二阶系统的时域响应

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二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型

二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。

在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。

下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。

二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。

一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。

这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。

2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。

通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。

对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。

3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。

与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。

对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。

第3讲二阶系统的时域分析

18
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (0 1)：欠阻尼
s 1, 2 ζω n jωn 1 ζ
2
ζω n jωd
c (t ) 1 Fra biblioteke ζωn t 1 ζ 2
sin(ωd t β ) ,
t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t t r时，c(tr ) 1 。
3
s1, 2 n n 1
2
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S 平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。以上 1 属于非振荡情况
于是有：
tr d
ωd ωn 1 ζ 2

n
n

j n 1 2 j d
n

称为阻尼角
j n 1 2
cos
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比；而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
2 其中, 由特征方程 s 2 2 n s n 0
可求得两个特征根（即闭环极点）
s1, 2 n n 2 1
6
[分析]：
s1, 2 n n 1
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n

自动控制理论时域分析2--二阶系统

c ( tP) c ( ) M 100 % P c ( )
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间）：响应曲线达到并保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带）所需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标（1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12

p t p 0, ,2 ,3
n

0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )

第三章控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析

s
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自己求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调，大，内耗大，无法维持能量交换，即
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0

自动控制理论时域分析2-二阶系统

案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通过判断其阻尼比和自然频率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是过阻尼的，输出会缓慢地趋近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临界阻尼的，输出会以最快的速度趋近于零，系统也是稳定的。
当阻尼比等于0时，系统是无阻尼的，输出会呈现等幅振荡的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠阻尼的，输出会呈现振荡衰减的趋势，系统仍然是稳定的。

二阶系统的时间响应

xo (t)
n 1 2
ent
sin dt,
t0
xo (t) n sin nt, t 0
➢ = 1： xo (t) n2tent , t 0
➢ > 1：
xo (t) 2
n e 2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
3、二阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
Xo (s)
G(s)Xi (s)
)
0
即： tg(dt p )
1 2 tg
dt p k , k 0, 1, 2,
根据tp的定义解上方程可得：
tp
d
n
12
可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2/d的一
半。且一定，n越大，tp越小；n一定，越大，
tp 越大。
✓ 最大超调量 Mp
100
M
p
xo (t e
✓ 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。
评价系统平稳性的性能指标
✓ 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：
M
p
xo (t p ) xo () xo ()
100%
若xo(tp) xo()，则响应无超调。
✓ 振荡次数N 在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。
1 ent 1
12
可以求得：
ln ln 1 2
ts
n
由上式求得的ts包通常偏保守。
当0<<0.7时，
ts
ln ln
n
1 2
4
3n
, ,

二阶系统的时域响应

n n 2 1 C ( s) s1 2 R( s ) s s1 s n n 1
§３－３二阶系统的时域响应近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。
此时系统的单位阶跃响应为：
c(t ) 1 e
系统的响应时间为
( 2 1 ) n t
2
1
2

)0
t t r时，e ntr 0, 故只有
sin( 1 2 nt arct an 1
2

)0
2 1 则必有 1 2 ntr arctan n , n 0,1,2.....
因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取 n=1,于是§３－３二阶系统的时域
查拉氏变换表，可求得：
c(t ) 1 1 1
2
§ ３－３二阶系统的时域响应
e nt sin( 1 2 nt arct an 1 2

), t 0
欠阻尼时，系统的阶跃响应 c(t ) 的第一项是稳态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率为 d 称为阻尼自然振荡频率。 1 2
2
cos( d t p ) n
e nt 1
2
sin(d t p ) 0
§３－３二阶系统的时域响应移项并约去公因子后得
1 2 d tan( d t p ) n
到达第一个峰值时 d t p ，从而得
tp d n 1 2
取横坐标为 n t ，不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：
§３－３二阶系统的时域响应
从图可见：（１）越小，振荡越厉害，当增大到１以后，曲线变为欠阻尼系统比临界阻尼系统更快（２）达到稳态值。（３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（４）过阻尼系统过渡过程时间长。

