第二十四课 中位线与面积
初中数学 如何使用中位线定理计算三角形的面积
初中数学如何使用中位线定理计算三角形的面积要使用中位线定理计算三角形的面积，我们可以根据定理的性质和已知条件进行推导和计算。
下面是一个详细的步骤说明：假设我们已知一个三角形ABC，其中D是边BC的中点，我们要计算三角形ABC的面积。
步骤1：连接顶点A和中点D，得到中位线AD。
步骤2：根据中位线定理，中位线AD平分对边BC，并且AD的长度等于BC的一半。
因此，我们可以得到以下等式：AD = 1/2 * BC步骤3：根据已知条件，我们需要找到BC的值。
如果BC的长度已知，我们可以直接代入。
如果BC的长度未知，但我们知道其他边长或角度的信息，我们可以使用几何定理或三角函数来计算。
步骤4：将BC的值代入到等式中，计算AD的长度。
这将给出中位线AD的长度。
步骤5：根据中位线的性质，我们可以得到以下等式：BD = 1/2 * AC这是因为中位线BD也可以用来平分边AC。
因此，BD的长度等于AC的一半。
步骤6：使用三角形的面积公式，计算三角形ABC的面积S。
三角形的面积公式为：S = 1/2 * 底边长度* 高在这里，底边长度为AC，高为三角形ABC的高。
步骤7：使用中位线的性质和三角形的面积公式，计算三角形ABC的面积S。
由于中位线AD 平分边BC，因此，我们可以将三角形ABC分成两个等面积的小三角形ABD和ACD。
因此，三角形ABC的面积等于小三角形ABD和ACD的面积之和，即：S = 1/2 * BD * AD + 1/2 * BD * AD将BD和AD代入上式中，得到：S = 1/2 * 1/2 * AC * 1/2 * AC + 1/2 * 1/2 * BC * 1/2 * BC化简后得到：S = 1/8 * (AC^2 + BC^2)步骤8：将已知条件和计算结果代入到等式中，计算三角形ABC的面积S。
这将给出三角形ABC的面积的值。
通过以上步骤，我们可以使用中位线定理计算三角形的面积。
重要的是要注意，我们需要已知边长或角度的信息来开始计算，并且需要使用几何定理或三角函数来计算未知值。
中位线的定理
中位线的定理
中位线定理又称为中位定理，是指一条直线将一个图形分成两边，其中左边的面积与右边面积相等。
它可应用到多边形，圆，椭圆等图形上，它是由荷兰数学家乔治·杰斐森（George-Jouffroy）于1860年提出，现在它在数学的图形学中运用较为广泛。
中位线定理可以用如下方法来证明：
（1）绘制一个带有任意多个边的多边形，用线段l连接该多边形runing顶点，于此同时将其分为两部分，所构成的新多边形称为原多边形的子多边形。
（2）分别计算子多边形左边和右边的面积，然后将它们相加再各自除以2，余下的面积就是原多边形的1/2面积。
（3）将l line向右移动，然后重复上述步骤，得出的结论是不论移动的位置如何，左边的面积仍然等于右边的面积，从而得出中位线定理——原多边形的1/2面积等同于所有可能的两个子多边形的1/2面积之和。
中位线定理的最重要的应用之一就是计算多边形的面积，通过运用中位线定理可以把多边形的面积分成多个面积相等的子多边形，然后再求出每个小子多边形的面积，最后再把它们累加起来，就可以求出原多边形的面积了。
因此，大多数多边形的面积计算都是建立在中位线定理之上的。
此外，由于多边形可以把一个图形分割成两部分，因此中位线定理还可以用来求出扇形和圆周的面积。
我们可以把一个扇形或圆周等分成相等的子扇形或者子圆周，再用中位线定理求出每个小子扇形或子圆周的面积，最后累加起来，就可以得出扇形或圆周的面积了。
总之，中位线定理是数学中一个很好用的定理，其应用非常广泛，既可用于多边形面积计算，也可用于求出扇形或圆周的面积。
虽然这一定理已经存在了150多年，但是它仍然对现在的数学学习、研究和应用都有着重要的意义。
初中数学 什么是三角形的中位线定理
初中数学什么是三角形的中位线定理三角形的中位线定理是指在一个三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段被称为中位线。
中位线将三角形分割为两个等面积的小三角形，并且中位线的长度等于对边的一半。
设三角形ABC的顶点为A，对边BC的中点为D，连接AD。
根据中位线定理，有以下结论：1. 中位线AD平分对边BC，并且AD = 1/2 * BC。
2. 中位线AD将三角形ABC分割为两个等面积的小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。
证明中位线定理的方法有多种，下面介绍一种简单的方法：首先，连接两个中位线BD和CE。
根据中位线的定义，BD和CE分别是AC和AB的中点。
由于BD平行于AC，根据平行线性质，△ABC和△BDC是相似的。
同样地，△ABC和△CEA也是相似的。
根据相似三角形的性质，相似三角形的边长成比例。
因此，我们可以得到以下比例关系：AB/BD = AC/CDAC/CE = AB/BE由于BD和CE都是对边的中点，所以BD = CE。
将这个等式代入上述比例关系中，得到：AB/BD = AC/CD --> AB/CE = AC/CD根据等式的传递性，我们可以得到：AB/CE = AC/CD这意味着△ABE和△ACD的边长成比例，根据边比例定理，它们是相似的。
接下来，我们证明△ABD和△ACD的面积相等。
由于BD和CE是对边的中点，所以它们的长度相等，即BD = CE。
这意味着△ABD和△ACD的底边相等。
同时，根据中位线定理，AD = 1/2 * BC，所以△ABD和△ACD的高度也相等。
因此，△ABD和△ACD的底边和高度都相等，根据三角形的面积公式S = 1/2 * 底边* 高度，它们的面积相等。
综上所述，中位线定理成立：连接一个顶点和对边中点的线段是对边的一半，并且将三角形分割为两个等面积的小三角形。
