可化为一元二次方程的分式方程(二)
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程为了满足字数要求，我将详细解释可化为一元二次方程的分式方程的概念、一些示例、解题步骤和技巧。
以下是一个关于分式方程的完整解释。
分式方程是一个方程，其中包含了分式表达式。
一元二次方程则是一个具有形如 ax^2 + bx + c = 0这种形式的方程，其中 a、b和c是实数，且a ≠ 0。
将分式方程化为一元二次方程可以使我们更容易解决和求解方程。
要将分式方程化为一元二次方程，我们需要遵循以下简单的步骤：步骤一：将分式方程的分子和分母的多项式部分展开。
这可能包括分布律、乘法法则和化简等操作。
步骤二：将方程两侧的分母相乘，以消除分母。
这可以通过将每个项乘以缺少的分母部分来完成。
步骤三：将分母相乘后，将等式的两侧约分。
这可以通过因子分解来完成。
步骤四：将等式的两侧移项并整理，使所有项在一侧，并将方程表示为 ax^2 + bx + c = 0的形式。
这样，分式方程就被转化为了一元二次方程。
为了更好地理解这些步骤，考虑以下示例：例1：将分式方程1/(x+2)+1/(x+3)=1/x化为一元二次方程。
步骤一：展开分子和分母，我们得到：(x+3)(x+2)+x(x+2)=(x+3)(x)步骤二：两侧相乘，我们得到：(x+3)(x+2)x+x(x+2)(x+3)=(x+3)(x)^2步骤三：约分两侧，我们得到：x(x+3)+x(x+2)(x+3)=(x+3)x^2步骤四：移项并整理，我们得到：x^2+3x+x^3+2x^2+3x^3=0合并同类项，我们得到：4x^3+3x^2+3x=0现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=4，b=3，c=0。
例2：将分式方程(3x-7)/(x+2)+(x+1)/(x+3)=4/(x+3)化为一元二次方程。
步骤一：展开分子和分母，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+2)=4(x+2)步骤二：两侧相乘，我们得到：(3x-7)(x+3)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)=4(x+2)(x+3)步骤三：约分两侧，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+3)=4(x+3)步骤四：移项并整理，我们得到：(3x^2-4x-19)(x+3)=4x+12展开和合并同类项中的项，我们得到：3x^3+5x^2-34x-57=4x+12现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=3，b=5，c=-21解决这个一元二次方程可以使用一般的求解方法，例如，可以使用公式法、配方法、因式分解等方法来求解。
解可化为一元二次方程的分式方程
B、12 y2 + 5y + 1 = 0
C、y2 － 5y + 6 = 0
D、 6y2 － 5y + 1 = 0
三、解分式方程：
1、
－
= +1
2、
+ x2－2 = 0
返回
小结
基本思想：化分式方程为整式方程
解
分 式
基本方法
方
程
去分母
换元法（解特殊分式方程的方法） 去分母
基本步骤 解整式方程
验根
返回
解可化为一元二次方程的分式方 程
复习 例一 例二练Fra bibliotek 小结复习
一、填空：
1、___分__母___中__含__有__未__知__数__的__方__程______叫分式方程。
2、解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路是 分__式__方_程__
__化__为__整__式__方__程__。 基 本 方 法 是 ____去___分___母_____， 基 本 步 骤 是 ___去__分__母__、__解__整__式__方__程__、__验__根_____。 3、解分式方程时，方程两边都乘以同一个整式，就有产生_增__根__ 的可能，因此解分式方程必须___验___根____。
二、选择：
（1）下列方程中有实数根的是：（ C ）
A、 + 2 = 0
B、
=0
C、
=0
D、
=
(2) 已知 Ｘ＝－2 是某一个方程的增根，则这个方程是：（ B ）
A、X2－4Ｘ＋４＝０
Ｂ、３＋
=
C、
+
=
D、
=
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(3) 用换元法解方程
人教版数学九年级上学期课时练习-可化为一元二次方程的分式方程专题(人教版)
专题21.28 可化为一元二次方程的分式方程专题（专项练习）一、解答题1．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1）231x =+ （2）131x x =-（3）22x x+（4）2211x x x =--2．解方程：2311x x x =+-．3．解方程： （1）241142x x =--- （2）11222x x x-+=--4．解方程： (1)3222xx x=---； (2)4x 2－8x +1＝0．5．解方程（1）21133x xx x =-++ （2）2227361x x x x x x +=+--6．解方程： (1)2430x x --= (2)213111x x x +-=--．7．解方程：(1)x 2+6x ＝﹣1（配方法） (2)263111x x -=--8．解方程：（1）2420x x --=； （2）53212x x =+-．9．解方程：(1)解方程：x 2－6x ＋9＝（2x －1）2(2)化简：2122(1)x x x --÷．10．解方程（组）：(1)28124x x x -=--(2)11232(3)3(2)x xx x -⎧->-⎪⎨⎪->-⎩11．解方程：(1)()()2240x x +-+=；(2)214123x x+=+．12．（1）计算：101|1()(2021)2π--+---（2）解不等式组：3(2)41213x x x x --≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩；（3）解方程：322112x x x=---； （4）解方程：x 2﹣4x +4＝3x ﹣6．13．解分式方程：224124xx x -=-+-14．解方程：2412x x x x--=-．15．解分式方程：252112x x x +-＝3．16．解方程214124x x +=-+-．17．解方程： (1)2x －6x －4＝0 (2)x －12x -＝+23x +118．解方程： (1)13012x x+=++(2)22440x x +-=19．解方程： (1)2340x x +-=(2)2269(52)x x x -+=-(3)(1)(3)12x x -+= (4)221111x x +=--20．解分式方程21211x x x -=++21．解方程(组)：(1)3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩(2)213111x x x --=+-；(3)x (x －7)＝8(7－x ).22．解方程： (1)2230x x --=； (2)21124x x x -=--．23．解方程：22321=011x x x x x --+--.24．解方程：1y =25．解方程：2231224x xx --=--．26．解方程(1)21111x x x +=-- (2)x 2＋4x －1＝027．解方程： （1）225x x +=； （2）14733x x x-+=--．28．解方程： （1）24142x xx x +=-+ （2）22530x x +-=（3）2(2)36x x +=+29．解方程：（1）（x ﹣1）（x +3）＝2x +4； （2）2311x x x x-+--＝0．30．解方程： （1）31144x x x-+=--； （2）x 2﹣4x +2＝0；（3）x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）．31．解方程：（1）2(5)360x --=； （2）230x x +-=．（3）214111x x x +-=---．32．（1）化简：a b a b b a +-- （2）解方程：261393x x x x -=+--33．计算题（1）分解因式：x 3﹣2x 2y +xy 2；（2）解不等式组：()214137136x x x x ⎧++⎪⎨---≤⎪⎩＜；（3）解方程：2411x x x =+--1； （4）解方程：x （2x +1）＝8x ﹣3．参考答案1．（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．解：（1）231x =+是分式方程，去分母可转化为3x +3=2，不是一元二次方程，（2）131x x =-是分式方程，去分母可转化为3x =x -1，不是一元二次方程， （3）22x x+是分式，不是分式方程，（4）2211x x x =--是分式方程，去分母可转化为x 2+x =2，是可化为一元二次方程的分式方程，∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．2．x 1=-12，x 2=3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x (x -1)=3(x +1)，整理得：2x 2-5x -3=0，即(2x +1)(x -3)=0， 解得：x 1=-12，x 2=3，检验：把x 1=-12，x 2=3代入得：（x +1）（x -1）≠0，∴x 1=-12，x 2=3都是方程的解．【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．（1）1x =-；（2）无解 【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 解：（1）去分母，得()()()4222x x x =+-+-，整理，得220x x --=， 解得11x =-，22x =，经检验，11x =-是原方程的根，22x =是增根，故原方程的根为1x =-．（2）去分母，得()1221x x +-=-， 去括号，得1241x x +-=-， 移项，合并同类项，得2x =， 检验：把2x =代入20x -=， 所以此方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用分式方程的解法进行求解，注意：分式方程要检验．4．(1)73x =(2)x x ==【分析】（1）去分母，合并同类项，即可解出； （2）先配方，再求解(1)解：去分母得，32(2)()x x =---去括号得，334x =- 73x =(2)解：原方程变为，()22810x x -+=()222284410x x -+-+=()22415x -=x =x =x =【点拨】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，掌握去分母、配方是本题关键． 5．（1）34x =；（2）37x = 【分析】（1）把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．（2）两边同乘以最简公分母(1)(1)x x x +-，即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．解：（1）21133x xx x =-++，()()312131x xx x x +-=++ ， ()()()3163131x x xx x +-=++ ，两边同时乘以()31x +得： 633x x x =+- ， 43x = ， 34x =， 经检验34x =是原方程的根． （2）2227361x x x x x x +=+--， ()()()()73611+11x x x x x x x +=+-- ，两边同乘以(1)(1)x x x -+得：()()()()()()()()71316111111x x x xx x x x x x x x x -++=+-+-+- ，7(1)3(1)6x x x x -++=， 277336x x x x -++= ， 271030x x -+= ，()()1730x x --= ，10x -=或730x -=，解得：1231,7x x ==， ∴220,10x x x -≠-≠ ， ∴1x ≠ ， ∴37x =， 经检验37x =是原方程的根． 【点拨】本题考查求解分式方程，一元二次方程．把分式方程转化为整式方程是解题关键，且需要注意验根．6．(1)1x =22x =x ＝12【分析】（1）首先把常数项夫－3移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数－4的一半的平方，配方完成后，开方求解即可求得答案；（2）首先去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求得答案，再检验即可．(1)解：2430x x --=243x x -=24434x x -+=+2(2)7x -=∴2x -=∴1x =22x =(2)解：213111x x x +-=-- 方程两边同乘以（x +1）（x ﹣1）得：（x +1）2﹣3＝（x +1）（x ﹣1），整理得：x 2+2x +1﹣3＝x 2﹣1，解得：x ＝12 ，检验，当x ＝12时，（x +1）（x ﹣1）＝（12+1）（12﹣1）≠0，∴x ＝12是原方程的解． 【点拨】此题考查了配方法解一元二次方程与分式方程的求解方法．解题的关键是注意配方法的步骤与分式方程需检验．7．(1)x 1＝﹣，x 2＝﹣3﹣(2)x ＝﹣4【分析】（1）利用配方法求出解即可；（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．(1)解：配方得：x 2+6x +9＝8，即（x +3）2＝8，开方得：x +3＝，所以x 1＝﹣，x 2＝﹣3﹣； (2)263111x x -=-- 解：方程两边都乘（x +1）（x -1），得6-（x +1）（x -1）=3（x +1），解得：x =-4或x =1，检验：当x =1时，（x +1）（x -1）=0，所以x =1是原方程的增根，当x =-4时，（x +1）（x -1）≠0，所以x =-4是原方程的解，即原方程的解是x =-4．【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．8．（1）12x =，22x =；（2）13x =-【分析】（1）按配方法解一元二次方程即可；（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程，并对结果进行检验．解：（1）2420x x --=，24424x x -+=+，2(26)x -=，2x -=∴12x =，22x =；（2）解：53212x x =+-， 去分母，得 ()()52321x x -=+，去括号，得 51063x x -=+，移项、合并同类项并系数化为1，得 13x =-，经检验，13x =-是该方程的解．【点拨】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程与分式方程的解题方法和步骤是解题关键．9．(1)143x =，22x =-(2)2x 【分析】 （1）先对方程进行变形，用因式分解法解方程即可；（2）先根据异分母分式相加减对括号中的分式进行运算，然后用分式除法法则进行运算即可．(1)x 2－6x ＋9＝（2x －1）2解：方程可变为：()()22321x x -=-，移项得：()()223210x x ---=，因式分解得：()()3420x x ---=，∴340x -=或20x --=， 解得：143x =，22x =-． (2)2122(1)x x x --÷ ()2211x x x x x -⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ ()2121x x x x -=⋅- 2x =． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和分式混合运算，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．10．(1)1x =-(2)30x -<<【分析】（1）方程两边同时乘以()()22x x +-，然后解整式方程即可，（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：(1)28124x x x -=-- 2248x x +-+=220x x -+=()()210x x -+=解得122,1x x ==-经检验，1x =-是原方程的根，2x =是原方程的增根∴方程的解为1x =- (2)11232(3)3(2)x x x x -⎧->-⎪⎨⎪->-⎩①②解不等式∴得：3x >-解不等式∴得：0x <∴不等式的解集为：30x -<<【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．11．(1)10x =，23x =-(2)113x =-，23x = 【分析】（ 1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （ 2）整理后求出24b ac -的值，再代入公式求出答案即可．解：(1)()()2240x x +-+=，24440x x x ++--=，230x x +=，(3)0x x +=， 0x =或30x +=，解得：10x =，23x =-； (2)214123x x +=+， 23386x x +=+，23830x x --=，这里3a =，8b =-，3c =-，()()22484331000b ac -=--⨯⨯-=>，x ∴==解得：113x =-，23x =． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．12．（1）4- ；（2）1x ≤；（3）13x =- ；（4）122,5x x == 【分析】（1）先根据绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂化简，再合并，即可求解；（2）先分别求出两个不等式，即可求解；（3）先去分母化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解；（4）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法解答，即可求解．解：（1）101|1()(2021)2π--+---121=----4=- ；（2）3(2)41213①②--≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩x x x x 解不等式∴，得：1x ≤ ，解不等式∴，得：4x < ，所以不等式组的解集为1x ≤；（3）322112x x x=--- 两边同时乘以21x - ，得：()2213x x =-+ ， 解得：13x =- ， 检验：当13x =-时，152121033x ⎛⎫-=⨯--=-≠ ⎪⎝⎭ ， 所以原方程的解为13x =-； （4）x 2﹣4x +4＝3x ﹣6整理得：27100x x -+= ，所以()()250x x --= ，解得：122,5x x == ．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式方程，一元一次不等式组，二次根式混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．13．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可． 解：224124x x x -=-+-， 两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点拨】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．14．x ＝4或x ＝1．【分析】设y ＝2x x -，方程变形为：y ﹣2y ＝1，将分式方程转化为整式方程，再解方程，注意结果要进行检验． 解：2412x x x x--=-， 整理，可得()2212x x x x --=- 设y ＝2x x -， 方程变形为：y ﹣2y＝1， 去分母得：y 2﹣y ﹣2＝0，即（y ﹣2）（y +1）＝0，解得：y ＝2或y ＝﹣1， ∴2x x -＝2或2x x -=-1， 解得：x ＝4或x ＝1，经检验x ＝4或x ＝1都为分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝4或x ＝1．【点拨】本题考查解分式方程，因式分解法解一元二次方程，应用换元法解方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，特别注意：分式方程结果要进行检验．15．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18， 检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0． 即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18． 【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 16．1x =【分析】根据解分式方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，因式分解法解一元二次方程，再检验即可． 解：214124x x +=-+-， 去分母，得x -2+4=-x 2+4，移项，合并同类项，得x 2+x -2=0，即(x +2)(x -1)=0，则x 1=-2，x 2=1．经检验，2x =-是原分式方程的增根，1x =是分式方程的解，所以1x =．【点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意：解分式方程时要检验．17．(1)13x =23x =x =7【分析】（1）用一元二次方程的求根公式求解即可；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，即可求得方程的解． 解：(1)∴2(6)41(4)52∆=--⨯⨯-=∴3x =即13x =23x =解：(2)去分母得：63(1)2(2)6x x x --=++去括号得：633246x x x -+=++移项得：632463x x x --=+-合并同类项得：x =7【点拨】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程，解二元一次方程时，要根据方程的特点灵活选取解方程的方法．18．(1)54x =-(2)11x ，21x = 【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意结果要进行检验；（2）原方程化简后，使用配方法解一元二次方程．解：(1)13012x x+=++ 方程两边都乘以()()12x x ++，得()2310x x +++= 解得54x =-．检验：当54x =-时，()()120x x ++≠ 所以54x =-是原分式方程的解 解：(2)22440x x +-=整理，可得：2220x x +-=222x x +=x 2+2x +1=2+1，()213x +=1x +=11x =，21x =【点拨】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程的步骤，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．19．(1)1241x x =-=，(2)12823x x ==，(3)1253x x =-=，(4)12x x ==【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）方程左边利用完全平方公式变形，再直接开平方即得出两个一元一次方程，求解即可；（3）方程整理，再利用因式分解法解方程即可；（4）将分式方程改为整式方程，再根据公式法求一元二次方程的解，最后检验即可．(1)解：2340x x +-=(4)(1)0x x +-=∴1241x x =-=，；(2)解：2269(52)x x x -+=-整理，得：22(3)(52)x x -=-∴352x x -=-或3(52)x x -=-- ∴12823x x ==，； (3)解：(1)(3)12x x -+=整理，得：22150x x +-=(5)(3)0x x +-=∴1253x x =-=，；(4)解：221111x x +=-- 方程两边同时乘21x -，得：22(1)1x x ++=-，整理，得：240x x --=∴12x x ==经检验12x x =是原分式方程的根，∴原方程的解为12x x ==． 【点拨】本题考查解一元二次方程和解分式方程，掌握解一元二次方程和解分式方程的步骤和方法是解题关键．20．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 解：21211x x x -=++ 化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1≠0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点拨】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．21．(1)11x y =-⎧⎨=⎩(2)x ＝－12(3)x 1＝7，x 2＝－8 【分析】（1）根据代入消元法，可得方程组的解；（2）根据等式的性质，化为整式方程，根据解整式方程，可得答案；（3）先移项，再提公因式，再求解即可．(1)3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩①②解：由∴，得y ＝3x ＋4∴将∴代入∴，得x －2(3x ＋4)＝－3，解得x ＝－1，将x ＝－1代入∴，解得y ＝1.所以原方程组的解为11x y =-⎧⎨=⎩； (2)213111x x x --=+-； 解：方程两边都乘(x ＋1)(x －1)，得(x －1)2－3＝(x ＋1)(x －1)，解得x ＝－12.经检验，x ＝－12是原方程的解．(3)x (x －7)＝8(7－x ).解：原方程可变形为x (x －7)＋8(x －7)＝0，(x －7)(x ＋8)＝0.x －7＝0，或x ＋8＝0.∴x 1＝7，x 2＝－8.【点拨】本题考查了解二元一次方程组、分式方程及一元二次方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验分时方程的根．22．(1)11x =-；23x =(2)32x =- 【分析】(1)利用因式分解法求方程的根．(2)化成整式方程，计算，注意验根．解：(1)2230x x --=，因式分解，得(3)(1)0x x -+=，解得11x =-；23x =，故方程的两个根为11x =-；23x =．解：(2)21124x x x -=--， 去分母，得2(2)14x x x +-=-， 解得32x =-， 经检验，32x =-是原方程的根． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，熟练选择正确的解法是解题的关键．23．x =13- 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x -1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：因式分解得：()()()321=0111x x x x x x --++-- 方程的两边同乘（x +1）（x -1），得：()()()32110x x x x -+-+=整理得23210x x --=，因式分解得：(1)(31)0x x -+= 解得1211,3x x ==-．检验：把x =1代入（x +1）（x -1）=0，x =1是增根，把x =13-代入（x +1）（x -1）≠0． ∴原方程的解为：x =13-． 【点拨】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．24．y =2【分析】利用平方法整理方程，进而再根据因式分解法求一元二次方程的解．解：1y =1y =-两边进行平方，得23(1)y y -=-2321y y y -=-+220y y --=∴（y -2）（y +1）=0解得y 1=2，y 2=-1又3-y ≥0，y -1≥0∴1≤y≤3∴ y =2综上可知∴ y =2【点拨】本题考查了平方法解方程，利用因式分解法求一元二次方程的解，二次根式有意义的条件．25．3x =-【分析】由去分母、去括号、移项合并，求出分式方程的解，然后进行检验，即可得到答案． 解：2231224x xx --=--， 去分母，得：223(2)2(4)x x x -++=-，去括号，得：223228x x x -++=-，移项合并，得：260x x +-=，整理得：(3)(2)0x x +-=，解得：13x =-，22x =； 检验：当22x =时，240x -=，则22x =是增根；当13x =-时，240x -≠；∴原分式方程的解为3x =-．【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，正确地进行解题，注意解分式方程需要检验．26．(1)2x =-(2)12x =-22x =-【分析】（1）确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）利用配方法求解即可．(1)解：（1）方程两边同乘(1)(1)x x +-得：2(1)11x x x ++=-，整理得：2x =-，经检验2x =-是原方程的根；(2)解：2410x x -=+，241x x +=，24414x x ++=+，即2(2)5x +=，2x ∴+=12x ∴=-22x =-【点拨】本题主要考查解分式方程、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程和分式方程的方法是解题的关键．27．（1）11x =-21x =-2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--，解得3x =，检验：当3x =时，30x -=，∴3x =是方程的增根，所以，原分式方程无解．【点拨】本题考查用配方法解一元二次方程，分式方程的解法，掌握用配方法解一元二次方程，分式方程的解法与步骤是解题关键．28．（1）原方程无解；（2）112x =，23x =-；（3）12x =-，21x =． 【分析】（1） 方程两边都乘以公分母得()2424x x x x +-=-，解方程得2x =-检验分母为零即可；（2）因式分解得()()2310x x +-=分别解每一个一元一次方程即可；（3）先因式分解()()210x x +-=在分别解每一个一元一次方程即可．解：（1）24142x x x x +=-+ ， 方程两边都乘以()()22x x +-得()2424x x x x +-=-，整理得24x =-，解得2x =-，当2x =-时，()()()()2222220x x +-=-+--=，∴2x =-时原方程的增根，∴原方程无解；（2）22530x x +-=，因式分解得()()2130x x -+=，当210x -=，解得112x =， 当30x +=，解得23x =-；∴方程的解为112x =，23x =-； （3）2(2)36x x +=+，()2(2)320x x -++=，()()2230x x ++-=，()()210x x +-=，当20x +=，解得12x =-，当10x -=，解得21x =．∴方程的解为12x =-，21x =．【点拨】本题考查可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法，掌握可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法与步骤是解题关键．29．（1）x 1x 2；（2）原分式方程无解【分析】（1）先将方程整理成一般式，再利用直接开平方法求解即可；（2）两边都乘以x （x ﹣1），将分式方程化为整式方程，再进一步求解即可． 解：（1）整理，得：x 2﹣7＝0，∴x 2＝7，则x ＝，即x 1x 2（2）两边都乘以x （x ﹣1），得：2x 2﹣4x +3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，∴方程无解，故原分式方程无解．【点拨】此题考查计算能力：解一元二次方程，解分式方程，正确掌握各自的特点及解法是解题的关键．30．（1）3x =；（2）1222x x ==3）121,2x x ==-【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据配方法解一元二次方程；（3）根据因式分解法解一元二次方程．解：（1）31144x x x-+=-- 两边同乘以最简公分母(4)x -，得：314x x --=-解得：3x =当3x =时，43410x -=-=-≠所以3x =是原方程的解；（2）x 2﹣4x +2＝02442x x -+=2(2)2x -=2x -=解得1222x x =+=（3）x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）(1)(2)0x x -+=解得121,2x x ==-．【点拨】本题考查了解分式方程，配方法和因式分解法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．31．（1）1211,1x x ==-;（2）12x x ==；（3）2x =- 【分析】（1）根据直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程．解：（1）2(5)360x --=2(5)36x -=56x -=±解得1211,1x x ==-（2）230x x +-=211344x x ++=+ 2113()24x +=12x +=解得：12x x == （3）214111x x x +-=--- 去分母得：22(1)41x x +-=-220x x +-=21944x x ++= 219()24x += 1322x +=± 解得：121,2x x ==-当1x =时，210x -=当2x =-时，2130x -=≠∴原方程的根为2x =-【点拨】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．32．（1）1；（2）x =1【分析】（1）直接利用分式的性质化简即可得到答案；（2）先利用平方差公式去分母，然后利用因式分解的方法解方程即可.解：（1）a b a b b a +-- a b a b a b =--- a b a b-=- 1=；（2）∴261393x x x x -=+--， ∴()()336133x x x x x +=+-+-， ∴()363x x x -+=+，∴2430x x -+=，∴()()130x x --=，解得1x =或3x =，经检验3x =是方程的增根，故3x =不符合题意；经检验1x =是方程的根，∴1x =.【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.33．（1）x （x ﹣y ）2；（2）﹣1≤x ＜2；（3）x ＝3；（4）x 112=，x 2＝3． 【分析】（1）先提公因式x ，再利用完全平方公式分解即可；（2）根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．（3）根据解分式方程的步骤依次计算可得．（4）先将方程整理成一般形式，再运用因式分解法转化为两个一元一次方程求解． 解：（1）原式＝x （x 2﹣2xy +y 2）＝x （x ﹣y ）2； （2）()214137136x x x x ⎧++⎪⎨---≤⎪⎩＜①② 解不等式①得：x ＜2，解不等式②得：x ≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜2，（3）两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得：x （x +1）＝4+（x +1）（x ﹣1）， 解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解．（4）将方程整理，得2x 2-7x +3＝0，将方程左边因式分解，得（2x -1）（x ﹣3）＝0，所以2x -1＝0或x ﹣3＝0，所以x 112=，x 2＝3． 【点拨】本题主要考查解分式方程、解不等式组、一元二次方程及因式分解，熟练掌握解运算法则是解题的关键．。