控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述

控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。

在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。

本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。

一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。

一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。

单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。

从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。

时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。

二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。

二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。

时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。

对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。

从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。

二阶系统闭环参数ω和对时域响应ξ的影响

二阶系统闭环参数ω和对时域响应ξ的影响闭环系统的参数ω和ξ对系统的动态响应有着重要的影响。

ω是系统的自然频率，决定了系统的振荡速度；ξ是系统的阻尼比，决定了系统的振荡衰减速度。

本文将从时间域分析闭环系统对ω和ξ的影响，具体表现在系统的稳态误差、超调量、上升时间和振荡周期等方面。

首先，稳态误差是指系统在输入信号稳定后的偏差大小。

对于二阶系统，稳态误差与ω和ξ有关。

当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，稳态误差较小。

相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，稳态误差较大。

对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，稳态误差较小。

当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，稳态误差较大。

其次，超调量是指系统响应的最大偏差值与系统稳定值之间的差别。

对于二阶系统，超调量也与ω和ξ有关。

当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，超调量较小。

相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，超调量较大。

对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，超调量较小。

当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，超调量较大。

再次，上升时间是指系统从0%到100%响应稳定值所需的时间。

在二阶系统中，上升时间与ω和ξ有关。

当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，上升时间较短。

相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，上升时间较长。

对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，上升时间较短。

当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，上升时间较长。

最后，振荡周期是指系统响应从一次峰值到下一次峰值所经历的时间。

对于二阶系统，振荡周期也与ω和ξ有关。

当ω较大时，系统的自然频率高，振荡周期较短。

相反，当ω较小时，系统的自然频率低，振荡周期较长。

对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，振荡周期较短。

当ξ较小时，系统的阻尼比低，振荡周期较长。

综上所述，二阶系统的参数ω和ξ对系统的动态响应有着重要的影响。

其中，ω决定了系统的振荡速度，ξ决定了系统的振荡衰减速度。

二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型

二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统是指由两个一阶系统级联或并联组成的动态系统。

它的数学模型可以表示为如下形式：$$s^2Y(s) + 2ξω_nsY(s) + ω_n^2Y(s) = X(s)$$其中，$s$是复频域变量，$Y(s)$和$X(s)$分别是系统的输出和输入拉普拉斯变换形式；$ξ$是阻尼比，$ω_n$是自然频率。

为了进行时域分析，我们需要将模型转换为时域表示。

我们可以通过拉普拉斯逆变换对模型进行求解。

首先，我们可以将拉普拉斯变换模型转换为分母为二次方程的形式：$$s^2 + 2ξω_ns + ω_n^2 = 0$$这是一个特征方程，也称为二阶系统的特征方程。

根据特征方程的解，我们可以获得系统的阻尼比和自然频率。

特别地，当阻尼比$ξ$小于1时，系统被称为欠阻尼；当阻尼比$ξ$等于1时，系统被称为临界阻尼；当阻尼比$ξ$大于1时，系统被称为过阻尼。

根据不同的阻尼比，我们可以对系统的时域响应进行分类：1.欠阻尼情况下，系统的时域响应会产生振荡。

振荡的频率为阻尼比与自然频率的乘积。

2.临界阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，但不会产生振荡。

3.过阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，没有振荡，并且速度较快。

在实际应用中，我们经常需要对二阶系统的时域响应进行分析和设计。

常见的时域响应指标包括步响应、阶跃响应和频率响应。

这些响应可以通过对特征方程进行求解来获得。

对于步响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的过渡时间、最大超调量和静态误差等信息。

通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。

对于阶跃响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的上升时间、峰值时间和调节时间等信息。

同样，通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。

对于频率响应，我们可以通过将特征方程转换为复频域变量来获得系统的频率响应函数。

频率响应函数可以帮助我们分析系统在不同频率下的增益和相位变化。

二阶系统的时域响应与极点的关系-概述说明以及解释

二阶系统的时域响应与极点的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二阶系统是一类常见的控制系统，其具有两个自由度。

在控制理论中，了解二阶系统的时域响应与极点的关系对于系统分析和设计非常重要。

本文旨在通过探讨二阶系统的时域响应与极点的关系，揭示出其内在的数学规律和工程应用。

在本文中，我们会对二阶系统进行定义和特点的介绍，然后重点关注时域响应与极点之间的联系。

二阶系统的时域响应是指系统在时域上对输入信号的响应情况，它包括了系统的过渡过程、稳定过程和超调量等重要指标。

而系统的极点则是描述系统动态特性的重要参数，它们决定了系统的稳定性、阻尼性和振荡频率等方面。

在本文的后续内容中，我们将通过实例和数学分析，详细探讨二阶系统的时域响应与极点之间的关系。

我们将会介绍不同类型的二阶系统以及它们的特点，在此基础上，深入研究时域响应与极点之间的对应关系。

通过了解二阶系统的时域响应与极点的关系，我们可以更好地理解和分析控制系统的动态特性，为系统设计和性能调整提供理论依据和指导。

对于工程实践中的控制系统设计和优化，这一关系的理解具有重要的实际应用意义。

接下来的内容将重点聚焦于系统的定义和特点，以及时域响应与极点之间的关系，希望读者能够通过本文对二阶系统有更全面、深入的了解。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕二阶系统的时域响应与极点的关系展开讨论。

