加减运算及几何图形问题时，运用逻辑思维和抽象思维，发展数学建模和问题解决能力；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的分类和度量这两个重点。对于难点部分，如对顶角和邻补角的性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

人教版七年级数学上册热点：第4章：线与角

学生做题前请先回答以下问题问题1：请写出关于直线和线段的两个基本事实：①____________________________；②____________________________．问题2：（1）角可以分为______、______、______、______和______．（2）平角是_______度，周角是______度，直角是_______度，______________是锐角，_________________是钝角．问题3：度分秒的换算：1°=______′；1′=_______″．问题4：比较线段长短的方法和比较角大小的方法是：______________、______________．问题5：请用四种方式表示下面的角：_________________________．线与角（人教版）一、单选题(共14道，每道7分)1.下列说法正确的是( )A.直线AB和直线BA是两条直线B.射线AB和射线BA是两条射线C.线段AB和线段BA是两条线段D.直线AB和直线a不能是同一条直线答案：B解题思路：A：直线没有方向，所以直线AB和直线BA是同一条直线，A选项错误；B：射线有方向，射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，所以射线AB和射线BA是两条射线，B选项正确；C：线段无方向，所以线段AB和线段BA是同一条线段，C选项错误；D：直线AB和直线a可以是同一条直线的两种表示方式，D选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线2.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③平角是一条直线；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：角的定义：有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的，所以①错误，④正确；角的两边是射线，射线无法度量，所以角的度数与边长无关，所以②错误；根据角的定义，角要有顶点和边，直线没有端点，所以③错误．综上，正确的有1个．故选A．试题难度：三颗星知识点：角的定义与分类3.一条直线上有4个点，那么( )A.它有6条线段，4条射线B.它有6条线段，8条射线C.它有3条线段，8条射线D.它有4条线段，2条射线答案：B解题思路：根据题意，首先画图：直线上有4个点，以A为端点的线段有：AB、AC、AD共3条；以B为端点的线段有：BC、BD共2条；以C为端点的线段有：CD共1条；所以线段有3+2+1=6条线段；以每个点为端点的射线有2条，则共有8条射线．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线4.往返于郑州和某市之间的某高速客车，在途中共有两个停车点，那么该客车应该准备( )种车票．A.4B.6C.8D.12答案：D解题思路：根据题意，可以用点A表示郑州，用点D表示某市，点B，C表示途经的两个停车点，如下图：要求票的种类，首先要求出线段的条数，因为车票有往返两种，所以再乘2即可．由图可知，图中有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条线段，所以，该客车应该准备6×2=12种车票．故选D．试题难度：三颗星知识点：求线段的个数5.如图所示，由A到B有①、②、③、④四条路线，最短的线路选②的理由是( )A.因为它是直线B.两点确定一条直线C.两点间距离的定义D.两点之间，线段最短答案：D解题思路：因为A，B两点是确定的，由“两点之间，线段最短”，可知最短的线路为②．故选D．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短6.值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是( )A.两点确定一条直线B.两点之间，直线最短C.两点之间，线段最短D.以上说法都不对答案：A解题思路：把每一列最前和最后的课桌看作两个点，两点确定一条直线，那么沿着这条直线摆放课桌，课桌都在这一条直线上，就会整整齐齐的．故选A．试题难度：三颗星知识点：两点确定一条直线7.下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )A.①②B.①③C.②④D.③④答案：C解题思路：①③是利用“两点确定一条直线”，②④是利用“两点之间，线段最短”．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短8.下列选项正确的是( )A.延长直线ABB.反向延长射线AB到点C，使AC=aC.延长射线OAD.以上说法都不对答案：B解题思路：直线可以向两边无限延伸，射线可以向一个方向无限延伸，所以不能说延长直线或射线，但可以反向延长射线，故A，C选项错误，B选项正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线9.如图1，已知三点A，B，C，根据下列语言描述作出图2，下列选项中语言描述错误的是( )A.作射线CAB.作直线ABC.连接BCD.取线段BC的中点D，连接AD答案：A解题思路：射线只有一个端点，并且有方向，从图中可以看出是作射线AC，所以A选项错误．故选A．试题难度：三颗星知识点：几何作图10.下列图形中所标出的角可用∠O来表示的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：角的表示：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以只有B选项可用∠O来表示．故选B．试题难度：三颗星知识点：角的表示11.如图，下列说法中：①∠BAC，∠A，∠EAD表示同一个角；②∠DBC与∠CBD表示同一个角；③∠AED 与∠DEC表示同一个角；④∠AED也可表示为∠E．正确的说法有( )A.①②B.③④C.①②④D.①②③④答案：A解题思路：根据角的表示，结合图形，只有①②说法正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：角的表示12.如图，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是( )A.∠COD＞∠AOBB.∠AOB＞∠CODC.∠COD=∠AOBD.∠AOB与∠COD的大小关系无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角的比较13.下列等式成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：进行度、分、秒的换算，，则．选项A：所以A选项错误；选项B：所以B选项正确；选项C：所以C选项错误；选项D：所以D选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：度分秒的换算14.若，，，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：角的比较2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，两块直角三角板的直顶角O重合在一起，若∠BOC=15∠AOD，则∠BOC的度数为（）A．30° B. 45° C．54° D．60°2．如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）A．B．C．D．3．如图，点A在点O的北偏西60°的方向上，点B在点O的南偏东20°的方向上，那么∠AOB的大小为（）A．150°B．140°C．120°D．110°4．如图，钟面上的时间是8：30，再经过t分钟，时针、分针第一次重合，则t为（）A．756B．15011C．15013D．180115．已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x﹣1,则这个多项式是（）A．﹣5x﹣1 B．5x+1 C．﹣13x﹣1 D．13x+16．若一个代数式与代数式2ab2+3ab的和为ab2+4ab-2，那么，这个代数式是（）A．3ab2+7ab-2 B．-ab2+ab-2 C．ab2-ab+2 D．