等差数列求和公式(201912)
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是数学中一个常见的数列类型,其中相邻的两个数之间差值固定。
求和公式是用来计算该数列中的所有数值之和的公式。
在本文中,我们将介绍等差数列的求和公式以及如何使用它进行计算。
1.等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差保持相等的数列。
假设等差数列的首项为a,公差为d,则第n项表示为an = a + (n-1)d。
其中n为项数,a为首项,d为公差。
等差数列的性质包括:- 任意两个项之和与其平均数的关系:an + a(1) = an-1 + a(2) = ... = a(1) + an- 等差数列的前n项和与后n项和的关系:S(n) = n/2 * (a(1) + an) - n项和与首项和末项的关系:S(n) = n/2 * (a + an)2.等差数列的求和公式等差数列的求和公式是用来计算该数列中的所有数值之和的公式。
根据等差数列的性质,我们可以得到以下两个求和公式:- 等差数列前n项和的求和公式:Sn = n/2 * (a + an)- 等差数列首项至第n项和的求和公式:Sn = n/2 * (a(1) + an)这两个公式可以根据具体的问题来选择使用,通常情况下我们更常用的是第一个公式。
下面我们将用实例来说明如何使用等差数列的求和公式。
3.求和公式的应用实例假设有一个等差数列,首项为3,公差为5,要求计算该数列的前10项之和以及前15项之和。
根据求和公式Sn = n/2 * (a + an),我们可以计算得到:- 前10项之和:S(10) = 10/2 * (3 + a(10)) = 10/2 * (3 + (10-1)5) =10/2 * (3 + 45) = 10/2 * 48 = 10 * 24 = 240- 前15项之和:S(15) = 15/2 * (3 + a(15)) = 15/2 * (3 + (15-1)5) =15/2 * (3 + 70) = 15/2 * 73 = 15 * 36.5 = 547.5因此,该等差数列的前10项之和为240,前15项之和为547.5。
等差数列求和公式是什么
等差数列求和公式是什么等差数列求和怎么算呢?公式又有哪些呢?同学们快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“等差数列求和公式是什么”,仅供参考,欢迎大家阅读。
等差数列求和公式公式:Sn=(a1+an)n/2Sn=na1+n(n-1)d/2;(d为公差)Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)和为 Sn,首项 a1,末项 an,公差d,项数n,通项:首项=2×和÷项数-末项;末项=2×和÷项数-首项;末项=首项+(项数-1)×公差;项数=(末项-首项)(除以)/ 公差+1;性质:若 m、n、p、q∈N,①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,②若m+n=2q,则am+an=2aq,注意:上述公式中an表示等差数列的第n项。
拓展阅读:等差数列推论(1)从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S (n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。
(2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a (1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。
=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。
(3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S (2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列,等等。
若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)。
证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。
等差数列求和公式
等差数列求和公式等差数列的和=(首相+末项)÷2×项数注:(首相+末项)÷2可以看做是等差数列的中间项,即把等差数列的每一项都变成中间项a,就可以把等差数列看成求a+a+a+…+a+a+a+a的和。
末项=首项+公差×(项数-1)首项=末项-公差×(项数-1)公差=(末项-首项)÷(项数-1)项数=(末项-首项)÷公差+1后面三个式子可以用第二个式子推得,推出公式如下:把第二个式子:末项=首项+公差×(项数-1)移项,把“公差×(项数-1)”从等号右面移到左面,并变符号(加号变成减号),等式左面就变成“末项-公差×(项数-1)”,等式右面还剩下“首项”,写成等式就是:末项-公差×(项数-1)=首项即第三个式子就推出来了:“首项=末项-公差×(项数-1)”把第二个式子:末项=首项+公差×(项数-1)移项,把“首项”从等式右面移到等式左面,并变符号,等式左面就变成“末项-首项”,等式右面还剩下“公差×(项数-1)”写成等式就是“末项-首项=公差×(项数-1)”再把等式右面的“(项数-1)“移到等式左面,并变号(乘号变成除号),等式左面变成“(末项-首项)÷(项数-1)”,等式左面只剩下“公差”写成等式就是:(末项-首项)÷(项数-1)=公差即第四个式子就推出来了:“公差=(末项-首项)÷(项数-1)”把第二个式子:末项=首项+公差×(项数-1)移项,把“首项”从等式右面移到等式左面,并变符号,等式左面就变成“末项-首项”,等式右面还剩下“公差×(项数-1)”写成等式就是“末项-首项=公差×(项数-1)”再把等式右面的“公差”移到等式左面,并变号(乘号变成除号),等式左面变成“(末项-首项)÷公差”,等式右面还剩下“项数-1”写成等式:(末项-首项)÷公差=项数-1再把等式右面的“1”移到等式左面,并变符号(减号变加号)等式左面就变成“(末项-首项)÷公差+1”,右面只剩下“项数”写成等式就是:(末项-首项)÷公差+1=项数即第五个式子就推出来了:“项数=(末项-首项)÷公差+1”。