第二章流体静力学
第二章流体静力学
1、当 4r0
象限内。在保持
v时 ，驻点A、B左右对称，并落在第一、二
不v变 的情况下，随环量的增加，A、B驻点
向上偏移并逐渐靠近。
2、当 4 r0v 时，两个驻点合为一点，位于圆柱面的最
上端。
3、当 4 r0v 时，圆柱面上已不存在驻点。这表明驻点
v0r 0 cos
90
d 0
式中 为圆的半径r与水
平方向的夹角。
同样可以证明，均匀流中
沿任何其他封闭曲线的速
度环量也等于零。
25
二、汤姆逊（Thomson）定理 流体线：在运动流体中，始终由同样的流体质点所组成 的线叫做流体线。流体线随着流体质点的运动，可在流 动空间位移，变化其大小和形状，但始终由原来的那些 流体质点所组成。
一般情况下，涡线与流线不重 合，而与流线相交。与流线方程类 似，可以得到涡线的微分方程为：
x
dx
x, y
,
z
,
t
y
dy
x, y
,
z
,
t
z
dz
x, y
,
z
,
t
式中，t为参变量。
涡线具有瞬时的特性，不同瞬时，
它有不同的形状，在定常流动中，它的 形状保持不变。
15
2 、涡管、涡束 给定瞬时，在涡量场中任取一封闭曲线（不是涡线），
在速度环量总和的计算中，内周线各微元线段的切向速度线 积分均要计算两次，而两次所取的方向相反，所以这些线段 上的切向速度线积分互相抵消，剩下的只有沿外封闭周线K 各微元线段的切向速度线积分的总和，它正好是沿外封闭周 线的速度环量，故各微元矩形的涡通量的总和就是通过封闭 周线K所包围的单连通区域的涡通量。
第二章流体静力学
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
流体力学
l h
1
sin
作业：P.63～65 23 26 2 10 2 13
流体力学
小结1
作等压面 被测点 相界面 等高的两点必须在连 通的同一种液体中 沿液柱向上，压强减小 沿液柱向下，压强增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
x
y
z
j
p y
x
y
z
k
p z
x
y
z
i
p x
j
p y
k
p z
x
y
z
p
x
y
z
流体力学
压强梯度
2.2 静止流体平衡微分方程
静止流体受力平衡
f xyz pxyz 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部
大小与作用面方位无关，只是作 用点位置的函数
绝对压强、计示压强小结2
液柱式测压计
各种测压计的优缺点 指示液的选取 几个概念 相对静止、等压面
第二章 流体静力学
表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
流体力学第二章流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
第二章.流体静力学
p0
14
水静力学基本方程：
p p0 gh
结论：重力作用下的均质流体有 1）静水压强随深度按线性规律增加。
A
1 2
A h
h
2）静水压强等于表面压强加上流体的g与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的 同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。(例A—A) 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的 压强值。
三、面积力
1、面积力（Surface Force）：又称表面力，是相邻流体或其它物体 在隔离体表面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面 积成正比。 表面力按作用方向可分为：
5
压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2、应力：单位面积上的表面力，单位： N/m2 或 Pa
压应力 切应力
p lim P A0 A
c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态。 真空值pv
P
1
pν pa pabs
真空高度
( pabs pa )
0'
p1
p2
pabs1
0' 相对压强基准
2
hv
pv g
pa pabs g
pa
0
pabs2
绝对压强基准 0
注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
pn py F
A
B
px O pz
D
C
x
类似地有：
y
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
px p y pz pn
故与作用面的方位无关。
由∑X=0
第二章-流体静力学
第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。
计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。
（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。
（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。
求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。
压⼒体内不⼀定有液体。
正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。
（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
