第2课时《指数扩充及其运算性质》导学案

合集下载

精品教学设计3.2.2指数扩充及其运算性质第二课时

精品教学设计§2指数扩充及其运算性质教学过程：（第二课时）一、复习引入：正整数指数幂运算性质(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅ (4)mm n n a a a-=(5)nnn a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、讲解新课：实数指数幂运算性质当a>0,b>0时，对任意实数m,n 都满足上述性质.并且可归纳为三条：(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅三、讲解例题：例1 化简（式中字母均为正实数）：1(1)3);(2)()(4).x x y y ααα- 解：(1)3)(32)6;x yz ⨯=＝11(2)()(4)444.x y y xy y xy x ααααααααα⋅---=⋅⋅==22103,10 4.(1)10;(2)10αββα-==已知求的值的例2.幂的形式.112222221042(1)101039ββαα-===（解：；（）()11221122422411222(10)1043)1010210.10410βαβααβββ-⎡⎤⨯⎢⎥⨯⨯⎣⎦====（（例3．化简41332233814a a bb a⎛-÷-⎝+()413322331111333321121333338148242a a bb aa ab a bab a b a a⎛-÷-⎝+--=÷⨯++解：3311133311332112113333332422a a baab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⋅⋅++-111211233333331133211211333333242422a ab b a b aaab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++-111333.a a a a=⋅⋅=四、练习：1. 化简与计算：())211323(2)30.002102.8---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1671;(2).9xy -解：（） 1. 已知11223,a a-+=求下列各式的值：1133224422(1);(2);(3).a a a a a a ---+-+ ()21111222221(1)2,7.247.a a a a a a a a a a -----⎛⎫+=++∴+= ⎪⎝⎭∴+=+-=解： 2111111442244(2)21, 1.a a a a a a ---⎛⎫-=+-=∴-=± ⎪⎝⎭ ()331112222(3)118.a aa a a a ---⎛⎫+=+-+= ⎪⎝⎭2. 对于正整数a, b ,c (a ≤b ≤c )和非零实数x ,y ,z, w.若1111701,,x y z w a b c w x y z===≠=++且求a,b,c 的值. ()11111111170,70.70,70.111170,,70257,2,5,7.x wyw xwzx y zwa a c abc w x y zabc a b c ++=∴===∴==++∴==⨯⨯===1w解：同理b 又故五、小结：本节课学习了以下内容： 1.指数幂运算性质；2.指数式及根式的化简和计算. 六、课后作业：。

数学高一- 必修1 3.2 指数扩充及其运算性质学案

3.2 指数扩充及其运算性质 3.2.1 指数概念的扩充 3.2.2 指数运算的性质学习目标1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点) 情景导入同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．一、自主学习[基础·初探]教材整理 1 分数指数幂阅读教材P 64～P 66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝m n a ，它就是分数指数幂．2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：m n a ＝na m (a >0)．(2)负分数指数幂的意义：m na＝1mna(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 232表示23个2相乘．( )(2) mn a ＝ma n (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( ) (3) m na-＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理 2 指数运算的性质阅读教材P 66～P 67的有关内容，完成下列问题．若a >0，b >0，对任意实数m ，n 指数运算有以下性质： (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝m na-；(3)(ab )n ＝a n b n ；(4)当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －nm >n ，1m ＝n ，a －n －m m <n ；(5)⎝⎛⎭⎫a b n ＝anb n (b ≠0)．130.064-＋160.75＋120.25-＝________.【解析】原式＝1-3[(0.4)3]＋34[(24)]＋12[(0.5)2] ＝⎝⎛⎭⎫25－1＋23＋12 ＝52＋8＋12＝11. 【答案】 11 二、合作探究探究一：根式与分数指数幂的互化 [小组合作型]将下列根式化成分数指数幂的形式． (1)3a ·4a ；(2)a a a ； (3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【精彩点拨】利用根式与分数指数幂的转化式子：m n a ＝n a m 和mn a -＝1m na ＝1n a m 进行转化，注意其中字母a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝13a ·14a ＝712a ； (2)原式＝12a ·14a ·18a ＝78a ； (3)原式＝23a ·32a ＝136a ； (4)原式＝(13a)2·12a ·32b ＝76a 32b .根式与分数指数幂互化的关键与技巧：1关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1.2技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题]1. 用分数指数幂表示下列各式． (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab 2ab3(a ，b >0)；(3) 324)32(b (b <0)；(4)13x5x 22(x ≠0)．【解】 (1)原式＝13a ·16()a - ＝13()a --·16()a -＝21)(a -- (a <0)； (2)原式＝＝(52a ·72b )13＝56a 76b (a ，b >0)； (3)原式＝ (b <0)；(4)原式＝.探究二：分数指数幂的运算计算下列各式．【精彩点拨】(1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数；(2)将根式化为分数指数幂．进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题.[再练一题]2. 计算或化简．探究三：条件求值 [探究共研型] 探究 1 已知12a ＋12a -＝3，求a ＋a－1的值．【提示】 (12a ＋12a-)2＝9，∴a ＋a －1＝7.探究 2 在探究1的条件下，求a 2＋a－2的值．【提示】 (a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋a －2＝47.已知32a ＋b ＝1，求9a ×3b3a的值．【精彩点拨】应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：[再练一题]3. 若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值.【解】 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0，由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.三、课堂检测1. 下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝a B ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a |D.6a 6＝a【解析】 (47)4＝7，(3a )3＝a ，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |，故选A. 【答案】 A2. 计算151()243的结果等于( ) A.19 B.13 C ．±13D ．－13【解析】 151()243＝＝13. 【答案】 B 3. (1)3a 5＝________.(2)32-a＝________.【解析】 (1)3a 5＝35a.(2)32-a＝231a＝13a 2.【答案】 (1) 53a (2)13a 24. 2327－1216-－⎝⎛⎭⎫12－2－238()27-＝________.【答案】 525. 化简：．【解】原式＝四、课堂小结1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算． 2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．。

