(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《空间点、直线、平面之间的位置关系》理 新人教B版
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第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解空间直线、平面位置关系的定义 .2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．(对应学生用书第97 页 )[基础知识填充 ]1．平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理 2的三个推论推论 1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行图形语言关系相交关系符号语言a∥ b a∥αα∥β图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝Aα∩β＝l图形语言独有关系符号语言a，b 是异面直线a? α3.平行公理 (公理 4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥ a，b′∥ b，把 a′与 b′所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角．π(2)范围： 0，2 .[知识拓展 ]异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．[基本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过 A 点的任意一条直线． ()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线 a 不平行于平面α，且 a?α，则α内的所有直线与 a 异面． ()[答案 ] (1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编 )如图 7-3-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线B1 C 与 EF 所成的角的大小为 ()图7-3-1A．30°B．45°C．60°D．90°C[ 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的角，又 B1 D1＝ B1C＝D1 C，∴∠D1B1C＝ 60°.]3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B， C，D 是平面的基本性质公理． ]4．(2016 ·山东高考 )已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[ 由题意知 a? α， b? β，若 a，b 相交，则 a， b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b 与平面α的位置关系是 ________．b 与α相交或 b? α或 b∥α(对应学生用书第98 页 )平面的基本性质(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C， E 共面，则 A，B，C， D，E 共面；③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证：①E，C，D1，F 四点共面；②CE，D1F，DA 三线共点．图7-3-2(1)B[ ①中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故①正确；②中若点A，B，C 在同一条直线上，则A，B，C，D，E 不一定共面，故②错误；③中，直线b，c 可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误． ](2)①如图，连接 EF，CD1， A1B．∵E，F 分别是 AB， AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C， D1，F 四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE 与 D1F 必相交，设交点为P，则由 P∈直线CE，CE? 平面 ABCD，得P∈平面ABCD.同理 P∈平面ADD 1A1.又平面 ABCD∩平面 ADD1 A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE， D1F，DA 三线共点．[规律方法 ] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．[变式训练 1](1)(2018 上·饶模拟 )如图 7-3-3 所示，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ 与 CB 的延长线交于点 M， RQ 与 DB 的延长线交于点 N，RP 与 DC 的延长线交于点 K.给出以下命题：图 7-3-3①直线 MN? 平面 PQR；②点 K 在直线 MN 上；③M，N， K， A 四点共面．其中正确结论的序号为 ________．【导学号： 79170240】1 1(2)如图 7-3-4 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊2AD，BE 綊2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．①证明：四边形 BCHG 是平行四边形；②C，D，F， E 四点是否共面？为什么？图7-3-4(1)①②③[ 由题意知， M∈PQ，N∈RQ，K ∈RP，从而点 M，N，K∈平面PQR.所以直线 MN? 平面 PQR，故①正确．同理可得点 M ，N，K∈平面BCD.从而点 M，N，K 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上，即点 K 在直线 MN 上，故②正确．因为 A?直线 MN，从而点 M ，N，K，A 四点共面，故③正确．]1(2)①证明：由已知 FG＝ GA， FH＝ HD ，得 GH 綊2AD.1又BC 綊2AD，∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形．②C，D，F， E 四点共面，理由如下：1由BE 綊2AF，G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF，∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG.由①知 BG∥CH，∴ EF∥CH，∴EF 与 CH 共面．又 D∈FH ，∴ C，D，F，E 四点共面．空间直线的位置关系(1)(2018 金·华模拟 )已知 a，b，c 为三条不同的直线，且a? 平面α， b? 平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交；②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；③若 a∥ b，则必有 a∥ C．其中真命题有 ________．(填序号 ) 【导学号： 79170241】(2)(2017 郑·州模拟 )在图 7-3-5 中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有 ________(填上所有正确答案的序号 )．①②③④图7-3-5(1)①③(2)②④[(1) 对于①，若 c 与 a，b 都不相交，则 c∥a，c∥b，从而 a∥b，这与 a 与 b 是异面直线矛盾，故①正确．对于②， a 与 b 可能异面垂直，故②错误．对于③，由 a∥b 可知 a∥β，又α∩β＝c，从而 a∥c，故③正确．(2)图①中，直线 GH∥MN；图②中， G，H，N 三点共面，但 M?平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接MG，GM ∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中， G，M，N 共面，但 H?平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图②④中， GH 与 MN 异面． ][规律方法 ] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练 2](2018 烟·台模拟 )a，b，c 表示不同的直线， M 表示平面，给出四个命题：①若 a∥ M，b∥M，则 a∥b 或 a， b 相交或 a，b 异面；②若 b? M， a∥b，则 a∥M；③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b；④若 a⊥M，b⊥M ，则 a∥B．其中正确的为 ()A．①④B．②③C．③④D．①②A[对于①，当 a∥M，b∥M 时，则 a 与 b 平行、相交或异面，①为真命题．②中， b? M， a∥b，则 a∥M 或 a? M，②为假命题．命题③中， a 与 b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题． ]异面直线所成的角(1)如图 7-3-6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝ 2AB＝2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 ()图 7-3-61 2A．5 B．53 4C．5 D.5(2)(2018 泸·州模拟 )如图 7-3-7 所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是 CC1，AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成角的余弦值等于 ________．图7-3-715 [(1) 连接 BC1，易证 1 1(1)D (2) 5 BC ∥AD，则∠A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角．连接 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，在△A1BC1中，由余弦定理得5＋ 5－ 2 4cos∠A1BC1＝＝.2×5×5 5(2)取 BC 的中点 G.连接 GC1，则 GC1∥FD 1，再取 GC 的中点 H，连接 HE、OH，∵E 是 CC1的中点，∴GC1∥EH.∴∠OEH 为异面直线所成的角．5 5在△OEH 中， OE＝ 3，HE＝2 ，OH＝2 .OE2＋EH2－OH2 3 15由余弦定理，可得 cos∠OEH＝2OE·EH ＝＝5 .]52· 3·2[规律方法 ] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练 3]如图7-3-8，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧 A1 B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 ________．【导学号：79170242】图7-3-82[ 取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D，AD，则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 AD∥BC，所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角，因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D⊥圆柱下底面，所以 C1 D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以 C1D＝2AD，所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为2，所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2.]。
高三第一轮复习 空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系【提纲挈领】主干知识归纳 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 作用：判断空间两条直线平行的依据．2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类：⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：(]0，π2. (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言 公共点 直线与平面相交a ∩α＝A1个平行 a ∥α 0个 在平面内a ⊂α 无数个 平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个规律方法总结：1．求异面直线所成角的方法(1)平移法：选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．2．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．3．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．4．证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【指点迷津】【类型一】平面的基本性质及应用【例1】如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()【解析】：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．【例2】在下列命题中，不是．．公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【解析】：选A选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．【例3】下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是()A．0B．1 C．2 D．3【解析】：选C对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．【例4】如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：EF，HG，DC三线共点．证明：连接C 1B ，HE ，GF ，如图所示．由题意知HC 1綊EB ，∴四边形HC 1BE 是平行四边形， ∴HE ∥C 1B.又C 1G ＝GC ，CF ＝BF ， 故GF 綊12C 1B ，∴GF ∥HE ，且GF ≠HE ，∴HG 与EF 相交，设交点为K ，则K ∈HG . 又HG ⊂平面D 1C 1CD ， ∴K ∈平面D 1C 1CD.∵K ∈EF ，EF ⊂平面ABCD ， ∴K ∈平面ABCD.∵平面D 1C 1CD ∩平面ABCD ＝DC ， ∴K ∈DC ，∴EF ，HG ，DC 三线共点． 【类型二】空间两直线的位置关系【例1】已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面【解析】： 依据题意，b ，c 分别为a 在α，β内的射影，可判断b ，c 相交、平行或异面均可． [答案] D【例2】已知空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 的中点．①求证：BC 与AD 是异面直线； ②求证：EG 与FH 相交．[证明] ①假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B ，C ，A ，D ∈α.所以四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾．所以BC 与AD 是异面直线． ②如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则EFGH 为平行四边形．又EG ，FH 是▱EFGH 的对角线， 所以EG 与HF 相交．【类型三】异面直线所成的角【例1】已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为________．解析：如图连接BA 1. ∵BA 1∥CD 1， ∴∠A 1BE 为所求． 在△A 1BE 中，设AB ＝1，则AA 1＝2， ∴A 1B ＝5，A 1E ＝1，BE ＝ 2. ∴cos ∠A 1BE ＝31010. 答案：31010【例2】如图所示，点A 是平面BCD 外一点，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝2，则异面直线AD 和BC 所成的角为________．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1，FG ∥AD ，且FG ＝12AD＝1.即∠EGF 为所求，又EF ＝2，由勾股定理逆定理可得∠EGF ＝90°. 