[小升初分班考试资料]第5讲-数论-教师版
小升初数学-数论-基础篇-整数专题解析必考知识点总结
小升初数学-数论-基础篇-整数专题解析必考知识点总结整数的认识1. 自然数整数02. 计数单位数位位数3. 数级4. 读法写法5. 改写省略四舍五入保留几位小数6. 近似数准确数7. 连续自然数8. 和积关系一自然数整数0自然数:定义：个数，极限：基本单位：意义：整数：定义：个数，极限：分类：0：作用：归类：例1. 判断：-3，-1，0，2，5都是自然数。
1. 判断：-6，-3，0，8，19都是整数。
（）0既是自然数，也是整数。
（）整数就是自然数。
（）例2. 最小的自然数是（），最大的自然数是（）自然数的基本单位是（）1 . 最小的整数是（），最大的整数是（），整数有（）个例3. 下列选项中的数是序数的是（）A. 6只鸡B. 5支铅笔C. 2幢楼D. 第6节课例4. 判断：7067中的0表示百位上一个计数单位都没有。
二计数单位数位位数计数单位：数位：位数：最小的1位数是：最大的1位数是：最小的两位数是：最大的两位数是：最小的三位数是：最大的三位数是：数位：1. 从个位起，第六位是（）位，第九位是（）位，第七位是（）位。
2. 与万位相邻的数位是（）和（）。
3.判断: 整数的最高位是千亿位。
（）计数单位：1. 与百万相邻的计数单位是（）和（）。
位数：1. 60606000是一个（）位数，最高位是（），从左往右数第二个6在（）位上，第三个6表示6个（）2. 一个数，它的最高位是十亿位，这个数是（）位数。
3. 最小的一位数是（），最小的三位数是（），最小的四位数是（），最大的五位数是（），最大的两位数是（）4. 最大的四位数与最小的三位数差（），最大的三位数比最小的三位数大（），比最小的六位数少1的数是（）。
5.判断：最小的四位数缩小到它的1/10 是最小的三位数。
（）6. 用最小的三位数与最大的两位数之差去乘最大的三位数与最小的四位数之和，积为（）三数级个级数位：计数单位：表示：万级数位：计数单位：表示：亿级数位：计数单位：表示：1. 个级的计数单位有（）2. 万级的数位有（）3. 亿级的计数单位有（）个，表示（）四读法写法读法：写法：读法，写法：例1. 二百零三亿四千五百万六千写作（）1. 二百零四亿零六十万零二十写作（）例2. 128226200 ，读作（）1. 6060076440，读作（）例3. 一个数由5个亿，6个千万，3个万，9个百，4个一组成，这个数写作（），读作（）1.你知道全国小学生的人数吗？这个数是由1个亿，2个千万，8个百万，9个十万，5个千组成的，这个数写作（）例4.一个数，十位和百位上的数字都是5，这个数写作（）1.写出一个最小的十位数，要使每个数位上的数字都不相同，这个数是（）2. 一个九位数，最高位上是9，百万位上是2，万位上是4，千位上是6，其余各位上都是0，这个数写作（）读作（）3.一个数，千万位上的数字是最小的质数，十万位上的数字是最大的一位合数，个位上的数字是0.5的倒数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作（），读作（）4.一个数，十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作（）读作（）例5.一个多位数，第九位上的数是1，第五位上的数是5，其余各位上的数都是0，这个数写作（）读作（）1. 一个数，亿级上是78，个级上是78，这个数是（）读作（）2. 一个多位数，第八位上的数是1，第五位上的数是6，其余各位上的数都是0，这个数写作（）读零：1. 90000604001读作（）2. 下面各数不需要读出零的是（）A. 3006210B. 6210300C.1206003.下面三个数中，两个0都读出来的是（）A. 33030B. 33003C.303034.下面各数中，三个0都读出来的是（）A. 60504032B. 60540320C.650403025.用两个0和三个8组成五位数，其中只读出一个0的数是（）两个0都读出来的数是（）两个0都不读出来的数是（）6.用3个0和3个6组成一个六位数只读一个零的有（），读两个零的有（），一个零也不读的有（）其中最大的一个数是（），最小的一个数是（）两数相差（）7.用5，7，8和四个0组成的七位数中，一个零也读不出来的最大数是（）只读出一个零的最小数是（）读出两个零的最大数是（）读出两个零的最小数是（）五改写，省略，四舍五入，保留几位小数改写改写的方法：1.改写成用“万”作单位的数改写成用“亿”作单位的数20345006000 （）（）94063506000 （）（）128226200 （）（）320000500 （）（）1950703000 （）（）2.把0.42亿改写成用“万”作单位的数是（）省略尾数省略尾数的方法：1. 省略万位后面的尾数约是省略亿位后面的尾数约是140900002 （）（）94063506000 （）（）700700070 （）（）174500000 （）（）1950703000 （）（）四舍五入1. 四舍五入到万位约是四舍五入到亿位约是四舍五入法精确到万位约是四舍五入法精确到亿位约是85473870 （）（）84001000 （）（）700700070 （）（）保留几位小数：1.3720600000改写成用“亿”作单位的数是（）亿保留两位小数是（）亿980064000 改写成用“亿”作单位的数是（）亿保留两位小数是（）128226200 保留一位小数是（）亿1370000000 保留一位小数记作（）亿六近似数，准确数例1.在下面的（）中填上适当的数字，使第一个数最接近50亿，第二个数最接近15万。
[小升初分班考试资料]第5讲-数论-学生版
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第五讲：数论1.从123456789101112…9899100中任意划去100个数字．其他数字顺序不变．剩下的数字组成的数，最大的是多少?最小的是多少?2.有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．3.一次数学考试满分是100分，6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?4.有四个不同的自然数，它们的和是1111，则它们的最大公约数最大是（）．5.有一种商品，买2个要1角钱，买5个要2角钱，买11个要4角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品51个，要是他们的钱合在一起，则最多能买115个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品（）个．6.有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（）（请写出所有可能的答案）．7.令0.1234567891011998999a ，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是（）8.连续7个偶数的和是196．这7个数中最大的一个偶数是多少?9.一个三位数除以43，商是a，余数是b（a、b都是正数)．求a+b的最大值．10.（1）把17分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？（2）把17分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？【例1】如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数n至少有一个倍数为“交替数”，则把n称为“好数”．(1)80是“好数”吗？说明理由．(2)证明：2008是“好数”．(3)证明：所有与10互质的正整数都是“好数”．【例2】n为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字．则n除以37的所有可能的余数之和为．【例3】在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手．选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去．问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同?请回答可能或不可能，并清楚地说明理由．注：没有同时到达终点的选手．【例4】已知n是正整数，规定!12m=⨯+⨯+⨯++⨯，则整数m除以=⨯⨯⨯，令1!12!23!32007!2007n n2008的余数为（）【例5】一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这种分数共有多少个？【例6】有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，所得结果是2000.81．这个四位数是（）．1.一个两位数被它的各个数字之和去除，余数最大是（）2.设x与y分别表示两个两位整数，并且满足方程1002+=，则y=（）x y xy3.实验小学的礼堂一共有座位24排．每排有座位30个，全校有650个学生在礼堂开会，那么至少育多少排座位上坐的学生人数同样多?4.两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数.。
小升初数学讲义之——数论
小升初——数论数论是考察学生数感、数字规律的观察能力的重点专题，这一讲我们将熟练运用已经学过的数论知识，解决数论问题。
掌握代数式处理数论问题的方法。