指数概念的扩充与性质导学案

课题一：n 次方根、根式的概念及性质学习目标：（1）理解n 次方根、根式的概念；（2）理解方根、根式的运算性质并能熟练进行化简、求值。

学习重点：根式的概念及性质学习难点：熟练运用根式的概念及性质进行化简、求值学习过程：一、复习准备：回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的___________；记作：___, 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的__________.记作：______.举例：若,4)2(2=±则2±是4的平方根（或二次方根）；若2733=，则3是27的立方根（或三次方根）；若,81)3(4=±则3±是81的四次方根；若),1(,*N n n a x n ∈>=，则x 叫作a 的什么呢？二. 讲授新课:（一） n 次方根的概念及运算：（1）n 次方根的定义：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根，,其中1n >,n *∈N 。

（2）n 次方根的表示：当n 为奇数时，实数a 的n 次方根用n a 表示；当n 为偶数时，正实数a 的n 次方根用n a ±来表示。

小结：在实数范围内，（1）当n 为奇数时，实数a 的n 次方根有且仅有一个，正数的奇次方根为正数，负数的奇次方根是一个负数；（2）当n 为偶数时，正实数a 的n 次方根是两个绝对值相等，符号相反的数；（3）负数没有偶次方根；（4）n0=0练习1：（1）若273-=x ，则x =______；（2）若162=x ，则x =______；（3）若325=x ，则x =______；（4）若814=x ，则x =______. （二）根式的概念及性质:1、根式的概念：形如n a （1n >,n *∈N ）的式子叫根式，其中n 叫根指数，a 叫被开方数。

讨论：当n 为奇数时，被开方数a ______，na 表示一个______数；当n 为偶数时，被开方数a ______，na 表示一个______数。

3.2指数扩充及其运算性质3.2.2指数运算的性质教案1北师大版必修1

3.2指数扩充及其运算性质3.2.2指数运算的性质教案1北师
大版必修1
3.2.2 指数运算的性质
本节教材分析
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义.
三维目标
1、知识与技能：（1）在前面学习有理指数幂的运算的基础上引入了实数指数的概念及运算．（2）能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简．
2、过程与方法：（1）让学生了解指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展,引入指数函数．
3、情感．态度与价值观：使学生通过学习无理指数幂的确定,了解数学中的无限逼近的思想,体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．
教学重点：运用有理数指数幂性质进行化简求值.
教学难点：有理数指数幂性质的灵活应用.
教学建议：教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.
新课导入设计
导入一:同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样就推广到有理数，那么它是否和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回归数的扩充过程中，自然数到整数，整数到有理数，有理数到实数.同样指数的扩充和数域扩充一致，教师接着点题.
导入二：引导学生回归初中正整数指数幂运算及性质导出课题.
1。

北师大版高一数学必修一《指数扩充及其运算性质》教案及教学反思

北师大版高一数学必修一《指数扩充及其运算性质》教案及教学反思一、教学内容1.1 教学目标1.掌握指数幂的概念，掌握幂运算的基本性质；2.理解指数律的定义及其在简化代数式中的应用；3.掌握幂指数的扩充方法，掌握幂指数扩充的相关运算法则。

1.2 教学重点1.掌握指数幂的概念及其运算性质；2.掌握幂指数的扩充方法。

1.3 教学难点1.幂指数的扩充方法；2.幂指数扩充的相关运算法则。

1.4 教学内容1.4.1 概念及基本性质1.指数幂的概念；2.幂运算的基本性质；–幂的乘法法则；–幂的除法法则；–幂的幂法则；–幂的负指数法则；–零的零次幂为1。