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列常常出现在数学的各个领域,求解等差数列的和是其中一项基本的问题。
本文将介绍等差数列的求和公式,并通过几个实例来说明其应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中的每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。
通常用字母a表示首项,d表示公差(任意项与前一项的差值),第n项则用an表示。
根据等差数列的定义,可以得到如下性质:1. 第n项的数值可由首项与公差计算得出:an = a + (n-1)d。
2. 第n项与第m项之间的差为(m-n)d。
二、等差数列的求和公式为了求解等差数列的和,我们引入了求和符号Σ(sigma)来简化表示。
对于等差数列而言,求和公式的推导如下:设等差数列的首项为a,公差为d,根据等差数列的性质,该数列可表示为:a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d。
将n项分别与首项相加,得到如下等式:S = a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a+(n-1)d]。
反向相加,得到如下等式:S = [a+(n-1)d] + [a+(n-2)d] + ... + (a+d) + a。
将两个等式相加,每一列的和都为2S:2S = [2a+(n-1)d] + [2a+(n-1)d] + ... + [2a+(n-1)d]。
由于每一列的和相同,可以简化为:2S = n * [2a+(n-1)d]。
整理得到等差数列的求和公式:S = n/2 * [2a+(n-1)d]。
三、等差数列求和公式应用实例接下来,我们通过几个实例来应用等差数列的求和公式,以更好地理解其应用。
实例1:求等差数列3, 7, 11, 15, ..., 99的和。
解:首项a = 3,公差d = 4,末项an = 99。
根据等差数列求和公式:S = n/2 * [2a+(n-1)d],代入已知数据:S = 25/2 * [2 * 3 + (25-1) * 4],计算可得:S = 25/2 * [6 + 24 * 4] = 25/2 * 102 = 1275。
等差数列求和
等差数列求和等差数列(Arithmetic Progression,简称AP)是数学中一个重要的概念。
它由一系列的数字组成,其中每个数字与其前一个数字之差等于一个固定的常数,称为公差。
在这篇文章中,我们将探讨如何求解等差数列的和,以及一些应用示例。
一、等差数列的求和公式对于等差数列来说,它的求和公式是一个常见的数学公式,可以简化计算,提高效率。
求解等差数列的和需要使用到以下公式:Sn = (n/2) * (a1 + an)其中,Sn表示等差数列的和,n表示数列的项数,a1表示数列的首项,an表示数列的末项。
二、求解等差数列的和的具体步骤下面,我们将通过一个具体的例子来演示如何求解等差数列的和。
例题:求解等差数列1,4,7,10,13的和。
步骤1:确定数列的项数和公差。
这个数列的项数是5,公差为3。
步骤2:找到数列的首项和末项。
数列的首项为1,末项为13。
步骤3:代入求和公式,计算等差数列的和。
Sn = (n/2) * (a1 + an)= (5/2) * (1 + 13)= 2.5 * 14= 35所以,等差数列1,4,7,10,13的和为35。
三、等差数列求和的应用示例1. 金字塔的层数假设一个金字塔有10层,底层由等差数列构成,第一层有1个元素,公差为1。
我们可以用等差数列的求和公式来计算出这个金字塔的总元素个数。
Sn = (n/2) * (a1 + an)= (10/2) * (1 + 10)= 5 * 11= 55所以,这个金字塔总共有55个元素。
2. 等差数列的平均数对于一个等差数列来说,我们可以通过求和公式和项数来计算出它的平均数。
假设一个等差数列的和为100,项数为10,我们可以这样计算平均数:平均数 = 和/项数= 100/10= 10所以,这个等差数列的平均数为10。
四、总结等差数列求和是数学中一个重要的概念,它可以通过求和公式来简化计算。
在本文中,我们介绍了等差数列求和的公式和具体步骤,并给出了一些实际应用示例。
等差数列求和公式和方法
等差数列求和公式和方法1500字等差数列是数学中常见的一种数列。
在等差数列中,每个项都与前一项之间有着相同的差(公差)。
等差数列的求和公式是指通过已知等差数列的首项、末项和项数来求和的公式。
假设等差数列的首项为a₁,公差为d,项数为n,末项为aₙ。
等差数列的求和公式可以表示为:Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中Sₙ表示等差数列的和。