1、 六位数□2004□能被99整除，这个六位数是多少？2、 有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出最后两位数。
3、 若四位数a a 89能被15整除，则a 代表的数字是什么？4、 一个七位数c b a 9020是33的倍数，那么_______=++c b a5、 在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1803.6，则原来的四位数是多少？6、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
7、有一个整数，用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50，这个整数是多少？8、两个整数相除商8，余16，并且被除数、除数、商及余数和是463.那么被除数是多少？311，那么这三个质数和是多少？9、三个质数倒数和是100110、有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么他们的年龄各是多少？11、一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数的最小值是多少？12、求2520、14850、819的最大公因数和最小公倍数（用因数分解法）13、现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，那么4个数的公因数最大是多少？14、一个三位数正好等于它各位数字之和的18倍，这个三位自然数是多少？15、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？16、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是多少？A1999311能被72能除，试求A、B两数的差（大减小）17、如果一个九位数B18、一个四位数，给它加上小数点后，比原数小2003.4，这个四位数是多少？19、已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足那样条件的所有两位数是多少？1661，这三个质数和是多少？20、三个质数倒数的和是198621、小明是个中学生，最近他参加了一次数学竞赛，并获得了好成绩。
小升初分班考试资料
小升初分班考试数学集训一（计算）知识容：1、有理数计算。
主要考的是正数、负数的混合运算。
2、速算与巧算。
主要考的是分数和小数的混合运算以及解方程。
例题一1、1241123523⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、522120001999400016332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、()1112552343⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4、()()340115477⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦例题二1、75373696418⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭2、()()3524120.72120.725959⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3、5375164121836⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫------÷- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 4、()()133632310-÷⨯⨯-5、253452713364963122⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---÷-+-+÷-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭练习一1、1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋12、7737215543381258312⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、231512 6.2312 3.85552+-+--+4、()113700.2524.5525%42⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、35117()60461512-+--⨯6、1111735105⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7、()()()111113555522⎛⎫-⨯+-⨯+-÷-÷- ⎪⎝⎭例题三（1）10÷8+3.96×12.5%+2.04×162 （2）761×3.6+533×717+3.6（3）]12721474[154⨯+÷）（ （4）1999199819981998÷（5）95)138.13(95541÷-+÷-）（ （6）222345567567345566+⨯+⨯（7）75.313415413825.3151÷+⨯+÷ （8）1361135136135137⨯+⨯（9）6.13.1412178.41.9÷÷÷⨯⨯ （10）2231)2221224(⨯+ 例题四（1）143299263235215232+++++ （2）1091431321211⨯+⋯+⨯+⨯+⨯（3）)9911()9911()311()311()211()211(-⨯+⨯⋯⨯-⨯+⨯-⨯+（4）42413029201912116521+++++ （5） 20001990198819861999198919871985+⋯++++⋯+++（6）)200521()200521()721()721()521()521(-⨯+⨯⋯⨯-⨯+⨯-⨯+（7）20042002200420052004200320042004⨯-⨯ （8）)5049502501()434241()3231(211+⋯+++⋯+++++++ 例题五(1)若关于x,y 的二元一次方程组｛3x+2y=a+2,2x+3y=2a ｝的解满足x+y=4,求a 的值。
5余数问题
第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。
小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。
例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。
【例2】 1013除以一个两位数，余数是12。
求出符合条件的所有的两位数。
分析：1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91 有的同学可能会粗心的认为11也是。
11小于12，所以不行。
大家做题时要仔细认真。
【例3】（小学数学奥林匹克初赛）有苹果、桔子各一筐，苹果有240个、桔子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果等分到最后余2个不够分，桔子分封最后还余7个桔子不够再分，求最多有多少个小朋友参加分水果?分析：此题是一道求除数的问题。
五年级寒假第5讲-数论一(教师版)
设这个十全数为 4876abcd20．由于它能被 11 整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之 和的差能被 11 整除，即 8+6+b+d+0−(4+7+a+c+2)=b+d+1−(a+c)被 11 整除，可能是 b+d+1=a+c+11、 b+d+1=a+c、b+d+1+11=a+c．由于 a、b、c、d 四个数分别为 1、3、5、9 中的一个，只能是 b+d+1=a+c+11， 即 b+d=a+c+10．所以 b、d 是 9 和 5；a、c 是 3 和 1，这个十全数只能是 4876391520，4876351920， 4876193520，4876153920 中的一个． 由于它能被 7、13、17 整除，经检验，只有 4876391520 符合条件．
小升初奥数第5讲数论综合
第九讲：小升初专项复习（七）——数论综合一、训练目标知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。
能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。
思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。