1.4.2 指数律1.指数律的定义；2.指数律在简化代数式中的应用。

1.4.3 幂指数的扩充1.幂指数的扩充方法；2.幂指数扩充的相关运算法则。

二、教学方法本节课采用探究式教学法，即让学生在指导下自己探索、自己学习。

课堂上，我将结合多媒体教具和课件，给学生提供指数扩充与幂指数运算性质的例子和讲解，并引导学生发现规律和总结属性。

在课后作业中，让学生根据题目提供的数据，通过现有知识进行分析，用简单的语言描述问题并给出解决方法，提高学生自主学习能力和思维能力。

三、教学过程3.1 教学准备1.教师准备多媒体教具；2.把教材的课堂板书制作成课件，以方便学生预习。

3.2 自主探究1.教师无答案仔细讲解投影仪；2.让学生通过多媒体教具自己探究明白幂指数的概念、幂运算法则和指数律的应用。

3.3 合作探究1.让学生自由组成小组；2.让学生在小组内分享各自的思路和理解；3.引导学生利用其它权威教研材料中的举例，来进一步理解幂指数的概念及运算法则。

3.4 发现规律1.让学生自主寻找和总结规律；2.让学生针对幂指数的扩充过程，发现规律和总结属性。

3.5 规律应用1.让学生通过举例、分析得出幂指数扩充的相关运算法则；2.让学生利用学习到的方法，计算式子中出现的幂指数。

3.6 总结与评价1.结合课本和课件内容，对学习的概念和规律进行总结；2.分享自己的学习体验，评价本节课学习的效果和收获。

学案：指数扩充及其运算性质

指数扩充及其运算性质日期：学习目标：1、理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义；2、掌握幂的运算性质；3、理解指数指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数扩充到实数指数函数；重点难点：指数概念的扩充过程、实数指数幂的运算性质学习过程：一、自学课本P 64-67，解决课后练习；二、交流探究：1、正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的定义及其底数的取值范围分别是什么？2、整数m 、n 互素的含义是什么？什么是既约分数？3、分数指数幂定义中的a 、b 有何限制？4是如何定义的？其中对a n 有何区别？5、正分数指数幂与根式间有何关系？正数的负分数指数幂呢？6、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂和零次幂没有意义；正数的负分数指数幂总有意义，负数的负分数指数幂是否也总有意义？若没有意义，则指出何时有意义？7、实数指数幂()a R αα∈总成立的前提是什么？此时()a R αα∈的取值范围是多少？8、正整数指数幂的运算性质有哪些？实数指数幂的运算性质呢？二者间有何区别？三、学以致用：1、在定义正分数指数幂时，约定底数a ＞01n a ，m m n a =A 、对a ≤0不成立B 、对a ≤0无意义C 、n 是偶数时，对a ＜0无意义D 、n 是奇数时，对a ＜0不成立2、根据n 次方根的意义，下列各式中：⑴n a =a ；⑶n 是奇数；⑷ n ，其中正确的为A 、⑴⑵⑶⑷B 、⑴⑶⑷C 、⑴⑵⑶D 、⑴⑵⑷3、使（|x|－2）3 4-有意义的x 的取值范围是； 4、数122、133、166的大小关系是；5、化简：(1)3333441()()(1)()a a a a a a a a ----+-÷++÷-; (2)333211111x x x x x x x x -+-+-+++- (3)1248(12)(12)(12)(12)----++++ (注意立方和、立方差、平方差、完全平方等公式的应用)6、计算：+ (2)已知12102,10αβ-==32410αβ-的值；四、概括升华：。

高中数学 3.2指数的扩充及其运算性质导学案(无答案)北师大版必修1

课题：3.2 指数的扩充及其运算性质考纲解读学习内容学习目标高考考点考查题型指数的扩充及其运算性质（1）类比平方根，立方根理解n 次方根的意义，会进行简单的求n 次方根的运算；（2）理解分数指数幂的概念，会分数指数幂与根式的互换；（3）会熟练运用运算性质进行指数幂运算。

分数指数幂与根式的互换选择、填空题一、预习导航11.复习平方根、立方根的定义；①平方根的定义：若，则称x 为a 的平方根。

记作x = ，其中为算术平方根；②立方根的定义：若3x a =，则称x 为a 的立方根，记作x = ；特点：①平方根的性质：的平方根有两个，的平方根为O ，没有平方根； ②立方根的性质：的立方根为正数，的立方根为负数，的立方为0； 2.类比可得n 次方根的定义：若，则称x 为a 的n 次方根； 3.类比可得n 次方根有以下特点：(ⅰ) ； (ⅱ) ； (ⅲ) ；4. 根式n a ：在n a 中，其中n 叫做，a 叫做；5. 两个等式（1）n N *∈时，()nna= ；（2）n n a = ；【自测1】（1）()33-5= ； 5-32= ；()4-3= ；()4432-= ；（2）()22nn x y -= ； ()3333a -= ()1a ≤其中；526526-++= ；（3）当3x <时，222169x x x x -+-++= ；二、预习导航21.认真阅读教材，理解分数指数幂的定义并填空（1）定义：，使得，我们就把b 叫做a 的mn次幂，记作：，这就是分数指数幂；（2）分数指数幂与根式的关系①正分数指数幂的根式形式：； ②负分数指数幂的根式形式：；③0的分数指数幂：；2.认真阅读课本，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法，理解无理数指数幂和实数指数幂的意义；（1）实数指数幂的形式：a α，其中a 满足的条件是，当时无意义；（2）0的正无理数指数幂为，0的负无理数指数幂；对于任意实数α，有1α=,a α-= （0a >）；【自测2】1.把下列各式中的b (0)b >写成分数指数幂的形式（1）532b =；（2）453b =；（3）765b -=；（4）53nm b π-=；（5）296b -=2.（1）用根式表示下列各式（其中字母均为正数） ①25a ； ②43a ； ③34a -； ④2132xy -；3.已知4316m =，则m =（）A ．8 B. 8± C.33223322±【课内探究】【例1】.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0a >）（1）2a a （2）332a a ；（3a a a a （4232a a⋅【例2】化简下列各式（字母均为正数）（132365a a a ；（2）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；6323⨯+3（）41321622449--（）（）0.25428-⨯+02005-(）【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值⑴1a a -+ ⑵22a a -+ ⑶33a a -+ ⑷3322a a --【变式3】已知2223(01)xa a a =+>≠且，求66x xx xa a a a--++的值。

高中数学 2.1.2指数函数及其性质(第二课时)导学案新人教A版必修1

课题：2.1.2指数函数及其性质（第二课时）一、学习目标：知识与技能：进一步掌握指数函数的图象和性质并能简单应用。

过程与方法：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力养成积极主动。

二、学习重、难点：初步学会应用指数函数的性质进行比较大小和求函数的定义域与值域。

三、学法指导：通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。

四、知识链接：1、回顾指数函数的概念；2、指数函数x五、学习过程：A例1、比较下列各题中两个值的大小。

(1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.B 例2、当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数。

六、达标检测：A1、教材60页习题1（解题过程）。

2、求下列函数的定义域、值域：B （1）1218x y -= B （2）y =C （3）3xy -= C （4）1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+B3设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＞y 3＞y 2B4若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P= （）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y B5不等式1622<-+x x 的解集是_ ___。

C6函数y =121+x 的值域是_ _______。

七：学习小结：本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的应用。

指数运算的性质导学案

导学案课题：2. 指数扩充及其运算性质编码：数学必修1-2-1 编制人：审核人：班级小组：姓名：1、规定分数指数幂的意义；能够处理简单的根式与分数指数幂之间的相互转化；2、掌握分数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简或求值。

