直线和圆的位置关系(初三复习)
直线与圆的位置关系复习
相
公共点
只有一个实 d = r △=0
切
根
相
没有公共点 方程组无实 d>r
△<0
离
根
由
kx (x
yk 3)2
1 0 (y 4)4
4
消去y得
(k2 1)x2 2(k2 5k 3)x (k2 10k 30) 0(*)
∵直线l与圆C相切
方程(*)有两相等实数根
则△=0,可解得 k 21 20
直线方程为 21x 20 y 41 0
(1 3)2 (1 4)2 29 4
点P(1,—1)在圆C外部 过点P且与圆相切的直线应有两条.
①当直线l斜率不存在时,方程为x=1
由
x 1 (x 3)
2
(y
4)2
得D(1,4)
4
即直线l与圆C有唯一公共点D
l与圆C相切符合题意.
②当直线l斜率存在时,设方程为 y 1 k(x 1) 即kx y k 1 0
综合①②得切线方程为 21x 20 y 41 0和x=1
三．例题选讲
例1．已知过点P（1，－1）的直线l与圆C：(x 3)2 ( y 4)2 4
相切，求切线方程。
解:法二(几何法):
(1 3)2 (1 4)2 29 4
点P(1,—1)在圆C外部
过点P且与圆相切的直线应有两条.
直线与圆的位置关系种类
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(两个交点)
判断直线与圆位置关系的方法 方法一(代数法)：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
九年级数学直线和圆的位置关系
高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求 出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点 斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距 离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交 点坐标。若有两个交点，则它们关于 圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的 半径大小来判断。若圆心到直线的 距离大于圆的半径，则直线与圆相 离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆 相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一 个未知数得到一个一元二次方程 。根据判别式的值判断位置关系 。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根 据d与半径r的大小关系判断位置关 系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距 离等于半径；圆的任意弦 所对的圆周角等于弦所对 圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的 直线称为圆的切线，切线 与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题
初三数学直线和圆的位置关系
初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。
初中数学复习教案直线和圆的位置关系
初中数学复习教案——直线和圆的位置关系教学目标：1. 理解直线和圆的位置关系；2. 掌握判断直线和圆位置关系的方法；3. 能够运用直线和圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：一、直线和圆的位置关系概念1. 直线和圆相离：直线与圆没有交点；2. 直线和圆相切：直线与圆只有一个交点；3. 直线和圆相交：直线与圆有两个交点。
二、判断直线和圆位置关系的方法1. 利用圆心到直线的距离与圆的半径比较；2. 利用直线的斜率与圆的半径比较；3. 利用点到直线的距离公式。
三、直线和圆的位置关系的应用1. 求圆的方程：已知直线与圆的位置关系和圆上的点；2. 求直线的方程：已知直线与圆的位置关系和圆上的点；3. 解决实际问题：如求圆的切线方程，求直线与圆的交点坐标等。
四、巩固练习1. 判断直线和圆的位置关系；2. 求圆的方程和直线的方程；3. 解决实际问题。
1. 复习直线和圆的位置关系概念；2. 复习判断直线和圆位置关系的方法；教学资源：1. 教学课件；2. 练习题；3. 实际问题案例。
教学步骤：1. 引入直线和圆的位置关系概念，引导学生理解；2. 讲解判断直线和圆位置关系的方法，让学生掌握；3. 应用直线和圆的位置关系解决实际问题，让学生学会运用；4. 布置巩固练习，让学生巩固所学知识；教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习的准确度和熟练度；3. 学生对直线和圆的位置关系在实际问题中应用的掌握程度。
六、直线和圆的位置关系的性质1. 直线和圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径；2. 直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；3. 直线和圆相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径。
七、直线和圆的位置关系的判定1. 利用圆心到直线的距离与圆的半径比较；2. 利用直线的斜率与圆的半径比较；3. 利用点到直线的距离公式。
八、直线和圆的位置关系的应用实例1. 求圆的切线方程：给定圆的方程和切点坐标；2. 求直线与圆的交点坐标：给定直线的方程和圆的方程；3. 求圆的弦长和弦中点：给定圆的方程和弦的两个端点坐标。
人教版初中数学九年级上册第24章圆知识复习第二部分点和圆、直线和圆的位置关系
*有兴趣的同学可以尝试证明： (1)如图，正五角星中AC=a， 求该五角星外接圆的直径.(用三角函数表示) (2)圆内接四边形两组对边乘积之和等于两条对角线 的乘积。（提示：构造相似形）
(3)若圆内接四边形的对角线互相垂直，则过对角线 的交点所作任一边的垂线将对边平分. A
B
E
•
O
C
D
中考试题精选
O• 5 A 4P B
【及时巩固】
7、如图,AB是ʘO的直径,AC是弦,∠CAB=30º, 过C点作ʘO的切线交AB的延长线于D，如果 OD=12cm，那么ʘO的半径为 6 .
C
30º • 60º 30º
AO
BD
【及时巩固】
8、如图，PB、PC分别切ʘO于B、C两点，A 是ʘO上一点，∠CAB=50º，则∠P等于 80º .
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线 与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相 交于点F，且CB=CE.求证：(1)BE∥DG； (2)CB2-CF2=BF·FE.
