中考数学复习_中点_专题
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
九年级中考数学中点问题教学教案4篇
九年级中考数学中点问题教学教案4篇九年级中考数学中点问题教案1二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式.3、培养学生合情推理能力。
教学过程一、复习提问1、什么叫做二次根式?下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式?2、二次根式有哪些性质?计算下列各题：()2二、提出问题，导入新知1、试一试计算： (1) _=( )=( )=( )=( )(2) _=( )=( )=( )=( )提问：观察以上计算结果，你能发现什么?2、思考_与是否相等?提问：(1)你将用什么方法计算?(2)通过计算，你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样?3、概括让学生观察以上计算结果、归纳得出结论：_=(a≥0，b≥0)注意，a，b必须都是非负数，上式才能成立。
三、举例应用例1、计算。
__说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简、如(2)结果不要写成，而应化简成4。
等式_=(a≥0，b≥0)，也可以写成=_(a≥0，b≥0)利用它可以进行二次根式的化简，例如：=_==a2例2、化简说明：(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简;(2)在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出方来。
四、课堂练习1、计算下列各式，将所得结果化简：_ _2、P12页练习1(1)、(2)、2五、想一想1、__与是否相等?a、b、c有什么限制?请举一个例子加以说明。
2、等于__吗?3、化简：六、小结这节课我们学习了以下知识：1、二次根式的乘法运算法则，即_= (a≥0，b≥0)2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即=_ (a≥0，b ≥0)……)要特别注意，以上(1)、(2)中，a、b必须都是非负数，如果a、b中出现了负数，等式就不成立、想一想，=_成立吗?为什么?3、应用(1)、(2)进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质=a(a≥ 0)，加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识七、作业习题22.2第2、(1)，(2)题，第3、(1)、(2)题、第4题九年级中考数学中点问题教案2圆经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念.重点经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念.难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义.活动1创设情境，引出课题1.多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体.2.提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象?活动2动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆.教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗?画的圆的位置和大小分别由什么决定?九年级中考数学中点问题教案3配方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.重难点关键1.重点：运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.2.难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1.填空(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+___ __=(x+____)2.问题1：根据完全平方公式可得：(1)16 4;(2)4 2;(3)()2 .问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程于一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?二、探索新知上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x 换元为2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根为t1=1，t2=--2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：(2)由已知，得：(x+3)2=2直接开平方，得：x+3=±即x+3=，x+3=-所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习教材练习.四、应用拓展例3.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是(1+x)，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是(1+x)2.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31把(1+x)当成一个数，配方得：(1+x+)2=2.56，即(x+)2=2.56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)，那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)，那么mx+n=±，达到降次转化之目的.若p0则方程无解六、布置作业1.教材复习巩固1、2.九年级中考数学中点问题教案4配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.重点讲清直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=±或mx+n=±(p≥0).如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少?(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1用配方法解下列关于x的方程：(1)x2-8x+1=0(2)x2-2x-21=0三、巩固练习教材第9页练习1，2.(1)(2).四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、作业教材第17页复习巩固2，3.(1)(2).。
2021届中考数学精品冲刺复习“中点”之六大模型
跟踪训练 5．如图，在△ABC 中，AB＝12，AC＝8，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的 取值范围是_2_＜__A_D_＜__1_0_______．
6．如图，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，AF＝EF，求证：AC＝BE． 证明：延长 AD 至点 G，使 AD＝DG，连接 CG，BG． ∵AD 是中线，∴BD＝CD，∴四边形 ABGC 是平行四边形， ∴∠FAG＝∠BGE，AC＝BG． 又∵AF＝EF，∴∠FAG＝∠AEF＝∠BEG， ∴∠BEG＝∠BGE． ∴BE＝BG，∴AC＝BE．