你是否能够叙述初中所学习的指数幂的概念，它的性质有哪些？思考:① 0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂为 . ② 分数指数幂有什么运算性质？初中我们就学习了指数幂，但指数都是整数，那么指数能不能扩充到实数呢？初中所学习整数指数幂的运算性质在指数扩充后还满足吗？那么今天就来研究这些问题。

给定正实数a ，对于任意给定的整数,m n （,m n 互素），存在唯一的正实数b ，使得，我们把b 叫做a 的mn次幂，记作，它就是幂。

有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即(0)m nm na a a =>正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，即实数指数幂的运算法则当0,0>>a b 时，对任意实数,m n 都满足上述性质，可以归纳如下：m n a a ⋅=()m n a = ()n ab =自主探究一：阅读课本6564P P -例1、例2，完成下列练习.例：把下列各式写成分数指数幂的形式：mn m 1na a(a 0,m,n N ,n 1)-+=>∈>（1）52(0)>a a ；（2）(0)>b b ；（3）34(0)>c c自主探究二：阅读课本6766P P -例3、例4、例5，完成下列练习. 1、化简211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-,其中0,0a b >>2、化简 (2xy ·21x ·21-y)31·21)(xy3、已知10016a=，100027b=，求10αβ+，10αβ-1、下列说法错误的是( )A.根式都可以用分数指数幂来表示．B.分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法C.无理指数幂有的不是实数D.有理指数幂的运算性质适用于无理指数幂 2、1122102223(3)3-⨯+=-___________3、下列两种计算方法对吗？为什么？甲：3232(3)(3)27⎡⎤-=-=-⎣⎦；乙：333223222(3)9(3)327⎡⎤-====⎣⎦．含字母的幂的运算是高中数学中基本运算之一, 可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号．已知11223x x-+=，求33222232x x x x --+-+-的值.完成课本习题3-2，特别是B 组第4题.谈一谈你的收获：。

高中数学 3.2 指数扩充及其运算性质导学案北师大版必修1

【学习难点】分数指数幂与根式关系的转化，指数幂的运算。
【使用说明与学法指导】
1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
【自主探究】
1、分数指数幂的含义是什么？用符号来表示、。
2、负分数指数幂的含义是什么？
3、用符号表示分数指数幂与根式之间的互换关系？
4、无理数指数幂是怎么规定的？
5、指数是怎么样扩充到任意实数的？复述过程。
6、当指数扩充到实数时候，对应的运算性质是什么？提问：在本定义中要注意哪些要点？
【合作探究】
1．
2.化简
① ②
3.若
[的值
高中数学北师大版必修一导学案：3.2指数扩充及其运算性质
【学习目标】1、掌握分数指数幂的概念及根式与分数指数幂的相互转化，掌握指数幂的运算。
2、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习分数指数幂的质。
3、热情投入，养成一丝不苟的学习习惯，体验数学的简洁美和统一美
【学习重点】分数指数幂与根式关系的转化，分数指数的运算性质。

北师大必修一《指数扩充及运算性质》word教案

【必修1】第三章指数函数和对数函数第二节指数扩充及运算性质学时：1学时【学习引导】一、自主学习1. 阅读课本6466P P -． 2. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间的联系是什么？（3）分数指数幂的意义是什么？实数指数幂的运算性质有哪些？3. 66P ，68P 练习4. 小结.二、方法指导1．阅读本节内容时，同学们应先回忆初中所学的整数指数幂的运算法则，从而将整数指数幂扩充到分数指数幂，得到分数指数幂的运算法则.2．阅读本节内容时，同学们应注意分数指数幂与根式指数幂只是形式不同，二者可以互化. 【思考引导】一、提问题1. 在上节中，臭氧含量Q 与时间t 存在指数关系，而课本只讨论了指数为正整数的情况，如果当时间t 是半年或5年零3个月，即指数是分数时情况又怎么样？1．你能说说正分数指数幂和负分数指数幂之间如何联系吗，负分数指数幂又如何化成根式指数幂的形式呢？2．试说说0()a b -的结果是什么？二、变题目1．求值（1）238= （2）1481-=（3）2a = （4）1373412a a a⋅⋅= 2．设54,52x y ==，则25x y -=3. 设0b ≠，化简式子11133225362()()()a b a b ab --⋅⋅的结果是（）A ．aB ．1()ab -C ．1ab -D ．1a -4．当1<x <3结果是5．已知21,xa =求33x xx x a a a a --++的值．【总结引导】1.实数指数幂的3条运算性质：2.分数指数幂与根式指数幂互化的步骤：【拓展引导】1.课外作业：68P 习题3-2 A 组3，4 B 组 2，42.课外思考：12．若210x =25，则10x -=撰稿：熊秋艳审稿：宋庆参考答案【思考引导】二、变题目1．（1）4 （2）13（3）103a （4）53a ； 2． 8 ；3． A ；4． 2 ；5．1【拓展引导】1.2.15。

高中数学《指数扩充及其运算性质》导学课件北师大版必修1

2
6
2-3x=0,此时 x= ,y= .
3
4
8
5
6
-5
2
1
2
-
化简(a ·b ) ·
5
8
1
×(- )
5
2
【解析】原式=a
4 4
5 5
- +
=a
0
·b
5
4
a ÷
·b
b3 .
6
5
1
2
- ×(- )
3 3
5 5
0
=a ·b =1.
第十页，共20页。
4
5
·a ÷b
3
5
分数指数幂与根式
(gēnshì)
用分数指数幂表示(biǎoshì)下列各式:
6
3
1
3
x
故 B 错;C 是正确的;对 D, x 2 = |x|=(-x) (x<0),故
D 是错的.
第九页，共20页。
3
1
2
1
2
已知 y=(3x-2) +(2-3x) +
2 6
,
为
.
3
6
,则实数
2
x,y 依次
2
1
2
【解析】根据根式的性质知,要使(3x-2) 有意
1
2
义,则 3x-2≥0,要使(2-3x) 有意义,则 2-3x≥0,故
3
-3
-1
2
-2
【解析】x +x =(x+x )(x +x -1)
-1
-1 2
=(x+x )[(x+x ) -2-1]

