大学自动控制原理_3.3二阶系统时间响应
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自动控制原理 二阶系统的响应
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1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
3.3 二阶系统的时间响应
由传递函数
1 s
2 X o s n Gs 2 2 X i S s 2n s n
得
2 2 n n 1 X o s Gs X i S 2 2 2 2 s 2n s n s ss 2n s n
下面根据阻尼比的不同取值情况来分析二阶系统的单位阶跃响应。
2 n n 1 1 X o s 2 s s n 2 s n ss n
对其进行拉氏反变换得二阶系统在临界阻尼系统状态下的单位阶跃响应为
t 0 xo t 1 e nt 1 nt ，
其响应曲线如图所示，既无超调，也无振荡。
2s 1 ，试求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 s 2 2s 1
当输入信号是单位阶跃信号时，x1i t 1t ，X 1i s 1 ，则系统在单位阶跃信号作用
下的输出拉氏变换为
s
X 1o s G s X 1i s
故系统的单位阶跃响应为
2s 1 1 1 1 s s 2 2s 1 s s 12 s 1
2
式中
d n 1 2
称为阻尼自然频率。
当ζ=1时，二阶系统称为临界阻尼系统，其特征方程的根是两个相等的负实根，即
s1, 2 n
3.3.1 二阶系统的数学模型（3）
当ζ＞1时，二阶系统称为过阻尼系统，其特征方程的根是两个不相等的负实根，即
s1, 2 n n 2 1
当输入信号是单位阶跃信号时则系统在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为故系统的单位阶跃响应为当输入信号为单位脉冲信号时根据线性定常系统的性质可得系统的单位脉冲响应tedt
3.3 二阶系统的时间响应
自动控制原理(时间响应分析)课件
高阶系统的数学模型
总结词
高阶系统的数学模型通常采用状态空间表示 法，包括状态方程和输出方程。
详细描述
高阶系统的数学模型是描述系统动态行为的 重要工具。通常采用状态空间表示法，包括 状态方程和输出方程。状态方程描述了系统 内部状态变量随时间的变化规律，而输出方 程则描述了系统输出与内部状态变量之间的 关系。通过建立高阶系统的数学模型，可以
03
数学模型
04
高阶系统的数学模型通常表示为 (G(s) = frac{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ldots + a_1 s + a_0}{s^n + b_{n-1} s^{n-1} + ldots + b_1 s + b_0})。
实例
高阶系统的实例包括多级控制系 统、复杂机械系统等。
详细描述
性能指标用于评估二阶系统的动态行为和响应特性。常见的性能指标包括超调量、调节时间和稳态误差等。这些 指标可以通过系统的传递函数或状态空间方程进行计算和分析。
二阶系统的稳定性分析
总结词
二阶系统的稳定性可以通过析系统的 极点和零点来判断。
VS
详细描述
稳定性是评估系统能否正常工作的关键因 素。通过分析二阶系统的极点和零点，可 以判断系统的稳定性。如果所有的极点都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定的 。否则，系统是不稳定的。
对系统进行各种分析和设计。
高阶系统的性能指标
总结词
高阶系统的性能指标主要包括稳定性、快速性和准确性 。
详细描述
高阶系统的性能指标是评估系统性能的重要依据。稳定 性是指系统在受到扰动后能够回到原始平衡状态的能力 。快速性是指系统对输入信号的响应速度，即系统达到 稳态值所需的时间。准确性则是指系统输出与理想输出 之间的误差，即系统的跟踪精度。这些性能指标在高阶 系统的分析和设计中具有重要意义。
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
自动控制原理-二阶系统的响应
荡。
0
Re
t × − jωn
c.∵e(t) = r(t) −c(t) =
1
1−ζ
2
e−ζωnt
sin(ωdt
+
β)
8
∴ess = e(∞) = 0
即系统带有一个积分环节，对单位阶跃输 入，稳态误差为零。
2、临界阻尼情况 (ζ = 1)
此时
G(S)
=
C(S) R(S)
=
(S
ωn2 + ωn )2
而
R(S)
即它们是 c(t)的包络线： 1 − ζ 2
23
包络线的时间常数为：
T= 1
ζωn