可化为一元二次方程的分式方程
例1 解方程.解：原方程就是去分母，得整理后，得 022=--x x解这个方程，得经检验，2=x 是增根，1-=x 是原方程的根.说明 去分母前的排列，变号（如本题中的x -22变为22--x ），去分母时分母为1的整式或常数漏乘最简公母以及去括号时符号是否改变，都是解方程中容易出错的地方，解题过程中都要认真对待.例 2 解方程x x x x +=-+222322 解法一：原方程可化为设y x x =+2，则原方程化为去分母，得解这个方程，得 当21-=y 时，212-=+x x ，,021<-=∆ ∴ 此方程无实根. 当2=y 时，22=+x x .解这个方程，得经检验，1,221=-=x x 都是原方程的根.解法二：去分母，整理，得02=+x 或 01=-x .方程01222=++x x 的084<-=∆，无实数根.经检验，1,221=-=x x 都是原方程的根.说明 从两种解法看到分式方程转化为整式方程的两种途径.解法一用的是换元法，因为)(22222x x x x +=+，设y x x =+2，经过换元使方程得到化简.解法二用的是去分母，其后在解的过程中也是一种换元的思想，是把x x +2看成一个整体，当成一个未知数，只是没有显现出换元，如果换元方法掌握较好，对于这样的题采用解法二是否更为简捷些.例 3 当a 取何值时，方程)1)(2(21221+-+=+----x x a x x x x x 去分母，得解这个方程，得∵ 方程的解为负数，∴025<+a ，解得 5-<a . ∴ 1,2-≠≠x x . 即 125,225-≠+≠+a a . ∴ 当5-<a 且7-≠a 时，方程的解为负数.说明 分式方程的解必使是各分式的分母不等于零，在求适合某种条件的字母系数的值时，要特别注意这一点.例 4 某工厂计划生产480个零件，在实际生产中每小时多做了10个，结果不仅提前1小时完成任务，而且还比原计划多生产了10个零件.求原计划每小时做多少个零件？预计用多少时间？分析 设原计划每小时做x 个零件，那么预计用的时间就是x480小时，实际每小时生产了)10(+x 个零件，共计生产了)10480(+个，所以实际所用的时间是1010480++x 小时.根据“实际比原计划提前1小时完成”这个等量关系列方程.解：设原计划每小时做x 个零件.根据题意，有去分母，整理，得解这个方程，得经检验，60,8021=-=x x 都是原方程的根，但生产零件的个数不能为负数，所以只取60=x .当60=x 时，860480480==x . 答：原计划每小时生产60个零件，预计用8小时完成任务. 例5 甲、乙二人分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，3小时相遇.相遇后两人各用原来速度继续前进，甲到达B 地比乙到达A 地早1小时21分.求两人的速度.分析 本题中的主要等量关系是走完全程甲比乙少用1小时21分，可用等式602112727=-甲速乙速表示.题目的前一句话中隐含了二人速度之间的关系，27千米的路程，二人用3小时相遇，就是说二人的速度与是每小时9千米，如果设甲每小时走x 千米，那么乙每小时走（x -9）千米.解：设甲每小时走x 千米，那么乙每小时走（x -9）千米. 依题意，有化简得201191=--x x 去分母，整理，得解这个方程，得 经检验，5,3621=-=x x 都是原方程的根，但速度不能为负数，所以只取5=x .当5=x 时，4599=-=-x .答：甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.说明 本题也可以把题中的两句话看成两个等量关系，列方程组求解.即设甲的速度为每小时x 千米，乙的速度为每小时y 千米. 根据题意，有方程组用代入消元法求解.典型例题六例 若解分式方程x x x x m x x 1)1(112+=++-+产生增根，则m 的值是（ ）.分析 解分式方程可能产生增根的原因是去分母时两边都乘以最简公分母——含未知数的整式.当这个整式的值为0时，就产生增根，所以解这类题目的方法是先去分母，将分式方程化为整式方程，再将所有可能的增根代入这个整式方程，求出m 的值.解 原方程即是x x x x m x x 1)1(112+=++-+ 去分母，得 .)1()1(222+=+-x m x这个方程可能地增根是 .10-==x x 或把0=x 代入整式方程，得.1)1(0=+-m 解得2-=m ；把1-=x 代入整式方程，得.)11()1()1(222+-=+--⨯m 解得.1=m .21 -=∴或m 故选D.典型例题七例 已知x 是实数，且2)3(3322=+-+x x xx ，那么x x 32+的值为（ ） A ．1 B ．－3或1 C ．3 D ．－1或3误解 设y x x =+32，则原方程可变为23=-y y ，即.0322=-+y y 剖析 332-=+x x 时，即是0332=++x x ，此时031432<⨯⨯-=∆，方程无实数解，即x 不是实数，与题设不符，应舍去；当132=+x x 时，即是0132=-+x x ，此时,0)1(1432>-⨯⨯-=∆方程有实数解，即x 是实数，符合题设，故.132=+x x正确答案：选A.说明 此题由解分式方程演变而来，大大增加了成就机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃.还有一类题目由无理方程演变而来，如“已知x 为实数，且3246222++=++x x x x ，则x x 22+的值等于_________”.典型例题八例 阅读理解题：关于x 的方程：c c x x 11+=+的解是cx c x 1,21==； c c x x 11-=-（即c c x x 11-+=-+）的解是cx c x 1,21-==； c c x x 22+=+的解是cx c x 2,21==； c c x x 22-=-（即c c x x 22-+=-+）的解是cx c x 2,21-==； c c x x 33+=+的解是c x c x 3,21==； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程c m c x m x +=+（0≠m ）与它们的关系，猜想这个方程的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的与，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数.那么这样的方程可以直解.请你试用上述结论解关于x 的方程：解：（1）cm x c x ==21,. 验证，当c x =1时，左边=右边，=+c m c ∴ c x =1是原方程的解. 当c m x =2时， 左边==+=+cm c cm m c m 右边 ∴ cm x =2是原方程的解. （2）原方程可化为由以上结论可知：,11-=-a x 或121-=-a x . ∴ 11,21-+==a a x a x 均为原方程的解. 典型例题九例 解分式方程：分析：由于本例中分子的次数不低于分母的次数，首先可将分式化为整式部分与真分式部分之与的形式，以简化运算. 解 1021108-+=--x x x ，（这种变形要注意借鉴） ∴原方程化为左右两边分别通分，并整理，得经检验，8=x 是原方程的根.说明：先化简再求解是本例的关键所在.把一个分子次数不低于分母次数的分式化为整式部分与真分式之与的一般方法是带余除法.典型例题十例 解关于x 的方程：分析：利用换元法求解.解 设m b a x =-，n ab x =-，则原方程可变形为 nm n m 11+=+，即 整理，得∴0=+n m 或01=-mn当0=+n m 时，即0=-++ab x b a x当01=-mn 时，即01=--⋅-a b x b a x解之，得02=x ，b a x +=3 经检验：b a b a x ++=221，02=x ，b a x +=3都是原方程的根.说明：本例的求解中用了两次换元，使解法显得巧妙，望能适当利用.典型例题十一例 解关于x 的分式方程：分析：本例是含有字母参数的分式方程，先去分母化分式方程为整式方程，求出用a 表示x 的根，再给以讨论.解 去分母，得)(5))((22x a a x a x a ax -=+-+，即解之，得a x 31=，a x 212=由原方程可知0≠a ，0≠-x a ，即0≠≠a x检验：把a x 3=，a x 21=分别代入原方程，分母均不为零. ∴原方程的根是a x 3=，a x 21= 说明：解含有字母参数的分式方程与一般的分式方程的方法相同，但应特别注意从题目中识别字母系数的取值范围，并根据情况进行讨论.典型例题十二例 解方程：1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 分析：注意到211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ，于是可采取换元法解之.解 把原方程化为1132122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ，即 设y x x =+1，则原方程可化为解之，得11-=y ，252=y .当1-=y 时，11-=+x x ，即该方程的判别式0341<-=-=∆，所以，它无实数解. 当25=y 时，251=+x x ，即解之，得21=x ，212=x 经检验，21=x ，212=x ∴原方程的根是21=x ，212=x 说明：该例中，211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ，切莫把221x x +看作2)1(xx +求解，否则，将会造成错误.选择题1. 使分式122+--x x x 的值为零的x 的值为（ ）.A ．2B ．－1C ．2或－1D ．1或－22. 如果方程x x m x x x x +=+-+2112有增根，则m 的值等于（ ）.A ．1或－2B ．－1或－2C ．－1或2D ．1或23. 方程22144212-+=-++x x x x 的解的个数为（）. A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．3个4. 下列方程①053212=-+x x ②251=+x ③22312=++x x ④0112=--xx是分式方程的个数为（）.A ．4B ．3C ．2D ．15. 用换元法解方程25211322=-+-x x x x ，下列变形正确的是（）. A ．设y x x =-132，变形，为251=+y y B ．设y x x =-132，变形，为2511=-+y y C ．设y x x =-12，变形，为2513=-y y D ．设y xx =-12，变形，为2523=+y y . 6. 方程2224164x x x =--的解的个数有（）. A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 7. 如果09612=+-x x ，那么x 3的值等于（） A ．1- B ．1 C ．2- D ．1±8. 若每人每天工效相同，a 个人b 天可做s 个零件，则b 个人做a 个零件需要的天数为（）.A ．s a 2B ．a s 2C ．2a sD ．sa 答案：1. A ；2. C.3. A4. B5. D6. D7. B8. A.填空题1.方程1412112-=--+-x x x x x x 可以采用左边通分后得方程_________，由等式性质只要解整式方程___________；2. 方程112353=-++x x x 如果有增根，则x 的值是_________； 3.当x =_________时，分式23--x x 与23-x 相等； 4. 方程2224222+=+x x x 的根是___________； 5. 方程2216x x xx ++=+，可用_________法，设________，化简原方程为________；6. 甲、乙两组加工零件，甲在a 天内可加工c 个零件，乙在b 天内可加工d 个零件，若两人同时加工t 个零件，则需要的天数是_________；7. 当k =_________时，方程551-=--x k x x 无实根 答案： 1.14113222-=-+x x x x ；x x 4132=+; 2. 5-或21; 3. 2135±; 4. 2±=x ; 5.换元法2x x y +=，y y +=16; 6. ad bc abt +; 7. 4.解答题1．解下列方程：（1）31346=+-x x ；（2）3353112-+=--+x x x x x x ；（3）21122442++=-+-x x x x ； （4）71)1(61)1(2=-+++-x x x x ；（5）02366)1(2321222=+-+-+-+-++x x x x x x x x x . 2．用换元法解下列方程：（1）025311322=--+-x x x x ；（2）xx x x +=++2221； （3）022*********=++---+x x x x ；（4）1)1(61=+-+xx x x ；（5）05161=--+-x x x x ；（6）025615622=+-+-xx x x ； （7）07432122=+--x x ；（8）223825493x x x x x x --+=--； （9）0293912=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x ；（10）0677122=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x . 3．某工厂计划在数天内制造1000台机床，后来在实际生产时，每天比原计划多生产25台，结果提前两天完成，这个工厂实际生产的天数是多少天？4．一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少15天，如果甲队单独工作10天后，乙队再单独工作15天，就可以完成这项工程的32，求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 5．A 、B 两地相距km 99，甲骑自行车由A 地驶向B 地，经过min 30后乙骑自行车以每小时比甲快km 3的速度由B 地驶往A 地，两人在相距km 54处相遇，求甲、乙两人的速度。
知识卡片-解分式方程--可化为一元二次方程
解分式方程——可化为一元二次方程能量储备●解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程（一元二次方程），解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.●解化为一元二次方程的分式方程的一般方法和步骤：方法一：去分母法.（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.（2）解整式方程：即解一元二次方程，去括号、移项、合并同类项等.（3）检验：最后进行检验，有増根，舍掉。
简称为一化，二解，三检验.方法二：换元法.结构上有一定特点，若用常规去分母法求解比较麻烦，可从整体思想出发，采用换元法设辅助未知数，把原方程转化为一个简单的分式方程或正式方程再求解。
如（x−1）2x2−x−1x−2=0即可设x−1x= t换元求解。
