3-4 二阶系统
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二阶系统
似估算为3 T1。
2、临界阻尼ξ=1的情况
这时系统具有两个相等的负实根，s1,2=-Wn
所以
C(s)
(s
Wn 2 Wn )2
1 s
则可得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应为：
h(t) 1 (1 nt)ewnt
3、零阻尼ξ=0的情况
这时系统极点为，s1,2=±jWn
C(s)
2 n
么响应的动态性能有何影响？
G(s)
5Ka
s(s 34.5)
解：系统属于单位负反馈，所以它的闭环传递函数为：
(s)
C(s) R(s)
s2
5Ka 34.5s
5Ka
将K＝200代入得：
(s)
C(s) R(s)
s2
1000 34.5s 1000
对照标准形式得： n2
1000
s2
n2 2ns n2
s2
5Ka 34.5s 5Ka
Ka 1500 时， 0.2,n 86.2,tp 0.037 s,ts 0.2s, % 52.7%
即当Ka增大时，Wn增大， ξ减小，调节时间没 有变化，峰值时间减小（即提前），超调量增大。
Ka 13.5时， 2.1,n 8.22
1
1 1 T1 1 T2 1
(T1s 1)(T2s 1) s s T2 T1 (s 1 ) T1 T2 (s 1 )
T1
T2
c(t) 1
1
t
e T1
1
t
e T2
T2 / T1 1
T1 / T2 1
2、临界阻尼ξ=1的情况
这时系统具有两个相等的负实根，s1,2=-Wn
所以
C(s)
(s
Wn 2 Wn )2
1 s
则可得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应为：
h(t) 1 (1 nt)ewnt
3、零阻尼ξ=0的情况
这时系统极点为，s1,2=±jWn
C(s)
2 n
么响应的动态性能有何影响？
G(s)
5Ka
s(s 34.5)
解：系统属于单位负反馈，所以它的闭环传递函数为：
(s)
C(s) R(s)
s2
5Ka 34.5s
5Ka
将K＝200代入得：
(s)
C(s) R(s)
s2
1000 34.5s 1000
对照标准形式得： n2
1000
s2
n2 2ns n2
s2
5Ka 34.5s 5Ka
Ka 1500 时， 0.2,n 86.2,tp 0.037 s,ts 0.2s, % 52.7%
即当Ka增大时，Wn增大， ξ减小，调节时间没 有变化，峰值时间减小（即提前），超调量增大。
Ka 13.5时， 2.1,n 8.22
1
1 1 T1 1 T2 1
(T1s 1)(T2s 1) s s T2 T1 (s 1 ) T1 T2 (s 1 )
T1
T2
c(t) 1
1
t
e T1
1
t
e T2
T2 / T1 1
T1 / T2 1
二阶系统原理
二阶系统原理
二阶系统是指系统具有两个独立的能量存储元件的动力学系统。
这两个元件通常是质量、电感、电容或弹簧等。
二阶系统常用于描述物理系统、电路和控制系统等的行为。
在数学上，可以使用二阶微分方程来描述二阶系统的动态行为。
一个典型的二阶微分方程可以写为：
m*x''(t) + b*x'(t) + k*x(t) = F(t)
其中，m是系统的质量，x(t)是系统的位移，b是阻尼系数，k
是系统的刚度，F(t)是施加在系统上的外力。
根据该方程的解析解，可以推导出二阶系统的传递函数表达式。
传递函数是频率域中描述系统响应的工具，其形式通常为：
G(s) = (b0*s^2 + b1*s + b2) / (a0*s^2 + a1*s + a2)
其中s是复频率变量。
通过分析系统的传递函数，可以评估系统的稳定性、频率响应和时域行为等。
典型的二阶系统响应包括过度阻尼、欠阻尼和临界阻尼等。
过度阻尼指的是系统的阻尼效应较大，导致系统的响应不会产生振荡。
这种情况下，系统的稳态响应会更快地收敛到稳定位置。
欠阻尼是指系统的阻尼效应较小，导致系统的响应会产生振荡。
振荡的频率和幅度受到系统固有频率和阻尼比的影响。
临界阻尼是指系统的阻尼效应刚好使系统响应不会产生振荡。
这时，系统的响应会以最快的速度收敛到稳定位置。
二阶系统的工程应用非常广泛，包括机械振动系统的控制、电路网络的设计和控制系统的稳定性分析等。
通过对二阶系统进行建模和分析，可以有效地理解和设计各种工程系统。
二阶系统时域分析
19
n1,0.1~0.9时的响应曲线。
0.1 0.2 0.3 0.4
0.8
n 一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢，超调量 减小。
20
4) 1 (临界阻尼)
C (s) R (s) (s) 1 s(s n 2 n )2 1 s (s n n )2 s 1n
c (t ) 1 nentt e nt 求导可知，c(t)输出为一条单调上升的曲线。n 1,2,3时：
-1<ξ<0
振荡发散
12