二、知识与方法归纳数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力，数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”．因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了．任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作．”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论显得格外重要，数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“哥德巴赫猜想”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究．小学数学竞赛和小升初择校考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数和整数的分解与分拆同余、中国剩余定理等．三、经典例题例1.某自然数除2840，余数是32，这个自然数最小是多少？例2.有四个小朋友，年龄逐个增加一岁，4个人年龄的乘积是3024，问其中年龄最大的一个是几岁？例3.要使4个数的乘积135×975×342×（）的结果最后5位数字全是0，（）内的数最小应是多少？例4.一本陈年老账上记着：88只桶，共□67.9□元。
这里□处字迹不清。
请把□处数字补上，并求桶的单价。
例5.在2012后面补上3个数字，组成一个七位数，使它能分别被3、4、5整除，这个七位数最大是多少？例6.一个正整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个完全平方数。
例7.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数.例8.○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.例9.有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
小升初之数论专题
［知识要点］小学升初考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1 •带余除法：若a, b是两个整数，b>0,则存在两个整数q, r，使得a=bq+r （0<r v b）, 且q, r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2. 若a|c , b|c，且a, b 互质，则ab|c。
3•唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即PJp# …用, （1）其中pl v p2v・・・v pk为质数，a1, a2,…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4. 约数个数定理：设n的标准分解式为（1）,则它的正约数个数为：d （n）= （a1+1）（a2+1）・・・（ak+1）。
5. 整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x v y与x < y-1是等价的。
下面，我们将按数论题的内容来分类讲解。
第一节整除【专题简析】：在数的整除中要熟记数整除的特点，在用整除的知识来解决相关试题的时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其他的数字。
数整除的特征【例题精讲】例1.老师买了72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了口13.7 □元, 你能帮忙补上□中数字吗？练习1.马虎的采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只桶共□ 67.9 □元，□内的字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？例2.在算式labcde 3二abcdel中，不同字母代表不同的数，相同的字母代表相同的数，求abcde这个五位数是多少?练习2. 一个六位数，他的个位数字是6,将6移动到最前面，所得的数是原数的4倍，求这个六位数例3.从0,3,5,7,这4个数中任选3个，组成没有重复数字的三位数，在组成的数中能同时被2、3、5整除的数有多少个?练习3.从1、2、3、4、5中任取3个数组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中能同时被2和9整除的数有多少个?【综合练习】1. 学校李老师一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口. 2 □元，已知□处的数字相同，请问每支铅笔多少钱？2. 已知x1993y是45的倍数，求所有满足条件的六位数x1993y。
数论(5)余数问题教案
教案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 刘竞琰上课时间：学生签字：____________数论(五) 余数问题【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)性质1：余数小于除数性质2：性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数，即2.【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。
二、数的同余1.同余定义若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )同余式读作：a同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。
六年级下册数学讲义-小升初数论专题：5-数的整除之性质与求法(含答案)人教版
1．整除的定义所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商ab是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得a=b⨯c。
这时我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记作：“b|a”。
2．常用的数的整除特征常用的特殊自然数的整除特征⑴2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推⑵5系列：被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质。
假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x，那么该数=1000x+abc，由于8|1000，所以8|1000x，因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕。
⑶3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质。
假设该三位数为abc=100a+ 10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)，很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc就能被9整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。
⑷7，11，13系列：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7⨯11⨯13=1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明：和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x，那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除。
由于该数=1000 x+abc=1001 x+(abc-x)，又1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除，证毕。
小升初数学备考之——数论篇
小升初数学备考之——数论篇在小升初数学择校考试中，我们通常将其内容分为五大板块：计算问题、数论问题、几何问题、应用题以及数学原理类问题。
那么，什么是数论呢？数论最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。
后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。
确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，命题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定学生是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。
既然数论知识这么重要，那么，在小升初择校考试中，同学们在数论问题上的得分率如何呢？从近几年武汉市某些学校小升初试卷来看，数论问题在五大板块内容中得分率较低，得分率38.5%左右。
目前小学阶段的数论知识考点主要有哪些呢？它们真的就这么难吗？小学阶段的数论知识点主要有：整除及整除特征、奇偶性、极值问题；因数倍数、质数与合数、分解质因数；带余除法、同余性质、中国剩余定理、乘方等。
下面我们就从近年来武汉市各重点学校小升初择校试题来看看这些知识的难度究竟如何吧！小升初试题选讲（一）①从0、4、2、5四个数字中选出三个组成一些能够同时被2、3、5整除的三位数，其中最小的三位数是（）。
【2009年武汉市十一中试题】②期末考试六年级（1）班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班共有（）名学生。