ab2+ab-27．下列选项中，不是同类项的是( )A ．－1和0B ．－x 2y 和3yx 2C ．－2xy 2和2x 2yzD ．－m 2和6m 28．甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班人数x ，可列方程（）A ．54+x=2（48﹣x ）B ．48+x=2（54﹣x ）C ．54﹣x=2×48 D．48+x=2×549．已知x 的方程2x+k=5的解为正整数，则k 所能取的正整数值为（）A ．1B ．1或3C ．3D ．2或310．五个有理数中有三个是负数，则这五个数的积为（）A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数11．2017的绝对值是（）A.2017B.2017-C.12017D.12017- 12．以下选项中比|﹣12|小的数是（） A.1B.2C.12D.-12二、填空题 13．如图，已知∠MOQ 是直角，∠QON 是锐角，OR 平分∠QON ，OP 平分∠MON ，则∠POR 的度数为_____．14．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+3y 的值为____．15．数学兴趣小组原有男生和女生相同，如果增加 6 名女生，那么女生是全组人数的23，求这个数学兴趣小组原有多少人？设数学兴趣小组原有 x 人，可得方程_______________ .16．某商品进价100元，提价30%后再打九折卖出，则可获利______元．17．计算：()()35---=______；()225323a a b b ---=______． 18．写出3x 3y 2的一个同类项_____．19．24-+=______．20．小明家的冰箱冷冻室的温度为﹣5℃，调高4℃后的温度是_____℃．三、解答题21．已知：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，EO ⊥CD 于O ．（1）若∠AOC=36°，求∠BOE 的度数；（2）若∠BOD ：∠BOC=1：5，求∠AOE 的度数；（3）在（2）的条件下，请你过点O 画直线MN ⊥AB ，并在直线MN 上取一点F （点F 与O 不重合），然后直接写出∠EOF 的度数．22．某市出租车收费标准是：起步价为8元，3千米后每千米为2元，若某人乘坐了(3)x x >千米． ()1用含x 的代数式表示他应支付的车费．()2行驶30千米，应付车费多少钱？()3若他支付了36元，你能算出他乘坐的路程吗？23．某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中得48分，那么这个班胜了多少场？24．理解计算：如图①，∠AOB=90°，∠AOC 为∠AOB 外的一个角，且∠AOC=30°，射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ．求∠MON 的度数；拓展探究：如图②，∠AOB=α，∠AOC=β．（α，β为锐角），射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ．求∠MON 的度数；迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，如图③线段AB=m ，延长线段AB 到C ，使得BC=n ，点M ，N 分别为AC ，BC 的中点，则MN 的长为_____（直接写出结果）．25．先化简，再求值：()()()2331a a a +-+-，其中12a =． 26．计算：（1）()()()332122-⨯-+-÷（2）201813121234⎛⎫-+-+-⨯ ⎪⎝⎭（3）先化简，再求值：221131a 2a b a b 4323⎛⎫⎛⎫--+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中3a 2=，1b 2=-． 27．计算：（﹣13+56﹣38）×（﹣24）． 28．计算：（1）()2114--6031215⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭（2）()()()32201713--2-2-2-1184⨯÷⨯⨯+【参考答案】***一、选择题1．A2．A3．B4．B5．A6．A7．C8．A9．B10．D11．A12．D二、填空题13．45°14．15． SKIPIF 1 < 0解析：26(6)23xx +=+16．1717．SKIPIF 1 < 0解析：223a b +18．x3y219．220．-1三、解答题21．（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF 的度数为30°或150°．22．()1支付车费22(x +元)；(2)他应该支付62元；(3) 他乘坐的里程是17千米．23．10场24．理解计算：45MON ∠=︒；拓展探究：2MON α∠=；迁移应用：2m . 25．102a -，926．() 12-；()24-；（3）54-．27．－328．（1）-1；（2）-14 .2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．下列几何体是棱锥的是( )A. B. C.D.2．如图所示，两个直角∠AOB，∠COD有公共顶点O，下列结论：(1)∠AOC＝∠BOD；(2)∠AOC＋∠BOD＝90°；(3)若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；(4)∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.43．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A．B．C分别填上适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A．B．C的三个数依次为（）A.1，﹣2，0B.0，﹣2，1C.﹣2，0，1D.﹣2，1，04．一艘轮船航行在A、B两地之间，已知该船在静水中每小时航行12千米，轮船顺水航行需用6小时，逆水航行需用10小时，则水流速度和A、B两地间的距离分别为（）A．2千米/小时，50千米B．3千米/小时，30千米C．3千米/小时，90千米D．5千米/小时，100千米5．如图，两个面积分别为35，23的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为a，b(n>6)，则a-b的值为（）A.6B.8C.9D.12 6．下列代数式中：1x ，2x y +，213a b ，x y π-，54y x ，0，整式有（）个 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个7．下列等式变形正确的是( )A.如果s ＝12ab ，那么b ＝2s aB.如果12x ＝6，那么x ＝3 C.如果x －3＝y －3，那么x －y ＝0D.如果mx ＝my ，那么x ＝y 8．﹣2的绝对值是（）A.2B.﹣2C.±2D.﹣|2|9．若x 1=时，3ax bx 7++式子的值为2033，则当x 1=-时，式子3ax bx 7++的值为( )A ．2018B ．2019C ．2019-D ．2018-10．下列算式中，结果正确的是（）A ．（﹣3）2=6B ．﹣|﹣3|=3C ．﹣32=9D ．﹣（﹣3）2=﹣911．12的相反数是（） A.﹣2 B.﹣12 C.12 D.212．将方程去分母，得（）A.B.C.D.二、填空题 13．如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共有个角；画3条射线，图中共有个角；求画n 条射线所得的角的个数 .14．上午9点钟的时候，时针和分针成直角，则下一次时针和分针成直角的时间是_____．15．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是___元.16．若x=1是关于x 的方程2x+3m-5=0的解，则m 的值为______．17．如图是王明家的楼梯示意图，其水平距离(即AB 的长度)为(2a ＋b)米，一只蚂蚁从A 点沿着楼梯爬到C 点，共爬了(3a －b)米，则王明家楼梯的竖直高度(即BC 的长度)为________米．18．如图,用相同的小正方形按照某种规律进行摆放.根据图中小正方形的排列规律，猜想第n 个图中小正方形的个数为___________(用含n 的式子表示)19．－4的倒数是________,相反数是_______.绝对值是_________.20．a 的相反数是，则a 的倒数是___________。