故答案为90°【例3】在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A. 15 B . 25 C.35D.45[解析] 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45. 故答案为D【例4】（2015高考北京理．16,14分,节选（3））如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，DC=DC AD AA ⊥=,3,321，AC ⊥BD ，垂足为E. （Ⅰ）求证BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）求二面角A 1—BD —C 1的大小； （Ⅲ）求异面直线AD 与BC 1所成角的大小. 解法一几何法：（III ）过B 作AD BF ∥交AC 于F ,连结1,FC 则1C BF ∠就是AD 与1BC 所成的角.EB 1C CBAA 1D D F2,,1,2,1,2,,AB AD BD AC AE BF EF FC BC DC ==⊥=∴====11FC BC ∴==在1BFC ∆中,11cos arccos5C BF C BF ==∴∠=即异面直线AD 与1BC所成角的大小为arccos5解法二向量法： 如图,由1111111(0,0,0),(2,0,0),(0,(2,0,0),(.6,||2,||.cos ,5||||D A C B AD BC AD BC AD BC AD BC AD BC AD BC →→→→→→→→→→→=-=-∴===∴<>===得∴异面直线AD 与1BC所成角的大小为arccos 5【同步训练】【一级目标】基础巩固组1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线 D ．一定垂直 解析：选D ∵a ⊥b ，b ∥c ，∴a ⊥c.2．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．互为异面直线解析：选C 不论l ∥α，l ⊂α还是l 与α相交，α内都有直线m 使得m ⊥l.3．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立． 4．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交 B ．只能与a ，b 中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：选B对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A；对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确；易知C、D不正确．6.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为()A.36B．－36 C.33D．－33解析：选A延长CD至H.使DH＝1，连接HG、HF、则HF∥AD. HF＝DA＝8，GF＝6，HG＝10.∴cos ∠HFG＝8＋6－102×6×8＝36.7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是() A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选B连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.8．过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．9.如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：510.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：312．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．解析：∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.答案：30°【二级目标】能力提升题组1．如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解析：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCD -A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C 为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A 1C 1与B 1C 所成角为60°.(2)如图，连接BD ，由AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1可知A 1ACC 1是平行四边形，所以AC ∥A 1C 1. 即AC 与EF 所成的角就是A 1C 1与EF 所成的角． 因为EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥BD. 又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥AC ，即所求角为90°.2．A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点， (1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.3．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD.又BC 綊12AD ，故GH 綊BC.所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．【高考链接】1．（2016上海．理19，满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，弧AC 长为23π，弧A 1B 1长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积 (2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则弧A 1B 1的度数=111B O A ∠=3π∴111B A O ∆为正三角形∴11134O A B S=∴111111113312C O A BO A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC弧AB=弧A 1B 1= 3π,弧AC=23π ∴弧BC=3π ∴3BOC π∠=∴ΔBOC 为正三角形 ∴1BC BO == ∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒2．（2015高考上海，文19，满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小. 【解析】因为2=PO，1=OA ，所以三棱锥AOC P -的体积312112131213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆OP CO AO OP S V AOC ．因为AC OE //，所以异面直线PA 与OE 所成的角就是PA 与AC 的夹角.在ACP ∆中，2=AC ，5==CP AP ，过P 作AC PH ⊥，则22=AH ， 在AHP Rt ∆中，1010cos ==∠AP AH PAH ， 所以异面直线PA 与OE 所成角的大小1010arccos.。
高三一轮复习教案29_空间点、直线、平面之间的位置关系理科资料
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系【2014年高考会这样考】1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【复习指导】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．三个作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是()．A．空间中不同三点确定一个平面B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．梯形一定是平面图形2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()．A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线3．(2011·浙江)下列命题中错误的是()．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()．A．12对B．24对C．36对D．48对5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分．考向一平面的基本性质【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．考向二异面直线【例2】►如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．考向三异面直线所成的角【例3】►(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【训练4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误【示例】►(2011·四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【试一试】(2010·江西)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()．A．1条 B．2条 C．3 D．4条第4讲直线、平面平行的判定及其性质【2014年高考会这样考】1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质．2．以解答题的形式考查线面的平行关系．3．考查空间中平行关系的探索性问题．【复习指导】1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分．2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．基础梳理1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是()．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④解析①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理．答案 D2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．(2012·银川质检)在空间中，下列命题正确的是()．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β4．(2012·温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()．A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．考向一直线与平面平行的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.【训练1】如图，若P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.考向二平面与平面平行的判定与性质【例2】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【训练2】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.【解决方案】利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化.【示例】►(本题满分12分)(2011·山东)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD ＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.【试一试】(2010·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体BDEF的体积．第5讲直线、平面垂直的判定及其性质【2014年高考会这样考】1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合．2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．【复习指导】1．垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力．2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．基础梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．三类证法(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b .(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；②判定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α；③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.(3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是()．A ．l 与平面α内的两条直线垂直B ．l 与平面α内无数条直线垂直C ．l 与平面α内的某一条直线垂直D ．l 与平面α内任意一条直线垂直2．(2012·安庆月考)在空间中，下列命题正确的是( )．A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行3．(2012·兰州模拟)用a ，b ，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．(2011·聊城模拟)设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )．A. ⎭⎬⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥βB.⎭⎬⎫b ⊂β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C. ⎭⎬⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥α D.⎭⎬⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α5．如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________．考向一 直线与平面垂直的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD .证明：AD ⊥平面P AC .(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．考向二平面与平面垂直的判定与性质【例2】►如图所示，在四棱锥P ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD.面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．【训练2】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．【训练3】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.考向四线面角【例4】►(2012·无锡模拟)如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．阅卷报告11——证明过程推理不严密而丢分【问题诊断】高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档题，大多数考生会做而得不到全分，往往因为推理不严密，跳步作答所致.【防范措施】解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点.引入数据要明确、要写明已知、设等字样.要养成良好的书写习惯.【示例】►(2011·江苏)如图，在四棱锥P ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD 的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.。
高考数学(理科)一轮复习：单元八 立体几何 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
正确;命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.