可用包络线代替响应曲线，求出近似调
整时间，即
ts
(5%
)
=
3
ζω
n
(0 < ζ < 0.9)
ts
(2%)=
4
ζωn
(0 < ζ < 0.9)
24
调整时间与闭环极点与虚轴的距离成反比， 极点离虚轴越远，调整时间越短。
b.若 ζ >> 1, S1 << S2 , 此时系统可用
一阶系统来近似，即
C(S) = S1 R(S) S + S1
ts
=
3 S1
(5%)
12
4、负阻尼情况 (ζ < 0)
此时，系统响应表达式的各指数项均为 正指数，其阶跃响应是发散的：
h(t)
h(t)
0
t
0
t
5、二阶系统在各种阻尼比下的h(t)
13
讨论：
a.阻尼比 ζ 是二阶系统最重要的特征参数， 只要知道 ζ 的大小，而不必求解方程，就
自动控制原理3.3~3.4 二阶系统时域分析
闭环特征方程： D( s ) s 2 2 s 2 0 n n 闭环特征根： s1, 2 n n
2
1
二、二阶系统单位阶跃响应
单位阶跃输入r(t)=1(t)时，其二阶系统的输出的拉氏变换为
2 2 n n 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2 n s n s s( s s1 )(s s2 )
e
(ζ ζ 2 1 ) n t
ζ 2 1 ) n t
c(t ) 1
1
2 ζ 2 1 (ζ ζ 2 1) 1 (ζ e 2 ζ 2 1 (ζ ζ 2 1)
e
(ζ ζ 2 1 ) n t
ζ 2 1 ) n t
c(t)
1
0 t
单调上升过程
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1
2
3
4
5
• 在0<<1, 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； • =0.7，调节时间短，而超调量%<5%，平稳性也好，故称 ζ=0.7为最佳阻尼比。工程希望=0.4～0.8为宜； •在≥1 , 越大，系统响应速度慢，调节时间ts也长。
例题：设角度随动系统如图所示，T=0.1为伺服电机时间常数， 若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts≤1s，问K应 取多大？此时上升时间等于多少？
Θi(s)
_
K s(Ts 1)
Θo(s)
解：闭环传递函数为
K K K /T s (Ts 1) (s) 2 2 K Ts s K s s / T K / T 1 s (Ts 1)
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
0.6
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
21
二阶系统单位阶跃响应定性分析
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2 n s
n2
s1,2 n n 2 1
1 过阻尼
c(t)
1
T2 T1
1
1
e
1 T1
t
T1 T2
1
1
e
1 T2
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
特征方程的两个根（闭环极点）:
s1,2 n n 2 1 4
特征方程的两个根（闭环极点） s1,2 n n 2 1
若 0 则二阶系统具有两个正实部的特征根，其单位阶跃响应为
t
1 临界阻尼
c(t) 1 ent (1 nt)
0 1 欠阻尼
c(t) 1
ent
1 2
sin
nt
1 2 cos1
0 零阻尼
c(t) 1 cosnt
22
3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 td ,tr，tp，ts，s %
在控制工程上，除了一些不允许产生振荡响应的系统 外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速 度和较短的调节时间。
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
自动控制原理--二阶系统的时域响应
y(t ) L-1[Y (s)]
-n
1 - e-nt (cos d t
1 - 2 sin d t )
s2
1-
e - nt (
1- 2
1 - 2 cos d t sin d t )
j jd
0
1-
e - nt 1 - 2 sin(n
1 - 2 t tg-1
1- 2 )
y(t)
单位阶跃响应（ 0<<1 ）
esst
2
a K
K
0.25
a 0.187
比例微分控制与输出微分反馈的比较
1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；