AC＝8，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延 7
长线于点 E，则 CE 的长为____3____． 【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD
＝5，易证△ABC∽△EBD，则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，
从而求得 CE 的长．
跟踪训练 4．如图，在△ABC 中，AB＝AC．∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直 平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为___2_____cm．
数，再由 G 为 EF 中点，易得∠EOD＝∠DOF．
跟踪训练 7．★如图，⊙O 中，AB 是直径，AB＝10，BC＝8，E 是BC 的中点，连接 AE 交 BC 于点 D，则 AD＝__3__5____．
四边形 EGDF 为平行四边形，则 DF＝GE．再根据中位线定理可求得 在边长为 8 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， EF⊥AC 于点 F，G 为 EF 的中点，连接 DG，则 DG 的长为___1_9____．
中考数学复习几何模型专题讲解4---中点模型(解析版)
中考数学复习几何模型专题讲解专题4 4 中点模型中点模型名师点睛中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。
A B C D E A B C DEFE D C B A典题探究例题1. 如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．求证：MQ ＝QN ．【解答】证明：连接BG 和CE 交于O ，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG，∵BG＝CE，∴QN＝MQ．变式练习>>>>变式练习1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；。
通用版2022年九年级数学中考复习专题：与中点有关的辅助线做法
A F
E
BPD
C
九年级中考数学复习
2、如图等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，求证：PA2=AB2-PB×PC。 A
BP
C
九年级中考数学复习
3、如图，钝角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M,N分别是线段BC， DE的中点。求证：MN⊥DE。
ND EA
B
M
C
九年级中考数学复习
A
A
A
A
B
D
C
E
B
D
C
B
E
DCBDC NhomakorabeaF
E
要点诠释：有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需再证一次 全三角形，即：“二次全等”。
类型三：构造中位线
已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可 以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构成相 似三角形。如图1，任意三角形ABC两边的中点D、E连接后，可得DE∥BC，DE=1BC
E
A
F
B
D
C
九年级中考数学复习
7、如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB=CD，F是AD的中点，M为BC的中点， 连接MF并延长BA的延长线于点E
E j AG FD
B
M
C
九年级中考数学复习
8、如图在四边形ABCD
形面积的四分之一。
3、连接任意四边形四边的中点得到平行四边形，连接矩形四边的中点得到的是菱形
，连接菱形四边的中点得到的是矩形，连接正方形四边的中点得到的是正方形。
九年级中考数学复习
【例题精讲】
类型一：构造中线
2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 遇到中点如何添加辅助线 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 遇到中点如何添加辅助线 知识精练1. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝4，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，则DF 的长为________．第1题图2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 的长为________．第2题图3.如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是AB 上一点，且BE ＝2AE ，连接CE 交AD 于点F ，若CF ＝3，则EF 的长为________．第3题图4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为△ABC 的中线，点E 为AD 的中点，点F 为BE 的中点，连接DF .若DF ⊥BE ，则tan ∠DBE 的值为________．第4题图5. 如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，F 为BC 的中点，连接EF ，若∠B ＝70°，则∠BFE 的度数为________．第5题图6. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AD ＝2BA ＝6，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN .若△CMN 的面积为32，则△AMN 的面积为________．第6题图7. 如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是CD 边上一点，连接EF 交BD 于点G ，若DF ＝2，CF ＝4，DG ＝3，则BG 的长为________．第7题图8. 如图，已知△ABC 和△CEF 是等腰直角三角形，其中∠ABC ＝∠CEF ＝90°，且E 是中线AD 的中点，连接BF ，若AB ＝4，则线段BF 的长度为________．第8题图9. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 上一点，连接DE ，CE ，且EC 平分∠DEB ，点F 为CE 的中点，连接AF ，BF .求证：AF ⊥BF .第9题图参考答案与解析1. 2 【解析】如解图，连接EF ，AE .∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点，∴BE ＝EC ，AF ＝CF ，∴EF ∥AB ，EF ＝12 AB .∵AD ＝12 AB ，∴AD ＝EF ，∴四边形ADFE 是平行四边形，∴DF ＝AE ，∵∠BAC ＝90°，∴AE ＝12BC ＝2，∴DF ＝AE ＝2.第1题解图2.125【解析】如解图，连接AM ，∵AB ＝AC ，点M 为BC 的中点，∴AM ⊥CM (三线合一)，BM ＝CM .∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，在Rt △ABM 中，AB ＝5，BM ＝3，∴根据勾股定理得AM ＝AB 2－BM 2 ＝52－32 ＝4.∵S △AMC ＝12 MN ·AC ＝12 AM ·CM ，∴MN ＝AM ·CM AC ＝4×35 ＝125.