●检验的方法（1）直接检验法.将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验.直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确. （2）公分母检验法.把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解.公分母检验法比较简单，因此被广泛运用.通关宝典★★易混易误点易混易误点1:用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边时，要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项.例1解方程：11−x ＝2+3x−x21−x2解法1：方程两边乘1−x2，得1+ x＝2(1−x2) + 3x−x2，整理后，得3x2−2x−1=0. 解得：x1=1,x2=−13,检验：将x1=1代入原方程，1-x=0，所以x=1是方程的增根，舍去x2=−13带入原方程，左边＝右边，所以x2=−13是原分式方程的解.易混易误点2:解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.例2 解方程：x ＋1x －1－4x 2－1＝1 解：方程两边乘（x ＋1）（x －1），得（x ＋1）2－4＝（x ＋1）（x －1），解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，（x ＋1）（x －1）＝0，所以x ＝1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 蓄势待发考前攻略分式方程的解法是中考的热点，其题型主要是解答题. 完胜关卡。
可化为一元二次方程的分式方程的应用题
可化为一元二次方程的分式方程的应用题可化为一元二次方程的分式方程是八年级代数的一个重点内容，它的应用题作为初中阶段围绕方程的一系列知识的终结点，是中考的一个主要考察对象，也是一个难点。
本课中的例题及练习题都给出了三种解法，目的是增加解题手段，并附有专门用于解特殊一元二次方程的变形的求根公式，帮你解决困难。
解答中出现的“同类量”是指与所设未知数有相同单位的量，“相关量”是指由已知数据和所设未知数及其同类量能表示的量. 一般情况下，由“相关量”得出方程.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米. 中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.解法1：(直接法)设大客车每小时行驶x 千米，(同类量)中巴车每小时行驶(相关量)大客车跑完全程需,300小时x 中巴车需,20300小时 x 则(x +20)千米,例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法1：).2120300300=+-x x 根据题意, 得去分母, 得600x +1200–600x= x2+20x ,整理得x 2+20x –1200=0,解得x 1=100,x 2= –120.(解法1：)经检验，x1=100, x2= –120都是原方程的根,但速度为负不符合题意,∴只取x=100,这时，100+20=120.答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法2：(间接法)设大客车行驶全程需y 千小时，(同类量)中巴车行驶全程需(相关量)大客车速度为,/300小时千米y 中巴车速度为,)21(小时-y ,/21300小时千米-y 则例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：).2030021300=--y y 根据题意, 得去分母, 得30y –15(2y –1)=2y 2–y ,整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：)经检验，y1=3, y2= –2.5都是原方程的根,但时间为负不符合题意,∴只取y=3,100+20=120.这时，300÷3=100,答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法3：(方程组法)设大客车每小时行驶x 千米，则中巴车每小时行驶(x +20)千米,行驶全程需y 千小时，行驶全程需,)21(小时 y 例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：)①,300=xy 根据题意, 得展开②式, 得把①式代入并化简得∵y ≠0,两边都乘以y,得②.300)21)(20(=-+y x ,300102021=-+-y x xy ,0102021=-+-y x {例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：),01020212=-+-y y xy 再次把①式代入并整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.但时间为负不符合题意, ∴只取y =3,这时，300÷3=100,答：(略.)100+20=120.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.评：本题是四年制代数课本第三册(2002年版)解法1的优点是直接得到所求, 解法2的优点是方程比较容易解, 解法3的优点是不需检验, 第116页例3的“现代版”.缺点是由于得数绝对值大, 因而方程的常数项绝对值也大, 使解方程的难度加大;但必须注意所得结果不是所求, 还需再计算一步;并且适合有两问缺点是解方程组的过程稍麻烦.的题目;课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务. 原计划每天挖多少米?解法1：设原计划每天挖x 米，则(同类量)实际每天挖(相关量)原计划工期为,960天x 实际工期为.20960天 x (x +20) 米，课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法1：).420960960=+-x x 根据题意, 得去分母, 得960x +19200–960x= 4x 2+80x ,整理得x 2+20x –4800=0,解得x 1=60,x 2= –80.(解法1：)经检验，x1=60, x2= –80 都是原方程的根,但工效为负不符合题意,∴只取x=60.答：原计划每天挖60米.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法2：(间接法)设原计划工期为y 天，(同类量)实际工期为(相关量)原计划每天挖,960米y实际每天挖,)4(天-y ,4960米-y 则课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?.209604960=--yy 根据题意, 得去分母, 得960y –(960y –3840)=20y 2–80y ,整理得y 2–4y –192=0,解得y 1=16,y 2= –12.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?经检验，y1=16, y2= –12都是原方程的根,但工期为负不符合题意,∴只取y=16,这时，960÷16=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法3：(方程组法)设原计划每天挖x 米，则实际每天挖(x +20)米,工期为y 天，工期为,)4(天-y ①,960=xy 根据题意, 得②.960)4)(20(=-+y x {课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?展开②式, 得把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,96080204=-+-y x xy ,0205=+-y x (解法3：),02052=+-x xy x 课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法3：)再次把①式代入并整理得x2+20x–4800=0,解得x1=60,x2= –80.∵工期为负不符合题意,∴只取x=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧多少吨？解法1：设原计划用x 天，则(同类量)实际用了(相关量)原计划每天用煤,350吨x .20350吨 x (x +20) 天,实际每天用煤.220350350=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x 2+20x –3500=0,解得x 1=50,x 2= –70.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，, x1=50, x2= –70都是原方程的根.∵时间为负不符合题意,∴只能取x=50.这时，350÷50=7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法2：(间接法)设原计划每天用y 吨，(同类量)实际每天用(相关量)原计划和实际分别用,350天y ,)2(吨-y .2350天-y 则课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，.203502350=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得y2–2y –35=0,解得y 1=y 2=,7.5-课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，y1=7,y2= –5都是原方程的根.∵每天用量为负不符合题意,∴只能取y=7.这时，350÷7=50.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法3：(方程组法)则实际用了每天用.)2(吨-y (x +20)天,设原计划用x 天，每天用y 吨，①,350=xy 根据题意, 得②.350)2)(20(=-+y x {课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，展开②式, 得,35040220=--+x y xy 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得③,01020=-+y x ,03500202=-+x x 课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解得x 1=50,x 2= –70.代入③式, 得y 1=y 2=,7.5 ∵负数不符合题意，舍去.∴{x =50,y =7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作,6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作各需多少天完成?解法1：设乙班单独工作需x 天完成，则(同类量)甲班单独工作需(相关量)两班的效率分别为,1x.51 x (x –5) 天,.61151=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x2–17x +30=0,解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作经检验，, x1=15, x2=2都是原方程的根.当x=15 时, x–10=5.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意,∴只能取x=15.答：单独工作甲班需10小时完成，乙班需15小时.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法2：(间接法)设乙班的效率为y ，(同类量)甲班的效率为(相关量)单独完成工作两班分别需要,611天y -),61(y -.1天y 则课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：).56111=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得30y2–17y +1=0,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解得y 1=y 2=,151.21(解法2：)经检验，y 1=y 2= 都是原方程的根.,15121,151时当=y ,151=y =-y 611.10课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：)答：(略.),41时当=y ,3611,21-=-=y y.,舍去不合题意课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法3：(方程组法)则甲班需每天完成).61(y 设单独工作乙班需x 天完成，乙班的每天完成的工作量为y ，(x –5)天,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作①,1=xy 根据题意, 得②.1)61)(5(=--y x {展开②式, 得,156561=+--y xy x 课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,03017=+-y x ,030172=+-x x 解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法3：)当x=15 时, x–5=10.当x=2 时, x–5= –3.∵时间不能是负数,∴只能取x=15.答：(略.)课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作, 10天以后,甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成.如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天. 求各组单独完成这项工作所需的天数.解法1：设单独完成工作乙组需x 天，则(同类量)单独完成甲组需(相关量)两组的效率分别为,1x .41 x (x –4) 天,.112410=+-xx 根据题意, 得去分母并整理得x 2–26x +48=0,解得x 1=24,x 2=2.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.经检验，, x1=24, x2=2都是原方程的根.当x=24 时, x–4=20.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意, ∴只能取x=24.这时，x–4=20.答：单独完成, 甲组需20天，乙组需24天.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法2：(间接法)设乙组的效率为y ，(同类量)甲组的效率为(相关量)单独完成分别需,12110天y -,10121y -.1天y则课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：).4121101=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得48y2–26y +1=0,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解得y 1=y 2=,241.21(解法2：)经检验，y 1= y 2= 都是原方程的根.,24121,241时当=y ,241=y .2012110=-y课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：)答：(略.),21时当=y .,,212110,21舍去不合题意-=-=yy 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法3：(方程组法)则甲组需每天完成.10121y 设单独完成工作乙组需x 天，乙组每天完成的工作量为y ，(x –4)天,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.①,1=xy 根据题意, 得②.110121)4(=--y x {(解法3：)展开②式并整理, 得,0144812=-+-y xy x 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,04826=+-y x ,048262=+-x x 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.。
可化为一元二次方程的分式方程与简单的根式方程课件-2022年初高衔接数学
( − 1)，
母，然后方程
得4 − 1 − = ( − 1)，
两边同乘以最
整理，得 2 − 4 + 4 = 0
简公分母，约
解得1 = 2 = 2，
去分母，使分
检验：当 = 2时，
式方程化为整
− 1 = 2 2 − 1 = 2 ≠0，
式方程.
所以原方程的根是 = 2.
得整式（或分式）方程的根，代入原方程进行检验.
点拨精讲
例2、解方程 2 2 − 7 = − 2.
分析：通过两边平方化为整式.
解：两边平方得：2 2 − 7 = 2 − 4 + 4，
整理，得 2 − 3 − 4 = 0，
解得1 = 4， 2 = −1，
检验：
把 = 4 代入原方程，左边 = 2 × 42 − 7 × 4 = 2 ，
原方程就变形为 2 + − 12 = 0，
解得1 = −4，2 = 3，
当 = −4时， 2 + 8 = −4无解，
当 = 3时， 2 + 8 = 3，解得1 = −9，2 = 1 ，
经检验，原方程的根为1 = −9，2 = 1.
总结提炼
本节课重点研究了可化为一元二次方程的分
按一般解法，应先去分母，整理后为一元四次方程，
2 +2
2 −1
结果较繁.观察方程，左边的两个分式 2 和 2
−1
+2
互为倒数，可以通过“换元”，将方程化简求解.