数学高一(北师大)必修1教案 3.2指数扩充及其运算性质

3.2指数扩充及其运算性质●三维目标1．知识与技能(1)在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．(2)能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2．过程与方法(1)让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．(2)随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3．情感、态度与价值观使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义，增强学习数学的积极性和自信心．●重点难点重点：分数指数幂的运算性质．难点：难点是根式概念及分数指数的运算与化简．在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质．在具体教学过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性质结论．●教学建议本节安排的内容蕴含了推广的思想(指数幂运算律的推广)，逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)．同时，教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值．建议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教学过程中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算机或计算器创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．●教学流程新课导入，把正整数指数幂进一步扩充到分数指数幂⇒新知探究，导出分数指数幂的定义，完成课本例1，能写成分数指数幂的形式⇒能将根式和分数指数幂进行互化，完成例1及其变式训练⇒将分数指数幂进一步扩充到有理指数幂⇒类比正整数指数幂的运算性质，得出有理指数幂的运算性质⇒根据运算性质完成例2、例3及其变式训练，强化对运算性质的掌握⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重点、难点)【问题导思】1．判断下列运算是否正确．(1)3312＝3343＝34＝1233；(2)5215＝5235＝23＝1552.【提示】正确．2．试想当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否用分数指数幂表示？【答案】能．1．定义给定正实数a，对于任意给定的正整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得b n＝a m，把b叫作a的mn次幂，记作b＝mna，它就是分数指数幂．2．几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：mna＝n a m(a>0)．(2)负分数指数幂的意义：mna ＝1mna(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．【问题导思】1．整数指数幂的运算性质有哪些？【提示】(1)a m·a n＝a m＋n；(2)(a m)n＝a mn；(3)(a ·b )m＝a m·b m；(4)a m an ＝a m －n .2．计算122(2)和1222⨯，它们之间有什么关系？【提示】 122(2)＝124＝2, 1222⨯＝21＝2，相等．若a >0，b >0，对任意实数m ，n ，指数运算有以下性质 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)(ab)m =a m ·b m .(见学生用书第38页)(1) 323可化为( )A.2B.33C.327 D.27 (2)5a －2可化为( ) A ．25a- B ．52a C ．25a D ．－52a【思路探究】熟练应用na m ＝m na 是解决该类问题的关键．【自主解答】 (1) 323＝132(3)＝27. (2)5a －2＝125()a -＝25a-.【答案】 (1)D (2)A根式与分数指数幂的互化规律 1．关于式子na m＝m na 的两点说明；(1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m ↔分数指数的分子；2．通常规定分数指数幂的底数a>0，但像12()a-＝－a中的a则需要a≤0.将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)13a；(2)4a－b3.【解】(1)13a＝131a＝13a-.(2)4a－b3＝34()a b-.求下列各式的值：(1)2364；(2)1481-.【思路探究】结合分数指数幂的定义，即满足b n＝a m时，mna＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．【自主解答】(1)设2364＝x，则x3＝642＝4 096，又∵163＝4 096，∴2364＝16.(2)设1481-＝x, 则x4＝81－1＝181，又∵(13)4＝181，∴1481-＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．求下列各式的值：(1)13125；(2)17128-.【解】(1)设13125＝x，则x3＝125，又∵53＝125，∴x＝5.(2)设17128-＝x，则x7＝128－1＝1128，又∵(12)7＝1128，∴17128-＝12.计算下列各式： (1)(0.064)13-－(－78)0＋[(－2)3] 43-＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)3932a a -÷3a －7 3a 13(a >0)．【思路探究】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数． (2)将根式化为分数指数幂．【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2] 12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380. (2)原式＝[a 1932·a13()32-]÷[a17()23-·a11323]＝a937136666-+-＝a 0＝1.1．化简的顺序与要求：(1)四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的； (2)运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．2．化简的方法与技巧：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、化底数为质数等，便于进行幂的运算．。

教案《指数扩充及其运算性质》

§2 指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充一、教学目标： 1、知识与技能（1）在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念．（2）能够理解引入分数指数概念后m a （0>a ）表示实数． 2、能力与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心．二、教学重点: 理解分数指数幂的概念及表示．教学难点：分数指数的引入．三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。

四、教学过程：（一）新课导入【教学互动】请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果：a n = a 0= （a ≠0）a -n = （a ≠0，n ∈N +）思考：某养牛场养的某头肉牛现在重量是20kg ，经过一年该肉牛体重可以增长50%，（1）写出该肉牛经过x ()5<x 年后体重y 关于x 的函数关系式；（2）当时间是半年或一年零三个月时，肉牛的体重是多少？这就给我们提出问题：123⎪⎭⎫⎝⎛具有实际意义，那么指数是分数时指数幂意义是什么？（二）新知探究1．a的n次幂:一般地，给定正实数a，对于给定的正整数n，存在唯一的正实数b，使得nb a=，我们把b叫做a的1n次幂，记作1nb a=．2．分数指数幂:一般地，给定正实数a，对于任意给定的整数nm，，存在唯一的正实数b，使得b n=a m，我们把b叫做a的mn次幂，记作mnb a=，它就是分数指数幂．例如：32b7=，则23b7=；53x3=，则35x3=等．注：我们也把m a写成n m a，即m a=n m a（Ⅱ）有理指数幂思考交流：请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数后有意义吗？（三）小结:1．正整数指数幂→负整数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂；2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数；3．若b n=a m，则我们把b叫做a的mn次幂，记作mnb a=，且m a=n m a。