我们可以通过以下方法来推导等差数列的求和公式:1.按照等差数列的定义,我们可以得到等差数列的通项公式:aₙ = a₁ + (n-1) * d2.将aₙ代入求和公式中,可以得到:Sₙ = a₁ + (a₁ + (n-1) * d) + (a₁ + 2(n-1)d) + ... + a₁ + (n-1) * d3.将等差数列按照首项和末项的对称性进行分组,可以得到:Sₙ = (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ-₁) + ... + (aₙ + a₁)4.根据对称性的性质,我们可以得到每一组的和都相等,即每一对括号中的两项之和相等。
这样,我们可以将求和公式简化为:Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2这就是等差数列的求和公式。
除了通过公式来求等差数列的和之外,还有一个常用的方法可以用来求解。
这种方法被称为差分法。
差分法是通过将等差数列表示为一系列等差的差分,然后利用差分的性质来求解的。
具体方法如下:1.将等差数列的第k项和第(k+1)项相减,可以得到一个新的数列。
这个新的数列是一个等差数列,公差为d。
2.重复第一步,直到得到的差分为一个常数。
3.将得到的差分与等差数列的首项相加,即可得到等差数列的和。
这种方法的优势在于可以通过反复差分的过程,将原问题转化为一个更简单的问题。
然而,该方法对于某些特殊情况并不适用,因此在实际应用中需要根据具体情况来选择合适的求和方法。
总结起来,等差数列的求和公式是通过已知等差数列的首项、末项和项数来求解和的公式。
从公式的推导过程中我们可以看出,等差数列的和与首项、末项和项数之间存在着一定的关系。
等差数列的求和公式总结
等差数列的求和公式总结什么是等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。
数列为:a₁,a₂,a₃,...,an,...若存在常数d,使得对于任意的正整数n,都有aₙ - aₙ₋₁ = d 其中,aₙ表示数列的第n项,d为公差。
等差数列的公式1. 第n项公式数列的第n项公式表示为:aₙ = a₁ + (n - 1)d其中,aₙ表示数列的第n项,a₁为数列的首项,d为公差。
2. 前n项和公式数列的前n项和公式表示为:Sₙ = n/2(a₁ + aₙ)其中,Sₙ表示数列的前n项和,n为正整数,a₁为数列的首项,aₙ为数列的第n项。
3. 公差公式数列的公差公式表示为:d = aₙ - aₙ₋₁其中,d为公差,aₙ表示数列的第n项,aₙ₋₁表示数列的第n-1项。
求和公式的应用等差数列的求和公式可以方便地计算数列的前n项和,加快计算速度,提高效率。
在数学和物理等领域,等差数列的求和公式被广泛应用。
例如,某次实验中测量了一系列温度值,温度值与时间的关系是等差数列。
为了得到整个实验过程中的温度变化趋势,可以利用等差数列的求和公式计算出温度的平均值或总和,从而更好地分析实验结果。
除了应用在实验数据分析中,等差数列的求和公式还用于算术和几何等数学领域的问题求解。
总结等差数列的求和公式是数学中的基本工具之一,掌握等差数列的概念和求和公式能够帮助我们更好地理解数学和应用数学于实际问题中。
通过本文档的介绍,我们了解了等差数列的定义、第n项公式、前n项和公式以及公差公式,并总结了求和公式的应用领域。
希望本文档能对读者理解和应用等差数列的求和公式提供帮助。
等差公式求和公式
等差公式求和公式等差数列是数列的一种形式,其中每一项与前一项之差保持相等。
求和公式是用于计算等差数列所有项的和的公式。
本文将介绍等差数列和求和公式,并提供详细的推导和示例。
1.等差数列等差数列的一般形式为:a,a+d,a+2d,a+3d,...,a+(n-1)d其中,a是首项,d是公差(每一项与前一项之差),n是项数。
例如,2,5,8,11,14就是一个等差数列,其首项a=2,公差d=3,项数n=52.求和公式等差数列的求和公式为:Sn=(n/2)(2a+(n-1)d)其中,Sn是等差数列的前n项和。
3.推导过程要理解等差数列的求和公式,我们需要对其进行推导。
下面是一个基本的推导过程:首先,我们将等差数列从左向右和从右向左对齐,如下所示:a,a+d,a+2d,...,a+(n-2)d,a+(n-1)da+(n-1)d,a+(n-2)d,...,a+2d,a+d,a接下来,我们将这两行的每一列相加,得到:2a+(n-1)d,2a+(n-1)d,...,2a+(n-1)d上述结果中的每一项都相等,其个数为n个。
因此,我们可以将这n 个项的和表示为:Sn=n(2a+(n-1)d)但我们会发现,上面的和多算了一遍。
我们通过除以2的方式消除重复项,即:Sn/2=(n/2)(2a+(n-1)d)最终,我们得到了等差数列的求和公式:Sn=(n/2)(2a+(n-1)d)4.示例让我们通过一个实际的示例来演示如何使用等差数列求和公式。
假设有一个等差数列,首项a=3,公差d=2,项数n=8首先,我们可以使用求和公式计算出该等差数列的前8项和:Sn=(n/2)(2a+(n-1)d)=(8/2)(2*3+(8-1)*2)=4(6+7*2)=4(6+14)=4(20)=80因此,该等差数列的前8项和为80。
5.结论等差数列的和求和公式是非常有用的工具,在计算等差数列的和时提供了一个简单且快速的方法。
通过理解等差数列的定义和推导过程,我们可以更好地理解求和公式的原理。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
求解等差数列的和是数学中常见的问题,它有一个简洁的求和公式可以帮助我们高效地解决这个问题。
本文将详细介绍等差数列的求和公式及其推导过程。