文章分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分首先对二阶系统进行概述，介绍了其定义和特点。

随后，本节将阐述文章的结构安排，为读者提供对接下来内容的整体了解。

最后，明确本文的目的，即通过分析二阶系统时域响应与极点之间的关系，探索出对二阶系统的应用和意义。

正文部分将详细探讨二阶系统的时域响应与极点之间的关系。

首先，将对二阶系统的定义和特点进行阐述，以便读者对系统本身有清晰的认识。

然后，我们将深入研究时域响应和极点之间的关系，并通过理论分析和实例说明，阐释二阶系统响应特性与极点位置之间的关联。

第三章二阶系统响应与时域性能指标解析

第三章二阶系统响应与时域性能指标解析在控制系统中，二阶系统是指具有二阶传递函数的系统。

二阶系统在工程实践中非常常见，例如机械系统、电子电路系统等。

了解二阶系统的响应和时域性能指标对于设计和分析控制系统非常重要。

二阶系统的传递函数可以表示为$G(s)=\frac{\omega_n^2}{{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}}$，其中$\omega_n$是系统的自然频率，$\zeta$是系统的阻尼比。

首先我们从系统的阶跃响应来分析二阶系统的时域性能指标。

阶跃响应是系统对阶跃信号输入的响应。

通过对传递函数分母进行因式分解，我们可以将传递函数改写为$G(s)=\frac{\omega_n^2}{(s+s_1)(s+s_2)}$，其中$s_1 = (-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$，$s_2 = (-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$。