【2008年水二中试题】③如果形如“2□1□”的四位数能被9整除，那么这样的四位数有（）个。
【2010年武珞路中学试题】④一个五位数，如果去掉万位和个位上的数字，就是一个能被2、3、5同时整除的最小三位数，在满足条件的这些五位数中，能被11整除的最大的一个数是（）。
【2008年武钢实验学校试题】这类题型主要考察数的整除特征。
小升初数论重点考查内容(重点中学选拔考试培训资料)共20讲
小升初数论专题训练（重点中学选拔考试培训资料）共20讲第一讲：概率与统计——两个知识点：古典概型与概率可乘性第二讲：经济利润问题第三讲：浓度问题第四讲：几何常用解题方法总结--特值法、比例法求面积、加减法求面积第五讲：曲线形面积问题——基本公式及曲面型面积问题三部曲第六讲：立体几何——立体几何表面积与体积常用方法总结：三视图法、切片法第七讲：约数与倍数——完全平方数第八讲：约数与倍数——约数三定律与短除模型第九讲：质数与合数——分解质因数考点、质数的快速判断、质数明星的考察第十讲：余数问题——带余除式与同余定理第十一讲：余数问题——中国剩余定理第十二讲：公式类行程问题——流水行船、扶梯问题、环形行程第十三讲：行程方法技巧总结——图解法多人行程、变速问题等等第十四讲：行程方法技巧总结——比例法,比例法基本关系、设数法在比例中的应用第十五讲：抵消思想——裂项第十六讲：抵消思想——约分第十七讲：计算技巧综合——重要公式、常用结论、经典方法第十八讲：计数两大原理——加乘原理第十九讲：容斥原理——总结容斥原理中最常考的几种题型第二十讲：计数方法综合——标数法、递推法古典概型(★★)一枚硬币连抛4次，求恰有2次正面的概率。
【举一反三】一枚硬币连抛3次，至少有一次正面向上的概率______。
(★★★☆)某列车有4节车厢，现有6个人准备乘坐。
设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0、1、2、3的概率为多少？(★★☆)某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生。
现要在6个班中随机选出2个班参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，抽取4名幸运观众。
那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为________。
【举一反三】学校门口经常有小贩搞摸奖活动。
某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。
搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上(如图)。
小升初数学 第5讲 数论综合
数论综合板块一质数合数例1．有三张卡片，它们上面各写着数字1,2,3，从中抽出一张，二张，三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数，二位数，三位数，请你将其中的质数都写出来。
例2．三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数。
例3．用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？例4．有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数，求这两个整数分别是多少？板块二约数和倍数例1．甲数是36，甲，乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？例2．大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留有60个脚印，求圆形花圃的周长？例3．210和330的最小公倍数是最大公约数的多少倍？例4．马鹏和李虎计算甲，乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲乙两数的乘积应是？例5．把26,33,34,35,63,85,91,143,分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分成多少组？板块三余数问题例1.有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数，除数，商与余数之和为2113，则被除数是多少？例2.已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？例3.有一个整数，除39,51,147,所得的余数都是3，求这个数？例4.有一个整数，用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是？例5.一个大于10的自然数去除90,164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？例6.著名的裴波那契数列是这样的：1,1,2,3,5,8,13,21----这串数列当中第2008个数除以3所得的余数是多少？板块四中国剩余定理例1.大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你前面有一条长长的阶梯，如果你每步跨2级，最后剩下1级，如果你每步跨3级，最后剩下2级，如果你每步跨5级，最后剩下4级，如果你每步跨6级，最后剩下5级，如果你每步跨7级时，最后正好走完，1级不剩。
六年级下册数学试题-小升初能力训练：数论综合——余数问题(解析版)全国通用
第05讲 数论综合——余数问题【一】了解“除法算式——a b qr b r ÷=> ()” 及应用1：一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是 .1010989108=910898÷=⇒∴÷=∴⨯+=最小的两位数是两位数一位数余数 求最大值一位数最大是，余数最大是 两位数 两位数2：用某自然数a 去除1707，得到商是37，余数是r ，求a 和r.17073717073717073746546461707463755375424545451707453742424645542a r a r a ra a r a a r a a r r =+⎧÷=⇒⎨>⎩÷==⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩+=<=⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩综上：或3：523除以一个数得到的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数与余数.带 余 除 法52310523105555523(5)105231152310(5)x x x x x x ÷=÷=+∴÷+=∴÷=∴=++法一： 法二：除数余数 除数余数余数与除数的差是 余数与除数的差是 若设余数为，则除数为 若给余数加上 除数 =52311=48=43434348x ∴÷=∴ 除数，余数 余数是，除数是4：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .484848484841532448794848415794798324A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨+++=⎩=⎧+∴⎨=⎩++++===⨯+=法一： 法二： 若设为，则为 则5：某个除法算式的被除数、除数、商与余数之和为115，如果被除数和除数都扩大为原来的2倍，得到的除法算式中被除数、除数、商与余数之和为223，那么原来的算式中商是 .11522222222311522237A B CD A B C D A B C D A B C D C ÷=⇒+++=÷=⇒+++=∴=⨯-=22222(22)22222a b q r a bq r a bq ra b bq r b q r a b q r a b q r÷=⇒=+⇒=+÷=+÷=∴÷=⇒÷=证明：6：某个整数除36，商和余数相等，那么这个整数可能是 .3636(1)136=8111735b c c bc c c b b b cb ÷=⇒=+=++>是的因数，但是枚举：、、、7：在大于2015的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有多少个？