部编数学七年级上册第04章重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算(解析版)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第04章重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算考点体系考点1：与线段有关的计数问题典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题：(1)试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条.通过以上分析和总结，图1共有___________条直线.（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_____________条直线；图3共有_____________条直线；(3)探索归纳：如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n 的式子表示)(4)解决问题：中职篮（CBA ）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？【答案】（1）2 2 2 3 （2）6 10 （3）(1)2n n - （4）190 【解析】（1）2；2；2；3；（2）6；10；（3）()12n n -（4）当n=20时，()12n n -=20201)1902´-=（（场）.故一共进行了190场比赛.方法或规律点拨本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．巩固练习1．（2019·河南许昌·）观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1+1+2+3+4）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有个交点，平面被分成块；（2）n 条直线两两相交，有个交点，平面被分成块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到块饼．【答案】（1）10，16；（2）12n (n ﹣1)；1+12n (n +1)；（3）56【解析】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16；（2）2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2＝3个交点；4条直线相交有1+2+3＝6个交点；5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+(n ﹣1)＝12n (n ﹣1)；平面被分成1+1+2+3+4+…+(n +1)＝1+12n (n +1)；故答案为：12n (n ﹣1)；1+12n (n +1)；（3）当n ＝10时，()()11111101015622++=+´´+=n n （块），故答案为：562．（2019·全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？n 条直线呢？【答案】10个交点；()12n n -个.【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2＝3个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3＝6个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4＝10个交点；第n 条直线和前n−1条直线都相交，增加了n−1个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝()12n n -个交点．3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题．(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；(2)n 条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．【答案】(1)10,16;(2)()12n n -,[1＋()12n n +]【解析】如图，（1）任意画2条直线，它们最多有1个交点；（2）任意画3条直线，它们最多有3个交点；（3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点；（4）5条直线最多有10个交点；n 条直线最多有12n （n-1）个交点．一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n 条时比原来多了n 部分．因为n=1，a 1=1+1，n=2，a 2=a 1+2，n=3，a 3=a 2+3，n=4，a 4=a 3+4，…n=n ，a n =a n -1+n ，以上式子相加整理得，a n=1+1+2+3+…+n=1+()12n n+．当n=5时，1+()12n n+=16．4．（2019·全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价需要准备多少种车票?【答案】设定6种，准备12种车票.【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.【答案】（1）6；（2）(1)2m m-；（3）28【解析】解：(1)∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；(2)()1.2m m-理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)，∴2x =m +m +…+m,(m −1)个m ,(1)2m m x -\=； (3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行()881282´-=场比赛.考点2：线段作图与计算的综合题典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP 和点B ，C ，请用尺规按下列要求作图：（1）连接AB ，并在射线AP 上截取AD ＝AB ；（2）连接BC 、BD ，并延长BC 到E ，使BE ＝BD ．（3）在（2）的基础上，取BE 中点F ，若BD ＝6，BC ＝4，求CF 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF 的值为1【解析】解：如图所示，（1）连接AB ，并在射线AP 上截取AD ＝AB ；（2）连接BC 、BD ，并延长BC 到E ，使BE ＝BD ．（3）在（2）的基础上，∵BE ＝BD ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE ﹣BC ＝2∵F 是BE 的中点，∴BF ＝12BE ＝162´＝3∴CF ＝BC ﹣BF ＝4﹣3＝1．答：CF 的值为1．方法或规律点拨本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．巩固练习1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段AB 的长为2.8cm ．（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点C 在线段BA 的延长线上，且CA AB =；（2）在上题中，如果在线段BC 上有一点M ，且线段AM 、BM 长度之比为1:3，求线段CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）3.5cm 或1.4xcm【解析】（1）反向延长BA ，以点A 为圆心，AB 为半径作圆交BA 的延长线于点C ，则线段AC 即为所求;（2）当M 在线段AB 上时，∵ 2.8cm AB =,:1:3AM BM =，∴0.7cm AM =.∵CA AB =，∴ 3.5cm CM CA AM =+=．当M 在线段CA 上时，∵ 2.8cm AB =，:1:3AM BM =，∴ 1.4cm AM =.∵CA AB =，∴ 1.4cm CM CA AM =-=．2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a 和线段AB ，（1）延长线段AB 到C ，使BC ＝a （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB ＝5，BC ＝3，点O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长．【答案】（1）见解析；（2） OB 长为1．【解析】解：（1）如图：延长线段AB ，在AB 的延长线上截取BC ＝a ．（2）∵AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝8，∵点O 是线段AC 的中点，∴AO ＝CO ＝4，∴BO ＝AB ﹣AO ＝5﹣4＝1，∴OB 长为1．3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB .（1）根据下列语句顺次画图.① 延长线段AB 至C ，使BC=3AB ，② 画出线段AC 的中点D .（2）请回答：① 图中有几条线段；② 写出图中所有相等的线段.【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2）① 6；② ,AB BD AD CD ==.【解析】解：(1)画出图形，如图所示.(2)①图中的线段有：AB 、BD 、DC 、AD 、BC 、AC ，共6条；②相等的线段有：AB=BD ，AD=CD.故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD ，AD=CD.4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a 和射线OA ，射线OA 上有点B ．（1）用圆规和直尺在射线OA 上作线段CD ，使点B 为CD 的中点，点C 在点B 的左边，且BC =a ．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若OB =12cm ，OC =5cm ，求线段OD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）19cm【解析】解：（1）如图所示：以B 为圆心，a 的长为半径画弧，交OA 于C 、D 两点（2）∵OB =12cm ，OC = 5cm ，∴ BC = OB -OC =12-5 =7cm ，∵ B 为CD 的中点，∴ BC =BD = 7cm ，∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm ．5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A 、B 、C 、D ．（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：①画直线AB ．②画射线DC ．③延长线段DA 至点E ，使AE AB =．(保留作图痕迹)④画一点P ，使点P 既在直线AB 上，又在线段CE 上．（2）在（1）中所画图形中，若2AB =cm ，1AD =cm ，点F 为线段DE 的中点，求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）0.5cm ．