【政务民生】三角形中位线定理面积证明
三角形中位线定理面积证明1️⃣ 引言三角形中位线定理是几何学中的一个重要定理，它揭示了三角形中位线与对应底边之间的平行且等于底边一半的关系。
这一定理不仅具有理论价值，还在实际应用中发挥着重要作用。
本文将重点探讨三角形中位线定理的面积证明，通过详细的分析和推导，揭示其背后的几何之美。
2️⃣ 三角形中位线定理的基本内容三角形中位线定理表述如下：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边边长的一半。
设三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则线段DE为三角形ABC的中位线，且DE平行于BC，DE = 12 BC。
为了证明这一定理的面积关系，我们可以采用构造法，通过添加辅助线来构建新的图形，从而利用面积关系进行推导。
3️⃣ 面积证明过程步骤一：构造辅助线连接点A与三角形BCE的中点F，形成线段AF。
由于F是CE的中点，且D是AB的中点，因此四边形ADFE是平行四边形（对角线互相平分）。
步骤二：分析面积关系考虑三角形ABC与三角形BCE，它们有共同的底边BC，且高相同（从A点和E点分别垂直于BC）。
因此，三角形ABC的面积是三角形BCE面积的两倍（因为高相同，底边BC是三角形BCE底边的两倍）。
再观察三角形BCE与三角形BFE，由于F是CE的中点，且BF为三角形BCE 的高（从B点垂直于CE的延长线），因此三角形BFE的面积是三角形BCE面积的一半（底边EF是CE的一半，高相同）。
由于四边形ADFE是平行四边形，其对角线DF与AE互相平分，因此三角形ADF与三角形AEF面积相等。
同时，由于D是AB的中点，三角形BDF的面积与三角形ADF相等（底边DF相同，高从B点和A点分别垂直于DF）。
步骤三：推导中位线DE与三角形ABC的面积关系由于三角形BDF、三角形ADF、三角形AEF面积相等，且它们的总和等于三角形BCE面积的一半（即三角形ABC面积的14），因此三角形ADE的面积也等于三角形ABC面积的14（因为四边形ADFE是平行四边形，所以三角形ADE与三角形BDF面积相等）。
三角形面积与中位线的关系
三角形面积与中位线的关系三角形是几何学中的重要概念，它具有丰富的性质和特点。
其中，三角形的面积是一项基本性质，而中位线则是与面积密切相关的要素。
本文将探讨三角形面积与中位线之间的关系，并解释其数学原理。
一、三角形面积的定义与计算方法三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。
它的面积是描述三角形大小的一种度量方式。
根据几何学的定义，三角形的面积可以通过以下公式计算得出：面积 = 底边长度 ×高 / 2其中，底边长度是指三角形的任意一条边长，高是指与底边平行，并连接底边和不在底边上的顶点的线段的长度。
二、中位线的概念与性质1. 中位线的定义三角形的中位线是连接三角形的任意两个顶点和中点的线段。
即，对于三角形ABC，连接顶点A和BC的中点D所形成的线段AD就是该三角形的一条中位线。
2. 中位线的性质中位线具有以下重要性质：(1) 三角形的三条中位线交于一点，即重心G。
(2) 以中心顶点的中位线作为一条直径的圆，可以把三角形分成三个具有相等面积的小三角形。
(3) 中位线的中点是该中位线的另外两个顶点所对边的中点。
三、中位线与三角形面积的关系1. 中线的关系在三角形中，如果用中位线分别连接三个顶点与其对边的中点，会形成六条中线。
这六条中线先后相交于三个中心点，即重心G、内心I和外心O。
我们将重心G与面积的关系进行探讨。
2. 重心与面积的关系重心G被定义为三条中位线的交点。
根据中位线性质(1)，重心G 是三条中位线的交点，因此它们将三角形分成六个小三角形。
根据性质(2)，每个小三角形的面积相等。
因此，重心G把整个三角形分成六个面积相等的小三角形。
接下来，我们分别以三角形的任意一条边为底边，利用面积的计算公式推导与重心G有关的公式。
假设三角形ABC的底边为BC，高对应的高为h。
根据重心G把三角形分成六个小三角形的性质，我们可以得出以下结论：(1) S(ABG) = S(ACG)(2) S(ABG) = S(ABC) / 6(3) S(ABC) = 6 × S(ABG)因此，我们可以得出结论：三角形的面积等于通过重心G所形成的任意小三角形的面积乘以6倍。
中位线(基础)知识讲解
中位线（基础）【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握三角形重心的概念以及重心的性质.3. 理解梯形的中位线的概念，掌握梯形的中位线定理.4. 了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、三角形的重心1．概念：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心．要点诠释：垂心：三角形三条高线的交点．内心：三角形三条角平分线的交点．外心：三角形三边垂直平分线的交点．2．性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．要点三、梯形的中位线１．概念：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.２．性质：梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.要点四、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）.A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC ＝6，则DF的长是（）.A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．