2
解析
关闭
答案
第八章
考点1 考点2 考点3
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-11-
考点 1
平面的基本性质及应用
例1
(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD= 1 1 ∠FAB=90°,BC= 2AD,BE= FA ,G,H分别为FA,FD的中点. 2 ①四边形BCHG的形状是 ; ②点C,D,E,F,G中,能共面的四点是 . (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点 O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是 . 答案: (1)①平行四边形 ②C,D,E,F
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只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面 直线,故选D.
关闭
D
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-8-
1
2
3
4
5
3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b ( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
)
关闭
由已知得,直线c与b可能为异面直线,也可能为相交直线,但不可能为平行 直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.
关闭
C
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-9-
1
高考数学大一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系 理
4．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个 平面； 推论 2：经过两条 相交 直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条 平行 直线有且只有一个平面．
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公理中“有且只有”一个平面的含义是什么？ 提示：平面存在且唯一，“有且只有”有时说成“确 定”．
3 连接 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO＝DADO＝22＝34.
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求异面直线所成的角常采用“平移线段 法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线 平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形 平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
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(2014·大纲全国卷)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的
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3．定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补．
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(1)不相交的两条直线是异面直线吗？ (2)不在同一平面内的直线是异面直线吗？ 提示：(1)不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能 异面． (2)不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平 行．
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(2)∵EF 綊12CD1，
∴直线 D1F 和 CE 必相交． 设 D1F∩CE＝P.延长 D1F、CE 交于点 P. ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D，∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD，∴P∈平面 ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D＝AD，∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点．
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(2)已知空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 BC，CD 的中点．
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结1.内容归纳总结 （1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,,////a b a baααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》
高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.【教材导读】1．分别在两个平面内的直线就是异面直线吗？提示：不是．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，指的是找不出一个平面同时经过这两条直线，分别在两个平面内的直线可以平行、异面或相交．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？提示：直线与平面的位置关系有：相交、平行、在平面内．平面与平面的位置关系有：平行、相交．1．平面的基本性质及相关公(定)理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内判断直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α确定平面、直线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的寻找两平面的交线；证明线共点公共直线公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行//m n证明线线平行两角相等或互补的定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补A A'∠=∠A Aπ'∠+∠=判断或证明两角相等或互补2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β交点个数000相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 交点个数11无数个其他关系图形语言符号语言a，b是异面直线aα交点个数0无数个3.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；(2)范围：0，π2.【重要结论】经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．1．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．(A)0 (B)1(C)2 (D)3B解析：①正确，若有三点共线，则四点必共面；②错误，当A、B、C共线时，A、B、C、D、E不一定共面；③错误，在正方体中，BC与AB共面，BC与CC1共面，但AB与CC1异面；④错误，也可以是空间四边形．2.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()(A)点A(B)点B(C)点C但不过点M(D)点C和点MD解析：通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB，∴M ∈γ，而C∈γ.又∵M ∈β，C ∈β，∴γ和β的交线必通过点C 和点M .3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6答案：C4．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线BB 1与AD 1所成的角为( ) (A)π3 (B)π4 (C)π6(D)π2 B 解析：如图，因为BB 1∥AA 1，所以∠A 1AD 1为直线BB 1与AD 1所成的角， 在Rt △AA 1D 1中，∠A 1AD 1＝π4.5．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________________． 答案：b 与α相交或bα或b ∥α考点一 平面的基本性质及应用如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点．求证： (1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．解析：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理p∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．【反思归纳】(1)证明点共面或线共面的常用方法①直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．②同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．③辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明空间点共线问题的方法①公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(3)证明三线共点的方法先选取两线交于一点，再证明该点在第三条线上即可．【即时训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC，，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解：C，D，F，E四点共面，证明如下：∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．法二如图所示，延长FE，DC分别与AB的延长线交于点M，M′，∴B为MA的中点．中点．∴M与M′重合．即EF与CD相交于点M(M′)，∴C，D，F，E四点共面．考点二空间两直线的位置关系(1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠ 2.有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：(1)过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确的序号是①③.(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：(1)①③(2)3【反思归纳】(1)空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，常常利用线面垂直的性质来解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．【即时训练】(1)下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．②两条直线没有公共点，则这两条直线平行．③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)3(2)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC＝BD(D)异面直线PM与BD所成的角为45°答案：(1)A(2)C考点三异面直线所成的角问题已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()(A)32(B)155(C)105(D)33解析：解法一如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C.解法二 如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，则MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC .在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72.在△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.