第2题解图一题多解3. 1 【解析】解法一：如解图①，过点D 作DG ∥AB 交CE 于点G ，则∠EAF ＝∠GDF .∵AD 是△ABC 的中线，∴点D 是BC 的中点，∴DG 是△BCE 的中位线，∴BE ＝2DG ，CG ＝EG .∵BE ＝2AE ，∴AE ＝DG .∵∠AFE ＝∠DFG ，∴△AEF ≌△DGF ，∴EF ＝GF ，∴EF ＝13 CF ＝13 ×3＝1.解法二：如解图②，过点D 作DH ∥CE 交AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的中线，∴DH 是△BCE 的中位线，∴DH ＝12 CE ，BH ＝EH .∵BE ＝2AE ，∴AE ＝EH ，∴EF 是△ADH 的中位线，∴EF＝12 DH ，∴EF ＝14 CE ，∴EF ＝13 CF ＝13×3＝1.图①图② 第3题解图4.33【解析】如解图，连接CE ，设CD ＝a ，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD ＝BD ＝a .∵点F 为BE 的中点，∴EF ＝BF .∵DF ⊥BE ，∴BD ＝ED ＝a .∵E 为AD 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝ED ＝CD ＝a ，∴△CED 为等边三角形，即∠CDE ＝60°.又∵BD ＝ED ，∴∠DEF ＝∠DBF ＝12 ∠CDE ＝30°，∴tan ∠DBE ＝33.第4题解图5. 165° 【解析】 如解图，延长EF 交AB 的延长线于点M ，连接AF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠C ＝∠MBF .∵F 为BC 的中点，∴BF ＝CF .在△BFM 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MBF ＝∠C ，BF ＝CF ，∠BFM ＝∠CFE ， ∴△BFM ≌△CFE (ASA)，∴MF ＝EF ，∠CEF ＝∠M .∵AE ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAB ＝90°.∵MF ＝EF ，∴AF ＝EF ＝MF ，∴∠M ＝∠MAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠ABC ＝70°，∠BCD ＝110°.∵BC ＝2AB ，∴AB ＝BF ，∴∠MAF ＝(180°－70°)÷2＝55°，∴∠M ＝55°，∴∠CEF ＝55°，∴∠CFE ＝180°－110°－55°＝15°，∴∠BFE ＝180°－15°＝165°.第5题解图6. 6 【解析】如解图，连接AC ，BD .∵M ，N 分别是BC ，CD 的中点，∴MN ＝12 BD ，MN ∥BD ，S △ACN ＝S △DAN ，S △ABM ＝S △AMC ，S △CMN ＝14 ·S △DBC .∵S △CMN ＝32 ，∴S △DBC ＝6.∵∠BAD ＝90°，AD ＝2BA ＝6，∴S △ABD ＝12AD ·AB ＝9，∴S四边形ABCD ＝S △BCD ＋S △ABD ＝15，∴S △ACN ＋S △ACM＝12 S 四边形ABCD ＝152，∴S △AMN ＝S △ACN ＋S △ACM －S △CMN ＝6.第6题解图7. 12 【解析】如解图，延长FE 交BA 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠H ＝∠DFE ，∠HAE ＝∠FDE .∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴△AEH ≌△DEF ，∴AH ＝DF ＝2，∴BH ＝AB ＋AH ＝CD ＋AH ＝4＋2＋2＝8.又∵AB ∥CD ，∴△BGH ∽△DGF ，∴BG DG ＝BH DF ，即BG 3 ＝82，解得BG ＝12.第7题解图8. 2 【解析】如解图，过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G ，连接BG ，∵点E 是AD 的中点，∴点G 是AC 的中点．∵△ABC 和△CEF 是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∴AB ＝BC ，CE ＝EF ，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，CB ＝2 CG ，CF ＝2 CE ，∴∠GCE ＝∠BCF ，CG CB ＝CE CF ＝22 ，∴△GCE ∽△BCF ，∴GE BF ＝22 .∵BC ＝AB ＝4，AD 是中线，∴BD ＝CD ＝2.∵点E ，G 分别是AD ，AC 的中点，∴EG 是△ADC 的中位线，∴GE ＝12 CD ＝1，∴BF ＝2 .第8题解图9. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠CEB . ∵EC 平分∠DEB ， ∴∠DEC ＝∠CEB ， ∴∠DCE ＝∠DEC ， ∴DE ＝DC . 如解图，连接DF ，∵DE ＝DC ，F 为CE 的中点， ∴DF ⊥EC ，∴∠DFC ＝90°.在矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝CF ＝EF ＝12 EC ，∴∠ABF ＝∠CEB . ∵∠DCE ＝∠CEB ， ∴∠ABF ＝∠DCF . 在△ABF 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CF ，∠ABF ＝∠DCF ，AB ＝DC ，∴△ABF ≌△DCF (SAS)， ∴∠AFB ＝∠DFC ＝90°， ∴AF ⊥BF .第9题解图。
中考数学 一轮复习 第4单元 小专题3中点问题的六种方法 课件(可编辑图片版、共18张PPT)
3．如图，在△ABC 中，∠B＝50°，CD⊥AB 于点 D，∠BCD 和∠BDC 的角 平分线相交于点 E，F 为边 AC 的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝( C )
A.125° B.145° C.175° D.190°
4．如图，△ABC 中，AB＝AC＝4，以 AC 为斜边作 Rt△ADC，使∠ADC ＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E，F 分别是 BC，AC 的中点，则 ED＝
A.10
B.5
C.4
D.3
6．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD. 若 BD＝1，BC＝3，则 AC 的长为( A )
A.5
B.4
C.3
D.2
方法四 中线等分三角形的面积
AD 是△ ABC 的中线，则 S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC，即△ ABD 与△ ACD 是等 底等高的两个三角形．
方法六 遇到三角形一边上的中点，倍长中线，构造全等三角形
如形， 证明线段间的数量关系，该方法经常会与中位线定理一起综合应用．
12．如图，已知 AB＝12，AB⊥BC，垂足为点 B，AB⊥AD，垂足为点 A， AD＝5，BC＝10，点 E 是 CD 的中点，求 AE 的长．
解：延长 AE 交 BC 于点 F. ∵点 E 是 CD 的中点，∴DE＝CE. ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠BCE.
∠ADE＝∠FCE，
在△AED 和△FEC 中，DE＝CE， ∠AED＝∠FEC，
A. 13
B.5 2 2
C.