❖
1时
(s)s2
n2 2nsn2
,取 n 1
,阶跃响应为：
ξ = -1
c(t)输出为一单调发散形式的曲线。
13
❖ 1
C (s ) R (s ) (s ) 1 ss 2 2n 2 n sn 2 a s s b p 1 s c p 2
p 1 ( 2 1 )n p 2 ( 2 1 )n
ent
sin(dt)
1ent[cos(dt)12sin(dt)]
ent 1 [
12
12cos(dt)sin(dt)]
s i 1n c eo 1s nt 2 c so ins (s dti n ) s i n ( a rcta) n 1 2
11
c(t)1
ent
12
sin(dt)
(1 0)
c(t)输出为一发散正弦振荡形式的曲线。
ξξ越= 大0.4，~0.8p越小，系p=统25的.4平%~稳1性.5%越。好
31
5)调整时间ts
c(t)1
ent
12
sind(t)
包络线 1 e nt
1 2
ents
1
1
n1,0.1~0.9时的响应曲线。
0.1 0.2 0.3 0.4
0.8
n 一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢，超调量 减小。
20
4) 1 (临界阻尼)
C (s) R (s) (s) 1 s(s n 2 n )2 1 s (s n n )2 s 1n
c (t ) 1 nentt e nt 求导可知，c(t)输出为一条单调上升的曲线。n 1,2,3时：
-1<ξ<0
振荡发散
12
❖
1时
(s)s2
n2 2nsn2
,取 n 1
,阶跃响应为：
ξ = -1
c(t)输出为一单调发散形式的曲线。
13
❖ 1
C (s ) R (s ) (s ) 1 ss 2 2n 2 n sn 2 a s s b p 1 s c p 2
p 1 ( 2 1 )n p 2 ( 2 1 )n
ent
sin(dt)
1ent[cos(dt)12sin(dt)]
ent 1 [
12
12cos(dt)sin(dt)]
s i 1n c eo 1s nt 2 c so ins (s dti n ) s i n ( a rcta) n 1 2
11
c(t)1
ent
12
sin(dt)
(1 0)
c(t)输出为一发散正弦振荡形式的曲线。
ξξ越= 大0.4，~0.8p越小，系p=统25的.4平%~稳1性.5%越。好
31
5)调整时间ts
c(t)1
ent
12
sind(t)
包络线 1 e nt
1 2
ents
1
1
《阶系统与二阶系统》课件
态特性的系统。
性能优化
阶系统和二阶系统都可以通过调整系 统参数和控制器参数来优化系统性能
，但具体方法有所不同。
设计复杂性
阶系统的设计相对简单，而二阶系统 的设计需要考虑更多的因素，如阻尼 比和自然频率等。
应用场景
阶系统和二阶系统分别适用于不同的 应用场景，需要根据具体需求进行选 择。
05
阶系统与二阶系统的实例分析
二阶系统的应用场景
机械系统
如振动分析、减震降噪、优化 设计等；
控制系统
如自动控制、机器人、航空航 天等；
电子系统
如信号处理、滤波器设计、电 路分析等；
生物医学系统
如生理信号分析、医学影像处 理、药物动力学等。
03
阶系统与二阶系统的比较
动态性能比较
阶跃响应
阶系统具有快速响应的特点，能 够在较短的时间内达到稳定状态 。而二阶系统在阶跃响应方面的 表现相对较差，达到稳定状态的 时间较长。
实例三：阶系统与二阶系统的综合应用案例
总结词
结合实例分析，探讨阶系统与二阶系统在复杂控制系统中的应用和相互影响。
详细描述
在实际的复杂控制系统中，阶系统与二阶系统经常需要相互配合使用。通过综合应用案例的分析，了解阶系统和 二阶系统在控制系统设计中的协同作用，掌握它们之间的相互影响和优化方法，为解决实际工程问题提供有效的 解决方案。
特点
二阶系统具有两个固有频率，其动态 行为与这两个固有频率密切相关；系 统的稳定性、动态响应和调节性能等 特性也与这两个固有频率有关。
二阶系统的分类
根据系统参数是否随时间变化，可以分为时变系 统和时不变系统；
根据系统是否具有线性特性，可以分为线性系统 和非线性系统；
根据系统的动态行为，可以分为欠阻尼、临界阻 尼和过阻尼系统。
性能优化
阶系统和二阶系统都可以通过调整系 统参数和控制器参数来优化系统性能
，但具体方法有所不同。
设计复杂性
阶系统的设计相对简单，而二阶系统 的设计需要考虑更多的因素，如阻尼 比和自然频率等。
应用场景
阶系统和二阶系统分别适用于不同的 应用场景，需要根据具体需求进行选 择。
05
阶系统与二阶系统的实例分析
二阶系统的应用场景
机械系统
如振动分析、减震降噪、优化 设计等；
控制系统
如自动控制、机器人、航空航 天等；
电子系统
如信号处理、滤波器设计、电 路分析等；
生物医学系统
如生理信号分析、医学影像处 理、药物动力学等。
03
阶系统与二阶系统的比较
动态性能比较
阶跃响应
阶系统具有快速响应的特点，能 够在较短的时间内达到稳定状态 。而二阶系统在阶跃响应方面的 表现相对较差，达到稳定状态的 时间较长。
