2015学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一下学期期末数学试卷及参考答案

2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．1．（5分）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），则2sinα+cosα的值是（）A．1 B．C．﹣ D．﹣12．（5分）如果点P（2cosθ，sin2θ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设有一个直线回归方程为=2﹣1.5，则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位4．（5分）如图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．5；1.6 B．85；1.6 C．85；0.4 D．5；0.45．（5分）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=56．（5分）有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为（）A．B．C．D．7．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，若f（1988）=3，则f（2015）的值为（）A．1 B．3 C．5 D．不确定8．（5分）已知，||=3，=，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）A．B．C．7 D．189．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，]D．[﹣，0]10．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位11．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）12．（5分）平面向量的集合A到A的映射，其中为常向量．若映射f满足对任意的恒成立，则的坐标可能是（）A．（，）B．（，﹣） C．（，）D．（，﹣）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．13．（5分）tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．14．（5分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第3组的人数是．15．（5分）某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元，（其他因素不考虑）计算收费标准的框图如图所示，则①处应填．16．（5分）下面有五个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R），在区间[，]上是增函数；④若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为1．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设=（﹣1，1），=（4，3），=（5，﹣2）（Ⅰ）若（+t）∥，求实数t的值；（Ⅱ）求在方向上的正射影的数量．18．（12分）已知向量=（sinθ，﹣2）与（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求sinφ的值．19．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=2•﹣1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[，]时，若f（x）=1，求x的值．20．（12分）袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏．甲先摸出一个球．记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号之和为偶数．则算甲赢，否则算乙赢．（1）求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率：（2）试问：这种游戏规则公平吗．请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（1）求函数f（x）的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；（2）|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足：．（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（2）当的最大值和最小值．2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．1．（5分）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），则2sinα+cosα的值是（）A．1 B．C．﹣ D．﹣1【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），∴r=|OP|==﹣5m，则2sinα+cosα=2×+==﹣，故选：C．2．（5分）如果点P（2cosθ，sin2θ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（2cosθ，sin2θ）位于第三象限，∴2cosθ＜0sin2θ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0∴θ是第二象限的角．故选：B．3．（5分）设有一个直线回归方程为=2﹣1.5，则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位【解答】解：∵直线回归方程为=2﹣1.5，①∴y=2﹣1.5（x+1）②∴②﹣①=﹣1.5即y平均减少1.5个单位，故选：C．4．（5分）如图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．5；1.6 B．85；1.6 C．85；0.4 D．5；0.4【解答】解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的平均数是=85，这组数据的方差是=1.6故选：B．5．（5分）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5【解答】解：因为圆O位于y轴左侧，显然A、C不符，（﹣5，0）到直线x+2y=0的距离为．故选：D．6．（5分）有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为（）A．B．C．D．【解答】解：A、游戏盘的中奖概率为，B、游戏盘的中奖概率为，C、游戏盘的中奖概率为，D、游戏盘的中奖概率为，游戏盘的中奖概率最大．故选A7．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，若f（1988）=3，则f（2015）的值为（）A．1 B．3 C．5 D．不确定【解答】解：∵f（1998）=asin（1998π+α）+bcos（1998π+β）+4=asinα+bcosβ+4=3，∴asinα+bcosβ=﹣1，故f（2015）=asin（2015π+α）+bcos（2015π+β）+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=1+4=5，故选：C．8．（5分）已知，||=3，=，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）A．B．C．7 D．18【解答】解：∵D为BD的中点，∴|=（）=+=3﹣．∵，||=3，=，∴=﹣=．∴．故选：A．9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，]D．[﹣，0]【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．10．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．