2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--解析几何

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2018年北京各区一模理科数学分类汇编---线性规划与不等式(含答案)

2018年北京各区一模理科数学分类汇编----线性规划与不等式（含答案）1.（朝阳）在平面直角坐标系xOy 中,已知点0)A ,(1,2)B ,动点P 满足OP =OA OB λμ+,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈,则所有点P 构成的图形面积为（A ）1（B ）2 （C（D）【答案】C【解析】本题考查向量坐标运算,线性规划.设(,)P x y ,则(3,2)(,)OP OA OB x y λμλμμ=+=+=2x y μμ+=∴=⎪⎩2)32y y x μλ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩0120()1321)2232y y x y y x ⎧≤≤⎪⎪⎪∴≤-≤⎨⎪⎪≤+-≤⎪⎩020221)y x y x y ≤≤⎧⎪∴≤-≤⎨⎪≤+-≤⎩ 所有点P 构成图形如图所示（阴影部分）122S ==故选C2. （石景山）若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____________.103. （延庆）若x ，y 满足2030x y x y x ≤≥≥-⎧⎪+⎨⎪⎩则22x y +的最小值为 D（A ）0 （B ）3 （C ）4.5 （D ）54. （东城）已知,a b R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是 D（A ）220a b ->（B ）cos cos 0a b -> （C ）110a b -< （D ）0a b e e ---<5. （东城）若,x y 满足410,,,x y x y x ≤≤≥-⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =+的最大值为．66. （房山）已知实数,x y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最大值是 C （A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ）47. （丰台）设不等式组220,20,0x y x y x -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω，则 D (A) 原点O 在Ω内(B) Ω的面积是1(C) Ω内的点到y 轴的距离有最大值(D) 若点00(,)P x y ∈Ω，则000x y +≠。