方法总结
2 +2
解：设 2
−1
2 −1
1
= ，则 2
= ，
+2
可化一元二次方程的分式方程
学科数学 版本 人教版 期数 7803 年级初三 编稿老师 马丽娜 审稿教师【同步教育信息】一. 本周教学内容：可化一元二次方程的分式方程［学习目标］1. 理解把分式方程转化为整式方程的一个原则；明确解分式方程的基本思路；2. 会用去分母法，换元法解可化为一元二次方程的分式方程；3. 理解在方程两边乘以整式有可能增根，从而知道验根是解分式方程的必要步骤；4. 正确理解行程问题，工程问题等的有关概念和规律，会列分式方程解有关问题的应用题；5. 通过列分式方程解有关应用题，就是把实际问题转化为数学问题，这就要求能对实际问题分析、概括、总结、解，从而能进一步地提高分析问题和解决问题的能力。
6. 结合分式方程应用题的分析与解答，体会辩证唯物主义的观点，力求懂得：理论知识来源于实践，反过来去更好地指导实践。
二. 重点、难点：1. 教学重点：①会解可化为一元二次方程的分式方程，知道解分式方程必须验根。
理解方程的同解原理。
会运用换元思想方法等计算技巧。
②列分式方程解有关应用题。
2. 教学难点：①会运用换元思想方法等计算技巧。
②如何分析和使用复杂的数量关系，找出相等关系，对于难点，解决的关键是抓住基本量之间的关系，通过基本量之间的关系的分析设出未知数和列出方程。
③清楚地懂得列分式方程解应用题应首先检验所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考虑所满足方程的解是否与题意相吻合。
【典型例题】例1. 解分式方程 ①13613222------=-+x x x x x x x ②44221122x x x x -+-=++ 分析：直接去分母是一种把分式方程转化为整式方程的最常用的方法。
关键是找出各分式的最简公分母，并在方程两边同时乘以这个最简公分母，最后必须验根。
解：①原方程可化为13321322+-+---=-+x x x x x x x ()() 方程两边同乘以()()x x -+32得：()()()()()131223+--+=--x x x x x即：393x x ==∴检验：把x x x =-+=-+=33233320代入()()()()∴x =3是原方程的增根，原方程无实根。
可化为一元二次方程的分式方程练习题
可化为一元二次方程的分式方程练习题1、如果关于x的方程$\frac{m}{x}+n x=2$是分式方程，那么$m$、$n$的取值范围是什么？2、方程的解是什么？$$\frac{x-1}{m}=\frac{x}{x-2}$$3、当$m=1$时，方程$x-\frac{3}{x-3}=0$无解。
4、若方程$\frac{5+m}{1}=-1$有解$x=2$，则$m=-\frac{7}{2}$。
5、当$m=-2$时，方程$x-\frac{2}{x-2}=0$会产生增根。
6、方程$x^2+2x+2$的实数解是$x=-1$。
7、用换元法解方程$\frac{2(x^2+1)}{6(x+1)}=\frac{2}{x+1}-7$，设$y=x+1$。
于是原方程变形为$y^2+6y-7=0$。
8、用换元法解方程$x^2+\frac{191}{x}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+7=0$，设$y=x+\frac{1}{2}$，则原方程化为关于$y$的方程$y^2-\frac{3}{4}y+\frac{7}{4}=0$。
9、求解分式方程$\frac{x^2+2x}{x^2-4x+1}=\frac{1}{2}$，将分式化简为$\frac{x^2+2x}{(x-2)^2-3}=\frac{1}{2}$，设$y=x-2$，则原方程变形为$2y^2+4y-1=0$。
10、求解方程$x^2+2x+\frac{1}{x^2-1}=1$，将分母有理化得$x^2+2x+\frac{1}{(x+1)(x-1)}=1$，设$y=x+1$，则原方程变形为$y^4+2y^3-3y^2-2y+1=0$。
11、方程$x^2-3x+2=\frac{1}{x-1}$的解为$x=2$。
12、分式方程$x+\frac{3}{x+3}=0$的根为$x=-3$。
13、分式方程$\frac{x-4}{x-2}+\frac{2}{x+1}=2$的根为$x=4$。
可化为一元二次方程的分式方程与无理方程
第二单元 可化为一元二次方程的分式方程和无理方程一、教 法 建 议抛砖引玉本单元向同学们介绍了公式方程与无理方程.对分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）同学已学过，并不陌生.因而，在教学中以其为突破口，自然地过渡到解可化为一元二次方程的分式方程.它的基本思想与可化为一元一次方程的分式方程基本相似，在教学中，紧紧地抓住“把分式方程‘转化’为整式方程”这条主线，研究“转化”的条件.结合具体实例，突出“转化”，突出解可化为一元二次方程的分式方程的步骤与解可化为一元一次方程的分式方程的步骤完全相同.再结合例题，剖析产生增根的原因，使学生深知验根的必要性和重要性及验根的方法.在本单元教学中，通过例2培养学生敏锐的观察力，使他们发现11,1122++++x x x x 两个分式的分母、分子互相交换位置，可看作互为倒数，自然引到换元法上来，通过换元把此分式方程转化为一元二次方程，简捷，易解，激发他们对换元法的兴趣，抓住这一契机，进一步强调换元法应用的广泛性、重要性.应用题教学应注意对题目中一些相等关系的分析，使他们在分析问题、解决问题的能力方面在原有基础上再提高一步.无理方程对学生来说是新内容，在教学中结合实例使学生了解无理方程的概念，掌握其解法——乘方法及换元法.强调解无理议程验根的必要性及其方法步骤.指点迷津解可化为一元二次方程的分式方程，重点是抓住把分式方程“转化”为整式方程.因此，要注意“转化”的条件.要引导学生善于观察，捕捉习题的特点来选取转化的方法，通常（如课本P45例1）选取去分母法，也可采取换元法（如果方程的两项成倒数关系，二次项的底数与一次项底数相等，采取换元法为宜）.对于解分式方程最后一道“关”——检验，务必不能漏掉，必须向同学们进一步强调.列方程解应用题尽管同学们多次接触，与以前学过列方程（整式方程）解应用题几乎完全相同，但找相等关系要比以前学过的复杂一些.只要强化对题目中的一些相等关系的分析，症结也可化解.引出无理方程的概念后，指出以前学过的整式方程和分式方程统称有理方程，这样对代数方程有一个完整认识，再通过实例强调无理方程必须掌握乘方法及换元法，常规方法是乘方法.至于如何选取换元法，必须善于观察，若发现根号内外对应项系数成比例或两个根号内的两项互为倒数关系等，应果断选取换元法，无理方程的验根这一环也必须扣紧，来不得半点含糊.二、学 海 导 航思维基础1. 方程叫分式方程，解分式方程一般是把方程两边同乘以 或用 法，使原方程转化为 去求解.2. 方程叫无理方程.解无理方程一般是把方程两边同时 或 法，使原方程转化为 去求解.3.解分式方程和无理方程的转化过程中，有可能产生 ，因此解这两种方程的最后必须进行 .4.检验分式方程增根的一般方法是 .5.检验无理方程增根的一般方法是 .【学法指要】例1 解方程：601745123542+--=--+-x x x x x . 【思考】1.解分式方程通常使用哪两种方法？2.本例应用何种方法解之为宜？3.解分式方程应注意什么？4.分母为多项式首先应怎么办？如何去分母呢？【思路分析】本例是一道分式方程.通常采用去分母法，因此首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例60172+-x x 可分解因式为)12)(5(--x x .待分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“)12)(5(--x x ”.用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x ”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.最后应检验，至此例可找到本例完整解答.解：原方程就是 )12)(5(4512354---=--+-x x x x x x ， 方程两边都乘以)12)(5(--x x ，约去分母，得45)5)(3()12(4-=----x x x x ，整理后，得018112=++x x .解这个方程，得9,221==x x . 检验：0)12)(5(9,221≠--==x x x x 代入，∴ 9,221==x x 均为原方程根.例2 解方程：（1）061512=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ；（2）112)1(31)2(82222=+-+-+xx x x x x . 【思考】1.解分式方程可用换元法，一是二次项与一次项相同，采取同底换元法；二是含未数的二项方程为一常数，呈倒数关系，可采取倒数换元法，你说对吗？2.对本例采取何方法解之？请你探索.【思路分析】（1）观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑换元法为宜. 解：设y x x =+1.则原方程可化为 0652=++y y ，0)3)(2(=++y y ，∴ 3,221-=-=y y .当y 1=-2时，即3221-=⇒-=+x x x ； 当y 2=-3时，即0143,32,433121≠+-=-=-=⇒-=+x x x x x x 代入检验把. ∴ 43,3221-=-=x x 均为原方程的根. 【思路分析】（2）观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的1222-+x x x 与xx x 2122+-互为倒数，根据这个特点，可以用换元法来解. 解：设y x x x =-+1222，那么y x x x 12122=+-，于是原方程变形为 11438=+y ， 去分母，得 031182=+-y y ，0)1)(38(=--y y ，解得 y 1=3/8,y 2=1.当 y=3/8时，8/31222=-+x x x . 去分母并整理，得031652=++x x .解得 3,5121-=-=x x .当y=1时，即11222=-+x x x . 去分母并整理，得21123-=∴-=x x . 检验：把21,3,51321-=-=-=x x x 分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根. ∴原方程根是：21,3,51321-=-=-=x x x . （2）的又一解法： 设b xx x a x x x =+-=-+2)13(,1)2(82222， 于是有 .24,11==+ab b a 这样根据课本P31“以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2-(x 1+x 2)x+x 1·x 2=0”，可找到思路.进而知以a ，b 为根的一元二次方程是024112=+-t t . ∴ t 1=3,t 2=8.即1)2(831)2(82222-+=-+x x x x x x 或， 亦为11283122222=-+=-+x x x x x x 或.（下同原解法） 由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点（如倒数关系式）考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.例3 解方程：2)4)(3()2)(1(=--+--x x x x .【思考】1.解无理方程通常使用哪些方法？2.本例采用哪种解法好？【思路分析】 本例是一道无理方程，应首先考虑用乘方法求解，然而，当我们观察原方程可发现，含根号的未知数项均在等号左边，立即采取乘法将会使求解陷入困境，此时把方程左边一项适时移到等号右边，再采取乘方法，将会走出困境，出现新的曙光.这也是解此类无理方程的技巧、方法.由此，采取乘方法本例便可很顺利了.解：移项得 )4)(3(2)2)(1(---=--x x x x ， 两边平方，得 127)4)(3(2222322+-+---=+-x x x x x x ，整理，得 )4)(3(226--⋅=-x x x ，两边再平方，得 )127(24243622++=+-x x x x ，∴ 0652=+-x x .∴ 3,221==x x .把x 1=2，x 2=3分别代入原方程，使得左边=右边，因此，x 1=2，x 2=3是原方程的根. ∴原方程的根是x 1=2,x 2=3.例4 解方程：（1）215215322=++++x x x x ；（2）252112=+-+-+x x x x . 【思考】1.解分式方程可采取换元法吗？如何进行换元？2.这两例各有什么特点？【思路分析】（1）将（1）方程进行适当变形为32152315322+=+++++x x x x此时例可发现根号内外相同项的对应系数成比例，即3∶1=15∶5=3∶1，抓住这个特征，适时换元，便可打开思路. 解：设y x x =++152，则原方程可变成3y 2+2y-5=0，(3y+5)(y-1)=0，∴ 1,3521=-=y y . 当3515,3521-=++-=x x y 时,无解； 当115,122=++=x x y 时.∴ 052=+x x∴ 5,021-==x x .经检验5,021-==x x 都是原方程的根. 【思路分析】（2）观察方程左边两项12,21-++-x x x x ，它们互为倒数，捕捉这一信息，便迅速作出换元的决策，思路自然畅通. 解：设251,112,21=+=-+=+-y y y x x y x x 于是原方程变形为那么. ∴ 02522=+-y y .∴ 2,2121==y y . 余下步骤略.通过对例3、例4的学习，我们体会到，如何能想到解题思路呢？只有认真审题，敏锐观察，抓住试题的特点，如倒数关系，根号内外对应项系数成比例等，便可立即采取换元法，不然便是乘方法，在初中只向同学们介绍了这两种最基础的方法，二者必居其一，只要按照课本所教的方法去探索，去观察，去分析，老师能想到的思路，同学们也同样想得到！例5 某校学生甲、乙二人分别从A ，B 两地同向出发，甲经过B 地后再走3小时12分钟在C 地追地追上乙，这时二人共走了72千米，而C ，A 两地的距离等于乙走5小时的路程，求A ，B 两地的距离.【思考】1.列方程解应用题通常有哪些步骤？2.对行程问题要抓住哪三者之间的关系？3.列分式方程解应用题还要检验吗？检验后还应注意什么？【思路分析】要解决行程问题，迅速找到思路，首要条件是把实际问题用线段图清晰表示出来；其次抓住“速度、时间、距离”三者之间关系，列出代数式；再者找相等关系用代数式表示，便可列出方程，大功告成.然后求解，检验，答便接近尾声.抓住“首先、其次、再者”这三部曲，你自然能想到解行程问题思路.如本例.解：一、画线段图图代12-2-1二、根据三者（υ，s ，t ）关系结合线段图列代数式：乙从B 走到C 的距离是：)72(21s -千米， 甲从B 走到C 的距离亦是：)72(21s -千米， 甲从A 走到C 的距离是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)72(2172s 千米. 乙的速度是：5)72(2172s --千米/小时. 甲的速度是：1516)72(21s -千米/小时. 三、找相等关系式，布列方程.甲从A 走到C 的时间=乙从B 走到C 时间.5)72(2172)72(21516)72(21)72(2172s s s s ---=--- ∴ 516)72(41)72(2172522s s -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. ∴ 22)72(6412136251s s -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∴ s s -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+72(81213651） （负值舍）. ∴ s=8（千米）.经检验s=8是原方程根，且符合题意.答：A ，B 两地距离是8千米.由上可知，该道应用题十分复杂，尽管千头万绪，但对行程问题只要遵循“三部曲”，你自然能想到怎样解，而且能顺利找到思路.总之，对列方程解应用题要认真分析，采取画线段图、列表等手段辅助分析，列出代数式，最关键的是找准相等关系，一切拦路虎便可降服了.思维体操例：甲、乙二人自A ，B 两村骑自行车同时相向而行，相遇在离A 村8公里处，相遇后两人继续按原方向前进，分别到达A 和B 后又立即返回，在离B 村10公里处相遇，求两村间的距离.【思考】1.行程问题可把总路程看作单位1吗？相同时间呢？2.