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一、 学习导引1、流体静止的一般方程 （1） 流体静止微分方程x p f x ∂∂=ρ1，y p f y ∂∂=ρ1，zpf z ∂∂=ρ1 （2） 压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3） 等压面微分方程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重力场中，液体的位置水头与压强水头之和等于常数，即C pz =+γ如果液面的压强为0p ，则液面下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、 固体壁面受到的静止液体的总压力物体受到的大气压的合力为0。
计算静止液体对物面的总压力时，只需考虑大气压强的作用。
（1） 平面壁总压力：A h P c γ= 压力中心Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液面起算；下标D 表示合力作用点；C 表示形心。
（2） 曲面壁 总压力：222z y x F F F F ++=分力 ：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递 流体静力学基本方程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适用于同一液体，如果连通器里面由若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平面壁的压力中心压力中心的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，面积惯性矩c J 可查表，计算一般较为复杂。
求压力中心的目的是求合力矩，如果用积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲面的压力体压力体是这样一部分空间体积：即以受压曲面为底，过受压曲面的周界，向相对压强为零的面或其延伸面引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的面或其延伸面上的投影面为顶所围成的空间体积。
压力体内不一定有液体。
正确绘制压力体，可以很方便地算出铅垂方向的总压力。
（4）旋转容器内液体的相对静止液体随容器作等角速度旋转时，压强分布及自由面的方程式为c z g r p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
解题时，常常用到高等数学的这样一个定理：抛物线所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。
证明如下：设抛物线放称为2ar z =，当R r =时，H z =，即2aR H =。
H R a H dz a z dz r V HH22022121ππππ====⎰⎰ 二、习题详解2.1封闭容器内水面的绝对压强7.1070=p kN/m 2，当地大气压07.98=a p kN/m 2。
试求（1）水深8.01=h m 时，A 点的绝对压强。
（2）若A 点距基准面的高度5=Z m ，求A 点测压管高度及测压管水头，并图示容器内液体各点的测压管水头线。
（3）压力表M 和酒精(94.7=γkN/m 2)测压计h 的读数为何值？解：kPa p 55.115908078.07.107=⨯+=' kPa p m 63.907.987.107=-= m h 21.1709463.9==2.2 一潜水员在水下15m 处工作，问潜水员在该处所受的压强是多少?解：潜水员所受为相对压强：kPa p 1.147807.915=⨯= 2.3 标出图中A 点的位置水头、压强水头和测压管水头。
习题2.3图2.1题图2.4一封闭容器盛有2γ（水银）>1γ（水）的两种不同液体，试问同一水平线上的1、2、3、4、5各点的压强哪点最大？哪点最小？哪些点相等？解：各点压强大小关系为43215p p p p p =<=<习题2.4图2.5 试求水的自由液面下5m 处的绝对压强和相对压强。
分别用压强的三个度量单位Pa 、mmHg 及at 表示。
解：at mmHg kPa p 5.036749807.95===⨯=at mmHg kPa p 53.1112736.150325.10149===+='2.6 若一气压表在海平面时的读数为760mmHg ，在一山顶时测得的读数为730mmHg ，设空气的密度为3.1kg/m 3，试计算山顶高度。
解：m H 8.313807.93.14.133)730760(=⨯⨯-=2.7量测容器中A 点压强的真空计如图所示，已知z=1m ，h=2m ，当地大气压值为98kPa ，求A 点的绝对压强，相对压强和真空度。
解：kPa Z h p A 807.9)21(807.9-=-⨯=+-=γγkPa p A 19.88807.998=-='O mH Pa p P A v 219807==-=习题2.7图2.8计算图中各液面的相对压强。
已知：91.01=h m ，61.02=h m ，305.043==h h m ，9789=水γN/m 3，900=油ρkg/m 3。