2018高考数学北京卷(理)精编

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理）本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则AB =（）A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{2,0,1,2}-D ．{1,0,1,2}-【答案】A ，交集，绝对值不等式 2．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D ，复数计算、几何意义3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A ．12 B ．56C ．76D ．712【答案】B ，程序框图-循环结构4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为（）ABC．D．【答案】D ，数学文化，等比通项5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ，三视图→直观图，三垂线定理6．设,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C ，向量的数量积，向量的线性运算|3||3|a b a b -=+22(3)(3)a b a b ⇔-=+66a b a b ⇔-⋅=⋅0a b ⇔⋅=a b ⇔⊥7．在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ，直线与圆，点到直线距离俯视图直线20x my --=绕A 旋转，不包含与x 重合位置．max max ||1d OH =+3=，当直线垂直于x 轴，即0m =时，取得最大值． 8．设集合{(,)|1,4,2}A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（）A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 【答案】D ，线性规划-可行域，逻辑或，直线过定点法一：若(2,1)A ∉，则214a +≤或22a ->，解得32a ≤或0a <，∴32a ≤ 法二：画直线也可得出结论，图象有些复杂第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-，等差通项10．在极坐标系中，直线c o s s i n (0a a ρθρθ+=>与圆2c o s ρθ=相切，则a =__________．【答案】1直线0x y a +-=，与圆22(1)1x y -+=相切，求得1a =111．设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23，三角函数的最值已知条件等价于()f x 在4x π=时取得最大值，∴2,46k k ππωπ-=∈Z ，解得28,3k k ω=+∈Z ，∴ω的最小值为2312．若,x y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．【答案】3，简单线性规划13．能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x =，22y x x =-+等均可，函数的单调性14．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1；2．椭圆、双曲线性质三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解】同角三角函数关系，正弦定理，两角和差的三角函数（Ⅰ）在△ABC 中，∵1cos 7B =-，∴(,)2B ππ∈，∴sin 7B ==．由正弦定理sin sin a b A B =，得7sin A =，∴sin A =． ∵(,)2B ππ∈，∴(0,)2A π∈，∴∠3A π=；（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+11()72=-+=．如图所示，在△ABC 中，∵sin h C BC =，∴sin h BC C =⋅7==，∴AC边上的高为2．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111A B C A B C-中，1CC ⊥平面ABC ，,,,D E F G 分别为1111,,,A A A C A C B B的中点，AB BC ==12AC AA ==．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求二面角1B CD C --的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．【解】线面垂直性质、判定，（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中， ∵1CC ⊥平面ABC ，∴四边形11A ACC 为矩形．又,E F 分别为11,AC AC 的中点，∴AC EF ⊥．∵AB BC =，∴AC BE ⊥， ∴AC ⊥平面BEF ．（Ⅱ）方法一：【空间向量】由（Ⅰ）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1//EF CC ．又1CC ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ．∵BE ⊂平面ABC ，∴EF BE ⊥．如图建立空间直角坐称系E xyz -．ACD1C 1B 1A EFG由题意得(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,1)D ，(0,0,2)F ，(0,2,1)G ． ∴(2,0,1)CD =，(1,2,0)CB =，设平面BCD 的法向量为(,,)n a b c =，∴00n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴{2020a c a b +=+=，令2a =，则1b =-，4c =-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =--，又∵平面1CDC 的法向量为(0,2,0)EB =，∴cos 21||||n EB n EB n EB ⋅<⋅>==-．由图可得二面角1B CD C --为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为．方法二：二面角-三垂线定理，∵BE ⊥平面1CDC ，过E 作EN CD ⊥于N ，连结BN ，则BNE ∠的补角为二面角1B CD C--的平面角，易求5EN =，∴tan BNE ∠=1B CD C --的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD 的法向量为(2,1,4)n =--，∵(0,2,1)G ，(0,0,2)F ， ∴(0,2,1)GF =-，∴2n GF ⋅=-，∴n 与GF uuu r不垂直，∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交． 17．（本小题满分12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）．写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系．【解】古典概型，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，对立事件，两点分布的方差，两个正数的和为定值差越小积越大（直接用？）．（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550⨯=．故所求概率为500.0252000=．（Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为：()P AB AB +()()P AB P AB =+()[1()][1()]()P A P B P A P B =-+-．由题意知：()P A 估计为0.25，()P B 估计为0.2．故所求概率估计为0.250.80.750.20.35⨯+⨯=．（Ⅲ）142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ． 18．（本小题满分13分）设函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．【解】导数的几何意义，导数判定单调区间求极值（Ⅰ）因为2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++，所以2'(x xf x ax a e ax a x a e =-++-+++2[xa=()x ∈R ，∴'(1)(1)f a e =-．由题设知'(1)0f =，即(1)0a e -=，解得1a =．此时(1)30f e =≠．所以a 的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2'()[(21)2]x f x ax a x e =-++(1)(2)x ax x e =--．若12a >，则当1(,2)x a∈时，'()0f x <；当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在2x =处取得极小值．若12a ≤，则当(0,2)x ∈时，20x -<，11102ax x -<-<，所以'()0f x >．所以2不是()f x 的极小值点．综上可知，a 的取值范围是1(,)2+∞． 19．（本小题满分14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【解】待定系数法，直线与抛物线相交，丢解是易错点，韦达定理，斜率公式，计算量（Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1y kx =+(0)k ≠．由{241y x y kx ==+得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<．又,PA PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-．所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,)-∞--+∞．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由（Ⅰ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--．令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．【求点坐标可利用斜率公式】同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由QM QO λ=，QN QO μ=得1M y λ=-，1N y μ=-．所以11λμ+1111M Ny y =+--121211(1)(1)x x k x k x --=+--1122()11x x x x k x x -+=⋅-222224111k k k k k -+=⋅-2=．所以11λμ+为定值．20．（本小题满分14分）设n 为正整数，集合12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n n A t t t t k n αα==∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(2nn nnM x y xy x y x yx y αβ=+--++--+++--．（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（Ⅱ）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【解】集合，在计算中发现规律，（Ⅰ）因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00|00|)]22M αα=+--++--++--=，1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=．（Ⅱ）设1234(,,,)x x x x α=B ∈，则1234(,)M x x x x αα=+++．由题意知1234{0,1}x x x x +++∈，且(,)M αα为奇数，所以1234,,,x x x x 中1的个数为1或3．所以{B ⊆((((((((．将上述集合中的元素分成如下四组：(1,0,0,0),(1,1,1,0)；(0,1,0,0),(1,1,0,1)；(0,0,1,0),(1,0,1,1)；(0,0,0,1),(0,1,1,1)．经验证，对于每组中两个元素,αβ，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素（枚举没全，依据？）．所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1)}满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4；（Ⅲ）设1211{(,,k nnS x xx =∈=）），11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=====，则111n A S S S +=．对于(1,2,,1)k S k n =-中的不同元素,αβ，经验证，(,)1M αβ≥．所以(1,2,,1)k S k n =-中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．取12(,,,k n k e x x x S =∈）且10(1,2,,1)k n x x k n +====-．令1211(,)n nn B e e e S S -+=,,，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件．故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．11。