答案：C【反思归纳】 (1)求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移； 补形平移．(2)求异面直线所成角的三个步骤 ①作：通过作平行线，得到相交直线．②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．③求：通过解三角形，求出该角．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成的角的余弦值为________．解析：如图取A1B1的中点F，连EF，则EF∥BC，∠AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a，可得AE＝32a，AF＝52a，在△AEF中，运用余弦定理得cos∠AEF＝23，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为23.借助正方体判定线面位置关系下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，还有可能相交，也可能异面，故A错．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行，也可能相交，故B错．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行，也可能垂直．故D错．正确的只有C.故选C.易错提醒：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设α、β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ()(A)若l⊥β，则α⊥β(B)若α⊥β，则l⊥m(C)若l∥β，则α⊥β(D)若α∥β，则l∥mA解析：依题意，若l⊥β，lα，则α⊥β，故A正确；若α⊥β，则l与m可能平行、垂直或异面，B错误；若l∥β，则α与β平行或相交，C错误；若α∥β，则l与m平行或异面，D错误，选A.2．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是()①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．(A)1(B)2(C)3 (D)4A解析：对于①，m，n的位置关系可能为相交、平行或异面，①错误；对于②，易知是正确的；对于③，直线n可能与平面β平行、相交或直线n在平面β内，③错误；对于④，易知正方体的相邻两个侧面的对角线在底面的射影互相垂直，但这两条直线显然不垂直，所以④错误．综上所述，真命题的个数为1，故选A.3．已知ABC－A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是()(A)在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°(B)在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°(C)在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行(D)在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直B解析：如图，设该直三棱柱的棱长为2，过点M作MP⊥BC交BC于点P，连接AP，则MP＝2，AP＝ 3.因为2＞3，故在棱AA1上存在点N，使得MN与平面BCC1B1所成角的大小为45°.故选B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°C解析：延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°，故选C.5．下列命题正确的是()①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③B．①④C．②④D．②③C解析：注意考查所给的问题：①不在同一条直线上的三点确定一个平面，原说法错误；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，该说法正确；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，原说法错误；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确．综上可得：命题正确的是：②④.故选C.6．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC所成角为60°，且AD＝3，则BC等于________．解析：将该四面体放入长方体中，如图，在直角三角形CBE中，CE＝3，∠BCE＝60°，＝2 3.所以斜边BC＝3cos 60°答案：2 37．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错．易知③④正确．答案：③④8.如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD、BC的中点，则异面直线AN、CM所成的角的余弦值是________．解析：连接ND，取ND中点为E，则ME∥AN，则∠EMC为异面直线AN、CM所成的角，因为AN＝ND＝MC＝32－12＝22，所以ME＝2，CE＝(2)2＋12＝3，则cos∠EMC＝CM2＋ME2－CE22CM·ME＝8＋2－32×22×2＝78.答案：789．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD 与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.能力提升练(时间：15分钟)10．下列说法错误的是()(A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(C)如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直(D)如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行D解析：选项A，B，C均正确，故排除．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，D错误．故选D.11．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C 与BE所成角的余弦值为()(A)15(B)31010(C)1010(D)35B解析：如图连结A 1B .由题意知A 1D 1∥BC ，所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，故D 1C ∥A 1B .所以∠A 1BE 为异面直线D 1C 与BE 所成的角．不妨设AA 1＝2AB ＝2，则A 1E ＝1，BE ＝2，A1B ＝5，在△A 1BE 中，cos ∠A 1BE ＝A 1B 2＋EB 2－A 1E 22A 1B ·EB ＝5＋2－12×5×2＝31010，故选B. 12．直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为( )(A)22(B)12 (C)32 (D) 2A 解析：连接AB 1交A 1B 于F ，连接EF ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，所以AF ⊥平面A 1BCD 1，所以角FEA 为所求线面角，其正切值为AF EF ＝221＝22.故选A.13．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填正确条件的序号)①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面解析：本题考查线面之间的位置关系，易知③正确．答案：③14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．解析：如图，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，所以总能使MP 与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋ 515．如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC＝2BC＝2CD＝2，P A⊥圆O所在的平面，P A＝3，点M在线段BP上，且BM＝13BP.(1)求证：CM∥平面P AD；(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值．解：(1)作ME⊥AB于E，连接CE，如图，则ME∥AP.∵ME面P AD，AP面P AD，∴ME∥面P AD.因为AC是圆O的直径，AC＝2BC＝2CD＝2，所以AD⊥DC，AB⊥BC所以∠BAC＝∠CAD＝30°，∠BCA＝∠DCA＝60°，AB＝AD＝3，因为BM＝13BP，所以BE＝13BA＝33，tan∠BCE＝BEBC＝33，所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，所以EC∥AD.∵EC面P AD，AD面P AD∴EC∥面P AD.又ME∩CE＝E，所以平面MEC∥平面P AD，又CM平面MEC，CM/ 平面P AD，所以CM∥平面P AD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于G，作BF∥CG，交AG于F，连接PF，如图所示，则∠PBF为异面直线BP与CD所成的角，设∠PBF＝θ. 易知AF＝1，PB＝6，BF＝2，PF＝2，故cos θ＝PB2＋BF2－PF22PB·BF＝6＋4－426×2＝64.即异面直线BP与CD所成角的余弦值为64.。
【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《空间点、直线、平面之间的位置关系》
考点梳理 2．空间中两直线的位置关系
______ 平行 共面直线 相交 _______ (1)位置关系的分类 任何 异面直线：不同在______一个平面内
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′ 锐角或直角 ∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的_____________叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
若 α⊥β，l∥α，则 l 与 β 关系不确定，故 D 错
[答案] B
对于空间点、线、面的位置关系的判定与应用问题，必要时可 【反思】 以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，特别是对 于选择题，显得更为有效．
揭秘3年高考
【试一试】 设 m、n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同 的平面，有下列四个命题： ①若 m⊂β，α⊥β，则 m⊥α； ②若 α∥β，m⊂α，则 m∥β； ③若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β； ④若 α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则 m⊥β. 其中正确命题的序号是( )． A．①③ B．①② C．③④ D．②③
助学微博
考点自测
【例1】 【训练1】
突破3个考向
考向二 空间中两直线的位置关系 【例2】 【训练2】 考向三 异面直线所成角
【例3】 【训练3】
揭秘3年高考 活页限时训练
准确判断空间点、线、面的位置关系
A级 B级
ì 1 选择题 、 ï ï 填空题 í 2、 ï 解答题 ï 3、 î
ì 1 选择题 、 ï ï 填空题 í 2、 ï 解答题 ï 3、 î
从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面， 所以 A、B、C、D 在同一平面内， 这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾． 故直线 EF 与 BD 是异面直线．
2014届高考数学一轮复习方案 第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业 新人教B版