一、等差数列定义及性质等差数列可以表示为:a,a+d,a+2d,a+3d,...,a+nd,...其中,a为首项,d为公差,n为项数。
等差数列具有以下性质:1. 通项公式:第n项an = a + (n-1)d;2. 前n项和Sn = (a + an) * n / 2。
二、等差数列求和公式的推导过程为了推导等差数列的求和公式,我们先来考虑一个等差数列的和S1和S2的关系。
设等差数列的首项为a,公差为d,前n项和为Sn,则有:S1 = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d),(1)S2 = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + ... + a。
(2)将式子(2)的每一项与式子(1)的对应项相加,可得:S1 + S2 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
(3)上式中一共有n项,每一项的和都是2a + (n-1)d,因此:S1 + S2 = n * (2a + (n-1)d)。
(4)由等差数列的通项公式an = a + (n-1)d,可以将式子(4)进一步化简为:S1 + S2 = n * (a + an)。
(5)另一方面,根据等差数列前n项和的定义,可以得到:Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d。
将式子(1)乘以2,再与式子(1)相加,可以得到:2S1 = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
上式中一共有n项,每一项的和都是2a + (n-1)d,因此:2S1 = n * (2a + (n-1)d)。
等差数列求和公式大全
等差数列求和公式大全
等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
求等差数列的和是数学中的基本问题之一,下面是等差数列求和公式的详细内容。
1. 等差数列的通项公式
设等差数列的首项为a1,公差为d,第n项为an,则等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d
2. 等差数列的前n项和公式
设等差数列的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则等差数列的前n项和公式为:
Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]
3. 等差数列的后n项和公式
设等差数列的末项为an,公差为d,后n项和为Sn',则等差数列的后n项和公式为:
Sn' = n/2 [2an - (n-1)d]
4. 等差数列的中项公式
设等差数列的首项为a1,公差为d,第n项为an,则等差数列的中项为:
am = (a1 + an)/2
其中,m为等差数列的项数,当项数为奇数时,中项为第(m+1)/2项;当项数为偶数时,中项为第m/2项和第(m/2+1)项的平均数。
5. 等差数列的项数公式
设等差数列的首项为a1,公差为d,末项为an,项数为n,则等差数列的项数公式为:
n = (an - a1)/d + 1
6. 等差数列的公差公式
设等差数列的首项为a1,第n项为an,项数为n,则等差数列的公差为:d = (an - a1)/(n-1)
以上就是等差数列求和公式的详细内容,希望对您有所帮助。
等差数列求和公式大全
等差数列求和公式大全等差数列是数学中比较基础的一类数列,其特点是每一项与之前的项之差都相等。
求和公式是指通过已知的数列前n项,来计算数列前n项的和的公式。
下面将展示几种常见的等差数列求和公式。
1. 等差数列求和公式:等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d,其中an为第n项,a1为首项,d为公差。
则等差数列前n项和Sn为:Sn = (n/2)(a1 + an)可以看出,等差数列前n项和等于首项和末项的平均值乘以项数。
2. 等差数列求和公式的推导:假设等差数列的首项为a1,末项为an,项数为n,公差为d。
等差数列的前n项和为:Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + an将等差数列反过来写:Sn = an + (an - d) + (an - 2d) + ... + a1两个等式相加,得到:2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an)= n(a1 + an)所以:Sn = (n/2)(a1 + an)这就是等差数列求和公式。
3. 等差数列求和公式的应用:(1) 利用等差数列求和公式可以方便地计算出等差数列的前n项和,从而快速求解等差数列相关问题,例如计算一段连续整数的和、计算一段等差数列的和等等。
(2) 等差数列求和公式也可以用来证明数学中的一些等式,例如利用等差数列求和公式可以证明平方和公式:1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6。
4. 等差数列求和公式的推广:以上介绍的等差数列求和公式适用于[首项,末项]的等差数列。
对于不包含首项或末项的等差数列,可以通过差分的方式将其转化为包含首项和末项的等差数列,再应用等差数列求和公式计算。
5. 例题:已知等差数列的首项a1为3,公差d为2,求该等差数列前8项的和Sn。
根据等差数列求和公式,代入a1=3, d=2, n=8,可得:Sn = (8/2)(3 + 3 + (8-1)2)= (4)(6 + 14)= 80所以等差数列前8项的和为80。