对行程问题分析可采取列表法、画线段图法等，本例采取哪种方法好呢？【思路分析】依题意，画线段图如图代12-2-2，第一次相遇甲行8公里，乙行（s-8）公里；第二 图12-2-2次相遇，甲共行了（s+10）公里，乙共行了（2s-10）公里.第一次相遇后至第二次相遇甲行了（s-8+10）=(s+2)公里，乙行了（8+s-10）公里.只要抓住“甲行走所用时间=乙行走所用时间”这一相等关系式，问题就能得到解决.【扩散1】设两村的距离为s 公里，甲速度为υ1公里/时，乙速度为υ2公里/时，则有 2188υυ-=s ， ① 2110210υυ-=+s s . ②①②得 1028108--=+s s s .∴ 80280162-+=-s s s .∴ 0142=-s s .∵s ≠0，∴s=14（公里）.【扩散2】设法同扩散1，则有212122,88υυυυ-=+-=s s s ⇒….【扩散3】设两村间的距离为s 公里，第一次相遇时他们行了t 小时，则有ts s t s 8102810--=+.∴ （s-8）(s+10)=8(2s-10).∴ s 2+2s-80=16s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0， ∴s=14（公里）.【扩散4】设同扩散3，则有ts s t s 8282--=+ ⇒….【扩散5】设两村间的距离为s 公里，两次相遇共用3t 小时，则有ts s t s 1028108--=+.∴ 8（2s-10）=(s+10)(s-8).∴ 16s-80=s 2+10s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0, ∴s=14(公里).【扩散6】设同扩散5,则有 ⇒--=++ts s t s s 1022102. 【扩散7】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇后至第二次相遇所行时间为t 小时,则有 ⇒--=+t s s t s 2828.【扩散8】设同扩散7,则有⇒--=++t s s t s s 2102210.【扩散9】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇两人行1单位时间,则甲的速度为8公里/1单位时间,乙的速度为(s-8)公里/1单位时间,于是得8102810--=+s s s . ∴ (s+10)(s-8)=8(2s-10).∴ s 2+2s-80=16s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散10】设同扩散9,则有⇒--=+8282s s x .【扩散11】设两村的距离为s 公里,两次相遇共用1单位时间,则有1028108--=+s s s . ∴ 8(2s-10)=(s+10)(s-8).∴ 16s-80=s 2+2s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散12】设法同扩散11,则有⇒--=++1022102s s s s .【扩散13】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇后至第二次相遇共行了1单位时间,则有2828--=+s s s .∴ 8s-16=(s+2)(s-8)=s 2-6s-16.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散14】设同扩散13,则有 3142253+-++-=+++-x x x x x x x x . ⇒--=++2102210s s s s .【扩散15】设两村间的距离为s 公里，甲、乙二人两次相遇共走3s 公里，又知从出发到第一次相遇，甲、乙二人共走3s 公里，其中甲共走8公里，由于速度不变，两次相遇甲共走（8×3）公里，同时又知甲共走（s+10）公里，于是有143810=⇒⨯=+s s （公里）.根据“解法扩散15”可推广为解两次相遇问题的通法.如将原题中把“8公里”改为“a 公里”，“10公里”改为“b 公里”，根据“解法扩散15”分析可得下列关系式：b a s a b s -=⇒=+33.应用这一公式，解与例题相同的一类两次相遇问题十分简捷、迅速、易求，试举例. 清晨，甲、乙二人分别从A ，B 两地同时开始跑步锻炼，甲从A 跑到B 立刻再返回A ，乙从B 跑到A 再立即返回B ，在距离A 600米处第一次相遇，在距离B 400米处两人第二次相遇，假定甲、乙各自速度不变，则A ，B 两处的距离是 .【思路分析】这里a=600米，b=400米.由公式得 400140060033=-⨯=-=b a s （米）.故A ，B 两处距离为1 400米.再举两例，供同学们练习：1.甲、乙二人分别从A ，B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇时离B 地700米，两 人继续往前走，到达对方出发地立即返回，结果又在距离A 地400米处相遇，求A ，B 两地的距离.（s=1 700米）2.甲、乙二人自A ，B 两地同时相向而行，在距B 地5千米处相遇，各自到达对方出发 地立即返回，又在距A 地1千米处相遇，求A ，B 两地的距离.（s=14千米）“扩散1～15”从不同角度分析问题.“扩散1～2”增设速度，借“桥”过“河”，天 堑变通途.“扩散3～8”增设时间，借梯登楼视野开阔，“扩散9～14”借助单位1，简捷又明快.“扩散15”抓住甲、乙二人速度不变，找出“甲走的总路程=甲走的总路程”这一相等关系，抓住问题质，使这一类问题产生质的变化.三、智 能 显 示心中有数分式方程、无理方程是代数方程的重要组成部分.解方程必然要学会解分式方程、解无理方程.对于解可化为一元二次方程的分式方程一定要驾驭去分母法、换元法.这种方法既基本又实用，也是解开这一类问题的常用方法，只要熟练掌握，遇到类似问题，你一定可想到好的解法，把分式方程转化为整式方程求解.无理方程的解法通常采取乘方法或换元法，根据无理方程的不同特点，灵活选取这两种方法，一定能奏效.列方程解应用题，重点在分析，如画图、列表等辅助分析，进而再根据分析，找出相等关系，便可有新的突破，找到思路.总之，对本单元的三大块知识要熟练掌握，它们之间既有区别又有联系，抓住它们的脉搏，才能卓有成效，收到好的学习效果.动手动脑1.解方程：3142253+-++-=+++-x x x x x x x x . 2.解方程：513410+=++-x x x .创新园地解关于的方程：cc x x 11+=+， 解之得c x c x 1,21==. 请同学应用此题结论解方程（组）. 1.1111-+=-+a a x x ； 2.25311322=-+-x x x x ； 3.252112=+-+-+x x x x ； 4.71)1(61)1(222=+++++x x x x ； 5.6128)12(9=+-+S S S S ； 6.xx x x +=++2221； 7.)0()(45≠+-+-=+-b a xa xb x b x a ； 8.8320322=+-+x x x x ； 9. ;7,6==+xy y x 10. ;2,3==+xy y x11. ;181333,181511=+=+y x x y y x 12. ;5,65=-=-y x x y y x13. ;61221,10122-=-=-+x y x y 14. ;20,4122==+xy y x15..169,108916x y yxx y ==-四、同 步 题 库一、填空题1.在方程015322=-+-x x 中，若设y x =-12，则原方程化为关于y 的方程 是 .2.当m= 时，关于x 的分式方程021632=++--++x x x m x 没有实数解. 3.若关于x 的方程02=+--a x x 有实数根，则a 的取值范围是 . 4.用换元法解方程051612=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 时，可设 =y,这时原方程变为 . 5.方程0=x 的根是 ；x x =的根是 ；x x -=的根 是 .6.无理方程x a x =-+62的根为3±，则a 的值为 .7.若a ，b 都是正实数，且b a b a +=-211，则=-22b a ab . 8.若a+b=1，且a ∶b=2∶5,则2a-b= . 9.当a= 时，方程022=--+x x a x 无实数根.10.若81=+x x ，则=-x x 1 .二、选择题11.下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（ ） A.3211=--x x B.85322=--xx C.0132=--x x x D.x x =-353 E.532=+y x F.2322-=+x x x12．方程)3(4)3)(3(32)3(212---+=-x x x x x 的最简公分母是（） A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2C.24（x+3）(x-3)2D.12（x+3）(x-3)213.观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（ ） A.033=-x B.03122=++x C.02)3(=++x x x D.0122=-+-x x x14.如果018162=+-x x ，那么x 4的值是（ ）A.1B.-1C.±1D.415.方程1142=+-x x 的解是（ ）A.0B.2C.0或2D.221±16.设y=x 2+x+1,则方程x x x x +=++2221可变形为（ ）A.y 2-y-2=0B.y 2+y+2=0C.y 2+y-2=0D.y 2-y+2=017.若a a a 214412-=+-，则a 的取值范围是（ ）A.全体实数B.a ≥0C.a ≥21D.A ≤2118.已知)0≠+=-S R S VR VU ，则相等关系成立的式子是（ ）A.SU S R V +=B.SR SU V += C ．S R SU V -= D.SUS R V -= 19.关于x 的方程x a x x 22+=+的根是（ ） A.x=a B.x=-aC.x 1=a ；x 2=-a 2D.x 1=a ；x 2=a2 20.一个数和它的算术平方根的4倍相等，那么这个数是（ ）A.0B.16C.0或16D.4或16三、解下列方程 21.3353112-+=--+x x x x x x ； 22.2725=--+x x ； 23.07129122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ； 24.46112422--+-=-+-x x x x x x ； 25.25231131=+-+-+x x ； 26.01342=--+-x x x ； 27.11161123++-=-+-x x x x x ； 28.041312=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ； 29.49491=+++x x x . 30.关于x 的方程02222222=-++++p p x x x x ，其中p 是实数.（1）若方程没有实数根，求p 的范围.（2）若p>0，问p 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根.四、解答题31.已知直角三角形两条直角边之差为7，它的周长为30，求各边之长.32.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，D 是圆上的点，BD 交AC 于E ，已知AB=5，sin ∠CAB=53.图代12-2-3（1）设CE=m ，DE/BE=k ，试用含m 的代数式表示k.（2）当AD ∥OC 时，求k 的值.（3）当BE=6DE 时，求DC 的长（下列数据供选用：718,817,1016≈︒≈︒≈︒tg tg tg ， 结果中保留π）.33.甲、乙二人分别从A ，B 两地同时相向而行，相遇时甲比乙多走了6千米，相遇后 他们仍以原速度前进，甲经过214小时到达B 地，乙经过8小时到达A 地，求A ，B 间的距离.34.某校学生甲、乙二人分别从A ，B 两地同时同向行走，甲经过B 地后再后3小时12 分钟在C 地追上乙，这时二人共走了72公里，而C ，A 两地的距离等于乙走5小时的路程，求A ，B 两地的距离.35.某校初三甲、乙两班同学向水灾地区捐款的总数为3 600元，已知甲班比乙班少5 人，但平均每人比乙班多捐5元，结果两班的捐款数相同，求甲、乙两班平均每人的捐款数.36.已知一个矩形和一个正方形的面积相等，它们的周长之和为108，且矩形的长比宽 多18，求矩形的长和宽以及正方形的边长.37.淮河上有A,B 两地相距14千米,一只船在两地往返一趟需2小时24分,船在静水中 的速度是12千米/时,问一个漂流物从A 地漂到B 地需要多少时间?38.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在 慢车前12千米，快车到达乙站时，慢车还差25千米没走完，快车和慢车每小时各走多少千米？若都提高速度50%，快慢车行这段各节省多少时间？39.一项工程甲队独完成比乙队单独完成少用15天，现甲队先做10天后，再由乙队单 独做15天就完成了这项工作的32，求甲、乙两队单独完成这项工程的天数.参 考 答 案动脑动手1.解法1：由原方程去分母，得x x x x x x x x )3)(4)(5()3)(4)(2)(3(++++-+++)1)(4)(2)(5()2)(3)(5)(2(-++++-+++=x x x x x x x x .展开后，得x x x x x x x x 60471272546234234++++---+ 40227106032118234234-++++--++=x x x x x x x x .合并，得0283682=++x x .∴ 07922=++x x .∴ 1,2721-=-=x x . 经检验，1,2721-=-=x x 都是原方程的根. 解法2：将原方程变形，得343464222585+-+++-+=+-+++-+x x x x x x x x . ∴ 32432154+++=+++x x x x . 去分母，得4（x+2）(x-4)(x+3)+(x+5)(x+4)(x+3)=3(x+5)(x+2)(x+3)+2(x+5)(x+2)(x+4).展开后，得604712961043642323+++++++x x x x x x807622290933032323+++++++=x x x x x x .合并，化简，得 ⇒=++07922x x .解法3：同解法2，原方程化为32432154+++=+++x x x x . 移项，得 21324354+-+=+-+x x x x . 两边通分，得 651209122+++=+++x x x x x x . ∴ 652090122++=++=+x x x x x 或. 解之，得 27,121-=-=x x .2.解：设13,410-=-=x b x a ，则99,41022-=-=x b x a .∴ 522+=-x b a∵ 5+=+x b a ， ① ∴ b a b a b a +=-+))((.∴ 0)1)((=--+b a b a∴ 1)(=--=b a b a 或舍去. ② ①+②，得 62+=x a ，即 64102+=-x x .将方程两边平方后，整理，得 052282=+-x x .∴ 26,221==x x .经检验知 26,221==x x 均为原方程根.创新园地 由方程c c x x 11+=+我们可发现方程左右两边结构一致，且x ·c x =1·11=c （常 数），只要具有这个条件，我们用观察法，便可利用结论，口算出答案.1.由原方程得111111-+-=-+-a a x x ， ∴ 11111-=--=-a x a x 或. 2.由原方程，得21225311322+==-+-x x x x . ∴ 211321322=-=-x x x x 或. 3.由原方程，得212252112+==+-+-+x x x x . ∴2112212=-+=-+x x x x 或. 4.由原方程，得4371)1(61)1(222+==+++++x x x x . ∴ 41)1(231)1(222=++=++x x x x 或.5.由原方程，得1266128)12(9+-==+-+S S S S . ∴ 12)12(96)12(9=+-=+S S S S 或. 6.由原方程，得 121222+-=-=+-+x x x x . ∴ 1222=+-=+x x x x 或.7.由原方程，得145)(4+==-+++-xa xb x b x a . ∴14=+-=+-x b x a x b x a 或. 8.由原方程，得 102320322+-=+-+x x x x . ∴1032322=+-=+x x x x 或. 9. 