【解析】解：（1）如图，该图为所求，(2)∵AB=2cm ，AB=AE ，∴AE=2cm ，AD=1cm ，∵点F 为DE 的中点，∴EF=12DE=32cm ，∴AF=AE-EF=2-32=12cm ；∴AF=0.5cm.6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，其中AB BC ^，且12BC AB =．（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）①作射线CA ；②在线段AC 上截取CD CB =；③在线段AB 上截取AE AD =．恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点E 就称为线段AB 的“黄金分割点”．（2）阅读下面材料，并完成相关问题；黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，E 为线段AB 上一点，如果0.618AE AB =，那么点E 为线段AB 的黄金分割点．已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台MN 上的两个黄金分割点P 和Q 处，如图，则这两位主持人之间的距离PQ 约为_________米．【答案】（1）见解析；（2）7.08【解析】解：（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；（2）∵点Q是MN的黄金分割点，∴MQ≈0.618MN＝18.54，∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，∵点P是MN的黄金分割点，∴NP≈0.618MN＝18.54，∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08（米），故答案为：7.08．7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），并填空．（1）作线段AB，使得AB＝a＋b；（2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由是．【答案】（1）图见解析；（2）＞；两点之间线段最短．【解析】（1）如图所示：（2）由题意，得AC＋BC＞AB理由是两点之间线段最短.考点3：动点有关的线段问题典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM 上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝（填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB的值．【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）13MNAB=或1．【解析】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝13AB＝4，故答案为：4；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN ﹣AM ＝MN∴BN ＝AM ＝4∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4∴13MN AB =；②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图2，∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣BN ＝AB∴MN ＝AB ＝12∴1MN AB=；综上所述13MN AB =或1故答案为13MN AB =或1．方法或规律点拨本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．巩固练习1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点O 为原点，点A 对应的数为9，点B 对应的数为b ，点C 在点B 右侧，长度为2个单位的线段BC 在数轴上移动．（1）当线段BC 在O 、A 两点之间移动到某一位置时恰好满足AC OB =，求此时b 的值．（2）当线段BC 在射线AO 上沿AO 方向移动到某一位置时恰好满足12AC OB AB -=，求此时b 的值．【答案】（1）b=3.5；（2）53b =或—5【解析】解：（1）线段AC 可以表示为()92b -+，根据AC=OB ，列式()92b b -+=，解得 3.5b =；（2）当B 在O 点右侧（或O 点）时，19(2)(9)2b b b -+-=-，解得53b = ，当B 在O 点左侧时，()192()(9)2b b b -+--=-，解得5b =- ，∴b 的值为53b =或5-．2．（2021·重庆开学考试）如图，P 是线段AB 上任意一点，12AB cm =，,C D 两点分别从点,P B 开始，同时向点A 运动，且点C 的运动速度为2/cm s ，点D 的运动速度为3/cm s ，运动时间为ts ．（1）若8AP cm =．①求运动1s 后，CD 的长；②当点D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =．（2）如果2,1t CD cm ==，试探索AP 的长．【答案】（1）①3cm ；②见解析；（2）9或11【解析】解：（1）①由题可知：212,313CP cm DB cm=´==´=8,12AP cm AB cm==Q 4PB AB AP cm\=-=2433CD CP PB DB cm\=+-=+-=②8,12AP AB ==Q 4,82BP AC t\==-43DP t\=-2434CD DP CP t t t\=+=+-=-2AC CD\=（2）当2t =时，224,326CP cm DB cm=´==´=当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm=7CB CD DB cm\=+=5AC AB CB cm\=-=9AP AC CP cm\=+=当点D 在C 的左边时，如图所示：6AD AB DB cm\=-=11AP AD CD CP cm\=++=综上所述，9AP =或113．（2020·全国初一课时练习）已知A ，B 两点在数轴上表示的数为a 和b ，M ，N 均为数轴上的点，且OA OB <．（1）若A ，B 的位置如图所示，试化简：a b a b a b -+++-∣∣；（2）如图，若8.9a b +=，3MN =，求图中以A ，N ，O ，M ，B 这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和；（3）如图，M 为AB 中点，N 为OA 中点，且215MN AB =-，3a =-，若点P 为数轴上一点，且23PA AB =，试求点P 所对应的数．【答案】（1）b-a ；（2）41.6；（3）9-或3．【解析】（1）由已知得0a <，0b >．∵OA OB <，∴||||a b <，∴0a b +>，0a b -<，∴a b a b a b a b a b b a b a -+++-=--+++-=-；（2）∵8.9a b +=，∴8.9AB =，又∵3MN =，∴AN AO AM AB NO NM NB OM OB MB+++++++++()()()()AN NB AO OB AM MB AB NO OM NM=+++++++++AB AB AB AB NM NM=+++++42AB NM=+48.923=´+´41.6=；（3）∵3a =-，∴3OA =．∵M 为AB 的中点，N 为OA 的中点，∴12AM AB =，12AN OA =，∴11132222MN AM AN AB OA AB =-=-=-．又∵215MN AB =-，所以1321522AB AB -=-，解得9AB =，∴263PA AB ==．当点P 在点A 的左边时，点P 在原点的左边，9OP =，故点P 所对应的数为9-；当点P 在点A 的右边时，点P 在原点的右边，3OP =，故点P 所对应的数为3．综上，点P 所对应的数为9-或3．4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C 在线段AB 上，AC ＝6 cm ，且BC ＝4 cm ，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；(2)在(1)题中，如果AC ＝a cm ，BC ＝b cm ，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律；(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，点C 在直线AB 上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求MN 的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．【答案】(1)5 cm;(2)MN ＝+2a b cm.MN 的长度为线段AC ，BC 长度和的二分之一．(3)有变化．当AB 在点C同侧时，MN ＝1 cm.【解析】解：(1)∵AC =6cm ，BC =4cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，11()10522MN AC CB cm \=+=´=； (2)2a b MN +=，直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；(3)如图，有变化，会出现两种情况：①当点C 在线段AB 上时,1()52MN AC BC cm =+=； ②当点C 在AB 或BA 的延长线上时,1()1.2MN AC BC cm =-= 5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P 是线段AB 上一点，AB =12cm ，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm/s 、2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上），运动的时间为t .（1）当t =1时，PD =2AC ，请求出AP 的长；（2）当t =2时，PD =2AC ，请求出AP 的长；（3）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD =2AC ，请求出AP 的长；（4）在（3）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ ﹣BQ =PQ ，求PQ 的长.【答案】（1）4cm ；（2）4cm ；（3）4cm ；（4）4cm 或12cm【解析】解：(1) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以111PC =´=(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以212BD =´=(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(2) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以122PC =´=(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以224BD =´=(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(3) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以PC t =(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以2BD t =(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.