大学自动控制原理_3.3二阶系统时间响应

nt p
1
n
2
sin( d t p ) 1
n 1
2
2

e
1
1 2
sin( d ) d

e

2
1
sin
sin 1
M p e

2
1
2
M p只与有关而与 d 无关；
，M p 。
d
1
2
n sin(d t p ) d cos( d t p ) 0
d tg (d t p ) n
1 2

tg
d , t p均大于0 d t p 0, ,2 ,
取d t p
t p d
二阶系统计算举例
例1：设系统的方框图如图示，其中 ξ =0.6,ω n=5s-1 ,当有一单位阶跃 信号作用系统时，求其性能指标tp, Mp和ts 。
X i (s )

E (s )
s ( s 2 n )
n
2
X o (s )
解：
1) t p
d
2
d n 1
即：
e
nt 2
1

1 1 1
2
解得： t s
n
ln
4 ln
若 0.02
1 1
2
则t s
n
3 ln
1 1
2
若 0.05
则t s
n
4
0.02) ( 若0 0.7时 ts n ts 3
5、振荡次数N
在调整时间内响应曲线振荡的次数
ts ts N T 2
d
0 0.7时，
0.02时，t s 0.05时，t s 4
n
3
N N
2 1
2

1. 5 1
2
n

振荡次数N随着 而 。
2
不相等的负实根
§3.3.1 §3.3.2
二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统的单位脉冲响应
§3.3.3
§3.3.4
二阶系统的性能指标
二阶系统计算举例
§3.3.1
二阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃信号的拉氏变换为Xi(s)=1/s； 则二阶系统在单位阶跃信号作用下的 拉氏变换为
X 0 ( s) G ( s) X i ( s)
Fi (t ) kxo (t ) cxo (t ) mo (t ) x
拉氏变换得
Fi ( s) (ms fs k ) X o ( s)
2
X o ( s) 1 G( s) Fi ( s) ms 2 cs k
输入的是8.9 N阶跃力
8.9 X i ( s) N s
2、无阻尼状态
( 0)
2
1 X o (s) 2 2 s s n
1 s s s 2 n2
n
xo (t ) 1 cos nt
曲 线 特 点 ： 等 幅 振 荡
3、临界阻尼状态
1 X o (s) 2 s (s n )
( 1)
n
exp( ntr ) 0
sin(d tr ) 0
d tr k
k 0,1,2
tr 是xo (t )第一次达到 xo ()的时间
tr 或t r 2 d n 1
讨论：
1) 一定时，
2) n一定时，
t 0
但相对于ξ =1时过渡时间较长
§3.3.2
二阶系统的单位脉冲响应
X i ( s ) L (t ) 1
X o ( s) G (s) X i ( s)
X o ( s) G ( s)
2 n 1 1 xo (t ) L X o ( s) L 2 2 s 2 n s n 2 n 1 L ( s n ) 2 ( n 1 2 ) 2
1、上升时间tr
2、峰值时间tp
3、调整时间ts
4、最大超调量Mp 5、振荡次数N
1、上升时间tr
响应曲线从原工作状态出发首次到达输
出稳定值所需的时间称为上升时间。对
于过阻尼系统一般定义为响应曲线从稳
态值的10％上升到稳态值的90％所需的 时间。
当t tr时，xo (tr ) 1
xo (tr ) 1 exp( ntr ) sin(d tr ) exp( ntr ) sin(d tr ) 0
n , tr
，tr
2、峰值时间tp
响应曲线达到第一个峰值所需的时间 为峰值时间
当t t p时有极值
dxo (t ) 0 dt t t
p
n
1
2
exp( nt p ) sin(d t p ) exp( nt p ) cos(d t p ) 0
1s 5% ts 1.33 2%
例2 如图所示的机械系统,在质量块上 施加9.8牛顿阶跃力后，m的时间响应 如图曲线，试求系统的 m、k 、c 。
Fi (t )
xo (t )
m c
k
解：根据牛顿第二定律，得
Fi (t ) Fk Fc Mo (t ) x Fk kxo (t ) Fc cxo (t )
1
e
n t 2
1
sin( d t ) 1
其中： arctg
1
2


e
nt 2
1
sin( d t )
由于
e
n t 2
1
所表示的曲线是上式所描述的减幅 正弦曲线的包络线，
只有包络线在1 之间，那么 实际曲线也在此范围之 内。
xo (t ) n t exp( nt )
2
4、过阻尼状态
xo (t )
1
n 1 1 1 1 L L 2 s ( 2 1) n s ( 2 1) n 2 1
2
n 1 2 2 s 2n s n s
1、欠阻尼状态
(0 1)
( 0)
2、无阻尼状态
3、临界阻尼状态
( 1)
4、过阻尼状态
( 1)
1、欠阻尼状态
n
2
(0 1)
1 X o (s) 2 2 s s 2 n s n
t p