实例三：阶系统与二阶系统的综合应用案例
总结词
结合实例分析，探讨阶系统与二阶系统在复杂控制系统中的应用和相互影响。
详细描述
在实际的复杂控制系统中，阶系统与二阶系统经常需要相互配合使用。通过综合应用案例的分析，了解阶系统和 二阶系统在控制系统设计中的协同作用，掌握它们之间的相互影响和优化方法，为解决实际工程问题提供有效的 解决方案。
特点
二阶系统具有两个固有频率，其动态 行为与这两个固有频率密切相关；系 统的稳定性、动态响应和调节性能等 特性也与这两个固有频率有关。
二阶系统的分类
根据系统参数是否随时间变化，可以分为时变系 统和时不变系统；
根据系统是否具有线性特性，可以分为线性系统 和非线性系统；
根据系统的动态行为，可以分为欠阻尼、临界阻 尼和过阻尼系统。
第三章系统时域响应分析
s1 s2
[s平面]
系统可视为两个一阶系统的串或并联
图1）
2） 1,有两个相等负实根，
s ,
1,2
n
系统称为临界阻尼系统。
s1，2
2020/8/17
jω
图2）
3）0 1,有两共轭复根，
s 2
j 1
,
1,2
n
n
系统称为欠阻尼系统。
4） 0,有两个共轭虚根，
s j ,
1,2
)
p
(
2
1
)sin(
n
d tp )
t
n
p
e
cos(
2
d tp )
1
0
d
2020/8/17
t t sin ) (co s ) 0 ( .
n dp
d
dp
t 当cos( )0 (1) dp
2
2
1
1
t 有tg(
) d n
dp
tg
n
n
t k， dp
t t 由定义取 。
,
n
(s)1 s2 n
Xo s s s
s s 1
2
1
1
s 2 21
21 21
ss1
ss2
xo
e e (t)1
xo
s s 2
st 1
st 2
n （ ）1
2
1 1
2
2020/8/17
0
t
s 2)1,系统为临界阻 尼系 统 。，
1,2
n
n
X(s)1s2
o
s s
2020/8/17
2、描述欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特性， 常用的性能指标：
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
0.6
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
21
二阶系统单位阶跃响应定性分析
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2 n s
n2
s1,2 n n 2 1
1 过阻尼
c(t)
1
T2 T1
1
1
e
1 T1
t
T1 T2
1
1
e
1 T2
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
特征方程的两个根（闭环极点）:
s1,2 n n 2 1 4
特征方程的两个根（闭环极点） s1,2 n n 2 1
若 0 则二阶系统具有两个正实部的特征根，其单位阶跃响应为
t
1 临界阻尼
c(t) 1 ent (1 nt)
0 1 欠阻尼
c(t) 1
ent
1 2
sin
nt
1 2 cos1
0 零阻尼
c(t) 1 cosnt
22
3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 td ,tr，tp，ts，s %
在控制工程上，除了一些不允许产生振荡响应的系统 外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速 度和较短的调节时间。
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
自动控制3.3~3.4二阶系统时域分析详解
e nt
1 2
sin(d t
) (t
0)
上升时间 tr
阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。
• 此时 •即
c(tr ) 1
entr
1 2
s in(d tr
)
0
•得
tr
d
n 1 2
dtr β arc cos
峰值时间 tp
c(t) 1
e nt
1 2
sin(d t
) (t
n
G0 (s)
s(s
n2 2
n)
s(s
/
2 2
n
1)
, K0
n 2
G(s) n2 (Td s 1)
n 2
(Td s 1)
, K n
s(s 2n ) s(s / 2n 1)
2
可见，比例－微分控制不改变开环增益。
R(s) (-) Tds+1
ωn2
s(s 2ωn )
Go(s)
C(s)
0 (s)
模 n 阻尼角 cos
sin 1 2
（1）单位阶跃响应：
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2n s
n2
.1 s
(s2
2ns n2 ) s2 2ns
s(s
n2
2n
)
.