A
O•
E
FB
G CD
中考试题精选
7、如图，PC为⊙O的切线，C为切点, PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，
若 tan B 1，PC=10cm,求△BCD的面积. 2
A
对应的一个基本图
E O• C D
P
形，其中有很多关
系，你能找出多少？
B
弦切角：圆的切线和过切点的弦所夹的角。 P
O•
O•
B
A
M
(5)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角.
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等.
(6)和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 内切圆的圆心是三角形的内心(即三角形三内角 平分线的交点)。各边都和圆相切的三角形叫圆 的外切三角形。
直线与圆的位置关系复习
contents
目录
• 直线与圆的基本概念 • 直线与圆的位置关系 • 判断直线与圆的位置关系 • 直线与圆的综合应用 • 经典例题解析
01
直线与圆的基本概念
直线的定义与性质
定义
直线是无限长的，没有端点，表 示为 $L$。
性质
两点确定一条直线；两点之间线 段最短。
圆的定义与性质
实例
在圆内作一条已知长度的弦，可以 先求出弦长的一半，然后利用弦长 公式计算出弦长，最后进行作图。
直线与圆的位置关系在几何作图中的应用
应用场景
在几何作图中，可以利用直线与圆的位置关系来绘制图形或 进行图形的调整。
实例
在绘制一个圆形花坛时，可以利用直线与圆的位置关系来确 定花坛的边界线，以确保花坛的形状符合要求。
应用场景
实例
在一个三角形中，已知其中一边和其 上的高，要证明另外两边相等，可以 通过作三角形的高所对的圆的切线， 利用切线长定理进行证明。
在几何证明和解题中，可以利用切线 长定理来证明线段相等或进行线段计 算。
弦长公式的应用
弦长公式
已知圆的半径和弦长的一半，可 以求出弦长。
应用场景
在几何作图和计算中，可以利用弦 长公式来计算弦长或进行作图。
几何法
01
几何法定义：通过观察直线与圆的图形关系，直观判断它们的位置关 系。
02
步骤
03
1. 画出直线与圆的图形。
04
2. 根据图形判断直线与圆的位置关系：如果直线穿过圆内，则相交； 如果直线与圆相切于一点，则相切；如果直线切线长定理的应用
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，这一点 到切点的线段长相等。
直线与圆的位置关系(复习一)
直线与圆的位置关系（复习一）学习目标1、 知道直线与圆的三种位置关系；知道切线的概念。
2、 会用圆心到直线的距离大小判断圆与直线的位置情况；会用圆的切线的判定定理和性质定理进行简单的推理与计算。
教学设计一、导入复习课题二、试一试1、判断：（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交（ ）（2）切线上的点到圆心的距离等于半径长 （ ）（3） 若直线与圆有唯一公共点，则这点就是切点（ ）（4）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（ ）（5）圆的切线垂直于过切点的半径。
（ ）2、⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线a 的距离为d（1）r=4，d=3，则直线a 与⊙O _______（2）r=4，d=4，则直线a 与⊙O________（3）若直线a 与⊙O 相离，r=4，则d 的取值范围为____3、 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠ABC=45 °AB=AC ，判断AC 与圆O 的位置关系？4、如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C 若∠A=25°则∠D 等于____三、知识点的回顾四、练一练 1、如图，线段AB 经过圆心O ，与⊙O 交于点A 、C ，∠BAD ＝∠B ＝30°，边BD 交圆于点D 。
那么BD 是⊙O 的切线吗？为什么？CAB2.点O 是∠DPC 的角平分线上的一点，⊙O 与PD 相切于A ， 求证：PC 与⊙O 相切四、大显身手1、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，(1)若⊙C 的半径为4.8cm ，则⊙C 与直线AB 的位置关系为_______(2)若⊙C 与直线AB 相离时，则⊙C 的半径取值范围为________（3）若⊙C 与线段AB 只有一个公共点时，则⊙C 的半径取值范围为________2、已知O 为原点，点A 的坐标为（4，5），⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，交y 轴于点B, 点P 在直线l 上运动．(1)当点P 在⊙A 上时，请你直接写出它的坐标；(2)设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.（此题属于直线与圆“无”交点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长是否等于半径.）五、小结：1、这一节课我们复习了哪些内容？2、你掌握了哪些添辅助线的方法？六、作业C B A（一）基础训练1. 圆O 的直径4，圆心O 到直线L 的距离为3，则直线L 与圆O 的位置关系是（ ）（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）相切或相交2. 直角三角形ABC 中，∠C=900，AB=10，AC=6，以C 为圆心作圆C ，与AB 相切，则圆C 的半径为（ ）（A ）8 （B ）4 （C ）9.6 (D)4.83. 直线l 上的一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）（A ） 相切 （B ） 相交 （C ）相离 （D ）相切或相交O 的直径，MN 切⊙O 于点C ，且∠BCM=38°，求∠ABC 的度数。