(i) 点Q 在线段AB 上(如图①).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故13PQ AB AP BQ AB =--=.因为AB =12cm ，所以1112433PQ AB ==´=(cm).(ii) 点Q 不在线段AB 上，则点Q 在线段AB 的延长线上(如图②).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故1433AQ AB BQ AB AB AB =+=+=.因为AB =12cm ，所以411233PQ AQ AP AB AB AB =-=-==(cm).综上所述，PQ 的长为4cm 或12cm.6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB 、a 、b ．（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①延长线段AB 到C ，使BC ＝a ；②反向延长线段AB 到D ，使AD ＝b ．（2）在（1）的条件下，如果AB ＝8cm ，a ＝6m ，b ＝10cm ，且点E 为CD 的中点，求线段AE 的长度．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AE ＝2cm ．【解析】（1）①如图所示，线段BC 即为所求，②如图所示，线段AD 即为所求；（2）∵AB ＝8cm ，a ＝6m ，b ＝10cm ，∴CD ＝8+6+10＝24cm ，∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝12DC ＝12cm ，∴AE ＝DE ﹣AD ＝12﹣10＝2cm ．7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点,A B ，它们的对应数分别是,a b ，其中12a =（1）在B 左侧作线段BC AB =，在B 的右侧作线段3BD AB =（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若点C 对应的数是c ，点D 对应的数是d ，且40AB =，求,c d 的值（3）在（2）的条件下，设点M 是BD 的中点，N 是数轴上一点，且4CN DN =，请直接写出MN 的长【答案】（1）见解析；（2）c=-68；d=92；（3）28或3403【解析】（1）解：如图，线段,BC BD 为所求的线段（2）因为40,,3AB BC AB AD AB===80,80AC AD \==12,128068,128092a c d =\=-=-=+=Q ；（3）分情况讨论：①点N 在线段CD 上，由（2）得CD ＝92−（−68）＝160，点B 对应的数为12−40＝−28，∴BD ＝92−（−28）＝120，∵点M 是BD 的中点，∴点M 对应的数为92−60＝32，∵CN ＝4DN ，∴DN ＝15CD ＝32，∴点N 对应的数为92−32=60，∴MN ＝60−32＝28；②点N 在线段CD 的延长线上，∵CN ＝4DN ，∴DN ＝13CD ＝1603，∴点N 对应的数为92＋1603＝4363，∴MN ＝4363−32＝3403．故MN 的长为28或3403．8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从点P 、B 出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AB 向左运动（点C 在线段AP 上，点D 在线段BP 上）．（1）若点C 、D 运动到任一时刻时，总有2PD AC =，请说明点P 在线段AB 上的位置；（2）在（1）的条件下，点Q 是直线AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求PQ AB 的值；（3）在（1）的条件下，若点C 、D 运动5秒后，恰好有12CD AB =，此时点C 停止运动，点D 继续运动（点D 在线段PB 上），点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM PN -的值不变；②MN AB 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P 在线段AB 的13处；（2）13或1；（3）结论②MN AB 的值不变正确，112MN AB =.【解析】解：（1）设运动时间为t 秒，则2,PD PB t PC AP t =-=-，由2PD AC =得22()PB t AP t -=-，即2PB AP=AP PB AB +=Q ，2AP AP AB \+=，3AP AB \=，即13AP AB =所以点P 在线段AB 的13处；（2）①如图，当点Q 在线段AB 上时，由AQ BQ PQ -=可知AQ PQ BQ =+，AQ AP PQ =+Q13PQ AP AB \== 13PQ AB \=②如图，当点Q 在线段AB 的延长线上时，AQ BQ AB -=Q ，AQ BQ PQ-=AB PQ \=1PQ AB\=综合上述，PQ AB 的值为13或1；（3）②MN AB的值不变. 由点C 、D 运动5秒可得5,5210CP BD ==´=，如图，当点M 、N 在点P 同侧时，点C 停止运动时，12CD AB =，Q 点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，11,22CM CD PN PD \==14CM AB \= 154PM CM CP AB \=-=- 2103PD PB BD AB =-=-Q 121(10)5233PN AB AB \=-=- 112MN PN PM AB \=-= 当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以111212AB MN AB AB ==；如图，当点M 、N 在点P 异侧时，点C 停止运动时，12CD AB =，Q 点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，11,22CM CD PN PD \== 14CM AB \= 154PM CP CM AB \=-=- 2103PD PB BD AB =-=-Q 121(10)5233PN AB AB \=-=- 112MN PN PM AB \=+= 当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以111212AB MN AB AB ==；所以②MN AB 的值不变正确，112MN AB =.考点4：静态图形中的角度计算与证明典例：（2020·江西东湖·期末）若a Ð的度数是b Ð的度数的k 倍，则规定a Ð是b Ð的k 倍角.（1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为；（2）如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB 的所有3倍角；（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数.【答案】（1）106°25'；（2）∠AOD，∠BOE；（3）120°.°´=°=°；【解析】解：（1）2117'510585'10625'°.故答案为：10625'（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE；（3）设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.∴∠BOC=4x，∵∠AOC和∠BOD互为补角，∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，即5x+7x=180°，解得：x=15°.∴∠AOD=8x=120°.方法或规律点拨此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．巩固练习1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知69AOD Ð=°，OC 平分BOD Ð，()8COD x Ð=+°，()32AOB x Ð=-°，求COD Ð、AOB Ð的度数．【答案】19°，31°【解析】解：由题意得：Q OC 平分BOD Ð，()8COD x Ð=+°，\()=228BOD COD x ÐÐ=+°，又Q ()32AOB x Ð=-°，\()()283269x x +°+-°=°，解得11x =，∴()11819COD Ð=+°=°，()311231AOB Ð=´-°=°．2．（2020·岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知∠AOB 的内部有一条射线OC ，OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ．（1）若∠AOB ＝120°，∠BOC ＝40°，求∠MON 的度数．（2）若取掉（1）中的条件∠BOC ＝40°，只保留∠AOB ＝120°，求∠MON 的度数．（3）若将∠AOB 内部的射线OC 旋转到∠AOB 的外部，如图2，∠AOB ＝120°，求∠MON 的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON 与∠AOB 的数量关系．【答案】（1）∠MON ＝60°；（2）∠MON ＝60°；（3）12MON AOB Ð=Ð．【解析】解：（1）∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝11804022AOCÐ=´°=°，11402022NOC BOCÐ=Ð=´°=°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝12AOCÐ，12NOC BOCÐ=Ð，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝1122AOC BOCÐ+Ð＝12AOBÐ＝11202´°＝60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝12∠AOC﹣12∠BOC＝12（∠AOC﹣∠BOC）＝12AOBÐ＝12×120°＝60°，综上可知12MON AOB Ð=Ð．3．（2020·甘肃肃州·初一期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB 的度数．【答案】120°【解析】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．∴x＝40°∴∠AOB＝120°．4．（2019·山西浑源·初一期末）已知∠COD＝90°，且∠COD的顶点O恰好在直线AB上．（1）如图1，若∠COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题：①当∠BOD＝20°时，∠AOC的度数为°；②当∠BOD＝55°时，∠AOC的度数为°；③若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为；（2）如图2，若∠COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题：①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC的度数为；②如图3，当OB恰好平分∠COD时，∠AOC的度数为°；③图2中，若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为．