北师大版高中必修12指数的扩充及其运算性质课程设计

北师大版高中必修12指数的扩充及其运算性质课程设计一、课程设计背景指数是高中数学中十分重要的概念之一。

在高中的数学课程中，指数的概念主要包括乘方运算及其性质、指数函数等内容。

然而，在实际的数学学习过程中，我们发现，高中数学课程中的指数范围仍然较为有限。

而在实际中，指数的应用十分广泛，包括科学领域、商业领域、金融领域等等。

为了使学生更好地掌握指数的知识，在北师大版高中数学必修12课程中，我们进行了指数的扩充与运算性质的教学设计。

二、课程设计目标•了解指数的基本概念及运算性质•掌握指数对数的定义及其基本性质•熟练掌握指数函数的定义及其变换•能够根据实际问题进行指数运算的应用三、教学内容与方法1. 指数的扩充在高中课程中，指数的范围主要为自然数、整数及分数。

然而，在实际中，指数的范围仍然十分广泛。

因此，我们需要进行指数的扩充，让学生了解更多形式的指数。

•学习负数指数的定义及其运算性质•学习幂函数的概念及性质•学习一次分式指数的概念及其应用2. 对数的定义及其基本性质•学习对数的定义及其基本性质•学习常用对数和自然对数的概念及性质•学习指数、对数及幂函数之间的转化及应用3. 指数函数的定义及其变化•学习指数函数的概念及基本性质•学习指数函数的基本变换及其应用•学习指数函数的图像及特征4. 指数运算的应用•学习指数运算的应用•探究实际问题中指数相关的数学建模•解决实际问题中的指数模型5. 教学方法•知识讲解：讲授相关知识点•案例分析：引入实际例子，让学生了解指数的应用•教学实践：让学生通过做练习题和自主设计问题加深理解•讨论交流：组织小组讨论及总结课堂内容四、教学评估•课堂练习：在课堂中及时进行练习题，检测学生掌握情况•家庭作业：布置作业进行巩固•讨论交流：组织小组讨论及总结课堂内容，检测学生理解情况•期末考试：进行综合考核，检测学生对整个课程的掌握情况五、教学时长本课程设计为10学时课程，包括基本概念、计算方法、应用案例、教学实践等模块。