2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不
同； 4、对动态响应的影响不同。
（1）增加阻尼的来源
• 比例微分的阻尼来自误差信号的速度；
1)
阶跃响应：y(t) 1
1
-1t
e T1
1
-1t
e T2
T2 T1 -1
T1 T2 -1
yt
j
1
0
0
t
单位阶跃响应（>1）
无振荡、无超调
2、临界阻尼 =1
j 0
两个相同的负实根
闭环系统的极点为 s1,2 -n
闭环传递函数为
GB
Y (s) R(s)
(s
n2 n )2
阶跃响应： y(t) 1- e-nt (1 nt)
阻尼振荡频率
衰减振荡
d 1- 2n
4、零阻尼 0
阶跃响应y(t)=1-cos nt
n --无阻尼振荡角频率
j 0
一对纯虚根
自动控制原理 第3章时域分析
该曲线的特点是：在t＝0处曲线的斜率最大，其值为 1/T。若系统保持初始响应的变化率不变，则当t＝T时输出 就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过 4T的时间，响应达到稳态值的98％。显然，时间常数T反映 了系统的响应速度。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
自动控制原理(3-2)
arccos 1.09(rad )
1 0.7
d n 1 2 3.14(rad / s)
0.65( s ) d
td
n
3.5
0.37( s )
tr
ts
n
4.4
2.15( s ) 0.05
ts
n
2.70( s)
对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
h(t ) 1 e sin d t cos d t 2 1 1 1 e nt 1 2 cos d t sin d t 1 2
n t
1
1 1 2
e nt sin( d t ) , t 0
式中， arctan( 1 2 ) ，或者
arccos
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应有两部分组成：
稳态分量为1，系统在单位阶跃函数作用下不存在
稳态位臵误差；
瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为ωd，
故称为阻尼振荡频率。
t 0
系统的误差为：
e(t ) r (t ) c(t ) 2
n
2
n
1 2 e nt sin 1 2 n t 2arctg 1 2 1
1 2
e t T1 e t T2 h(t ) 1 , t0 T2 T1 1 T1 T2 1
4.无阻尼（ζ=0）二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) 1 cos nt , t 0
可见，这是一条平均值为1的正、余弦形式的等幅振 荡，其振荡频率为ωn，故可称为无阻尼振动频率。 实际的控制系统通常都有一定的阻尼比，因此不可能 通过实验方法测得ωn，而只能测得ωd，且小于ωn。
二阶系统的时间响应演示文稿
2 Xo (s) ωn G(s) = = 2 2 Xi (s) s + 2ζωn s + ωn
二阶系统的特征方程为 二阶系统的特征方程为 特征方程 有两个极点 有两个极点
s2 + 2ζωn s + ωn = 0
s1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 −1
显然，二阶系统的极点与二阶系统的阻尼比 和固有频率 显然，二阶系统的极点与二阶系统的阻尼比ζ和固有频率 极点与二阶系统的阻尼比 有关，尤其是阻尼比ζ更为重要 随着阻尼比ζ取值的不同 更为重要。 取值的不同， 有关，尤其是阻尼比 更为重要。随着阻尼比 取值的不同，二 阶系统的极点也各不相同。 阶系统的极点也各不相同。 (1)当0<ζ<1时，称二阶系统为欠阻尼系统，其特征方程的根 欠阻尼系统， 当 时 称二阶系统为欠阻尼系统 是一对共轭复根，即极点是一对共轭复数极点 是一对共轭复根，即极点是一对共轭复数极点
3.3 二阶系统的时间响应