2018北京六区高三一模数学解答题分类汇编之压轴创新题

( Sk2 Sk1 ) (Sk1 S0 )
011
1 1 m．
m个 1
因为 Sn C ，所以 En 的元素个数 m ≥ C 1．
取常数数列 An： ai
C1 (i 1,2,
C2
,C 1) ，并令 n C 1 ，
则 Sn (C 1)2 C2 2C 1 C ，适合题意，
C2
C2
1/ 8
[11 分 ]
且 En {1,2, , C 1} ，其元素个数恰为 C 1 ．综上， En 的元素个数的最小值为 C 1 ．【朝阳一模】 20． ( 本小题满分 13 分 )
又 ( a1 a2
a7 ) (b1 b2
b6 ) ( x8 x1) ( x8 x7 x2 x1)
2/ 8
2( x8 x1) ( x7 x2 ) 2 16 14 46 ，这与①矛盾！
所以结论成立．…………………………………………………………………… 13 7 ，记 ai xi 1 xi (i 1,2, ,7) ，
bi xi 2 xi (i 1,2, ,6) ，共 13 个差数．假设不存在满足条件的 k ，则这 13 个数中至多两个
3、两个 4、两个 5、两个 6，从而
1、两个 2、两个
(a1 a2
a7 ) (b1 b2
b6) 2(1 2
6) 7 49 . …………①
中间相隔四数的两数差： 12， 14， 12；
中间相隔五数的两数差： 15， 15；
中间相隔六数的两数差： 16
这 28 个差数中，只有 4 出现 3 次、 6 出现 4 次，其余都不超过 2 次，
所以 k 的可能取值有 4， 6．…………………………………………………………６

2018年北京市高考数学试卷(理科)解析

2018年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A=｛x|｜x｜＜2}，B={﹣2，0，1，2｝，则A∩B=（）A．｛0，1｝ B．｛﹣1，0,1｝ C．{﹣2，0，1,2｝D．{﹣1,0,1，2｝【分析】根据集合的基本运算进行计算即可．【解答】解：A={x|｜x｜＜2}={x|﹣2＜x＜2},B=｛﹣2，0，1,2｝，则A∩B={0，1},故选:A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2．(5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．【解答】解：复数==,共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．B．C．D．【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】解：执行循环前:k=1，S=1．在执行第一次循环时，S=1﹣=．由于k=2≤3，所以执行下一次循环．S=,k=3，直接输出S=,故选：B．【点评】本题考查的知识要点:程序框图和循环结构的应用．4．（5分）“十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A． f B． f C． f D．f【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为:=．故选:D．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．5．（5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】画出三视图的直观图,判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD,AC=，CD=,PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形,分别为:△PAB,△PBC，△PAD．故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．6．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3｜=|3+|”是“⊥”的(）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．【解答】解：∵“｜﹣3｜=｜3+|"∴平方得|｜2+9|｜2﹣6•=9|｜2+||2+6•，即1+9﹣6•=9+1+6•,即12•=0，则•=0,即⊥，则“｜﹣3｜=|3+｜"是“⊥”的充要条件,故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．7．(5分)在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意d==，当sin（θ+α)=﹣1时，d max=1+≤3．由此能求出d的最大值．【解答】解：由题意d==，tanα==,∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．（5分）设集合A={（x，y）｜x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2｝，则(）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，(2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，(2，1）∈A D．当且仅当a≤时,（2,1）∉A【分析】利用a的取值，反例判断（2，1)∈A是否成立即可．【解答】解：当a=﹣1时,集合A=｛（x，y）｜x﹣y≥1,ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y)|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2｝,显然(2，1）不满足,﹣x+y＞4，x+y≤2,所以A，C不正确；当a=4,集合A=｛（x，y）｜x﹣y≥1，ax+y＞4,x﹣ay≤2}=｛（x,y）｜x﹣y≥1,4x+y ＞4，x﹣4y≤2｝，显然(2，1）在可行域内,满足不等式，所以B不正确;故选：D．【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）设｛a n｝是等差数列,且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n ﹣3．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{a n}的通项公式．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3,a2+a5=36,∴，解得a1=3，d=6,∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分)在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a= 1+．【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．【解答】解:圆ρ=2cosθ，转化成:ρ2=2ρcosθ,进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ(cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以:利用圆心到直线的距离等于半径．则:=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．故答案为:1+．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与圆相切的充要条件的应用．11．（5分）设函数f(x）=c os(ωx﹣）（ω＞0)，若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．【解答】解:函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0)，若f(x）≤f（）对任意的实数x都成立,可得:，k∈Z,解得ω=,k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用,考查转化思想以及计算能力．12．（5分）若x,y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2y﹣x，则y=x+z，平移y=x+z，由图象知当直线y=x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即A（1,2),此时z=2×2﹣1=3,故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．13．(5分）能说明“若f（x)＞f（0)对任意的x∈（0,2]都成立，则f（x）在[0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是f(x）=sinx．【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．【解答】解：例如f（x）=sinx,尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0,2]都成立，当x∈［0,）上为增函数，在(，2]为减函数，故答案为：f(x)=sinx．【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．14．（5分）已知椭圆M：+=1(a＞b＞0)，双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率;利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标（c，0）,正六边形的一个顶点(，）,可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈(0,1）,解得e=．同时,双曲线的渐近线的斜率为,即,可得：，即，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力．三、解答题共6小题，共80分。