直线与圆的位置关系(复习课)
B
10
O
C
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
B
O
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
P 4cm l A
P 4cm A l
2．如图，A，B是⊙O的两点，AC是 ⊙O的切线，∠B＝65°则∠BAC=( B ) A、35° B、25°C、50° D、65°
O B A C
3、已知:PA为⊙O的切线，A为切点， OB交⊙O于点B ，PB＝2，PA ３ ＝4.⊙O的半径r=
O
r
r
B２
４
P
A
B
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
O
B
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
初中数学复习教案直线和圆的位置关系
初中数学复习教案直线和圆的位置关系教学目标：1. 理解直线和圆的位置关系的概念。
2. 掌握判断直线和圆位置关系的方法。
3. 能够应用直线和圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：一、直线和圆的位置关系概念介绍1. 直线和圆的相离2. 直线和圆的相切3. 直线和圆的相交二、判断直线和圆位置关系的方法1. 利用圆心到直线的距离与圆的半径比较2. 利用直线的斜率和圆的半径判断三、实际问题应用1. 求直线与圆的交点2. 求直线与圆的切点3. 求直线与圆的距离四、巩固练习1. 判断给定的直线和圆的位置关系。
2. 解决给定的实际问题，求直线与圆的交点、切点或距离。
五、总结与评价1. 总结直线和圆的位置关系的概念及判断方法。
2. 评价自己在解决问题中的表现及提高空间。
教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线和圆的位置关系概念及判断方法。
2. 采用案例分析法，分析实际问题并解决问题。
3. 采用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评价学生的参与度。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习的情况，评价学生的掌握程度。
3. 问题解决能力：评估学生在解决实际问题时的表现，评价学生的应用能力。
教学资源：1. 教学PPT：展示直线和圆的位置关系概念及判断方法。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，巩固所学知识。
3. 教学辅导书：提供详细的解题思路和方法，帮助学生自主学习。
初中数学复习教案直线和圆的位置关系教学内容：六、直线和圆的交点求解1. 直线与圆的交点性质2. 求解直线与圆的交点方法七、直线和圆的切点求解1. 直线与圆的切点性质2. 求解直线与圆的切点方法八、直线和圆的距离求解1. 直线与圆的距离公式2. 求解直线与圆的距离方法九、实际问题应用举例1. 求解直线与圆的交点、切点或距离的实际问题2. 分析问题、解决问题步骤及方法十、总结与评价1. 总结直线和圆的位置关系及其应用2. 评价学生在解决问题中的表现及提高空间教学方法：1. 采用案例分析法，分析直线和圆的交点、切点及距离的求解方法。
直线与圆的位置关系复习
1BO QCPTD BA直线与圆的位置关系复习一、要点：例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，∠B=30，BC=4cm ，以点C 为圆心，2cm 长为半径作圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是2、切线的判定：①经过半径的外端②垂直于半径的直线是圆的切线。
注：判定切线的时候两种情况：①当已知条件中直线与圆已有一个公共点时， 辅助线：是连结圆心和这个公共点。
再证明这条半径与直线垂直 例：如图已知直线AB 过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ， CA ＝CB ，求证：直线ＡＢ是⊙O 的切线②当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时，辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。
再证明这条垂线段的长等于半径。
例：如图:O 为∠ ABC 平分线上点,OD ⊥AB 于D,以O 为圆心,OD 求证：BC 与作⊙O 相切。
3重要辅助线：连结切点和圆心例：AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D （1） 求证：AT 平分∠BAC（2） 若AD=2，TC=3，求⊙O 的半径。
4、三角形的内切圆：和三边都相切内心：三条角平分线的交点。
到三边的距离相等。
外心：三条中垂线的交点。
到三个顶点的距离相等。
直角三角形内切圆的半径r=2cb a -+（c 为斜边长）， 等边三角形内切圆的半径a r 63=（a 为边长）rl C ab ah S ABC 21sin 212===∆为三角形内切圆半径，r (l 为三角形周长）例：如图：⊙O 是△ABC 的内切圆，切点是、E 、F ，又AB=AC=10，BC=12，求：、 （1）AD 、BC 的长B2CD （2）ABC S ∆ （3）⊙O 的半径5、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判断。
计算两圆心距 d, 再与 R ± r 来比较。
两圆外离,r R d +> 两圆外切,r R d +=两圆相交,r R d r R +<<-两圆内切,r R d -= ≤0两圆内含,r R d -<注意：两圆相切；分内切与外切，两圆相离；分内含与外离注；相切两圆的连心线必经过切点。
直线和圆的位置关系复习
（2）
（3）
相离
相切
相交
l
l
l
·O
·O
·O
2、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 , 直线与圆有____个公共点.