1 s
1 s
(s
s n n )2 d 2
1 2
. (s
1 2n n )2 d 2
c(t ) 1 ent cosd t
n2 2n s
n2
1 s
n2 s(s2 n2 )
1 s
(s2
s
二阶系统性能的改善课件
详细描述
针对某智能车辆控制系统，采用深度学习和强化学习算法，学习驾驶行为和环 境感知信息，优化车辆的路径规划和驾驶决策。通过大量模拟和实际道路测试 ，提高车辆的安全性和行驶效率。
05 二阶系统性能改善的未来展望
CHAPTER
新型控制算法的应用
预测控制算法
利用模型预测和滚动优化原理， 实现系统的动态优化控制，提高 系统的响应速度和稳定性。
控制器设计优化
1 2 3
控制器增ห้องสมุดไป่ตู้调整
通过调整控制器的增益参数，优化系统的动态性 能，提高系统的响应速度和稳定性。
控制器结构优化
根据系统的特性和需求，优化控制器的结构，例 如采用串级控制、解耦控制等，提高系统的控制 精度和抗干扰能力。
智能控制算法应用
采用先进的智能控制算法，如模糊控制、神经网 络控制等，对控制器进行优化，实现更加精准和 灵活的控制。
的性能。
引入非线性环节
在系统中引入适当的非线性环 节，如饱和、死区等，以改善 系统的性能。
优化系统结构
通过改变系统的结构，如增加 或减少环节，来改善系统的性 能。
采用先进控制策略
采用现代控制理论中的先进控 制策略，如PID控制、模糊控制
等，以改善系统的性能。
03 二阶系统性能改善方法
CHAPTER
二阶系统性能的改善课件
目录
CONTENTS
• 二阶系统简介 • 二阶系统性能分析 • 二阶系统性能改善方法 • 二阶系统性能改善实例 • 二阶系统性能改善的未来展望
01 二阶系统简介
CHAPTER
二阶系统的定义
定义
二阶系统是具有两个状态变量的动态 系统，通常由一阶系统通过引入一个 积分环节演化而来。
针对某智能车辆控制系统，采用深度学习和强化学习算法，学习驾驶行为和环 境感知信息，优化车辆的路径规划和驾驶决策。通过大量模拟和实际道路测试 ，提高车辆的安全性和行驶效率。
05 二阶系统性能改善的未来展望
CHAPTER
新型控制算法的应用
预测控制算法
利用模型预测和滚动优化原理， 实现系统的动态优化控制，提高 系统的响应速度和稳定性。
控制器设计优化
1 2 3
控制器增ห้องสมุดไป่ตู้调整
通过调整控制器的增益参数，优化系统的动态性 能，提高系统的响应速度和稳定性。
控制器结构优化
根据系统的特性和需求，优化控制器的结构，例 如采用串级控制、解耦控制等，提高系统的控制 精度和抗干扰能力。
智能控制算法应用
采用先进的智能控制算法，如模糊控制、神经网 络控制等，对控制器进行优化，实现更加精准和 灵活的控制。
的性能。
引入非线性环节
在系统中引入适当的非线性环 节，如饱和、死区等，以改善 系统的性能。
优化系统结构
通过改变系统的结构，如增加 或减少环节，来改善系统的性 能。
采用先进控制策略
采用现代控制理论中的先进控 制策略，如PID控制、模糊控制
等，以改善系统的性能。
03 二阶系统性能改善方法
CHAPTER
二阶系统性能的改善课件
目录
CONTENTS
• 二阶系统简介 • 二阶系统性能分析 • 二阶系统性能改善方法 • 二阶系统性能改善实例 • 二阶系统性能改善的未来展望
01 二阶系统简介
CHAPTER
二阶系统的定义
定义
二阶系统是具有两个状态变量的动态 系统，通常由一阶系统通过引入一个 积分环节演化而来。
二阶系统性能指标
0 . 30 ( s )
1
1
1 . 61 ( s )
2
这里取Δ＝0.05。
0 .6 问题：Ts取决于T0，为什么？ 分析K0和T0的影响。
或者 t s
3T
3 0 .3
1 .5 ( s )
例2：讨论速度负反馈 对动态特性的影响。
K 01 160 s T 0 0 . 25 s
1
Sin ( d t p ) 100 %
tp
d
d n
1
2
n tp
1
2
2
Sin ( d t p ) Sin ( ) Sin
1
e M P%
ntp 2
1
Sin ( d t p ) 100 %
1
ts
因1、符合上式答案有多个;2、ts不连续 用包络线近似来简化计算
e 1 1
n s n t s t
e
2 1 1
Sin ( d1s ) t 2
e n t s 1 2
1
Sin ( d t s ) 1
三、二阶系统的单位脉冲响应
C (s) R (s)
n
2
2 2 n
R (s) 1
s 2 n s
(t0)
欠阻尼：0< <1
c (t )
n
1
2
e
nt
sin d t
无阻尼：=0
c ( t ) n sin n t
临界阻尼：=1
c ( t ) n te
二阶系统的阶跃响应
二、二阶系统的动态过程分析
4、最大超调量 %的计算
在 c(t) 1
1 1
2
e nt
sin( dt
)
中，将t t p 代入得
c(t p ) 1
1 e / 1 2 sin( ) 1 2
因为 cos 则 sin( ) 1 2
则拉氏反变换为
c1(t)
dc(t) t
即，当输入为原来输入的导数时，输出也变为原来输出
的导数
三、二阶系统的其他输入响应
3、当输入变为 r2 (t 对应的输出变为 C2
)
(
s)
r(t)dt时，拉氏变换为R2