解：kPa h h P A 97.5)305.0305.0(789.9)43-=+⨯-=+-=（水γ kPa h p p B C 97.561.0789.92=⨯===γkPah h h g p p c D 07.22)305.061.091.0(108.990097.5)(3321=++⨯⨯⨯+=+++=-油ρ2.9已知水箱真空表M 的读数为98.0kN/m 2，水箱与油箱的液2.8题图面差5.1=H m ，水银柱差2.02=h m ，85.7=油γkN/m 3，求1h 为多少米？ 解：1221)(2h h p h h H p H g a O H 油γγγ++=+++'98.0-='⇒'-=a a v p p p p p1221)(98.02h h h h H H g O H 油γγγ+=+++-m h H h hHg 6.585.7807.9)2.05.1(807.998.02.04.133)98.0221=-+⨯-+⨯=-+-+=油水水（γγγγ2.10如图所示，密闭容器上层为空气，中层为密度为8340=ρkg/m 3的原油，下层为密度1250=G ρkg/m 3的甘油，测压管中的甘油表面高程为9.14m ，求压力表G 的读数。
解：以石油和甘油的分界面为等压面，则)66.314.9()66.362.7(21-=-+γγG p kPa p G 8.34=2.11图为倾斜水管上测定压差的装置，测得200=Z mm ，120=h mm ，当（1）02.91=γkN/m 3为油时；（2）1γ为空气时，分别求A 、B 两点的压差。
解：（1）02.91=γkN/m 3为油时Z h p h p O H B O H A 221γγγ--=-kPah z h p AB 867.12.081.912.0)02.981.9()(1-=⨯-⨯-=--==∆γγ（2）1γ为空气时，kPa z h p p B A 784.0)2.012.0(807.9)(-=-⨯=-=-γ2.12 如图所示，某容器中充满比重0.91的油液，其压强由水银测压计的读数h 来确定，水银比重为13.57。
如果压强不变，而使测压计下移到a 的位置，试问测压计读数的变化是多少？2.10题图2.11题图习题2.12图 习题2.13图解：γγγ)2()(h a h h h Hg Hg ∆++=∆+ a a h Hg0694.021=⨯-=∆γγγ2.13 如图所示，两容器A 、B ，容器A 装的是水，容器B 装的是酒精，其容重为8kN/m 3，用U 形水银压差计测量A 、B 中心点压差，已知3.01==h h m ，25.02=h m ，求其压差。
解：221)(2h h p h h h p H g B O H A γγγ++=+++酒kPa h h h h p H g AB 4.27)25.03.03.0(807.925.4.1333.08)(212=++⨯-⨯+⨯=++-+=∆水酒γγγ 2.14 图示U 形管压差计，水银面高差h=15cm ，求充满水的A ，B 两圆筒内的压强差。
解：h p h p H g B O H A γγ+=+2kPa h p o H H g AB 5.1815.0807.9)16.13()(2=⨯⨯-=-=∆γγ2.15如图所示，试按复式水银测压计的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强。
已知：3=H m ，4.11=h m ，5.22=h m ，2.13=h m ，3.24=h m 。
解：a H g O H O H O H p h h h h h h h H p =---+---+')()()()(3432121222γγγγ kPa p 325.3661.14.1333.181.91.14.1336.181.9325.101=⨯+⨯-⨯+⨯-=' 2.16一直立煤气管，在底部测压管中测得水柱差1001=h mm ，在20=H m 高处的测压管测得水柱差2h =115mm ，管外空气容重64.12=气γN/m 3，求管中静止煤气的容重。
2.15题图2.14题图习题2.16图 习题2.17图解：12)(h H p H h p a a γγγγ++=++空气煤气 32129.564.1220)115.01.0(9807)(m N Hh h =+-⨯=+-=空气煤气γγγ2.17 在直径D=0.4m 的圆桶中盛有油和水，如图所示，用玻璃管A 和B 确定油水分界面和油的上表面，求1) a=0.2m ，b=1.2m,c=1.4m 时油的重度。
2) a=0.5m,b=1.6m,油的重度为8240N/m 3时,桶内水和油的体积。
解：1）)()(21a b a c O H -=-γγ31/17.8)()(2m kN a c a b OH =--=γγ2）)()(21a b a c O H -=-γγ m c 81.15.0)5.06.1(24.8807.9=+-⨯=32116.0)(4m a c D V =-⨯=π3220628.04m a D V =⨯=π2.18 潜艇内的汞气压计读数8001=h mm ，多管汞差计读数5002=h mm ，海平面上汞气压计读数为760mm ，海水密度为1025kg/m 3，试求潜艇在海面下的深度H 。
解：1222)(h h h h H p H g H g H g a γγγγ=--++mp h h h h H a Hg 3.13102576.06.135.01025)25.08.0(106.13)(32221=⨯-⨯-⨯+⨯⨯=--++=γγγ2.19为了精确测定容重为γ的液体中A ，B 两点的压差，特设计图示微压机。
测定时的各液面差如图示。
试求γ与'γ的关系及同一高程上A 、B 两点的压差。
解：1）0)]([=∆+-+∆+'-h a b h b γγγγγ⎪⎭⎫ ⎝⎛-='b a 12）B A p H H p ='+-γγ H baH p p p B A γγγ='-=-=∆)( 2.20密封方形柱体容器中盛水，底部侧面开6.05.0⨯m 的矩形孔，水面绝对压强0p 7.117=kN/m 2，当地大气压07.98=a p kN/m 2，求作用于闸门的水静压力及作用点。