41 2
D.4
方法二 遇到直角三角形斜边的中点，构造斜边中线
直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜 边的一半，即 CD＝AD＝BD＝21AB”来证明线段间的数量关系，且可以得到两 个等腰三角形：△ ACD，△BCD，该方法经常会与中位线定理一起综合应用．
中考数学复习几何问题 专题02 中点四大模型
专题02 中点四大模型模型1：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移． 模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．②图B课堂巩固提升1．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2，求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2)．24A模型2：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．模型实例例题1 如图，在△AB C 中，AB ＝A C ＝5，B C ＝6，M 为B C 的中点，MN ⊥A C 于点N ，求MN 长度．NMC BA课堂巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图CEFCC模型3：已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题． 模型实例例题2 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDBA巩固提升1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =（AB +BC +AC ）； （2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.12ED CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO FE DC BAE图2G ABCDF模型4：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例例题3 如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .DCBA12M FEDCBA巩固提升1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 .问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MFE DC B A图2A BCDE FM图3ABCDEF M课后练习1．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（ ）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<163．在△ABC 中，AC ＝6，中线AD ＝5，则边AB 的取值范围是（ ）A ．1＜AB ＜11 B ．4＜AB ＜13C ．4＜AB ＜16D ．11＜AB ＜164．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x 的取值范围是_____．6．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．7．在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________． 8．在平行四边形中，为边的中点，且交射线于点，若，则的长度为________9．已知：在中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：．ABC ∆AD BC 7,5AB AC ==AD ABCD E CD EAF DAE AF ∠=∠，BC F 133AF CF ==，BFABC BCE CAM ≌10．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．（1）试说明：①AE=CF；②CG=GD；（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．。
专题——中点的妙用(初三数学)
方法专题:中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。
善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。
同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．65B ．95C ．125 D ．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠A=90°,AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上。
且AN=为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D CB A →→→→滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ）A. 2B. 4－πBC 第8题图QFMC.πD.1π-三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中图2-1FEDMNCB A位线定理）如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，60ACD ∠=︒，点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证：△SPQ 是等边三角形。
2023年中考数学总复习—几何模型02—中点—中线—中垂线—中线定理附解析
中线定理下面的那个点）图1一半，面积是原三角形面积的四分之一。
①连接任意四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形。
②连接矩形四边的中点得到的四边形是菱形。
③连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形。
④连接正方形四边的中点得到的四边形是正方形。
以上四边形各中点的连线所得到的四边形的形状其证明的方法是大家学习过程当中的重点与难点，在证明过程当中要明白。
不管是三角形还是四边形在实际的应用过程当中，问题转化为三角形内中位线的实际应用，所以在题目条件当中出现边的中点时，我们优先考虑利用三角形中位线来做辅助线。
具体做辅助线的方法归纳为以下三个方面：已知三角形两边的中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知三角形一边的中点，可以在另一边上取中点，连接两中点构造中位线；已知三角形一边的中点，过中点作其他两边任意一边的平行线可构造相似三角形。
中点四边形是什么样的形状取决于四边形对角线之间的关系，有ABCD ABCD AC BD ABCD AC BD AC BD ABCD AC BD ìÞïïïï=Þïïï^Þíïï禳ï^镲ï镲Þï睚ï镲=ï镲铪ïî四边形中点四边形是平行四边形四边形对角线中点四边形是菱形四边形对角线中点四边形是矩形四边形对角线中点四边形是正方形梯形中位线—1.定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。
其逆定理正确与否与上相仿。
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
三角形垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
中考数学第一轮总复习微专题与中点有关的问题、与角平分线有关的问题课件全文
结论：PB=PA,Rt△AOP≌Rt△BOP.
微专题 与角平分线有关的问题
方法应用 1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7， DE=2，AB=4，则AC的长为___3____. 2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若 CD=1，则AC的长为___2_+_1__.
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP交OM于点A. 方法4 遇三角形一边上的垂线过这条边的中点时，可考虑用垂直平分线的性质
如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，BD＝12，则EF的长 结论：CD= AB. 方法1 遇中点找中点，构造三角形中位线 方法3 作角平分线的垂线构造等腰三角形 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________. 反之，已知OQ=PQ，OC是∠AOB的平分线，可得PQ∥OB. 方法1 遇中点找中点，构造三角形中位线 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________. DC，则∠BAC的度数为________. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为________. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED垂直BC. 反之，已知OE=OD，OC是∠AOB的平分线，可得DE∥OC. 结论：OD=OE,△ODE为等腰三角形； 结论：△AOB为等腰三角形，OP是△AOB的高线、中线，Rt△AOP≌Rt△BOP. 如图，P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM于点A.