76==+xy y x 232367-++==+⇒xx . ∴ 2323-=+=x x 或.10. 23==+xy y x 2132+==+⇒x x .∴ 21==x x 或.11.189184181333+==+y x x y . ∴ 18931843==x y x y 或. 12.322365-==-x y y x . ∴2323-==y x y x 或（舍）…. 13.由原方程组得12210121224+-==-+--x x .∴ 1212)(212=--=-x x 或舍.14. 由原方程组，得 25164140022+==+x x .∴251622==x x 或 15.12120169+-==-x yy x.∴ 129129=-=y xy x或.同步题库一、填空题1.0232=-+y y ；2.4或-6；3.a ≥-2；4.056,122=+-+y y x x；5.0，0和1，0； 6.33±； 7.21-； 8.71-； 9.-2，1； 10.±2.二、选择题11.A 12.D 13.C 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B 19.D 20.C三、解下列方程 21.3353112-+=--+x x x x x x .解 )5()1()1(3+=--+x x x x ， x x x x 51332+=+-+，0432=-+x x ，0)1)(4(=-+x x .1,421=-=x x .经检验知：x=1是增根，x=-4是原方程的根. 22.2725=--+x x .解 22)722()5(-+=+x x ， 7272445-++=+x x x ， 22)724()8(-=-x x ， 0176482=+-x x ，0)44)(4(=--x x . 44,421==x x . 经检验知：x=44是增根，x=4是原方程的根. 23.07129122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x . 解 0512912=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设 0529,12=+-=+y y y x x 则. 2y 2-9y+10=0，（2y-5）(y-2)=0. y 125=；y 2=2. 把251=y 代入y xx =+1中，得 251=+x x ， x x 2512=+， 02522=+-x x ， 0)2)(12(=--x x . 2;2121==x x . 把22=y 代入y xx =+1中，得 .1.0)1(,012,214322===-=+-=+x x x x x xx 经检验知：1,2,214321====x x x x 均为原方程的根. 24.46112422--+-=-+-x x x x x x . 解: ),1)(6(4)2)(4(,)2)(2(611)1)(2(42--+-=---+-+-=-+-x x x x x x x x x x x x062=--x x ,0)2)(3(=+-x x ,2,321-==x x .经检验知:x=-2是增根；x=3是原方程的根. 25.25231131=+-+-+x x . 解：252112=+-+-+x x x x . 设251,12=+=-+y y y x x 则. .2,21,0)2)(12(,0252212===--=+-y y y y y y 把y x x y =-+=12211代入得 .3,93,841,4112,2112-==-+=-=-+=-+x x x x x x x x2=y 代入y x x =-+12中，得 .2,63,442,412,212=-=--=+=-+=-+x x x x x x x x经检验知：2,321=-=x x 均为原方程的根.26.01342=--+-x x x .解 01)3)(1(=----x x x ，.2;1.0)2)(1(,023,)1())3)(1((21222===--=+--=--x x x x x x x x x经检验知：x=2是增根；x=1是原方程的根. 27.11161123++-=-+-x x x x x . 解： 22)1(61-=-++x x x ，12522+-=-+x x x x ，.2,63==x x 经检验知：x=2是原方程的根. 28.041312=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x . 解：设y x x =-1，则 0432=--y y ， .1,4,0)1)(4(21-===+-y y y y把41=y 代入y x x =-1中，则 .34,44,41=-==-x x x x x把12-=y 代入y x x =-1中，则.21,12,1,11==+-=-=-x x x x x x经检验知：21,3421==x x 均为原方程的根. 29.49491=+++x xx . 解：设y x x =+9，则44=+y y ，.2,0)2(,0442122===-=+-y y y y y把y=2代入y x x =+9中，得29=+x x ..3,49,49==+=+x x x x x经检验知：x=3是原方程的根. 30.02222222=-++++p p x x x x .解：（1）令y p x x =++222，则原方程变为：0)2(222=+-+p p y y . ①∵ 222)1(4)12(4)2(44+=++=++=∆p p p p p ≥0∴ )1(12)1(422+±-=+±-=p p y .则y 1=p ，y 2=-2-p.若原方程没有实数根，只要⎩⎨⎧<--<.02,0p p解这个不等式组，得-2<p<0.（2）∵p>0，把y 1=p 代入①得 p p x x =++222. ② 而y 2=-2-p<0（舍去）.将②式平方，整理得0)2(222=--+p p x x .令0)1(4)12(4)2(44222=-=+-=-+=∆p p p p p .解得 p=1当1=p 时，原方程有两个相等的实数根.当1=p 代入③，得0122=++x x .∴ 121-==x x .经检验，当1=p 时，121-==x x 是原方程的根.31.解：设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x-7，于是有 30)7(722=-+-+x x x x .∴ x x x x 237491422-=+-+，22)237(49142x x x -=+-，22241483749142x x x x +-=+-，0320113422=+-x x ，0660672=+-x x ，0)55)(12(=--x x .55;1221==x x .经检验知：55,1221===x x 均为原方程的根.但x=55不合题意，舍去.∴x=12，∴x-7=5.∴ 13)7(22=-+x x .∴直角三角形之边长为5，12，13.32.解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB=90°∵ 553CAB sin BC ==∠ ∴ 4,3==AC BC .在Rt △BCEk ,222BE BC CE =+,∴ 229BE m =+.∵ BE ·DE=AE ·CE ，DE=k ·BE ，∴ k ·AE BE =2·CE .∴ 9)4(22+-=⋅=m m m BE CE AE k . （2）∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=Rt ∠，即AD ⊥BD.∵AD ∥OC ，∴OC ⊥BD.∴ ∠CBE=∠ECO.∵OC=OA ，∴∠OAC=∠OCA.∴ ∠OAC=∠EBC.∴ Rt △BAC ∽Rt △EBC.∴ CE/BC=BC/AC.∴ .494322m AC BC CE ====. ∴ 9)4(2+-=m m m k 257949494492=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. （4）当DE BE 6=时，61=k . ∴619)4(2=+-m m m . ∴ 73;321==m m . 当m=3时，CE=BC=3.∴ ∠CBE=45°.∴CD 所对圆心角为90°.∴ π45=CD . 当73=m 时，tg ∠CBE=71, ∴ ∠CBE ≈8°.∴CD 所对圆心角为16°.∴ ππ922518016=⨯=CD . 33.解：设AB 两地之距为s 千米. ,9321632,2932832,832322932322222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+s s s s s s s s .42,12292,332432=-=+-=+s s s s s s 又解：设相遇时甲走了s 千米，乙走了（s-6）千米，则),(3)6(4)6(34,9)6(16,9)6(28,29)6(8,86296222222舍或--=-=-=-=-=-=-s s s s s s s s s s ss s s∴ 3s=4s-24,即s=24.∴ s+s-6=2s-6=48-6=42（千米）.34.解：设A ，B 两地距离为s 公里.).(8,729,42885360),(2136)72(85,2126)72(162541,51)]72(2172[165)]72(21[,516)72(21)72(21725)72(2172)72(212222公里负值舍==+=-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⨯⋅--=⋅----=---s s s s s s s s s s s s s s35.解：设甲班平均每人捐款x 元. 5580018001--=x x ， 解得：40,4521-==x x （舍去）.∴乙班平均每人捐款45元.36.解：设矩形宽x ，得108)18(4)18(2=++++x x x x .解得 x=6.∴矩形长24，正方形边长为12.37.解：设水流速度为x 千米/时，则漂流物从A 至B 需x14小时，依题意： 4.212141214=-++xx . 解得2±=x ；但-2不合题意舍. 由714,2==xx 得. ∴需7小时.38.解：设慢车每小时行x 千米，则快车每小时行（x+12）千米，得xx x 2512150150=+-， 解得：x 1=-72（不合题意，舍去）；x 2=60.于是 x+12=72.∴快、慢车每小时分别行72千米、60千米，提速后，分别节省3625小时和65小时. 39.解:设甲队单独完成需x 天,则乙队需(x+15)天,得 32151510=++x x . 解得:x 1=30；x 2=-7.5（舍去）.由x=30，得x+15=45.∴甲需30天；乙需45天.。
可化为一元二次方程的分式方程数学教案
可化为一元二次方程的分式方程数学教案标题：一元二次方程的分式方程数学教案【教学目标】1. 学生能够理解并掌握分式方程的基本概念和性质。
2. 学生能够熟练地将分式方程转化为一元二次方程，并解出其解。
3. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
【教学内容】一、分式方程的基本概念与性质（在此部分，可以详细讲述分式方程的定义，性质等基础知识）二、一元二次方程的基本概念与性质（在此部分，可以详细讲述一元二次方程的定义，性质等基础知识）三、分式方程到一元二次方程的转化方法1. 通过通分，将分式方程转化为整式方程。
2. 利用因式分解，将整式方程转化为一元二次方程。
四、实际问题的应用（在此部分，可以设计一些实际问题，让学生运用所学的知识去解决）【教学过程】1. 引入新课：以生活中的实际问题引入，激发学生的兴趣。
2. 讲授新课：按照教学内容进行讲解，注重理论与实践的结合。
3. 练习巩固：设计一些练习题，让学生自己尝试解答，然后集体讨论答案。
4. 总结归纳：总结本节课的主要内容，强调重点难点。
【教学策略】1. 采用情境教学法，使学生在具体的情境中理解和掌握知识。
2. 运用合作学习法，鼓励学生之间的交流和合作，提高他们的团队协作能力。
3. 实施探究性学习，引导学生自主探索和发现知识，培养他们的创新精神和实践能力。
【教学评价】1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，如参与度，积极性等。
2. 结果评价：通过作业和测试来评估学生的学习效果。
【教学反思】在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方式和方法，以便更好地适应学生的学习需求，提高教学效果。
课件 可化为一元二次方程的分式方程2
1、观察、分析、探索换元途径； 、观察、分析、探索换元途径； 2、设辅助未知元； 、设辅助未知元； 3、用辅助未知元把原方程化成 、 只含有辅助未知元的方程； 只含有辅助未知元的方程； 4、解含有辅助未知元的方程， 、解含有辅助未知元的方程， 求出辅助未知元的值； 求出辅助未知元的值； 5、由辅助未知元的的值， 、由辅助未知元的的值， 求出原未知数的值； 求出原未知数的值； 6、验根并作答。 、验根并作答。
练习
x +1 3x +15 1、方程 、 − = 2 ，用换 x +5 x +1 x +1 元法解方程， 元法解方程，可设 y = ，则原 x+ x +5
关于y 方程可化为 关于 的整式方程是
3 y −3= 2y 。 y − = 2 y
2
范例 例4 解方程
12 x −x− 2 −4 = 0 x −x
小结 分式方程的解法 直接去分母法 整体换元法
化 、解、 验
探、设、换、 解、求、验
可化为一元二次 方程的分式方程(2) 方程的分式方程(2)
复习 解方程
9 6 − +1= 0 2 x x
直接去分母法
复习 分式方程的解法 1、去分母，化整式方程 、去分母， 2、解这个整式方程 、 3、验根 、 检验是否为增根 转化思想
导入 观察方程，你还有什么想法？ 观察方程，你还有什么想法？
2
练习 2、分式方程 、
12 x −x− 2 −4 = 0 x − x −3
2
换元后， 换元后，得到的新方程是 。
范例 例5、解方程 、
1 1 3(x + 2 ) +5(x + ) −2 = 0 x换 x 1 元 y = x+ x 2 3y +5y −2 = 0
初二数学一元二次方程试题答案及解析