∠APB+ ∠AOB=180°
注意分类讨论的数学思想。
70°或110°
80
如图已知“PA、PB是圆O的切线，切点分别是A、B”，试探讨以下问题：
议一议
*
议一议
E
F
4、如图（2）过点C2作⊙O的切线分别交PB、PA于E、F，若PA=5，则△PEF的周长为______。
5、如图（3）过点C1作⊙O的切线分别交PB、PA的延长线于E、F，若PA=5，EF=7，则△PEF的周长为______。
想一想
证明切线的基本思路：不知共点，作垂直，证半径。
常用辅助线：见切线，过切点连半径，得垂直。
*
例2.PA是圆O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H交⊙O于B。求证：PB是⊙O的切线
B
A
O
P
H
∴ ∠OBP=∠OAP=900 ∴OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线
证明：连结OB、OA ∵ PA是圆O的切线，切点是A ∴∠OAP=900
不知公共点，作垂直，证半径；
数形结合
类比
分类讨论
*
如图所示，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的 延长线上，∠DCB= ∠A。 求证：CD是⊙O的切线
直线与圆的位置关系复习 (解析版)
直线与圆的位置关系复习一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心C [易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．]2．点M 在圆x 2＋y 2－10x －6y ＋25＝0上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 2 D 由圆,整理得圆心坐标，圆的半径；圆心到直线距离，直线与圆相离；圆上的点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离. 故选D.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A ．0° B ．45° C ．0°或45°D ．0°或60°D [设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.]4．圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2B [圆的方程化为标准方程得：(x －1)2＋(y －3)2＝10， 则圆心坐标为(1,3)，半径为10，如图：由图可知：过点E 最长弦为直径AC ，最短弦为过点E 且与AC 垂直的弦．则AC ＝210，MB ＝10，ME ＝(1－0)2＋(3－1)2＝ 5. 所以BD ＝2BE ＝2(10)2－(5)2＝2 5.又AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BD＝12×210×25＝10 2. 选B.]5．若直线l ：kx －y －2＝0与曲线C ：1－(y －1)2＝x －1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤43，2B ．⎝⎛⎭⎫43，4 C ．⎣⎡⎦⎤－2，－43∪⎝⎛⎦⎤43，2 D ．⎝⎛⎭⎫43，＋∞ A [直线l ：kx －y －2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C ：1－(y －1)2＝x －1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0))．当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2，直线记为l 1；当l 与半圆相切时，由|k －3|k 2＋1＝1，得k ＝43，切线记为l 2.分析可知当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选A.]6．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．2 3C [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形P ACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|P A |×r ＝|P A |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离，即为|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2，所以四边形P ACB 面积的最小值为4－1＝ 3.]二、填空题7．过点P (－1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线方程是________．x －2y ＋5＝0 [法一：∵点P (－1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，直接代入圆上一点的切线方程得：－x ＋2y ＝5，即x －2y ＋5＝0.法二：∵圆心为(0,0)，∴k CP ＝2－1＝－2，所求直线的斜率为k ＝12.所以所求切线方程是y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.]8．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 【导学号：07742299】(x －2)2＋(y －1)2＝4 [设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________. 【导学号：07742301】(－13,13) [由题意知，若圆上有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d ＜1.因为d ＝|c |122＋52＝|c |13，所以0≤|c |13＜1，即0≤|c |＜13.解得－13＜c ＜13.]4．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.4±15 [由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，所以222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋1 2＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.] 三、解答题10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值.[解] 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， 即y 1x 1·y 2x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.① 又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③因为P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上， 所以y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋125.④将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立， 所以m ＝3.5．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. [解] (1)法一：由已知可得直线l ：(x －1)m －y ＋1＝0， ∴直线l 恒过定点P (1,1)． 又12＋(1－1)2＝1＜5， ∴点P 在圆内，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．法二：圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋1－m |m 2＋1＝|m |m 2＋1＜|m ||m |＝1＜5，∴直线l 与圆C 相交，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)直线l 恒过定点P (1,1)，且直线l 的斜率存在．又M 是AB 的中点，当直线l 的斜率不为0时，CM ⊥MP ， ∴点M 在以CP 为直径的圆上．又C (0,1)，P (1,1)，∴以CP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14， 当直线l 的斜率为0时，点M 与点C 重合，也满足上式． 又直线l 的斜率存在，∴x ≠1，∴点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14(x ≠1).。
