数列高考真题(2011-2017全国卷文科)数列大题教师版

数列
一.等差数列、等比数列的基本概念与性质
全国Ⅱ卷
1.（2014.全国2卷5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的 前n 项和n S =（ ）
（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12
n n + (D)
()12
n n -
2.（2014.全国2卷16）数列{}n a 满足11
1n n
a a +=
-，2a =2，则1a =_________.12
3.（2015.全国2卷5）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
4.（201
5.全国2卷9）已知等比数列{}n a 满足11
4
a =
，()35441a a a =-，则2a =（ ） .2A .1B 1.2C 1
.8
D
二.数列综合
（一）新课标卷
1.（2011.全国新课标17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113
a =，公比1
3q =．
（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12
n
n a S -=
（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列{}n b 的通项公式．
解：（Ⅰ）因为.3
1
)31(311n n n a =⨯=
- ,23113
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=
)21(n +++-=
2
)
1(+-
=n n 所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n
2.（2014.全国3卷17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a 、4a 是方程
2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和. 错位相减 【解析】：（I ）方程2
560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的
公差为 d ,，则422a a d -=，故d=12
，从而13
2a =
，
所以{}n a 的通项公式为：1
12
n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n n n a n ++=， 则：234134512
22222n n n n n S +++=
+++++ 34512134512
222222
n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 341212131112311212422224422
n n n n n n n S ++++++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以1
4
22
n n n S ++=- ………12分
（三）全国Ⅱ卷
1.（2013.全国2卷17）(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．
(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解：(1)设{a n }的公差为d. 由题意，211a ＝a 1a 13， 即(a 1＋10d)2
＝a 1(a 1＋12d)． 于是d(2a 1＋25d)＝0.
又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.
(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝
2n (a 1＋a 3n －2)＝2
n (－6n ＋56)＝－3n 2
＋28n. 2.（2016全国卷2.17）(本小题满分12分) 等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；
（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
试题解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得
121,5
a d ==
， 所以{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， 当n =1,2,3时，23
12,15n n b +≤
<=； 当n =4,5时，23
23,25n n b +≤<=； 当n =6,7,8时，23
34,35n n b +≤<=； 当n =9,10时，23
45,45
n n b +≤<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.
（三）全国III 卷
1、（2016全国卷3.17）（本小题满分12分）
已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，2
11(21)20n n n n a a a a ++---=.
（I ）求23,a a ；
（II ）求{}n a 的通项公式. 试题解析：（Ⅰ）由题意得4
1
,2132==
a a . .........5分
考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式． 2、（2017新课标Ⅲ文数）
设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和.
综合题
1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n = ， （1）证明:数列{}n a 是等比数列；
（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+= ，12b =，求数列{}n b 的通项公式．
1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n = ，则3411-=--n n a S (2,3,)n = ， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，
整理得14
3
n n a a -=
． 5分
由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．
所以{}n a 是首项为1，公比为4
3
的等比数列． 7分
（2）解：因为14
()3
n n a -=，
由1(1,2,)n n n b a b n +=+= ，得114
()3
n n n b b -+-=． 9分
由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b
＝1)34(33
41)34(1211
-=--+--n n ，
（2≥n ），
当n=1时也满足，所以1)3
4
(31-=-n n b ．
2.（本小题满分12分）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.
2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和.
2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32
34
9a a =所以21
9
q =。

有条件可知a>0,故1
3
q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。

故数列{a n }的通项式为a n =1
3
n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++
(12...)
(1)
2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++
12111111112...2((1)()...())22311n n
b b b n n n +++=--+-++-=-
++ 所以数列1
{}n
b 的前n 项和为21n n -+
3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 3.解：
（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，
111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+
21233(222)2n n --=++++
2(1)12n +-=。

而 12,a =
所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知
35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①
从而
23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得
2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅ 。

即 211
[(31)22]9
n n S n +=-+。