2019届四川省成都七中高三下学期入学考试(理)数学试题(解析版)

CD＜1 时，AH 【详解】
，由此能求出 x 的取值范围．
解：∵在等腰 Rt△ABC 中，斜边 AB ，D 为直角边 BC 上的一点， ∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°， 将△ACD 沿直 AD 折叠至△AC1D 的位置，使得点 C1 在平面 ABD 外， 且点 C1 在平面 ABD 上的射影 H 在线段 AB 上，设 AH＝x， ∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°， CH⊥平面 ABC， ∴AH＜AC1＝1，故排除选项 A 和选项 C；
14．某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的 3
辆共享汽车都是随机停放的，且这 3 辆共享汽车都不相邻的概率与这 3 辆共享汽车恰有
2 辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为______．
【答案】10
【解析】设停车位有 n 个，求出这 3 辆共享汽车都不相邻的种数和恰有 2 辆相邻的种数， 可得 An﹣23＝A32An﹣22，解得即可. 【详解】
【详解】
根据几何体的三视图：
该几何体是由一个边长为 2 正方体挖去一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥构成的不规则
的几何体．
所以：v
，
． 故选：A． 【点睛】 本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算 能力和空间想象能力，属于基础题型．
7．二项式
的展开式中 的系数是 ，则 ( )
2019 届四川省成都七中高三下学期入学考试（理）数学试题
一、单选题
1．已知 是虚数单位，若
，则 的共轭复数 对应的点在复平面的( )
A．第一象限 【答案】D
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案．
【详解】
解：由 2+i＝z（1﹣i），得 z
10．已知
A． 【答案】B
，则
()
B．
C．
D．
【解析】利用三角恒等变换的公式，化简求得 利用两角和的正切函数的公式，即可求解． 【详解】
，得到
，再
由题意，因为 所以
， ，则即
，即
，
又由
，
故选：B． 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的三角函数的基 本公式，合理、准确化简计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．如图所示，在四棱锥
，
．
中，
，
，
，且
(1) 平面
；
(2)在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的值；如果不存在，请说明理由．
设 BC 中点为 E，则
故选：A． 【点睛】
（
）
•
．
本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题． 6．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2，四条用虚线表示的线段长度 均相等，则该几何体的体积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
，
∴
，
则 z 的共轭复数 z 对应的点的坐标为（ 故选：D．
），在复平面的第四象限．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．设集合 A． 【答案】C
， B．
，则
()
C．
D．
【解析】分别求 y＝3x，x∈R，y 再求交集即可． 【详解】 解：由 y＝3x，x∈R， 得 y＞0，即 A＝（0，+∞），
8．如图所示，边长为 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六 边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，
该点恰好取自阴影部分的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．
【详解】
如图所示，边长为 a 的正六边形，则 OA＝OB＝AB＝a，
∴S
ac
．
故答案为： ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础
题．
16．已知函数 取值范围是______ 【答案】
【解析】由题意，设
，若
，使得
，得
有零点，化简得
，则 的 ，转化为直
线
与
即可求解．
【详解】
由题意，设
有交点，利用导数求得函数 的单调性与最值，结合图象，
【详解】
（1）对于数列 ，
即
注意到 为递增数列
则
∴
对于数列 ，由
得
相减得
又∵
∴
为定值
∴数列
和 都是以 4 为公差的等差数列
又∵
∴在
中令 得
∴
，
∴
，
（2）由（1）得
∴
∴
【点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中 的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
曲线的离心率．
【详解】
由题意可得 A（a，0），
A 为线段 OB 的中点，可得 B（2a，0），
令 x＝2a，代入双曲线的方程可得 y＝± b，
可设 P（2a， b），
由题意结合图形可得圆 A 经过双曲线的左顶点（﹣a，0），
即|AP|＝2a，即有 2a
，
可得 a＝b，e
，
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于 中档题．
故答案为：10． 【点睛】 本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中 档题. 15．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的 一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平， 其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上， 余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即
是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．
三、解答题
17．已知等比数列 为递增数列，且
，
，数列 的
前 项和为 ，
，
，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设
，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
,
(2)
【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和．
，∵
，∴
，∴
有零点，
即
，整理得
，
即直线
与
有交点，
又由
，（ ），令
，解得
，
当
时，
，函数 单调递增，
当
时，
，函数 单调递减，
∴
，
又 分别画出
，当
时，
，
与
的图象，如图所示；
由图象可得当
，即
时，
与
故答案为：
．
有交点，
【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中函数的零点问题转化为直线
与
有交点，再利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解
，进行排除即可得答案.
由题意得，函数 轴对称，故排除 C、D，
，则函数 为偶函数，图象关于 y
又由当 时， 故选：A．
，故排除 B，
【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及特殊点的函
数值进行排除求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的 值为( )
，当
当 CD＝1 时，B 与 D 重合，AH ，
当 CD＜1 时，AH
，
∵D 为直角边 BC 上的一点，
∴CD∈（0，1），∴x 的取值范围是（ ，1）． 故选：B．
【点睛】 本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题．
12．设 是抛物线
11．如图所示，在等腰
中，斜边
， 为直角边 上的一点，将
沿直 折叠至
的位置，使得点 在平面 外，且点 在平面 上的射影 在
线段 上，设
，则 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】推导出 AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D
＝90°，CH⊥平面 ABC，从而 AH＜AC1＝1，当 CD＝1 时，B 与 D 重合，AH
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求得二项展开式中的通项公式 代入即可求解，得到答案． 【详解】
，令
，解得 ，
由题意，二项式
的展开式中的通项公式
，
令
，解得 ，
所以含 项的系数为 故选：B．
，解得
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟练求解二项展开式的通项，准确得出
的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
故选：D．
【点睛】 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
二、填空题
13．设 满足约束条件
，则
的最大值为______．
【答案】5
【解析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值.