【重点梳理】初三数学-点、直线、圆与圆的位置关系
初中独家资料之【初三数学】点、直线、与圆的位置关系一、基础知识梳理核心知识点一：点和圆的位置关系（1）点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有（2）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.核心知识点二：直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．（2）直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．核心知识点三：切线的判定定理、性质定理和切线长定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.（3）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：(3) 三角形的外心与内心的区别：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而 非线段.（4）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. （5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. （6）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内 心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外 接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距 离相等，即 OA=OB=OC ； (2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内 切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等； (2)OA 、OB 、OC 分别平分 ∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ； (3)内心在三角形内部.核心知识点四：圆和圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.（2）两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含d＞r1+r2d=r1+r2r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) d=r1-r2(r1＞r2)d＜r1-r2(r1＞r2)要点诠释：(1)圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2)内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.二、知识体系梳理。
直线和圆的位置关系(精选12篇)
直线和圆的位置关系（精选12篇）直线和圆的位置关系篇11.学问结构2.重点、难点分析重点：的性质和判定.由于它是本单元的基础（如：“切线的推断和性质定理”是在它的基础上讨论的），也是高中解析几何中讨论的基础.难点：在对性质和判定的讨论中，既要有归纳概括力量，又要有转换思想和力量，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），同学较难理解.3.教法建议本节内容需要一个课时.（1）老师通过电脑演示，组织同学自主观看、分析，并引导同学把“点和圆的位置关系”讨论的方法迁移过来，指导同学归纳、概括；（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”推断“形”为主线，开展在老师组织下，以同学为主体，活动式教学.教学目标：1、使同学理解直线和圆的三种位置关系，把握其判定方法和性质；2、通过的探究，向同学渗透分类、数形结合的思想，培育同学观看、分析和概括的力量；3、使同学从运动的观点来观看直线和圆相交、相切、相离的关系、培育同学的辩证唯物主义观点.教学重点：的判定方法和性质.教学难点：直线和圆的三种位置关系的讨论及运用.教学设计：（一）基本概念1、观看：（组织同学，使同学从感性熟悉到理性熟悉）2、归纳：（引导同学完成）（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点3、概念：（指导同学完成）由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.讨论与理解：①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同.②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?（二）直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系（1）点P在⊙O内 dr；（2）点P在⊙O上 d=r；（3）点P在⊙O外 dr.2、归纳概括：假如⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交 dr；(2)直线l和⊙O相切 d=r；(3)直线l和⊙O相离 dr.（三）应用例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm.同学自主完成，老师指导同学规范解题过程.解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，∵ ，∴AB·CD=AC·BC，∴ （cm），（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交.练习P105，1、2.（四）小结：1、学问：（指导同学归纳）2、力量：观看、归纳、概括力量，学问迁移力量，学问应用力量.（五）作业：教材P115，1（1）、2、3.探究活动问题：如图，正三角形ABC的边长为6 厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A动身，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的状况？写出不怜悯况下，r的取值范围及相应的切点个数.略解：由正三角形的边长为6 厘米，可得它一边上的高为9厘米.①∴当⊙O的半径r＝9厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3.②当0＜r＜9时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次，即直线和圆的位置关系篇21.学问结构2.重点、难点分析重点：的性质和判定.由于它是本单元的基础（如：“切线的推断和性质定理”是在它的基础上讨论的），也是高中解析几何中讨论的基础.难点：在对性质和判定的讨论中，既要有归纳概括力量，又要有转换思想和力量，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），同学较难理解.3.教法建议本节内容需要一个课时.（1）老师通过电脑演示，组织同学自主观看、分析，并引导同学把“点和圆的位置关系”讨论的方法迁移过来，指导同学归纳、概括；（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”推断“形”为主线，开展在老师组织下，以同学为主体，活动式教学.教学目标：1、使同学理解直线和圆的三种位置关系，把握其判定方法和性质；2、通过的探究，向同学渗透分类、数形结合的思想，培育同学观看、分析和概括的力量；3、使同学从运动的观点来观看直线和圆相交、相切、相离的关系、培育同学的辩证唯物主义观点.教学重点：的判定方法和性质.教学难点：直线和圆的三种位置关系的讨论及运用.教学设计：（一）基本概念1、观看：（组织同学，使同学从感性熟悉到理性熟悉）2、归纳：（引导同学完成）（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点3、概念：（指导同学完成）由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.