5758575756201558=3443355635122a c c c a c c c c c =+=⎧÷=⇒⎨<⎩÷⇒∴=-+= 的最大值是 的最小值是 个数（个）【二】余数性质（余数特征+余数可加可减可乘性+余数周期性）251425281253393999100001000100109999(91)99999a b c d e abcde a b c d ea b c d abcde a ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩=⨯+⨯+⨯+⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯被和整除：末位尾系被和整除：末位被和整除：末位被、整除：各位数字和是、的倍数和系被整除：两位一段，求和 证明： [弃9法 整特征]除0000100999999711131110001001()10000100010010()bc dea bc abcde ab cde ab cde ab abc a bc de a bd c de e +⨯+=⨯+⨯+⎧⎨⎩=⨯+=⨯+-=⨯+⨯+++⨯+⨯+ 被、和整除：三位一段，奇数段偶段和差系被整除：奇位和偶位和 证明： [()(999)910019911999910019911(]a a b b c c d e c a d e a b c d a c m e a mc e b c nf b nc f a b mc e nc f m n d b ++-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯++⨯-+⨯++⨯-+⎪=⨯+⨯+⨯+⨯+⎩÷==+⎧⎧⇒⎨⎨÷==+⎩⎩+=+++=+ 对于（1） 余数可加可减可乘2)()()()()()()()()()()()1192329c e f a b ce f a b mc e nc f m n c e f a b ce f a b mc e nc f mnc mcf nec ef a b ce f ++⇒+÷+⇒-=+-+=-+-⇒-÷-⇒⨯=+⨯+=+++⇒⨯÷⨯⇒÷÷ （2） （3） 余数可加 举性余数可减性余数可乘性例259753295⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷⎧⎧⎪⎨⎨⎪÷⎩⎩⎩或者（一）余数特征+余数可加可减可乘性的“基础练习”1：将假分数5051525354557⨯⨯⨯⨯⨯化成带分数后，真分数部分是多少？5051525354557505152535455123456(24)(35)681561166(mod 7)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≡⨯⨯≡只要计算除以的余数即可（二）余数特征+余数可加可减可乘性的“拓展练习”71310010100101010110101100101001010110101101010110ABCDABCDABCD BCD DAB B C D D A B A B C D ABC DAB CDA BCD CDA ABC C D A A B C A B C D A B ⎧=+=+++++⎪=+++⎪⎨=+=+++++⎪⎪=+++⎩-=++证明：判断能被和整除奇段和 偶段和 奇偶10110110101109191919191()91713713C D A B C D B A D C B A D C ABCDABCDABCD +----=-+-=-+-=⨯∴ 能被和整除1：（1）求20172017201720172017个除以9的余数. （2）求20146666个除以7的余数.201712017201720172017201711120171(mod 9)≡≡≡个个 20146666666666100120146335466666666666660302(mod 7)=⨯÷=∴≡≡-≡≡≡个2：求1020162017201620162016个除以7的余数.9201620163603603602016201620167020162016201670201720162016201620172016000(mod 7)1428577110000001000000711000712017201600020172016(mod 7)20÷∴÷⇒≡⨯+=∴÷∴÷⇒≡个10个个个个172016201710000201620177110000742016701404=⨯+÷÷÷∴=⨯+=余数可乘，余数3：求15!除以17的余数.15!4!(56)(71113)(89)(10121415)243010017225210015!7131541415916021069654636181(mod 7)15!(29)(36)(413)(57)(815)(1012)(1114)171=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⇒≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡⨯≡≡=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯法一：法二：每个括号内两数之积都是除以 余 15!171∴÷ 的(2)!1(mod )p p p ⇔-≡延伸说明：上一题的（2）是威尔逊原理内容： 是质数（三）余数周期性的“基础练习”1：兔子数列：1、1、2、3、5、8、13、……，第2017项除以5的余数.5112303314044320224101123033020201720100172÷=兔子数列每一项除以的余数如下：周期是， ，即余2：分别求出23456789103333333333、 、 、 、 、 、 、 、 、 除以7的余数.发现规律，并求出1003除以7的余数. 并试求231001+3+3+3++3除以7的余数.234567891010043333333333326451326461006164334(mod 7)⇒÷=⇒≡≡、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是若为01231002+2+2+2++2除以7呢？61016165(132645)1613262116162(mod 7)⇒÷=⇒≡+++++⨯++++≡⨯+≡周期是 原式3：今天是周四，100010天之后将是周几？234567891010004101010101010101010103264513264610006166410104(mod 7)⇒÷=⇒≡≡⇒、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是周一（四）余数周期性的“拓展练习” 1：求3332除以31的余数.33133333231535334812228(mod 31)n ∴÷=⇒≡≡≡研究除以的余数容易发现周期是只要考虑除以的余数，容易发现周期是42：求332的末位数字.33133481333(mod10)÷=⇒≡≡寻找末位就是相当于除以10的余数周期现象：1、3、9、7、1、3、9、7、……，周期是4(1)(2)(3)x Nx N x N x x 以下是固定值，是变量对于，其个位数字是4个一循环 对于，其个位数字是10个一循环 对于，其个位数字是20个一循环3：求123420132014123420132014+++++除以10所得的余数是多少？12341920201234192014765636901636567490944,201420100141001004(14765636901636)=463463++++++++++++++++++++++++=÷=⨯++++++++++++++除以10的余数就是相当于寻找其个位数字，底数指数都是变化的，即周期为先计算的个位数字：为“”其个位数字是即个整周期还多出14个个位数字即为“”的个3位数字是 ，即答案就是34：求2007200720072007200712342006++++计算结果的个位数字是多少？200732007320073200720072007200720073333311(mod10)22(mod10)20072007(mod10)1234200612342006(mod10)≡≡≡+++++≡+++++首先，按规律，底数不变指数变化，其个位数字的周期是每4个一循环 即 、 、 得到： 然后，按规律，底数变化指数不变，其个位数字的周期是每10个一循环 33333333333333331234105(mod10)1234200652001234561(mod10)+++++≡+++++≡⨯++++++≡ 又因为， 所以，【一】化余数为整除（余数相同） （一）余数已知1：某个整数除41，余数是5，那么这个整数可能是几？ 415(415)03603636181296b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、、、2：某个整数除31，余数是7，那么这个整数可能是几？ 317(317)024********b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、同 余 问 题3：某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是几？(6711)05606711(15111)01400561408415111(15167)0840(56,140,84)28112814b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩=>∴=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、4：某个额整数除229、337得到的余数都是13，这个整数最大是几？最小是几？ (22913)021*******(33713)0324033713(337229)01080216324108(216,324,108)1081310818b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩⇒⇒=>∴是、、的公因数是最大公因数的因数，且最大为，最小为（二）余数未知1：某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 41(4111)030030302153105611b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、、2：某个大于1的整数除89、71得到的余数相同，那么这个整数可能是几？89(8971)01801818293671b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、3：某个大于1的整数除17、53、113得到的余数相同，那么这个整数可能是几？ 