【答案】（1）①70；②35；③90°－α；（2）①118°30′；②135；③90°＋α【解析】解：（1）①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=20°，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-20°=70°．②∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=55°，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-55°=35°．③∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=α，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-α=90°-α．（2）①∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=28°30′，∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-28°30′=61°30′，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-61°30′=118°30′．②∵∠COD=90°，OB平分∠COD∴∠BOC=12∠COD=45°，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．③∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=α，∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-α，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-(90°-α)=90°+α．5．（2020·全国初一课时练习）如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．【答案】（1）见解析；（2）72°【解析】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．6．（2020·湖北广水·初一期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；【答案】（1）射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∠AOM＝45°；【解析】解：（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝22.5°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．7．（2020·全国初一课时练习）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【答案】（1）45°；（2）∠MON=12α．（3）∠MON=12α【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=75°，∠NOC=12∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MON=12α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°，∠NOC=12∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（12α+30°）﹣30°=12α．（3）如图3，∠MON=12α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=12（α+β），∠NOC=12∠BOC=12β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣12β=α+12β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=12（α+β）﹣12β=12α即∠MON=12α．8．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当∠AOC＝a时，∠MON等于多少度？【答案】（21）45°；（2）45°【解析】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，∴∠COM=12∠BOC=12×140°=70°，∠CON=12∠AOC=12×50°=25°，∴∠MON=∠COM-∠CON=70°－25°=45°；（2）当∠AOC=a时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+a，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，∴∠COM=12∠BOC=12（90°+a），∠CON=12∠AOC=12a，∴∠MON=∠COM－∠CON=12（90°+a）－12a=45°.9．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．【答案】（1）①115°；②答案见解析；（2）∠AOD ＝50°【解析】解：（1）①∵OD 平分∠AOC ，∠AOC =130°，∴∠AOD =∠DOC =12∠AOC =12×130°=65°，∴∠BOD =180°－∠AOD =180°－65°=115°；②∵∠DOE =90°，又∠DOC =65°，∴∠COE =∠DOE －∠DOC =90°－65°=25°，∵∠BOD =115°，∠DOE =90°，∴∠BOE =∠BOD －∠DOE =115°－90°=25°，∴∠COE =∠BOE ，即OE 平分∠BOC ；（2）若∠BOE ：∠AOE =2：7，设∠BOE =2x ，则∠AOE =7x ，又∠BOE ＋∠AOE =180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，∵∠DOE =90°，∴∠AOD ＝90°－40°=50°.10．（2020·辽宁庄河·期末）如图1，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点O 处，90BOA Ð=o ，60COD Ð=o ，OC 与OB 重合，在OD 外AOB Ð，射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线（1）求MON Ð的度数；（2）如图2，若保持三角尺AOB 不动，三角尺COD 绕点逆时针旋转(060)n n <<o o 时，其他条件不变，求MON Ð的度数（提示：旋转角BOC n Ð=o ）（3）在旋转的过程中，当120AOC BOD Ð+Ð=o 时，直接写出BOC Ð的值．【答案】（1）75o ；（2）75º；（3）15°．【解析】（1）∵90BOA Ð=o ，60COD Ð=o ，射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线，∴∠COM=12∠AOC=45º，∠BON=12∠BOD=30º，∴∠MON=∠COM+∠BON=75º；（2）∵90BOA Ð=°，60COD Ð=o ，BOC n Ð=o ，∴∠AOC=90º-nº，∠BOD=60º-nº，∵射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线，∴∠COM=12∠AOC=12(90º-nº)= 45º-12nº，∠BON=12∠BOD=12(60º-nº)=30º-12nº，∴∠MON=∠COM+∠BON+∠BOC=45º-12nº+30º-12nº+ nº=75º；（3）由叠合可得2BOC AOC AOB COD BOD +Ð=Ð+ÐÐ+Ð=150 º，∴BOC Ð=12(150 º-120 º)=15 º.11．（2019·四川雁江·初一期末）如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使110BOC Ð=°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处（30OMN Ð=°），一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在BOC Ð的内部，且恰好平分BOC Ð，求BON Ð的度数；（2）将图1中的三角板绕点O 以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角AOC Ð，求t 的值；将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图3，使一边ON 在AOC Ð的内部，请探究AOM NOC Ð-Ð的值．【答案】（1）35°；（2）11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．【解析】解：（1）如图2中，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC=∠MOB ，又∵∠BOC=110°，∴∠MOB=55°，∵∠MON=90°，∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；（2）（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC=110°∴∠AOC=70°，当当ON 的反向延长线平分∠AOC 时，∠AOD=∠COD=35°，∴∠BON=35°，∠BOM=55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t=55°解得t=11；②如图3，当射线ON 平分∠AOC 时，∠NOA=35°，∴∠AOM=55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，由题意得，5t=235°，解得t=47，综上所述，t=11s 或47s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ；故答案为：11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，∴∠AOM=90°-∠AON ，∠NOC=70°-∠AON ，∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON ）-（70°-∠AON ）=20°，∴∠AOM 与∠NOC 的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．12．（2020·山西浑源·初一期末）综合与探究：问题情境：如图，已知∠AOB ＝90°，射线OC 在∠AOB 的外部且0°＜∠BOC ＜180°．OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．特例探究：（1）如图1，①当∠BOC ＝40°时，∠MON 的度数为°；②当∠BOC ＜90°时，求∠MON 的度数；猜想拓广：（2）若∠AOB ＝α（0＜α＜90°），①当∠AOB ＋∠BOC ＜180°时，则∠MON 的度数是 °；（用含α的代数式表示）②当∠AOB ＋∠BOC ＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON 的度数．（用含α的代数式表示）【答案】（1）①45；②45°；（2）①12a ②画图见解析；11802a °-°．【解析】（1）①90,40,AOB BOC Ð=°Ð=°Q9040130,AOC \Ð=°+°=°。