课时作业(三十九) [第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2012·吉林期末] 一个正方体的展开图如图K39－1所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )图K39－1A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°2．[2012·青岛模拟] 已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( ) A．0个 B．1个C．2个 D．3个3．[2012·琼海模拟] 已知一个平面α，l为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b使得( )A．l∥b B．l与b相交C．l与b是异面直线 D．l⊥b4．以下四个命题中，正确的命题是________(填序号)．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．能力提升5．平面α∩β＝l，直线m⊂α，直线n⊂β，则m，n的位置关系是( )A．异面 B．平行C．相交 D．无法确定6．在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设BC＋AD＝2a，则MN与a的大小关系是( )A．MN>a B．MN＝aC．MN<a D．不能确定7．[2012·开封调研] 以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．38．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交9．如图K39－2所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )图K39－2A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC10．共点的四条直线最多能确定平面的个数是________．11．给出下列条件：①空间的任意三点；②空间的任意两条直线；③梯形的两条腰所在的直线；④空间的任意一条直线和任意一个点；⑤空间两两相交的三条直线．其中一定能独立确定一个平面的条件的序号是________．12．[2012·杭州检测] 已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．13．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．14．(10分)如图K39－3，设E ，F ，G ，H 分别是三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、AD 的中点，若AC ＝BD ＝1，求EG 2＋FH 2的值．图K39－315．(13分)已知：如图K39－4，空间四边形ABCD 中，E ， H 分别是边AB ，AD 上的点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ(0<λ，μ<1)，试判断FE ，GH与AC 的位置关系．图K39－4难点突破16．(12分)如图K39－5，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)证明：FE、AB、CD三线共点．图K39－5课时作业(三十九)【基础热身】1．D [解析] 将平面展开图还原成几何体，易知AB 与CD 所成的角为60°，选D. 2．B [解析] ①不对，b ，c 可能异面；②不对，b ，c 可能平行；平行移动直线不改变这条直线与其他直线的夹角，故③对，选B.3．D [解析] 当l ⊥α或l ∥α时，在平面α内，显然存在直线b 使得l ⊥b ；当l 与α斜交时，只需要b 垂直于l 在平面α内的射影即可得到l ⊥b .4．① [解析] ①正确，可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．【能力提升】5．D [解析] 如图，可知三种关系都有可能．6．C [解析] 取AC 中点E ，则ME ∥BC ，且ME ＝12BC ，NE ∥AD ，且NE ＝12AD ，∴BC ＋AD＝2(ME ＋NE )＝2a ，在△MNE 中，MN <ME ＋NE ＝a .故选C.7．B [解析] ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．故选B.8．D [解析] 若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB ∥CD ；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.9．C [解析] 由题意知，D ∈l ，l ⊂β，∴D ∈β. 又D ∈AB ，∴D ∈平面ABC ，即D 在平面ABC 与平面β的交线上． 又C ∈平面ABC ，C ∈β，∴点C 在平面β与平面ABC 的交线上． 从而有平面ABC ∩平面β＝CD ，故选C.10．6 [解析] 观察四棱锥模型，它的四个侧面，以及两个对角面，可以看成共点的四条直线最多能确定平面的个数的情形．11．③ [解析] ①中三点共线时，②中两直线不平行也不相交时，④中点在直线上时，⑤中三直线交于一点时(此时可能不共面)，都不能独立确定一个平面．12．①②④ [解析] ①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．13．24 [解析] 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线必须是面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)．14．解：易知四边形EFGH 为平行四边形，由平行四边形性质知：EG 2＋FH 2＝2(EF 2＋FG 2)＝2×14(AC 2＋BD 2)＝12×(12＋12)＝1.15．解：∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD .∴EH ∥FG ，EH ＝λ·BD ，FG ＝μ·BD . ①当λ＝μ时，EH ∥FG ，且EH ＝FG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH .AH AD ＝CGCD，∴HG ∥AC . 由公理4知，EF ∥GH ∥AC .②当λ≠μ时，EH ∥FG ，但EH ≠FG .∴四边形EFGH 是梯形，且EH ，FG 为上下两底边，∴EF ，GH 为梯形的两腰，它们必交于点P ，P ∈直线EF ，P ∈直线HG .又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ADC ， ∴P 是平面ABC 和平面ADC 的公共点． 又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈直线AC ， ∴三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF ，GH ，AC 互相平行； 当λ≠μ时，三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．【难点突破】16．解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面． (3)证明：连接EC ， ∵BE 綊12AF ，BC 綊12AD ，∴BE AF ＝BC AD ＝12，故EC ∥FD 且EC ≠FD ， ∴FE 与DC 交于一点P .又AB ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABCD ， ∴P 点在AB 上，故FE 、DC 、AB 三线共点．。
高三一轮复习丛书31空间点 直线 平面之间的位置关系
高三文科数学一轮复习 空间点 直线 平面之间的位置关系 (必修2) - 96 - 【知识要点】1.点、直线、平面的表示法:2.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．用集合符号表示：P ∈α, P ∈β⇒ α与β必相交a P a P P ∈⇒=⋂∈∈βαβα,,公理3： 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同, 则这两个角相等.3.两直线的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧不同在任何一个平面内:异面直线点在同一平面内没有公共:平行直线:没有公共点相交直线:有一个公共点4.直线 平面之间的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫→→→直线线在平面外 线面平行 没有公共点 线面相交 有一个公共点线在面内 有无数公共点5.两平面之间的位置关系⎩⎨⎧2)公理--交于一条直线(有无数公共点相交没有公共点平行：：【巩固练习】一选择题：1．与异面直线a,b 都相交的两直线m,n 的位置关系是 （ ）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面2．设a,b,c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： （ ） ①若a ⊥b,b ⊥c ，则a//c ；② a,b 是异面直线，b,c 是异面直线，则a,c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 相交；④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和面，那么上述命题中，真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 03．下面四个说法中，正确的个数为 （ ）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A ．1B ．2C ．3D ．4 4．ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A ．A 、M 、O 三点共线B ．M 、O 、A 1、A 四点共面C ．A 、O 、C 、M 四点共面D ．B 、B 1、O 、M 四点共面高三文科数学一轮复习 空间点 直线 平面之间的位置关系 (必修2) - 97 -5．两等角的一组对应边平行，则 （ ）A ．另一组对边平行B ．另一组对边不平行C ．另一组对边不能垂直D ．以上都不对6．平面外一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C.平行或相交 D. 以上结果都不对 （ ）7．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点． 那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形8.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 、EF 、CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条9.若P 是两条异面直线m l ,外的任意一点，则 （ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与m l ,都平行B ．过点P 有且仅有一长直线与m l ,都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与m l ,都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与m l ,都异面二、填空题10.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有______条11. 过三条互相平行的直线可以确定______________个平面.12．平面l =βα ，若直线a α⊂，直线b β⊂，且a ∩b=M ，则M________l13．直线m,n 为异面直线，若m//平面α，则n 与α位置关系_______________.14.与不共面的四点距离都相等的平面共有______个。
高三数学一轮复习：1213空间点、直线、平面之间的位置关系
(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD＝60°.以 D1 为球 心， 5为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为________．
空间点、直线、平面之间的位置关系
1．四个公理、三个推论 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都 在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共 点的集合是经过这个公共点的一条直线． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
1
5
5
A.5
B. 6
C. 5
2 D. 2
(2) 四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点．若 BD，AC 所成的角为 60°， 且 BD＝AC＝1，则 EF 的长为________．
(3)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，AD 的中点，将四边形 CDFE 沿 EF 翻 折，使得平面 CDFE⊥平面 ABEF，则异面直线 BD 与 CF 所成角的余弦值为________．
②定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是 异面直线．
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是异面直线，经过空间任一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，
把直线 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
②范围：0，π2.