17(5317)036053(11317)0960369660113(11353)0600(36,96,60)12122634b r b bb r b b b b b r b b b ÷-÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷-÷÷⎩⎩⎩=∴=是、、的公因数是最大公因数的因数、、、、【二】化余数为整除（余数不同） （一）余数已知1：某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是几？ 475(475)04204263652(652)0630(42,63)215217b bbb b b bbb b ÷-÷÷⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⎨⎨⎨÷-÷÷⎩⎩⎩=>∴=是、的公因数是最大公因数的因数，且、2：（拓展）用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？ 13（二）余数未知1：某个整数除29、56的余数分别是a 、3a +，这个数可能是几？ 2929(5329)0240245635333324128462924529125298524,12,8()56248561285680294129654(),6()56405662b aba bbb ba baa b b b b b b b ÷÷⎧⎧⇒⇒-÷⇒÷⇒⎨⎨÷+÷⎩⎩+≥⇒>∴=÷÷÷⎧⎧⎧===⎨⎨⎨÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧==⎨⎨÷÷⎩⎩是的因数、、、、验证：舍去舍去舍去综上2412b =，、2：某个整数除47、121、232的余数分别是a 、2a +、5a +，这个数可能是几？4747(11947)07201212119(22747)018002325227(227119)0108072180108(72,180,108)36536181296473636b a b a b b b a b a b b b a b a b b b b b b b ÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪÷+⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪÷+÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⇒⇒=>∴=÷=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、、、、验证：114718114712111213613,181211813,12121121(),2323616232181623212447924765912194(),612161()23297232643618b b b b b ÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷=÷=÷⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧⎪⎪=÷=÷⎨⎨⎪⎪÷÷⎩⎩=舍去舍去舍去综上，、3：一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数的和a 的值.429+54248482(848791)0570791279127912(1000791)0209050050010002(1000848)0152057209152(57,209,15b a ba b a b b b a ba b a b b b a b a b a b b b b ÷÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪÷⇒÷⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷÷÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⎩⇒⇒是、、的公因数是最大公因数的因数2)19519571911192091912152196196b b b b a =>∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩==，且验证：综上，，4：已知60、154、200被某数除所得的余数分别是1a -、2a 、31a -，求这个自然数的值. 22222333361(3721154)03567060161154154154(61154)2001201(9394201)09193020135679193(3567,9193)b a b b b a b a b a b a b a b ab a b a b b b a b b ⎧⎛÷⇒-÷⇒÷÷-÷⎪ ⎧⎧ ÷⎪⎪⎪⎝÷⇒÷⇒⎨⎨⎨⎛⨯÷⎪⎪⎪÷-÷⇒-÷⇒÷ ⎩⎩⎪ ÷⎝⎩⇒⇒=是、的公因数是最大公因数的因数29296029229154299200292629b b b ∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩=验证：综上，5：（拓展）糖果254粒，饼干210块，水果186个. 某幼儿园人数超过40人，平均分给学生，余下糖果、饼干、水果比是1:3:2，求共有多少人？没人每种各分多少个？5082(508186)032202541862210321031862(440210)02300(254186)3322230(322,230)4640223254202210201862b ab b b a b a b a b a b a b b b a b b b b b ⎧÷⎧⇒-÷⇒÷÷⎧⎨⎪÷⎪⎪⎩÷⇒⎨⎨÷⎧⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⎨⎩⎪+÷⎩⎩⇒⇒=<∴=÷=÷÷是、的公因数是最大公因数的因数，且、验证：254231()23210233018623223b b ÷⎧⎧⎪⎪=÷⎨⎨⎪⎪÷⎩⎩=舍去，综上，6：有一个整数，用它除70、110、160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？121233111221233370110(70110160)()340502900290160707070121101333531718316011b r b r b r r r bb b b rbr b b r b r b r b r b r r r b b b b r b r b ÷⎧⎪÷⇒++÷++⇒÷⇒÷⇒⎨⎪÷⎩÷≤÷≥+⎧⎧⎪⎪÷⇒≥+⇒≥+++⇒≥⇒≥⇒≥⎨⎨⎪⎪÷≥+⎩⎩∴=是的因数现在讨论的就是范围对来说，其中,290,2,145,5,58,10,29581105815229b b =÷==对于， ，不成立综上，【三】同余方程 1：（铺垫）（1）解同余方程：45(mod11)x ≡45(mod11)41151(45)110451144(mod11)5115245(mod11)4511(mod11)416(mod11)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x x x x ≡÷⎧⇒-÷⇒-=⇒=⇒≡⎨÷⎩≡≡+≡=∴≡ 转化： 试除：(mod )(,)1(mod )(mod )()()0()()()()(,)1(mod )ac bc m c m a b m ac m x pac bc m ac bc m x y c a b m x y bc m y p c a b m x y c m m a b a b m a m b m a b a b m m m ≡=≡÷=⎧≡⇒-÷=-⇒-=-⎨÷=⎩-=-=-≡÷÷--=证明：若，当 时，有开始：对“”，有对“”，若，为的因数若想让“”，即让“的余数等于的余数”，即“化为分数相减为整数”同时，确实为整数，得证.（2）解同余方程：729(mod13)x x ≡+729(mod13)7131(729)130(29)135913()(59)130592677(mod13)2729(mod13)59(mod13)59132(mod13)5x x x r x x x rx x x x xx x x x x ≡+÷⎧⇒--÷⎨+÷⎩-=⨯⎧⇒-÷⇒⎨-=⇒=⇒≡⎩-≡≡≡+⨯ 转化： 试除： 35(mod13)(5,13)17(mod13)x ≡=∴≡2：用枚举法检验的方法，找出有那些整数x 满足：35(mod 7)x ≡，用一个同余式来表示结果.135(mod 7)411184(mod 7)235(mod 7)357(mod 7)312(mod 7)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x ≡=≡≡≡+≡=∴≡ ，枚举得到、、、，表示为3：求解同余方程：3843(1)(mod13)x x +≡+. 8343(1)(mod13)83433(mod13)83334(mod13)5334313(mod13)58(mod13)58x x x x x x x x x +≡++≡+-≡-≡-+⨯≡≡+第一步：化简 第二步：（试除法） 134(mod13)XX 5383(mod13)560(mod13)1524(mod13)(5,13)112(mod13)211(mod13)(XX ) 5x x x x x x ⨯⨯≡⨯≡≡=∴≡≡⨯ （法） 法888(mod13)21113(mod13)4064(mod13)224(mod13)12(mod13)12(mod13)x x x x x ≡⨯≡+≡≡≡≡5：（拓展）老师选了一个两位数，然后讲这个数乘23，并且加上79，发现正好是111的倍数，你能猜出老师选的是什么数吗？23790(mod111)2311179(mod111)2332(mod111)235325(mod111)115160(mod111)x x x x x x +≡≡-≡⨯≡⨯≡设这个两位数为，得到 4160(mod111)40(mod111)40.x x ≡≡ 即这个两位数是一：余同加余，差同减差，和同加和 1：小强家有很多巧克力:。