1 G(s)R2 (s) s C(s)
(
s)
1 s
R(s)
对上式拉氏反变换为 c(t) c(t)dt
即，输入变为原来的积分时，输出也变为原来的积分。
结论
一、单位脉冲信号是单位阶跃信号的一阶导数，所以系 统的单位脉冲响应也为单位阶跃响应的一阶导数。
二、单位斜坡信号和单位加速度信号是单位阶跃信号的 一重二重积分，所以系统的单位斜坡响应好单位加速 度响应也为单位阶跃响应的一重积分和二重积分。
c(t) 1
et /T1
et /T2
T2 / T1 1 T1 / T2 1
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周
期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此
时系统为 过阻尼 情况。
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1
n (
12Βιβλιοθήκη 1)由此可见1
T2
n (
二、二阶系统的动态过程分析
自动控制原理第3章总结
一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2
自动控制原理系统的型次
自动控制原理系统的型次自动控制原理系统的型次指的是系统的阶次或者等效阶次。
在自动控制中，我们常常使用阶次的概念来描述系统的复杂程度和动态响应的性质。
型次是指系统传递函数中最高阶导数的次数。
简而言之，这是描述系统动态响应能力的一个度量标准。
阶次越高，系统的动态响应能力越强。
在自动控制原理中，系统的型次主要由系统的传递函数决定。
传递函数可以是一个或多个函数相乘得到的。
下面我们来介绍几种常见的型次：1. 一阶系统：系统传递函数中只有一个一阶导数，例如1/(s+a)。
一阶系统是最简单的系统，具有较低的复杂度和动态响应能力。
2. 二阶系统：系统传递函数中有一个二阶导数项，例如1/(s^2+as+b)。
二阶系统比一阶系统更复杂，具有更强的动态响应能力。
许多机械和电子系统可以近似为二阶系统。
3. 三阶系统：系统传递函数中有一个三阶导数项，例如1/(s^3+as^2+bs+c)。
三阶系统比二阶系统更为复杂，通常用于模拟更复杂的物理系统。
4. 高阶系统：系统传递函数中有更高阶的导数项。
高阶系统具有更复杂的动态响应能力，可以用于描述更复杂的物理现象。
高阶系统在实际应用中比较常见，如电力系统、化学过程控制等。
不同型次的系统具有不同的动态响应特性。
一阶系统具有较慢的动态响应速度和较大的超调量；二阶系统具有较快的动态响应速度和较小的超调量；高阶系统具有更高的动态响应速度和更小的超调量。
在进行自动控制系统设计时，理解系统的型次是非常重要的。
通过研究系统的型次，可以选择合适的控制策略和参数，以实现期望的动态性能。
总之，自动控制原理系统的型次是衡量系统复杂程度和动态响应能力的重要指标。
了解不同型次系统的特点和性能对于系统设计和实际应用都具有重要意义。
自动控制原理第三章 二阶系统PPT
c(∞)
(4) 调节时间t s
0 tr tp
ts t
±(5上5)超%稳峰升系调（态值时统量或误时间输：±差间：出2输 离e%：输 升响s出量系s）一出 到应系 最响占统误次响 稳达统 终应稳输差到应 态到期 稳超态出范达从 值并望 态出值响围峰零所保值值稳的应内值开需持与之态百由，所始的在实间值分零所需第时稳际的的比开需时一间态输差最。始时间次。值出值大，间。上的的。偏第。
(±R5%(s))=
1 S
C(s)= tФs =(s4)•TS1
=
1 TS+1
•
1S(=±1S2%- S)+11/T
c(t)=1-e-t/T
第二节 一阶系统性能分析
一阶系统单位阶跃响应曲线
c(t)
0.98 1
0.95 0.86
0.632
0 T 2T3T4T
t
第二节 一阶系统性能分析
2．单位斜坡响应
c(t)
1 T
单位脉冲响应为:
0
c(t)=g(t)=
1 T
e-t/T
t
第二节 一阶系统性能分析
根据一阶系统三种响应的输入输出信号:
r(t)=δ(t)
r(t)=1(t)
c(t)=
1 T
e-t/T
c(t)=1-e-t/T
r(t)=t
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
得： ζωn= 0.5 ωd = 1.9
β=tg-1
1-ζ2 ζ
=75o
第三节 二阶系统性能分析
三、二阶系统的性能指标
自动控制原理 3-3二阶系统的时域分析
σ%=33% 无振荡有超调
相当于无零点时 0.333
j
ts可能大了可能小了
上升时间减小
0
结论：
1 零点有削弱阻尼的作用
2 零点越靠近原点该作用越明显
证明(补充)
ab (s c) (s) c
(s a)(s b)
h(t) 1 b(c a) eat a(c b) ebt c(b a) c(a b)
(a)根分布
(b)单位阶跃响应
图3-12 临界阻尼情况(z ＝1)
3. ＞１，称为过阻尼情况 当阻尼比 ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
s1,2 ( 2 1)n 对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.27)