北京市城六区2018届高三一模理科数学分类汇编之压轴小题word含答案

【西城一模】8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A ）U →V →W （B ）V →W →U （C ）W →U →V （D ）U →W →V【西城一模】14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____【朝阳一模】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ,(1,2)B ，动点P 满足OP OA OB λμ=+,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈，则所有点P 构成的图形面积为A ． 1B ． 2．【朝阳一模】14．已知R a ∈，函数211(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+，，当0x >时，函数()f x 的最大值是；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 【丰台一模】（8）设函数π()sin(4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则123x xx ++的取值范围是(B) 5π11π(,]816 (C) 7π15π[,)816 (D) 7π15π(,]816【丰台一模】（14）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．①若3AB AC=，则AB CD ⋅=____②若AP AB AD =+，则||AP 的最大值为____．2【海淀一模】（8）已知点M 在圆1C ：22(1)(1)1x y -+-=上，点在圆2C ：22(+1)(+1)1x y +=上，则下列说法错误的是(A) OMON 的取值范围为[3--OM ON +取值范围为(C)OM ON -的取值范围为2](D)若OM ON λ=，则实数λ的取值范围为[33---+ 【海淀一模】 ( 14)设函数2,()3,x x a f x x x x a ≥⎧=⎨-⎩．①若()f x 有两个零点，则实数a ②若-2a ≤，则满足()+f x (1)3f x --的x 的取值范围是．1x >-【东城一模】(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 (A)4(B) 3(C)2(D)1 【东城一模】 (14）单位圆的内接正n(n ≥3)边形的面积记为()f n ，则f(3)=; 下面是关于()f n 的描述：①2()sin 2n f n n π=②()f n 的最大值为π③()f n (1)f n +④()f n (2)f n 2()f n ≤其中正确结论的序号为．【石景山一模】8.如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【石景山一模】14.设W 是由一平面内的(3n n ≥）个向量组成的集合．若a W ∈，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量.有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量,a b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c a b =--，使得{}=,,W a b c 中的每个元素都是极大向量；③若{}{}11232123=,,=,,W a a a W b b b ，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12W W 中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．②③。

2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--立体几何

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2y
2z
0,
y 2z 0.
n A1 D 0,
令 x 1，则 y 2 ， z 1 ，所以 n (1,2, 1) ． [7 分 ]
设直线 A1C 和平面 A1BD 所成的角为，
则 sin
| cos n, A1C | | n A1C | | n || A1C |
2 2． 3
所以直线 A1C 和平面 A1 BD 所成角的正弦值为
（Ⅲ）在线段 A C 上是否存在点 P ，使得 OP // 平面 A DE ? 若存在，求出 A P 的值；若不存在，请说明理由． AC
A
E
D
O
A
E D
O
B
C
B
C
图
图
1
2
证明：（Ⅰ）由已知 AB AE 2 ，
因为 O 为 BE 中点，所以 A O BE ．因为平面 A BE 平面 BCDE ，且平面 A BE 平面 BCDE
所以 DE // BC ， AD AE ．
所以 A1D A1E ，又 O 为 DE 的中点，所以 A1O DE ． [1 分 ] 因为平面 A1DE 平面 BCED ，且 A1O 平面 A1DE ，所以 A1O 平面 BCED ， [3 分] 所以 A1O BD ． [ 4 分 ] （Ⅱ）取 BC 的中点 G ，连接 OG ，所以 OE OG ．由（Ⅰ）得 A1O OE ， A1O OG ．如图建立空间直角坐标系 O - xyz ． [5 分]
由题意得， A1 (0,0,2) ， B(2, 2,0) ， C (2,2,0) ， D(0, 1,0) ．
1 / 11
所以 A1B (2, 2, 2) ， A1D (0, 1, 2) ， A1C (2,2, 2) ．设平面 A1BD 的法向量为 n (x , y , z) ，

2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--三角函数

（ k Z ），
3
6
故 f (x) 的单调递增区间为 [ k
,k
] （ k Z ） ········· 13 分
3
6
【东城一模】 (15) （本小题 13 分）已知函数 f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x.
（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；
( Ⅱ ) 求 f (x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值． 2
, 2k 2
（ k Z ）， 2
令 2k
2x
2k
（ k Z ），
2
6
2
解得 k
xk
（ k Z ），
3
6
故 f (x) 的单调递增区间为 [ k
,k
] （ k Z ） ········· 13 分
3
6
【石景山一模】 15．（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x) 2cos2 x 2 3sin x cosx 1.
Z ) ．……………… 13 分
8
2
2
8
【海淀一模】 ( 15) （本小题 13 分）
已知 f ( x) 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ．
2/ 5
(I) 求 f ( ) 的值； 6
( Ⅱ) 求 f ( x) 的单调递增区间．
15. （本题满分 13 分）
（Ⅰ） f ( ) 2 3 sin cos 2cos 2 1
53 ． [13 分]
2
2
【朝阳一模】 15． ( 本小题满分 13 分 )
在 ABC 中，已知 sin A 5 ， b 2a cos A ． 5
（Ⅰ）若 ac 5 ，求 ABC 的面积；（Ⅱ）若 B 为锐角，求 sin C 的值．解：（Ⅰ）由 b 2a cos A ，得 cos A 0 ，