小升初数学专项训练+典型例题分析-数论篇(教师版(含答案)
名校真题 测试卷 数论篇一时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （13年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （13年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 （13年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505 =＿＿。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+2113=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。
小升初专项训练 数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
小升初数学-数论部分
一般题型整除，分解题型最大公约数，最小公倍数，奇偶性比较大小分数，比及比例的性质一．一般题型：知识点：1.掌握自然数，小数，分数的奇数单位；2.一个分苏化成最简分数后，如果分母中只含有质因数2或5，那么这个分数就可以化成有限小数，否则就不能化成有限小数；3.在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，但是余数也要扩大或缩小相同的倍数；例如：a÷b=c……d，那么（100a）÷（100b）=c……（100d）练习：1.一个九位数，最高位上是最小的合数，千万位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，其余各位上都是0，这个数写作（），读作（），把这个数改写成以“万”做单位的数是（），省略亿后面的尾数约是（）2.由1、2、3这三个数字能组成数字不重复的三位数一共有（）个，它们的和是（）。
3.一道除式，商是22，余数是6，被除数与除数的和是259，这道除式的除数是（），被除数是（）。
4.一个数三位小数的近似数是0.05这个数必须大于或等于（）且小于（）。
5.（成都西川中学2011年试题）一个小数的小数点向右移动一位后，比原来的数大28.26，那么原来的数是（）6.五个连续偶数中最大数是248，那么这五个数的平均数是（）.7.两个连续自然数的和乘以它们的差，积是99，这两个自然数中较大的数是（）.8.一个两位数，个位上和十位上数字都是合数，并且是互质数，这个数最大是（）9.从100里减去25，加上22，再减去25，加上22，这样连续进行，当得数是0时，减去了（）个25，加上了（）个22。
（）.10.2，4，10，10四个数，用四则运算来组成一个算式，使结果等于24．（）．11.被减数、减数与差的平均数是60，减数是差的3倍，减数是（）．12.若a÷b=8……3 , 那么（100a）÷(100b) = 8……（）。
13.一次数学检测只有两道题，第一道题全班有27做对，第二题全班有33人做对，两题都对的有15人(没有人做错)，那么全班有（）人14.（重庆市巴川中学2012年试题）一个数保留两位小数是10.00，那么这个数最小是（）,最大是（）15.（成都西川中学2011年试题）一个整数四舍五入到万位，约是50000，这个数最小是（）A 50001B 44445C 44999D 4500016.（成都实验中学2011年试题）一根木料锯成4段要47段要（）分钟。
第五讲 余数问题-(带完整答案)五年级奥数
第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。
小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。
例题讲析基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
余数小于除数。
理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。
在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。
【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
分班考 数论教师版
一、 奇偶性1、通常偶数可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k 为整数）表示。
2、偶数个奇数的和或差是偶数，奇数个奇数的和或差是奇数。
3、在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
4、对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶。
二、 整除1． 位值原理：形如：abc =100a+10b+c2．3． ① 如果c|a 、c|b ，那么c|(a ±b)。
② 如果bc|a ，那么b|a ，c|a 。
③ 如果b|a ，c|a ，且（b,c ）=1,那么bc|a 。
④ 如果c|b,b|a,那么c|a.⑤ a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。
三、 质数合数1、常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.2、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数知识要点3、唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a× p22a×...×pk ak四、约数倍数1、短除法求最大公因数（先找出所有共有的约数，然后相乘．）例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；2、短除法求最小公倍数例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；3、约数个数与约数和定理：设自然数n的质因子分解式如n= p11a× p22a×...×pk ak那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)；n的所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pk ak）4、最大公约数与最小公倍数之间的关系：A B Ma Mb M Mab⨯=⨯=⨯；(,)[,]A B A B A B⨯=⨯。
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第五讲：数论1. 从123456789101112…9899100中任意划去100个数字．其他数字顺序不变．剩下的数字组成的数，最大的是多少?最小的是多少?【分析】 为了保证剩下的数最大，最高位数字要尽可能地大，先从12345678910中划去10个数字剩下9；再从1112134950中划去76个教字剩下4个9；再从515260 中划去14个数字剩下尽可能大的数785960，所以最大的数是99999785960616299100． 为了保证剩下的数最小，最高位数字要尽可能地小．从12345678910中划去9个数字剩下10：再从1112134950中划去76个数字，剩下4个0，最后从51525960 中划去15个数字，剩下尽可能小的数12340，所以最小的数是10000012340616299100． 解答：最大的是99999785960616299100． 最小的是10000012340616299100． 2. 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【分析】 平方数的末尾只能是014569、、、、、，因为111444555666999、、、、都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察11111444 、可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444． 解答：满足条件的最小正整教是1444．3. 一次数学考试满分是100分，6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?【分析】6(10091)54⨯-= 916526-= 542628-= 第一100 第二99 28127-= 271314=+所以1001387-= 第三至少得874. 有四个不同的自然数，它们的和是1111，则它们的最大公约数最大是（ ）．【分析】111111101=⨯， 111235=+++ ∴四个数分别1011101,⨯= 1012202,⨯=1013303,⨯= 1015505⨯=最大公约数为101．5. 