初二数学一元二次方程试题答案及解析1.若关于x的方程(m－2)x2－2x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2【答案】C【解析】根据题意得m﹣2≠0且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，解得m＜3且m≠2．故选C．【考点】1、根的判别式；2、一元二次方程的定义2.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（）A．（x﹣8）2=16B．（x+8）2=57C．（x﹣4）2=9D．（x+4）2=9【答案】D【解析】利用配方法解一元二次方程，是指先把二次项系数变为1，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半.本题可直接把常数项7移到方程右边，然后把方程两边加上即可．方程变形为：x2+8x=﹣7，方程两边加上，得x2+8x+=﹣7+，∴（x+4）2=9．故选D．【考点】解一元二次方程-配方法．3.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，求出a的值和方程的另一个根．【答案】a=-1；另一个根是【解析】把x=0代入原方程得到关于a的新方程，通过解方程来求a的值；然后由根与系数的关系来求另一根．试题解析：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，∴a2﹣1=0，且a﹣1≠0，∴a+1=0，解得a=﹣1．设方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的另一根是t，则0+t=，解得 t=1，即方程的另一根是．综上所述，a的值是﹣1，方程的另一个根是．【考点】1.一元二次方程的解；2.一元二次方程的定义；3.根与系数的关系．4.下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（）A．2x2＝0B．4x2＝3yC．x2＋＝－1D．x2＝(x－1)(x－2)【答案】A【解析】A、满足一元二次方程的条件，所以正确；B、是二元二次方程，所以错误；C、是分式方程；所以错误；D、整理得：3x-2=0，所以错误；故选A【考点】一元二次方程的概念5.方程x2－5x＝0的解是．【答案】x1=0,x2=5【解析】x(x-5)=0 x=0或x-5=0所以x1=0,x2=5【考点】解一元二次方程6.解方程：(1) (2x－1)(x＋3)＝4 (2)【答案】（1）x1=1,x2=（2）x=【解析】（1）整理到一元二次方程的一般形式后再利用因式分解法进行解方程即可（2）先去分母变为整式方程后再进行求解，最后检验即可试题解析：（1）整理得：2x2+5x-7=0(x-1)(2x+7)=0∴x-1="0" 或2x+7=0∴x1=1,x2=两边同乘(2x-1)(x+2)得：x(x+2)+(2x-1)=(2x-1)(x+2)整理得：x2-x-1=0解得：x=经检验x=是原分式方程的根.【考点】1、解一元二次方程；2、可化为一元二次方程的分式方程7.将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵x2+4x+1=0，∴x2+4x=﹣1，∴x2+4x+4=﹣1+4，∴（x+2）2=3．故选：A．【考点】解一元二次方程-配方法8.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．【答案】截去的小正方形的边长为2cm【解析】由等量关系：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解试题解析：设小正方形的边长为xcm，由题意得10×8﹣4x2=80%×10×8，80﹣4x2=64，x2=4．解得：x1=2，x2=﹣2，经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；所以x=2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【考点】一元二次方程的应用9.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为_________．【答案】x（x-1）=28．【解析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．试题解析：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x-1）=28．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．10.方程的解是（）A．B．C．D．或【答案】D．【解析】∵∴x2-3x=0∴x(x-3)=0即：x=0，x-3=0解得：x1=0，x2=3故选D．【考点】一元二次方程的解法----因式分解法.11.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】：∵某种商品原价是120元，平均每次降价的百分率为x，∴第一次降价后的价格为：120×（1-x），∴第二次降价后的价格为：120×（1-x）×（1-x）=120×（1-x）2，∴可列方程为：120（1-x）2=100，故选A．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．12.若关于的方程有一个根为0，则的值是（）A．－1B．3C．－1或3D．1或－3【答案】C.【解析】∵x=0是方程的解∴解得：x1=-1，x2=3【考点】一元二次方程的解.13.等腰三角形ABC中，BC=8,AB、AC的长是关于x的方程的两根,则m的值为【答案】25或16．【解析】当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．故答案是25或16．【考点】1．根与系数的关系2．三角形三边关系3．等腰三角形的性质．14.【答案】．【解析】先同时乘以2．再直接开平方即可．试题解析：．【考点】解一元二次方程—直接开平方法．15.把方程化成的形式，则m、n的值是（）A．2， 7B．－2，11C．－2，7D．2，11【答案】D．【解析】，∴.故选D．【考点】配方法.16.甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销.甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是 .【答案】20%.【解析】设他平均每次下调的百分率是x，第一次下调后的为5(1-x)，则第一次下调后的为5(1-x) 2，据此列出方程5(1-x) 2=3.2，解得x=20%.【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）.17.在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程有两个相等的实数根，则该三角形的面积是．【答案】6或．【解析】根据根的判别式求出c的值，分为两种情况，一个是直角三角形，一个是等腰三角形，根据面积公式求出即可：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得：c=5或3.当c=5时，∵a=3，b=4，∴a2+b2=c2. ∴∠ACB=90°.∴△ABC的面积是×3×4=6.当c=3时，如图，AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，则AD=DC=2，∵由勾股定理得：BD=，∴△ABC的面积是.综上所述，该三角形的面积是6或．【考点】1.勾股定理的逆定理；2.根的判别式；3.分类思想的应用．18.解方程：（1）．（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）应用因式分解法解方程即可.（2）应用开方法解方程即可.（1）由左边因式分解得，即或∴原方程的解为.（2）由得或，解得.∴原方程的解为.【考点】解一元二次方程.19.已知关于的方程有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】先将原方程变形为，这是一个以为未知数的一元二次方程.当|x-3|<0时，x无解；当|x-3|=0时，只有1解；当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解.所以关于的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根.当关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，，解得=-2②当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时：，解得即a>0.综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2.【考点】①一元二次方程根的判别式；②根与系数的关系.20.已知关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（）A．B．C．且D．且【答案】C【解析】已知关于的方程有两个不等的实数根则△＞0.即，解得，因为m-2≠0.故m≠2.选C【考点】根的判别式点评：本题难度较低，主要考查学生对一元二次方程根的判别式知识点的掌握。
可化为一元二次方程的分式方程
(x 1)(x-1) x 1
出现增根 x 1，求k的值
验根方法： 在保证解对方程的前提下，将根
直接代入最简公分母（即去分母时两 边同乘的代数式）。
使最简公分母值为0的根是增根，要舍去。 使最简公分母值不为0的根是原方程的根。
解方程： x 2 6 ;
x 1 x 3
解可化为一元二次方程的分式方程的一般步骤是： (1)去分母（同乘最简公分母）； (2)解整式方程； (3)检验（代入最简公分母；结合实际意义）； (4)写出原方程的根.
可化为一元二次方程 的分式方程
二、新课学习
复习概念：
如果方程中只含分式和整式，且分母中 含有未知数，那么这个方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思想：转化 分式方程 转化 整式方程
练习1： 下列方程中哪些是分式方程？ 哪些是可化为一元二次方程的分式方程？
（1） 2 3, x 1
(3) x 2 , 2x
(2) 1 3 , x x 1
(4)
பைடு நூலகம்
x x 1
2 x2 1
答： （1），（2），（4）是分式方程， （3）是分式，不是方程. （4）是可化为一元二次方程的分式方程.
解方程： 2 3 x 1
问1：为什么要检验？ 问2：如何检验？ 问3：解可化为一元一次方程的分式 方程的一般步骤为：
1、去分母，将分式方程化为整式方程； 2、解整式方程； 3、检验所得解是否为原方程的根； 4、写出原方程的根.
分析：原定人均捐款（元） — 实际人均捐款（元）=30（元）
解：设实际共有x人参加捐款，则原定(x-2)人参加
依题意得方程： 1200 — 1200 30
x2
x
方程两边同乘 x(x - 2)
可化为一元二次方程
x +1 1 x2 +1 = ，于是原方程变形为: = y ,那么 2 解：设 x +1 y x +1 6 2y + = 7 y
两边都乘以y，得
2 y2 − 7 y + 6 = 0
3 解得 y1 = 2, y2 = . 2 x 2 +1 当 y = 2 时, = 2 ，去分母，得
x +1
x2 − 2x −1 = 0 解得: x =1± 2
是原方程的根，把 x = 1 代入 ( x + 1)( x −1)它等于0，所以 x = 1 是增根．
2(x2 +1) 6(x +11 x +1
整理后，得 x2 + 3x − 4 = 0 解这个方程，得 x1 = −4, x2 =1 检验：把 x = −4 代入 (x +1)( x −1)，它不等于0，所以x = −4
2 3 6 + = 2 (3) 解方程 x + 1 x −1 x −1
2．例题讲解
4 1 − =1 例1 解方程 x x −1
解： 两边都乘以 x(x −1) ,得
4(x −1) − x = x(x −1)
去括号,得
4x − 4 − x = x − x
2
整理,得
x2 − 4x + 4 = 0
解这个方程，得
4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般， 即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解， 还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不 可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由 分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为 0. 三、教学过程 1．复习提问 （1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方 法与步骤是什么？ （2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方 法是什么？
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【难题巧解点拨】
例5 解方程:6(x 2
+
2
1x )-25(x-x 1)-12=0 解:设x-x 1=y,则x 2
+21x
=y 2+2,方程变形为:
6(y 2
+2)-25y-12=0
解这个方程,得:y 1=
23,y 2=3
8
当y=23时, x-x 1=2
3
,方程两边同乘以2x,约去分母,整理,得:
2x 2
-3x-2=0解这个方程得: x 1=2,x 2=-2
1
当y=38时, x-x 1=3
8
,方程两边同乘以3x,约去分母,整理,得:
3x 2
-8x-3=0解这个方程得: x 3=3,x 4=-3
1
检验:显然x 1=2,x 2=-21, x 3=3,x 4=-3
1
都使原方程分母x ≠0
∴原方程的根为: x 1=2,x 2=-21, x 3=3,x 4=-3
1
说明:本例运用换元法,结合x 2
+21x
=(x-x 1)2+2,使解题巧妙简单,换元法是常用的方法
技巧,它具有化高次为低次,化复杂为简单,化难为易的功效,在解题时要善于发现方程的某
些特点,使之选择合适的解题方法.
例6 解方程:
x x x x ++2
324+ x x x x ++2325+2
3
=0 分析:应先将方程左边两个分式化简. 解:原方程变形为:
x x x x ++2324+ x x x x ++2325+2
3
=0
注意到左边前两个分母中都含x 2
+2x,故考虑用换元法降次,设y=x 2
+2x-2,则原方程又变形为:
02
33534=+-++y y 去分母,整理得:y 2
+6y-7=0 解得:y 1=1,y 2=-7
当y=1时,x 2
+2x-2=1解得: x 1=1,x 2=-3
当y=-7时,x 2+2x-2=-7,即: x 2
+2x+5=0,此方程无实数解.
经检验: x 1=1,x 2=-3都是原方程的解. 例7 解方程
6
5
327621+++++=+++++x x x x x x x x 分析:方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式(即分子的最高次数小于分母的最高次数)之和,这样原方程可化简.
解:原方程化为:
1-
2
1+x +1-71+x =1-31+x +1-61+x
61+x -71+x =21+x -3
1+x
∴(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3) 解得:x=-
2
9
.经检验是原方程的根. 【课本难题解答】 解下列关于x 的方程
(1)x+
1
1-x =a+11-a
(2)x
a x
b x b x a -+-=+-)
(45(a+b ≠0) (3))0(1222
22≠+-=-+-a a
x x
a x a x a x x 解:(1)去分母得(a-1)x 2
-a 2
x+a 2
=0 ,解得: x 1=a,x 2=1
-a a (2)(a-x)2
=5(a-x)(b+x)-4(b+x)2
[a-x-(b+x)][a-x-4(b+x)]=0 ∴x 1=
2
b a -,x 2=54b a -
注意:若 a+b=0,则方程左边=x
b x
b +--=-1 右边=5-
x
b x b --+)
(4=5+4=9,所以方程无解.
(1) 2x(x+a)-12x 2
=-(x-a)2
即9x 2
=a 2
,x=±
3
a (3)注意:若a=0,方程左边=2+(-12)=-10,右边=-1,所以方程的无解.
考试热点
【命题趋势分析】
分式方程的解法和应用题既是初中数学的重点,也是中考的热点. 【典型热点考题】
例8 (1)选择题:用换元法解分式方程152--x x +510102--x x =7时,如果设1
5
2--x x =y,那么
原方程可化为( )(2000年北京市西城区中考题)
A.y+
710=y B.y+71=y C.10y+71
=y
D.y+10y 2=7 (2)填空:方程
1
1
4--x x =1的解是 .(2000年重庆市中考题) 分析:本例是中考的常见考题类型,也是分式方程的最基本要求,做好本例类题,只需了 解解分式方程的基本方法.(1)中,只需注意方程中
510102--x x =5)1(102
--x y =y
10
,(2)中用约去分母法极易求解.
答案:(1)选A;(2)填 x=2
例9 为了响应节水号召,小红家要使200m 3
的水比过去多用5个月,计划每用比过去少 用水2m 3
,问小红家计划每月用多少水?(2000年北京市海淀区中考题)
分析:设计划每月水xm 3
,则下表:
解:设计划每月用水xm ,那么过去每月用水(x+2)m 依题意,得:
x
200-2200
+x =5 方程两边同乘以x(x+2),约去分母,并整理方程,得:
x 2
+2x-80=0
解这个方程,得: x 1=8,x 2=-10
检验: x 1=8,x 2=-10都是原方程的解
∵每月用水量不可能为负数, ∴x 2=-10不合题意,舍去. ∴x=8
答:小红家计划每月用水8m 3
例10 某顾客第一次在商店买若干小商品花去5元,第二次再去买该小商品时,发现每一打(12件)降价0.8元,他比第一次多买了10件,这样,第二次共花去2元,且第二次买的小商品恰好成打.问他第一次买了小商品是少件?(2000年辽宁省中考题)
解:设他第一次买了小商品为x 件,依题意,得:
12
8
.01025=
+-x x 方程两边同乘以12x(x+10),约去分母,并整理方程得:x 2
-35x-750=0 解这个方程,得: x 1=50,x 2=-15
检验: x 1=50,x 2=-15都是原方程的根.
∵买小商品的件数不能为负数, ∴x=-15不合题意,舍去. ∴x=50
答:他第一次买小商品50件.。