2018北京各区一模数学几何综合题

[文档标题]朝阳27. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．大兴27．如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°， F 是AB 边上一点，作射线CF ，过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ．（1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）用等式表示线段C G ，AG ，BG 之间的等量关系，并证明．东城27. 已知△ABC 中，AD 是的平分线，且AD =AB ，过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ．（1）如图1，若①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．BAC ∠60BAC ∠=︒（3）用等式表示线段EG 与EF ，AF 之间的数量关系，并说明理由.丰台27．如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．海淀27．如图，已知60AOB ∠=︒，点P PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=.（1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P M ，使得DMME的值不变？并证明你的判断.怀柔27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．门头沟27. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点. （1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N ．①根据条件补全图形；②写出DM 与DN 的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.平谷27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）；F E B（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．石景山27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=；②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为：．顺义27. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ②AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ．（1）依题意补全图形；图1 D E AB CE DB CA 图2 图1 备用图B A CDMB A DC M P（2）求证：②F AC =②APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．通州西城27. 正方形ABCD 的边长为2. 将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M ，作CE ⊥AM 于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN . （1）如图1，当0°<α<45°时，①依题意补全图1；②用等式表示∠NCE 与∠BAM 之间的数量关系：；（2）当45°<α<90°时，探究∠NCE 与∠BAM 之间的数量关系并加以证明；（3）当0°<α<90°时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 的最大值.图1 备用图EDCBA延庆27．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．（1）求证：∠FBC =∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．燕山28．在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°,CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E , 连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）．（1）如果∠A =30°①如图1，∠DCB = °②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ,连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；( 2 )如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A =α （0°<α<90°），连结DP , 将线段DP 绕点逆时针旋转 α2得到线段DF ,连结BF , 请直接写出DE 、BF 、BP 三者的数量关系（不需证明）．图1备用图FDEC BA FDEC BA。

2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--概率统计

某学校为了解高一年级 420 名学生选考科目的意向，随机选取如下表：
30 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数
性别
选考方案确定情况
物理化学生物历史地理政治
选考方案确定的有 8 人
8
8
4
2
1
1
男生
选考方案待确定的有 6 人 4
3
0
1
0
0
选考方案确定的有 10 人
8
9பைடு நூலகம்
6
3
3
1
女生
选考方案待确定的有 6 人 5
女性录用比例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
3
2
67%
3
2
67%
总计
533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 2 人．记 X 为这 2 人中被录用的人数，求 X 的分布列和数学期望；
1/ 7
433
P
．[3 分 ]
1000
某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．