高中数学 3.2指数概念的扩充教学设计北师大版必修1-北师大版高一必修1数学教案

§2指数扩充及其运算性质整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时教学过程2．1 指数概念的扩充导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数概念的扩充．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数概念的扩充．推进新课新知探究提出问题1整数指数幂的运算性质是什么？2观察以下式子，并总结出规律：a＞0，①5a10＝5a25＝a2＝a105；②a8＝a42＝a4＝a 82；③4a12＝4a34＝a3＝a124；④2a10＝2a52＝a5＝a102.3利用2的规律，你能表示下列式子吗？4 53，375，5a7，nx m x>0，m，n∈N＋，且n>1.4你能用方根的意义来解释3的式子吗？5你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a ·a ·a ·…·a ，a 0＝1(a ≠0)；00无意义；a －n ＝1an (a ≠0)；a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a mn ；(a n )m ＝a mn ；(ab )n ＝a n b n .其中n ，m ∈N ＋.(2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2105a =，②a 8＝82a ，③124a ，④102a =结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a 7＝75a ，nx m＝m n x .(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a 7的五次方根是75a ，x m的n 次方根是m nx .结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m的n 次方根可表示为na m＝m n a ，即m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？ ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？去掉这个规定会产生什么样的后果？ ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a ＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是11mnm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即m n m na a =(a ＞0，m ，n ∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是m n m naa =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是11m nm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？如133(1)1-=-＝－1，26(1)-＝6－12＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质： (1)a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )， (3)(a ·b )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例思路1例1求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)238＝233(2)＝2332⨯＝22＝4； (2)1225-＝122(5)-＝1225⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)341681-⎛⎫⎪⎝⎭＝34423⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式的b . (1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b－5n＝π3m(m ，n ∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝1532；(2)b ＝435＝543；(3)b ＝－5nπ3m＝35m nπ-(m ，n ∈N ＋)．点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3计算下列各式：(1)13 27；(2)32 4.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解．解：(1)因为33＝27，所以1327＝3；(2)因为82＝43，所以324＝8.变式训练求值：(1)33·33·63；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64.解：(1)33·33·63＝3·123·133·163＝11112363+++＝32＝9；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64＝44333666362731255m mn n⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝443366443666(3)()(5)()mn＝9m225n4＝925m2n－4.例4计算下列各式：(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝(113225125-)÷1425＝(233255-)÷125＝21325-－31225-＝165－5＝65－5；(2)a2a·3a2＝22132aa a⋅＝1252236a a--==思路2例1比较5，311，6123的大小．活动：学生努力思考，积极交流，教师引导学生解题的思路，由于根指数不同，应化成统一的根指数，才能进行比较，又因为根指数最大的是6，所以我们应化为六次根式，然后，只看被开方数的大小就可以了．解：因为5＝653＝6125，311＝6121，而125＞123＞121，所以6125＞6123＞6121.所以5＞6123＞311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法．例2求下列各式的值：；(2)23×31.5×612.活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数幂又有根式，应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂，然后分析解答，对(1)，对(2)化为同底的分数指数幂，及时对学生活动进行评价．解：＝14144323(3)⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝124433+⎛⎫⎪⎝⎭＝(14134(3)＝763＝363；(2)23×31.5×612＝2×123×1332⎛⎫⎪⎝⎭×(3×22)16＝111332-+·＝2×3＝6.例3计算下列各式的值：(1)[(322a b-)－1·132()ab-·(12b)7]13；12-；(3)(a 3b 2)－3÷b －4a －1.活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数幂写出，利用指数的运算性质去计算，教师引导学生，强化解题步骤，对(1)先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法，对(2)把分数指数化为根式，然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数幂的运算．解：(1)原式＝11323362()()a b ab ---·7132()b ＝21711217113692632622a b b b b ab-+--+-=＝22033a b a =；另解：原式＝(32a b－21322a b -·72b )13＝(313722222a b +--+)13＝(a 2b 0)13＝23a ；(2)原式＝1＋1a1＋a －a ＋1a a －1＝a ＋1a 1＋a－a ＋1a a －1＝1a －a ＋1a a －1＝1a(1－a ＋1a －1)＝－2a a －1＝2aa 1－a ； (3)原式＝(2132a b )－3÷(b －4a －1)12＝32a-b －2÷(b －212a-)＝3122a-+b －2＋2＝a －1＝1a.例4已知a ＞0，对于0≤r ≤8，r ∈N ＋，式子(a )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a r能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题，考虑与本节知识的联系，教师引导解题思路，把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，即先把根式转化为分数指数幂，再进行幂的乘方，化为关于a 的指数幂的情形，再讨论，及时评价学生的作法．解：(a )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a r ＝82r a -·4r a -＝8163244r r r aa ---=. 16－3r 能被4整除才行，因此r ＝0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂．点评：本题中确定整数的指数幂时，可由X 围的从小到大依次验证，决定取舍．利用分数指数幂进行根式运算时，结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式．例5已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x. (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．活动：学生观察题目的特点，说出解题的办法，整体代入或利用公式，建立方程，求解未知，如果学生有难度，教师可以提示引导，对(1)为平方差，利用公式因式分解可将代数式化简，对(2)难以发现已知和未知的关系，可写出具体算式，予以探求．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝(e x －e －x ＋e x ＋e －x )(e x －e －x －e x －e －x )＝2e x (－2e －x )＝－4e 0＝－4；另解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝e 2x－2e x e －x ＋e－2x－e 2x －2e x e －x －e－2x＝－4ex －x＝－4e 0＝－4；(2)f (x )·f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y)＝e x ＋y＋e－(x ＋y )－ex －y－e－(x －y )＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4，同理，可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋y －g x －y ＝4，gx ＋y ＋g x －y ＝8，解得g (x ＋y )＝6，g (x －yg x ＋y g x －y ＝62＝3.