湘教版解读-8105实数

基础训练1．下列说法：①一个数的算术平方根一定是正数；②25的平方根是±5，记作25＝±5；③(3.14－π)2的算术平方根是3.14－π；④2a 的算术平方根是a ，其中不正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 1．【考点分析】考查算术平方根和平方根的基本概念【名师点评】①0的算术平方根0，0不是正数；②25表示25的算术平方根，25的平方根表示为±25；③(3.14－π)2的算术平方根是3.14π-= 3.14π-；④2a 的算术平方根是a ；一个非负数的算术平方根只有一个，而且是非负数；而一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.【正确答案】D ．2．在下列实数中，无理数是( ).A ．0.1010010001B ．πC ．16D ．227 【考点分析】考查无理数的识别.【名师点评】无理数是无限不循环小数，不可以写成两个整数比的形式. 0.1010010001是有限小数；16＝4是整数；227是分数，都是有理数；π是无限不循环小数.我们在初中阶段常见的无理数有：①化简后含π的代数式；②无限不循环小数，如：0.1010010001…；③开方开不尽的数，如2等；④以后还要学习的三角函数，有些三角函数值也是无理数，如sin31°.【正确答案】B ．3．下列说法正确的是( ).A ．无限小数是无理数B ．不循环小数是无理数C ．无理数的相反数是无理数D ．两个无理数的差是无理数【考点分析】考查无理数的基本概念.【名师点评】无限小数有两种情形，即无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数才是无理数，所以无限小数不一定都是无理数.不循环小数也有可能是有限小数，有限小数属于有理数.若两个无理数相等，则这两数之差为0，0是一个有理数.判断一个数是不是无理数，应该抓住这个数是不是无限不循环小数这个根本特征.【正确答案】C ．4．已知210a b ++-=，那么2007()a b +的值为( ).A ．－1B ．1C ．20073D ．20073-【考点分析】重点考查算术平方根的非负性和绝对值的非负性.【名师点评】 由于2a +和1b -都是非负数，两个非负数的和为0，则这两个非负数都等于0，得2a +＝0，1b -＝0.【正确答案】A ． 由题意可知：2a +＝0，1b -＝0，即a ＋2＝0，b －1＝0解得：a ＝－2，b ＝1∴2007()a b +＝(－2＋1)2007＝－15．如图，数轴上点P 表示的数可能是( ). P－3 －2 －1 O 1 2 3A ．7B ．7-C ．－3.2D ．10-【考点分析】考查估计无理数的大小【名师点评】由数轴可知，点P 表示的数大于－3小于－2，从而可以排除A 、C 两个选项，对7-、10-进行估值，可以确定选项.【正确答案】B ．6．与数轴上的点一一对应关系的数是( )A ．有理数B ．无理数C ．实数D ．无限小数【考点分析】考查实数与数轴上的点一一对应的关系．【名师点评】有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，也可以表示无理数，因此与数轴上的点一一对应的是实数.【正确答案】C7．如果330a b +=，则下列等式成立的是( )A ．0a b ==B ．a b =C ．0a b +=D ．0ab =【考点分析】重点考查立方根的性质．【名师点评】 由于3a 和3b 的正负性与a 、b 的正负性相同，由330a b +=，得3a 和3b 互为相反数，所以a 、b 互为相反数.一个数和它的立方根的符号一致，当两个数互为相反数时，这两个数的立方根也互为相反数.【正确答案】C8．22_____分数；3.14_____有理数．(填“是”或“不是”) 【考点分析】考查实数的分类3 【名师点评】不能把22误认为是分数，2是一个无限不循环小数，而一个无限不循环小数除以2后仍是无限不循环小数，故22不是分数；3.14是π的近似值，不要误认为就是π.【正确答案】不是，是9．直接写出下列各式的值 (1)16＝________； (2)0.04＝________；(3)2(12)-＝______； (4)361164+＝_______； (5)－718-＝_____； (6)3642540-⨯＝_______； 【考点分析】考查算术平方根、立方根的简单计算【名师点评】求一个数的算术平方根、立方根时，当被开方数是一个算式，不是一个具体值的时候，我们要先化简，再去开方；当被开方数是一个分数时，注意开方后被开方数的分母不能跑到分子上去.【正确答案】(1)4；(2)0.2；(3)12；(4)54；(5)12；(6)－25 10．求下列各式中的x(1)21273x = (2)2221517x += (3)3142x = (4)38130x += 【考点分析】考查利用平方根、立方根的定义解方程.【名师点评】先把2x 、3x 看作一个整体，求出2x 、3x 的值，然后再运用平方根或立方根的定义进行求解.【正确答案】(1)x ＝±9；(2)x ＝±8；(3)x ＝2；(4)x ＝－13.能力提升1．