2018年北京各区高三上期末理科数学汇编--解析几何

2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---解析几何1.（西城）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．解：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a ==，所以c = [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+． [ 9分] 所以||MN == [10分]因为 ||||PA MN =，所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =PAMN 是平行四边形，舍去．所以k =，或k = [14分]2.（海淀）设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的A（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3. （海淀）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为 D（A（B（C或（D4.（海淀）已知点F 为抛物线C ：()220ypx p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 C （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个（B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C ）使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个（D ）使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个5. （海淀）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是6. （海淀）设抛物线C ：24y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于A ，B 两点，则OA OB += ．27. （海淀）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P .（Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.解：（Ⅰ）C ：22192x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==分椭圆C 的短轴长为2b =……………..3分离心率为2c e a ==. ……………..5分（Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分 PM PN ⋅uuu r uuu r1212(2)(2)x x y y =--+ 21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++2222222294(1)(2)42121k k k k k k k -=+⋅-+⋅++++226521k k +=-+ 0<……………..13分故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<=……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ……………..8分22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分212212()221T k x x x k =+=+，2(1)21T T k y k x k =-=-+ ……………..10分222242222222222222(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T Tk k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++……………..11分22222212121222224222222222111||(||)(1)()(1)()42441429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)TM MN k x x k x x x x k k k k k k k k k k k ⎡⎤==+-=++-⎣⎦-++++=+-⋅==++++……………..12分此时，424242222222221625949412165||||0(21)(21)(21)k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++ ……………..13分故||||TM TP >8.（朝阳）已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是 BA. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分9.（朝阳）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为 . y x =±10.（朝阳）已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FT MN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FTMN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)NN N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N N x x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NNy y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1N N x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分11.（通州）已知点(2P 为抛物线22y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是 C A ．2 B．．3 D ． 4 12.（通州）已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“12a =”的B A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 13.（通州）已知点P的坐标是()，将OP 绕坐标原点顺时针旋转至OQ ，那么点Q 的横坐O 3π标是_______.214. （通州）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1-，离心率2e =（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率2e =，所以1b =，2c a =……………………2分所以由222a b c =+，得2 2.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-=显然0.∆>设点()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k -⋅=+……………………7分因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++=所以()2222224220.1212k k k k km km k k -⋅-++=++所以2420.12k kmk -+=+……………………12分所以420.k km -+= 因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分15.（东城）已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b = ；若双曲线1C 与C 不同，且与C 有相同的渐近线，则1C 的方程可以为．（写出一个答案即可）1，222x y -=等16. （东城）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：，经过其左焦点(1,0)F -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) O 为原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（I）由题意得2212 1.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于 “QF 平分MQN ∠ ”，且12,x t x t ≠≠，又等价于① ②“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-，所以(20)Q -，.当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等.17.（顺义）已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为__________,点的横坐标______.（0，1）；318.（顺义）已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分19.（大兴）双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为（）AA．y=±xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x【考点】双曲线的标准方程．【分析】双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，由此能求出结果．【解答】解：x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，整理，得y=±x．故选：A．20.（大兴）直线y=x被圆x2+y2﹣2y﹣3=0截得的弦长等于．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线y=x的距离d的值，再根据弦长公式求得弦长．【解答】解：圆x2+y2﹣2y﹣3=0即x2+（y﹣1）2=4，表示以C（0，1）为圆心，半径等于2的圆．由于圆心到直线y=x 的距离为d=，故弦长为2=，故答案为：．21.（大兴）已知椭圆G ：上的点到两焦点的距离之和等于．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m （不经过点M ）与椭圆交于A ，B 两点，与直线l ：x=4相交于C 点，记直线MA ，MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．求证：为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆定义知：，即，将点的坐标代入椭圆，求出b 的值，则椭圆G 的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知右焦点F （2，0），由题意，直线m 有斜率，设方程为y=k （x ﹣2），令x=4，得点C （4，2k ），即可求出k 3的斜率，联立，得到：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0，由△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），再由根与系数的关系得到x 1+x 2和x 1•x 2，则k 1+k 2可求，进一步得到要证明的结论．【解答】（Ⅰ）解：由椭圆定义知：，∴．∴椭圆，将点的坐标代入得b 2=4．∴椭圆G 的方程为；（Ⅱ）证明：右焦点F （2，0），由题意，直线m 有斜率，设方程为y=k （x ﹣2），令x=4，得点C （4，2k ），∴；又由消元得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0，显然△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，∴====．∴k 1+k 2=2k 3，即为定值．22. （昌平）已知直线:4350l x y ++=，点P 是圆22(1)(2)1x y -+-=上的点，那么点P 到直线l 的距离的最小值是 223.（房山）已知直线l 过点)1,0(P ，圆C :08622=+-+x y x ,直线l 与圆C 交于B A ,两点. （I ）求直线PC 的方程；（II ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点），（46Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ?若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．（I ）设圆()13:22=+-y x C ,圆心为()03，C ，故直线PC 的方程为13=+y x ，即033=-+y x …………………5分（II ）法1：直线l 的方程为1+=kx y ，则由⎩⎨⎧=+-++=086122x y x kx y 得()0962)12=+-++x x x k （由()()01366222>+--=∆k k 得03624-2>-k k 故043-<<k …………………10分法2：直线l 的方程为1+=kx y ，即01y -=+kx ，圆心为()03，C ，圆的半径为1则圆心到直线的距离1132++=k k d 因为直线与有交于B A ,两点，故11132<++k k ，故043-<<k（Ⅲ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ,此时直线1l 过），（46Q ，()03，C ，则 3436041=--=k ，故AB 的斜率43-=k ，由（II ）可知，不满足条件所以，不存在存在直线1l 垂直于弦AB 。