人教版七年级数学上册作业课件第四章几何图形初步专题训练(九) 角的计算中的数学思想及动点问题

7．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC. (1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数； (2)在(1)的条件下，∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1∶4两部分，求∠DOG的度数.
解：(1)因为∠COD 是直角，∠AOC＝30°，所以∠BOD＝180°－90°－30°＝60 °，所以∠BOC＝90°＋60°＝150°，因为 OE 平分∠BOC，
8．如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板 AOB(∠OAB＝30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到如图②所示的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC 与∠BOE之间有何数量关系？请说明理由；
(∠AOD ＋
∠DOB)＝12 ∠AOB＝12 ×110°＝55°
5 ．如图， OB ， OC 是 ∠ AOD 内部的两条射线， OM 平分 ∠ AOB ， ON 平分 ∠COD，∠MON＝80°.
(1)若∠BOC＝40°，求∠AOD的度数； (2)若∠AOD＝x°，求∠BOC的度数．(用含x的式子表示) 解：(1)因为∠MON－∠BOC＝∠BOM＋∠CON，∠BOC＝40°，∠MON＝ 80°，所以∠BOM＋∠CON＝80°－40°＝40°，因为OM平分∠AOB，ON平分 ∠COD，所以∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON，所以∠AOM＋∠DON＝40°，所以∠AOD＝∠MON＋∠AOM＋∠DON＝80°＋40°＝120° (2) 因为 ∠ AOD ＝ x° ， ∠ MON ＝ 80° ，所以 ∠ AOM ＋ ∠ DON ＝ ∠ AOD － ∠MON＝(x－80)°，因为∠BOM＋∠CON＝∠AOM＋∠DON＝(x－80)°，所以 ∠BOC＝∠MON－(∠BOM＋∠CON)＝80°－(x－80)°＝(160－x)°

七上数学第四章知识点总结人教版

七上数学第四章知识点总结人教版摘要：一、前言二、人教版七上数学第四章的知识点概述1.几何图形初步2.点、线、面的关系3.直线、射线、线段4.角的概念及分类5.角的度量6.三角形的性质和分类7.三角形的内角和定理8.四边形的性质和分类9.平行四边形的性质10.梯形的性质11.面积的计算三、重要公式和定理四、实际应用与例题解析五、总结与展望正文：一、前言人教版七上数学第四章主要涉及几何图形的初步知识，这对于培养学生空间观念和几何直观能力具有重要意义。

本章内容较为基础，但也为后续的几何学习打下良好基础。

二、人教版七上数学第四章的知识点概述1.几何图形初步：本章从最基本的点、线、面开始，让学生了解它们之间的关系，为后续的几何学习打下基础。

2.点、线、面的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

学生需要理解并掌握这一基本关系。

3.直线、射线、线段：直线是无限延伸的，射线有一个起点，线段有两个端点。

理解它们的定义和性质有助于更好地理解几何图形。

4.角的概念及分类：角是由两条射线共同确定的图形，有锐角、直角、钝角等分类。

学生需要学会识别和分类各种角。

5.角的度量：角的大小可以用度数或弧度表示，学生需要熟练掌握角的度量方法。

6.三角形的性质和分类：三角形由三条边和三个顶点组成，根据边长和角度的不同，可以分为不等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。