可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲， 可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲， 二阶系统总包含两个独立的储能元件，能量在两个元件之间交换， 二阶系统总包含两个独立的储能元件，能量在两个元件之间交换， 使系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时， 使系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出 二阶振荡环节。 振荡的特性，所以，二阶系统也称为二阶振荡环节 振荡的特性，所以，二阶系统也称为二阶振荡环节。二阶系统对 控制工程来说是非常重要的， 控制工程来说是非常重要的，因为很多实际控制系统都是二阶系 统，而且许多高阶系统在一定条件下也可以将其简化为二阶系统 来近似求解。因此， 来近似求解。因此，分析二阶系统的时间响应及其特性具有重要 的实际意义。 的实际意义。 二阶系统的典型传递函数为 二阶系统的典型传递函数为
二阶系统的特征方程为 二阶系统的特征方程为 特征方程 有两个极点 有两个极点
s2 + 2ζωn s + ωn = 0
s1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 −1
显然，二阶系统的极点与二阶系统的阻尼比 和固有频率 显然，二阶系统的极点与二阶系统的阻尼比ζ和固有频率 极点与二阶系统的阻尼比 有关，尤其是阻尼比ζ更为重要 随着阻尼比ζ取值的不同 更为重要。 取值的不同， 有关，尤其是阻尼比 更为重要。随着阻尼比 取值的不同，二 阶系统的极点也各不相同。 阶系统的极点也各不相同。 (1)当0<ζ<1时，称二阶系统为欠阻尼系统，其特征方程的根 欠阻尼系统， 当 时 称二阶系统为欠阻尼系统 是一对共轭复根，即极点是一对共轭复数极点 是一对共轭复根，即极点是一对共轭复数极点
3.3 二阶系统的时间响应
可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲， 可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲， 二阶系统总包含两个独立的储能元件，能量在两个元件之间交换， 二阶系统总包含两个独立的储能元件，能量在两个元件之间交换， 使系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时， 使系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出 二阶振荡环节。 振荡的特性，所以，二阶系统也称为二阶振荡环节 振荡的特性，所以，二阶系统也称为二阶振荡环节。二阶系统对 控制工程来说是非常重要的， 控制工程来说是非常重要的，因为很多实际控制系统都是二阶系 统，而且许多高阶系统在一定条件下也可以将其简化为二阶系统 来近似求解。因此， 来近似求解。因此，分析二阶系统的时间响应及其特性具有重要 的实际意义。 的实际意义。 二阶系统的典型传递函数为 二阶系统的典型传递函数为
二阶系统的时间响应及动态性能介绍
表 3-3 二阶系统（按阻尼比ξ ）分类表
分类
特征根
ξ >1
过阻尼
ξ =1
临界阻尼
λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 λ1,2 = −ω n
特征根分布
模态
e λ1t e λ2t
e −ωnt te −ωnt
0 < ξ < 1 λ1,2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2
欠阻尼
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。 z 直角坐标表示
λ1,2 = σ ± jω d = −ξω n ± j 1 − ξ 2ω n
z “极”坐标表示
（3-8）
⎧ ⎨ ⎩
λ ∠λ
= ωn =β
⎧ cos β = ξ ⎩⎨sin β = 1 − ξ 2
ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2
查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。
当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即
性。
大学自动控制原理3.3二阶系统时间响应
极点位置影响响应的衰减速度，零点 位置影响响应的振荡频率。
特点
二阶系统的单位阶跃响应具有振荡和 衰减的特性，其形状由系统的极点和 零点决定。
单位冲激响应
定义
01
单位冲激响应是系统在单位冲激函数输入下的输出响应。
特点
02
与单位阶跃响应类似，二阶系统的单位冲激响应也具有振荡和
衰减的特性。
与单位阶跃响应的区别
根轨迹分析
通过分析系统的根轨迹来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析
通过分析系统的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