点评：将已知条件变形为关于所求量g (x ＋y )与g (x －y )的方程组，从而使问题得以解决，这种处理问题的方法在数学上称之为方程法，方程法所体现的数学思想即方程思想，是数学中重要的数学思想．知能训练1．(1)下列运算中，正确的是( )． A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝0 D ．(－a 2)3＝－a 6(2)下列各式①4－42n，②4－42n ＋1，③5a 4，④4a 5(各式的n ∈N ，a ∈R )中，有意义的是( )．A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①③④(3)(34a 6)2·(43a 6)2等于( )．A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 4(4)把根式－25a －b－2改写成分数指数幂的形式为( )．A ．－2(a －b )25-B ．522()a b ---C．－2(2255a b---) D．－2(5522a b---)(5)化简2115113366221()(3)()3a b a b a b-÷的结果是( )．A．6a B．－a C．－9a D．9a2．计算：(1)130.027-－⎝⎛⎭⎪⎫－17－2＋34256－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求11221122x yx y-+的值．答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83．解：11111111 22222222111111222222()()2()()x y x y x y x x y yx yx y x y x y----+==-++-.因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－6 3.所以原式12－6－63＝－33.拓展提升1．化简132111333311111 x x x xx x x x-+-+-+++-.活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x－1＝(13x)3－13＝(13x－1)·(21331x x++)；x＋1＝(13x)3＋13＝(13x＋1)·(21331x x-+)；x－13x＝13x[(13x)2－1]＝13x(13x－1)(13x＋1)．构建解题思路，教师适时启发提示．解：213311x x x -++＋1311x x ++－13131x xx --＝13332133()11x x x -++＋133313()11x x ++－121333131x x x x --＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)x x x x x x x x x x x x x -+++-+-++-+++-＝13x －1＋2133x x -＋1－211333x x x -=-.点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，11112222()()a b a b -+＝a －b ，1122()a b ±2＝a ±11222ab ＋b ，(13a ±13b )(21123333aa b b +＝a ±b .2．已知1122a a-+＝3，探究下列各式的值的求法．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.解：(1)将1122a a-+＝3，两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7；(2)将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47； (3)由于3322a a--＝(12a )3－(12a-)3，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++=--＝a ＋a －1＋1＝8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-=＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m mnn n na a⨯=＝a m来计算．作业习题3—2 A组1,2,3,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 a
��
��
2a-b
=
a
4 3
b
.
【解析】由 5=2 ,5=3 ,得 5 =2,5 =3. ∴5
2a-b
1 b
=
52a (5a ) 5
b =
2
5b
��
= .
��
4 3
4.化简:(1)(�� )(-3�� (2)
(1)a · a;(2)a · a2 .
2 3
3
【解析】(1)a · a=a ·a =a
2 2
1 2
2+
1 2
=a .
5 2
(2)a ·
3
3
3 a2 =a ·a3 =a3+3 =a 3
2
2
11
.
导.学. 固. 思
用指数幂的运算性质化简化简下面各式:
(1) (2)
a2 b b3 4 a ; a b3
(2)原式=
1 1 1
÷(12
1 2b 3 1 a3
)·a
1 3
=
a 3 (a 3 -2b 3 )(a 3 +2a 3 b 3 +4b 3 )
2 1 1 2 4b 3 +2a 3 b 3 +a 3 1 3 1 3 1 3
·
a3
1 1 a 3 -2b 3
1
·a
1 3
=a ·a ·a =a.
导.学. 固. 思
.
导.学. 固. 思
问题3
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是: �� = �� (a>0,m,n∈N+,n>1). (2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定: �� - �� = �� (a>0,m,n∈N+,n>1). ��
3 2 2 6
1 2
1 2
4
化简(a ·b ) ·
【解析】原式=a =a
- +
0
8 5
6 -5 -2
1
5
5 4 a ÷
b3 .
1 2
8 1 × (- ) 5 2
·b
- × (- )
6 5
·a ÷b
4 5
3 5
4 4 5 5
·b
0
3 3 5 5
=a ·b =1.
导.学. 固. 思
分数指数幂与根式用分数指数幂表示下列各式:
x3 x
1 2
-
1 3
1
1
故 B 错;C 是正确的;对 D, D 是错的.
6
3 x2 =
|x|=(-x) (x<0),故
1 3
导.学. 固. 思 3
已知 y=(3x-2) +(2-3x) + ,则实数 x,y 依次 2 2 6 , 为 .
3 2
1 2
1 2
6
【解析】根据根式的性质知,要使(3x-2) 有意义,则 3x-2≥0,要使(2-3x) 有意义,则 2-3x≥0,故 2-3x=0,此时 x= ,y= .
3 -3 -1 2 -2
3
-3
-1
导.学. 固. 思
1.若 ��-��+(a-4)0 有意义,则 a 的取值范围是( B ).
��
A.a≥2 C.a≠2
B.a≥2且a≠4 D.a≠4
【解析】∵a-2≥0,a-4≠0,∴a≥2且a≠4,故选B.
2.下列各式中成立的一项是( D ).
导.学. 固. 思
2
下列根式与分数指数幂的互化,正确的是( C ).
A.- x=(-x) B.x =- x
x - 4 C.( ) 4 = y
6 1 3 3
1 2
-3
1
3
( ) (x,y≠0)
y 3 x
D. x 2 =x (x<0)
【解析】对 A,- x=-x ,故 A 错;对 B,x = 1 = 3 ,
【解析】(1)原式=-9a (2)原式=
a2
1 a 2 ·a 3 2 =a
b
1 1 5 + 2 3 6
=-9ab =-9a.
0
2- -
1 2 2 3
=a = a5 .
导.学. 固. 思
第2课时指数扩充及其运算性质
导.学. 固. 思
1.经历幂指数由正整数逐步扩充到实数的过程,理解有
理数指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义.
2.掌握分数指数幂和根式之间的互化. 3.掌握幂的运算性质.
导.学. 固. 思
我们知道考古学家是通过对生物化石的研究判断生物的发展和进化的,那么他们又怎样判断它们所处的年代呢? 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减 ,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,考古学家获得了生物体内碳14含量P与死亡
+
a 2 b 2 +1
+
+
=
a 2 b 2 +1
=1.
导.学. 固. 思
用指数幂的运算性质求值已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.
【解析】由 x+x =3,两边平方得: -1 2 2 2 -2 2 -2 (x+x ) =3 ,x +2+x =9,∴x +x =7.
-1
导.学. 固. 思
用分数指数幂表示根式 ��-�� (a>0,b>0)的结果是 a
��
次幂,记作它 b=�� 就是分数指数幂.
��
导.学. 固. 思
问题2
n次方根的概念:如果xn=a,那么x叫作a的 n次方根 ,其中 n>1,且n∈N+. (1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数 ,负数的n
�� 负数次方根是一个 ,因此a的n次方根用符号 �� 表示.
an bn
;
.
导.学. 固. 思
1
下列运算中,正确的是( B ).
A. (a-b) =a-b C.
4 4 4 a -
6
6
B. (a2 + b 2 ) =a +b
2
8
8
2
b 4 =a-b
D.
10
(a + b) =a+b
10
【解析】在根式运算中,要看清是偶次方根还是奇次方根的运算,它们的运算性质是不一样的.这四 n 2 2 个都是偶次方根的运算,当 a≥时, an =a,∵a +b ≥0, 所以只有 B 项是正确的,其余都不对.
1 1 3 b6
��
.
3
【解析】
a-1
b=(a b ) =a b .
-1
1 1 2 3
-
1 3
1 6
已知 a<b<0,n>1,n∈N+,化简 (��-��) + (�� + ��) .
��
��
��
【解析】①当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a; ②当n是偶数时,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.
导.学. 固. 思
若已知 x +x =2,你能求出 x+x 的值吗?
【解析】x +x =(x+x )(x +x -1) -1 -1 2 =(x+x )[(x+x ) -2-1] -1 -1 2 =(x+x )[(x+x ) -3]=2, -1 2 令 x+x =m,则方程变形为 m(m -3)=2, 3 3 2 则有 m -3m-2=m +1-3(m+1)=(m+1)(m -m+1)2 2 3(m+1)=(m+1)(m -m-2)=(m+1) (m-2), 2 则方程变形为(m+1) (m-2)=0. 即得 m=-1 或 m=2. -1 若 m=-1,则 x+x =-1,此时方程无解,舍去, -1 -1 若 m=2,则 x+x =2,解得 x=1,故 x+x =2.
�� ·
��
��
��
�� )÷( �� ). ��
��
(a>0).
2 1 1 + 3 2 6 5 6 6
导.学. 固. 思
【解析】(1)原式=[ ·(
b
a2
b3 a
) (
1 2
a b3
) ]
1 4
1 2
=a
1- +
7 8
1 1 4 8
b
- + -
1 3 3 2 4 8

=a b =
18 b
-
1 8
a7 b 7 .
1 a 3 (a -8b ) 2 1 1 2 4b 3 +2a 3 b 3 +a 3 2 1 1