放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后

2010高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.

解析:1因为,所以2因为,所以

奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:

解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案

4首先,所以容易经过裂项得到

再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以

例3.求证: 解析:一方面:因为,所以

另一方面: 当时,,当时,,

当时,,所以综上有

例 4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则

,否则若,则由知

,,因为,

于是

例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证

只要证:

故只要证,即等价于

,即等价于

而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知,,求证:.

解析:

所以

从而

例7.已知,,求证:

证明: ,因为

,所以

所以

二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而

因为

所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,

例10.求证:

解析:提示:

函数构造形式:

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数,

首先:,从而,

取有,,

所以有,,…,,,相加后可以得到:

另一方面,从而有

取有,,

所以有,所以综上有

例11.求证:和.

解析:构造函数后即可证明

例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以

例14. 已知证明.

解析: ,

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用和裂项可以得到答案

放缩思路:

。于是,

即

注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:

,

即

例15.2008年厦门市质检已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.

I求证:函数上是增函数; II当; III已知不等式时恒成立,求证:

解析:I,所以函数上是增函数

II因为上是增函数,所以

两式相加后可以得到

3

……

相加后可以得到:

所以令,有

所以

方法二

所以

又,所以

例16.2008年福州市质检已知函数若解析:设函数∴函数)上单调递增,在上单调递减∴的最小值为,即总有

而即

令则

三、分式放缩

姐妹不等式:和

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.

例19. 姐妹不等式:和

也可以表示成为

和

解析: 利用假分数的一个性质可得即例20.证明:

解析: 运用两次次分式放缩:

加1

加2

相乘,可以得到:

所以有

四、分类放缩例21.求证:

解析:

例22.2004年全国高中数学联赛加试改编在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足,直线在x 轴上的截距为.点的横坐标为,.

1证明4,; 2证明有,使得对都有解析:1 依题设有:,由得: ,又直线在轴上的截距为满足

显然,对于,有 2证明:设,则

设,则当时,

。

所以,取,对都有:

故有成立。例23.2007年泉州市高三质检已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论。解析:首先求出,∵

∴,∵,,…

,故当时,,

因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,

则当时,必有.

故不存在常数A使对所有的正整数恒成立例24.2008年中学教学参考设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,

当时,求证: 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为 ,所以原命题得证.

五、迭代放缩例25. 已知,求证:当时,解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论

例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|

解析:

又所以六、借助数列递推关系例27.求证:

解析: 设则

,从而

,相加后就可以得到

所以例28. 求证:

解析: 设则

,从而

,相加后就可以得到

例29. 若,求证:

解析:

所以就有七、分类讨论例30.已知数列的前项和满足证明:对任意的整数

,有解析:容易得到,

由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:

当且为奇数时

(减项放缩),于是

①当且为偶数时

②当且为奇数时(添项放缩)由①知由①②得证。八、线性规划型放缩例31. 设函数.若对一切,,求的最大值。

解析:由知即由此再由的单调性可以知道的最小值为,最大值为

因此对一切,的充要条件是, 即,满足约束条件,