05
二阶系统的设计方法
串联校正
串联校正是指通过在系统输出端串联一个适当的装置，以改善系统的性能。常用的 串联校正装置有滞后器、超前器和积分器等。
串联校正的优点是结构简单，易于实现，适用于各种类型的系统。
二阶系统的分类
根据系统参数的性质，二阶系统可以分为欠阻尼、临界阻尼 和过阻尼三种类型。
欠阻尼系统的输出在达到稳态值之前会有一个振荡过程；临 界阻尼系统的输出则不会出现振荡过程；过阻尼系统的输出 则会有一个较大的超调量。
03
二阶系统的时域分析
单位阶跃响应
定义
极点与零点对响应的影响
单位阶跃响应是系统在单位阶跃函数 输入下的输出响应。
电机控制系统
电机控制系统的稳定性
二阶系统的时间响应特性对于电机控制系统的稳定性至关重要， 能够保证电机在各种工况下的正常运行。
电机控制系统的动态性能
二阶系统的快速响应能力有助于提高电机控制系统的动态性能，实 现更精确的速度和位置控制。
电机控制系统的鲁棒性
二阶系统的鲁棒性使其在电机控制系统中具有广泛的应用，能够适 应各种不确定性和干扰。
自动控制原理 3(2)
系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程， 系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为 ωn
jω
λ1
[s]
C(t)
ωn
o
λ2
σ
1 o 无阻尼时的极点分布和响应
ζ =0
(a)
(b)
t
3.3.2 二阶系统瞬态性能指标
系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为
e−ζω t 2 c(t) =1− sin(ωdt +θ)(t ≥ 0) ωd = ωn 1− ς 1−ζ 2
ωn C(s) Φ(s) = = 2 R(s) s + 2ζωn s +ωn2
2
K ωn = T 1
1 ζ= 2 TK 1
无阻尼自然振荡角频率 阻尼系数
2
标准形式的另一种形式
1 Φ(s) = 2 2 T s + 2T ζs +1
式中
T= T 1 K
注：二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域 二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中， 分析时则常用尾1标准型。 分析时则常用尾1标准型。 首1型标准形式的闭环传递函数的特征方程为 D(s)=s2＋2ζωns＋ ωn2＝0 s 其特征根为 λ12＝－ ζωn± ωn ζ2 -1
ζωn
o
d Α1 ={ [C(s)(s + ωn ) ]s=−ω = −1 ds Α2 = [C(s) ⋅ (s +ωn )2 ]s=−ω = −ωn
n
σ
ζ =1
临界阻尼时极点的分布
n
c(t) =1− e
= 1− e
−ωnt
−ωnte
−ωnt
−ωnt
(1+ ωnt)
自动控制原理-二阶系统的响应
荡。
0
Re
t × − jωn
c.∵e(t) = r(t) −c(t) =
1
1−ζ
2
e−ζωnt
sin(ωdt
+
β)
8
∴ess = e(∞) = 0
即系统带有一个积分环节，对单位阶跃输 入，稳态误差为零。
2、临界阻尼情况 (ζ = 1)
此时
G(S)
=
C(S) R(S)
=
(S
ωn2 + ωn )2
而
R(S)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
Kh
=
2ζωn
K
−1
=
0.178(S )
tr
=
1
ωd
(π
− cos−1 ζ
)
=
0.65(S )
ts
(2%)
=
4
ζωn
= 2.48(S)
28
习题: 3-5
ωd =ωn 1−ζ 2 ---阻尼振荡自然（角）频率
σ = ζ ω n ---衰减系数
4
阻尼比的大小决定了闭环极点在根平面的 位置，反映了解的性质；极点的实部的大 小，决定了指数衰减的快慢；极点虚部的 大小，则决定了系统响应振荡的快慢。
S1+
β
jω
jω 1 − ζ 2 n
0σ
S2+ ζωn
5
当输入为单位阶跃函数时，则有
=
1 ，故
S
9
自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
s1,s2完全取决于 ，n两个参数。
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
c(t) A0 A1es1t A2es2t
式中A0 , A1, A2 为由r(t)和初始条件确定的待定的 系数。
典型二阶系统的暂态特性
①特征根分析— 0 1（欠阻尼）
s1,2 ns jn 1 2
e n
nt p
1 2
0
该项不可能为零
取n=1得:
sin n 1 2tp 0
n 1 2 tp n
tp
d
n
1 2
(n 0，1, 2 )
3.超调量 %：
将峰值时间 tp / d 代入下式
h(t) 1
1
1
2
ent
R
5KA
C
s(s 34.5)
例题解析(1)
R
• 输入：单位阶跃
r(t) 1(t) 闭环传递函数：
R(s) 1 s
(s)
5KA
s2 34.5s 5K A
5KA
C
s(s 34.5)
例题解析(2) 当KA ＝200时
系统的闭环传递函数：
(s)
s2
1000 34.5s
1
1
(s s1)(s s2) s (T1s 1)(T2s 1) s
s1 n n 2 1 1/ T1
取C(s)拉氏反变换得：
s2 n n 2 1 1/ T2
h(t) 1
1
1t
e T1
1
1t
e T2 , (t 0)
T2 / T1 1
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
c(t) A0 A1es1t A2es2t
式中A0 , A1, A2 为由r(t)和初始条件确定的待定的 系数。
典型二阶系统的暂态特性
①特征根分析— 0 1（欠阻尼）
s1,2 ns jn 1 2
e n
nt p
1 2
0
该项不可能为零
取n=1得:
sin n 1 2tp 0
n 1 2 tp n
tp
d
n
1 2
(n 0，1, 2 )
3.超调量 %：
将峰值时间 tp / d 代入下式
h(t) 1
1
1
2
ent
R
5KA
C
s(s 34.5)
例题解析(1)
R
• 输入：单位阶跃
r(t) 1(t) 闭环传递函数：
R(s) 1 s
(s)
5KA
s2 34.5s 5K A
5KA
C
s(s 34.5)
例题解析(2) 当KA ＝200时
系统的闭环传递函数：
(s)
s2
1000 34.5s
1
1
(s s1)(s s2) s (T1s 1)(T2s 1) s
s1 n n 2 1 1/ T1
取C(s)拉氏反变换得：
s2 n n 2 1 1/ T2
h(t) 1
1
1t
e T1
1
1t
e T2 , (t 0)
T2 / T1 1
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1s 5% ts 1.33 2%
例2 如图所示的机械系统,在质量块上 施加9.8牛顿阶跃力后，m的时间响应 如图曲线，试求系统的 m、k 、c 。
Fi (t )
xo (t )
m c
k
解：根据牛顿第二定律，得
Fi (t ) Fk Fc Mo (t ) x Fk kxo (t ) Fc cxo (t )
即：
e
nt 2
1
1 1 1
2
解得： t s
n
ln
4 ln
若 0.02
1 1
2
则t s
n
3 ln
1 1
2
若 0.05
则t s
n
4
0.02) ( 若0 0.7时 ts n ts 32、源自阻尼状态( 0)2
1 X o (s) 2 2 s s n
1 s s s 2 n2
n
xo (t ) 1 cos nt
曲 线 特 点 ： 等 幅 振 荡
3、临界阻尼状态
1 X o (s) 2 s (s n )
( 1)
n
5、振荡次数N
在调整时间内响应曲线振荡的次数
ts ts N T 2
d
0 0.7时，
0.02时，t s 0.05时，t s 4
n
3
N N
2 1
2
1. 5 1
2
n
振荡次数N随着 而 。
( 2 1) nt ( 2 1) n t e e 2 2 1
n
曲线
随着 衰减愈慢，
d 幅值
衰减的快 慢取决于
n。
§3.4
瞬态响应的性能指标
性能指标是针对欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应而提出来的
性能指标计算
§3.3 二阶系统的时间响应
凡是能够用二阶微分方程描述的系统 称为二阶系统
典型二阶振荡环节传递函数为 2 n G (s) 2 2 s 2 n s n 框图：
Xi
n s ( s 2 n )
2
Xo
二阶系统特征方程：
s 2n s n 0
2 2
s1、 n n 1 2
2
n 1 1 s (s n )2 s n
xo (t ) 1 nt e
nt
e
nt
曲 线
1
X0(t)
1
1
t
0
特点：
1）不振荡
2）终值为1
4、过阻尼状态
X0(t)
( 1)
特点：
1
曲 线
1
1
1）不振荡 2）终值为1
d
1
2
n sin(d t p ) d cos( d t p ) 0
d tg (d t p ) n
1 2
tg
d , t p均大于0 d t p 0, ,2 ,
取d t p
t p d
(峰值时间是有阻尼振荡 周期
2
d
的一半)
讨论： 1) 一定时，n , t p ;
2） n一定时,
, t p .