③定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 微思考 1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？ 2．平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？
【创新方案】2014届高考数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之前的位置关系讲解与练习 理 新人教
第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 1.直线、平面位置关系是历年高考考查的重点内容之一，既有客观题，又有主观题．其中客观题主要是空间线、面位置关系的判定．如2012年某某T9，某某T5等．主观题中往往作为其中一问来考查，如2012年某某T18，某某T18(1)等．2.公理和定理一般不单独考查，而是作为解题过程中的推理依据.[归纳·知识整合]1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：判断空间两条直线平行的依据．[探究] 1.平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立？提示：不一定．例如，“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直”在平面几何中成立，但在立体几何中就不成立．而公理4的传递性在平面几何和立体几何中均成立．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②X 围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [探究] 2.不相交的两条直线是异面直线吗？提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面． 3．不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言 符号语言 公共点 直线与平面相交a ∩α＝A1个 平行 a ∥α 0个 在平面内a ⊂α 无数个 平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个1．(教材习题改编)下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C 对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．2．(教材习题改编)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )A．异面 B．平行C．相交 D．以上都有可能解析：选D 由直线、平面的位置关系分析可知两条直线相交、平行或异面都有可能．3．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝A D．l∩α＝B解析：选A ∵a⊂α，l∩a＝A，∴A∈α，A∈l，同理B∈α，B∈l，∴l⊂α.4．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________个部分．解析：三个平面α，β，γ两两相交，交线分别是a，b，c，且a∥b∥c，则α，β，γ把空间分成7部分．答案：75．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：连接B1D1，易证B1D1∥EF，从而∠D1B1C即为异面直线B1C与EF所成的角，连接D1C，则△B1D1C为正三角形，故∠D1B1C＝60°.答案：60°平面的基本性质及应用[例1] 以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C ．2D ．3[自主解答] ①正确，可以用反证法证明；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线．则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内．[答案] B ———————————————————由所给元素确定平面的方法判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面．1．下列如图所示是正方体和正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析：①中可证四边形PQRS 为梯形；②中，如图所示取A 1A 与BC 的中点为M 、N ，可证明PMQNRS 为平面图形，且PMQNRS 为正六边形．③中可证四边形PQRS 为平行四边形；④中，可证Q 点所在棱与面PRS 平行，因此，P 、Q 、R 、S 四点不共面．答案：①②③[例2] 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ [自主解答] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又∵BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)∵BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ， ∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四共点面．本例条件不变，如何证明“FE 、AB 、DC 共点”？ 证明：如图，取AD 中点为M ，连接GM ，EG ，CM . 由条件知，EG 綊AB ，CM 綊AB ，所以EG 綊CM ， 所以四边形EGMC 为平行四边形，所以EC ∥GM . 又GM 綊12FD ，∴EC 綊12FD ，故E 、C 、D 、F 四点共面.延长FE 、DC ，设相交于点N ，因为EF ⊂平面ABEF ，所以N ∈平面ABEF ， 同理可证，N ∈平面ABCD ，又因为平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，所以N ∈AB . 即FE 、AB 、DC 三线共点. ———————————————————证明共面问题的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．2．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． 证明：(1)连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点， ∴EF ∥BA 1. 又A 1B ∥D 1C ，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.空间两条直线的位置关系[例3] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行[自主解答] 由于MN与平面DCC1D1相交于N点，D1C1⊂平面DCC1D1，且C1D1与MN没有公共点，所以MN与C1D1是异面直线．又因为C1D1∥A1B1，且A1B1与MN没有公共点，所以A1B1与MN是异面直线，故选项D错误．[答案] D———————————————————异面直线的判定方法(1)定义法：依据定义判断(较为困难)；(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．3．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD 是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG、FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交.异面直线所成的角[例4] (2013·某某模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[自主解答] (1)如图，连接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1.即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.又因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角为90°.———————————————————求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的一般步骤为：4．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD 的中点，求直线AB和MN所成的角．解：如图，设E为AC的中点，连接EM、EN.∵EM 綊12AB ，∴∠EMN 即为异面直线AB 与MN 所成的角(或补角)． 在△MEN 中，ME 綊12AB ，EN 綊12CD .∴∠MEN 为异面直线AB 与CD 所成的角(或补角)，且△MEN 为等腰三角形． 当∠MEN ＝60°时，∠EMN ＝60°，即异面直线AB 和MN 所成的角为60°. 当∠MEN ＝120°时，∠EMN ＝30°，即异面直线AB 和MN 所成的角为30°. ∴直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.1个疑难点——对异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线． (3)异面直线的公垂线有且仅有一条． 2种方法——求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．3个“共”问题——“共面”、“共线”和“共点”问题 (1)证明共面问题一般有两种途径：①首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合． (2)证明共线问题一般有两种途径：①先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； ②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.易误警示——求解线线角中忽视隐含条件而致错[典例] (2013·某某模拟)过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB 、AD ，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC 、BA 、BB 1所成的角都相等，∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C 、DB 1也与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1、A 1C 、DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．[答案] D [易误辨析]1．易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方体中的平行关系而错选A. 2．求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误： (1)缺乏空间想象力，感觉无从下手； (2)忽视异面直线所成角的X 围． [变式训练]如图所示，点A 是平面BCD 外一点，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝2，则异面直线AD 和BC 所成的角为________．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ＝1.即∠EGF 为所求，又EF ＝2，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：90°一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 对于①，没有公共点的两条直线平行或异面，故①错；对于②，异面直线垂直但不相交，故②错；③④正确．2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C 由条件，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合的条件的棱共有5条．3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B 如图，设l∩α＝A，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面．4．(2013·某某模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15 B.25C.35 D.45解析：选D 连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.5．(2013·聊城模拟)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )A．平行 B．相交C．垂直 D．互为异面直线解析：选C 不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m，使得m⊥l.6．(2012·某某高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值X围是( )A．(0, 2) B．(0, 3)C．(1, 2) D．(1, 3)解析：选A 如图所示，AB＝2，CD＝a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED＝AD2－AE2＝22，同理EC＝22.由构成三角形的条件知0<a<ED＋EC＝2，所以0<a< 2.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则AB⊥EF，故①正确；AB∥CM，故②错误；EF与MN显然异面，故③正确；MN与CD异面，故④错误．答案：①③8．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DF ，因为DF 与AE 平行，所以∠DFD 1即为异面直线AE 与D 1F 所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD 1＝FD ＝5，由余弦定理得cos ∠DFD 1＝52＋52－222×52＝35. 答案：359．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于________．解析：如图：延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，连接A 1D ，BD ，则四形边形ADA 1C 1为平行四边形，∴∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，又三角形A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B ＝60°.答案：60°三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：如图所示．PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．11．如图所示，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α，∵A ∈α，B ∈α，E ∈α，∴平面α即为平面ABE ，∴P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角，∵∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2；cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14， 所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14. 12．(2012·某某高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．解：(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋222＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3. (2)取PB 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2、AF ＝2、AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.1．平面α、β的公共点多于两个，则①α、β垂直②α、β至少有三个公共点③α、β至少有一条公共直线④α、β至多有一条公共直线以上四个判断中不成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．2．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析：选C 依题意得MN ∥PQ ，MN ∥平面ABC ，又MN ⊂平面ACD ，且平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，因此有MN ∥AC ，AC ∥平面MNPQ .同理，BD ∥PN .又截面MNPQ 是正方形，因此有AC ⊥BD ，直线PM 与BD 所成的角是45°.3．对于四面体ABCD ，下列命题①相对棱AB 与CD 所在直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．其中正确的是________(填序号)．解析：对于①，由四面体的概念可知，AB 与CD 所在的直线为异面直线，故①正确； 对于②，由顶点A 作四面体的高，当四面体ABCD 的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD 的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA ＝DB ，CA ＝CB 时，这两条高线共面，故③错误；对于④，设AB 、BC 、CD 、DA 的中点依次为E 、F 、M 、N ，易证四边形EFMN 为平行四边形，所以EM 与FN 相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故④正确．答案：①④4．已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，BC ＝3，AA ′＝5，求异面直线D ′B 和AC 所成角的余弦值．解：法一：(平移法)：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接BD 交AC 于点E ，取DD ′的中点F ，连接EF ，AF ，则EF 綊12D ′B ， ∴∠FEA 是D ′B 和AC 所成的角，∵AE ＝42＋322＝52， EF ＝25＋252＝522， AF ＝ 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝612， ∴在△FEA 中，cos ∠FEA ＝EF 2＋AE 2－AF 22EF ·AE ＝7250.法二：(补形法)：如图，在长方体的一旁补一个全等的长方体， 则BE 綊AC ∴∠D ′BE (或其补角)是D ′B 和AC 所成的角， ∵D ′B ＝52，BE ＝5，D ′E ＝89，∴在△D ′BE 中，cos ∠D ′BE ＝－7250， ∴D ′B 与AC 所成角的余弦值为7250.。
高三数学一轮复习 第七章 第3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
解析： (1)不是异面直线． 理由：连接 MN、A1C1、AC， ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点， ∴MN∥A1C1.