7.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180 度。

8.四边形的性质和分类：四边形由四条边和四个顶点组成，根据边长和角度的不同，可以分为矩形、平行四边形、菱形、梯形等。

9.平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等。

10.梯形的性质：梯形有一对平行的边，另一对不平行的边。

11.面积的计算：本章介绍了三角形、平行四边形、梯形等图形的面积计算公式。

三、重要公式和定理1.三角形的面积公式：S = 1/2 * a * h，其中a 为底边长，h 为高。

2.平行四边形的面积公式：S = a * h，其中a 为底边长，h 为高。

七年级数学第四章知识点人教版

七年级数学第四章知识点人教版数学是一门理科学科，也是许多学生头疼的学科。

尤其是在七年级，数学的难度更是让许多学生望而生畏。

而七年级的数学第四章是许多学生学习数学的一个重要的节点。

接下来，我们将深入剖析数学第四章的知识点，帮助你轻松掌握这个难点。

一. 角和角的分类在数学第四章，我们将首先学习角和角的分类。

一个角实际上是由两条直线共同组成的，而直线的交点被称为角的顶点。

根据角的大小，我们将其分为三类：锐角、直角、钝角。

锐角的度数小于90°，直角的度数等于90°，钝角的度数大于90°。

理解角和角的分类是我们正确理解数学第四章的基础。

二. 角的比较学习角的比较是数学第四章的重点之一。

我们可以使用直角三角形和同角三角形来比较不同角之间的大小关系。

在直角三角形中，直角边的边长最长，而其他两条边的边长则可以通过勾股定理来求解；在同角三角形中，两个角度数相等的三角形的边长比例是相等的。

深入理解角度和角度比较可以帮助我们更好的理解三角函数及其应用。

三. 三角形的分类三角形是一个有三条边的多边形。

在数学第四章，我们将学习三角形的分类。

三角形的分类是通过其三个内角来划分的。

根据内角的大小，我们将三角形分为两类：锐角三角形和钝角三角形。

锐角三角形的内角的度数都小于90°，钝角三角形的内角的度数则至少有一个是大于90°。

四. 三角形的相似学习三角形的相似是数学第四章的重点之一。

当两个三角形的三个内角中，对应角度数相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。

相似三角形的各边长的比值是相等的。

了解三角形的相似和相似三角形的性质可以帮助我们更好的理解几何图形的构成和测量，是我们正确理解数学第四章的一个必备知识点。

五. 直线、角、三角形中的一些特殊点以及其性质在数学第四章，我们还需学习一些特殊点和性质。

比如，三角形中的垂心、重心、外心、内心等点，以及这些点所具有的性质。

此外，我们还需要学习弧、弦、切线、圆心角和圆内接切线等概念以及其性质。

人教版七年级数学上册热点专题高分特训：第4章：中点及角平分线

学生做题前请先回答以下问题问题1：线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________．问题2：从一个角的顶点引出一条_________，把这个角分成两个_________的角，这条射线叫做这个角的平分线．问题3：如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是__________________________________________________________________．（1）若已知AC=3，求BC，则用哪一种表示方法：_____________．（2）若已知AC=3，求AB，则用哪一种表示方法：_____________．（3）若已知AB=6，求AC，则用哪一种表示方法：_____________．问题4：如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是_______________________________________________________________．（1）若已知∠BOC=35°，求∠AOB，则用哪一种表示方法：_____________．（2）若已知∠BOC=35°，求∠AOC，则用哪一种表示方法：_____________．（3）若已知∠AOB=70°，求∠BOC，则用哪一种表示方法：_____________．中点及角平分线（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列关于中点的说法，正确的是( )A.如果MA=MB，那么点M是线段AB的中点B.如果MA=AB，那么点M是线段AB的中点C.如果AB=2AM，那么点M是线段AB的中点D.如果点M是线段AB上一点，并且MA=MB，那么点M是线段AB的中点答案：D解题思路：A，B，C选项均未强调点A，B，M位于同一直线上．故选D．试题难度：三颗星知识点：中点的定义与表示2.点P在∠AOB内部，下面四个等式：①∠POA=∠BOP；②∠AOP=∠AOB；③∠AOP=∠BOP；④∠AOB=2∠BOP，其中能表示OP是∠AOB的平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：由角平分线的6种表示可知，正确的有：①②④．故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线的定义及表示3.如图所示，长度为12cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长度为( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：求线段的长4.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是( )。

第4章重点突破专题角的计算-2022-2023学年七年级上册初一数学(人教版)

第4章重点突破专题角的计算-2022-2023学年七年级上册初一数学（人教版）一、角的基本概念回顾在初一数学中，我们学习了角的基本概念。

角是由两条射线共用一个端点而形成的图形。

其中，我们对角的度量单位进行了学习，通常使用度（°）作为角的单位。

角可以根据其大小进行分类。

根据角的大小可分为直角、锐角和钝角。

直角是90°的角，锐角是小于90°的角，钝角是大于90°但小于180°的角。

我们可以通过角的度数来判断角的类型。

二、角的计量方法在初一数学中，我们学习了角的计量方法。

角的度数可以通过几何工具（如量角器）或数学方法进行测量和计算。

1. 用量角器测量角的度数在使用量角器测量角的度数时，我们需要将量角器的顶点对准角的顶点，并将起始边对准角的一条边。

然后，读出量角器上与另一条边对齐的刻度值，即可得到角的度数。

2. 角度的计算在角度的计算中，我们需要掌握以下几个基本的计算公式和性质：•锐角和钝角互补：两个角的度数和为90°，称为互补角。

•直角角度的计算：直角为90°，表示为90°。

•二分角的计算：已知角A的度数为x°，则它的二分角度数为x/2°。

•角的和与差的计算：两个角A和B的度数和为x，差为y，则可以得到以下公式：–A + B = x–A - B = y–根据这两个公式，我们可以解方程计算出A和B的度数。

三、角的计算方法及应用在学习了角的基本概念和计量方法后，我们还需要学习角的计算方法及其在实际问题中的应用。

1. 用角的计算方法解决实际问题角的计算方法可以应用于解决各种实际问题，如测量角度、计算角度的和与差等。

例如，当我们需要测量某个杆子在地面上的投影长度时，可以利用角的计算方法计算出杆子与地面的夹角，然后利用三角函数关系计算出投影长度。

2. 角的计算在几何图形中的应用角的计算在几何图形中有广泛的应用。

例如，在计算三角形的内角和时，可以利用角的计算方法求出各个角的度数，以确定三角形的形状和特征。

2021-2022学年人教版七年级上册数学第四章线段射线直线高频考点汇总

A．12 条
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．10 条
C．8 条
D．3 条
6．（2021·绵阳市七年级课时练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：
（1）在同一平面内，两条直线相交最多有 1 个交点，3 条直线相交最多有______个交点，4 条直线相交最
多有______个交点，……，像这样，8 条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点：
（）
A．6
B．5
C．4
D．3
3．（2021·安徽包河区·七年级期末）若四条直线在平面内交点的个数为 a ，则 a 的可能取值有（）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
4．（2021·贵州德江县·七年级期末）如图中的直线表示方法中，正确的是（
）．
A．①
B．②
C．③
D．④
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5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果在一条至少有两颗棋子的直线（包括图中没有画出的直线）上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．图中“同棋共线”的线共有（）
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图 3 所示，点 A 在直线 m 上，也可以说：直线 m 经过点 A．（2）点在直线外，如图 4，点 B 在直线 n 外，也可以说：直线 n 不经过点 B．
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1．（2021·广西宜州区·）同一平面上 A 、 B 两点间的距离是指（）

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