5 1 0.6
2


4
0.785s
2) M p exp
M p exp( 0.6
1 100%
2
2
1 0.6 ) 100% 9.5%
3)
3 5% n ts 4 2% n
2
exp( nt ) sin d t
2、无阻尼状态
( 0)
n 1 xo (t ) L n 2 2 s n
xo (t ) n sin nt
3、临界阻尼状态
( 1)
2 1 n xo (t ) L 2 (s n )
( 2 1) nt ( 2 1) n t e e 2 2 1
n
曲线
随着 衰减愈慢，
d 幅值
衰减的快 慢取决于
n。
§3.4
瞬态响应的性能指标
性能指标是针对欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应而提出来的
性能指标计算
n
0.05) (
1、 n一定时,
ts ，
0.02时， 0.76附近t s 最小，
0.05时， 0.68附近t s 最小， 但 0.8以后，
ts 。
使平稳性 而快速性 。
2、一定时，
n , ts 。
4、最大超调量Mp
响应曲线的最大峰值与稳态值x0(∞)的差值 再与x0(∞)之比值。
即： M p
xo (t p ) xo () xo ()
100 %
当xo () 1时，M p xo (t p ) xo ()
t t p 时，xo () 1 d
M p 1 e
d 为二阶系统的有阻尼固有频率 d n 1
1
2
e xo (t ) L X o ( s) 1 sin( d t ) 2 1 其中 arctg 1
2
nt

曲 线
特点：
1)振荡过程：这是一个不断需要超调 过程，只要输出大于输入，需要超调。 2)以Wd为振荡频率的衰减过程，幅值衰 减的快慢取决于ξ ω n。 3)随着ξ 的减小，其振荡幅值加大，衰 减慢。 4)终值为1。
1)求k：由拉氏变换的终值定理可知
xo () lim xo (t ) lim s X o ( s )
t s 0
lim s G ( s ) X i ( s )
8.9 lim s 0.03 s 0 ms 2 cs k s 8.9 0.03 k 297 N m k
n2 1 s ( s n ) 2 d 2
s 2 n 1 s ( s n ) 2 d 2
s n d 1 [ ] 2 ( s ) 2 2 s ( s n ) 2 d 2 1 n d
2
s n jn 1
共轭复数
2)
极 点 分 布
0
s1
无阻尼系统
Im
n
Re
s2
s j n
n
共轭纯虚根
3)
极 点 分 布
1
s1
临界阻尼系统
Im
s2
s n
n
Re
相等负实根
4)
极 点 分 布
1
s2 s1
过阻尼系统
Im
Re
s n n 1
§3.3 二阶系统的时间响应
凡是能够用二阶微分方程描述的系统 称为二阶系统
典型二阶振荡环节传递函数为 2 n G (s) 2 2 s 2 n s n 框图：
Xi

n s ( s 2 n )
2
Xo
二阶系统特征方程：
s 2n s n 0
2 2
s1、 n n 1 2
2
令 d n 1 有阻尼固有频率
1、欠阻尼状态
( 0 1)
2 n 1 1 n xo (t ) L 1 2 ( s n ) 2 ( n 1 2 ) 2
xo (t )
n
1
2
n 1 1 s (s n )2 s n
xo (t ) 1 nt e
nt
e
nt
曲 线
1
X0(t)
1
1
t
0
特点：
1）不振荡
2）终值为1
4、过阻尼状态
X0(t)
( 1)
特点：
1
曲 线
1
1
1）不振荡 2）终值为1
(峰值时间是有阻尼振荡 周期
2
d
的一半)
讨论： 1) 一定时，n , t p ;
2） n一定时,
, t p .
3、调整时间ts
响应曲线达到并永远保持在允许范围的时间
即：o (t ) xo ( ) X o ( ) x
xo ( ) 1
xo (t ) 1
2
随着阻尼比取值不同，二阶系统特征 根不同，即极点不同。
讨论：
1) 0 1 2) 3) 4)
欠阻尼系统 无阻尼系统 临界阻尼系统 过阻尼系统
0
1
1
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欠阻尼系统
Im
j n 1 2
极 点 分 布
s1
n
Re
s2
2
jn 1