0的算术平方根为______，16的平方根为________，9116的平方根是______. 【考点分析】考查求一个非负数的算术平方根、平方根．【名师点评】(1)0的算术平方根和平方根都是0；(2)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；因为16＝4，所以要求的是4的平方根，不要误认为是求16的算术平方根；(3)先将9116化成2516，再求2516的平方根. 【正确答案】0，±2，±54． 2．若无理数a 满足不等式14a <<，请写出两个符合条件的无理数_____、_____．【考点分析】考查无理数的估值.【名师点评】由于a 满足不等式14a <<，即116a <<，故a 有无数个，如 1.1、2、2.1、3、…． 【正确答案】答案不唯一，如2、3等．3．若一个正数的两个平方根分别为2a ＋4和a ＋5，则这个正数为________.【考点分析】考查一个正数的两个平方根互为相反数.【名师点评】由于一个正数的两个平方根互为相反数，因此2a ＋4与a ＋5的和为0，列出一个关于a 的一元一次方程.【正确答案】由题意:( 2a ＋4)＋(a ＋5)＝0解得：a ＝－3∴2a ＋4＝－2， (－2)2＝4∴这个正数为4.4．比较大小：65_____3511；132-_____121-．(填“>”、“<”或“=”) 【考点分析】考查比较两个无理数的大小.【名师点评】 (1) 65＞64，即65＞8，又因为3511＜3512，即3511＜8， ∴65＞3511；(2) 因为132-、121-它们的分子都是1，可以比较分母32-与21-的大小，分子相同，分母大的反而小；32-≈1.732－1.414＝0.318，21-≈1.414－1＝0.414,因为0.318＜0.414, 即32-＜21-， ∴132-＞121-.比较两个无理数的大小的方法有多种，如：倒数法，估值法，分母有理化，分子有理化，作差法…，具体选用哪种方法比较两个无理数的大小，视具体题目而定. 【正确答案】65＞3511；132-＞121-． 5．3m -化简的结果为( )．A ．m m -B ．m m -C ．m m --D ．m m【考点分析】考查算术平方根的性质．【名师点评】化简时，先判断字母的取值范围非常重要，这将直接关系到化简的结果；根据算术平方根的概念可知，被开方数3m -≥0，即m ≤0. ∴3m -＝2m m -⋅＝m m -，∵m ≤0，∴原式＝m m --．【正确答案】C ．6．下列各数中，一定是无理数的是( )．A ．带根号的数B ．无限小数C ．不循环小数D ．无限不循环小数【考点分析】考查无理数的概念．【名师点评】判断一个数是否是无理数，主要是看化简后的结果是否是无限不循环小数，A 项：如4尽管带根号，但它是有理数；B 项：0.15⋅⋅尽管是无限小数，但它是无限循环小数，可以写成分数的形式；C 项：不循环小数可能是有限小数；D 项：正确，解选择题的时候，我们可以使用排除法，要说明一个选项错误，我们只需举出一个反例即可.【正确答案】D ．7．若3－x 有立方根，则x 的取值范围是( )A ．x ≤3B ．x ≥3C ．x ＝3D ．x 为任意实数【考点分析】考查立方根的性质．【名师点评】根据任意实数总有立方根，所以x 可取一切实数，不能误认为非负数才有立方根.【正确答案】D ．8．若2(1)a --是一个实数，则满足这个条件的a 有( )．A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个【考点分析】考查非负数才存在算术平方根．【名师点评】 要使得“2(1)a --是一个实数”这个结论成立，则须2(1)a --为非负数，即2(1)a --≥0，由于2(1)a --≤0，所以要使得这个式子有意义，则2(1)a --＝0.即a ＝1.在求算术平方根时，需要注意被开方数必须为非负数这一隐含条件.【正确答案】B ．9．估计88的大小应( )．A ．在9.1～9.2之间B ．在9.2～9.3之间C ．在9.3～9.4之间D ．在9.4～9.5之间【考点分析】考查估计一个无理数的大小．【名师点评】选项中涉及9.1、9.2、9.3、9.4、9.5五个数，我们先计算中间的数字9.3的平方，发现9.32＜88，然后我们接着计算比9.3大的数9.4的平方，发现9.42＞88，从而得出88的大小应在9.3～9.4之间．【正确答案】C．10．已知平面直角坐标系中，点A的坐标是(23)，，先将点A向右平移3个-单位长度，再向上平移33个单位长度后得到点B，则点B的坐标是( )．A．(3233)+，，B．(2323)C．(2343)，--， D．(333)【考点分析】考查的是在平面直角坐标系中，有序实数对的平移性质.【名师点评】向右平移3个单位长度，我们将横坐标加3；向上平移33个单位长度，我们将纵坐标加33.在实数范围内，平面直角坐标系内坐标平移的规律与有理数范围内坐标平移的规律相同.【正确答案】B11．已知12m是整数，则满足条件的最小正整数m为( )．A．1 B．2 C．3 D．4【考点分析】考查平方根的性质【名师点评】要使12m是整数，则12m必须是一个完全平方数，因为12m＝4×3m，要使4×3m成为一个完全平方数，则3m必须是完全平方数，从而可求出满足条件最小正整数m的值.