C(s) 1 [2 2 1(
2 1)]1 [2 2 1(
2 1)]1
3.917 3.932 3.959
0.4 3.083
0.4 3.999
0.5 3.140 0.6 3.219
20.5
0.6
4.056 4.135
0.7 3.332
0.7 4.269
0.8 3.506
ts
ln
1
1 2 h(
)e5%nt
n 1h(2 ) 2%
0.8
4.423
1 1 ent 12
ts
2%， 0.78； 5%， 0.7
当０＜ ＜0.9时，则
ts
3
n
3T
(按到达稳态值的95%~105%计)
或
ts
4
n
4T
(按到达稳态值的98%~102%计)
(3.40)
由此可见, n大，ts就小，当n一定，则ts与成反比，这与tp， tr与的关系正好相反。
自动控制原理-二阶系统的响应
sin(ωd tr + β ) = 1
sin(ωd tr + β ) = 0
ωd t r + β = π
π −β π −β ∴ tr = = 2 ωd ωn 1 − ζ
17
其中：
S1+
−1
jω
β = cos ζ
β
ωn
jω n 1 − ζ
2
0
S 2+ ζω
n
σ
故增大自然振荡角频率或减小阻尼比， 都将减小上升时间。 2、峰值时间 t p
× 100%
4
ζ
t s (2%) =
ζω n
ωn
25
例1：如图所示系统，欲使系统的最大超调 量等于0.2，峰值时间等于1秒，试确定增益 K和K h 的数值，并确定在此K和K h数值下， 系统的上升时间 tr 和调整时间 t s 。
R( S )
+
−
−
K S ( S + 1)
C (S )
ζπ
1−ζ 2
1 + Kh S
σ% = e
× 100% = 0.2% 20%
26
∴ζ = 0.456
依题意：
π tp = = 1( S ) ωd ∴ωd = π (rad / S )
ωd
1− ζ
2
故 而
ωn =
= 3.53(rad / S )
2 n
ω C(S) K = 2 = 2 2 R(S) S + (KKh +1)S + K S + 2ζωnS + ωn
22
c(t ) = 1 −
e
−ζωn t 2
1− ζ
二阶系统
（3-17）
显然，超调量仅与阻尼比 有关，与自然频率 的大小无关。图3-14表示了超调量 与阻尼比 的关系曲线。由图可见，阻尼比越大( 越小)，超调量越小；反之亦然。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。通常，对于随动系统取阻尼比为 ，相应的超调量为 。
调节时间 ：写出调节时间 的准确表达式是相当困难的。在初步分析和设计中，经常采用近似方法计算。对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
（3-13）
或 (3-14)
上述两式表明，增大 或减小 ，都可以减小延迟时间 。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点离［s］平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点离［s］平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。
上升时间 ：②根据定义，令式（3-11）等于1。即 ，
可得
因为
所以
则有
关于稳态精度：由于随时间 的增长，瞬态分量趋于零，而稳态分量恰好与输入量相等，因此稳态时系统是无差的。
欠阻尼二阶系统性能指标的计算如下：
延迟时间 ①：根据定义，令式(3-11)等于0.5，即 =0.5，整理后可得
取 为不同值，可以计算出相应的 值，然后绘出 与 的关系曲线，如图3-13所示。利用曲线拟合方法，可得延迟时间的近似表达式
由图可见，系统的稳态输出是一个与输入量具有相同斜率的斜坡函数。但是，在输出位置上有一个常值误差值 ，即系统在斜坡输入时的稳态误差，显然这误差并不是指稳态时输入、输出上的速度之差，而是指位置上的差别。此误差值只能通过改变系统参数来减小，如加大自然频率 或减小阻尼比 来减小稳态误差，但不能消除。并且，这样改变系统参数，将会使系统响应的平稳性变差。因此，仅靠改变系统参数是无法解决上述矛盾的。在系统设计时，一般可先根据稳态误差要求确定系统参数，然后再引入控制装置(校正装置)来改善系统的性能(即用改变系统结构来改善系统性能)。
显然，超调量仅与阻尼比 有关，与自然频率 的大小无关。图3-14表示了超调量 与阻尼比 的关系曲线。由图可见，阻尼比越大( 越小)，超调量越小；反之亦然。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。通常，对于随动系统取阻尼比为 ，相应的超调量为 。
调节时间 ：写出调节时间 的准确表达式是相当困难的。在初步分析和设计中，经常采用近似方法计算。对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
（3-13）
或 (3-14)