1. 峰值超调量（Percent Overshoot）：峰值超调量是指系统过渡过程中输出信号的最大超调量与步变幅度之比。

通过阶跃响应曲线可以直观地看出系统的峰值超调量。

2. 调节时间（Settling Time）：调节时间是指系统从初始状态到稳定状态所需的时间。

在阶跃响应曲线中，调节时间可以定义为系统的输出信号在峰值超调之后首次进入指定误差范围内所需的时间。

一般来说，稳定误差范围可以选择输出信号与目标信号之差小于目标值的一些百分比，例如5%。

3. 峰值时间（Peak Time）：峰值时间是指系统输出信号首次达到峰值超调量的时间。

在阶跃响应曲线中，峰值时间可以直接读取。

4. 上升时间（Rise Time）：上升时间是指系统输出信号从初始状态到达峰值的时间。

在阶跃响应曲线中，上升时间可以定义为系统输出信号从0.1倍峰值超调量到0.9倍峰值超调量之间所需的时间。

二阶系统的阶跃响应曲线具有不同的形态，取决于系统的阻尼比$\zeta$。

二阶系统的时域分析

二阶系统的时域分析二阶系统是指系统的传递函数为二次多项式的系统。

在控制工程中，常常会遇到这样一类系统，例如惯性系统、机械系统等。

对于这些二阶系统，我们不仅可以通过频域分析来研究其特性，还可以通过时域分析来了解其动态特性。

在进行二阶系统的时域分析时，可分为稳态分析和暂态分析两个方面。

稳态分析主要关注系统的稳定性、稳定偏差以及稳态响应等问题。

稳定性是指系统在输入信号恒定时是否能够收敛到一些有限的值。

对于二阶系统来说，稳定性分为两种情况：一是欠阻尼情况下的稳定性，二是过阻尼情况下的稳定性。

在欠阻尼情况下，系统的特征根是共轭复根，且位于单位圆内。

此时，系统的稳定性与初始条件无关，即系统总是能够收敛到稳态。

而且系统的稳态响应的振幅会发生一定的振荡，并随着时间逐渐减小。

该振荡的周期与系统的倍率有关，即与特征根的幅值有关。

在过阻尼情况下，系统的特征根是两个实根，分别对应着减震时间常数的倒数，且位于负实轴上。

此时，系统的稳态响应不会有振荡的情况发生，而是指数衰减的趋势。

稳态响应的衰减速率与特征根的位置有关，即与特征根的实部大小有关。

对于稳态偏差问题，我们可以通过查表法或直接计算法来求解。

稳态偏差是指系统在输入信号恒定时的输出值与预期值之间的差距。

通过分析系统的传递函数，我们可以得到系统的静态增益，从而计算出稳态偏差。

在暂态分析中，我们主要关注系统的动态响应，即系统在输入信号改变时的响应情况。

对于二阶系统来说，主要有两种典型的暂态响应情况：一是阻尼振荡响应，二是临界阻尼响应。

阻尼振荡响应是指系统在欠阻尼情况下的响应。

在这种情况下，系统会产生一定幅值的振荡，振荡的周期与系统的阻尼比有关，即与特征根的实部大小有关。

临界阻尼响应是指系统在特征根位于负实轴上时的响应。

此时，系统的响应既没有振荡也没有超调现象，而是以较快的速度趋近于稳态响应。

在实际工程中，我们可以通过使用MATLAB等软件工具来进行二阶系统的时域分析。

通过绘制系统的单位阶跃响应曲线、脉冲响应曲线以及动态响应曲线，并结合特征根分析法，可以对系统的动态特性进行深入研究。

二阶系统的时域分析

二阶系统的时域分析二阶系统是指具有两个自由度的线性时不变系统，可以用二阶常微分方程来描述。

在时域分析中，我们可以通过研究系统的时间响应来了解系统的动态性能。

$$\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}}+2\zeta\omega_n\frac{{dy(t)}}{{dt}}+\omega_n^2y(t) = f(t)$$其中，$y(t)$是系统的输出，$f(t)$是系统的输入，$\zeta$是系统的阻尼比，$\omega_n$是系统的自然频率。

为了进行时域分析，我们通常关注以下几个方面的内容：零状态响应、零输入响应、阶跃响应和冲激响应。

首先，零状态响应是指当系统在其中一初始状态下，没有外部输入时的响应。

在二阶系统中，零状态响应可以表示为：$$\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}}+2\zeta\omega_n\frac{{dy(t)}}{{dt}}+\omega_n^2y(t) = 0$$通过求解这个方程可以得到系统的零状态响应。

其次，零输入响应是指当系统没有外部输入时的响应，也就是当$f(t)=0$时的响应。

在二阶系统中，可以通过设定初始条件（对应于零状态）来求解零输入响应。

接下来，阶跃响应是指当系统输入为单位阶跃信号时的响应。

单位阶跃信号可以用$\delta(t)$来表示，其傅里叶变换为$U(j\omega)=\frac{1}{{j\omega}}+\pi\delta(\omega)$。

阶跃响应可以通过将单位阶跃信号的傅里叶变换代入系统的传递函数来求解。

最后，冲激响应是指当系统输入为单位冲激信号时的响应。

单位冲激信号可以用$\delta(t)$表示，其傅里叶变换为$U(j\omega)=1$。

冲激响应可以通过将单位冲激信号的傅里叶变换代入系统的传递函数来求解。

在进行二阶系统的时域分析时，我们还可以研究系统的阻尼比对系统响应的影响。

当阻尼比$\zeta=1$时，系统处于临界阻尼状态，此时系统响应最快且无振荡；当阻尼比$\zeta<1$时，系统过阻尼，响应较慢且无振荡；当阻尼比$\zeta>1$时，系统欠阻尼，响应较快且有振荡。

第三节二阶系统的时域响应

第三节二阶系统的时域响应⏹二阶系统的数学模型⏹二阶系统的单位阶跃响应⏹二阶系统单位阶跃信号的性能指标⏹二阶系统的动态校正第三节二阶系统的时域响应定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。

例一22()()()()c c c r d u t du t LC RC u t u t dt dt++=Ｒ-L-C 电路2()1()()1c r U s G s U s LCs RCs ==++例二：22()()()()c c c r d t d t J F K t K t dt dt θθθθ++=()()2c r s Ks Js FS Kθθ=++将传递函数转换为：2222/()2nn n K Js F K s s s s J JωζωωΦ==++++n KJω=——系统的无阻尼自然振荡角频率式中：112F KJζ=——系统的阻尼比。

一. 二阶系统数学模型1.二阶系统的微分方程一般式为：ζ-阻尼比n ω-无阻尼振荡频率2222()()2()()n n n d c t dc t c t r t dt dtζωωω++=(0)n ω>222()()()2nn nC s s R s s s ωζωω=Φ=++2()(2)nn G s s s ωζω=+3.二阶系统传递函数标准形式：开环：闭环：2. 二阶系统的标准形式结构图：)2(2n ns s ξωω+)(s R )(s C 2(2)n n s s ωξω+二阶系统的特征方程为2220n ns s ζωω++=解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012()s t s tc t A A e A e=++式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。

