组合数学第2章

r (k, l) 表
可以将Ramsey 定理推广到任意多种颜色的情况。 引进记号 Kp → Kn1 , …, Knk 表示：用 k 种颜色 c1,…, ck 为 Kp 的边任意染色， 或者有一个被染成 c1 色的 Kn1 ，…，或者有一个被 染成 ck 色的 Knk 。 Ramsey 定理 若 n1,…, nk ≥ 2，则存在正整数p使得 Kp → Kn1 , …, Knk 使得 Kp → Kn1 , …, Knk 成立的最小正整数 p 称为 Ramsey 数 r(n1,…, nk )。 r(3, 3, 3) = 17
无向图中的边是顶点集的 2 元子集，可以将 Ramsey 定理
t 推广到为 t 元子集染色。用 K n 表示一个 n 元集的所有 t 元
子集的集合。 Ramsey 定理 设 t 是正整数，q1 , L , qk ≥ t，则存在正整数 p 使得
t t K tp → K q1 , L, K 一个 p 元集 A 的所有 t 元子集任 意染色时，或者总有一个 A 的 q1 元子集的所有 t 元子集都 L 染成 c1 色， ，或者总有一个 A 的 qk 元子集的所有 t 元子 集都染成 ck 色。
设正整数 p, m, n ≥ 2，引进记号 Kp→Km , Kn ： 若用红、蓝两种颜色为 Kp 的边任意染色，则总存 在红 Km 或蓝 Kn 。 Ramsey 定理 若正整数 m, n ≥ 2，则存在正整数 p 使得 Kp→Km , Kn。并称使 Kp→Km , Kn 成立的最小 正整数 p 为 Ramsey数 r(m, n)。 K5→K3 , K3 不成立。 由此可知，r (3, 3) > 5。
鸽巢原理的其他形式
1. n个物体放入n盒子并且没有一个盒子是空的，
恰好每个盒子包含一个物体，
2. n个物体放入n个盒子并且每个盒子至多放一个，
则每个盒子有一个物体。
2.2 鸽巢原理：加强形式
定理2.2.1 设 q1,…, qn 是正整数。将 定理 q1 + … + qn − n + 1 个物体放入 n 个盒子，或者第 1 个盒子中至少有 q1 个物体，…，或者第 n 个盒子中至少有 qn 个物 体。{q1+ … + qn − n +1=(q1-1)+(q2-1)…+(qn -1)+1} 证明 否则物体总数至多 q1 −1 + … + qn − 1 = q1+ … + qn − n 取 q1= … = qn = 2，就退化为简单形式的鸽巢原理。
2.2 鸽巢原理：加强形式
设 q1,…, qn 都等同于一个正整数 r。
1. 将 q1 + … + qn − n + 1=n(r-1)+1
个物体放入 n 个盒子，则至少有 1 个盒子含 有 r 个物体或更多 2. 如果 n 个非负整数的平均数大于 r-1， 那么 至少有一个整数大于或等于 r。 3.如果 n 个非负整数的平均数小于于 r+1， 那 么至少有一个整数小于r+1。
作业
Part1: ch2: 3，4，9，15, 16 Part 2: 收集资料并撰写已经成功地应用鸽巢原理解 决的实际问题。
2.3 Ramsey 定理
在6个（或更多的）人中，或者有3个人，他们中的 每两个人都相互认识；或者有3个人，他们中的 每两个人都彼此不认识。
2.3 Ramsey 定理
用 Kn 表示 n 阶完全无向图，用红、蓝两种颜色为 Kn 的边染色，若每条边都染成红（蓝）色，则称 它为红（蓝） Kn 。 K2 K3 K4 K5
显然，r(m, n) = r(n, m)。 r(m, 2) = m 。 若 Km 中都是红边，则有红 Km ；若 Km 中有蓝边， 则有蓝 K2 。所以 Km→ Km , K2 。 若 Km−1 中都是红边，则既没有红 Km ，也没有蓝 K2 。所以 Km−1→ Km , K2 不成立。 40 ≤ r (3, 10) = r (10, 3) ≤ 43，即 K43 → K3 , K10 成立且 K39 → K3 , K10 不成立。 对于 i = 40, 41, 42，不知 Ki → K3 , K10 是否成立。
2.2 鸽巢原理：加强形式应用
一篮子水果装有苹果、香蕉和橘子。为了保证 篮子或者至少8个苹果或者至少6个香蕉或者 至少9个橘子，则放入篮子中的水果的最小 件数是多少？ 8+6+9-3+1=21