类型二、三角形的重心3、我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题：如图，∠B的平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直，并且BE=AD=4（1）猜想AG与GD的数量关系，并说明理由；（2）求△ABC的三边长．【思路点拨】（1）根据BE平分∠B可知∠ABG=∠DBG，再根据全等三角形的判定定理可知△ABG≌△DBG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）延长BA到F，使AF=BA，由AD是BC的中线，可知AD是△BFC的一条中位线，延长BE 交CF于H点，则BH垂直平分FC，可知E是△BFC的重心，由三角形重心的性质可求出AE、EH、HC的值，再根据勾股定理求出BC、EC的长，进而可得出AC的长．【答案与解析】（1）AG=GD …∵BE 平分∠B ， ∴∠ABG=∠DBG ，∵BG ⊥AD ，BG=BG ，∴∠BGA=∠BGD ，∴△ABG ≌△DBG ，∴AG=GD ，AB=BD ；（2）如图，延长BA 到F ，使AF=BA ，则△BFC 是等腰三角形…∵AD 是BC 的中线，∴AD 是△BFC 的一条中位线，延长BE 交CF 于H 点，则BH 垂直平分FC ，∴E 是△BFC 的重心，…∴AE=12EC ，EH=12BE=12×4=2， HC=12FC=AD=4， ∴在Rt △BHC 中，BC=222BH HC +=13， AB=BD=12BC=13， ∵在Rt △EHC 中，EC=2225EH HC +=，∴AC=AE+EC=35．【总结升华】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键． 举一反三【变式】G 为△ABC 的重心，△ABC 的三边长满足AB ＞BC ＞CA ，记△GAB ，△GBC ，△GCA 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则有（ ）.A.123S S S >>B. 123S S S ==C. 123S S S <<D. 123,,S S S 的大小关系不确定【答案】B.类型三、梯形的中位线4、在直角梯形ABCD 中（如图所示），已知AB∥D C ，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝（ ）.A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B ；【解析】解：作CG⊥AB 于G 点，∵∠ABC＝60°BC＝EF ＝4，∴BG＝2，设AB ＝x ，则CD ＝x －2，∵EF 为中位线，∴AB＋CD ＝2EF ，即x ＋x －2＝8，解得x ＝5，【总结升华】此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．类型四、位似5、利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.AB C DE A 1 B 1 C 1D 1E 1 A B C D E这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．E D G FF'E'D'AB C G'。
华师大版初中数学九年级上册24.4《中位线》ppt课件1
图 24.4.4
∴ GE GD DE 1
GC AG AC 2
∴ GE GD 1
CE AD 3
图．24.4.4 图 24.4.5
如果在图24．4．4中，取AC 的中点F，假设BF与AD交于 G′，如图24.4.5，那么我们
同理有 GD GF 1，所以
AD BF 3
2、如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例，那么这两个三角形 相似。
A
D
E
连接三角形两边 中点的线段,叫做 三角形的中位线
B
F
C
AF是△ABC的中线
DE是△ ABC 的中位线
A
的度数； 4、猜想DE和BC 之间有什么关系。为什么？
猜想：DE∥BC，DE＝ 1 BC 2
．
如图， △ABC 中，点D、E分别是AB与AC 的中点，证明：DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
结论：
三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
∵点D、E分别是AB与AC的中点， ∴ DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
∵点DE是△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
在AB外选一点C，连结AC和
BC，并分别找出AC和BC的中点M
、N，如果测得MN = 20m，那么 A
A、B两点的距离是多少？为什
么？
M
40
20CBiblioteka NB问题A 如图1：在△ABC中，DE是中位线
24三角形的中位线
E
AC上的中点 D、E，测量得：
DE=
，BC=
。B
C
∠ADE=
,∠ B =
。
我可以猜测出线段 DE与BC的数量关系式是
。
我还可以猜测出线段 DE与BC的位置关系是
。
怎样将一个三角形的纸片分成两部分，使 分成的两部分能拼成一个平行四边形呢？
操作：
（1）剪一个三角形，记为三 角形ABC；
（2）分别取AB、AC的中点 D、E；
∴ AE=CE,DE=EF,AD=CF