讨论与理解：①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同.②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?（二）直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系（1）点P在⊙O内 dr；（2）点P在⊙O上 d=r；（3）点P在⊙O外 dr.2、归纳概括：假如⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交 dr；(2)直线l和⊙O相切 d=r；(3)直线l和⊙O相离 dr.（三）应用例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm.同学自主完成，老师指导同学规范解题过程.解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，∵ ，∴AB·CD=AC·BC，∴ （cm），（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交.练习P105，1、2.（四）小结：1、学问：（指导同学归纳）2、力量：观看、归纳、概括力量，学问迁移力量，学问应用力量.（五）作业：教材P115，1（1）、2、3.探究活动问题：如图，正三角形ABC的边长为6 厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A动身，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的状况？写出不怜悯况下，r的取值范围及相应的切点个数.略解：由正三角形的边长为6 厘米，可得它一边上的高为9厘米.①∴当⊙O的半径r＝9厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3.②当0＜r＜9时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次，即直线和圆的位置关系篇31.学问结构2.重点、难点分析重点：的性质和判定.由于它是本单元的基础（如：“切线的推断和性质定理”是在它的基础上讨论的），也是高中解析几何中讨论的基础.难点：在对性质和判定的讨论中，既要有归纳概括力量，又要有转换思想和力量，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），同学较难理解.3.教法建议本节内容需要一个课时.（1）老师通过电脑演示，组织同学自主观看、分析，并引导同学把“点和圆的位置关系”讨论的方法迁移过来，指导同学归纳、概括；（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”推断“形”为主线，开展在老师组织下，以同学为主体，活动式教学.教学目标：1、使同学理解直线和圆的三种位置关系，把握其判定方法和性质；2、通过的探究，向同学渗透分类、数形结合的思想，培育同学观看、分析和概括的力量；3、使同学从运动的观点来观看直线和圆相交、相切、相离的关系、培育同学的辩证唯物主义观点.教学重点：的判定方法和性质.教学难点：直线和圆的三种位置关系的讨论及运用.教学设计：（一）基本概念1、观看：（组织同学，使同学从感性熟悉到理性熟悉）2、归纳：（引导同学完成）（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点3、概念：（指导同学完成）由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.讨论与理解：①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同.②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?（二）直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系（1）点P在⊙O内 dr；（2）点P在⊙O上 d=r；（3）点P在⊙O外 dr.2、归纳概括：假如⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交 dr；(2)直线l和⊙O相切 d=r；(3)直线l和⊙O相离 dr.（三）应用例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm.同学自主完成，老师指导同学规范解题过程.解：（图形略）过C点作CD⊥A B于D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，∵ ，∴AB·CD=AC·BC，∴ （cm），（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交.练习P105，1、2.（四）小结：1、学问：（指导同学归纳）2、力量：观看、归纳、概括力量，学问迁移力量，学问应用力量.（五）作业：教材P115，1（1）、2、3.探究活动问题：如图，正三角形ABC的边长为6 厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A动身，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的状况？写出不怜悯况下，r的取值范围及相应的切点个数.略解：由正三角形的边长为6 厘米，可得它一边上的高为9厘米.①∴当⊙O的半径r＝9厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3.②当0＜r＜9时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次，即直线和圆的位置关系篇41.学问结构2.重点、难点分析重点:直线和圆的位置关系的性质和判定.由于它是本单元的基础(如:“切线的判定和性质定理”是在它的基础上讨论的),也是高中解析几何中讨论“直线和圆的位置关系”的基础.难点:在对性质和判定的讨论中,既要有归纳概括力量,又要有转换思想和力量,所以是本节的难点;另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点,与有一个公共点含义不同(这一点到直线和曲线相切时很重要),同学较难理解.3.教法建议本节内容需要一个课时.(1)老师通过电脑演示,组织同学自主观看、分析,并引导同学把“点和圆的位置关系”讨论的方法迁移过来,指导同学归纳、概括;(2)在教学中,以“形”归纳“数”, 以“数”判定“形”为主线,开展在老师组织下,以同学为主体,活动式教学.教学目标:1、使同学理解直线和圆的三种位置关系,把握其判定方法和性质;2、通过直线和圆的位置关系的探究,向同学渗透分类、数形结合的思想,培育同学观看、分析和概括的力量;3、使同学从运动的观点来观看直线和圆相交、相切、相离的关系、培育同学的辩证唯物主义观点.教学重点:直线和圆的位置关系的判定方法和性质.教学难点:直线和圆的三种位置关系的讨论及运用.教学设计:(一)基本概念1、观看:(组织同学,使同学从感性熟识到理性熟识)2、归纳:(引导同学完成)(1)直线与圆有两个公共点;(2)直线和圆有唯一公共点(3)直线和圆没有公共点3、概念:(指导同学完成)由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系:(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.讨论与理解:①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”,这与直线与圆有一个公共点的含义不同.②直线和圆除了上述三种位置关系外,有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?(二)直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移:点与圆的位置关系(1)点p在⊙o内 dr;(2)点p在⊙o上 d=r;(3)点p在⊙o外 dr.2、归纳概括:假如⊙o的半径为r ,圆心o到直线l的距离为d,那么(1)直线l和⊙o相交 dr;(2)直线l和⊙o相切 d=r;(3)直线l和⊙o相离 dr.(三)应用例1、在rt△abc中,∠c=90°,ac=3cm,bc=4cm,以c为圆心,r为半径的圆与ab有何种位置关系?为什么?(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.同学自主完成,老师指导同学规范解题过程.