证明由 n 2 + 1个实实数组成的序 a1 , L, an 2 +1，或者有 长 为 n + 1的递递增子序列，或者长度为 n + 1的递递减子序列 证明 设 mi 为从 ai 开始的最长递增子序列长度。若无长 度为 n + 1的递递增子序列，则每 mi ≤ n， m1 ,L , mn 2 +1 中必 有 n + 1个相同的。 设 mk1 = L = mk n+1，其中 k1 < L < k n +1 。 我们们证 ak1 ,L, ak n+1 是递减子序列。若 aki < aki+1， 则则 aki 放在从 aki+1 开始的最长递增子序列前面就得到更长面 递增子序列，这与 mki = mki+1 矛盾。 (n 2 + 1 = n(r − 1) + 1, 其中r = n + 1 ）
t t 使得 K tp → K q1 ,L , K qk 成立的最小正整数 p 称为 Ramsey 数
rt (q1 ,L , qk ) 。
Ramsey 定理是加强形式鸽巢原理的推广。 令 t = 1，将 “为 1 元子集 {u} 染色 ci ” 看作 “将 u 放入第 i 个盒子中”，可以得出 r1(q1,…, qk ) = q1+ … + qk − k + 1
r (3, 3) = 6
设 K6 的六个顶点分别为 v1, …, v6 。 v1 与 v2, …, v6 的连边中必有三个是同色的，不妨设 v1 与 v2, v3, v4 的连边都是红色，若三角形 v2v3v4 中某边是红色的，则有红三角形。若三角形 v2v3v4 中边都是蓝色的，则有蓝三角形。 因此， K6 →K3 , K3 。 r (3, 3) ≤ 6，因此， r (3, 3) = 6。
i个 j个
77 L 700 L 0，则这是能被 n 整除的数。 1 31 3 2 2
j − i个 i个
鸽子：n+1个数；巢：n个余数
中国剩余定理
设 m 和 n 是互素的正整数，即它们的最大公约数 是 1，0 ≤ a < m ，0 ≤ b < n，必存在正整数 x 使得， m 除 x 余 a，n 除 x 余 b。 证明 考虑 n 个数 a, m + a, …, (n − 1)m + a 若其中两数 im + a 和 jm + a 被 n 除余数相同，则 n | (i − j)m ，n | (i−j)，0 < | i−j | < n，矛盾。 a, m + a, …, (n − 1)m + a 被 n 除余数各不相同，其中有 mk + a 被 n 除余 b， 取 x = mk + a 。 鸽子：n个数；巢：n个巢。（但每鸽子入不同巢）
2.1 鸽巢原理：简单形式
定理2.1.1 若将 n+1 个物体放入 n 个盒子，则至少 定理 有一个盒子中的物体数大于 1。 存在从 A 到 B 的单射（一对一的函数）当且仅当 |A|≤|B|。 存在从 A 到 B 的满射（映上的函数）当且仅当 |A|≥|B|。 存在从 A 到 B 的双射（一一对应）当且仅当 |A|=|B|。
被涂成同一颜色。
• 使用该原理时，要设置鸽子和巢
鸽巢原理应用
从 1, 2, …, 200 中任意选出 101 个数，必有两个数 其中一个能够整除另一个。 证明 将数表示成形式 2k × a，其中 a 是奇数。小于 200 的奇数只有 100 个，即 1, 3, …, 199，所以这 101 个数中必有两数表示为 2k × a 和 2j × a ， 2k × a | 2j × a 当且仅当 k ≤ j 鸽子：101个数；巢：100个奇数
鸽巢原理应用
设 n 是正整数，必存在由数字 0 和 7 组成的正 整数能被 n 整除。
证明 7，77， ，1L 7 是 n + 1个不同正整数，被 n 除 L 77 3 2
n +1个
余数只有 n 种可能，所以必有两数被 n 除余数相同。 设 i < j，77 L 7 和 77 L 7 被 n 除余数相同。 则余数相差为 2 1 3 1 3 2
温习
1. 2. 3. 4. 5.
组合数学是研究什么的学科？ 组合数学研究中的四大问题是什么？ 用四种颜色画出中国及周边国家的地图 什么是整除？ 有两个数 a 和 b 可以写成 a=qb+r，表示什 么意思？
6. 期中 r 有多少种取值？ 7. r=0表示什么含义？
第 2 章 鸽巢原理
组合学原理 2.1 鸽巢原理：简单形式 2.2 鸽巢原理：加强形式 2.3 Ramsey定理: 鸽巢原理的推广 作业
鸽巢原理应用
1. 366个人中必定有两个人生日相同。 2. N对夫妇，为保证能够有一对夫妇被选出，至少
要从这2n个人中选出多少人？
3. 鸽子：366个人 巢：365天 4. 鸽子： 2n个人 巢：n对夫妇
鸽巢原理的理解
• 组合学原理 • 用来证明一个排列或某种现象的存在 • 如果n+1个物体用n种颜色涂，必然有两个物体