11．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）【解答】解：由函数的解析式可得A=4或﹣4，若A=4，由==6+2，可得ω=．再根据五点法作图可得﹣2×+φ=π，即φ=，不合题意，舍去．若A=﹣4，由ω=，6×+φ=π，求得φ=，故函数的解析式为y=﹣4sin （x+），故选：C．12．（5分）平面向量的集合A到A的映射，其中为常向量．若映射f满足对任意的恒成立，则的坐标可能是（）A．（，）B．（，﹣） C．（，）D．（，﹣）【解答】解：∵，其中为常向量．∴=[]•[]，整理得，2，∴=2，从四个选项中选择的模平方为2的选项，对于A，向量的模的平方为；对于B，向量的模的平方为2；对于C，对于向量的模的平方；对于D，向量的模的平方为．故选：B．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．13．（5分）tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．【解答】解：原式=tan（25°+35°）（1﹣tan25°tan35°）+tan25°tan35°=tan60°=．故答案为：．14．（5分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第3组的人数是4．【解答】解：根据频率分布直方图，得；前3个小组的频率之比为0.02：0.02：0.08=1：1：4，所以，用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第3组的人数是6×=4．故答案为：4．15．（5分）某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元，（其他因素不考虑）计算收费标准的框图如图所示，则①处应填y=2.6x+2.8．【解答】解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．故答案为y=2.6x+2.8．16．（5分）下面有五个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R），在区间[，]上是增函数；④若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为1．其中真命题的序号是①③．【解答】解：函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，故函数的最小正周期是π，故①为真命题；终边在y轴上的角的集合是{α|α=+kπ，k∈Z}，故②为假命题；当x∈[，]时，x+∈[π，]，此时sin（x+）＜0，故函数f（x）=|sin（x+）|=﹣sin（x+），由y=sin（x+）在[，]为减函数，可得函数f（x）=在[，]为增函数，故③为真命题；若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|，其最大值为，故④为假命题；故真命题的序号是：①③，故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设=（﹣1，1），=（4，3），=（5，﹣2）（Ⅰ）若（+t）∥，求实数t的值；（Ⅱ）求在方向上的正射影的数量．【解答】解：（Ⅰ）故5（1+3t）=﹣2（﹣1+4t）所以…（5分）（Ⅱ）…（10分）18．（12分）已知向量=（sinθ，﹣2）与（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求sinφ的值．【解答】解：（1）（1）∵，∴=s inθ﹣2cosθ=0，即sinθ=2cosθ，又∵sin2θ+cos2θ=1，∴4cos2θ+cos2θ=1，即cos2θ=，∴sin2θ=，又∴sinθ=，cosθ=．…（6分）（2）∵sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，∴cos（θ﹣φ）=，∴sinφ=sin[θ﹣（θ﹣φ）]=sinθcos（θ﹣φ）﹣cosθsin（θ﹣φ）=﹣．…（12分）19．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=2•﹣1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[，]时，若f（x）=1，求x的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．…（4分）所以由2kπ≤2x+≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．…（6分）（2）由f（x）=1得sin（2x+）=，∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴2x+=，∴x=．…（12分）20．（12分）袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏．甲先摸出一个球．记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号之和为偶数．则算甲赢，否则算乙赢．（1）求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率：（2）试问：这种游戏规则公平吗．请说明理由．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5=25（个）等可能的结果，设“两个编号和为6”为事件A，则事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个，根据古典概型概率公式得到P（A）==（2）这种游戏规则是不公平的．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∴甲胜的概率P（B）=乙胜的概率P（C）=1﹣P（B）=∴这种游戏规则是不公平的．21．（12分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（1）求函数f（x）的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；（2）|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f（x）=[1﹣cos（+2x）]﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），∴f（x）max=3，…（4分）此时，∵2x﹣=2k，k∈Z，∴解得x=…（6分）（2）∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max=3，f（x）min=2．∵|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，x∈[，]，∴m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．…（12分）22．（12分）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足：．（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（2）当的最大值和最小值．【解答】解：（1）设动点的坐标为P （x ，y ），则=（x ，y ﹣1），=（x ，y +1），=（1﹣x ，﹣y ） ∵•=k ||2，∴x 2+y 2﹣1=k [（x ﹣1）2+y 2]即（1﹣k ）x 2+（1﹣k ）y 2+2kx ﹣k﹣1=0．若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y 轴的直线． 若k ≠1，则方程化为：，表示以（﹣，0）为圆心，以为半径的圆．（2）当k=2时，方程化为（x ﹣2）2+y 2=1． ∵2+=2（x ，y ﹣1）+（x ，y +1）=（3x ，3y ﹣1）， ∴|2+|=．又x 2+y 2=4x ﹣3，∴|2+|=∵（x ﹣2）2+y 2=1，∴令x=2+cosθ，y=sinθ．则36x ﹣6y ﹣26=36cosθ﹣6sinθ+46=6cos （θ+φ）+46∈[46﹣6，46+6]，∴|2+|max ==3+，|2+|min ==﹣3．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。