∵ 点D和E分别是边AB、AC的中点，
∴ AD=BD,AE=CE ∴ DB= CF 又∵∠ADE= ∠F，
A
D
E
F
∴ AD//CF，即DB//CF；
B
C
∴ 四边形DBCF是平行四边形
∴ DF//BC, DF=BC
即 DE//BC , DE ? 1 BC 2
辅助线作法一：
2.通过三角形中位线定理的推导过程，锻炼运用图 形变换思想进行推理论证的能力；
3.积极参与问题的讨论，锻炼观察、猜想、验证等 能力，增强学习数学的自信心。
要注意三角形的中位线与中线不是一个概念
A
A
D●
E ●
B
C
三角形的中位线： 连接三角形两边 中点的线段。
B
●
C
D
三角形的中线：连接一 个顶点和它所对边的中 点的线段。
（1） △ ABC的中位线有 HF、HE、E。F
（2）HF// AB ，HF=
= 9。
（3）HE// BC，HE =
=5 。
（4）EF//AC，EF =
= 8。
（5） △ HEF的周长是 22
数学中位线知识点总结
数学中位线知识点总结一、中位线的概念中位线（median line）是指一个图形中的中轴线或对称轴线。
在数学中，中位线通常指的是统计学中的中位数，它是一组数据中的中间值，即将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
中位线也可以指的是图形中的对称轴线，即将图形分成两个对称的部分的线。
二、中位线在统计学中的应用1. 中位数的计算在一组数据中，中位数是指把数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
如果数据中的个数是奇数，则中位数就是位于中间位置的数值；如果数据中的个数是偶数，则中位数是位于中间两个数值的平均值。
计算中位数是统计学中的常见操作，可用于描述数据的集中趋势。
2. 中位线的代表性与平均数不同，中位数不受极端值的影响，更能反映数据的真实情况。
当数据中存在极端值或异常值时，常常使用中位数来作为代表性指标，以避免这些极端值对总体趋势的影响。
3. 中位数的应用在实际问题中，中位数也常常用于分析人口收入、房价水平、企业利润等各种经济和社会数据，以反映总体的趋势和变化，具有很强的实用价值。
三、中位线的数学性质1. 数据的分布在一组数据中，中位数是数据分布的一个重要指标，它可以直观地反映数据的集中趋势。
当数据中的数值集中在中位数附近时，说明数据的分布比较均匀；当数据中的数值分散在中位数附近时，说明数据的分布比较不均匀。
2. 质数的中位数质数是指除了1和自身外，没有其他正因数的自然数。
在一组质数中，中位数通常是这组数据的中间值，通过求解中位数，可以更好地理解这组质数的分布规律和特点。
3. 数轴上的中位线在数轴上，中位线是指将数轴分成两段长度相等的线段，这两段线段的中点就是中位线。
在数轴上，中位线也被称为中点线，它是数轴的中心线，对称于原点。
四、中位线的几何性质1. 几何图形中的中位线在三角形中，中位线是指连接三角形的一个顶点与对边的中点的线段。
在四边形中，中位线是指连接四边形对角线的交点的一条线段。
在多边形中，中位线是指连接多边形一个顶点与对边的中点的线段。
三角形的中线与面积的关系
尝试应用
已 知 在 ΔABC 中 ， D,E,F 分 别 为 BC,AD,EC 边 上 的 中 点 ， 且 ΔABC 的 面 积 为 4cm²” ， 同 学 们 能 求 出 ΔBEF 的 面 积吗？
探索发现 以静制动
已知ΔABC的面积为4cm²，E,F分别为 AD,EC边上的中点，随着点D在BC上来回移 动，同学们能求出ΔBEF的面积吗？
❖ 难点：经历三角形中线与面积的关系探究， 探索发现生活中该关系的妙用。
导学探究
1,已知:ΔABC中,D为 ΔABC的中点,思 考 SΔABD,SΔACD, SΔABC有何关系？
2 , 若在上题中，添加 条件“E为AD的中 点，连接BE,CE”,思 考：依据以上的条件， 你能探究出哪些三角 形的面积关系。
方案设计
如图,有一块三角形的有良品种试验基地, 由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这 块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种 以上的划分方案供选择(画图说明)
A
B
C
过A点作0条中线
A
B
C
过A点作1条中线
A
A
A
B
CB
CB
C
A
A
B
C
B
C
过A点作2条中线
A
A
B
CB
过A点作3条中线 A
A
CB
C
三角形的中线与面积的关系
郯城五中 高金德
2009年3月
教学目标
❖ 在理解三角形中线与面积的关系的基础上， 积极探索发现生活中该关系的妙用，培养学 生良好的动手动脑的好习惯。
❖ 通过本节课的探究活动，进一步激发学生求 知欲望和对数学学科的探索热情。
重点与难点
九年级数学上册 23.4 中位线 中位线非常讲解素材 (新版)华东师大版