2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--立体几何

2018北京六区高三一模数学（理）解答题分类汇编--立体几何【西城一模】17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC？若存在，求出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图2解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥．由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．所以直线1A C 和平面1A BD所成角的正弦值为3．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-，所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]，整理得23720λλ-+=．[13分] 解得13λ=，舍去2λ=．所以线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分] 【朝阳一模】16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）．（Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥．因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分（Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ，所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(11A B C D E ,，，，，，，，'---．设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-，所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得1)=-m ．而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ== ……….10分（Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '.图1EABCDOA '图2CBDEO设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P A C λ''=，[0,1]λ∈．因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y z λλ=，所以000,3,x y z λλ===，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m .即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量1)=-m ，0=，解得1[0,1]2λ=∈，所以当12A P A C'='时，//OP 平面A DE '． ……….14分【丰台一模】（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，PB =（Ⅰ）求证：BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长．（16）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，且平面PAB平面=ABCD AB ，因为BC ⊥AB ，且BC ⊂平面ABCD所以BC ⊥平面PAB ． ……………………3分因为PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥． ……………………4分（Ⅱ）解：在△PAB 中，因为=2PA ，=PB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ． ……………………5分所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示．所以(1,0,0)A -，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D -，P ，(1,1,0)CD =-，(0,2,PC =．PAB ABCD PB =1AB易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ． ……………………6分设平面的一个法向量为=(,,)x y z m ，则00CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令=2z，则=m ． ……………………8分设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,5α⋅=<>===⋅n m n m n m ，即二面角P CD A --……………………10分（Ⅲ）解：因为点在棱，所以AE AP λ=，[0,1]λ∈． ……………………11分因为=AP （，所以=)AE λ（，()BE BA AE λ=+=-．………12分又因为平面，m 为平面的一个法向量，所以0BE ⋅=m1)20λλ-+=，所以1=3λ． ………………13分所以2(,0,33BE =-，所以7==BE BE ． …………………14分【海淀一模】( 17)（本小题14分）已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM PM λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．PCD E PA //BE PCD PCD17.（本题满分14分）（Ⅰ）方法1：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB ⊥ 因为ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ····················· 4分所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥ 因为ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ····················· 4分所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：OPCA BQ设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥. 因为PQOQ Q =，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥ 因为ABAC A =，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ····················· 4分所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB = 由(1,1,0)BC =-，(1,0,1)PC =- 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则由00BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =cos ,3||||3n OB n OB n OB ⋅<>===⋅由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B -- ·············· 9分（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈，所以12[,]45BN BP ∈ ······················· 14分【东城一模】(17)（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿 PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为 PB 中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥AB;(II ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．（17）（共14分）证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥,PC BC ⊥，所以在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥. 因为OA OB O =，所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥. ……………………4分（Ⅱ）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM . 过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ，所以PO ⊥OF ，PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ，F 为AB 的中点，所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG .如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz .A ()1，3，0，B ()－1，3，0，P ()0，0，1，M (12，32，0)．因为BO ＝BA ，M 为OA 的中点，所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，所以平面POA ⊥平面OAB .因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ，BM ⊂平面OAB ，所以BM ⊥平面POA .因为BM uuu r ＝(32，－32，0)．所以平面POA 的法向量m ＝()3，－1，0.BP uu r＝(1，－3，1)．设直线BP 与平面POA 所成角为α，则sin cos BP BP BPa ×=<>==uu r uu ruu r m m,m . 所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为155. ………………10分（Ⅲ）由(Ⅱ)知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()OA =.设平面OAE 的法向量为n ，则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩ 令1y =-，则xz =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P －AO －E 为锐角，所以它的大小为3p. ……………………………14分【石景山一模】17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥；（Ⅱ）求证：BD //平面PEC ；（Ⅲ）求二面角D PC E --的大小． 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．……2分11 / 11 依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC ⊥. ……6分（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-，所以2BD EM =，所以//BD EM ． ……8分又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ． ……9分（Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以cos ,AF n <>==， ……13分所以二面角D PC E --的大小为5π6． ……14分。