上述两式表明，增大 或减小 ，都可以减小延迟时间 。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点离［s］平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点离［s］平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。
上升时间 ：②根据定义，令式（3-11）等于1。即 ，
可得
因为
所以
则有
关于稳态精度：由于随时间 的增长，瞬态分量趋于零，而稳态分量恰好与输入量相等，因此稳态时系统是无差的。
欠阻尼二阶系统性能指标的计算如下：
延迟时间 ①：根据定义，令式(3-11)等于0.5，即 =0.5，整理后可得
取 为不同值，可以计算出相应的 值，然后绘出 与 的关系曲线，如图3-13所示。利用曲线拟合方法，可得延迟时间的近似表达式
由图可见，系统的稳态输出是一个与输入量具有相同斜率的斜坡函数。但是，在输出位置上有一个常值误差值 ，即系统在斜坡输入时的稳态误差，显然这误差并不是指稳态时输入、输出上的速度之差，而是指位置上的差别。此误差值只能通过改变系统参数来减小，如加大自然频率 或减小阻尼比 来减小稳态误差，但不能消除。并且，这样改变系统参数，将会使系统响应的平稳性变差。因此，仅靠改变系统参数是无法解决上述矛盾的。在系统设计时，一般可先根据稳态误差要求确定系统参数，然后再引入控制装置(校正装置)来改善系统的性能(即用改变系统结构来改善系统性能)。
最新2019-4二阶系统和稳定性-PPT课件
ST
§5-3 稳定性与劳斯判据
例5-5 设系统的特征方程为 s4s32s2 5 1s9 3 0 0
试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根
的个数。
解：劳斯计算表为： s4
1 -25 30
由于存在负值，所 s3 以不稳定，符号变 s2
化2次，因此有2个 s1
右根。
s0
1 -19 0 -6 30 0 -14 0 0 30 0 0
ST
§5-3 稳定性与劳斯判据
当去除输入量后，x(t)及各阶导数均为0，于是：
andd ny nt(t+ n )1-add n1 ny -t1-(+ t )+0y a(= t0)
其特征方程为：
a nsn+ n1a -sn1+ - +0= a0
若特征方程的根为λ1,λ2 ,λ3 ,…,λn，则 微分方程的解为：
见图5-16
ST
§5-3 稳定性与劳斯判据
2.稳定的条件：系统传递函数的极点全部位于复平面的 左侧。
设系统的微分方程为：
an ddnynt (t)+na1- ddn1nt-y1-(t+)+a0y(t) dmx(t) dm1-x(t)
=bm dm t +m b1- dm t 1- ++ 0bx(t)
limy(t)0
t
ST
§5-3 稳定性与劳斯判据
3. 劳斯判据 虽然通过求出系统传递函数的极点，并根据极点
在复平面上的分布情况可以判断系统的稳定性，但一 般并不这样做。原因有二： （1）只需要极点的分布情况，并不需要知道极点的
具体位置； （2）对于高阶代数方程，求解困难。 因此，通常采用前人总结的判据方法进行判断。劳斯 判据就是其中的一种方法。
3-4 二阶系统(过阻尼)
E F
e 1t p
4.1 4.63
e 1.850.9
21.4
0 0
主导极点分布图
3 ln A E 3 ln 3.16 4.1
ts
D F
1
2.74 4.63 2 1.58
课程小结（1）
§3.4.3 x 1 临界 / 过阻尼 时系统动态性能指标的计算 (2)
虚轴的“偶极子” （3）按P76表3-1相应公式估算系统动态性能
§3.5 高阶系统及性能估计（3）
高阶系统闭环零极点分布图
§3.5 高阶系统及性能估计（4）
例2 已知某高阶系统的主导零极点分布入图所示， 估算其动态指标。
解.
tp D
3.14 0.73 0.9 2.74
0 0
1时系统极点的两种表示方法3动态指标计算公式4最佳阻尼比概念举例351高阶系统单位阶跃响应352闭环主导极点353估算高阶系统动态指标的零点极点法距离虚轴最近而且附近又没有零点的闭环极点1绘出闭环零极点分布图2保留主导极点略去非主导零极点和不非常靠近虚轴的偶极子3按p76表31相应公式估算系统动态性能高阶系统闭环零极点分布图主导极点分布图例2已知某高阶系统的主导零极点分布入图所示估算其动态指标
j 1
M (0) 1 n M (s)
1
D(0) s j1 sD(s) s j s j
j1
M (0) n M (s)
c(t)
ekt
D(0) j1 sD(s) s j
M (0) D(0)
i i
M(s) sD( s )
自动控制_03b二阶系统计算举例
则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算 公式,可以求得:
tp
wn 1 2
0.12(秒)
3 ts 0.174(秒) wn
%e
N 2
/ 1 2
100% 13%
2
ts wd
t s wn 1 2
0.72(次)
K A 1500 时, wn 86.2(弧度 / 秒); 0.2 t p 0.037(秒), t s 0.174(秒), % 52.7%, N 2.34(次)
k G (s) s s( 1) 2 2wn kt wn
式中kt为速度反馈系数.