等差 数列求和公式
等差数列求和公式等差数列求和公式,这可是数学学习中的一个重要知识点。
咱们从小学到高中,数学一直陪伴着咱们,等差数列求和公式更是常客。
先来说说啥是等差数列。
比如说 1,3,5,7,9 这样的数列,每一项和前一项的差值都一样,这就是等差数列。
那这个差值呢,咱们叫它公差,比如说上面这个数列,公差就是 2 。
等差数列求和公式是:Sn = n(a1 + an) / 2 。
这里的 Sn 表示前 n 项的和,n 是项数,a1 是首项,an 是末项。
给大家举个例子吧,咱们就说有个等差数列,1,4,7,10,13,16 ,19 。
这数列的公差是 3 ,咱们要算前 6 项的和。
首先,首项 a1 是 1 ,末项 an 就是 16 ,项数 n 是 6 。
那咱们就按照公式来算,Sn = 6×(1 + 16)÷ 2 = 51 。
是不是还挺简单的?我记得有一次,我在课堂上讲这个知识点,有个同学特别有意思。
我刚写出一个等差数列让大家求和,他就迫不及待地拿起笔开始算,嘴里还念念有词。
结果算得太着急,把公式都给用错了。
我走到他身边,轻轻敲了敲他的桌子,提醒他先把公式搞清楚再动手。
他不好意思地挠挠头,重新认真思考起来。
最后,他成功算出了正确答案,脸上那开心的笑容,就像解开了一个超级大难题一样。
咱们再深入一点,为啥这个公式能成立呢?其实可以这样理解。
咱们把这个数列倒过来写一遍,然后和原来的数列相加。
比如说上面那个例子,1 + 19 = 20 ,4 + 16 = 20 ,7 + 13 = 20 。
因为每一项相加的和都一样,而且一共有 6 项,两两一组,就有 6÷2 = 3 组。
所以总和就是20×3 = 60 ,这是两个数列相加的和。
那一个数列的和就是 60÷2 = 30 啦,这就和咱们用公式算出来的结果一样。
在实际生活中,等差数列求和公式也挺有用的。
比如说,你要计算一堆按等差数列排列的物品的总数,像一堆按等差数列堆放的盒子,就可以用这个公式。
等差数列求和知识点归纳
等差数列求和知识点归纳等差数列求和知识点等差数列公式an=a1+(n-1)da1为首项,an为第n项的通项公式,d为公差前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2Sn=(a1+an)n/2若m+n=p+q则:存在am+an=ap+aq若m+n=2p则:am+an=2ap以上n.m.p.q均为正整数解析:第n项的值an=首项+(项数-1)×公差前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2公差d=(an-a1)÷(n-1)项数=(末项-首项)÷公差+1数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列通项公式:公差×项数+首项-公差等差数列求和必备知识点若一个等差数列的首项为a1,末项为an那么该等差数列和表达式为:S=(a1+an)n÷2即(首项+末项)×项数÷2前n项和公式注意:n是正整数(相当于n个等差中项之和)等差数列前N项求和,实际就是梯形公式的妙用:上底为:a1首项,下底为a1+(n-1)d,高为n。
即[a1+a1+(n-1)d]_ n/2={a1n+n(n-1)d}/2。
等差数列例子等差数列常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d 表示。
例如:1,3,5,7,9……2n-1。
通项公式为:an=a1+(n-1)d。
首项a1=1,公差d=2。
前n项和公式为:Sn=a1n+[n(n-1)d]/2或Sn=[n(a1+an)]/2。
注意:以上n均属于正整数。
等差数列复习题1. 等差数列8,5,2,…的第20项为,前20项和为2.数列3,-3,6,10,.……的首项a1= ,a4=3.一数列通项公式是an=n2-3,则a2= ,a3=4.在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d= ,a10=5.在等差数列中已知d=2,a7=8,则a5= ,a10=6.4.-4和10的等差中项是,3和15的等差中项是7.等差数列-10,-6,-2,2,…前项的和是54,公差d=8.数列{an} 的前n项和Sn=n2 ,则an = ,公差d=9.数列{an} 的通项公式an=2n +5,则S10 = ,公差d=10.数列{an} 的通项公式an=3n -10,则a10 = ,S10= 等差数列怎么求和教你一个简单易懂的方法,不用分奇偶考虑比如说等差数列是1,2,3,4,5,6,7我们给它写两遍,分成两行写,第二遍写的时候倒过来1,2,3,4,5,6,77,6,5,4,3,2,1呵呵这样每一个上面的加下面的是不是就是a1+an那么2倍的前n项和不就是(a1+an)_n了么所以s=(a1+an)n/2。
等差数列求和公式Sn
等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注:an=a1+(n-1)d 转换过程:Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧(一定),那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1得2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+(项数-1)×公差性质:等差数列求是求数列中所有项的和若m、n、p、q∈N①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq②若m+n=2q,则am+an=2aq二、例题例1 用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?分析∵要求的数去除30、60、75都能整除,∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数,∴就是求30、60、75的最大公约数。