如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，BD＝12，则EF的长
中考数学二轮复习专题关于中点的联想2倍长中线及中位线
1.6 关于中点的联想（二）三、倍长中线法思考1：如图，△ABC中，AD为中线，延长AD至点E，使得DE=DA，连接CE，BE，你能得到哪些结论？例1如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是________。
（限时训练第4题）思考2：如图，△ABC中，D为中点，E为AB上一点，延长DE至点F使得DFDE ，连接CF，你能得到哪些结论？例2 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE.（限时训练第5题）四、构造中位线思考3：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，你能得到哪些结论？思考4：如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC交AC与E，你能得到哪些结论？例3如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是________（限时训练第3题）【变式练习1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分．【拓展提升】如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，M,N分别是AD，BC的中点，AB=4，DC=2，则MN的长不可能是( )A. 3B. 2.5C. 2D. 1.51.6 关于中点的联想（二）限时训练1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°2.如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为( )A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它是矩形3.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC 的长是________4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是________。
专题1.2平分---中点问题的常见模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
【分析】本题中,点E已经是AB的中点,由CD平分∠ACB,
AD⊥CD,想到可以构造等腰三角形,利用三线合一,使点D
成为另一个中点,从而让ED变成“看得见”的中位线.
解：延长AD交BC于F.
∵CD平分∠ACB,AD⊥CD
∴∠ACD=∠FCD,∠ADC=∠FDC=90º,
8
的中点,若BD=16,则EF的长为____．
9.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD,AE分别是其角平分线和中线,点C作
1
CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为____.
C
A
D
N
B
M
F
E
C
A
D
A
G
B
B
F
E D
C
强化训练
中点问题的常见模型
提升能力
11.如图,在△ABC中,若∠B=2∠C,AD⊥BC,E为BC边中点,求证：AB=2DE.
∵AB=AC,AD=AC. ∴AB=AD. ∴∠ADB=∠ABD=20º.
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50º.
D
A
1 2
N
4
3
M
C
针对训练
垂直平分线模型
知识点二
2.如图,已知AB=24,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,AD=10,BC=20.若点E是CD
13
的中点,则AE的长是_____.
∴BF=CF=EF=0.5EC
∴∠ABF=∠CEB.
G F
M
B
E
A
∵∠DCE=∠CEB, ∴∠ABF=∠DCF.
通用版2022年九年级中考数学专题复习：中点坐标在函数中的应用
A(2，-3),B(-1，0),M(m,m2-2m﹣3),N(1,n)
N
MM
N
M
A
B
A
B
xA+xM=xB+xN yA+yM=yB+yN
A
B
xA+xN=xB+xM yA+yN=yB+yM
N
xA+xB=xM+xN yA+yB=yM+yN
课程小结
中点坐标公式(已知两端点，求中点) 在平面直角坐标系中，已知A为（x1, y1）、B为（x2，y2）， 则AB的中点P的坐标为 中点坐标公式逆用(已知一端点和中点，求另一端点) 在平面直角坐标系中，已知A为（x1, y1）、 AB的P中点的 坐标为（xP, yP）,则B为 （2xP- x1 ，2yP- y1 ）
课后作业
m3 m2
已知在平面直角坐标系中，A为反比例函数 y x (x>0,m>1)图象上的一点，A点的横坐标为m，B为(0,-m),
连接AB，AC⊥AB交y轴于点C，延长CA至点D使AC=AD,过
点A作AE∥x轴，过点D作DE⊥AE于点E。
(1)用含m的式子表示点A的坐标 (2)DE= ;设点D为(x,y),求y关于x的
坐标为（xP, yP）,则B为 （2xP- x1 ，2yP- y1 ）
角度 2 中点坐标在中心对称（旋转）中的应用
知识 （1）点C（1,-4）关于原点对称得到的C′坐标为（-1,4）。 预备 （2）点C（1,-4）关于点(2,0)对称得到的C′坐标
为（3,4）。 （3）点C（1,-4）关于点(m,n)对称得到的C′ 坐标为（2m-1,2n+4） 。
角度 2 中点坐标在中心对称（旋转）中的应用
中考数学专题复习《三角形和四边形中的中点问题》课件
A
解：如图，延长BM交AC于点E，
∵AM为∠BAC的平分线,BM⊥AM, ∴∠BAM=∠EAM，∠AMB=∠AME=90°.
E
M
又∵AM=AM，
B
D
C
∴△ABM≌△AEM(ASA).
∵D为△ABC中BC边的中点，
∴BM=ME，AB=AE=12. ∴CE=AC-AE=18-12=6.
∴DM是△BCE的中位线.
练一练
4.如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC,并延长DC交AF于点E,
过点B作BF//DE，与AE的延长线交于点F，若BF长为 x ,AB长为 y ，
EC=2.求 y关于 x 的函数表达式.并说明理由.
F
解：y关于x的函数表达式为y=x-4.
理由如下：
∵D为AB的中点，BF//DE,
1.如图，在等腰三角形ABC中，点D 是底边BC的中点，若连接AD.
2.已知Rt△ABC中，∠C＝90°， D为AB的中点．
结论：AD⊥BC；∠BAD＝∠CAD.
结论：CD＝AD ＝BD ＝ 1 AB. 2
练一练
5. 如图，已知D为△ABC中BC边的中点，AB=12，AC=18，BM⊥AM
于点M.连接DM，若AM为∠BAC的平分线，求MD的长.