中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点，可以这样说，正因为有了它，才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线.希望同学们喜欢它，学好它.新课讲解三角形的中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在△ABC 中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是ABC的一条中位线.图12.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且12EF BC.3.注意：（1）三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.（2）三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的基本图形.4.应用.例1.如图2所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.图2 图3分析：欲证AP=AQ ，可考虑证明APQ AQP ∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）则MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线.利用BD=CE 易证FM=FN ，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠，于是APQ AQP ∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）由条件知：MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线所以FM ∥AC ，FN ∥BD ，11,22FM CE FN BD == 所以1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠又因为BD=CE ，所以 FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP ∠=∠，所以 AP=AQ评注：若已知条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.。
三角形中线与面积的关系
三角形中线与面积的关系
三角形中线与面积的关系
1.基本原理：三角形的面积和边的长度是有关系的，即三角形的面积受边的长度影响而变化。
2.三角形三边相等时：当三条边相等，即为三角形的时候，此时三角形的面积是和边的长度成正比的，即若边的长度增加，三角形的面积也会增加；同理，若边的长度减小，三角形的面积也会减小。
3.三角形任意两边相等时：当三角形任意两边相等时，三角形的面积和边的长度也是成正比的，即若边的长度增加，三角形的面积也会增加，同时若边的长度减小，三角形的面积也会减小。
4.三角形三边长度不一样时：当三角形三边长度不一样时，三角形的面积和边的长度也不再成正比，而是按照海伦公式计算。
海伦公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]－在该公式中，S表示三角形的面积，a、b、c分别表示三角形的三条边，p表示三角形的半周长，p=（a+b+c）/2。
换句话说，只有当半周长发生变化时，三角形的面积才会发生变化，而且变化不是简单的成正比变化，而是通过海伦公式而不同程度变化。
5.结论：根据以上结论，可以得出结论，三角形的面积和边的长度有关系，当三角形的三边长度都相等时，三角形的面积和边的长度成正比；当三角形的任意两边长度相等时，三角形的面积和边的长度也成正比；而当边长度不相等时，三角形的面积不再和边长度成正比，而是通过海伦公式而不同程度变化。
八年级数学下册24三角形的中位线三角形中位线的性质及应用素材(新版)湘教版
八年级数学下册24三角形的中位线三角形中位线的性质及应用素材（新版）湘教版三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
这一性质说明了三角形中位线与第三边的位置关系——平行，三角形的中位线与第三边之间的长度关系——等于第三边的一半。
运用这一性质可以解决一些与三角形中位线有关的问题。
一、说明线段相等例1：如图1，在△ABC中，BE是中线，AD⊥BC于D，∠CBE=30°，试说明AD=BE。
解：过E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，因为∠CBE=30°，所以BE=2EF。
又因为BE为中线，所以E为AC的中点。
因为AD⊥BC，EF⊥BC，所以EF∥AD，所以AD=2EF，所以AD=BE。
二、求线段的长度例2、如图2，在△ABC中，M是BC边的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB=12，AC=22，求MD的长。
解：延长BD交AC于E，因为BD⊥AD，图1C所以∠ADB=∠ADE=90°。
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠EAD。
又因为AD=AD，所以△ABD≌△AED所以AE=AB=12，BD=DE。
所以EC=AC-AE=22-12=10。
因为M是BC边的中点，D是BE的中点，所以MD=EC=5。
三、说明线段倍、分关系例3、如图3，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F，AF=AC,说明EF=BF。
解：取CF的中点G，连结DG，所以DG是△CFB的中位线。
因为AF=AC，所以F为AG 的中点，所以EF=DG，DG=BF，所以EF=BF 。
四、说明三角形的形状例4、如图4，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是边DC的中点，N是边AB的中点，△MPN是什么三角形？为什么？解：因为，P是对角线BD的中点，M是边DC的中点，N是边AB的中点，所以MP=BC，PN=AD，因为AD=BC，G图3AB CDFEDABCPMN图4所以MP= PN所以△MPN 是等腰三角形。
用面积法证明中位线定理
用面积法证明中位线定理中位线定理是三角形中一个重要的几何定理，它指出三角形中任意一条边上的中位线与该边所对应的两个三角形的面积相等。