有一种商品，买2个要1角钱，买5个要2角钱，买11个要4角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品51个，要是他们的钱合在一起，则最多能买115个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品（ ）个．【分析】511147÷= 7512÷= 221÷= 小明的钱数：44211119⨯+⨯+⨯= （角）11511105÷= 551÷=两人一共有钱：4102142⨯+⨯= （角）小红有钱： 421923-=（角）23453÷= 3211÷=小红最多能买：5115262⨯++=6. 有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（ ）（请写出所有可能的答案）．【分析】 个位 只能 3和7 或 8和4(13,27)(23,37)(33,47)(43,57)(53,67)(63,77)(73,87)(83,97)、、、、、、、中 只有(43,57)符合(18,32)(28,42)(38,52)(48,62)(58,72)(68,82)(78,92)、、、、、、中 只有 (18,32)和(68,82)符合所以一共有(43,57)(18,32)(68,82)、、三组答案． 7. 令0.1234567891011998999a = ，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是（ ）【分析】9902189+⨯= 20081891819==181936081÷=第608个三位数是707 707708 即707的下一位是78. 连续7个偶数的和是196．这7个数中最大的一个偶数是多少?【分析】2468101242+++++= (19642)722-÷=这七个数分别是22,24,26,28,30,32,34最大是349. 一个三位数除以43，商是a ，余数是b （a 、b 都是正数)．求a +b 的最大值．【分析】999432310÷= 那么一个三位数÷43=2242 为余数最大． 这个数432242988=⨯+= 最大值224264=+=．10. （1）把17分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？（2）把17分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？【分析】(1)8和9 (2)3,3,3,3,3,2【例1】 如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数n 至少有一个倍数为“交替数”，则把n 称为“好数”．(1)80是“好数”吗？说明理由．(2)证明：2008是“好数”．(3)证明：所有与10互质的正整数都是“好数”．【分析】 （1）80的任何倍数的十位和个位都是偶数．（2）200824016⨯=，前两位都是偶数，用251000“改造”千位，4016251000255016+=．万位和千位都是奇数，“改造”十万位和万位，25100002550162765016+=，满足条件．（3）首先证明任意一个与10互质的数都有倍数可以写成“99…99”的形式，证：设这个与“10”互质的数是A ,取A 个不同的自然数n ，求10n 被A 除所得的余数，根据抽屉原理，必有两个余数相等，将余数相等的两个被除数相减，则可得到“999000 ”，这个数能被A 整除，由于A 与10互质，所以去掉末尾的0后，剩下的999 仍是A 的倍数，设这个数由m 个9构成，即写成9999m，将这个数重复写两遍得到 2999999m，它也是A 的倍数，将它除以11，再乘以210210210210210101000100010001000100010001m m m m m -----（能被11整除），得到22-19090909090909m ，这个数仍然是A 的倍数，并且是“交替数”，所以A 是“好数”． 【例2】 n 为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字．则n 除以37的所有可能的余数之和为 ．【分析】 n 可能为9876;8765;7654;6543;5432;4321;3210它们的余数分别是34;33;32;31;30;29;28余数之和=342872172+⨯= 【例3】 在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手．选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去．问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同?请回答可能或不可能，并清楚地说明理由．注：没有同时到达终点的选手．【分析】 (解一)不可能，因为从1100 选出1个加上从1100 选出1个，结果可能是2200 ，共 有199种情况，一旦确定一个数，如11+，那么2和102就不能再出现，即确定一个数就减少两种情况，那么确定100个数就需要200种情况，本题只有199种情况，所以不可能．（解二）不可能，末2位数字都不相同说明0099 各有一个．而000102994950++++= ，末2位数字为50．所有选手身上和号码布上的号码总和应该为：(12100)210100+++⨯= ，末2位数字为00．【例4】 已知n 是正整数，规定!12n n =⨯⨯⨯，令1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯ ，则整数m 除以2008的余数为（ ）【分析】 （解一）(1!12!2)3⨯+⨯÷ 余数是2(1!12!23!3)4⨯+⨯+⨯÷ 余数是3(1!12!23!34!4)5⨯+⨯+⨯+⨯÷ 余数是4(1!12!23!34!45!5)6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷ 余数是5(1!12!23!34!45!52007!2007)2008⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯÷ 余数是2007（解二）1!12!23!32007!20071!(21)2!(31)3!(41)2007!(20081)2!1!3!2!4!3!2008!2007!2008!1⨯+⨯+⨯++⨯=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=-+-+-++-=- 2008能够整除2008!，所以2008!1-的余数是2007【例5】 一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这种分数共有多少个？【分析】 假设该混循环小数是990.99009900abcd ab ab cd abcd -+== ，那么其中cd ≠0,11,22,33，44,55,66,77,88,99，且b ≠d ，所以99ab cd +不是11和10的倍数.令ab x =，cd y =，则1990.99009900abcd ab x y abcd n -+=== ，那么()999900x y n +=，而所以()99x y +是9900的约数，且不是11和10的倍数. 9900的约数中11的倍数有222990023511=⨯⨯⨯，9900的约数中11的倍数有33327⨯⨯=个，10的倍数有232224⨯⨯⨯=个，即是11也是10的倍数有12个，显然对任意值，x 和y 都有99以内的符合条件自然数解，所以符合条件的解有3332(272412)15⨯⨯⨯-+-=个，对应的n 也有15个，即这样的分数有15个，【例6】 有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，所得结果是2000.81．这个四位数是（ ）．【分析】 结果的小数点后有两位，说明这个小数要么是.,0x ynm m =，要么是.xy nm1,9x y ∴== 190 1.92000.81n n +≠所以只能是 1919.2000.81nm nm +=8,1n m == 1981xynm =1.一个两位数被它的各个数字之和去除，余数最大是（ ）【分析】 数字和18，991859÷=数字和17，9817513÷=；891754÷= 数字和16，971661÷=； 881658÷= ；7916415÷= 所以余数最大是152.设x 与y 分别表示两个两位整数，并且满足方程1002x y xy +=，则y =（ ）【分析】 方程两边除以x ，得1002y y x +=，即2100y y x=-， y 为偶数，2y ∴被4整除，又 两位数除以两位数只能在19 之间， 4y x ∴=或8y x = 经验证8y x=不符合题意，舍去， 所以4,13,52y x y x ===3. 实验小学的礼堂一共有座位24排．每排有座位30个，全校有650个学生在礼堂开会，那么至少育多少排座位上坐的学生人数同样多?【分析】 假设24排座位上坐的人数都不一样多，那么最多只能坐307242444+⨯÷=（）人；假设有两排坐的人数同样多，最多可以坐30191222588+⨯÷⨯=（）人：假设由3排坐的人数同样多．最多可以坐3023823636+⨯÷⨯=（）.假设相同人数的座位有4排．最多能坐3025624660+⨯÷⨯=（）人，超过650人的总人数．所以至少有4排座位上的人数相等．解答：至少有4排座位上的人数相等．4. 两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数.【分析】 1925=5×5×7×11两个商都是1925的约数，互质，而且和为16，所以这两个商分别1为5、11.1925÷5=385，1925÷11=175这两个整数是385与175.。