三角形和四边形中的中点问题
练一练
1.如图，在矩形ABCD中，BD＝12，E，F分别是AB，BC的中点，则 EF的长为 6 ．
【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，N是BC边上一
点，M为AB边上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值
是（ D ）
A.2.5
C D
N
B.12
中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.中点四边形的定义：将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。
2.中点四边形的判定：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。
②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。
（菱形的中点四边形是矩形）③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。
（矩形的中点四边形是菱形）④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
（正方形的中点四边形是正方形）练习题1、（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等D．互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，∴AC⊥BD，AC＝BD，故选：D．2、（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．【解答】解：A．如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故B选项错误；C．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；D．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故D选项错误．故选：C．。
中考数学基本模型—中点模型,初三数学专题复习总结倍长中线练习题
中考数学基本模型——中点模型线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用线相交.即“延长中线交平行”此时，易证△BEF≌△CED模型三如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就一定会得到全等三角形，进而得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE又∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD,又∵AD=2CD∴AD=DF,又因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE至点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE ≌△FCE得到AB//CF,利用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到结论.对于第二种方法，同学们可以自己尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满足平行线间夹中点，所以可将DG延长与BF相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正方形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF又∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直角三角形，又∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正方形绕点C旋转任意角度，在旋转的过程中，上述结论还成立吗？试试看。
中考数学专题训练 专题一 几何题型(中点M型)
专题一中点M型基本条件：①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点基本结论：①△EMF∽△EBM∽△MCF.②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.③EM2＝EB·EF，FM2＝FC·EF.常见特例：特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。
特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。
特例三：条件：①AB＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。
特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。
特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。
巩固练习：1.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，若AD＝2，BC＝4，∠CED＝90°，则CD长为。
2.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，若AE＝2，EF＝1，AF＝5，则正方形的边长为。
3.已知：等边△ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。
DN交AC于点F，当∠DAN＝90°时，则FN的长为。
4.如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.（1）求直线EF的解析式；（2）将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。
特例一特例二特例三特例四特例五巩固1巩固21.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)当00＜α＜900，（如图1），求证：AE＋2BF＝AB；(2)当900＜α＜1800，（如图2），则AE、BF、AB之间的数量关系；(3)在（1）的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时（如图3），求BF的值。
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题01 线段双中点模型(原卷版)
专题01线段双中点模型一、基础知识回顾1）线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点。
2）线段中点的性质：线段的中点平分这条线段。
已知点C 是线段AB 的中点，则AC=BC=AB (单中点模型)二、线段双中点模型的概述：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离。
模型一：两线段无公共部分（作和）已知点B 是线段AC 上任意一点，点M 、N 分别为线段AB 、BC 的中点，则MN=AC证明：∵点M、N 为线段AB、BC 的中点∴MB =AB，BN =BC则MN=MB+BN=12AB+12BC=+ =12퐴 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半模型二：两线段有公共部分（作差）1）已知点B 在线段AC 的延长线上，点M 、N 分别为线段AB 、BC 的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N 为线段AB、BC 的中点∴MB =AB，BN =BC 则MN=MB-NB=AB-BC=12− =12퐴 2）已知点B 在线段CA 的延长线上，点M 、N 分别为线段AB 、BC 的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N 为线段AB、BC 的中点∴MB =AB，BN =BC 则MN=NB-MB=BC-AB=12−퐴 =12퐴 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半图解：速记口诀：一半一半又一半【基础过关练】1．（2022·四川省内江市开学考试）如图，点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，设AC BC a ，则MN 的长度是（）A ．2aB ．aC ．12aD ．14a 2．C 为线段AB 上任意一点，,D E 分别是,AC CB 的中点，若10cm AB ，则DE 的长是（）．