解:∵(30,60,75)=5×3=15这个数最大是15。
例2 一个数用3、4、5除都能整除,这个数最小是多少?分析由题意可知,要求的数是3、4、5的公倍数,且是最小的公倍数。
解:∵[3,4,5]=3×4×5=60,∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3 有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?一共可以截成多少段?分析∵要截成相等的小段,且无剩余,∴每段长度必是120、180和300的公约数。
等差数列求和
等差数列求和等差数列求和是数学中的一个基本概念,涉及到数列的概念和求和的方法。
下面我将详细介绍等差数列的定义、性质以及如何求等差数列的和。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的相邻两项之差均为常数的数列。
等差数列通常用字母a表示首项,d表示公差。
数列的通项公式为an = a + (n-1)d,其中an表示第n项。
2. 等差数列的性质(1)等差数列的求和公式等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a + an),其中Sn表示前n项和。
推导过程如下:Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)Sn = (a + (a+(n-1)d)) + ((a+d) + (a+(n-2)d)) + ...Sn = n(a + an)/2其中an = a + (n-1)d(2)等差数列的和与项数的关系等差数列的和与项数的关系为Sn = n(a + an)/2。
通过这个公式,我们可以根据已知的前n项和和首末项来求解未知项数。
(3)等差数列的求和规律等差数列的求和规律是通过前n项和的公式实现的,公式为Sn = (n/2)(2a + (n-1)d),其中a为首项,d为公差。
3. 求解等差数列的和的步骤(1)确定题目中给出的已知条件,如首项a、公差d以及项数n。
(2)根据已知条件,代入求和公式Sn = n(a + an)/2。
(3)利用代入后的公式计算得到和的值。
(4)最后,将计算结果写出,确保答案的正确性。
4. 一些例题与解答例题1:求等差数列3,7,11,...,99的和。
解答:首项a=3,公差d=4,项数n=?根据已知条件,应用求和公式Sn = n(a + an)/2。
由an = a + (n-1)d,可得99 = 3 + (n-1)4,解得n=25。
代入公式Sn = n(a + an)/2,得到S25 = 25(3 + 99)/2 = 1300。
例题2:已知等差数列的首项为5,公差为2,若前n项和为525,则求n的值。
等差数列求和公式和方法
等差数列求和公式和方法等差数列求和公式和方法等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
一、等差数列求和公式1、公式法2、错位相减法3、求和公式4、分组法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.5、裂项相消法适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。
注意:余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
6、数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:(1)证明当n取第一个值时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
例:求证:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明:当n=1时,有:1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5假设命题在n=k时成立,于是:1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证7、并项求和法(常采用先试探后求和的方法)例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n方法一:(并项)求出奇数项和偶数项的和,再相减。
等差数列求和公式(新编201912)
再乘以织日数,即得”
例2 : 求集合M m m 7n, n N ,且m 100
中元素的个数,并求这些元素的和.
例3:已知一个等差数列的前10项的和是310, 前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和 的公式吗?
1.同步作业本第81页。 2.研究性作业:等差数列求和性质的研究。
2.联想:
(补成平行四边形)