解:(图形略)过c点作cd⊥ab于d,在rt△abc中,∠c=90°,ab= ,∵ ,∴ab·cd=ac·bc,∴ (cm),(1)当r =2cm时cdr,∴圆c与ab相离;(2)当r=2.4cm时,cd=r,∴圆c与ab相切;(3)当r=3cm时,cdr,∴圆c与ab相交.练习p105,1、2.(四)小结:1、学问:(指导同学归纳)2、力量:观看、归纳、概括力量,学问迁移力量,学问应用力量.(五)作业:教材p115,1(1)、2、3.探究活动问题:如图,正三角形abc的边长为6 厘米,⊙o的半径为r厘米,当圆心o 从点a动身,沿着线路ab一bc一ca运动,回到点a时,⊙o随着点o的运动而移动.在⊙o移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的状况?写出不怜悯况下,r的取值范围及相应的切点个数.略解:由正三角形的边长为6 厘米,可得它一边上的高为9厘米.①∴当⊙o的半径r=9厘米时,⊙o在移动中与△abc的边共相切三次,即切点个数为3.②当0r9时,⊙o在移动中与△abc的边共相切六次,即直线和圆的位置关系篇51.学问结构2.重点、难点分析重点：的性质和判定.由于它是本单元的基础（如：“切线的推断和性质定理”是在它的基础上讨论的），也是高中解析几何中讨论的基础.难点：在对性质和判定的讨论中，既要有归纳概括力量，又要有转换思想和力量，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），同学较难理解.3.教法建议本节内容需要一个课时.（1）老师通过电脑演示，组织同学自主观看、分析，并引导同学把“点和圆的位置关系”讨论的方法迁移过来，指导同学归纳、概括；（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”推断“形”为主线，开展在老师组织下，以同学为主体，活动式教学.教学目标：1、使同学理解直线和圆的三种位置关系，把握其判定方法和性质；2、通过的探究，向同学渗透分类、数形结合的思想，培育同学观看、分析和概括的力量；3、使同学从运动的观点来观看直线和圆相交、相切、相离的关系、培育同学的辩证唯物主义观点.教学重点：的判定方法和性质.教学难点：直线和圆的三种位置关系的讨论及运用.教学设计：（一）基本概念1、观看：（组织同学，使同学从感性熟悉到理性熟悉）2、归纳：（引导同学完成）（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点3、概念：（指导同学完成）由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.讨论与理解：①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同.②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?（二）直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系（1）点P在⊙O内 dr；（2）点P在⊙O上 d=r；（3）点P在⊙O外 dr.2、归纳概括：假如⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交 dr；(2)直线l和⊙O相切 d=r；(3)直线l和⊙O相离 dr.（三）应用例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm.同学自主完成，老师指导同学规范解题过程.解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，∵ ，∴AB·CD=AC·BC，∴ （cm），（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交.练习P105，1、2.（四）小结：1、学问：（指导同学归纳）2、力量：观看、归纳、概括力量，学问迁移力量，学问应用力量.（五）作业：教材P115，1（1）、2、3.探究活动问题：如图，正三角形ABC的边长为6 厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A动身，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的状况？写出不怜悯况下，r的取值范围及相应的切点个数.略解：由正三角形的边长为6 厘米，可得它一边上的高为9厘米.①∴当⊙O的半径r＝9厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3.②当0＜r＜9时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次，即直线和圆的位置关系篇6教学目标：1、使同学理解.2、初步把握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用.3、通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培育同学能从直观演示中归纳出几何性质的力量；2.在7.1节我们曾学习了“点和圆”的位置关系：教学重点：使同学正确理解直线和圆的位置关系，特殊是直线和圆相切的关系，是以后学习中常常用到的一种关系.教学难点：直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，又可作为性质，同学不太简单理解.教学过程：一、新课引入：我们已经学习过用点到圆心的距离和圆半径的大小关系来推断点和圆的位置关系，现在我们用同样的数学思想方法来讨论直线和圆的位置关系，请同学们回忆：1.点和圆有哪几种位置关系？2.怎样判定点和圆的位置关系？我们已经了解了平面上点和圆共有三种位置关系①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内.假如我们设⊙o的半径为r，则有下面点与圆位置的数量关系.二、新课讲解：实际上，太阳从地平线上缓缓升起时，太阳与地平线的位置关系；铁轨上飞奔的列车，它的轮子与铁轨之间的位置关系；都给了我们直线和圆的位置关系的印象，那么平面上给定一个圆和一条运动着的直线或给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然有着若干种不同的位置关系，假如从数学角度看，它的若干种位置关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画相互讨论一下.同学动手画，老师巡察，当全部同学都把三种位置关系画出来时，老师可以用计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程肯定要用两种方法.一是给定直线圆在动；另一方面是给定圆，直线在动，这样同学才能从运动的观点去讨论问题.最终老师指导同学从直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的定义.1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.直线叫做圆的割线.2、直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.直线叫圆的切线，唯一的公共点叫做切点.3.直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.（三）重点、难点的学习与目标完成过程在直线和圆的位置关系中，直线和圆相切是特别重要的位置关系，在今后的学习中有重要意义，务使每位同学都要清晰.除从直线和圆的公共点的个数来推断直线是否与圆相切外，是否还有其它的判定方法呢？可提示同学，从点和圆的位置关系去考察，特殊要从点到圆心的距离与圆半径的关系去考察，若该直线l到圆心o的距离为d，⊙o半径为r，指导同学观看已经确定的直线和圆的三种位置关系，很简单得到所需的结果：但是反过来，若先给定了直线到圆心的距离与圆的半径的数量关系，推断直线和圆的位置关系时，同学可能有肯定的困难.这时可引导同学点到直线的距离，有助于同学对困难的解决.从而完成符号的左边“ ”.向同学介绍符号“ ”的意义及读法.练习一，已知圆的直径为12cm，假如直线和圆心的距离为（1）5.5cm；（2）6cm；（3）8cm；那么直线和圆有几个公共点？为什么？此题是直接运用性质进行推断.答案：（1）两个公共点，（2）一个公共点，（3）没有公共点.练习二，已知⊙o的半径为4cm，直线l上的点a满意oa=4cm，能否推断直线l和⊙o相切？为什么？此题再一次强调定理中是圆心到直线的距离，这是同学简单消失问题的地方.答案：不能确定.结合详细图形指导同学发觉.当oa不是圆心到直线的距离时，直线l和⊙o相交；当oa是圆心到直线的距离时，直线l是⊙o的切线.