3、调整时间ts
响应曲线达到并永远保持在允许范围的时间
即：o (t ) xo ( ) X o ( ) x
xo ( ) 1
xo (t ) 1
1)求k：由拉氏变换的终值定理可知
xo () lim xo (t ) lim s X o ( s )
t s 0
lim s G ( s ) X i ( s )
8.9 lim s 0.03 s 0 ms 2 cs k s 8.9 0.03 k 297 N m k
t 0
但相对于ξ =1时过渡时间较长
§3.3.2
二阶系统的单位脉冲响应
X i ( s ) L (t ) 1
X o ( s) G (s) X i ( s)
X o ( s) G ( s)
2 n 1 1 xo (t ) L X o ( s) L 2 2 s 2 n s n 2 n 1 L ( s n ) 2 ( n 1 2 ) 2
二阶系统计算举例
例1：设系统的方框图如图示，其中 ξ =0.6,ω n=5s-1 ,当有一单位阶跃 信号作用系统时，求其性能指标tp, Mp和ts 。
X i (s )
E (s )
s ( s 2 n )
n
2
X o (s )
解：
1) t p
d
2
d n 1
t p
5 1 0.6
2
4
0.785s
2) M p exp
M p exp( 0.6
1 100%
2
2
1 0.6 ) 100% 9.5%
3)
3 5% n ts 4 2% n
2
令 d n 1 有阻尼固有频率
1、欠阻尼状态
( 0 1)
2 n 1 1 n xo (t ) L 1 2 ( s n ) 2 ( n 1 2 ) 2
xo (t )
n
1
d 为二阶系统的有阻尼固有频率 d n 1
1
2
e xo (t ) L X o ( s) 1 sin( d t ) 2 1 其中 arctg 1
2
nt
曲 线
特点：
1)振荡过程：这是一个不断需要超调 过程，只要输出大于输入，需要超调。 2)以Wd为振荡频率的衰减过程，幅值衰 减的快慢取决于ξ ω n。 3)随着ξ 的减小，其振荡幅值加大，衰 减慢。 4)终值为1。
2
n 1 2 2 s 2n s n s
1、欠阻尼状态
(0 1)
( 0)
2、无阻尼状态
3、临界阻尼状态
( 1)
4、过阻尼状态
( 1)
1、欠阻尼状态
n
2
(0 1)
1 X o (s) 2 2 s s 2 n s n
exp( ntr ) 0
sin(d tr ) 0
d tr k
k 0,1,2
tr 是xo (t )第一次达到 xo ()的时间
tr 或t r 2 d n 1
讨论：
1) 一定时，
2) n一定时，
xo (t ) n t exp( nt )
2
4、过阻尼状态
xo (t )
1
n 1 1 1 1 L L 2 s ( 2 1) n s ( 2 1) n 2 1
n
0.05) (
1、 n一定时,
ts ，
0.02时， 0.76附近t s 最小，
0.05时， 0.68附近t s 最小， 但 0.8以后，
ts 。
使平稳性 而快速性 。
2、一定时，
n , ts 。
4、最大超调量Mp
响应曲线的最大峰值与稳态值x0(∞)的差值 再与x0(∞)之比值。
即： M p
xo (t p ) xo () xo ()
100 %
当xo () 1时，M p xo (t p ) xo ()
t t p 时，xo () 1 d
M p 1 e
n , tr
，tr
2、峰值时间tp
响应曲线达到第一个峰值所需的时间 为峰值时间
当t t p时有极值
dxo (t ) 0 dt t t
p
n
1
2
exp( nt p ) sin(d t p ) exp( nt p ) cos(d t p ) 0
2
exp( nt ) sin d t
2、无阻尼状态
( 0)
n 1 xo (t ) L n 2 2 s n
xo (t ) n sin nt
3、临界阻尼状态
( 1)
2 1 n xo (t ) L 2 (s n )
2
随着阻尼比取值不同，二阶系统特征 根不同，即极点不同。
讨论：
1) 0 1 2) 3) 4)
欠阻尼系统 无阻尼系统 临界阻尼系统 过阻尼系统
0
1
1
1) 0 1
欠阻尼系统
Im
j n 1 2
极 点 分 布
s1
n
Re
s2
2
jn 1
nt p
1
n
2
sin( d t p ) 1
n 1
2
2
e
1
1 2
sin( d ) d
e
2
1
sin
sin 1
M p e
2
1
2
M p只与有关而与 d 无关；
，M p 。
1、上升时间tr