这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，因此本文将详细介绍如何用面积法证明中位线定理。
一、定义和引理在证明中位线定理之前，我们需要先了解一些相关的定义和引理。
1. 三角形的中位线：连接一个角顶点与对边中点的线段称为该边所对应的中位线。
2. 三角形的重心：三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
3. 重心引理：在任意三角形ABC中，设G为重心，则有AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1。
二、证明过程下面我们开始证明中位线定理。
假设ABC是一个任意的三角形，其中AM是BC边上的一条中位线。
我们需要证明AM所对应的两个小三角形ABM和ACM面积相等。
1. 构造平行四边形首先，在AB和AC上分别取点D和E，使得AD=EC=AM（即AD、EC、AM共线）。
然后连接DE，并作DE平行于BC交AB和AC于F 和G。
这样我们就构造出了平行四边形AFGE。
2. 求出三角形的面积接下来，我们需要求出三角形ABM和ACM的面积。
由于AM是BC边上的中位线，因此有BM=MC。
又因为平行四边形AFGE中AF=GE，所以有AF=AM+MF，GE=EM+MG。
将上述等式代入三角形ABM和ACM的面积公式中可得：S(ABM)=1/2×BM×AD=1/2×BM×AMS(ACM)=1/2×MC×EC=1/2×MC×AM3. 求出平行四边形的面积接下来，我们需要求出平行四边形AFGE的面积。
由于DE平行于BC，因此三角形BDE与ABC相似。
又因为AD=EC，所以三角形ADM与CEM相似。
根据相似性质可得：BD/BC=AD/ABMD/MC=CE/CA将上述等式代入可得：BD/BC+MD/MC=(AD+CE)/AB+CA即：(BD+MD)/BC=(AB+AC)/AB又因为BD+MD=DE，所以：DE/BC=(AB+AC)/AB化简可得：DE=2S(ABC)/BC4. 证明中位线定理将步骤2和步骤3中求得的面积代入平行四边形AFGE的面积公式中可得：S(AFGE)=AF×DE=2AM×S(ABC)/BC将BC乘到等式两边可得：BC×S(AFGE)=2AM×S(ABC)由于平行四边形AFGE的面积等于三角形ABM和ACM的面积之和，因此有：S(AFGE)=S(ABM)+S(ACM)将上述等式代入可得：BC×(S(ABM)+S(ACM))=2AM×S(ABC)化简可得：2×S(ABM)=2×S(ACM)即：S(ABM)=S(ACM)因此，我们证明了中位线定理。
中位线课件
反证法
假设中位线定理不成立， 通过逻辑推理得出矛盾， 从而证明中位线定理的正 确性。
平行四边形法
利用平行四边形的性质， 结合已知条件推导出中位 线定理。
中位线定理的推广
三角形中位线定理的推广
在三角形中，若一条边上的中点与对边 的两个端点连成线段，则这两条线段的 长度相等。
VS
多边形中位线定理的推广
中位线定理是几何学中的重要定 理之一，它揭示了三角形中位线 与第三边的关系，为解决几何问 题提供了重要的思路和方法。
02 中位线的判定定理
三角形中位线定理
总结词
三角形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了三角形中位线的性质和 判定方法。
详细描述
三角形中位线定理指出，在一个三角形中，中位线是一条连接顶点与对边中点的 线段，且这条线段平行于第三边，并且长度为第三边的一半。这个定理可以通过 多种方式证明，其中最常用的是通过相似三角形和全等三角形来证明。
数学基础
中位线定理是几何学中的基础定 理之一，对于理解几何形状的性 质和解决几何问题具有重要意义
。
应用广泛
中位线定理在各个领域都有广泛的 应用，如建筑、工程、艺术、科学 等，是解决实际问题的重要工具。
培养逻辑思维
学习中位线定理有助于培养人的逻 辑思维和推理能力，提高解决问题 的能力。
中位线定理的学习方法与技巧
总结词
梯形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了梯形 中位线的性质和判定方法。
详细描述
梯形中位线定理指出，在梯形中，如果一条线段连接两个相 对边的中点，则这条线段平行于上底和下底，并且长度为上 底和下底的一半之和。这个定理可以通过相似三角形和全等 三角形来证明。
平行线中位线定理
三角形的中位线定理及判定方法
三角形的中位线定理及判定方法想要了解三角形中位线定理的小伙伴，赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“三角形的中位线定理及判定方法”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！三角形的中位线定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理是，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
三角形的中位线的判定方法1、过三角形的两边中点的线段，是三角形的中位线。
2、过三角形的一边中点且平行于另一边的线段，是三角形的中位线。
3、平行且等于三角形一边长度的一半的线段，是三角形的中位线。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
拓展阅读：三角形的面积公式1.已知三角形底a，高h，则等腰三角形的面积为S=ah/2。
2..已知三角形三边a，b，c，则S=√p（p-a）（p-b）（p-c）[p=（a+b+c）/2]。
3.已知三角形两边a，b，这两边夹角C，则S=（a*b*sinC）/2。