求证：P、A、C 三点共线．
证明： (1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 在△BCD 中，BGGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD.∴EF∥GH.
∴E、F、G、H 四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，
⊥平面 A1B1M.12 分
【阅后报告】 该题难度较小，第(1)问的关 键在于“找到角”，而第(2)问关键在于证明 BM⊥平面 A1B1M，这些方法是解决立体问题 常用思路．
(本小题满分 12 分)(2010·湖南卷) 如图所示，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1 ＝2，M 是棱 CC1 的中点． (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成 的角的正切值；
(2)证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.
【规范解答】 (1)因为 C1D1∥B1A1，所以∠ MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角.2 分 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°. 而 A1B1＝1，B1M＝ B1C21＋MC21＝ 2，4 分 故 tan∠MA1B1＝AB11BM1＝ 2， 即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
讲空间点直线平面之间的位置关系一轮复习教案
讲空间点直线平面之间的位置关系一轮复习教案空间点、直线、平面的位置关系、三公理及三推论1、平面的含义2、三公理及三推论(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面丙符号表示为ALBL=L|CaAaABa公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、BC三点不共线=有且只有一个平面a,使Aa、Ba、Ca。
公理2(三推论)作用：确定一个平面的依据。
推论1、经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：PaQB=aA3=L，且PL公理3作用：判定两个平面是否相交的伊岭?！、空间中直线与直线之间的位置关系(1、空间的两条直线有如下三种关系：7、f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平徐:线/匚平俞)/内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三指&ab.=a/Cc/bABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，贝U异面直线EF与SA所成的角等于（）9,正方体ABCD3，A，6为其上的三个顶点，则在正方体中，/ABC的大小为3J0D,36.若A表示点，a表示直线，aB表示平面,则下列表述中，错误的是（）A.a?a,Aa?AaB.a?a,Aa?A?a图J33.如图K333ABCD 中，E为CD的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为B.A，M，O，A四点共面C.A，O，C，M四点共面D.B，B，O，M四点共面13.长方体ABCDABCD中，AA=AB=2,AD=,点E,F,G分别是DD,AB,CC的中点.求异面直线AE，GF所成角的大小.请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题.(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M3ABCD中，E,F分别是AB,AA的中点.求证：()E,C,D,F四点共面；(2)CE,DF,DA三线共点.图D63课后练习题1.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是(D)A.内所有的直线都与a异面；B.D.5如图K34是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，内不存在与a平行的直线；C.内所有的直线都与a相交;6.A.内有无穷多条直线与平行；B.直线a/,a/,b/C.直线a，直线bD.内的任何直线都与，且10.直三棱柱83B.C.D.4ABCABC中各侧棱和底面直线a与平面有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（C）A.3B.2C.1D.03.给出下列命题：(1)直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行；(2)直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直；(3)异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；(4)若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面其中错误命题的个数为（）A、0B、1C、2D、34.正方体ABCD33-12D1Da11.下列说法不正确的是（）13.已知直线a_L直线b,平面，则b与A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B.同一平面的两条垂线一定共面；C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直二、填空题12.已知直线a平面，平面平面，则a与的位置关系为的位置关系为14.如图，ABC是直角三角形，ACB=90,PA平面ABC此图形中有一个直角三角形15.a、B是两个不同的平面，m、n是平面a 及B之外的两条不同直线，给出四个论断：mXX以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：若则。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解51---空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学一轮复习考点知识专题讲解 空间点、直线、平面之间的位置关系考点要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交C．EF∥CD D．EF与AB异面答案D解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A ．共面B ．平行C ．是异面直线D ．可能平行，也可能是异面直线 答案D解析α∥β，说明a 与b 无公共点， ∴a 与b 可能平行也可能是异面直线．3.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；(2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案(1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析(1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD ＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．教师备选如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B，且EF＝12A1B.又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是()答案D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.题型二空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；1因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．教师备选1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案D2．如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．平行 B．异面C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．图1图2题型三空间几何体的切割(截面)问题例3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是() A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______．答案π2解析以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以C1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC1B1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2.延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形， 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2. 又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ . 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1， 同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点， ∴∠PEQ ＝π2， 知PQ ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.教师备选如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面α经过直线BD 且与直线C 1E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案92解析如图，过点B 作BM ∥C 1E 交B 1C 1于点M ，过点M 作BD 的平行线，交C 1D 1于点N ，连接DN ，则平面BDNM 即为符合条件的平面α，由图可知M ，N 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 故BD ＝22，MN ＝2， 且BM ＝DN ＝5， ∴等腰梯形MNDB 的高为h ＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92. 思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()答案A解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图．则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M 的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3 2解析在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 2.课时精练1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a ，b ，l ，若a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行． 所以a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 两两相交不一定成立； 而若a ，b ，l 两两相交，则a ，b ，l 在同一平面成立．故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件．4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M ，N ，F 分别是B 1C 1，CC 1，AB 的中点，则下列说法正确的是()A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案D解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ， 作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋(2a )2 ＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点， 所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是()A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6．(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．图1图27．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⎭⎬⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β；②⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；③⎭⎬⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b ；④⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 中，正确的命题是________(只填序号)． 答案②④解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a ⊥α，a ⊥β可得出α∥β，所以②是真命题； ③根据直线与平面的位置关系，可得a 与b 可以是平行或相交或异面，所以③是假命题； ④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题．8．(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l 与平面内的任意直线垂直时，得到l ⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明∵G ，H 分别是FA ，FD 的中点， ∴GH 綉12AD .又BC 綉12AD ，∴GH 綉BC .∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解∵BE 綉12AF ，G 是FA 的中点，∴BE 綉FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG .由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点．(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC 1⊥底面ABCD ，又∵F 是CC 1的中点，CC 1＝4，∴CF ＝2， ∴BF ＝DF ＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3， ∴BD ＝AB ＝2，∴S △FBD ＝12×2×(22)2－1＝7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sinπ3＝3， 又∵11D FBD B DD F V V --=， ∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217.即点D 1到平面FBD 的距离为4217.11.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB 均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．12．(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A 1D1的中点，下列结论正确的是()A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MC∥平面BB1D1D答案B解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确；令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12 CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN∥平面BB1D1D，C不正确，D不正确．13．棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有a m3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为h m(如图1)；当转动容器至截面A 1BC 水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A －A 1BC (如图2)，则a ＝________，h ＝________.图1图2答案31232－22解析由题意得S △ABC ＝12×1×1×sin60°＝12×1×1×32＝34， AA 1＝1.∴1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×1＝312＝a .由1111ABED A B E D V -＝1A A BC V -得S 四边形ABED ·AA 1 ＝13S △ABC ·AA 1， ∴S 四边形ABED ＝13S △ABC ，∴S △CDE ＝23S △ABC ，∴34DE 2＝23×34AB 2， ∴DE AB ＝23＝63.∵DCAC＝DEAB＝63，∴DC＝63，∴AD＝1－63，在等边△ABC中，AB边上的高为3 2.∵h32＝ADAC＝1－631，∴h＝32－22.14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案25＋95＋2133解析如图所示，过Q作QM∥AP交BC于M，由A1P＝CQ＝2，tan∠APA1＝2，则tan∠CMQ＝2，CM＝CQtan∠CMQ＝1，延长MQ交B1C1的延长线于E点，连接PE，交D1C1于N点，则多边形AMQNP 即为截面， 根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1，C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12， 则C 1N ＝43，D 1N ＝83，因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133，NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103，又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5，MQ ＝12＋22＝5， 所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋PA ＝5＋5＋2133＋103＋2 5 ＝25＋95＋2133.15.(2022·山西康杰中学模拟)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1＝3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中错误的是()A．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2B．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为73 2C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形答案D解析对于A，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍．故选项A正确；延长DA，DC交直线EF的延长线于点P，Q，连接D1P，D1Q，交棱A1A，C1C于点M，N.连接ME，NF，可得五边形D1MEFN，故选项D错误；由平行线分线段成比例可得AP＝BF＝1，故DP＝DD1＝3，则△DD1P为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2， 则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝ 2. 连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN . 等腰梯形MEFN 的高h ＝(2)2－⎝⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332. 又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2， 则V 2＝1D DPQ M PAE N CFQ V V V -----＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256， 所以V 1＝1111ABCD A B C D V -－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1图2(1)在多面体中，求证：A，B，D，E四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A－EF－D的大小等于90°，所以平面AEF⊥平面DEFC，又AE⊥EF，AE⊂平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，所以AE⊥平面DEFC，同理，可得BD⊥平面DEFC，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．(2)解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AE＝DE＝1，CD＝23，EF＝3，BD＝2，所以V＝V A－CDEF＋V A－BCD＝13S梯形CDEF·AE＋13S△BCD·DE＝736.31 / 31。
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[第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系]
(时间：45分钟分值：100分)
基础热身
1．平面α∩β＝l，直线m⊂α，直线n⊂β，则m，n的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．无法确定
2．[2013·济南一模] 平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．下列说法正确的是( )
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
4．[2013·四川卷] l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
能力提升
5．下列命题：(1)公理1可结合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α； (2)四边形的两条对角线必相交于一点； (3)用平行四边形表示平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线； (4)梯形是平面图形. 其中正确命题的个数为( ) A．1
B．2
C．3
D．4
6．[2013·济宁一模] 已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
7．在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设BC＋AD＝2a，则MN与a的大小关系是( )
A．MN>a B．MN＝a
C．MN<a D．不能确定
8．[2013·太原二模] 已知a，b，c，d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( )
A．a∥b且c∥d
B．a，b，c，d中任意两条可能都不平行
C．a∥b或c∥d
D．a，b，c，d中至多有一对直线互相平行
9．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
10．在空间，与边长均为3 cm的△ABC的三个顶点距离均为1 cm的平面共有________．11．[2013·杭州一模] 已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．13．一个正方体纸盒展开后如图K39－1所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上四个命题中，正确命题的序号是________
14．(10分)如图K39－2，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
图K39－2
15．(13分)已知平面α，β，γ两两相交于直线l1，l2，l3，且l1与l2相交于点P，求证：l1，l2，l3三线共点．
难点突破
16．(12分)[2013·成都一模] 正方体ABCD－A1B1C1D1中．
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
课时作业(三十九)
【基础热身】
1．D [解析] 如图，可知三种关系都有可能．
2．C [解析] 如图，与AB ，BB 1，AA 1，C 1D 1，共5条．
3．D [解析] 4．B [解析] 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1，l 2，l 3构成三棱柱三条侧棱所在直线时不共面；对于D ，直线l 1，l 2，l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.
【能力提升】
5．A [解析] 对于(1)注意到直线是点集，平面也是点集，当直线在平面上时，直线是平面的真子集，应表示为l ⊂α，而不应表示成l ∈α，所以(1)不正确；
对于(2)，当四边形是平面图形时，两条对角线必相交于一点，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线是不能相交的，所以(2)不正确；
对于(3)，平面是可以无限延伸的，用平行四边形表示的平面同样是无限延伸的，平行四边形的边并不表示平面的边界，所以(3)不正确；
对于(4)，梯形的两底是两条平行线，它们可唯一确定一个平面，由于腰的两个端点均在该平面上，故腰也在这个平面上，即梯形的四边共面，所以梯形是平面图形，所以(4)正确．
6．D [解析] 若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB ∥CD ；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.
7．C [解析] 取AC 中点E ，则ME ∥BC ，且ME ＝12BC ，NE ∥AD ，且NE ＝1
2
AD ，∴BC ＋AD
＝2(ME ＋NE )＝2a ，在△MNE 中，MN <ME ＋NE ＝a .故选C.
8．C [解析] 若a 与b 不平行，则存在平面β，使得a ∥β且b ∥β，由a ⊥c ，b ⊥c ，知c ⊥β，同理d ⊥β，所以c ∥d .若a ∥b ，则c 与d 可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.
9．C [解析] 若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行．根据公理4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．
10．8个 [解析] 适合条件的平面分两类：第一类，点A ，B ，C 在平面的同侧，有2个；第二类，点A ，B ，C 在平面的异侧(平面过△ABC 的中位线)，有6个，共有8个．
11．①②④ [解析] ①、②、④对应的情况如下： 用反证法证明③不可能．
12．①③④⑤ [解析] 4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．
13．①③ [解析] 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则AB ⊥EF ，EF 与MN 为异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．
14．证明：∵梯形ABCD中，AD
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．
设AB∩CD＝M, 又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β.
又∵α∩β＝l，∴M∈l, 即AB，CD，l共点．
15．证明：如图所示，
∵l1∩l2＝P, ∴P∈l1且P∈l2.
又α∩γ＝l1，∴l1⊂γ，∴P∈γ.
又α∩β＝l2, ∴l2⊂β，∴P∈β.
∵β∩γ＝l3，∴P∈l3.
∴l1，l2，l3共点于点P.
【难点突破】
16．解：(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示，连接AC－1111
AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.。