例题（p.104）在rt△abc中，∠c=90°，ac=3cm，bc=4cm，以c为圆心，r为半径的圆与ab有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm，（2）r=2.4cm，（3）r=3cm指导同学在对题目进行分析时指出，题中所给的rt△在已知条件下各元素已为定值，以直角顶点c为圆心的圆，随半径的不断变化，将与斜边ab所在的直线产生各种不同的位置关系，关心同学分析好，d是点c到ab所在直线的距离，也就是直角三角形斜边上的高cd，在求直角三角形斜边上的高cd时用到三角形面积公式.这个方法在今后的证明时经常用到.要求同学学会这种思索问题的方法.例题解法参考教材p.104页.三、课堂小结：为了培育同学阅读教材的习惯，请同学看教材p.103-104，从中总结出本课学习的主要内容有：1.从图形公共点看，直线和圆有两个公共点，直线和圆相交，直线是圆的割线；直线和圆有唯一公共点，直线和圆相切，直线是圆的切线；直线和圆没有公共点，直线和圆相离.2.直线和圆的位置关系的数量关系：即直线l和⊙o相交 d ＜r；直线l和⊙o相切 d=r；直线l和⊙o相离 d＞r.3.目前推断一条直线是圆的切线的方法有二：其一是直线和圆有唯一公共点，特殊要强调“唯一”一词的意义；其二是圆心到直线的距离等于圆的半径.四、布置作业教材p.105练习2.教材p.115习题7.3a组2、3.直线和圆的位置关系篇71.学问结构2.重点、难点分析重点：的性质和判定.由于它是本单元的基础（如：“切线的推断和性质定理”是在它的基础上讨论的），也是高中解析几何中讨论的基础.难点：在对性质和判定的讨论中，既要有归纳概括力量，又要有转换思想和力量，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），同学较难理解.3.教法建议本节内容需要一个课时.（1）老师通过电脑演示，组织同学自主观看、分析，并引导同学把“点和圆的位置关系”讨论的方法迁移过来，指导同学归纳、概括；（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”推断“形”为主线，开展在老师组织下，以同学为主体，活动式教学.第 1 2 页直线和圆的位置关系篇8直线与圆的位置关系执教者：刁正久教学目标：1.使同学理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
AB 2 AC 2 62 32 3 3cm
例2：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B， OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
• 分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直 径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出 ∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此 △CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°． • 证明：连结OD． • ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2， • ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． • ∴∠3＝∠4． D • ∵OD＝OB，OC＝OC， 2 • ∴△ODC≌△OBC． 4 3 A1 • ∴∠ODC＝∠OBC． O • ∵BC是⊙O的切线， • ∴∠OBC＝90°． • ∴∠ODC＝90°． • ∴DC是⊙O的切线．
直线和圆的位置 图形 相交 r d •O 相切 •O r d 相离 • r d
O
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称 直线名称
2
d<r
1
d=r
0
d>r
交点
割线
切点
切线
无
无
一、切线的证明
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (d=r) (3)过半径外端并且和半径垂直的直线是圆的切线；
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) 则有 x＋y＝9 y＋z＝14 x＋z＝13 x＝4 解得 y＝5 z＝9
A 、经过圆上的一点； B、 垂直于半径；
切线的性质：
1、经过切点的半径垂直与圆的切线 ２、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
B
O
A
T
例１ 已知 Rt ABC 的斜边AB=6cm,直角AC=3cm,以点C为圆 心，半径分别为２cm和4cm画两个圆，这两个圆与AB有怎 样的位置关系？当半径为多长时，AB与圆C相切？
A 求证： 0和AC也相切 解析：由于 O与AC的公共点没有确定，所以可作OE AC于E，
然后证明OE等于 O的半径OD 证明：连接OA OD，作OE AC于E AB AC , O是BC的中点， AO平分BAC. O切AB于D, OD AB, 又 OE AC , OE OD, O与AC相切.
二、切线长定理
B
小
结：
E
1.切线长定理 从 圆外一点引圆的两 条切线，它们的切 线长相等，圆心和 这一点的连线平分 两条切线的夹角。
O
。
C D
P
A ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
解析：利用d和r的大小关系判断直线与圆的位置 关系时，关键是准确确定d和r，利用面积法求斜边 上的高是一种常用方法． A D
B
解：过点c作CD AB于D，入图，在Rt ABC中，BC 根据三角形的面积公式，有CD AB AC BC , CD 当r 2cm时，CD>r,圆与AB相离； 当r 4cm时，CD〈r,圆与AB相交： 当r CD 3 3 cm时，圆与AB相切； 2 AC BC 3 3 3 3 3 cm AB 6 2
直线和圆的位置关系
北京市第一六六中学 张 韬
直线和圆的位置关系
•o
l
直线和圆有两个公共点时，叫做直线 和圆相交。这时直线叫做圆的割线
•o
M
l
直线和圆有唯一公共点时，叫做直 线和圆相切。这时直线叫做圆的切 线。唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫做直 线和圆相离。
•o
l
直线和圆的位置关系判定方法
分析：⊙D与BC交点的个数，决定于点D到BC的距离，作DE⊥BC于E， 计算DE的长度，即可作出判断。
解：作DE⊥BC于E ∵AD∥BC ∴∠ADC＋∠C＝180° 又∠ADC＝135°，∴∠C＝45° ∴△DEC为等腰直角三角形 2 ∵CD＝8 ∴DE＝8，即点D到BC的距离是8个单位， 因此⊙D与BC只有一个交点。
规律总结:
• 证明一条直线是圆的切线,常常要 添加辅助线,如果直线与圆有一个 公共点,则连接这点和圆心,证明直 线垂直于经过这点的半径.
练一练
1、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B
＝30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？
解：BD是⊙O的切线 。连结OD。 ∵ OA＝OD ， ∠BAD＝30°(已知)
C
B
例3：设c是线段AB的中点，四边形BCDE是以BC 为一边的正方形。作以B为圆心，BD长为半径的 D 圆B,连接AD。求证：AD是 E 圆B的切线。
• 证明：连接BD.
A C
四边形BCDE是正方形， CD=CB. CA=CB, CD=CA=CB. ADB=900 , 即AD BD. AD是 0的切线。
∴∠ODA＝∠A＝30°(等边对等角)
∴∠BOD＝∠A＋∠ODA＝60° 又∵∠B＋∠BOD＋∠BDO ＝ 180° A
●
D
O
C
B
∴∠BDO＝180°－∠B－∠BOD＝90°
∴ 直线BD⊥OD 又∵直线BD 经过⊙O上的D点 ∴直线BD是⊙O的切线
例3：如图，在 ABC中，AB=AC,O是BC的中点，以O为圆心的 0切AB于D。
B
D
E
O
C
规律总结：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 证明一条直线是圆的切线，如果直线与圆 的公共点没有确定，则应过圆心作直线的 垂线段，然后证明这条线段等于这个圆的 半径。 • 这道题综合运用了切线的性质定理和判定 定理。欲证是圆0的切线，根据条件，采用 “做垂线段证半径”法。
练习:如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠ADC ＝135°，DC＝8 2 以D为圆心，以8个单位长为半径作 ⊙D，试判定⊙D与BC有向几个交点？