012,,A A A s 1,s 2完全取决于，ωn 两个参数。

ζ21,21n n s ζωωζ=-±-二、二阶系统的单位阶跃响应1．欠阻尼（）的情况01ζ<<21(1)ns j ζζω=---22(1)ns j ζζω=-+-[]()()1222()()11sin1111sin , 01n n tn td c t LC s e t et t ξωξωζωβξωβξ---==--+-=-+≥-特征方程的根为：系统输出响应为：21arctanζβζ-=21 dnωζω=-式中称阻尼振荡角频率，或振荡角频率；二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分组成。

实验三——二阶系统的时域响应及性能分析

实验三——二阶系统的时域响应及性能分析实验三主要研究了二阶系统的时域响应及其性能分析，通过实验得到不同二阶系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应，并对其进行分析和性能评估。

首先，实验中使用的二阶系统是由两个一阶系统串联而成，可以通过两个一阶系统的参数来确定二阶系统的性能。

实验中设置了不同的参数组合来得到不同的二阶系统，并测量了这些系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。

实验中，单位阶跃响应是通过给系统输入一个单位阶跃信号，观察系统的输出得到的。

单位脉冲响应是通过给系统输入一个单位脉冲信号，观察系统的输出得到的。

通过测量这两个响应，可以了解二阶系统在时域的性能。

对于单位阶跃响应，实验中测量了系统的超调量、调整时间和稳态误差。

超调量是指单位阶跃响应中最高峰值与稳态值之差与稳态值的比值，可用来评估系统的动态性能。

调整时间是指从单位阶跃信号开始输入到响应达到其稳态值所需要的时间，反映了系统调整过程的快慢。

稳态误差是指系统最终的输出值与期望值之差，用来评估系统的稳态准确性。

对于单位脉冲响应，实验中测量了系统的峰值和时间常数，用来评估系统的动态特性。

峰值是指单位脉冲响应中的最高值，与系统的阻尼比有关。

时间常数是指单位脉冲响应中曲线从0到达其最大值所需要的时间，与系统的阻尼比和自然频率有关。

通过实验数据的测量和分析，可以得到不同参数组合下的二阶系统的性能指标，进而对系统进行评估。

如果超调量小、调整时间短、稳态误差小，表示系统的动态特性优秀，能够快速、准确地响应输入信号；如果峰值小、时间常数短，表示系统的动态特性好，有较快的响应速度和较小的振荡现象。

综上所述，实验三通过对二阶系统的时域响应进行测量和分析，并对性能指标进行评估，可以得到不同二阶系统的动态特性和稳态准确性信息。

这些信息对于系统设计和参数调整具有重要的参考价值。

通过实验的学习，可以更深入地理解掌握二阶系统的性能分析方法，为系统控制和优化提供理论和实践基础。

二阶系统的时域分析

d
1 2 (s n )2 d2
进行拉式反变换后可得：
c(t) 1
ent
1 2
sin(d t
)
结论：
1、稳态分量为1；
arctan 1 2
2、暂态分量在一定时，其衰减程度(速度的快慢) 由中n 的决n定( 越大n ，衰减程度越快)。
0.5,n 分别为1、2、3、4时的响应曲线。
n 1, 2,3, 4时的响应曲线。
2
3
4
n 一定时，随的增大，系统的响应速度变慢。
4,n 1, 2,3 时的响应曲线。
n 3 n 2 n 1
一定时，随n 的增大，系统的响应速度变快。
小结：二阶系统中和n的作用
1) 0时，系统输出不稳定。
2) 0 1时，系统输出有超调，且决定了超调量的大小, 和 n 共同决定了系统的响应速度。
c(t)输出为一发散形式的曲线。
2,n 1时的阶跃响应：
2) 0 (零阻尼)
C(s)
R(s)(s)
1 s
n2 s2 n2
1 s
s2
s
n2
c(t) 1 cosnt
c(t)输出为一条在0和2之间振荡的曲线。
n 1
n 2
3) 0 1 (欠阻尼)
C(s)
1 s
(s
s n n )2 d2
1 (R1C1
R2C2
R1C2 )s
1
机械力学系统的传递函数
1 (s) ms2 fs k
举例
一般形式的二阶微分方程化为传函的标准形式
(s)
s2
n2 2n s
n2
a0
d 2c(t) dt 2
a1

二阶系统的时域响应

二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型

第3讲 二阶系统的时域分析

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