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得赏的,就请杀了我吧。” 听到这样的话,青年一愣。 “您在说什么呀!③我跟您怎么会是敌人呢?我的敌人应该是别人。现在战争正在北方进行着,我要到那里去参战了。”说完这些,青年就走了。 在国界线上,孤零零地只剩下老人了。自从青年离开的那一日起,老人就开始茫然 地打发日子。野蔷薇开了,蜜蜂从日出到日落,成群地飞舞。④此刻,战争正在很远的地方进行着,即使老人竖起了耳朵去听,睁大了眼睛去看,也没办法听到一丝铁炮的声音,或者看到一点黑色的硝烟。 老人从那天起,就一直担心着青年的安危。日子就这么一天天地过去了。 一天, 这里来了一个过路的人。 老人就向他询问起战争的情况。那个人就告诉老人,小国战败了,那个国家的士兵都被杀了,战争结束了。老人想,那样的话,青年不是也死了吗?他心里放不下,垂头往石碑座上一坐,就迷迷糊糊地打起盹来了。他感到从远方来了很多人,一瞧,是一支军队 ,而且骑马指挥的就是那个青年。这支军队非常肃静,一点声音都没有。当他们从老人身边经过的时候,青年默默地向老人敬了一下礼,并且闻了闻野蔷薇花。 老人刚想说什么,一下子就醒了。打那以后过了一个多月,野蔷薇就枯死了。 后来,就在这年的秋天,老人也请假回南方去了 。 (选自杜志建主编《大家小文》) 9.色调有冷暖之分,读完此文,你觉得这篇童话的色调是怎样的?请简述理由。(3分) 答:? 10.文章安排老人与青年下棋的情节有什么作用?(3分) 答:? 11.质疑是走向深入阅读的重要一步。文中画线句有什么看似矛盾或不合理的地方?请选 一句,写出你的疑问。(3分)? 答:? 12.本文以“野蔷薇”为题有什么好处?说说你的理解。(4分) 答:? 9.(3分) 示例1:先是暖色调,再是冷色调。文章开头的景物描写明亮美好,两人的相处温馨和谐,令人温暖;随着战争的到来,一切美好的东西都毁灭消失了,令人感伤。 示例2:冷色调。因为这个故事中那些美好的事物都随着战争消逝了,年轻的生命死亡了,美丽的野蔷薇凋零了,老人与青年的友情无以为继,给人以悲凉的感觉。 示例3:暖色调。因为故事发生的地方环境优美,人与自然和谐相处,人和人之间的情感温暖感人。虽然战争最终不可避免 ,但战场却在遥远的北方,战争也没有改变他们的友谊,让人觉得温暖。 10.(3分)示例:下棋的情节一方面表现两人相处的和谐愉快;另一方面也为故事的发展做了铺垫,暗示两人将会经受真实战争的考验;棋盘上的战争与真实的战争形成对比:一个温馨和谐,一个冰冷残酷。(答 出一点得1分,答出两点得3分) 11.(3分)示例1:选①,阳光总是照在头顶上就能让他们成为好朋友? 示例2:选②,从上下文看,应该用“这个地方”,为什么说成“那个地方”?或,这一句删去也通顺,为什么非要说“也有冬天”? 示例3:选③,两国交战,他们作为士兵,为什 么不是敌人呢?? 示例4:选④,为什么战争是在“很远的地方进行”,而不是在他们所处的边境? 12.(4分)示例:营造了美好的环境氛围,勾勒出故事的线索,野蔷薇催生并见证了两人的友谊,始终伴随着情节的展开(2分,环境、线索各1分);野蔷薇是美好的自然与善良的人性的 象征:它无人培植却茂盛生长,如同边界线上两人的友情,自然产生,真诚相守;不管人间如何利益纷争,它都带着芬芳与生机应时而发,反衬出人类争斗的愚蠢与丑陋;野蔷薇最终随着青年之死而凋零,暗示战争的死亡之吻不放过任何美好的生命,让人痛惜,引人深思(2分,象征写 法、具体分析各1分)。 把自己变成一朵花,香给这个世界看(2017·曲靖市中考) 林清玄 ①有时会在晚上去逛花市。 ②夜里九点以后,花贩会将店里的花整理一遍,把一些盛开着的,不会再有顾客挑选的花放在方形的大竹篮推到屋外,准备丢弃了。 ③多年以前,我没有多余的钱买 花,就在晚上去挑选竹篮中的残花,那虽然是已被丢弃的,看起来都还很美,尤其是它们正好开在高峰,显得格外辉煌。在竹篮里随意翻翻就会找到一大把,带回家插在花瓶里,自己看了也非常欢喜。 ④从竹篮里拾来的花,至少可以插一两天,甚至有开到四五天的。每当我把花一一插 进瓶里,会兴起这样的遐想:花的生命原本短暂,它若有知,知道临谢前几天还被宝爱着,应该感叹不枉一生,能毫无遗憾地凋谢了。 ⑤花的盛放是那么美丽,但凋落时也有一种难言之美。在清冷的寒夜,我坐在案前,看到花瓣纷纷落下,无声地辞枝,以一种优雅的姿势飘散,安静地 俯在桌边。那颤抖离枝的花瓣时而给我是一瓣耳朵的错觉,仿佛在倾听着远处土地的呼唤,闻着它熟悉的田园声息。那还留在枝上的花则是眼睛一样,努力张开,深情地看着人间,那深情的最后一瞥真是令人惆怅。 ⑥每一朵花都是安静地来到这个世界,又沉默离开。若是我们倾听,在 安静中仿佛有深思,而在沉默里也有美丽的雄辩。 ⑦许久没有晚上去花市了,最近去过一次,竟捡回几十朵花,那捡来的花与买回的花感觉不同,由于不花钱反而觉得每一朵都是无价的。尤其是将谢未谢,更显得楚楚可怜,比起含苞时的精神抖擞也自有一番风姿。 ⑧说花是无价的,可 能只有卖花的人反对。花虽是有形之物,却往往是无形的象征,莲之清净、梅之坚贞、兰之高贵、菊之傲骨、牡丹之富贵、百合之闲逸,乃至玫瑰里的爱情、康乃馨的母爱都是高洁而不能以金钱衡量的。 ⑨花所以无价,是花有无求的品格。如果我们送人一颗钻石,里面的情感就不易纯 粹,因为没有人会白送人钻石的;如果是送一朵玫瑰,它就很难掺进一丝杂质,由于它的纯粹,钻石在它面前就显得又俗又胖了。 ⑩花的威力真是不小,但花的因缘更令人怀想。我国民间有一种说法,说世上有三种行业是前世修来的,就是卖花、卖香、卖伞。因为卖花是纯善的行业,买 花的人不是供养佛菩萨,就是与人结善缘,即使自己放置案前也能调养身心。卖香、卖伞也都是纯善的行业,如果不是前世的因缘,哪里有福分经营这么好的行业呢? ?卖花既是因缘,爱花也是因缘,我常觉得爱花者不是后天的培养,而是天生的直觉。 ?这种直觉来自良善的品格与温柔 的性情,也来自对物质生活的淡泊,一个把物质追求看得很重的人,肯定是与花无缘的。 ?爱花的人如果能自花中提炼智慧之香,用智慧之花来使心灵庄严,就能使我们有最深刻的觉醒,激发我们追求真实和永恒的智慧。