典型例题：用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一. “添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143

＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34

（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43

。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证：

a a

b b b b

c c c ac a a b c 22222232

++++++++++＞（） 证明：因为a ab b a b b a b a b a b 22222

234222++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222

+++＞，c ac a c a 222+++＞。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232

++++++++++＞（） 二. 分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b

+++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c

+++＞，所以

a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c

+++＜2， 故a b c b a c c a b

a a

b

c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b

+++。 三. 裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n∈N*，求n 2n 131211＜…++++

。 证明：因为，则11

213+

++ …＜（）（）…（）＜++-+-++--=-1

122123221212n n n n n ，证毕。

例5. 已知*

N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2

)1n (n n 21a n +=

+++> ， 又2)1()1(+<+n n n n ， 所以2

)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2

n +=++++=++++++< ，综合知结论成立。 四. 公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6. 已知函数1

212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f 。 证明：由题意知

)12)(1()12(212211)111()1

221(112121)(+++-=+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f ，又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n ，又因为

1n 21n 2)1n (n n 1C C C C C )11(2n n 1n n 2n 1n 0n n n +>+++-++=+++++=+=- 所以1)(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 证明：f a f b a b a b a b a b a b a b （）（）-=+

-+=-+++=+-+++11111122222222 b a b a b a )b a (b a b

a b a -=+-+<+-+<证毕。

五. 换元放缩

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。 例8. 已知c b a >>，求证0a

c 1c b 1b a 1>-+-+-。 证明：因为c b a >>，所以可设t c a +=，)0u t (u c b >>+=，所以0u t >-则

0tu u t t 1u 1t 1u 1u t 1a c 1c b 1b a 1>-=->-+-=-+-+-，即0a

c 1c b 1b a 1>-+-+-。 例9. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边，且有222c b a =+，当*N n ∈且3n ≥时，求证：n n n c b a <+。 证明：由于a b c 222+=，可设a=csina ，b=ccosa （a 为锐角），因为01<

所以a b c a a c a a c n n n n n n n +=+<+=(sin cos )(sin cos )22。

六. 单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10. 已知a ，b∈R，求证b 1b

a 1a

b a 1b

a +++≤+++。 证明：构造函数)0x (x 1x )x (f ≥+=

，首先判断其单调性，设21x x 0<≤，因为0)

x 1)(x 1(x x x 1x x 1x )x (f )x (f 2121221121<++-=+-+=-，所以()()21x f x f <，所以)x (f 在],0[+∞上是增函数，取