4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积S=[（a+b+c）r]/2。
5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积S=abc/4R。
6.海伦——秦九韶三角形中线面积公式：S=√[（Ma+Mb+Mc）*（Mb+Mc-Ma）*（Mc+Ma-Mb）*（Ma+Mb-Mc）]/3其中Ma，Mb，Mc为三角形的中线长。
7.已知三角形的三条边为a，b，c，三角形的角为A，B，C，则三角形面积为S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。
三角形的基本定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
中位线与面积
第24课 中位线与面积〖知识要点〗平行线等分线段、三角形、梯形的中位线、三角形、平行四边形、矩形、矩形、正方形、梯形的面积、等积变形、几何变换（平移、旋转、翻折） 〖考查要求〗1． 掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行另一边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理；2． 使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题； 3． 使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。
〖考查重点与常见题型〗1． 考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应用，如：一个等腰梯形的周长是100cm ，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是 2． 考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米 23． 考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现 〖预习练习〗1．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（ ） （A ） 矩形 （B ）等腰梯形 （C ）菱形 （D ）正方形2．在四边形ABCD 中，AC ＝BD ，厘米顺次连结四边形ABCD 各边中点所得的四边形一定是（ ） （A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）菱形 3．正方形的对角线的长为6cm ，则正方形的面积是 cm 24．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是15厘米2，则两条对角线的长分别是 厘米和 厘米 5．一个三角形和一个梯形的面积相等，它们的高也相等，已知三角形的底边为18，梯形的中位线的长等于 6．△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则S △ACD ＝ ＝12 ；若BD ：DC ＝3：2，则S △ABD ：S △ACD ＝[考点训练]：1．等腰三角形腰长为2，面积为1，则顶角大小是（ ） (A) 90° (B) 30° (C) 60° (D) 45°2．如图，G 是△ABC 的重心（三角形中线的交点）， 若S △ABC ＝6，则S △ABG 的面积是（ ） (A) 43 (B) 1 (C) 2 (D) 343．如图，AB ∥DC,ED ∥BC,AE ∥BD,则图中和△ABD 面积相等的三角形个数（不包括△ABD ）为（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 矩形两邻边的长是4cm ，6cm ，顺次连结它的四边中点所得的四边形面积是______cm 2. 5．若等边三角形的边长为a ，则它的面积为____________.6．菱形的边长为5cm ，一条对角线长为8cm ，则它的面积是__________. 7．等腰梯形的中位线长为m ，且对角线互相垂直，则此梯形的面积为____.8．四边形ABCD 为平行四边形，P,Q 分别是AD,AB 上的任意点，则S △PBC 与S △QCD 有什么关系？它们与原平行四边形的面积之间有什么关系？9．在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝5 5 ，AC ＝5，求∠A 的平分线的长。
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中位线与面积
〖知识点〗
平行线等分线段、三角形、梯形的中位线、三角形、平行四边形、矩形、矩形、正方形、梯形的面积、等积变形、几何变换（平移、旋转、翻折） 〖考查要求〗
1． 掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行另一
边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理； 2． 使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的
面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题；
3． 使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。
〖考查重点与常见题型〗
1． 考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应