k wn ( 2 kt wn ) 为系统的开环增益。
wn (不引入速度反馈开环增益 k ) 2
统的精度。
k有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系
闭环传递函数 G (s) (s)
2 0 .8 0 .8 3.14 0.6 1 .5 1 2 1 .5 0 .8 N 0 .6 3.14 0.6
N
2 1 2
5%
例2．设一个带速度反馈的随动系统，其方块图如图所示。要 求系统的性能指标为 和KA值，并计算过渡过程的特征值 tr , ts 及N的值。
d
( s) R(s) 例3.图: -
2 wn s(s 2 wn )
c(s)
kts
是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分 析速度反馈校正对系统性能的影响。 解:系统的开环传递函数为
2 wn 2 s ( s 2wn ) wn G( s) 2 2 wn kt s s ( s 2wn wn kt ) 1 s ( s 2wn )
(完整word版)二阶系统
3－4二阶系统
用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如， 网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。
以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。图中 ，系统闭环传递函数为
上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。
下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。
一、二阶系统的阶跃响应
1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。
当阻尼比 时，二阶系统的闭环特征方程有一对共轭复根，即
或 （3-16）
上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期一半。当阻尼比不变时，极点离实轴的距离越远，系统的峰值时间越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。
超调量 ：将峰值时间式(3-16)代入式(3-11)，得输出量的最大值
由图3-11可知
代入上式，则
根据超调量的定义式，并在 条件下，可得
当 ，即 的临界阻尼情况，
当 ，即 时，
当 ，即 时，
上述分析说明，当系统的一个负实根比另一个大4倍以上时，即两个惯性环节的时间常数相差4倍以上，则系统可以等效为一阶系统，其调节时间 可近似等于 (误差不大于10%)。这也可以由式(3-21)看出，由于 ，所以 项比 项衰减快得多，即响应曲线主要取决于大时间常数 确定的环节，或者说主要取决于离虚轴较近的极点。这样，过阻尼二阶系统调节时间 的计算，实际上只局限于 的范围。
用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如， 网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。
以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。图中 ，系统闭环传递函数为
上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。
下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。
一、二阶系统的阶跃响应
1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。
当阻尼比 时，二阶系统的闭环特征方程有一对共轭复根，即
或 （3-16）
上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期一半。当阻尼比不变时，极点离实轴的距离越远，系统的峰值时间越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。
超调量 ：将峰值时间式(3-16)代入式(3-11)，得输出量的最大值
由图3-11可知
代入上式，则
根据超调量的定义式，并在 条件下，可得
当 ，即 的临界阻尼情况，
当 ，即 时，
当 ，即 时，
上述分析说明，当系统的一个负实根比另一个大4倍以上时，即两个惯性环节的时间常数相差4倍以上，则系统可以等效为一阶系统，其调节时间 可近似等于 (误差不大于10%)。这也可以由式(3-21)看出，由于 ，所以 项比 项衰减快得多，即响应曲线主要取决于大时间常数 确定的环节，或者说主要取决于离虚轴较近的极点。这样，过阻尼二阶系统调节时间 的计算，实际上只局限于 的范围。
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§3.4.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
二阶系统单位阶跃响应 ξ＞1 ξ＞1
1 1
2 1
2 ωn Φ(s)= s2+2ξω s+ω 2 n n
T e 过阻尼 e = -ω h(t)= 1 -(1+ω t) j -ωnt 临界阻尼 S = - T e ξ＝1 h(t)= 1+ T 1,21 +ξωn 1 n n 0
控制工程导论
讲授：卢 京 潮 作者：周 雪 琴 张 洪 才 出版：西北工业大学出版社
控制工程导论
本次课程作业(13)
3—5
课程回顾
§3
时域分析法
时域分析法的特点
§3.1 引言
时域分析法常用的典型输入信号
动态性能指标定义 (σ%, tp, ts)
§3.3 一阶系统
K ( s ) Ts 1
（3）动态指标计算公式
二阶欠阻尼系统动能02
课程小结
§3.4.3 0 x 1（欠/零阻尼）系统动态性能指标的计算
（1） 0 x 1时系统极点的两种表示方法
（2）单位阶跃响应h(t) 表达示
（3）动态指标计算公式
（4）“最佳阻尼比”概念 （5）动态性能随系统极点分布变化的规律
控制工程导论
2 2 1
S1,2= -ξωT±jω√ξ2 - 1 T n n ξ＝1 0 t
t T1 T1 T2
jj 00
0＜ξ＜1 0＜ξ＜1
2 j ξ S1,2= - ωn ±j ωn√1-ξξ＝0
0
j j 0 0
零阻尼
h(t)=
1 √1-ξ ξ＝0
1
2
e 二阶欠阻尼动态性能
= ±jωn -ξωS欠阻尼dt+β) sin(ω nt1,2
j
（1）
h(t)= 1 -cosωnt 0
课程小结（1）
§3.4.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
课程小结（2）
§3.4.3 0 x 1（欠/零阻尼）系统动态指标的计算 （1） 0 x 1时系统极点的两种表示方法 （2）单位阶跃响应h(t)表达示
（3）动态指标计算公式
控制工程导论
本次课程作业(14)
3 — 7, 8
控制工程导论 （第 14 讲）
§3 时域分析法
§3.4 二阶系统 (0 x 1)
课程回顾（1）
§3.4.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
课程回顾（2）
§3.4.3 0 x 1（欠/零阻尼）系统动态指标的计算
（1） 0 x 1时系统极点的两种表示方法 （2）单位阶跃响应h(t)表达示
本次课程作业(13)
3—5
控制工程导论
讲授：卢 京 潮 作者：周 雪 琴 张 洪 才 出版：西北工业大学出版社
控制工程导论
本次课程作业(14)
3 — 7, 8
控制工程导论 （第 14 讲）
§3
时域分析法
引言 脉冲响应函数 一阶系统 二阶系统 高阶系统及性能估计 系统稳定性分析 稳态误差分析
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
t s 3T
控制工程导论 （第 13 讲）
§3
时域分析法
引言 脉冲响应函数 一阶系统 二阶系统 高阶系统及性能估计 系统稳定性分析 稳态误差分析
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
控制工程导论
（第 13 讲）
§3 时域分析法
§3.4 二阶系统
§3.4
二阶系统