A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm3．已知线段AC 和BC 在同一直线上，AC ＝8cm ，BC ＝3cm ，则线段AC 的中点和BC 中点之间的距离是（）A ．5.5cmB ．2.5cmC ．4cmD ．5.5cm 或2.5cm 4．如图所示，点P 是AB 的中点，点Q 是BC 的中点.（1）6AB cm ，4BC cm ，则PQ=_________cm ；（2）6AB cm ，2QC cm ，则AC=_________cm ；（3）6AB cm ，2BQ cm ，则AQ=_________cm.5．（2020·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）线段AB 上有点C ，点C 使AC ：CB ＝2：3，点M 和点N 分别是线段AC 和线段CB 的中点，若MN ＝4，则AB 的长是_____．6．如图，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点．（1）如果8cm AC =，6cm BC =，求MN 的长．（2）如果5cm AM ，2cm CN ，求线段AB 的长．7．如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【提高测试】1．点A ，B ，C 在同一条直线上，6cm AB ，2cm BC ，M 为AB 中点，N 为BC 中点，则MN 的长度为（）A ．2cmB ．4cmC ．2cm 或4cmD ．不能确定2．(易错)（2022·四川绵阳·七年级期末）已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cmD ．5cm 3．如图，在数轴上有A ，B 两点（点B 在点A 的右边），点C 是数轴上不与A ，B 两点重合的一个动点，点M 、N 分别是线段AC ，BC 的中点，如果点A 表示数a ，点B 表示数b ，求线段MN 的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（）甲说：若点C 在线段AB 上运动时，线段MN 的长度为1()2b a ；乙说：若点C 在射线AB 上运动时，线段MN 的长度为1()2a b ；丙说：若点C 在射线BA 上运动时，线段MN 的长度为1()2a b ．A ．只有甲正确B ．只有乙正确C ．只有丙正确D ．三人均不正确4．如图，已知A 、B 、C 三点在同一直线上，24AB cm ，38BC AB，E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，则DE 的长______．5．如图，C ，D 为线段AB 上的两点，M ，N 分别是线段AC ，BD 的中点．（1）如果CD =5cm ，MN =8cm ，求AB 的长；（2）如果AB =a ，MN =b ，求CD 的长．6．课间休息时小明拿着两根木棒玩，小华看到后要小明给他玩，小明说：“较短木棒AB 长40cm ，较长木棒CD 长60cm ，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E 和点F ，则点E 和点F 间的距离是多少？你说对了我就给你玩”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E 和F 间的距离是多少？7．如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．（1）求线段MN 的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a ，其他条件不变，求MN 的长度；（3）动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以2cm/s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm/s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C 、P 、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？8．（1）如图，已知点C 在线段AB 上，线段AC ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求MN 的长度；（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC ＋BC ＝a ，其它条件不变，请猜想出MN 的长度吗？并说明理由；（3）对于（1）题，如果将“点C 在线段AB 上”改为“点C 在射线AB 上”，其它条件不变，求MN 的长度．9．如图，点C 在线段AB 上，10cm AC ，8cm BC ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点.(1)求线段MN 的长.(2)若点C 为线段AB 上任意一点，满足cm AC BC a ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由.(3)若点C 在线段AB 的延长线上，且满足cm AC BC b ，点M ，N 分别为AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由.10．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ，点,M N 分别是AC BC ，的中点．1求线段MN 的长;2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a ，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由; 3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N 分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．11．已知：如图，一条直线上依次有A 、B 、C 三点．（1）若BC ＝60，AC ＝3AB ，求AB 的长；（2）若点D 是射线CB 上一点，点M 为BD 的中点，点N 为CD 的中点，求BC MN的值；（3）当点P 在线段BC 的延长线上运动时，点E 是AP 中点，点F 是BC 中点，下列结论中：①AC BP EF 是定值；②AC BP EF是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．。
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中考数学复习 中点 专题（一）构造X 型全等三角形1.（2010年河北24题）（本小题满分10分）在图4至图5中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图4，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图4中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图5中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求AC BD的值．解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ， ∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ．又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ． ∴AOBOAC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD=． 2010沈阳)如图1，在△ABC 中，2.(点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；(1) 延长MP 交CN 于点E (如图2)。
求证：△BPM ≅△CPE ； 求证：PM = PN ； (2) 若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变。
此时PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3) 若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变。
请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN还成立吗？不必说明理图4A D OB C21 MNEFA O BC1D 2图5M NEa A B C P M NA B CM N aP A BC P N M a 图1 图2 图3ABCDEK由。