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x1 x3
x2 x3
k[2 x1x2 ( x1 x2 ) 2x32 ] ． (x1 x3)( x2 x3 )
y k( x 1),
由 x2 2
y2
得 (1 2k2 ) x 2 1,
4k 2 x
2k 2
2
0，
2 / 10
所以 x1
x2
1
4k 2 2k2
，
x1 x2
2k 2 2 ． 1 2k 2
y 由 x2
0) 两点，
2
2
2
所以 GM GN ．
…………………… 6 分
3 直线 PD ： y 3 n 2 ( x 1) ．
2 m1
3 / 10
当 x 0 时， y
n3 2
m1
3 ，所以 M (0,
n
3 2
2
m1
3 )．
2
……………… 7 分
直线 PE ： y 3 2
n3 2 ( x 1) ．
m1
当 x 0 时， y
2
kx,
y2
得 (1 2k 2 )x 2 1,
2 ，所以 x32
2． 1 2k2
所以 2x1x2 ( x1 x2) 2x32
4k2 4
4k2
1 2k2 1 2k 2
4 1 2k2
0．
k AE kBF
k[2 x1x2 ( x1
( x1 x2) 2x32 ] x3 )( x2 x3 )
0．
所以 1= 2 ．
2018 北京六区高三一模数学（理）解答题分类汇编 -- 解析几何
【西城一模】 19．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x2 y2 4 和椭圆 C : x2 2y2 4 ， F 是椭圆 C 的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率和点 F 的坐标；（Ⅱ）点 P 在椭圆 C 上，过 P 作 x 轴的垂线，交圆 O 于点 Q （ P,Q 不重合）， l 是过点 Q 的圆 O 的切线．圆 F 的圆
x0 (x x0 ) ， y1
整理为 x0x y1y 4 0 ． [9 分 ]
所以圆 F 的圆心 F 到直线 l 的距离 d
|
2x0 4 | x02 y12
2 | x0
2
2 |． [11 分 ]
因为 | PF |2 ( x0
2) 2 y02 ( x0
2) 2
1 (4
x02 )
1 x02
2 2 x0
4 ．[13 分 ]
a2
椭圆 C 的左焦点 F 的坐标为 ( 2,0) ． [4 分 ]
（Ⅱ）直线 l 与圆 F 相切．证明如下： [5 分]设 P(x, y0 ) ，其中2
x0
2
2 ，则 x0
2
2 y0
4 ， [6 分 ]
依题意可设 Q( x0, y1) ，则 x02 y12 4 ． [7 分 ]
直线 l 的方程为 y y1
以 MN 为直径的圆被直线
y
3
截得的弦长是定值．
2
（ 19）（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为 F ( 1,0) ，且 c 1 ． …………………… 1 分
因为 2a
22 (3) 2 2
02 (3)2 4， 2
所以 a 2 ， b a2 c2 3 ，
…………………… 3 分
所以椭圆 C 的方程为 x2 4
心为点 F ，半径长为 | PF | ．试判断直线 l 与圆 F 的位置关系，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）由题意，椭圆
C 的标准方程为 x 2 4
y2 1 ． [1 分 ]
2
所以 a 2 4 ， b 2 2 ，从而 c 2 a 2 b2 2 ．
因此 a 2 ， c 2 ．
故椭圆 C 的离心率 e c
2 ． [3 分 ]
2
2
所以 | PF |2 d 2 ，
即 | PF | d ，
1 / 10
所以直线 l 与圆 F 相切． [14 分 ]
【朝阳一模】 19． ( 本小题满分 14 分 )
已知椭圆
x2 C : a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
2 ，且过点 (1, 2 ) ．
2
2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 C 的左焦点的直线 l1 与椭圆 C 交于 A, B 两点，直线 l 2 过坐标原点且与直线 l1 的斜率互为相反数．若直线 l 2 与椭圆交于 E, F 两点且均不与点 A, B 重合，设直线 AE 与 x 轴所成的锐角为 1 ，直线 BF 与 x 轴所成的锐角为 2 ，判断 1 与 2 大小关系并加以证明．
n3 2
m1
3
，所以
N (0,
n
3 2
2
m1
3) ．…………………… 8 分 2
所以 GM
n3
( t,
2 ) ， GN
m1
n3
( t,
2 ) ， …………………… 9 分
m1
因为 GM GN ，所以 GM GN 0 ，
…………………… 10 分
所以 GM GN
t2
4n2 9 4( m2 1)
0．
…………………… 11 分
y2 1 ． 3
…………………… 4 分
（Ⅱ）证明：由题意可知 D ， E 两点与点 P 不重合．
因为 D ， E 两点关于原点对称，
所以设 D (m, n) ， E ( m, n) ， ( m 1) ． …………………… 5 分
设以 MN 为直径的圆与直线
y
3
3
3
交于 G (t , ), H ( t , )( t
m2
因为
n2
1，即 3m2
4n2
12 ， 4n2 9
3 3m2 ，……………… 12 分
43
所以 t 2 3 0 ，所以 t 4
3
．
2
…………………… 13 分
19． ( 本小题满分 14 分 )
解：（Ⅰ）由题意得
c2 ,
a2
2
a
2
b
2
c,
解得 a
11 a2 2b2 1.
2 ， b 1， c 1．
故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1． 2
（Ⅱ） 1 = 2 ．
…. … .5 分
证明如下：
由题意可设直线 l1 的方程为 y k( x 1) ，直线 l 2 的方程为 y F ( x3 , y3 ) ．
kx ，设点 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， E ( x3, y3 ) ，
要证 1= 2 ，即证直线 AE 与直线 BF 的斜率之和为零，即 kAE kBF 0 ．
因为 k AE kBF
y1 y3 x1 x3
y2 y3 x2 x3
k( x1 1) kx3 k ( x2 1) kx3
… . … .14 分
【丰台一模】（19）（本小题共 14 分）
已知点
P(1, 3) 在椭圆 2
x2 C ： a2
y2 b2
1( a b 0) 上， F (1,0) 是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）椭圆 C 上不与 P 点重合的两点 D ， E 关于原点 O 对称，直线 PD ， PE 分别交 y 轴于 M ， N 两点．求证：

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