数学建模实验1,2章

1.1 解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容积的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即估计出人体的血液总量。

注意采集和测量的时间要选择适当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收。

（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计出其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率。

（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值。

为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。

还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。

（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速度已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点的时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度成正比，并由试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1S ，设通过十字路口的距离为2S ，汽车行驶的速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1S 之内的车能通过路口，即12()/t S S v ≈+。

1S 可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响。

（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金觉得应该维修或更新（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层。

1.2（1）分析商品的价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。

(2)给出单位重量价格C 与W 的关系。

画出它的简图，说明W 越大C 越小，但是随着W 的增加C 减小的程度变小。

解释实际意义是什么。

解：（1）生产成本主要与重量ω成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其他成本也包含于ω和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与ω，s 均无关的成分。

又因为形状一定时时一般有32ω∝s ，故商品的价格可表示为γβωαω++=32C （的常数）为大于0,,γβα。

（2）单位重量价格131--++=γωβωαc ，实际意义是：不要追求太大包装的商品。

图形如下： c0 w 1.3 解：(1)分段指数增长模型。

可以利用数值微分近似计算出人口的增长率。

可以大致分为3段：1790到1880年的平均年增长率为2.83%；1890到1960年的平均年增长率为1.53%；1970到2000年的平均年增长率为1.12%.3段模型为（1790年为t=0,1800年为t=1…）0.28310.153(10)210.112(18)32() 3.9,0,1,,10()(10),11,,18()(18),19,,21t t t x t e t x t x e t x t x e t --====== （2）阻滞增长模型。

可以适当实际增长率中的值做为固有增长率r ，取某些专家的估计400百万为最大容量m x ，以1790年的实际人口为0x 。

由公式0()1(1)mrtm x x t e x -=+-可以进行计算。

1.4 解：由于0t t =时，/2m x x =，可以有0()()1m r t t x x t e--=+，且0001ln m x x t r x -= 1.5 解：由题意知 ))(()()(t x x r t t x t t x m -=∆-∆+，其中r 为比例系数，令0)0(x x = 令0→∆t ，则有 ))(()(t x x r dt t dx m -= ，解得 rt m m e x x x t x ---=)()(0，如下图粗线所示：由上图知，当t 充分大时，它与Logistic 模型相近。

1.6 解：模型我们假定池中只有一种鱼。

对于这一种鱼其体型和形状是相似的，密度也大体上是相同的。

一、模型建立主要符号说明如下:W——鱼的重量、l——鱼的身长、d----鱼的胸围即鱼的最大周长、K1---第一种数学估计模型中的系数K2---第二种数学估计模型中的系数１，建立的第一种数据估计模型为：重量ｗ与身长ｌ的立方成正比，即W＝K13l2，建立的第二种数据估计模型为：d l横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即W=K22（一）第一种数据估计模型对于同一种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即W＝K13l,K1为比例系数。

把实际测得的数据代入W＝K13l计算比例系数K1。

计算出实际测得的身长的平均值为: 36.8计算出实际测得的重量的平均值为：765.375把W=765.375,l=36.8代入W＝K13l计算得：K1≈0.0153（二）第二种数据估计模型常调得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果d l，只假设鱼的模截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是W=K22K2为比例系数。

d l计算比例系数K2。

把实际测得的数据代入W=K22计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875d l计算得：K2≈0.0344把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代入W=K22（三）第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的比较比较第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的差别，并计算误差。

计算结果如表1所示：表1计算出第一种数据估计模型与实际情况的误差为3.47% 计算出第二种数据估计模型与实际情况的误差为2.50%由上述计算结果知，第二种数据估计模型与实际情况的误差小于第一种数据估计模型与实际情况的误差。