用，如：
一个等腰梯形的周长是100cm ，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是 2． 考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：
三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米2
3． 考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现 〖预习练习〗
1．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（ ） （A ） 矩形 （B ）等腰梯形 （C ）菱形 （D ）正方形
2．在四边形ABCD 中，AC ＝BD ，厘米顺次连结四边形ABCD 各边中点所得的四边形一定是（ ）
（A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）菱形
3．正方形的对角线的长为6cm ，则正方形的面积是 cm 2
4．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是15厘米2
，则两条对角线的长分别是 厘米和 厘米
5．一个三角形和一个梯形的面积相等，它们的高也相等，已知三角形德国底边为18厘米，厘米梯形的中位线的长等于 厘米
6．△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则S △ACD ＝ ＝1
2 ；若BD ：DC ＝3：2，
则S △ABD ：S △ACD ＝ 考点训练：
1．等腰三角形腰长为2，面积为1，则顶角大小是（ ） (A) 90° (B) 30° (C) 60° (D) 45° 2．如图，G 是△ABC 的重心（三角形中线的交点）， 若S △ABC ＝6，则的面积是（ ） (A) 43 (B) 1 (C) 2 (D) 34
3．如图，AB ∥DC,ED ∥BC,AE ∥BD,则图中和△ABD 面积相等的三角形个数（不包括△ABD ）
为（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
A
B
C
D
G A
B
C
D
E
4. 矩形两邻边的长是4cm ，6cm ，顺次连结它的四边中点所得的四边形面积是______cm 2
. 5．若等边三角形的边长为a ，则它的面积为____________.
6．菱形的边长为5cm ，一条对角线长为8cm ，则它的面积是__________.
7．等腰梯形的中位线长为m ，且对角线互相垂直，则此梯形的面积为____.
8．四边形ABCD 为平行四边形，P,Q 分别是AD,AB 上的任意点，则S △PBC 与S △QCD 有什么关
系？它们与原平行四边形的面积之间有什么关系？
9．在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝5 5 ，AC ＝5，求∠A 的平分线的长。
10．如图,在△ABC 中，AD 为角平分线，CE ⊥AD ，F 为BC 中点， 求证：EF ＝1
2
(AB – AC).
解题指导：
1．已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 上的中线，E 是AD 中点，BE 的延长线交AC 于F 。
求证：EF ＝1
3
BE.
2．已知：如图，△ABC 中，BD,CE 分别平分∠B 和∠C ，P 是DE 中点，过点P 作BC,CA,AB
的垂线，垂足分别为L,M,N ，求证：PL ＝PM+PN.
3．证明以梯形一腰的中点及另一腰的两个端点为顶点的三角形面积等于原梯形面积的一半。
4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，N 是AD 中点，M 是BN 中点，P 是MC 的中点。
求证：S △MNP ＝1
8
S △ABC .
独立训练：
1． 如图，△ABC 中，DE ∥BC,且S △ADE ∶S △ABC ＝1∶2， 则AD ∶DB 等于（ ）。
(A) 12 (B) 1
2
(C) 2 – 1 (D) 2 + 1
2．已知三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边和为1＋ 3 ，
则此三角形面积为（ ）。
(A) 3 (B)
2 2 (C) 3
2
(D) 2 3．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝12，O 为对角线AC,BD 的交点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，则S △OCE ＝____________. A B
C
D
E
F A
B C D F
E A B D
E
L
P M N
A
B
C
D
P
M
N A
B
C
E D
4. 已知∠POQ 内有一点A ，求作△ABC ，使△ABC 的周长最小，且顶点B,C 分别在OP,OQ
上。
5.如图，AB ＝DE ，直线AE,BD 相交于点O ，∠B 与∠D 相等， 求证：AO ＝EO.
6．如图，ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，过E 作EF ，使∠AEF ＝∠BAE ，EF 交BC 于，
求证：CF ＝2BF.
7．如图，在平行四边形ABCD 中,E 是BC 的中点，DE,AB 的延长线交于点F ，求证：S △ABE
＝S △EFC .
O
P A
B
D E O A B
C D E F A B
C D
E F。