当我们面对人间的一朵好花,心里有美、有香、有平静、有种种动 人的质地,就会使我们有更洁净的心灵来面对人生。 ?让我们看待自己如一枝花吧!香给这世界看! (文章有删改) 20.选文采用了的表现手法,以花为线索,按拾花、、爱花、的顺序构思全文,层层深入,结构严谨。(3分) :托物言志(或象征、以物喻人)选花(或悟花)变花( 或学花) 21.结合语境,说说句中加点词的含义及其作用。(3分) 每一朵花都是安静地来到这个世界,又沉默离开。若是我们倾听,在安静中仿佛有深思,而在沉默里也有美丽的雄辩。 答: 答题示例:“雄辩”本义指有说服力、强有力的辩论,这里有“有力证明或辩护”之意。(1 分)作者用拟人的手法,(1分)表现了花朵平静的心态和洁净的心灵,虽然凋落,依然沉静庄严地开放,倾听土地的呼唤,从而展现一种难言的美丽。(1分) 22.请赏析第⑤段画线句子。(3分) 赏析: 答题示例:画线句子运用了比喻、拟人的修辞手法,(1分)以花喻人、花像眼 睛,“努力张开”“深情地看着”“深情的最后一瞥”无不展示了花对土地的呼唤及对人间深情的依恋,落花有情,即使凋落,也依然美丽,同时也怕美丽的失去,“惆怅”一词正是作者复杂心境的体现。(1分) 23.简要分析第?段在文中的作用。(3分) 答: 答题示例:过渡段,起 承上启下的作用。(1分)作者巧妙地由上段卖因缘过渡到下段的爱花因缘,文章衔接自然,浑然一体。(2分) 24.通读全文,谈谈文题“把自己变成一朵花,香给这个世界看”的深刻含义。(3分) 答: 答题示例:文章托物言志,借花寓意了高远的人生志向;(1分)作者珍爱人间 的每一朵好花,花里有美、有香、有平静、有种种动人的质地和永恒的智慧,所以作者愿把自己变成一朵花。(1分)同时,作者更愿像花那样,即使不被欣赏,依然沉静庄严地开放,倾听土地的呼唤,深情地注视人间的美好,用更洁净的心灵来面对人生,把花的“芬芳”“香给这个世 界看”。(1分)(言之有理即可) 想起那年读书时(2017·青岛市中考) 谷煜 真的,读书,是件特别好玩的事情。 十来岁,三年级,天不怕地不怕的,不管生疏,常常和同学去串门。到了别人家里,是安静的,不声不响,微笑,直盯着土屋墙壁上的黑白报纸。那些报纸,是一些富 裕人家不知从哪里弄来的,贴在墙上,给土屋一点美观,不至于到处露着暗灰的墙皮。有字,可读,真好。 看着看着,身子会趴下,因为,靠底下的一些字,实在是看不清了。而下面的报纸,往往是更旧一些,泛着黄色,伴随着一丝丝潮潮的味道。而于我,是温润,是隆重,闪着华丽 的光,仿佛是琥珀。 慢慢读完一面墙,真畅快呀。 当时,除了课本之外,再也找不到书可读,偶然在同学家发现这样的“报纸墙”,自是欣喜若狂,也就有了这“串门”的雅好。 慢慢地,很多人知道我喜欢“读字”,便有人告诉我,谁谁那里有小人书,可以借着看看的。哪里认识人 家呀?怎么办? 便央求妈妈去借,大人总会和人家说上话的吧。 那时候的小人书,人人当宝贝的,自是不会轻易借出。便苦口婆心地求人家,一遍遍保证,不会弄丢的,不会弄脏的,不会弄扯的,一定按时还……终于,在人家一遍遍的叮嘱里,在犹豫的眼光里,拿到了小人书。 抱着 书,飞奔回家,小心翼翼放在床头一角,赶紧吃饭写作业,然后,扎在灯下,一声不吭,一页页,仔仔细细看过去。 夜,深了,抚摸着小人书,恋恋不舍地睡去,天亮,它就该物归原主了。 还有让人欢喜的,是过年放鞭炮,很多的鞭炮是用废弃的书本卷成的,鞭炮在炸开的刹那,很多 带着字的碎片,仿佛一个个精灵,舞蹈着,纷纷而来。我笑着跑着去迎接着那些碎片,在碎片里,看到一个个的“断句”,或者几个词语,那种此起彼伏的文字阅读,仿佛海边的波浪,一波波地涌动而来,真好。 当然,也会有大的收获,就是包鞭炮的纸张是大一些的(有时放学路上也 会捡到一张大大
等差数列数列和公式
等差数列数列和公式
等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
例如,1,3,5,7,9就是一个公差为2的等差数列。
对于一个公差为d的等差数列,它的前n项和可以用以下公式来表示:
S_n = n/2(2a + (n-1)d)
其中,n表示等差数列的项数,a表示它的第一项。
这个公式的推导过程比较简单。
我们可以将等差数列写成:
a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+(n-1)d
将这些数相加,我们得到:
S_n = na + d(1+2+3+…+(n-1))
等差数列中有n项,所以1+2+3+…+(n-1)可以看作1到n-1的等差数列的和,因此我们可以用以下公式来求解:
1+2+3+…+(n-1) = n(n-1)/2
将这个公式代入前面的式子中,我们得到:
S_n = na + (n(n-1)/2)d
将式子进行化简,我们就得到了上面的等差数列前n项和公式。
这个公式在高中数学中会经常用到,因为等差数列的性质在数学中有很多应用,例如在初等数论、微积分、代数等领域都有涉及。
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na1
2
an
特点:该公式与梯形面积公式
(上底+下底)高 2 相似
Sn
na1
n(n 1) 2
d
我国数列求和的概念起源很早, 到南北朝时,张丘建始创等差 数列求和解法。他在《张丘建 算经》中给出等差数列求和问题: 例如:今有女子不善织布,每天所 织的布以同数递减,初日织五尺,
末一日织一尺,共织三十日,问共织几何? 原书的解法是:“并初、末日织布数,半之
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(补成平行四边形)
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