所以，应选用W=K22d l 来建立数学模型。

1.7图1 图2 模型假设:1、降雨的速度和降水的强度保持不变； 2、人在雨中行走的速度是定量； 3、风速保持恒定； 4、人体视为一个长方体；5、假设产生的影响各个因素相互独立；问题一：不考虑降雨的角度影响：模型一：当不考虑降雨角度时，假设淋雨的部位时全身所有部位，因此淋雨的面积为)(2ac ab bc S ++=。

淋雨时间为：v D t /=，淋雨量为：[]v wac ab bc D v DSw twS C )(2++===求解:s m v h cm w m mc b m a m D /5,/2.0,2.05.0,5.1,1000======将上述数据代入模型一进行求解，有[][]Lvwac ab bc D v DSw twS C 444.23600001000*52.0*)2.0*5.15.0*5.1(22.0*5.0*1000)(2=++=++===问题二：考虑降雨的角度影响（迎面）： 模型二：20πθ≤<，淋雨的部位为顶部和前方。

头顶部淋雨量为：)sin ()/(1θpu bc v D C =，前方的淋雨量为：))sin (()/(2v u p ab v D C +=θ，总的淋雨量为：[])sin (sin 21v u a cu v DbpC C C ++=+=θθ，从表达式可以看出，雨中行走的速度越快，淋雨量越小。

求解：雨中行走的速度越快，淋雨量越小。

所以取sm v m /5=时淋雨量最少。

当︒=0θ时:[]L v u a cu v DbpC C C 069.0)sin (sin 21=++=+=θθ 当︒=30θ时:[]L v u a cu v DbpC C C 606.0)sin (sin 21=++=+=θθ。

问题三：考虑降雨的角度影响（背面）： 模型三：πθπ<<2/，雨滴将从身后落下（设απθ+=2/）（1）:αsin u v ≤ 行走的速度慢于雨滴的水平运动速度。

淋在后背上的雨水量为vv u pabD C /)sin (3-=α，淋雨总量为：[]vv u a uc pbD C /)sin (cos -+=αα。

由于v 的限制，最大的行走速度为αsin u v m =，雨水量mv uc pbD C /)cos (α=求解：由模型三可知当速度越快时，淋雨量越少。

所以取sm v m /5=时淋雨量最少。

当︒=30α：(1) αsin u v ≤:;096.0/)cos (L v uc pbD C m ==α(2) αsin u v >时ααsin cos a c -小于零，是关于v 的增函数，所以速度应当最小，即速度为s m v /2=，此时[]L v u v a uc pbD C 024.0/)sin (cos =-+=αα问题四、问题五的求解：人行走的路线为直线,行走距离为d, 跑步最大速度sm u v 5m ax ==选择适当的直角坐标系,使人行走速度为：)0,0,(u v =，则行走的时间为 u l 。

2. 雨的速度不变,记为：()z y x v v v w ,,=相对速度：()z y x v v u v u w v ,,-=-=3. 人体为长方体,其前、侧、顶的面积之比为 c b a :: 单位时间内的淋雨量正比于cv b v a u v z y x ++-，从而总淋雨量正比于()()Tc v b v a u v u R z y x ++-= (行走的时间为u l )()ul k a u vx+-=()0>+=c v b vk z y已知 av L x ,,求u 为何值是()u R 最小？1.>x v()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-<-+=xx x x v u L u v a L v u L u v a L u R ;a v x >av x <;a v x >的情形（有最小值） av x <的情形（无最小值）当 av x >时，()xx v La v u ==m in R u R 取最小值才使。

当av x <时，u 尽可能大时，()u R 才会尽可能小。

<x v()()()L v a L a v u u l u R xx ++=++=其图像为下图易知无最小值. 同样有对a v x ==x v 0及情形的讨论。

结论：仅当0>>a v x 时，取xv u =可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下，应使u 尽可能的大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。

1.8 解：（1）令y x xt +=，则1)1()(=-+t f t f 。

画出)(t f 的示意图。

（2）写出甲公司利润的表达式)(x p 。

对于一定的y ，使)(x p 最大的x 的最优值应满足什么关系。

用图解法确定这个最优值。