【正确答案】C．12．在一个边长为a cm(a＞10)的正方形纸片的四角各剪去一个边长为5cm的小正方形，做成一个体积为900cm2的无盖盒子，求原正方形纸片的边长a约是多少？(精确到0.1cm)．【考点分析】考查平方根的应用．【名师点评】在一个边长为a cm(a＞10)的正方形纸片的四角各剪去一个边长为5cm的小正方形后所得盒子的高为5，盒子的底面是一个正方形，这个正方形的边长为(a －10)cm.在利用平方根解决实际问题的时候，所得结果必须符合题意.【正确答案】由题意：2a-=，5(10)900解得：a＝10±65(负数舍去)，10＋65≈23.4．答：原正方形纸片的边长a约是23.4cm．拓展延伸1．已知110是 1.1的( )．A ．10倍B ．100倍C ．1000倍D ．10000倍【考点分析】考查平方根性质的应用．【名师点评】110＝ 1.1100⨯＝100 1.1⨯＝10 1.1，一个非负数的小数点每向左(或右)移动两位，那么它的算术平方根相应向左(或右)移动1位.【正确答案】A ．2．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和2，点A 关于点 B 的对称点是点C ，则点C 所表示的数是( )．A ．21-B ．12+C ．222-D ．221-【考点分析】考查在实数范围内，数轴的相关性质仍然成立．【名师点评】 由于点A 、点C 关于点B 对称，因此点B 为线段AC 的中点，则AB ＝BC ，由于AB ＝2－1，C 点坐标为2＋(2－1)＝221-.求数轴上两点之间的距离，我们可以用较大的数减去较小的数；也可用两数相减，取其绝对值.【正确答案】D3．若有理数a 、b 适合223()2a b a b ++=+-,则a ＝________,b ＝________.【考点分析】考查无理数的性质．【名师点评】 因为223()2a b a b ++=+-，所以它们对应的两部分分别相等.即23a b +=，1a b -=，从而求出a ＝53，b ＝23. 【正确答案】a ＝53，b ＝23． 4．已知223a a ab b ---+=+，求a ＋b 的平方根.【考点分析】考查二次根式中被开方数的非负性．【名师点评】 由223a a ab b ---+=+，根据非负数才有平方根这一性质，则a －2≥0，2－a ≥0, 解得：a ＝2，然后代入223a a ab b ---+=+中，再求出b 的值.在解这类问题的时候，要注意隐含条件的应用.【正确答案】由题意：∵a －2≥0，2－a ≥0，∴a ＝2．把a ＝2代入223a a ab b ---+=+中，可得23b b =+，解得b ＝3. ∴a ＋b ＝5，5的平方根为5±．5．已知a 是5的整数部分，b 是5的小数部分，求2(5)a b -的值.1 2 0 A B C【考点分析】考查无理数的结构．【名师点评】由于2＜5＜3，因此a ＝2，b ＝5－2，然后代入代数式求值.无理数是无限不循环小数，它应该由整数部分和小数部分两部分组成，一个无理数减去它的整数部分，剩下的就是小数部分.【正确答案】a ＝2，b ＝5－2；2(5)a b -＝2×(－2)2＝8．6．若2008a -＋2009a a -=，求a -22008的值.【考点分析】考查非负数性质．【名师点评】原方程虽然是一个直接关于a 的方程，但对于实际求出a 的值，有一定的难度，可以通过题中隐含条件a -2009≥0,得出a 的取值范围，再去进行化简.【正确答案】解：根据题意，得a -2009≥0，a ≥2009．∴2008a -＜0， 即20082009a a a -+-=， ∴20092008a -=，∴220092008a -=，∴220082009a -=．链接中考1．(2008年资阳市)4的平方根是（ ）A ．4B ．2C ．－2D ．2或－2【考点分析】考查平方根的概念．【名师点评】一个正数的平方根有两个，它们是一对互为相反数，由于2(2)4±=，所以4的平方根为±2．【正确答案】D2．(2008年桂林)下列实数中，无理数是（ ）A ．50.1B ．πC ．－4D ．227【考点分析】考查无理数的识别．【名师点评】判断一个数是否是无理数，可以根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数．【正确答案】B3．(2008年扬州市)估计68的立方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间【考点分析】考查学生的估值思想．【名师点评】由于34＝64，35＝125，所以68的立方根的大小在4与5之间．【正确答案】C聪明屋 题目：求215394a a a a -+++--+的值分析：看似无从下手，仔细观察各项，就可以发现2a －中的a 必须是0．这类题目的已知一般隐含在所给的式子中．解：∵各项根指数都是2，∴a 的取值必须使每个被开方数为非负数， 由2a －中—a ２≥0，a ２≥0可知a ＝0．∴原式＝0．点评：要求一个代数式的值，一般需要给出未知数的值，但没有给出a 的值，这时我们就需要分析题目的已知条件，从题目的隐含条件中发现a 的值.生活数学建筑学与数学千百年来，数学已成为设计和构图的基本工具，它是建筑设计的智力之源。