[证明] 如图2，∵BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，∴∠BMN =∠CNM =90︒，∴BM //CN ，∴∠MBP =∠ECP ，又∵P 为BC 边中点，∴BP =CP ，又∵∠BPM =∠CPE ，∴△BPM ≅△CPE ， ∵△BPM ≅△CPE ，∴PM =PE ，∴PM =21ME ，∴在Rt △MNE 中，PN =21ME ， ∴PM =PN ；(2) 成立，如图3，[证明] 延长MP 与NC 的延长线相交于点E ，∵BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，∴∠BMN =∠CNM =90︒，∴∠BMN +∠CNM =180︒，∴BM //CN ，∴∠MBP =∠ECP ， 又∵P 为BC 中点，∴BP =CP ，又∵∠BPM =∠CPE ，∴△BPM ≅△CPE ，∴PM =PE ， ∴PM =21ME ，则在Rt △MNE 中，PN =21ME ，∴PM =PN 。
(3) 四边形MBCN 是矩形，PM =PN 成立。
3.(2011成都) （本小题满分1 0分)如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与B C 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点。
（1）若BK =52KC ，求CD AB的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE =12AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE =1nAD （n >2），而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。
专题：计算题；几何动点问题。
分析：（1）由已知得=，由CD ∥AB 可证△KCD ∽△KBA ，利用=求值；（2）AB=BC+CD ．作△ABD 的中位线，由中位线定理得EF ∥AB ∥CD ，可知G 为BC 的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE ，则EG=BG=BC ，而GF=CD ，EF=AB ，利用EF=EG+GF 求线段AB 、BC 、CD 三者之间的数量关系； 当AE=AD （n ＞2）时，EG=BG=BC ，而GF=CD ，EF=AB ，EF=EG+GF 可得BC+CD=（n ﹣1）AB ．解答：解：（1）∵BK=KC ，∴=，又∵CD ∥AB ， ∴△KCD ∽△KBA ，∴==；（2）当BE 平分∠ABC ，AE=AD 时，AB=BC+CD ．证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 与G 点，由中位线定理，得EF ∥AB ∥CD ，∴G 为BC 的中点，∠GEB=∠EBA ， 又∠EBA=∠GBE ，∴∠GEB=∠GBE ， ∴EG=BG=BC ，而GF=CD ，EF=AB ， ∵EF=EG+GF ，∴AB=BC+CD ；当AE=AD （n ＞2）时，BC+CD=（n ﹣1）AB ．点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．4. （2011浙江杭州，22， 10)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，线段OA ，OB 的中点分别为点E ，F ． (1)求证：△FOE ≌ △DOC ； (2)求sin ∠OEF 的值；(3)若直线EF 与线段AD ，BC 分别相交于点G ，H ，求AB CDGH+的值．【答案】(1)证明：∵E ，F 分别为线段OA ，OB 的中点，∴EF ∥AB ，AB ＝2EF ，∵AB ＝2CD ，∴EF ＝CD ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∴∠OEF ＝∠OCD ，∠OFE ＝∠ODC ，∴△FOE ≌ △DOC ；， (2) 在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴2222(2)5AC AB BC BC BC BC ++，5sin BC CAB AC ∠==∵EF ∥AB ，∴∠OEF ＝∠CAB ，∴5sin sin OEF CAB ∠=∠= (3) ∵△FOE ≌ △DOC ，∴OE ＝OC ，∵AE ＝OE ，AE ＝OE ＝OC ，∴23CE CA =．∵EF ∥AB ，∴△CE H ∽△CAB ，∴23EH CE AB CA ==，∴2433CE EH AB CD CA ===，∵EF ＝CD ，∴43EH EF =1133FH EF CD ==，同理13GE CD =，∴53GH CD =，∴29553AB CD CD CD GH CD ++== 5. （2010四川乐山）在△ABC 中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，直线l 过点O .过A 、B 、C 三点分别做直线l 的垂线，垂足分别是G 、E 、F ，设AG =h 1，BE =h 2，CF =h 3. （1）如图（12.1），当直线l ⊥AD 时（此时点G 与点O 重合）.求证：h 2+h 3= 2h 1； （2）将直线l 绕点O 旋转，使得l 与AD 不垂直.①如图（12.2），当点B 、C 在直线l 的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；②如图（12.3），当点B 、C 在直线l 的异侧时，猜想h 1、h 2、h 3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）【答案】25.（1）证明：∵BE ⊥l ，GF ⊥l ，∴四边形BCFE 是梯形.又∵GD ⊥l ，D 是BC 的中点， ∴DG 是梯形的中位线， ∴BE +CF =2DG .又O 为AD 的中点，∴AG =DG ， ∴BE +CF =2AG . 即h 2+h 3= 2h 1. （2）成立.证明：过点D 作DH ⊥l ，垂足为H ，∴∠AGO =∠DHO =Rt ∠，∠AOG =∠DOH ，OA =OD ， ∴△AGO ≌△DHO ， ∴DH =AG .又∵D 为BC 的中点，由梯形的中位线性质， 得2 DH =BE +CF ，即2 AG =BE +CF ， ∴h 2+h 3= 2h 1成立.（3）h 1、h 2、h 3满足关系：h 2－h 3= 2h 1.（说明：（3）问中，只要是正确的等价关系都得分） 6.（2011乐山）如图（1）,在直角△ABC 中, ∠ACB=90,CD ⊥AB,垂足为D,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G,EF ⊥BE 交AB 于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n 为实数). 试探究线段EF 与EG 的数量关系.(1) 如图（2）,当m=1,n=1时,EF 与EG 的数量关系是证明:(2) 如图（3）,当m=1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 证明(3) 如图（1）,当m,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 (写出关系式,不必证明) （1）图甲：连接DE ，∵AC=mBC ，CD ⊥AB ，当m=1，n=1时 ∴AD=BD ，∠ACD=45°， ∴CD=AD=12AB ， ∵AE=nEC ， ∴DE=AE=EC=12AC ， ∴∠EDC=45°，DE ⊥AC ， ∵∠A=45°， ∴∠A=∠EDG ， ∵EF ⊥BE ，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°， ∴∠AEF=∠DEG ，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴EF=EG ． （2）解：EF=1nEG 证明：作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点N ， ∵EM ∥CD ，∴△AEM ∽△ACD ，∴13EM AE CD AC == 即EM=13CD ，同理可得，EN=23AD ，∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴tanA=1CD BCAD AC ==， ∴111EM EN n n=⨯=， 又∵EM ⊥AB ，EN ⊥CD ， ∴∠EMF=∠ENG=90°， ∵EF ⊥BE ，∴∠FEM=∠GEN ， ∴△EFM ∽△EGN ，∴1EF EM EG EN n==， 即EF=1n EG ；（3）EF=1mnEG ．（二）过中点（或等分点）做平行1.（2010武汉）已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。